Решение производных сложных функций: Производная сложной функции (u(v(x))’

Производная сложной функции: как найти, примеры

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y=sin x-(2-3)·arctgxx57x10-17×3+x-11, то ее нельзя считать сложной в отличие от y=sin2 x.

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Определение 1

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f(g(x)). Имеем, что функция g(x) считается аргументом f(g(x)).

Определение 2

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g(x) = lnx – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f(g(x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f, являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g(x)=x2+2x-3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f(g(x))=(x2+2x-3)4.

Очевидно, что g(x) может быть сложной. Из примера y=sin2x+1×3-5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y=f(f1(f2(x))). Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f1 – функция, располагаемая под квадратным корнем, f2(x)=2x+1×3-5 – дробная рациональная функция.

Определение 3

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))).

Определение 4

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)

Примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции вида y=(2x+1)2.

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x)=2x+1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f'(g(x))=((g(x))2)’=2·(g(x))2-1=2·g(x)=2·(2x+1);g'(x)=(2x+1)’=(2x)’+1’=2·x’+0=2·1·x1-1=2⇒(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=2·(2x+1)·2=8x+4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции.

Получаем:

y=(2x+1)2=4×2+4x+1

Отсюда имеем, что

y’=(4×2+4x+1)’=(4×2)’+(4x)’+1’=4·(x2)’+4·(x)’+0==4·2·x2-1+4·1·x1-1=8x+4

Результаты совпали.

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g(x).

Пример 2

Следует найти производные сложных функций вида y=sin2x и y=sin x2.

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x) – функцией синуса. Тогда получим, что

y’=(sin2x)’=2·sin2-1x·(sin x)’=2·sin x·cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g(x)=x2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y’=(sin x2)’=cos(x2)·(x2)’=cos(x2)·2·x2-1=2·x·cos(x2)

Формула для производной y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))) запишется как y’=f'(f1(f2(f3(…(fn(x))))))·f1′(f2(f3(…(fn(x)))))··f2′(f3(…(fn(x))))·…·fn'(x)

Пример 3

Найти производную функции y=sin(ln3 arctg(2x)).

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y=f(f1(f2(f3(f4(x))))) обозначим, где f, f1, f2, f3, f4(x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)

Получаем, что следует найти

1. f'(f1(f2(f3(f4(x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f'(f1(f2(f3(f4(x)))))=cos(ln3 arctg(2x)).
2. f1′(f2(f3(f4(x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f1′(f2(f3(f4(x))))=3·ln3-1arctg(2x)=3·ln2arctg(2x).
3. f2′(f3(f4(x))) в качестве производной логарифмической, тогда f2′(f3(f4(x)))=1arctg(2x).
4. f3′(f4(x)) в качестве производной арктангенса, тогда f3′(f4(x))=11+(2x)2=11+4×2.
5. При нахождении производной f4(x)=2x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1, тогда f4′(x)=(2x)’=2·x’=2·1·x1-1=2.

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)==cos(ln3 arctg(2x))·3·ln2 arctg(2x)·1arctg(2x)·11+4×2·2==6·cos(ln3 arctg(2x))·ln2 arctg(2x)arctg(2x)·(1+4×2)

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Пример 4

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y=tg2x+3tgx+1, тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g(x)=tgx, f(g)=g2+3g+1. Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f'(g(x))=(g2(x)+3g(x)+1)’=(g2(x))’+(3g(x))’+1’==2·g2-1(x)+3·g'(x)+0=2g(x)+3·1·g1-1(x)==2g(x)+3=2tgx+3;g'(x)=(tgx)’=1cos2x⇒y’=(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=(2tgx+3)·1cos2x=2tgx+3cos2x

Функция вида y=tgx2+3tgx+1 не считается сложной, так как имеет сумму tgx2, 3tgx и 1.

Однако, tgx2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g(x)=x2 и f, являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+(3tgx)’+1’==(tgx2)’+3·(tgx)’+0=(tgx2)’+3cos2x

Переходим к нахождению производной сложной функции (tgx2)’:

f'(g(x))=(tg(g(x)))’=1cos2g(x)=1cos2(x2)g'(x)=(x2)’=2·x2-1=2x⇒(tgx2)’=f'(g(x))·g'(x)=2xcos2(x2)

Получаем, что y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+3cos2x=2xcos2(x2)+3cos2x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Пример 5

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2x·(x2+1)

Данная функция может быть представлена в виде y=f(g(x)), где значение f является функцией логарифма по основанию 3, а g(x) считается суммой двух функций вида h(x)=x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33 и k(x)=ln2x·(x2+1). Очевидно, что y=f(h(x)+k(x)).

Рассмотрим функцию h(x). Это отношение l(x)=x2+3cos3(2x+1)+7 к m(x)=ex2+33

Имеем, что l(x)=x2+3cos2(2x+1)+7=n(x)+p(x) является суммой двух функций n(x)=x2+7 и p(x)=3cos3(2x+1), где p(x)=3·p1(p2(p3(x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3, а p1 – функцией возведения в куб, p2 функцией косинуса, p3(x)=2x+1 – линейной функцией.

Получили, что m(x)=ex2+33=q(x)+r(x) является суммой двух функций q(x)=ex2 и r(x)=33, где q(x)=q1(q2(x)) – сложная функция, q1 – функция с экспонентой, q2(x)=x2 – степенная функция.

Отсюда видно, что h(x)=l(x)m(x)=n(x)+p(x)q(x)+r(x)=n(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))+r(x)

При переходе к выражению вида k(x)=ln2x·(x2+1)=s(x)·t(x) видно, что функция представлена в виде сложной s(x)=ln2x=s1(s2(x)) с целой рациональной t(x)=x2+1, где s1 является функцией возведения в квадрат, а s2(x)=ln x – логарифмической с основанием е.

Отсюда следует, что выражение примет вид k(x)=s(x)·t(x)=s1(s2(x))·t(x).

Тогда получим, что

y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2 x·(x2+1)==fn(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))=r(x)+s1(s2(x))·t(x)

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Таблица производных сложных функций

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Определение

Сложная функция — это функция, аргументом которой является другая функция. {2} } \]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11.12.2021

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Читать статью можно без ограничений. Однако для копирования и использования текста нужно зарегистрироваться в экосистеме Автор24. Это бесплатно.

771 эксперт, который помогал студентам с темой

«Особенности управления распределительными центрами в деятельности розничной торговой организации»

право и юриспруденция …

право и юриспруденция

Обратиться за помощью

作业有问题吗？

Author24 会帮助你！

中文客服帮你下单

关注我们的微信公众号
获得中文服务

Елена Борисовна Калюжная. Таблица производных сложных функций // Образовательный портал «Справочник». — Дата последнего обновления статьи: 11. 12.2021. — URL https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differencial/tablica_proizvodnyh_slozhnyh_funkciy/ (дата обращения: 05.10.2022).

Добавлено в буфер обмена

Производная сложной функции – Энциклопедия по экономике

Цепное правило связывает частные производные сложной функции h = g о f с частными производными функций fug. Обсудим теперь следствие из цепного правила, которое связывает дифференциал h с дифференциалами g и /. Этот результат (известный как правило инвариантности Коши 1) весьма полезен при вычислении дифференциалов.  [c.132]
В одномерном случае первая и вторая производные сложной функции h = go/, заданной уравнением  [c.153]

Функция х тождественно равна нулю на множестве Т, а значит, все ее частные производные также равны нулю на Т. В частности, Dx( 0) = 0. Далее, поскольку h дифференцируема в IQ и g дифференцируема в (ZQ to), то по правилу производной сложной функции  [c. 181]

Автором учтены также изменения в математике, произошедшие в 90-х гг. XX в. — появление универсальных пакетов символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи отыскивать производные сложных функций, строить графики, вычислять непростые пределы, решать системы уравнений и многое другое.  [c.10]

Если у есть дифференцируемая функция от и (у = /(w)), а и есть дифференцируемая функция от х (и = м(ж)), то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции, т. е.  [c.116]

Более кратко сформулированное утверждение можно записать так производная сложной функции равна произведению производных, из которых она состоит.  [c.116]

П Вначале докажем формулу вычисления производной сложной функции в предположении Aw ф 0  [c.117]

Производная сложной функции 291  [c.291]

Производная сложной функции  [c. 291]

Частные производные, дифференциал и связь между ними. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции.  [c.15]

В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.  [c.14]

Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению неявной функции у = /(ж) удовлетворяет уравнению (14.3). Левая часть этого уравнения представляет собой сложную функцию от ж, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Воспользовавшись формулой (14.1) дифференцирования сложной функции, получаем  [c.298]

Второй метод определения оптимальной мощности предприятия – аналитический. Он основан на построении сложных экономико-математических моделей затрат, как функции объемов выпускаемой предприятием продукции. Оптимальную мощность в этом случае находят, приравнивая нулю первую производную рассматриваемой математической функции.  [c.168]

Газовая промышленность, включающая добычу газа, магистральные газопроводы, газоперерабатывающие заводы, машиностроение и другие подотрасли, представляет собой сложное хозяйство с неодинаковыми функциями и разной производственно-хозяйственной направленностью ее объектов. Однако все элементы газовой промышленности объединены основной целью — производство и доставка газа и его производных к потребителям в заданных планом количествах.  [c.121]

Таким способом решаются многие задачи предельного анализа экономики. Применение В.з. в экономике, в исследовании операций имеет ряд ограничений 1) поиск экстремума реально приходится вести не только в точках, где производные обращаются в нуль, но и на границе области допустимых решений 2) нередко применяются функции, для которых производные могут просто не существовать (напр. , разрывные, кусочно-линейные) 3) само решение системы уравнений, полученной путем дифференцирования основной функции, может оказаться не проще, а сложнее, чем поиск экстремума другими методами.  [c.41]

Физическое содержание задачи. Уравнения (1) описывают средние значения концентраций радиоактивных ксенона (ж1) и йода (ж2) в ядерном реакторе, причем используется простейшая точечная математическая модель. В действительности а 1 и ж2 — суть функции не только времени, но и трех пространственных координат, а уравнения (1) в более точной постановке задачи были бы заменены существенно более сложной системой уравнений с частными производными. Функция и (t) есть среднее значение потока нейтронов в реакторе. Это значение поддается регулированию и в данной постановке задачи играет роль управления. Ограничение и (t) 0 имеет очевидный физический смысл, ограничение и (t) 1 связано с техническими возможностями аппарата. А, В, С, D, А — некоторые заданные постоянные  [c.295]

Эти рассуждения возможны только потому, что функция потребления (2. 6) является простой в математическом отношении (имеет один максимум, вторая производная нигде не меняет своего знака). В более сложных случаях методы классического анализа дают отказ — обстоятельство, приведшее к созданию нелинейного программирования. Наша задача является простейшей задачей нелинейного программирования, не требующей применения тонких и сложных методов, характерных для этой области математической экономики.  [c.60]

РИС. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции “цена-доходность” на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т. д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации.  [c.139]

Проблема вычисления сил к моментов, действующих на твердое тело в жидкости, крайне сложна. Поэтому естественно использовать вариационное уравнение. (10.3) для определения сил и моментов, задавая функционалы Л”-и 3) из феноменологических соображений. Заметим, что между X и 3) имеется универсальная зависимость, в силу которой их нельзя задавать произвольно. Действительно, положим в (10.3) в момент времени t 8qK =0. Тогда для любых функций 8qK(r), обращающихся в нуль вместе со своими первыми и вторыми производными в начальный момент времени и равными нулю в момент времени /, должно выполняться равенство  [c.252]

О других формах классической теории оболочек. . Плотность энергии Ф является сложной нелинейной функцией от производных закона движения оболочки f (Jf, t). Возникает вопрос об упрощении выражения для Ф, учитывая, что оно является приближенным. Меры растяжения А квадратичны по г а и от этой нелинейности вряд ли можно избавиться в общем случае. Поэтому энергия растяжения будет полиномом по г а четвертой степени. Компоненты второй” квадратичной формы, а следовательно, меры изгиба Вар, зависят от производных г крайне сложным образом  [c.268]

Оценка потерь эффективности при помощи изменения потребительского излишка. Как было отмечено выше, для возможности сравнения наиболее широкого класса размещений от функции общественного благосостояния требуется наличие свойства отделимости. В частном случае такая отделимость обеспечивается, когда функция общественного благосостояния равна сумме полезностей отдельных экономических агентов. Сопоставимость функций, отражающих индивидуальные предпочтения, можно обеспечить, например, переходя к функции полезности в денежном выражении или к функции расходов. Непосредственная оценка функции расходов сложна из-за необходимости наличия большого массива данных для такой оценки. Поэтому благосостояние потребителей обычно анализируется на основе оценки функции спроса и производных из нее показателей.  [c.99]

Положения о подразделениях и ДИ являются производными от основополагающих и общих нормативно-технических документов, регламентирующих функционирование предприятия в целом. Такими документами могут быть классификаторы функций и управленческих решений, схемы функциональных взаимосвязей или регламенты по распределению прав и ответственности между органами управления высшего уровня, технологические карты принятия управленческих решений со сложной технологией, проекты организации рабочих мест служащих, регламенты рабочей недели, месяца руководителей, документы по делегированию прав и ответственности руководителей всех уровней управления, словари производственных ситуаций и варианты их решений и др.  [c.88]

Цепное правило для матриц Гессе дает выражение для вторых производных сложной функции h = go/ в терминах производных первого и второго порядка функций g и /. Следующая теорема дает представление второго дифференциала h в терминах первого и второго дифференциалов функций g и /.  [c.154]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [derivation] — операция определения производной рассматриваемой функции. Напр., производная линейной функции (Ьх + а У = Ъ, т.е. является константой производная степенной функции [х”) -= ах” 1 (>0), т.е. дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу или дифференцирование логарифмической функции (logoJt) = 1/х log/ (0 0), в частности (In x) = Их. Для Д.ф., представляющей собой комбинацию элементарных функций, применяются специальные правила напр., производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной для дифференцирования произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений (производная первой функции на вторую функцию, плюс первая функция на производную второй функции — (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + + u(x)v(x) ). Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций, правила вычисления производных высших порядков, а также правила Д.ф. многих переменных.  [c.92]

Производная суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной функции. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.  [c.14]

Фактическое вычисление (численное, например) производной Гато (10) существенно сложнее вычисления производных Фреше для функционалов, рассмотренных в 3 вычисление и использование последних требует однократного решения краевой задачи типа (3.8) и запоминания функции одного переменного ф (t). Для того чтобы работать с производной Гато, нужно вычислить и запомнить функцию двух переменных ф (t, t ). Вводя на М некоторую достаточно плотную конечную сетку t lt t z,.. ., t t, мы можем получить достаточно точную аппроксимацию производной Гато после /-кратного решения краевых задач типа (8), запомнив функции ф (t, t j), ф (t, t 2),. . ., ф (t, t t). Хотя эта процедура отпугивает своей громоздкостью, именно она использовалась автором в многочисленных расчетах в сочетании с некоторыми дополнительными приемами, этот подход позволил эффективно решить ряд сложных задач с функционалами типа (1), причем расход машинного времени был сравнительно невелик. Теперь обсудим одну нестрогость, допущенную в проведенном выше анализе. Речь идет о переходе  [c.36]

Однако и сведение вариационной задачи (1)—(3) к конечномерной задаче минимизации Ф (а) еще не дает метода, поскольку поиск минимума Ф (а) оказывается чрезвычайно трудоемким и большие затраты машинного времени приводят к довольно ненадежным результатам. Причины этого подробно обсуждаются в 25, здесь же заметим только, что при очень малом е в функционале (4) основную роль играют невязки х—/ (х, и), на фоне которых теряется исходный подлежащий минимизации функционал F0. Основной целью процесса поиска минимума Ф (а) является минимизация х—/ (х, и) , и лишь после того как эта величина более или менее минимизирована, принимается во внимание значение F0. Другими словами, определяемая конструкцией (4) функция Ф (а) оказывается очень негладкой, и для нее не удается построить эффективный процесс минимизации. Именно с этим обстоятельством связана та довольно сложная и громоздкая конструкция поиска минимума Ф (а), которая опирается на обширную информацию, включающую не только значения функции Ф (а) и ее производных, но и значения производных отдельных составляющих Ф (а) компонент.  [c.137]

Вычислительные методы предназначены прежде всего для решения задач, возникающих в приложениях. Авторами таких задач являются инженеры, физики, медики и т. д., т. е. специалисты, не искушенные в изобретении хитроумных примеров функций, не имеющих, например, производной нигде, и т. д. Для таких специалистов термины функция и формула (имеется в виду формула не очень сложная) — практически равнозначны. Поэтому, на первый взгляд, от них не следует ожидать задач с недифференцируемыми функциями. Однако это не так. Есть две весьма популярные в приложениях операции, с помощью которых из сколь угодно гладких функций образуются негладкие. Это операции max и . Вычислитель должен быть готов к задачам минимизации функций  [c.407]

В любой сложной системе существует многоуровневая иерархи ческая структура подсистем и их элементов, а следовательно должна быть и многоуровневая организационная структура. Нг каждом уровне — свои управленческие задачи, функции, службы свои права, обязанности и ответственность, свой уровень компе тентности и самостоятельности. Но самостоятельность предполагает возможность принятия оптимальных на данном уровне организационной структуры планово-управленческих решений, кото рые должны находиться в рамках интересов всей системы в целом А для этого нужен объективный критерий оптимизации, производный от критерия вышестоящего звена.  [c.196]

Любая дополнительная единица продукции вызывает увеличение затрат фирмы на 66,90. Прирост прибыли определяется несколько сложнее, поскольку она изменяется при увеличении объема выпуска. Коэффициент наклона (математически первая производная) функции суммарного дохода компании “Almeria” определяется из уравнения  [c. 300]

Комплексный анализ

←Комплексный анализ→

---

Понятие комплексной производной лежит в основе теории комплексных функций. Определение комплексной производной аналогично производная действительной функции. Однако, несмотря на внешнее сходство, сложная дифференциация это совсем другая теория.

Комплексная функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0\in \mathbb C$ тогда и только тогда если существует следующий коэффициент предельной разности

\begin{eqnarray}\label{diff01} f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}. \end{eqnarray}

В качестве альтернативы, полагая $\Delta z = z-z_0$, мы можем написать

\begin{eqnarray}\label{diff02} f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z_0+\Delta z) -f(z_0)}{\Delta z}. \end{eqnarray}

Мы часто опускаем нижний индекс у $z_0$ и вводим число \[\Delta w = f(z+\Delta z)-f(z).\] что означает изменение значения $w=f(z)$, соответствующее изменению $\Delta z$ в точке, в которой оценивается $f$. Тогда мы можем записать уравнение (\ref{diff02}) как \[\ frac{d w}{d z}= \lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}.\]

Несмотря на то, что формула (\ref{diff01}) для производной по форме идентична формуле производная функции с действительным знаком, важно отметить, что $f'(z_0)$ следует из двумерного предела. Таким образом для существования $f'(z_0)$ соответствующий предел должен существовать независимо от направления из которой $z$ приближается к предельной точке $z_0$. Для функции одной действительной переменной у нас есть только два направления, то есть $x\lt x_0$ и $x\gt x_0$.

Рисунок 1: Существует бесконечное множество направлений для приближения к $z_0$.

Замечательной чертой комплексной дифференциации является то, что существование одного комплекса производная автоматически подразумевает существование бесконечного множества! Это отличается от случая функции действительной переменной $g(x)$, в которой $g'(x)$ может существовать без существования $g”(x)$.

---

Уравнения Коши-Римана

Теперь давайте посмотрим на замечательное следствие определения (\ref{diff01}). Сначала посмотрим, что произойдет, когда подходим к $z_0$ по двум простейшим направлениям – горизонтальному и вертикальному. Если мы устанавливаем $$z= z_0 + h = (x_0+h)+iy_0,\quad h\in \mathbb R,$$ затем $z \rightarrow z_0$ вдоль горизонтальной линии как $h\rightarrow 0.$ Если мы запишем $f$ через его действительную и мнимую составляющие, то есть $$f(z) = u(x,y)+iv(x,y),$$ тогда $$f'(z_0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$ тогда

\begin{выравнивание*} f'(z_0)&= & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h + iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h} \\ &= & \lim_{h \стрелка вправо 0} \left[ \frac{u \left( x_0 +h, y_0 \right) – u \left( x_0 , y_0 \right)}{h}\right]+i \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{v \left( x_0 +h, y_0 \right) – v \left( x_0 , у_0 \справа)}{ч}\справа] \\ &= & u_x(x_0, y_0)+ i v_x(x_0,y_0) \end{eqnarray*}

где $u_x(x_0,y_0)$ и $v_x(x_0,y_0)$ обозначают частные производные первого порядка по к $x$ функции $u$ и $v$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$. Если теперь мы установим $$z = z_0+ik = x_0 + i(y_0+k), \quad k\in \mathbb R,$$ затем $z\rightarrow 0$ вдоль вертикальной линии как $k\rightarrow 0$. Поэтому у нас также есть

\begin{выравнивание*} f'(z_0)&= & \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(z_0+ik)-f(z_0)}{ik} = \lim_{k \rightarrow 0} \left[ -i \frac{f(x_0 + i(y_0+k))-f(x_0+iy_0)}{k} \right] \\ &= & \lim_{k \стрелка вправо 0} \left[ \frac{v \left( x_0 , y_0 + k\right) – v \left( x_0 , y_0 \right)}{k}-i \frac{u \left( x_0 , y_0 +k \right) – u \left( x_0 , y_0 \right)}{k}\right] \\ &= & v_y(x_0, y_0)- i u_y(x_0,y_0) \end{eqnarray*}

, где частные производные от $u$ и $v$ на этот раз относятся к $y$. Приравнивая действительную и мнимую части этих двух формул для комплексной производной $f'(z_0)$, мы замечаем, что действительная и мнимая компоненты $f(z)$ должны удовлетворять однородная линейная система уравнений в частных производных: $$u_x=v_y, \quad u_y=-v_x.$$ Это Уравнения Коши-Римана названы в честь знаменитого девятнадцатого математики века Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман, два из основоположники современного комплексного анализа.

Теорема 1: Комплексная функция $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ имеет комплексную производную $f'(z)$ тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части равны непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана \begin{выравнивание*} u_x=v_y, \quad u_y=-v_x \end{выравнивание*} 9n \log z$), а $c$ — произвольная комплексная константа. Экспоненциальные формулы для комплексных тригонометрических и гиперболических функций следует, что они также удовлетворяют стандартным правилам

\begin{выравнивание*} \frac{d}{dz}\sin z &=& \cos z, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z.\\ \frac{d}{dz}\sinh z &=& \cosh z, \quad \frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z. \end{eqnarray*}

Формулы дифференцирования сумм, произведений, отношений, обратных величин и композиций сложных все функции идентичны своим реальным аналогам с аналогичными доказательствами. Это означает что вам не нужно изучать какие-либо новые правила для выполнения сложной дифференциации!

---

Аналитические функции

Пусть $f:A\стрелка вправо \mathbb C$, где $A\subset \mathbb C$ — открытое множество. Функция называется аналитическим на $A$, если $f$ дифференцируема в каждом $z_0\in A$. слово «голоморфный», которое иногда используется, является синонимом слова «аналитический». Фраза “аналитический в $z_0$” означает, что $f$ является аналитическим в окрестности $z_0$

ДАЛЕЕ: Логарифмическая функция

Производная и частная производная сложных функций

Задавать вопрос

Спросил 5 лет, 2 месяца назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 21k раз

$\begingroup$

Я знаю формальное определение производной функции с комплексным значением и как ее вычислить (так же, как и для функций с действительным знаком), но после решения некоторых задач я чувствую, что могу просто взять частичную производная по $x$ функции для вычисления производной (чтобы она не зависела от $y$?), в отличие от того, чтобы сначала взять производную по $z$, а затем заменить. Это может быть немного неясно, поэтому я приведу пару примеров 92 – 6xy$ и $\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy$.

Похоже, что я мог бы просто взять частные производные по $x$ полученного комплексного числа и игнорировать $y$, чтобы найти производные. Почему это правда?

• комплексный анализ

$\endgroup$

$\begingroup$

Соотношение, которое вы наблюдаете, точно соответствует тому, как мы приходим к уравнениям Коши-Римана для действительной и мнимой частей аналитической функции.

Комплексная производная функции $f:U\to{\bf C}$ в $z_0\in U$, где $U$ — открытое подмножество ${\bf C}$, определяется формулой $$ f'(z_0)=\lim_{z\to z_0:z\in U\обратная косая черта\{z_0\}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\tag{1} $$ Если ${f}$ комплексно дифференцируема в ${z_0}$, то путем специализации предела (1) для переменных ${z}$ вида ${z = z_0 + h}$ для некоторого ненулевого вещественного $ {h}$ около нуля имеем $$ \lim_{z\to z_0:z\in U\обратная косая черта\{z_0\}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} =\lim_{h\to 0:h\in{\bf R}\обратная косая черта\{0\}}\frac{f((x_0+h)+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h} =u_x(z_0)+v_x(z_0)=:\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) $$ где $z_0=x_0+iy_0$ и $f=u+iv$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Все рассмотренные вами функции аналитические, поэтому ваша $x$-производная будет совпадать с комплексной производной.

Аналитичность гарантирует, что комплексная производная совпадает с «частной» производной относительно действительной/мнимой оси. Формально аналитичность означает, что комплексный предел $$\lim_{z\to 0} \frac{f(z_0 + z) – f(z_0)}z$$ не зависит от того, как $z\to 0$. В частности, вы можете просто взять предел вдоль действительной оси (что будет соответствовать вашей производной $x$) и получить тот же результат. Но вы также можете взять предел вдоль воображаемой оси и должны получить тот же результат, что и раньше. Аналитика гарантирует это. Свойство совпадения этих пределов обеспечивается уравнениями Коши — Римана, эквивалентными аналитичности (для непрерывной функции на открытом множестве). 92\to\mathbb R$ дифференцируема по Фреше или нет. Следовательно, для неаналитической функции комплексной производной не будет, и играет роль, берете ли вы $x$-производную или $\mathrm{i}y$-производную.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Существует различие между общей функцией двух переменных f(x,y) и комплексной функцией f(z)=f(x+iy). В первом случае изменения функции с x и y совершенно независимы, тогда как в комплексной функции переменная (x + iy) полностью трансформируется. Соответственно, все, что происходит с x, происходит и с y (и, следовательно, также с z) в терминах наклона, который является (частной) производной. Надеюсь это поможет.

Масуд

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

сложных производных, представление Виртингера и цепное правило

Два дня назад в Лаборатории Джулии Джарретт, Спенсер, Алан и я обсуждали наилучшие способы выражения производных для автоматического дифференцирования в комплекснозначных программах. Вдохновленный этим обсуждением, я хочу поделиться своим пониманием предмета и, в конечном счете, представить цепное правило для сложных производных.

Производная

\mathbb{R}реалистичная  точка зрения: производная — это действительное число, которое показывает, насколько быстро изменяется значение переменной.

D = \ гидроразрыв {dy} {dx}
Производные очень полезны! А именно, если вы знаете производную y по x, вы можете написать: dy = Ddx

Это означает, что можно рассчитать изменение y относительно небольшого изменения x.

Производные функции: якобиан

\mathbb{Реалистичный  вид: производные функции представляют собой набор действительных чисел, которые говорят вам, насколько быстро выходы функции изменяются по отношению к ее входам. 92 :

J = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_1} {dx} & \ frac {\ partial f_1} {dy} \ \ frac {\ partial f_2} {dx} & \ frac {\ partial f_2} {dy} \end{bmatrix}

Якобианы очень полезны! Если вы знаете якобиан функции, то вы можете вычислить изменение функции при небольшом изменении любого из ее входных параметров.

\begin{bmatrix}df_1 \ df_2 \end{bmatrix} = J\begin{bmatrix}dx \ dy \end{bmatrix}

Производные комплексной функции: якобиан

Комплексное число x+iy состоит из двух частей: действительной и мнимой. Тогда для комплекснозначной функции мы можем рассматривать действительную и мнимую части как отдельные как на входе, так и на выходе. 92

Следовательно,

J = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Re}} & \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Im}} \ \ frac {\ partial f_ {Im} }{dz_{Re}} & \frac{\partial f_{Im}}{dz_{Im}} \end{bmatrix}

Итак, еще раз: каждая запись в матрице Якоби дает изменение функции, когда соответствующие входные данные изменяются на небольшую величину.

\begin{bmatrix}df_{Re} \ df_{Im} \end{bmatrix} = J\begin{bmatrix}dz_{Re} \ dz_{Im} \end{bmatrix}

Нативный вид для сложных функций: Wirtinger 9Матрица {2m} в поле \mathbb{C}. Итак, вот где вид Wirtinger вступает в игру.

Вместо производных \frac{\partial f}{dz_{Re}} и \frac{\partial f}{dz_{Im}} мы будем использовать следующие производные:

\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial z_{Re}} – i \frac{\partial f}{\ частичное z_{Im}} \right) \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} + i \ frac {\ partial f} {\ парциальное z_ {Im}} \ справа)

Пусть f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} и рассматривается как функция z и \bar z. С приведенными выше производными мы можем выразить J как:

J = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar z}\end{bmatrix}

Давайте посмотрим, дает ли эта версия матрицы Якоби изменения в функции по отношению к изменениям ее входных данных, как обычно.

df=J\begin{bmatrix}dz \ d\bar z \end{bmatrix}

Здесь dz = dz_{Re}+idz_{Im}, d\bar z = dz_{Re}-idz_{Im} — бесконечно малые изменения, которые мы внесли во входные данные, а df=df_{Re}+idf_{Im} — соответствующее изменение выпуска.

После того, как мы подставим J в приведенное выше уравнение, мы получим полное дифференциальное уравнение с помощью операторов \frac{\partial}{dz} и \frac{\partial}{d \bar z}, вы получите общее уравнение производной:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial z} dz + \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} d \ bar z

Если мы также подставим производные \frac{\partial f}{dz_{Re}} и \frac{\partial f}{dz_{Im}}, мы получим правильное полное дифференциальное уравнение с действительными производными операторами:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} dz_ {Re} + \ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Im}} dz_ {Im}

Итак, мы показали, что уравнение Якоби, которое мы пишем для уравнения Виртингера, действительно верно!

Резюме: Если мы представим комплексную функцию f(z_1,z_2,. ..) как f(z_1,\bar z_1,z_2\bar z_2,…), уравнения для производных Виртингера точно такие же, как и тот, который мы знаем из исчисления действительных функций.

Цепное правило для производных Виртингера

Учитывая f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} и g: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}, мы хотели бы получить тождества для \frac {\ partial (f \ circ g)} {dz} и \ frac {\ partial (f \ circ g)} {d \ bar z}.

Запишем полный дифференциал для g(z):

dg = \ frac {\ partial g} {\ partial z} dz + \ frac {\ partial g} {\ partial \ bar z} d \ bar z

Тогда полный дифференциал для \bar g(z):

d \ бар г = \ гидроразрыва {\ парциальное \ бар г} {\ парциальное z} dz + \ гидроразрыва {\ парциальное \ бар г} {\ парциальное \ бар z} d \ бар z

Запишем полный дифференциал для f(g):

d (f \ circ g) = \ frac {\ partial f} {\ partial g} dg + \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar g} d \ bar g

Подставьте dg и d\bar g в уравнение:

d (f \ circ g) = (\ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {dz} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \ bar g} {d z}) dz + (\ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {d \ bar z} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \bar g}{d \bar z})d\bar z

Итак, это правила цепочки, и они точно такие же, как те, которые мы знаем для реальных функций! (предполагая, что f(g,\bar g), g(z,\bar z) являются реальными функциями с несколькими переменными)

\ frac {\ partial (f \ circ g)} {dz} = \ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {dz} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ гидроразрыв {\ парциальное \ бар г} {d z} \ frac {\ partial (f \ circ g)} {d \ bar z} = \ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {d \ bar z} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \ bar g} {d \ bar z}

Производные Виртингера полезны

Вместо того, чтобы вычислять производные в стандартных направлениях Im и Re, мы каким-то образом вычисляем их в направлениях \hat z и \hat {\bar z}. Этот вид упростит ваше мышление во многих вещах

Ex-I: Голоморфные функции

Для голоморфных функций \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0. Грубо говоря, это означает, что у функции нет разных зависимостей от z_{Re} и {z_{Im}}, она больше связана с z в целом. Такими функциями являются f(z) = 2z, f(z) = exp(z),… 92= ​​z \ бар z

Как вы можете догадаться, производные Wirtinger:

\ гидроразрыв {\ парциальное е} {\ парциальное г} = \ бар г \ гидроразрыв {\ парциальное е} {\ парциальное \ бар г} = г

Заключение

Итак, выразительность производных Виртингера замечательна. Каждое уравнение с производными Виртингера становится тем же уравнением, которое вы узнали в реальном исчислении. Мы увидим, будет ли это также полезно для целей AD…

Ссылки

Участники Википедии. «Производные Виртингера». Википедия, Бесплатная энциклопедия . Википедия, Бесплатная энциклопедия, 8 января 2019 г. Интернет.