Разностные уравнения – Справочник химика 21
После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]Этой системе предположений соответствует дифференциально-разностное уравнение, которое должно решаться при следующих граничных условиях [c.105]
Трудности решения системы конечно-разностных уравнений в первую очередь обусловлены ее большой размерностью, равной числу дискретных точек, в которых ищутся значения функций. Размерность 25 387 [c.387]
При фиксированной размерности трудоемкость решения системы конечно-разностных уравнений зависит от типа разностной схемы.
С учетом выражения (V, 147) дифференциальное уравнение (V, 145) теперь может быть заменено следующим разностным уравнением [c.216]
Соответствующее разностное уравнение [c.288]
В соответствии с другими условиями процесса и физическими свойствами веществ разностные уравнения принимают вид [c.290]
После того как определено радиальное распределение температуры, можно вычислить степень превращения в объеме (2лг Аг Аг) при помощи разностного уравнения
На точность решения влияют в основном две особенности разностных уравнений. Первая состоит в ошибке приближения, т. е. в расхождении между дифференциальным уравнением в какой-либо точке и разностным, предположительно относящимся к этой точке.
Другой особенностью является порядок разностного уравнения, относящегося к осевому отрезку. Примером может служить решение обычного дифференциального уравнения первой степени. Пусть требуется решить уравнение [c.189]
Это приводит к разностному уравнению [c.189]
Если можно оценить значение у для первого интервала, то решение разностного уравнения имеет вид [c.190]
Погрешность, связанную с приближением, можно оценить путем сравнения величины, рассчитанной при помощи разностного уравнения, с ее точным значением. [c.191]
Бик приводит два практических способа составления разностных уравнений для реакторов с неподвижным слоем. Простой способ заключается в применении уравнения с нисходящими разностями для осевой производной и уравнения с центральными разностями для радиальных производных. Главные члены в ошибке приближения пропорциональны к и где Л и 1 —длины
Разностное уравнение, соответствующее (II, 149), имеет вид [c.
192]
На основании этих выражений, пользуясь методикой Бика, можно составить разностные уравнения [c.193]
Приближение первой производной имеет аналогичный вид. При использовании выражений, подобных выражениям для радиальных производных, и при приближении осевой производной с помощью центральной разности разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению [c.195]
Коэффициенты со и т] не зависят от температуры и состава и. могут использоваться в каждой то ке сетки. Выражения, входящие в величину S [см. уравнение (И, 158) и следующие], являются функциями зависимых переменных. Весьма важно знать коэффи- циенты при зависимых переменных, так как при новом профиле они появляются в разностном уравнении в трех точках сетки. Таким способом можно конкретно разрешить систему уравнений.
Граничные условия учитываются при составлении уравнений для точек, расположенных вблизи оси и стенки так же, как и в уравнениях с нисходящими разностями.
В радиальном направлении берутся два отрезка. Для данного случая разностные уравнения имеют вид [c.200]
Математическим описанием колонны является система уравнений, включающая уравнения баланса общего и покомпонентного, уравнения для фазового равновесия. Уравнения покомпонентного материального баланса тарелок можно рассматривать как систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Неизвестными здесь будут составы и отношение потоков пара и жидкости.
Другой подход к решению задачи минимизации заключается в линеаризации правой части разностного уравнения (3.165) с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы в этом случае имеет вид 0 — 0 = А +
Системы нелинейных интегро-дифференциальных или конечно-разностных уравнений, отражающих физико-химическую сущность технологических процессов [c.58]
Запишем систему разностных уравнений материального баланса, условие фазового равновесия и граничные условия. [c.277]
Уравнения (7.37) — (7.44) составляют исходную систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Эта система содержит 2т + 1 неизвестных. Количество кубового продукта и дистиллята определяется исходя из заданных условий разделения и уравнений полного и покомпонентного баланса (для i = 1) колонны при заданном начальном профиле концентраций по высоте колонны.
Уравнения (7.173)—(7.175) и (4.60) составляют систему нелинейных разностных уравнений 2А + 2 порядка относительно 2А + 2 неизвестных XiJ, Vj ж Lj (I = 1, 2,. .., к). Воспользовавшись уравнением (7.173), соотношением
Уравнения (1-61) — (1-68) составляют исходную систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Эта система содержит 2т 4- 1 неизвестных. Количество кубового продукта и дистиллята определяется исходя из заданных условий разделения и уравнений полного и покомпонентного баланса (для = 1) колонны при заданном начальном профиле концентраций по высоте колонны. Подстановкой выражений (1-67) в уравнения (1-61) — (1-68) ис- [c.
62]
Анализ функционирования ХТС, для которой известны математические модели отдельных элементов и технологическая топология, состоит в расчете полной математической модели для определения параметров выходных технологических потоков при заданных технологических условиях и параметрах входных потоков системы. Сложные ХТС включают большое число элементов, описываемых многомерными дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Поэтому даже простой однократный расчет математических моделей таких систем на современных ЦВМ занимает много времени и приводит к многочисленным трудностям как при программировании задач, так и при технической эксплуатации вычислительных машин. Указанные трудности обусловлены многомерностью решаемых задач, а также малым объемом памяти ОЗУ и низким быстродействием применяемых в настоящее время ЦВМ. Синтез оптимальных ХТС связан с неоднократным решением задач анализа их функционирования или полного расчета.
Пример 10.
При проектировании ректификационных установок определение таких технологических параметров, как флегмовое число,число тарелок, положение тарелки питания, производится по некоторым критериям путем проведения многократнйгх расчетов с использованием определенной стратегии (см. с. 146). Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным затратам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно приведением ее к линейному виду и определением частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число. Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [18].
Решение уравнения диффузионной модели движения жидкости на тарелке получено в предположении линейной равновесной зависимости.
Однако для других случаев такое решение можно получить лишь численно. Особенно это относится к многокомпонентной ректификации. Поэтому практически целесообразнее использовать описание моделей структуры потоков конечно-разностными уравнениями, которые в линейном приближении равновесных зависимостей (что часто справедливо в пределах точности вычислений) на ступени разделения позволяют получить несложные с вычислительной точки зрения зависимости. [c.89] Следует отметить, что исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциаль-ными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру.
Формально замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. При подобных преобразованиях исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования. [c.202]
Как уже подчеркивалось ранее, система конечно-разностных уравнений является алгебраической и поэтому к ней применимы известные методы решения алгебраических уравнений. В то же время отметим, что каждое неявное конечно-разностное уравнение содержит только три значения искомой функции в соседних узлах. Вследствие этого матрица коэффициентов системы конечно-разностных уравнений имеет специальный, так называемый, трехдиагональный вид.
Для системы (13.9) матрицей является [c.389]
Если принять кУак=2, то разностное уравнение запишется в простом виде [c.400]
Второй приближенный способ составления разностных уравнений, также приводимый Биком, требует несколько более сложного способа решения, но зато позволяет брать более длинные интервалы. Установлено, что приближенное выражение осевой производной при помощи центральной разности может быть использовано, если радиальные производные приближать при помощи соответствующих средних разностей, вычисленных по новому и предшествующему профилю (одному или нескольким). Для вычисления (ra+U o профиля соответствующая средняя величина, используемая для радиальной производной, должна иметь одинаковую долю в (п+1)-ом и п — 1)-ом профилях, а остаток — в и-ом. Ошибка приближения здесь мала, так как система симметрична относительно п-го профиля, в котором дифференциальное уравнение подвергалось упрощению. Если доли в профилях (л + 1) и п— 1) больше Д, а в п-ом соответственно меньше Д, то такая разностная схема устойчива при любой длине интервала “.
[c.194]
Величины, необходимые для вычисления членрв, стоящих в правых частях разностных уравнений, приведены в табл. 6. [c.201]
Концентрацию компонента А в точке (г + /з) можно для простоты принять равной средней величине между А и Л +1. Нелинейный член g T) может быть записан в форме линейного разностного уравнения по методу Дугласане накладывающего никаких ограничений на сходимость и относительные размеры Ар и А . Величину Г. 1 можно выразить приближенным равенством [c.206]
По утверждению Розенберга, Даррилла и Спенсера , уравнения этого типа, образующие трехдиагональную матрицу, легко решаются по методу Томаса . Разностные уравнения для температуры, составленные по найденным значениям величин А на (I + 1)-ом уровне, будут иметь аналогичный вид. [c.207]
Производные, входящие в уравнение ( .9), рекомендуется вычислять по следующим разностным уравнениям четырехточеч ного шаблона [c.
150]
В линейном программировании пользуются понятием об опорных решениях. К ним относят такие базисные решения, у которых все базисные переменные являются положительными, так как обычно в задачах линейного программирования нужно, чтобы x >0. Довольно очевидно, хотя может быть и доказано [8], что оптимальное решение совнадает с одним из опорных. Является ли базисное решение опорным, легко установить по виду единичного базиса — системы (VI.31). Поскольку с1 ,. .., определяют значения базисных переменных, то если среди (1 есть отрицательные величины, базисное решение не будет опорным. Можно перейти от такого базисного решения к опорному следующим образом выберем из с1 отрицательное наибольшее по абсолютной величине, и вычтем уравнение для с1 из остальных, включаюпщх отрицательные Тогда свободные члены разностных уравнений станут положительными. [c.202]
Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным зат4затам машинного времени.
Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно путем приведения ее к линейному виду и определения частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число.Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [20]. [c.277]
Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации.
Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]
Алгоритм проектного расчета. Как отмечалось ранее, математическое описание колонны представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений высокой размерности, решение которой производится итеративными методами, причем скорость сходимости зависит как от начального приближения, так и от режима работы колонны. Поэтому исключение итеративного расчета по отдельным переменным в процессе поиска оптимального решения позволит существенно сократить объем вычислений. Ниже предлагается метод расчета, основанный на формулировании задачи как системы нелинейных разностных уравнений с граничными условиями, решение которой осуществляется по методу квазилинеаризацпп с использованием принципа суперпозиции.
Особенностью метода является пригодность для расчета колонн любой сложности с учетом всевозможных алгоритмов описания отдельных явлений (фазовое равновесие, кинетика массопередачи и т. д.), а также возможность исключения итерации по поиску флегмового потока, обеспечивающего заданное качество продуктов разделения при известном числе ступеней разделения. Оптимальное положение тарелки питания в смысле некоторого критерия (например, термодинамического или технологического) определяется непосредственно в ходе потарелоч-ного расчета колонны. [c.328]
Ячеечная модель описывается системой дифференциально-разностных уравнений, решение которых отиосптельпо просто может быть осуществлено на ЦВМ, [c.417]
Разностное уравнение первого порядка – Энциклопедия по машиностроению XXL
Разностное уравнение первого порядка 227 [c.313]Мы имеем таким образом разностное уравнение первого порядка для q , а именно,
[c.
51]
Это—линейное разностное уравнение первого порядка. [c.27]
Другой способ построения разностных уравнений состоит в дискретизации дифференциальных уравнений. При этом дифференциальное уравнение первого порядка аппроксимируется разностным уравнением первого порядка, дифференциальное уравнение второго порядка — разностным уравнением второго порядка и т. д. При замене дифференциалов левыми разностями справедливы следующие соотношения [c.28]
Данному выше определению марковского процесса соответствует сигнал, описываемый скалярным разностным уравнением первого порядка [c.243]
Последнюю можно записать в виде векторного разностного уравнения первого порядка [c.244]
Такого типа сигнал х (к) называют векторным марковским процессом первого порядка. Случайный сигнал, зависящий от любого конечного числа предшествующих значений, всегда можно описать как векторный марковский процесс, представив его в форме векторного разностного уравнения первого порядка.
[c.244]
Методика определения границ зоны нечувствительности для разностных уравнений первого порядка изложена в книге [2.22], гл. 27. [c.454]
Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного отображения поворота, положив для упрощения записи е = 1 [c.212]
Этот критерий применим к динамическим системам, поведение которых точно или приближенно может быть описано разностным уравнением первого порядка, известным на новом жаргоне как одномерное отображение [c.171]Второе соотношение (4.40) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка [14]. Напомним, что уравненпя такого типа уже ранее рассматривались в 5 гл. 4. [c.294]
Действительно, матрица T как функция номера узла / удовлетворяет разностному уравнению первого порядка
[c.
232]
Исходная система дифференциальных уравнений (5.8) с граничными условиями (5.10) заменяется системой трех нелинейных разностных уравнений второго порядка и одного разностного уравнения первого порядка [c.258]
Рассмотрим наиболее простой пример построения разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. [c.59]
Построение разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений более высоких порядков, а также дифференциальных уравнений в частных производных принципиально не отличается от их построения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Тем не менее применительно к уравнениям в частных производных возникают и некоторые специфические трудности, связанные, например, с выбором сетки, большим разнообразием возможных вариантов построения разностных схем, выбором способов их решения и т. д. [c.60]
Анализ показал влияние на решение так называемой счетной теплопроводности , являющейся следствием одностороннего представления первых производных в уравнении энергии.
Отбрасываемая добавка при разностной аппроксимации первого порядка точности имеет смысл дополнительного диффузионного переноса. Влияние счетной теплопроводности на численный результат было определено при применении в качестве теста чисто противоточного теплообменника, для которого известно аналитическое решение.
[c.212]Особенностью расчета кольцевых элементов является то обстоятельство, что большинство задач по определению напряженного состояния этих элементов сводится к решению ряда не зависящих одна от другой систем обычных дифференциальных уравнений первого порядка при одной независимой переменной. Поэтому основное внимание уделяется традиционным методам расчета, основанным на аналитическом или численном решении дифференциальных уравнений. Эти методы дают существенную экономию машинного времени ЭВМ и позволяют избежать трудоемкой работы по подготовке исходной информации, а также облегчают анализ и расшифровку результатов расчета. Кроме того, аналитические решения позволяют наглядно представить взаимную зависимость различных параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние конструкции, и тем самым облегчают работу конструктора по выбору оптимальной схемы.
В некоторых задачах традиционные методы либо не применимы, либо не эффективны. Как правило, это имеет место в тех случаях, когда в конструкции сопрягаются по линии или площади кольцевые элементы и элементы другой конфигурации. В таких задачах могут быть использованы различные модификации разностных и вариационно-разностных методов. Наиболее широко в настоящее время применяется метод конечных
[c.3]
За исключением случаев очень быстрых переходных процессов, может оказаться необходимым прослеживать решение задачи в течение нескольких секунд или даже минут. В этом случае возникают трудности по следующим причинам. Уравнения (9.8) и (9.9) представляют собой систему связанных между собой J -Ь 1 дифференциальных уравнений первого порядка, где J — полное число групп запаздывающих нейтронов. Однако решение этих уравнений стандартным разностным алгоритмом метода Рунге — Кутта неэффективно, так как для обеспечения приемлемой точности решения необходимо использовать малые шаги по времени, определяемые временем жизни мгновенных нейтронов [22].
Поэтому были разработаны специальные алгоритмы и программы для интегрирования, с помощью которых можно получить решения задач [23].
[c.381]
Коэффициент диффузии D может зависеть от концентрации. Левая часть уравнения (11.1) заменяется с помощью конечных элементов соответствующим функционалом, а правая – неявным конечно-разностным соотношением первого порядка. [c.308]
Разностную оценку производных типа (4.64) можно использовать для числовых расчетов дифференциальных уравнений, в которые входят лишь производные первого порядка. При наличии производных второго порядка, например, в уравнениях электромаг- [c.110]
Для вычисления искомых величин на стенке r=F(x, ф) в узле п+1, М, i можно использовать одностороннюю схему первого порядка точности. Воспользуемся уравнением (6.52) для компонент k—, 3, 4, 5 разностные уравнения в этом случае имеют вид [c.176]
Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.
11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате.
[c.76]
Обсуждаемая в предыдущем параграфе двумеризованная обобщенная цепочка Тода тесно связана с целым рядом нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого порядка по производным. В частности, конечная система вида [c.164]
Предположим, что на Ь существует меллиновское обращение функции и (р), а в полосе со — 15 Вер5 со она регулярна п стремится к нулю при 1шр оо (эти предположения проверяются ниже). Тогда по теореме Коши (см. [5], с. 49), не изменяя подынтегральной функции в первом интеграле (5.8), можно заменить 1 на и удовлетворить соотношению (5.
8), решив разностное уравнение первого порядка
[c.217]
Разностный аналог уравнения неразрывности приводит к разностному уравнению первого порядка. При конкретном решении задачи система нелинейных уравнений заменяется линейной системой разностных уравнений. Здесь к — номер терации при отыскании решения в итерационном цикле. [c.148]
Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5].
Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей.
[c.17]
Выражение (4.29) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для решения которой используется известный метод Кранка-Николсона, основанный на арифметическом усреднении производной зависимой переменной в начале и в конце каждого шага по времени. Результирующая система уравнений, реализующая разностную схему Кранка-Николсона, имеет вид [c.91]
Краевую задачу (7) — (11) будем решать при помощи численных методов. Именно, перейдем от указанной системы уравнений к уравнениям в конечных разностях, используя явную схему конечно-разностной аппроксимации первого порядка, согласно методике, описанной в разд. 12,5 книги [9]. Кроме того, поскольку мы предполагаем задать скачок скорости на поверхности полупространства, эту систему разностных уравненйй дополним системой уравнений, в соответствии ско-торой осуществляется расчет процесса развития ударной волны из первоначально разрывных краевых условий.
Этот метод широко применяется при решении задач газовой динамики [9]. Мы не считаем распространение такого метода на нелинейные вязкоупругие системы, анализируемые методом Лагранжа, сколь-нибудь выдающимся достижением, однако нам не известны какие-либо работы, опубликованные по этому вопросу
[c.155]
Но уравнение (9) есть однородное, линейное, разностное уравнение второго порядка по и мы рассматриваем частное решение его, удовлетворяющее соотношениям (11). Очевидпо, что будет оставаться положительным по крайней мере до тех пор, пока Д л положительно. Первым вопросом, таким образом, будет определение пределов значений п, для которых как так и Д( обязательно будут положительными. Но линейное разностное уравнение дает [c.164]
Заменим разностное уравнение (17) второго порядка системой разност- ых уравнений первого порядка [c.15]
Описанная схема обладает свойством монотонности при переходе от слоя к слою она переводит монотонную функцию в мопо-топную с тем н е направлением роста.
(Это св011ств0 присуще разностным схемам первого порядка точности.) Она широко используется для расчета разрывных решений уравнений газовой динамики.
[c.93]
Затруднения, описанные Уилксом и Черчиллом [1966], связаны как с отставанием по времени (т. е. с тем, что его значение берется с предшествующего слоя), так и с частным видом разностного уравнения второго порядка точности, используемого для t,w Результаты Брили, относящиеся к граничным условиям для будут приведены в разд. 3.3.2. Сэмюеле и Черчилл [1967] вернулись к уравнению первого порядка точности для которое не приводит к неустойчивости, благодаря чему им удалось продолжить расчеты авторов предшествующей работы для больших чисел Грасгофа до тех пор, пока отставание на At не приводило к неустойчивости. [c.143]
Формулы компактного численного дифференцирования, обеспечивающие пятый порядок аппроксимации. Трехточечные формулы (4.11), свя-зьшающие значения в узлах функции и, а также значения в узлах разностных аналогов ее первых и вторых производных (с и г), содержат большее количество коэффициентов, чем аналогичные формулы, связьшающие значения функций и к д.
Отсюда естественным образом возникает идея использовать эти дополнительные коэффициенты для построения таких соотношений, которые позволили бы определить д к г как аппроксимации производных функций, обладающие более высоким, чем третий, порядком аппроксимации. Если бы такие аппроксимации имели благоприятные свойства, то их использование в качестве составной части схемы для уравнения (4.8) было бы вполне разумным, поскольку процесс решения разностных уравнений оказался бы не более сложном, чем в случае схемы третьего порядка (4.10). Для уравнения первого порядка (4.1) функция и является лишней, однако может оказаться, что применеше векторных прогонок с матрицами 2X2 вместо скалярных прогонок является разумной платой за высокую точность и другие положительные свойства схемы.
[c.107]
Система уравнений (6.12) с граничными условиями (6.14) заменяется системой конечно-разностных уравнений. Уравнения трехмерного пограничного слоя в преобразованном виде представляют собой систему трех нелинейных уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности).
Систему аппроксимацион-ных уравнений можно представить в виде
[c.330]
Видно, что на нервом этане pi, pa, п, г, 2 не меняются. Промежуточные значения И и Ei, которые вычисляются из разностных уравнений, соответствующих (4.5.2), используются для определения конвективных переносов массы, импульса и энергии через границы разностных ячеек (слагаемых типа д piФiViX )/дx) и интенсивностей межфазиых взаимодействий in, fn, Q2, используемых на втором этане для вычисления окончательных значений всех параметров смеси. Операции первого и второго этапов конкретизированы с учетом специфики многофазного движения и содержат в качестве составной части особый алгоритм локализации контактных границ. Анпроксимациоиная или схемная вязкость в этом методе достаточна для автоматического (без привлечения дополнительных уравнений) выявления скачков уплотнения в виде узких зон (толщиной порядка нескольких [c.
350]При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]
Дискретный аналог (5.36) описывает изменение температуры в точке с индексами (i, j, к) за счет конвективного переноса энергии, дискретные аналоги (5.37) и (5.38) отражают последовательно протекающие диффузионные процессы передачи энергии вдоль линий л= = onst и ф=сопз1.
Каждый следуюш,ий иро-цесс начинается со значения температуры, на котором закончился предыдущий. Температуры Т, Т являются вспомогательными, условно разбивающими принятую совокупность процессов. Дискретный аналог (5.36) построен по явной разностной схеме против потока. Эта схема — первого порядка точности но х. Преимущества такой схемы заключаются в том, что возникающие возмущения распространяются только в направлении потока [77, 79]. Дискретные аналоги (5.37) и (5.38) построены по неявной разностной схеме и обеспечивают хорошую устойчивость вычислительного процесса. Решение (5.36) для Т получается в явном виде, решение уравнений (5.37) и (5.38) находится методом прогонки по г и но ф.
[c.186]
Погрешность системы обыкновенных уравнений (46.26), заменяющих уравнение (46.13) в частных производных, определяется погрешностью от замены производных разностными отношениями. Обычно разности берут первые центральные, т. е. используют для аппрокси–чации в сечении д = г,- формулу Стирлинга первого порядка
[c.
327]
Неклассические вариационные и краевые задачи и их приложения
Научное направление:
- Дифференциальные уравнения с частными производными;
- Математическая физика;
- Вычислительная математика;
- Теоретическая механика.
Для исследования линейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений используют симметризованные матрицы, соответствующие разностным операторам, при этом кососимметричная составляющая не нарушает сильную эллиптичность линейного оператора и свойства гладкости обобщенных решений. Ранее были предложены критерии разрешимости нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, в которых разностные операторы описываются симметричными матрицами. Было показано, что в отличие от линейного случая для нелинейных задач кососимметричная часть влияет на эллиптичность. В данном проекте предлагается использовать разработанные ранее методы для исследования нелинейных эллиптических задач с разностными операторами, которым соответствуют треугольные матрицы.
Будут также рассмотрены линейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением с переменными коэффициентами. Для этих уравнений будет установлена связь с нелокальными эллиптическими краевыми задачами типа А.В. Бицадзе, А.А. Самарского, а также исследован вопрос о существовании следов обобщенных решений на многообразиях, порожденных сдвигами границы внутрь области.
Будет также рассмотрен вопрос о спектральной устойчивости оператора Шредингера. Будут развиты и применены вариационно-гамильтоновые методы исследования качественных свойств движения бесконечномерных динамических систем. Планируется построить функционалы действия по Гамильтону для уравнений движения непотенциальных систем, включая дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, а также найти первые интегралы этих уравнений, используя подходы, основанные на применении теории преобразования переменных для исследования инвариантности самих уравнений движения и соответствующих им функционалов.
Предполагается разработать теорию регуляризации и численных методов оценивания погрешности решения обратных задач для дифференциальных и функционально — дифференциальных уравнений при различной априорной информации об искомом решении.
Перечень РИД по проекту (ключевых публикаций, патентов, свидетельств):
- Solonukha O.V. On Nonlinear and Quasilinear Functional Differential Equations //Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series S, V.9, N 3, 2016, pp. 869-893
ISSN 1937-1632 (print) 1937-1179 (online) - Попов В.А. Следы обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//«Современная математика. Фундаментальные направления» (Journal of Mathematical Sciences) №62, 2016, с. 124-139.
- Skubachevskii A.L. Nonlocal Elliptic Problems in Infinite Cylinder and Applications//Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. S, 2016, vol. 9, № 3, pp. 847-868.
- А.Л.Скубачевский, Ю.Тсузуки Уравнения Власова-Пуассона для двухкомпонентной плазмы в полупространстве//ДАН, 2016, том 471, № 5, с.
1–3 - Скубачевский А.Л. “Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения”// Успехи математических наук, том 71, выпуск 5, 2016, с. 1-96.
- Будочкина С.А., Савчин В.М. Операторное уравнение со второй производной по времени и Гамильтона-допустимые уравнения // Доклады Академии наук, 2016, том 470, №1, с. 7-9.
- Budochkina S.A., Savchin V.M. An operator equation with the second time derivative and Hamiltonian-admissible equations // Doklady Mathematics, 2016, Vol. 94, No. 2, pp. 487-489.
- Burenkov V. I., Goldshtein V., Ukhlov A. Conformal spectral stability estimates for the Neumann Laplacian. Mathematische Nachrichten 289 (2016), p. 1-17. DOI: 10.1002/mana.201500439
- О.В. Солонуха, Об одном эллиптическом дифференциально-разностном уравнении с несимметричным оператором сдвигов, Математические заметки, 2018, 4, с. 604-620.
- G.M. Kuramshina, A.G. Yagola. Applications of regularizing algorithms in structural chemistry. – Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2017, Vol. 5, Issue 3, pp. 53-72.
- A.S. Leonov, A.N. Sharov, A.G. Yagola. A posteriori error estimates for numerical solutions to inverse problems of elastography. – Inverse Problems in Science and Engineering, 2017, v. 25, issue 1, pp. 114-1287, DOI: 10.1080/17415977.2016.1138949.
- A.S. Leonov, A.N. Sharov and A.G. Yagola. Solution of the inverse elastography problem for parametric classes of inclusions with a posteriori error estimate. – Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2017, v. 25, pp. 1-7, DOI: 10.1515/jiip-2017-0043.
- G.G. Onanov and A.L. Skubachevskii. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells// Math. Model. Nat. Phenom. 12 (2017) 192-207.
- V.M. Savchin, S.A. Budochkina, Yake Gondo, A.V. Slavko, ON THE CONNECTION BETWEEN FIRST INTEGRALS, INTEGRAL INVARIANTS AND POTENTIALITY OF EVOLUTIONARY EQUATIONS, EURASIAN MATHEMATICAL JOURNAL, 2018, 9(4), с. 82-90.
- Попов В. А., Оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением, Современная математика. Фундаментальные направления, 2018, 64, 1, с. 131-147.
- Буренков Виктор Иванович, Чигамбаева Диана, Нурсултанов Ерлан Даутбекович, Marcinkiewicz-type interpolation theorem and estimates for convolutions for Morrey-type spaces, Eurasian Mathematical Journal, 2018, 2, с. 82–88.
- Солонуха О.В., О критерии сильной эллиптичности для дифференциально- разностных операторов, Сборник материалов международной конференции “XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральными эволюционным задачам” КРОМШ-2018, Статья в сборнике, 2018, с. 31-34.
- Леонов Александр Сергеевич, Шаров Александр Николаевич, Ягола Анатолий Григорьевич, Решение трехмерной обратной задачи эластографии на параметрическом классе с апостериорной оценкой точности, Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2019.
- Savchin Vladimir Mikhailovich, Budochkina Svetlana Aleksandrovna, Bi-variational evolutionary systems and approximate solutions, International Journal of Advanced and Applied Sciences, 2019.
1–3
– Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2017, Vol. 5, Issue 3, pp. 53-72.
82-90.
Уравнение разницы
– обзор
2.4.8 Допуски по цвету
Уравнения разницы по цвету представляют собой линейку для инструментального определения разницы в цвете между стандартом и пробой. Пределы допуска определяют, насколько партия может отличаться от стандартной и при этом быть приемлемой для использования.
Основная проблема с настройкой допусков по цвету заключается не только в том, что они различаются от отрасли к отрасли, но и от клиента к клиенту в любой отрасли.Отделка дорогих потребительских товаров, таких как автомобили и крупная бытовая техника, обычно имеет очень жесткие допуски по цвету. Небольшие по размеру изделия, изготовленные из трудноокрашиваемого материала, имеющие большие вариации текстуры и / или блеска или рассматриваемые на расстоянии, обычно имеют большие допуски по цвету (ASTM 0004). Примерами продуктов с высокими допусками являются электронные провода с цветовой кодировкой, цветная кладка и фарфоровые изоляторы на электрических столбах.
Цветовой допуск – это соглашение между поставщиком и заказчиком.Оба должны уметь жить с терпимостью. Если допуск слишком велик, продукт может быть неприемлемым для покупателя. Если допуск слишком жесткий, поставщик может вообще не иметь возможности поставить продукт или будет вынужден назначить более высокую цену за продукт. Допуск должен соответствовать визуальной оценке приемлемости и может варьироваться в зависимости от цвета продукта. Пределы допусков должны основываться на технологических возможностях поставщика по изготовлению цвета. Иногда временный стандарт используется до тех пор, пока не будут определены возможности процесса.Может быть полезно установить допуск для предупреждения, чтобы поставщик знал, когда процесс окраски может выйти за допустимые пределы.
Размер одной единицы цветового различия CIELAB был определен таким образом, чтобы обозначать предел коммерчески приемлемого соответствия цветов в текстильной промышленности. В уравнении цветового различия CIELAB компоненты яркости, цветности и оттенка цветового различия взвешиваются одинаково.
Инспекторы в текстильной промышленности наименее терпимы к различиям в оттенках, более терпимы к различиям цветности и наиболее терпимы к различиям в светлоте.Вот почему данные о приемлемости текстиля отображаются в виде эллипсоидов в цветовом пространстве CIELAB.
Уравнения цветового различия CMC ( l : c ) и CIE94 ( k L : k C : k H ) пытаются компенсировать предпочтения допуска в светлоте, цветности и оттенок. Установка соотношений l к c или k L к k C к k H определит форму эллипсоида приемлемости в цветовом пространстве.Уравнение CMC ( l : c ) будет использоваться для обсуждения установки цветовых допусков. То же самое относится и к CIE94 ( k L ,: k C : k H ).
Хотя текстильная промышленность, похоже, остановилась на соотношении CMC l : c 2: 1, разные отрасли могут предпочесть разные соотношения.
Кроме того, размер эллипсоида, необходимый для определения приемлемости продукта, будет варьироваться от покупателя к покупателю.Именно из-за вариабельности пределов приемлемости у потребителя единый допуск по общему цветовому различию, рассчитанный по уравнению цветового различия, редко бывает адекватным.
Некоторые компьютерные программы умножают разницу цветов CMC ( l : c ) на коммерческий коэффициент CF. Коммерческий фактор позволяет пользователю изменять размер эллипсоида приемлемости, сохраняя при этом приемлемую величину 1,0 единицы цветового различия. Например, если покупатель принимает только продукт, разница в цвете которого равна 0 по шкале CMC (2: 1).5 единиц или меньше, для этого клиента будет использоваться коммерческий коэффициент 2,0. Поскольку рассчитанная разница в цвете CMC (2: 1) будет умножена на коммерческий коэффициент, технический специалист, производящий измерения, примет партию, в которой расчетная разница в цвете составляет 1,0 единицы или меньше.
Использование коммерческого фактора для регулировки размера эллипсоида приемлемости может упростить лабораторную процедуру. Даже если у них могут быть разные коммерческие факторы для каждого клиента, более вероятно, что разные коммерческие факторы будут установлены для разных классов клиентов.В лакокрасочной промышленности коммерческий коэффициент краски для офисной мебели может составлять 2,0, в то время как у краски для стен коммерческий коэффициент может составлять 0,5. В обоих случаях техник, проводящий измерения, сочтет краску приемлемой, если разница в цвете будет меньше 1,0.
Эллипсоиды, созданные с помощью уравнения CMC ( l : c ), по-прежнему предполагают, что различия в яркости, цветности и оттенке могут быть равномерно распределены по стандартному цвету. Это предположение не всегда верно.Это может быть особенно плохим предположением, когда продукт, который получает покупатель, все еще необходимо обрабатывать, например, красками и цветной пластмассовой смолой, или когда оттенок может быть связан с плохим качеством или порчей, например, с зеленым маслом.
Допуски по цвету для этих клиентов могут быть установлены индивидуально для яркости, цветности и оттенка. Иногда также указывается общий допуск по разнице в цвете.
Есть много способов установить инструментальные допуски (ASTM 0004; Ehr 1992, 1993; Vance 1983; Allen and Yuhas 1984).Возможно, лучший способ – создать цвета, показывающие стандартные и допустимые пределы яркости, цветности и оттенка для несерых цветов, а также стандартные и пределы яркости, красного, зеленого, желтого и синего для серых цветов. Эти образцы не только служат визуальным ориентиром, но и могут быть измерены для точного определения инструментальных пределов приемлемости (Ehr 1992, 1993).
Другой метод определения допусков состоит в том, чтобы произвести большое количество отклонений от стандарта и статистически оценить суждения о приемлемости ряда наблюдателей (Vance 1983).Исторические данные могут использоваться для определения допусков, если было произведено достаточно большое количество партий одного цвета (Allen and Yuhas 1984).
Наименее предпочтительный, но, вероятно, наиболее распространенный метод – это попытка оценить начальную инструментальную толерантность на основе прошлого опыта или отраслевого опыта. Затем первоначальный допуск корректируется по мере необходимости для согласования либо с визуальной оценкой, сделанной перед отгрузкой продукта, либо с фактической приемкой и отклонением продукта.Основным недостатком этого метода является то, что он может привести к излишне жестким допускам для продукта.
Одна из опасностей при установке инструментальных допусков – это то, что автор называет «нулевым синдромом». Проще говоря, нулевой синдром – это желание иметь инструментальную разницу в цвете, равную нулю. Инструменты для измерения цвета похожи на другие измерительные инструменты – у них есть пределы допуска на их способность воспроизводить измерения. Планы отбора проб, пробы и процедуры подготовки проб также могут вызывать отклонения в измерениях.Если между образцом и партией не наблюдается разницы в цвете, разница в цвете не обязательно должна быть 0.
2, n]
| Out [5] = |
| In [6]: = | X RSolveValue [{y [n + 1] + z [n] == 3, y [n] + 2 z [n + 1] == 1, y [0] == 1, z [0] == 2}, \! \ ( \ * UnderoverscriptBox [\ (\ [Sum] \), \ (n = 0 \), \ (m \)] \ ((y [n] + z [n]) \) \), n] |
| Out [6] = |
Получите чисто функциональное решение для нелинейного OΔE второго порядка.2;
| In [8]: = | X sol = RSolveValue [eqn, a, n] |
| Out [8] = |
Проверить решение .
| In [9]: = | X экв. /. {a -> sol} // FullSimplify |
| Out [9] = |
Общее решение линейного разностного уравнения высшего порядка и существование ограниченных решений | Успехи в разностных уравнениях
Наш первый результат показывает, что существует формула в замкнутой форме для общих решений уравнения (1), когда \ ((q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} \) – постоянная последовательность.
С теоретической точки зрения мы знаем, что для каждого неоднородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами такая формула существует. С другой стороны, мы знаем, что полиномиальные уравнения порядка больше или равного пяти не нужно решать радикалами, что означает, что существуют линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых мы не можем найти формулу в замкнутой форме для их общего решения. Результат показывает, что существует класс линейных уравнений произвольного порядка, для которых можно найти такую формулу в замкнутой форме.Более того, результат дает только одну формулу, включающую все решения уравнения.
Лемма 1
Рассмотрим разностное уравнение
$$ x_ {n + k} -qx_ {n} = f_ {n}, \ quad n \ in \ mathbb {N} _ {0}, $$
(7)
где \ (k \ in \ mathbb {N} \), \ (q \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \} \), и \ ((f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} \) – заданная последовательность комплексных чисел .
{(s)}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} \), \ (s = \ overline {0, k-1} \) , – некоторые неопределенные последовательности.{2} -2k-8s)} \ end {align} $$
для \ (s = \ overline {0, k-1} \).
Наш следующий результат дает применение леммы 1 к исследованию существования ограниченного решения уравнения (7), когда \ (| q |> 1 \) и \ ((f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} \) – ограниченная последовательность комплексных чисел.
Теорема 1
Предположим, что \ (| q |> 1 \) и \ (f: = (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ subset \ mathbb {C} \) – заданная ограниченная последовательность .{k-1})} \ end {align} $$
(25)
для \ (s = \ overline {1, k} \), где \ (W_ {ls} \), \ (l, s = \ overline {1, k} \), равны \ ((k-1 ) \) – размерные миноры определителя в (25), соответствующие элементу на позиции \ ((l, s) \).
Они могут быть получены с помощью коэффициентов следующего многочлена \ ((k-1) \) -го порядка, который определяется определителем Вандермонда:
$$ \ begin {align} P_ {k-1} (x ): = & \ left \ vert \ begin {matrix} 1 & 1 & \ cdots & 1 & 1 & 1 & \ cdots & 1 \\ 1 & \ varepsilon & \ cdots & \ varepsilon ^ {s-2} & x & \ varepsilon ^ { s} & \ cdots & \ varepsilon ^ {k-1} \\ 1 & \ varepsilon ^ {2} & \ cdots & (\ varepsilon ^ {(s-2)}) ^ {2} & x ^ {2} & ( \ varepsilon ^ {s}) ^ {2} & \ cdots & (\ varepsilon ^ {(k-1)}) ^ {2} \\ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \\ 1 & \ varepsilon ^ {k-2} & \ cdots & (\ varepsilon ^ {(s-2)}) ^ {k-2} & x ^ {k-2} & (\ varepsilon ^ {(s)}) ^ { k-2} & \ cdots & (\ varepsilon ^ {(k-1)}) ^ {k-2} \\ 1 & \ varepsilon ^ {k-1} & \ cdots & (\ varepsilon ^ {(s-2) }) ^ {k-1} & x ^ {k-1} & (\ varepsilon ^ {(s)}) ^ {k-1} & \ cdots & (\ varepsilon ^ {(k-1)}) ^ { k-1} \ end {matrix} \ right \ vert \\ = & (- 1) ^ {k + s} x ^ {k-1} W_ {ks} + (- 1) ^ {k + s-1 } x ^ {k-2} W_ {k-1 \, s} + \ cdots + (- 1) ^ {s + 1} W_ {1s} \\ = & (- 1) ^ {ks} (x- 1) \ cdots \ bigl (x- \ varepsilon ^ {s-2} \ bigr) \ bigl (x- \ varepsilon ^ {s} \ big r) \ cdots \ bigl (x- \ varepsilon ^ {k-1} \ bigr) \\ & {} \ times V_ {k-1} \ bigl (1, \ varepsilon, \ ldots, \ varepsilon ^ {s- 2}, \ varepsilon ^ {s}, \ ldots, \ varepsilon ^ {k-1} \ bigr), \ end {align} $$
(26)
, где второе равенство получается разложением определителя по столбцу s , а третье следует из (6).
{l + mk + k}} $$
для \ (l = \ overline {0, k-1} \).
Теперь, руководствуясь (36) и некоторой техникой теории операторов, мы доказываем результат об однозначном существовании ограниченных решений уравнения (1).
Теорема 2
Рассмотрим уравнение (1) где
{\ infty} (\ mathbb {N} _ {0}) \) – сокращение.{j + k}}, \ quad n \ in \ mathbb {N} _ {0}. $
Раздел 2 посвящен общей теории линейных разностных уравнений порядка м, , , . В разделе 3 рассматриваются методы решения уравнений с постоянными коэффициентами, а в разделе 4 эти методы используются для решения уравнений второго порядка. Решение сеточных задач на собственные значения для простейших разностных операторов обсуждается в разделе 5.
org/Person” itemprop=”author”> Александр А. Самарский
Ե / =} | A.e: 5см Q5 օ RRJxl0 biR70 W¡A6af34a @ вод.
U
; $, PZye
Y | LL7 & mb`
(S \ r% AAKScD.d
л
01pe0) 05H86 (e {0: 8h3p1 $ 1`
На веб-сайте EqWorld представлена обширная информация о решениях для различные классы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные уравнения, интегральные уравнения, разностные уравнения, функциональные уравнения, и другие математические уравнения. Copyright © 2004-2017 Андрей Д. Полянин |
И. (2004).
Решение функциональных уравнений.
и функционально-дифференциальные уравнения методом дифференцирования,Найдите общее решение разностного уравнения: y_ {n + 2} + 4y_ {n + 1} + 4y_ {n} = 21
Дано:
- Данное дифференциальное уравнение имеет вид {eq} {y_ {n + 2}} + 4 {y_ {n + 1}} + 4 {y_n} = 21 {/ экв}.
Сравните данное уравнение с общим линейным дифференциальным уравнением {eq} {p_2} \ left (n \ right) {y_ {n + 2}} + {p_1} \ left (n \ right) {y_ {n + 1} } + {p_0} \ left (n \ right) {y_n} = r \ left (n \ right) {/ eq}, чтобы получить {eq} {p_2} \ left (n \ right) = 1, \, {p_1} \ left (n \ right) = 4, \, {p_0} \ left (n \ right) = 4 {/ eq} и {eq} r \ left (n \ right) = 21 {/ экв}.n}} \ right)} \, \, \, \, \, \, \, … \ left (5 \ right) {/ экв}.
Поскольку, {eq} \ sum {\ left ({y \ left (n \ right) \ Delta z \ left (n \ right)} \ right) =} y \ left (n \ right) z \ left (n \ right) – \ sum {\ left ({z \ left ({n + 1} \ right) \ Delta y \ left (n \ right)} \ right)} {/ экв}.
Take,
{экв} \ begin {align *} у \ влево (п \ вправо) & = п + 1 \\ \ Delta y \ left (n \ right) & = y \ left ({n + 1} \ right) – y \ left (n \ right) \\ & = \ left ({n + 1} \ right) + 1 – \ left ({n + 1} \ right) \\ \ Delta y \ left (n \ right) & = 1 \ end {выровнять *} {/ eq}
А,
{экв} \ begin {align *} \ Delta z \ left (n \ right) & = {\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right) ^ n} \\ z \ left (n \ right) & = \ sum {{{\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right)} ^ n}} \\ & = \ dfrac {{{{\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right)} ^ n}}} {{\ dfrac {{- 1}} {2} – 1}} + {{\ rm {C}} _ 2} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ({{\ rm {Поскольку,}} \, {{\ sum a} ^ n} = \ dfrac {{{a ^ n}}} {{a – 1}} + {\ rm {C,}} \, a \ ne 1} \ right) \\ z \ left (n \ right) & = \ dfrac {{- 2}} {3} {\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right) ^ n} + {{\ rm { C}} _ 2} \ end {выровнять *} {/ eq}
Теперь уравнение {eq} \ left (5 \ right) {/ eq} можно записать как,
{экв} \ begin {align *} {a_1} \ left (n \ right) & = – \ dfrac {{21}} {4} \ left [{\ left ({n + 1} \ right) \ left ({\ dfrac {{- 2}}) {3}} \ right) {{\ left ({- \ dfrac {1} {2}} \ right)} ^ n} – \ sum {\ left ({\ dfrac {{- 2}} {3}} \ right) {{\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right)} ^ {n + 1}} \ left (1 \ right)}} \ right] + {{\ rm { C}} _ 3} \\ & = \ left [{\ left ({n + 1} \ right) \ left ({\ dfrac {{- 21}} {4}} \ right) \ left ({\ dfrac {{- 2}} {3 }} \ right) {{\ left ({- \ dfrac {1} {2}} \ right)} ^ n} – \ sum {\ left ({\ dfrac {{- 21}} {4}} \ right ) \ left ({\ dfrac {{- 2}} {3}} \ right) \ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right) {{\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right)} ^ n}}} \ right] + {{\ rm {C}} _ 3} \\ & = \ dfrac {7} {2} \ left ({n + 1} \ right) {\ left ({- \ dfrac {1} {2}} \ right) ^ n} + \ dfrac {7} {4 } \ sum {{{\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right)} ^ n}} + {{\ rm {C}} _ 3} \\ {a_1} \ left (n \ right) & = \ dfrac {7} {2} \ left ({n + 1} \ right) {\ left ({- \ dfrac {1} {2}} \ right) ^ n} + \ dfrac {7} {4} \ left ({\ dfrac {{- 2}} {3}} \ right) {\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right) ^ n} + {{\ rm {C}} _ 4} \ end {выровнять *} {/ eq}
Дальнейшее упрощение,
{eq} {a_1} \ left (n \ right) = \ dfrac {7} {2} \ left ({n + 1} \ right) {\ left ({- \ dfrac {1} {2}} \ right) ^ n} – \ dfrac {7} {6} {\ left ({\ dfrac {{- 1}} {2}} \ right) ^ n} + {{\ rm {C}} _ 4} \, \, \, \, \ ,.