Решение систем уравнений (одновременных уравнений)
Если у вас есть два разных уравнения с одними и теми же двумя неизвестными в каждом, вы можете решить для обоих неизвестных. Есть три распространенных метода решения: сложение/вычитание, замена и построение графика.
Метод сложения/вычитания
Этот метод также известен как метод исключения.
Чтобы использовать метод сложения/вычитания, сделайте следующее:
- Умножьте одно или оба уравнения на какое-либо число (числа), чтобы сделать число перед одной из букв (неизвестных) одинаковым или прямо противоположным в каждом уравнение.
- Сложите или вычтите два уравнения, чтобы исключить одну букву.
- Найдите оставшееся неизвестное.
- Найдите другое неизвестное, подставив значение найденного неизвестного в одно из исходных уравнений.
Пример 1
Найдите x и y .
Добавление уравнений устраняет y ‐членов.
Теперь подставив 5 вместо x в первое уравнение, мы получим следующее:
Ответ: x = 5, y = 2
Заменив каждое x на 5 и каждое y на 2 в исходных уравнениях, вы увидите, что каждое уравнение станет верным.
В Примере и Примере существовал уникальный ответ для x и y , который делал каждое предложение верным одновременно. В некоторых ситуациях вы не получаете уникальных ответов или не получаете ответов. Вы должны знать об этом, когда используете метод сложения/вычитания.
Пример 2
Решите для x и лет.
Сначала умножьте нижнее уравнение на 3. Теперь
Уравнения можно вычесть, исключив члены y .
Вставьте x = 5 в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .
Ответ: х = 5, y = 3
Конечно, если число перед буквой в каждом уравнении уже одно и то же, вам не нужно изменять ни одно из уравнений.
Просто добавьте или вычтите.
Чтобы проверить решение, замените каждое x в каждом уравнении на 5 и замените каждое y в каждом уравнении на 3.
Пример 3
Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание, что получится.
Теперь, если вы должны вычесть одно уравнение из другого, результат будет 0 = 0.
Это утверждение всегда верно .
Когда это происходит, система уравнений не имеет единственного решения. На самом деле, любая замена на и на , которая делает одно из уравнений верным, также делает верным другое уравнение. Например, если a = -6 и b = 5, то оба уравнения выполняются.
[3(– 6) + 4(5) = 2 И 6(– 6) + 8(5) = 4]
На самом деле у нас есть только одно уравнение, записанное двумя разными способами. В этом случае второе уравнение фактически является первым уравнением, умноженным на 2. Решением для этой ситуации является либо исходное уравнение, либо упрощенная форма любого уравнения.
Пример 4
Найдите x и y .
Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание, что получится.
Теперь, если вы вычтете нижнее уравнение из верхнего уравнения, результат будет 0 = 1. Это утверждение равно 9.0023 никогда не верно . В этом случае система уравнений не имеет решения.
В примерах 1–4 только одно уравнение умножалось на число, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными. Иногда каждое уравнение нужно умножать на разные числа, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными.
Найдите x и y .
Обратите внимание, что нет простого числа, на которое можно умножить любое уравнение, чтобы получить числа перед 9.0023 x или y , чтобы стать одинаковыми или противоположными. В этом случае сделайте следующее:
- Выберите букву для исключения.
- Используйте две цифры слева от этой буквы.
- Определите, на какое значение нужно умножить каждое уравнение, чтобы получить это значение, и умножьте уравнение на это число.
Предположим, вы хотите исключить x . Наименьшее общее кратное 3 и 5, число перед x , равно 15. Первое уравнение нужно умножить на 5, чтобы получить 15 перед x . Второе уравнение нужно умножить на 3, чтобы получить 15 перед x .
Теперь вычтите второе уравнение из первого, чтобы получить следующее:
В этот момент вы можете либо заменить y на и найти x (метод 1 ниже), либо начать с исходного два уравнения и исключить
Метод 1
Используя верхнее уравнение: Замените y на и найдите x .
Метод 2
Исключите y и найдите x .
Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12. Умножьте верхнее уравнение на 3, а нижнее уравнение на 2.
Теперь сложите два уравнения, чтобы исключить y .
Решение x = 1 и .
Метод подстановки
Иногда система легче решается методом подстановки
Пример 6
Решите для x и лет.
Из первого уравнения подставьте ( y + 8) вместо x во второе уравнение.
( у + 8) + 3 г = 48
Теперь найдите г. Упростите, объединив и .
Теперь подставьте y значение 10 в одно из исходных уравнений.
Ответ: y = 10, x = 18
Проверьте решение.
Пример 7
Найдите x и y методом подстановки.
Решите для этой буквы через другую букву.Затем действуйте, как в примере 6.
В этом примере в нижнем уравнении стоит «1» перед y .
Найдите y через x .
Подставьте 4 x – 17 вместо y в верхнем уравнении, а затем найдите x .
Замените x на 4 в уравнении y – 4 x = –17 и найдите y .
Решение: x = 4, y
Проверьте решение:
Графический метод
Другой метод решения уравнений заключается в построении графика каждого уравнения на координатном графике. Координаты пересечения и будут решением системы. Если вы не знакомы с построением координатных графиков, внимательно изучите статьи по координатной геометрии, прежде чем пытаться использовать этот метод.
Пример 8
Решите систему с помощью графика.
Сначала найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.
(Хотя для определения прямой линии необходимы только две точки, нахождение третьей точки является хорошим способом проверки.) Ниже приведены таблицы значений
x
и
| 4 | 0
| 2 | –2
| 5 | 1
x
и
| 1 | -1
| 4 | 0
| 7 | 1
Теперь начертите две линии на координатной плоскости, как показано на рис. 1.
Точка пересечения двух прямых (4, 0) является решением системы.
Если прямые параллельны, то они не пересекаются, а значит, у этой системы нет решений.
Рис. 1. График линий х = 4 + y и х – 3 y = 4, обозначающий решение.
Пример 9
Решите систему с помощью графика.
Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.
3 x + 4 y = 2 6 x + 8 y = 4
Ниже приведены таблицы значений x и 4 y 9002.
См. рис. 2.
x
и
| 0 |
| 2 | – 1
| 4 |
x
и
| 0 |
| 2 | – 1
| 4 |
Обратите внимание, что одинаковые точки удовлетворяют каждому уравнению. Эти уравнения представляют одну и ту же прямую.
Следовательно, решение не является единственной точкой. Решением являются все точки на прямой.
Следовательно, решением является любое уравнение прямой, поскольку они оба представляют одну и ту же прямую.
Это похоже на пример, когда это было сделано с использованием метода сложения/вычитания.
Рис. 2. График линий 3 x + 4 y = 2 и 6 x + 8 y = 4 с указанием решения.
Пример 10
Решите систему с помощью графика.
Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. См. следующие таблицы значений x и y :
x
и
| 0 | 1
| 2 |
| 4 | -2
x
и
| 0 | 2
| 2 |
| 4 | -1
Обратите внимание, что на рисунке 3 два графика параллельны.
Они никогда не встретятся. Следовательно, для этой системы уравнений решения нет.
Для этой системы уравнений не существует решения.
Это похоже на пример, выполненный с использованием метода сложения/вычитания.
Рис. 3. График линий 3 х + 4 у = 4 и 6 х + 8 у = 16, обозначающий решение.
Онлайн калькулятор алгебры
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
э.
Мне нужна помощь, особенно с некоторыми очень сложными задачами в онлайн-калькуляторе алгебры. Я не хочу идти в какой-либо учебник, и я был бы очень признателен за любую помощь в этой области. Спасибо!
Когда я был там, я сталкивался с теми же проблемами, что и вы. Я всегда путался в предварительной алгебре, промежуточной алгебре и алгебре колледжа. Я был худшим в онлайн-калькуляторе алгебры, пока не узнал об Алгебраторе. Это действительно полезно, и я определенно рекомендую его. Лучшая часть программного обеспечения заключается в том, что оно также поможет вам выучить алгебру, а не просто перечислить свои ответы. Я нашел Algebrator эффективным и уверен, что он поможет и вам. Дай мне знать.
Я был поражен, когда после нескольких недель разочарований я просто ввел матрицы, и на этом мои проблемы с математикой закончились. Также хорошо, что вы можете использовать программное обеспечение для любого уровня: я использую его уже несколько лет, я использовал его в Remedial Algebra, а также в Algebra 1! Просто попробуйте и убедитесь в этом сами!
Даже я столкнулся с похожими проблемами при решении абсолютных значений, подобия катетов гипотенузы и gcf. Просто введите задачу из домашней работы и нажмите «Решить» — и пошаговое решение моей домашней работы по математике будет готово. Я использовал его на нескольких уроках математики – алгебра среднего уровня, алгебра 1 и алгебра 1. Я очень рекомендую эту программу.
Пожалуйста, пришлите мне ссылку на программу.