Решение систем линейных уравнений методом гаусса и крамера: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Практическая работа на тему “Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса”

АН ПОО «Уральский промышленно-экономический техникум»

Практическая работа № 1

Дисциплина: Элементы высшей математики.

Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса.

Цель занятия: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса.

Норма времени: 2 часа

Методическое обеспечение: методические указания к практической работе.

Литература:

  1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч. ]. Ч. 1 / Дмитрий Письменный – М.: Айрис-пресс, 2008. – С. 22-30.

  2. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. [К.Н. Лунгу и др.]; под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2007. – С. 37-41.

По указанной литературе и конспектам лекций повторить методы решения систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера, метод исключения неизвестных Гаусса

Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя:

а) матричный способ;

б) метод Гаусса;

в) формулы Крамера.

Решение

Запишем исходную систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Проверим совместность системы по теореме Кронекера-Капелли, найдя ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы. Проводим эквивалентные (элементарные) преобразования основной и расширенной матриц системы, приводя их к каноническому виду. Ранг будет равен количеству единиц на главной диагонали канонического вида матриц.

Ранги расширенной и основной матриц системы равны:

Таким образом система совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

Так как ранг основной матрицы системы совпадает с количеством неизвестных то исходная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

а) Решаем методом обратной матрицы

Решаем исходную систему линейных алгебраических уравнений с помощью формулы

Найдем обратную матрицу к матрице системы по формуле

,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы А,

– определитель матрицы системы.

Вычислим определитель матрицы системы (с помощью формулы треугольников)

Определитель не равен нулю, следовательно, матрица системы является невырожденной. Поэтому обратная к ней матрица существует. Найдём её по формуле.

Сначала находим алгебраические дополнения к элементам матрицы.

Подставляем полученные значения в формулу для вычисления обратной матрицы.

Таким образом, обратная матрица будет иметь следующий вид

Тогда решение исходной системы линейных алгебраических уравнений будет следующим.

б) решаем систему по формулам Крамера.

Определитель матрицы системы мы уже нашли

Далее ищем вспомогательные определители для формул Крамера, заменяя соответствующие столбцы матрицы системы на столбец свободных членов т применяя формулу треугольников.

Тогда решение исходной системы линейных уравнений будет

в) Решаем систему методом Гаусса (методом исключения неизвестных)

Прямой ход

Приведем с помощью эквивалентных (элементарных) преобразований над столбцами расширенную матрицу системы к треугольному виду с единицами на главной диагонали.

Обратный ход

Из полученной преобразованной системы находим значения неизвестных, начиная с .

Решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными следующими способами: а) с помощью формул Крамера; б) матричным способом; в) по методу Гаусса.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

  1. Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений?

  2. Какая система линейных алгебраических уравнений называется совместной?

  3. В каком случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?

  4. Какая система линейных алгебраических уравнений называется однородной?

  5. Какие методы решения систем линейных алгебраических уравнений вы знаете?

Элементы высшей математики ПР №1 Преподаватель Максимова О.Г.

Решение систем линейных уравнений

Метод обучения:

Объяснительно-иллюстративный метод, репродуктивный метод

Тип занятия:

Практическое занятие

Цели занятия:

Учебные:

  • проверить умение решать системы  линейных уравнений методом Крамера;
  • ознакомить студентов с решением систем линейных уравнений методом Гаусса;
  • выработать умение решать системы  линейных уравнений методом Гаусса;
  • изучить основные этапы решения задач с помощью программы MSExcel;
  • отработать умение переходить от математической записи выражений к записи в среде электронных таблиц.

Воспитательные:

  • способствовать развитию интереса к математике;
  • способствовать воспитанию усидчивости студентов;
  • воспитывать точность и аккуратность в расчетах.

Развивающие:

  • способствовать обучению студентов умению обобщать и конкретизировать, осуществлять самоконтроль;
  • способствовать развитию логического мышления, внимания.

Формируемые компетенции

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ПК 1.1. Проверять и настраивать элементы релейной защиты, автоматики, средств измерений и систем сигнализации.
ПК 4.1. Планировать работу производственного подразделения.

Межпредметные связи:

Информатика, физика.

Учебно-наглядные пособия и ТСО:

ПК с программой  MSExcel;
Мультимедиасистема.

Ход урока

Организационная часть:

Визуально определить готовность к уроку, сформулировать тему, цель.

Основные вопросы темы и последовательность их изложения

1.Опрос.

  • Решение линейных уравнений методом Крамера. (тест),
  •  один студент у доски решает систему.
  • Изложение нового материала.
  • Закрепление формул.
  • Домашнее задание.
  • Самостоятельная тестовая работа.
  • Оценка.

Выводы урока

Сегодня на уроке вы научились решать системы уравнений третьего порядка методом Гаусса.
Сумели автоматизировать свою работу с помощью программы MSExcel. Оценки.

Домашнее задание

Выучить формулы. Решить систему уравнений:

Список использованной литературы

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1964. – С. 232.
  2. http://www.mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html
  3. http://ru.wikipedia.org/wiki/
  4. http://mathserfer.com/theory/pyartli1/node54.html
  5. http://vtit.kuzstu.ru/books/shelf/193/sod/sod.html
  6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая шк., 1991. – 480с.: ил.

Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.

1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

  1. Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
  2. С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
  3. Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

  1. число уравнений не равно числу неизвестных.
  2. если в правиле Крамера .

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы , причем:

  1. если (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
  2. если (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.

Пример 2.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .

Подставим во второе уравнение системы: .

После подстановки и в первое уравнение получим: ; . Итак, .

Проверка:

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: .

Пример 3.

Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : .

Подставим данное выражение во второе уравнение:

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .

Ответ: .

Пример 4.

Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Как решить линейные системы с помощью исключения Гаусса-Джордана – стенограмма видео и урока

Исключение Гаусса-Джордана

Итак, процесс исключения Гаусса-Джордана включает создание расширенной матрицы обеих сторон наших уравнений, преобразование этой матрицы в сокращенную форму эшелона строк (я объясню это позже), затем закончить проблему, чтобы найти наше решение.

Начнем.Сначала мы создаем нашу расширенную матрицу. Наша первая строка – это 2, 1, -3 и 3. Наша вторая строка – это -2, 2, 3 и 4. Наша последняя третья строка – это 0, -3, 2 и 1.

Теперь, когда мы создали нашу расширенную матрицу, пришло время изменить ее.

Форма сокращенного эшелона строк

Мы хотим изменить его на форму сокращенного эшелона формы . Что это за форма? Это когда наша матрица имеет нули на нижней диагонали, а первое ненулевое число в каждой строке равно 1.Кроме того, если столбец имеет начальную единицу, тогда все остальные числа также должны быть 0.

Для начала нижняя диагональ в нашей матрице включает числа -2 и -3. Нам нужно изменить их на 0. Давайте сначала сделаем это.

Чтобы заменить -2 на 0, мы можем сложить первое и второе уравнения вместе. Таким образом мы получим новую вторую строку из 0, 3, 0 и 7. Теперь мы можем добавить новую вторую строку к третьей строке, чтобы получить новую третью строку из 0, 0, 2 и 8. Теперь у нас есть это матрица:

Теперь давайте изменим все наши ведущие числа на единицы.Разделим первую строку на 2, чтобы получить 1, 1/2, -3/2 и 3/2. Разделим вторую строку на 3, чтобы получить 0, 1, 0 и 7/3. Мы разделим нашу третью строку на 2, чтобы получить 0, 0, 1 и 4. Теперь наша матрица выглядит так:

Мы смотрим на наши ведущие единицы и видим, что во втором столбце нам нужно изменить 1/2 на 0, а в третьем столбце нам также нужно изменить -3/2 на 0. Мы помним, что в сокращенной форме эшелона строк любой столбец с ведущей единицей должен иметь 0 для всех остальных чисел.

Для этого мы можем умножить нашу третью строку на 3/2 и добавить ее к первой строке. Умножая третью строку на 3/2, мы получаем 0, 0, 3/2 и 6. Добавляя это к первой строке, мы получаем новую первую строку 1, 1/2, 0 и 15/2. Теперь мы можем умножить нашу вторую строку на -1/2 и добавить ее к этой новой первой строке, чтобы избавиться от нашей 1/2. Умножив вторую строку на -1/2, мы получим 0, -1/2, 0 и -7/6. Добавляя к первой строке, мы получаем 1, 0, 0 и 19/3.

Наша матрица теперь представлена ​​в виде сокращенного эшелона строк.Наша нижняя диагональ – это все нули. Наши ведущие числа – это единицы. И в каждом столбце с ведущей единицей везде ноль.

Завершение работы

Теперь мы можем легко завершить нашу проблему, решив для наших переменных. У нас x = 19/3, y = 7/3 и z = 4. Это было легко, не правда ли? После того, как мы изменили нашу матрицу на сокращенную форму эшелона строк, осталось не так уж много работы.

Резюме урока

Что мы узнали? Мы узнали, что линейных систем представляют собой набор линейных уравнений.Метод исключения Гаусса-Жордана – один из способов решения линейных систем. Исключение Гаусса-Жордана включает в себя создание расширенной матрицы обеих частей наших уравнений, преобразование этой матрицы в сокращенную форму эшелона строк, а затем завершение задачи, чтобы найти наше решение.

Уменьшенная форма эшелона строк – это когда наша матрица имеет нули на нижней диагонали и первое ненулевое число в каждой строке равно 1. Кроме того, если столбец имеет начальную единицу, тогда все остальные числа также должны быть 0.После того, как мы изменили нашу матрицу на сокращенную форму эшелона строк, это простой процесс, который нужно завершить и найти решение.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы должны уметь:

  • Определять линейные системы и сокращенную форму ряда рядов
  • Объясните, как использовать метод исключения Гаусса-Джордана для решения линейных систем.
Исключение Гаусса

– обзор

Пример 2.1.4 Исключение Гаусса

Наш пример, систему линейных уравнений 3 × 3, можно легко выполнить другими способами, но он используется здесь для понимания процедуры исключения Гаусса.Мы хотим решить

(2.19) 3x + 2y + z = 112x + 3y + z = 13x + y + 4z = 12.

Для удобства и для достижения оптимальной числовой точности уравнения перегруппированы таким образом, чтобы, насколько это возможно, наибольшие коэффициенты проходили по главной диагонали (вверху слева направо вниз).

Метод Гаусса заключается в использовании первого уравнения для исключения первого неизвестного, x , из остальных уравнений. Затем (новое) второе уравнение используется для исключения y из последнего уравнения. Как правило, мы прорабатываем набор уравнений, а затем, определив одно неизвестное, мы возвращаемся назад, чтобы последовательно решить для каждого из остальных неизвестных.

Удобно начать с деления каждой строки на ее начальный коэффициент, преобразовав уравнение. (2.19) на

(2.20) x + 23 y + 13 z = 113x + 32 y + 12 z = 132x + y + 4z = 12.

Теперь, используя первое уравнение, мы исключаем x из второго и третьего уравнений, вычитая первое уравнение из каждого из остальных:

(2.21) x + 23 y + 13 z = 11356 y + 16 z = 17613 y +113 г = 253.

Затем разделим вторую и третью строки на их начальные коэффициенты:

(2,22) x + 23 y + 13 z = 113y + 15 z = 175y + 11z = 25.

Повторяя эту технику, мы используем новое второе уравнение, чтобы исключить y из третьего уравнения, которое затем может быть решено относительно z :

(2. 23) x + 23 y + 13 z = 113y + 15 z = 175545 z = 1085 → z = 2.

Теперь, когда z определено, мы можем вернуться ко второму уравнению, найдя

y + 15 × 2 = 175 → y = 3,

и, наконец, переходя к первому уравнению,

x + 23 × 3 + 13 × 2 = 113 → х = 1.

Метод может показаться не таким элегантным, как использование правила Крамера, но он хорошо адаптирован для компьютеров и намного быстрее, чем время, потраченное на детерминанты.

Если бы мы не сохранили правые части системы уравнений, процесс исключения Гаусса просто привел бы исходный определитель в треугольную форму (но обратите внимание, что наши процессы для приведения в единицу главных коэффициентов вызывают соответствующие изменения в значении определитель). В данной задаче исходный определитель

D = | 321231114 |

было разделено на 3 и 2, исходя из уравнения. (2.19) – (2.20), и умноженное на 6/5 и на 3, исходя из уравнения. (2.21) – (2.22), так что D и определитель, представленный левой частью уравнения. (2.23) связаны соотношением

(2.24) D = (3) (2) (56) (13) | 12313011500545 | = 53 545 = 18.

Поскольку все записи в нижнем треугольнике определителя явно показаны в формуле. (2.24) равны нулю, единственный член, который способствует этому, – это произведение диагональных элементов: чтобы получить ненулевой член, мы должны использовать первый элемент первой строки, затем второй элемент второй строки и т. Д. легко проверить, что окончательный результат, полученный в формуле.(2.24) согласуется с результатом оценки исходной формы D .

Введение в системы линейных уравнений

7.1 – Введение в системы линейных уравнений

7.1 – Введение в системы линейных уравнений

Фон

Система имеет следующие свойства:
  • Он состоит из нескольких частей, которые взаимодействуют и влияют друг на друга.
  • Он производит эффект или вывод в результате какой-либо причины или ввод .
Одним из примеров является бизнес-организация. Вклады этой системы – это ее капитал, сотрудники, сырье и фабрики. Его результаты – это его продукты. Руководство решает, какими должны быть взаимодействия между входами. чтобы дать максимальную производительность (например, сколько заводов должно производить какие продукты и т. д.)

Линейная система – это система, в которой выход пропорционален входу. Например, если бизнес-организация представляет собой линейную систему, то если мы удвоим капитал, сотрудников, сырье и фабрики (входы), то мы ожидаем удвоить производство (выход).

Мы можем математически описать, как части линейной системы соотносятся с одним другой и на вход с помощью системы линейных уравнений . Если линейная система имеет n частей (где n – некоторое число), то мы можем описать это с помощью системы линейных уравнений n с неизвестными n или переменные. Неизвестные в этих уравнениях – это значения входных данных. Если мы сделали анализ правильно, то будет уникальное решение для значения входов.

Вот пример системы двух линейных уравнений в двух неизвестные x и y :

С точки зрения ввода-вывода числа 4 и 6 в правой части являются выходными данными, а неизвестные x и y слева являются входными данными. Числа 1, 1, 2 и −3, умноженные на x и y , выражают отношения между частями системы.

Мы можем проверить, что { x = 3,6, y = 0,4} является решением систему, подставив ее в систему и получив пару уравнений 4 = 4 и 6 = 6. Теперь предположим, что мы удвоили вывод (замените 4 и 6 на 8 и 12):

Затем мы можем проверить, что ввод также удвоен; решение сейчас {х = 7,2, у = 0,8}. Таким образом, система линейна. Линейность можно проследить до того факта, что числа 1, 1, 2 и −3 умножение x и y дает константы .Если бы они были заменены выражений с участием x и y тогда уравнения будут нелинейными .

Определения: A линейное уравнение в одном неизвестном есть уравнение вида a x = b , где a и b являются константы и x – неизвестное, которое мы хотим найти. Аналогично, линейное уравнение в n неизвестных x 1 , x 2 ,…, x n – это уравнение вида:
a 1 · x 1 + a 2 · x 2 +… + a n · x n = b ,
где a 1 , a 2 ,…, a n и b – константы.Название linear происходит от того факта, что такое уравнение пополам неизвестные или переменные представляют собой прямую линию. Система таких уравнений называется системой линейных уравнений .

Вот пример системы трех линейных уравнений в трех неизвестных x , y и z :

Методы решения систем линейных уравнений

Существует множество методов решения систем линейных систем. У каждого свои преимущества и недостатки. Графический метод полезно для ознакомления с концепциями например, уникальность решения или значение несовместимых систем но бесполезен как вычислительный инструмент.

Метод подстановки полезен, потому что он может применяться к нелинейным как хорошо, как линейные системы, но он увязнет во всем, кроме небольших систем. Тренер по алгебре может решить любую систему линейных уравнений с помощью этого метода.

Метод исключения – хороший метод для систем среднего размера, содержащего, скажем, от 3 до 30 уравнений. Легко реализовать на компьютере. Тренер по алгебре может решить любую систему линейных уравнений с помощью этого метода. Исключение Гаусса и Исключение Гаусса-Джордана – это два варианта этого метода. На нем основаны другие методы, такие как метод разложения LU.

Правило Крамера (также известное как метод детерминанта) подходит для ручной расчет, потому что он избегает дробей. Однако это только практично для небольших систем (3 уравнения или меньше). Тренер по алгебре не объясните этот метод.

Есть и другие методы, которые могут быть полезны при определенных обстоятельствах. Например, задача «предсказания погоды» на сетке 100 × 100 приводит к системе из 10 000 линейных уравнений. Такие большие системы решаются путем итеративного улучшения. В этом методе вы начинаете с любого предположения как бы то ни было для решения. Затем вы повторяете (перерабатываете) это решение, улучшая его с каждой итерацией.Когда точность станет достаточно хорошей, вы остановитесь.

Другой метод, метод трехдиагональной матрицы, полезен для систем, могут быть организованы в четко определенные этапы, и где каждый этап зависит непосредственно только на предыдущем этапе.


Некоторые уроки, которые следует извлечь из построения графиков двух уравнений с двумя неизвестными

Графический метод не очень полезен в качестве вычислительного инструмента, но он полезно для визуализации таких понятий, как уникальность решения и значение несовместимых и избыточных систем. Рассмотрим следующую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
В этом методе мы просто рисуем графики уравнений, как мы это делали с Правильно. Обратите внимание, что график каждого уравнения представляет собой прямую линию. (Это характерно для линейной системы. Кривых нет, только прямые.)

Любая точка на одной прямой является решением одного уравнения и любая точка на другая линия – решение другого уравнения.Точка пересечения линий { x = 3,6, y = 0,4} – решение, которое одновременно удовлетворяет обоим уравнениям. Обратите внимание, что решение уникально. Это потому, что линии прямые и есть только одна точка, где они могут пересечься. Система линейных уравнений с уникальным решением – это «нормальная» ситуация.

Однако можно иметь систему уравнений с нет решения или бесконечное количество решений.Такие системы уравнений называются несогласованными и избыточными соответственно. Они являются результатом неточного или неправильного анализа физическая система описывается системой уравнений.

Рассмотрим следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Эта система уравнений несовместима с , потому что нет возможности, чтобы x + y могут одновременно равняться 2 и 4.Как показано справа, график этой системы состоит из две параллельные линии, которые никогда не пересекаются. Таким образом, решения нет.
Теперь рассмотрим следующую систему уравнений:
Эта система является избыточной , потому что второе уравнение эквивалентно первому. один. График состоит из двух линий, которые лежат одна на другой. Они «пересекаются» в бесконечном количестве точек, поэтому есть бесконечное количество решений.
Подводя итог, система линейных уравнений с 2 ​​неизвестными должна иметь как минимум 2 уравнения. получить уникальное решение. Одного уравнения недостаточно, потому что 1 уравнение в 2 неизвестных представлена ​​целой строкой. Имея 2 уравнения, точно достаточно, если они не являются избыточными или непоследовательными. Имея 3 (или больше) уравнений слишком много. Третье уравнение должно быть либо избыточным, либо непоследовательный.

Счетные уравнения и неизвестные

Эти результаты могут быть обобщены на линейные системы уравнений с любое количество уравнений и любое количество неизвестных:

  • Линейная система уравнений с n неизвестные должны иметь не менее n уравнений, чтобы получить уникальное решение.Меньшего количества уравнений недостаточно; решение не будет уникальным.
  • Иметь n уравнений точно достаточно, пока они не избыточный или непоследовательный.
  • Наличие более n уравнений – это Очень много; система будет либо избыточной, либо несовместимой.


Если вы нашли эту страницу в ходе веб-поиска, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Распределение энергии бимодальных всплесков повторяющегося источника быстрых радиовсплесков

  • 1.

    Петров, Э., Хесселс, Дж. У. Т. и Лоример, Д. Р. Быстрые радиовсплески. Astron. Astrophys. Ред. 27 , 4 (2019).

    ADS Статья Google ученый

  • 2.

    Кордес, Дж. М. и Чаттерджи, С. Быстрые радиовсплески: внегалактическая загадка. Ann. Ред.Astron. Astrophys. 57 , 417–465 (2019).

    ADS Статья Google ученый

  • 3.

    Spitler, L.G. et al. Повторяющийся быстрый радиосигнал. Природа 531 , 202–205 (2016).

    ADS CAS PubMed Статья Google ученый

  • 4.

    Chatterjee, S. et al. Прямая локализация быстрого всплеска радиосигнала и его хозяина. Природа 541 , 58–61 (2017).

    ADS CAS PubMed Статья Google ученый

  • 5.

    Tendulkar, S.P. et al. Родительская галактика и красное смещение повторяющегося быстрого радиовсплеска FRB 121102. Astrophys. J. Lett. 834 , Л7 (2017).

    ADS Статья Google ученый

  • 6.

    Michilli, D. et al. Экстремальная магнито-ионная среда, связанная с быстрым источником радиовсплесков FRB 121102. Природа 553 , 182 (2018).

    ADS CAS PubMed Статья Google ученый

  • 7.

    Zhang, Y.G. et al. Обнаружение и периодичность быстрых радиопередач 121102: подход машинного обучения. Astrophys. J. 866 , 149 (2018).

    ADS Статья Google ученый

  • 8.

    Gourdji, K. et al. Пример низкоэнергетических всплесков из FRB 121102. Astrophys. J. Lett. 877 , Л19 (2019).

    ADS Статья Google ученый

  • 9.

    Li, Di. и другие. FAST в космосе: рекомендации по многолучевой многоцелевой съемке с использованием китайского сферического радиотелескопа с апертурой 500 м (FAST). IEEE 19 , 112–119 (2018).

    Google ученый

  • 10.

    Planck Collaboration et al.Результаты Planck 2015. XIII. Космологические параметры. Astron. Astrophys. 594 , А13 (2016).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 11.

    Шеннон, Р. М. и др. Соотношение дисперсия-яркость для быстрых радиовсплесков из широкопольного обзора. Природа 562 , 386–390 (2018).

    ADS CAS PubMed Статья Google ученый

  • 12.

    Кац, Дж. И. Быстрые радиовсплески. Прог. Часть. Nucl. Phys. 103 , 1–18 (2018).

    ADS Статья Google ученый

  • 13.

    Паланисвами Д., Ли Ю. и Чжан Б. Существуют ли множественные популяции быстрых всплесков радиоволн? Astrophys. J. Lett. 854 , Л12 (2018).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 14.

    Scholz, P. et al. Повторяющийся быстрый радиовсплеск FRB 121102: многоволновые наблюдения и дополнительные всплески. Astrophys. Дж. 833 , 177 (2016).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 15.

    Petroff, E. et al. FRBCAT: каталог быстрых радиовсплесков. Publ. Astron. Soc. Aust. 33 , e045 (2016).

    ADS Статья Google ученый

  • 16.

    Oostrum, L.C. et al. Повторение быстрых радиопередач с WSRT / Apertif. Astron. Astrophys. 635 , A61 (2020).

    CAS Статья Google ученый

  • 17.

    Hessels, J. W. T. et al. Пакеты FRB 121102 показывают сложную частотно-временную структуру. Astrophys. J. 876 , L23 (2019).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 18.

    Мецгер, Б. Д., Бергер, Э. и Маргалит, Б. Миллисекундное рождение магнитара связывает FRB 121102 со сверхсветовыми сверхновыми и долговременными гамма-всплесками. Astrophys. J. 841 , 14 (2017).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 19.

    Ян, Ю.-П. И Чжан Б. Изменение меры дисперсии повторяющихся источников быстрых радиовсплесков. Astrophys. J. 847 , 22 (2017).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 20.

    Лу, В. Б., Кумар, П. и Чжан, Б. Единая картина галактических и космологических быстрых радиовсплесков. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 498 , 1397 (2020).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 21.

    Wadiasingh, Z. et al. Функция яркости быстрой радиовспышки и линия смерти в модели магнетара с низкой закруткой. Astrophys. J. 891 , 82 (2020).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 22.

    Göğüs, E. et al. Статистические свойства всплесков SGR 1806-20. Astrophys. J. Lett. 532 , L121 – L124 (2000).

    ADS Статья Google ученый

  • 23.

    Wang, F. Y. & Yu, H. Поведение повторяющегося FRB 121102, подобное SGR. JCAP 03 , 023 (2017).

    ADS Статья Google ученый

  • 24.

    Багчи, М. Унифицированная модель для повторяющихся и неповторяющихся быстрых радиовсплесков. Astrophys. J. Lett. 838 , Л16 (2017).

    ADS Статья Google ученый

  • 25.

    Смоллвуд, Дж. Л., Мартин, Р. Г. и Чжан, Б. Исследование модели столкновения астероид-нейтронная звезда для повторяющихся быстрых радиовсплесков. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 485 , 1367–1376 (2019).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 26.

    Кордес, Дж. М. и Вассерман, И. Сверхгигантские импульсы от внегалактических нейтронных звезд. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 457 , 232–257 (2016).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 27.

    Чжан, Б.Быстрые радиовсплески от взаимодействующих систем двойных нейтронных звезд. Astrophys. J. Lett. 890 , Л24 (2020).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 28.

    Мецгер, Б. Д., Маргалит, Б. и Сирони, Л. Быстрые радиовсплески как синхротронное мазерное излучение от замедляющихся релятивистских взрывных волн. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 485 , 4091–4106 (2019).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 29.

    Белобородов А.М. Взрывные волны от магнитарных вспышек и быстрых радиовсплесков. Препринт на https://arxiv.org/abs/1908.07743 (2019).

  • 30.

    Кумар, П., Лу, В. и Бхаттачарья, М. Свойства источника быстрых радиовсплесков и модель кривизны излучения. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 468 , 2726–2739 (2017).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 31.

    Petroff, E. et al. Быстрый всплеск радиосигнала в реальном времени: обнаружение поляризации и отслеживание многоволнового диапазона. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 447 , 246 (2015).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 32.

    Рэнсом С.М. Новые методы поиска двойных пульсаров . Кандидатская диссертация, Гарвардский унив. (2001).

  • 33.

    Zhang, B. Энергетика быстрых радиовсплесков и обнаруживаемость с больших красных смещений. Astrophys. J. Lett. 867 , Л21 (2018).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 34.

    Gupta, V. et al. Оценка эффективности конвейера быстрого обнаружения переходных процессов в UTMOST посредством внедрения имитационных FRB в реальном времени. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 501 , 2316–2326 (2021).

    ADS Статья Google ученый

  • 35.

    Луо Р., Ли К., Лоример Д. Р. и Чжан Б. О нормированной функции яркости FRB. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 481 , 2320–2337 (2018).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 36.

    Wang, F. Y. & Zhang, G.Q.A. Универсальное распределение энергии для FRB 121102. Astrophys. J. 882 , 108 (2019).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 37.

    Lu, W. И Пиро Энтони, Л., Последствия статистики быстрых радиопередач ASKAP. Astrophys. J. 883 , 3796–3847 (2019).

    Google ученый

  • 38.

    Luo, R. et al. О функции светимости FRB – II. Плотность частоты событий. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 494 , 665–679 (2020).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • 39.

    Кордес, Дж. М., Бхат, Н. Д. Э., Хэнкинс, Т. Х., Маклафлин, М. А. и Керн, Дж. Самые яркие импульсы во Вселенной: многочастотные наблюдения гигантских импульсов пульсара в Крабовидной форме. Astrophys. J. 612 , 375–388 (2004).

    ADS Статья Google ученый

  • 40.

    Сотрудничество CHIME / FRB et al. CHIME / FRB обнаружение восьми новых повторяющихся источников быстрых радиовсплесков. Препринт на https://arxiv.org/abs/1908.03507 (2019).

  • 41.

    Опперманн Н. Ю., Х. Р. и Пен У. Л. О непуассоновской схеме повторения FRB121102. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 475 , 5109–5115 (2018).

    ADS Статья Google ученый

  • 42.

    Ломб, Н. Р. Частотный анализ методом наименьших квадратов неравномерно разнесенных данных. Astrophys. Космические науки. 39 , 447–462 (1976).

    ADS Статья Google ученый

  • 43.

    Скаргл, Дж. Д. Исследования в области анализа астрономических временных рядов. II. Статистические аспекты спектрального анализа неравномерно распределенных данных. Astrophys. J. 263 , 835–853 (1982).

    ADS Статья Google ученый

  • 44.

    Rajwade, K. M. et al. Возможна периодическая активность в повторяющемся ФРБ 121102. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 495 , 3551–3558 (2020).

    ADS Статья Google ученый

  • 45.

    Cruces, M. et al. Повторяющееся поведение FRB 121102: периодичность, время ожидания и распределение энергии. Препринт на https://arxiv.org/abs/2008.03461 (2020).

  • 46.

    Feng, Y. I. et al. Исследование PSR J1022 + 1001 с помощью радиотелескопа FAST. Astrophys. J. 908 , 105–111 (2021).

    ADS Статья Google ученый

  • 47.

    Luo, R. et al. Различные углы поляризации колеблются от повторяющегося источника быстрых радиовсплесков. Природа 586 , 693–696 (2020).

    ADS CAS PubMed Статья Google ученый

  • 48.

    Zhang, C.F. et al. Высокополяризованный радиовсплеск, обнаруженный на спутнике SGR 1935 + 2154 с помощью FAST Телеграмма астронома 13699 , 1–1 (2020).

    ADS Google ученый

  • 49.

    Хильмарссон, Г. Х. и др., Эволюция меры вращения повторяющегося источника быстрых радиовсплесков FRB 121102 Astrophys. J. Lett. 908 , 10–23 (2021 г.).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 50.

    Плотников И. и Сирони Л. Синхротронное мазерное излучение релятивистских ударных волн в быстрых радиовсплесках: 1D PIC-моделирование плазмы холодной пары. Пн. Нет. R. Astron. Soc. 485 , 3816–3833 (2019).

    ADS Статья CAS Google ученый

  • 51.

    Wu, Q., Zhang, G.Q., Wang, F. Y. & Dai, Z. G. Понимание FRB 200428 в модели синхротронного мазерного удара: последовательность и возможные проблемы. Astrophys. J. Lett. 900 , Л26 (2020).

    ADS CAS Статья Google ученый

  • .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *