Главная
Решение систем уравнений онлайн методом жордана гаусса: Решить систему методом Жордана Гаусса

Решение систем уравнений онлайн методом жордана гаусса: Решить систему методом Жордана Гаусса

Метод Гаусса-Жордана – презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Метод Гаусса — Жордана

МЕТОД ГАУССА — ЖОРДАНА

2. Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения
неизвестных) — метод, который используется для решения
систем линейных алгебраических уравнений, нахождения
обратной матрицы, нахождения координат вектора в
заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод
является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф.
Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма
Йордана

3. Алгоритм

АЛГОРИТМ
1.Выбирают первый слева столбец матрицы, в
котором есть хоть одно отличное от нуля
значение. (разрешающий-главный столбец)
2.Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то
меняют всю первую строку матрицы с другой
строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3.Все элементы первой (разрешающей-главной)
строки делят на верхний (разрешающий-главный)
элемент выбранного столбца.

4. Алгоритм

АЛГОРИТМ
4.Из оставшихся строк вычитают первую
(разрешающую-главную) строку, умноженную на первый
элемент соответствующей строки, с целью получить
первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
5.Далее проводят такую же процедуру с матрицей,
получающейся из исходной матрицы после вычёркивания
первой строки и первого столбца.
6.После повторения этой процедуры (n-1) раз , получают
верхнюю треугольную матрицу

5.

АлгоритмАЛГОРИТМ
7.Вычитают из предпоследней строки последнюю
строку, умноженную на соответствующий
коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней
строке осталась только 1 на главной диагонали.
8.Повторяют предыдущий шаг для последующих
строк. В итоге получают единичную матрицу и
решение на месте свободного вектора (с ним
необходимо проводить все те же преобразования).

6. Пример

ПРИМЕР

11. Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы

РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

12. Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

ПРЯМОЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ
ПОД ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ)

13. Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

ПРЯМОЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ ПОД
ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛЬЮ)

15. Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

ОБРАТНЫЙ ХОД (АЛГОРИТМ ОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕЙ НАД ГЛАВНОЙ
ДИАГОНАЛЬЮ)

English     Русский Правила

Численные методы решения систем линейных уравнений, страница 4

Математика \ Вычислительная математика

Рассмотрим метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента с точки зрения операций над матрицами.

Теорема

Произвольная невырожденная матрица перестановкой строк (столбцов) может быть приведена к матрице с главными минорами, отличными от нуля (, где P – матрица перестановок).

Матрица Р получается из единичной матрицы перестановкой строк (столбцов).

Сложность метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента

Число арифметических действий, необходимых для его реализации: , где n – число уравнений. Оценим сложность по памяти: требуется память для хранения n2 элементов матрицы, вектора b (n элементов) и вектора x (n элементов), в результате, .

Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента является устойчивым, если все ведущие элементы по модулю больше единицы.

Следует отметить, что метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента – это основной алгоритм вычислительной математики линейной алгебры.

Метод Гаусса с полным выбором ведущего элемента отличается от метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента тем, что на каждом шаге прямого хода ведущий элемент ищется в непреобразованной части матрицы. Непреобразованная часть матрицы – это квадратная матрица размерности

n-i+1, получаемая вычеркиванием первых   i – 1  строк и первых   i – 1  столбцов. В методе Гаусса с полным выбором ведущего элемента возможна не только перестановка строк матрицы и соответствующих элементов правой части, но и перестановка столбцов матрицы и, соответственно, изменение порядка следования неизвестных.

3.4. Вычисление определителя матрицы

Мы знаем, что в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента , где P – матрица перестановок, т.е. матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой строк, следовательно, , где  – число перестановок строк.

Получим:                        .

Окончательная формула для вычисления определителя матрицы А:

, где  – число перестановок строк в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента;  – ведущие элементы матрицы, полученные методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

Таким образом, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента мы одновременно с решением получаем значение определителя матрицы. Если же при использовании метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента мы получаем, что ведущий элемент равен нулю, то detA = 0.

3.5. Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы также используется метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

Напомним, что если , то существует  такая, что , где E – единичная матрица.

 – это и есть система линейных уравнений для нахождения элементов .  содержит n2 элементов, все они неизвестные.

 – это система линейных уравнений размерности  n2 , но одновременно можно рассматривать как n систем линейных уравнений с одинаковой матрицей А, вектором правой части является столбец единичной матрицы, а вектором решения – столбец матрицы , т.

е.

,        , где  –  столбец единичной матрицы ,;  –  столбец матрицы .

Решая эти системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, получаем столбцы , образующие матрицу . Следует отметить, что хотя мы решаем n систем линейных уравнений, но матрица у всех систем линейных уравнений одинакова, следовательно, ведущие элементы матрицы мы находим один раз.

Если же detA = 0, то при использовании метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента этот факт обнаружится, так как ведущий элемент будет равен нулю. Таким образом, используя метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, мы либо находим обратную матрицу , либо приходим к выводу, что detA = 0.

3.6. Метод Гаусса-Жордана

Метод Гаусса-Жордана – это модификация метода Гаусса. После выполнения прямого хода в методе Гаусса-Жордана матрица преобразуется к диагональной, а не к верхней треугольной. Обратный ход в методе Гаусса-Жордана – это решение системы линейных уравнений с диагональной матрицей.

Рассмотрим пример использования метода Гаусса-Жордана.

Пример

Скачать файл

3.3: Решающие системы с исключением Гаусса-Жордана

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    40127
    • OpenStax
    • OpenStax

    Цели обучения

    • Написать расширенную матрицу системы уравнений.
    • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
    • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц и графического калькулятора.
    • Решайте финансовые задачи с помощью матриц и графического калькулятора.

    Необходимые навыки

    Прежде чем начать, пройдите этот обязательный тест.

    Введите в калькулятор следующие матрицы и выполните указанные операции. Если операция не может быть выполнена, укажите причину.

    \(A=\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2\\2 & 6 & 7\\4 & 1 & −5 \end{bmatrix} \), \(B=\begin{bmatrix} 3 & -7\\0 & 1\\2 & −8 \end{bmatrix} \), \(C=\begin{bmatrix} 9 & 4\\6 & -5\\7 & −1 \end{bmatrix } \)

    а. \(A \cdot B\)

    б. \(B \cdot A\)

    c. \(4B-2C\)

    д. \(A+C\)

    Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

    а. \(\begin{bmatrix} 11 и -18\\20 и -64\\2 и 13 \end{bmatrix} \)

    б. Не определено, так как количество столбцов в матрице \(B\) не соответствует количеству строк в матрице \(A\).

    в. \(\begin{bmatrix} -6 и -36\\-12 и 14\\-6 & −30 \end{bmatrix} \)

    д. Не определено, так как размерность матрицы \(A\) не соответствует размерности матрицы \(C\).

    {th}\) века и начале \(19{го}\) века, но он до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

    Ранее в этой главе мы рассмотрели методы решения систем уравнений. В этом разделе мы изучим еще один метод решения систем, на этот раз с использованием матриц.

    Расширенные матрицы

    Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей

    .

    Например, рассмотрим следующую \(2 × 2\) систему уравнений.

    \[\begin{align*} 3x+4y&= 7\\ 4x-2y&= 5 \end{align*}\]

    Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

    \(\left[ \ begin{array}{cc|c} 3&4&7\\4&-2&5\end{array} \right]\)

    Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов .

    \(\begin{bmatrix}3&4\\4&−2\end{bmatrix}\)

    Система уравнений три на три , такая как

    \[\begin{align*} 3x- y-z&= 0\\ x+y&= 5\\ 2x-3z&= 2 \end{align*}\]

    имеет матрицу коэффициентов

    \(\begin{bmatrix}3&−1&−1\\1&1&0\\2&0&−3\end{bmatrix}\)

    и представлен расширенной матрицей

    \(\left [ \begin{array}{ccc|c}3&-1&-1&0\\1&1&0&5\\2&0&-3&2\end{array} \right]\)

    Обратите внимание, что матрица записана таким образом, что переменные выстраиваются в собственные столбцы: \(x\)-термы идут в первом столбце, \(y\)-термы во втором столбце и \(z\)-термы в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме \(ax+by+cz=d\), чтобы переменные совпадали. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен \(0\).

    Как: Для системы уравнений составить расширенную матрицу

    1. Записать коэффициенты при \(x\)-членах в виде чисел в первом столбце.
    2. Запишите коэффициенты \(y\)-членов в виде чисел во втором столбце.
    3. Если есть \(z\)-члены, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
    4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

    Пример \(\PageIndex{1}\): запись расширенной матрицы для системы уравнений

    Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

    \[\begin{align*} x+2y-z&= 3\\ 2x-y+2z&= 6\\ x-3y+3z&= 4 \end{align*}\]

    Решение

    Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

    \(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&2&−1&3\\2&−1&2&6\\1&−3&3&4\end{массив} \right]\)

    Упражнение \(\PageIndex{1} \)

    Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

    \[\begin{align*} 4x-3y&= 11\\ 3x+2y&= 4 \end{align*}\]

    Ответ

    \(\left[ \begin{array}{cc|c} 4&−3&11\\3&2&4\end{массив} \right]\)

    Написание системы уравнений из расширенной матрицы

    Мы можем использовать расширенные матрицы для решения систем уравнений, поскольку они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

    Пример \(\PageIndex{2}\): запись системы уравнений из расширенной матрицы

    Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

    \(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−3&−5&-2\\2&−5&−4&5\\−3&5&4&6 \end{массив} \right]\)

    Решение

    Когда столбцы представляют переменные \(x\), \(y\) и \(z\),

    \[\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-3&-5&- 2\\2&-5&-4&5\\-3&5&4&6 \end{массив} \right] \rightarrow \begin{align*} x-3y-5z&= -2\\ 2x-5y-4z&= 5\\ -3x+ 5y+4z&= 6 \end{align*}\]

    Упражнение \(\PageIndex{2}\)

    Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

    \(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-1& 1&5\\2&-1&3&1\\0&1&1&-9\end{массив}\right]\)

    Ответ

    \(\begin{align*} x-y+z&= 5\\ 2x-y+3z&= 1\\ y+z&= -9 \end{align*}\)

    Сокращенная ступенчатая форма

    Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать ее матрицу в уменьшенная форма строки-эшелона , в которой единицы расположены вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции выше и ниже главной диагонали, как показано.

    Сокращенная ступенчатая форма строк \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

    Следующие расширенные матрицы представлены в сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

    \(\left[ \begin{array}{cc|c}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5\end{array} \right]\), \(\left[ \begin{array }{ccc|c}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{массив} \right]\)

    Следующие расширенные матрицы не имеют редуцированной ступенчатой ​​формы.

    \(\left[ \begin{array}{cc|c}2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7\end{array} \right]\), \(\left[ \begin{array }{ccc|c}0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{массив} \right]\)

    Пример \(\PageIndex{3 }\): Матрицы в редуцированной ступенчатой ​​форме

    Запишите систему уравнений из каждой из матриц в редуцированной ступенчатой ​​форме сверху. В чем преимущество этой формы?

    а. \(\left[ \begin{массив}{cc|c}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5\end{массив} \right]\)

    b. \(\left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{массив} \right]\)

    Раствор

    а. \(\begin{align*} x=-2\\ y=5 \end{align*}\)

    b. \(\begin{align*} x=4\\ y=3\\z=2 \end{align*}\)

    Преимущество редуцированной строчно-эшелонной формы в том, что решение системы уравнений дано в правой колонке.

     

    ИСКЛЮЧЕНИЕ ГАУССА-ЖОРДАНА

    Метод исключения Гаусса-Жордана относится к стратегии, используемой для получения сокращенной формы строки-эшелона матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу \(A\) с числом \(1\) в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями сверху и снизу.

    \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33 }\end{bmatrix}\xrightarrow{После\пробел Гаусса-Жордана\исключение пробела} A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

    Мы можем выполнить операцию со строками над матрицей, например сложение, умножение на константу и перестановку строк, чтобы создать уменьшенную форму строки-эшелона. Процесс выполнения этих шагов вручную выходит за рамки этого класса. Тем не менее, вы можете найти дополнительную информацию о методе Гаусса-Джордана ЗДЕСЬ.

     

    Решение систем уравнений с исключением Гаусса-Жордана

    Для целей этого курса мы продемонстрируем, как найти уменьшенную форму строки-эшелона в графическом калькуляторе.

    Как: Данную систему уравнений решить с помощью матриц с помощью калькулятора

    1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную \([A], [B], [C],. ..\)

      1. Нажмите 2 и МАТРИЦА. На экране отобразится меню Matrix. Дважды используйте клавишу со стрелкой вправо, чтобы выбрать меню EDIT. В меню EDIT используйте стрелку вниз, чтобы переместить курсор, чтобы выбрать желаемое имя матрицы из меню, и нажмите ENTER. Появится экран ввода матрицы.

      2. Введите размеры общего размера матрицы в виде строк \(\times\) столбцов. Введите количество строк, нажмите клавишу ВВОД, введите количество столбцов и снова нажмите клавишу ВВОД. Форма матрицы изменяется на экране, чтобы показать запрошенное количество строк и столбцов. Проверить соответствие формы желаемой матрице; если нет, то вернитесь к верхнему ряду и скорректируйте размеры. Если матрица слишком велика и не помещается на экране, используйте клавиши со стрелками для прокрутки вправо или вниз, чтобы просмотреть оставшиеся строки и столбцы.

      3. Введите элементы матрицы, нажимая ENTER после каждого. Курсор прокручивает матрицу, перемещаясь по каждой строке слева направо, а затем вниз к следующей строке. Использование клавиш со стрелками для перемещения курсора вместо нажатия клавиши ENTER может привести к тому, что значение не будет сохранено в памяти калькулятора.

      4. Нажмите  2 и  ВЫХОД, чтобы завершить процесс сохранения и вернуться на главный экран.

    2. Используйте функцию rref( в калькуляторе, чтобы найти сокращенную ступенчато-строковую форму матрицы.

      1. На главном экране нажмите 2 nd MATRIX. Используйте стрелку вправо один раз, чтобы перейти в меню MATH.

      2. Прокрутите вниз (или вверх) до rref(, стараясь не выбирать ref(, и нажмите ENTER.

      3. Нажмите 2 nd MATRIX еще раз и с помощью стрелки вниз (при необходимости) выберите имя матрицы и нажмите ENTER.

      4. Нажмите ENTER для завершения операции.

    3. Если существует сокращенная форма строки-эшелона матрицы, калькулятор отобразит ее на главном экране. ×

    Пример \(\PageIndex{4}\): Решение системы уравнений с матрицами с помощью калькулятора

    Решите систему уравнений.

    \[\begin{align*} 6x+4y+3z&= -6\\ x+2y+z&=\dfrac{1}{3}\\ -12x-10y-7z&= 11 \end{align*} \]

    Решение

    Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

    \(\left[ \begin{array}{ccc|c} 6&4&3&-6\\1&2&1&\dfrac{1}{3}\\-12&-10&-7&11\end{array} \right]\)

    На странице матрицы калькулятора введите указанную выше расширенную матрицу в качестве переменной матрицы \([A]\).

    \([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 6&4&3&-6\\1&2&1&\dfrac{1}{3}\\-12&-10&-7&11\end{массив} \right ]\)

    Используйте функцию rref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную \([A]\).

    rref([A])

    представить матричные элементы в виде дробей

    Вычислить

    \[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&-\dfrac{2}{3}\\ 0&1&0&\dfrac{5}{2}\\0&0&1&-4\end{массив} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+0y+0z &= -\dfrac{2}{3} \ \ y+0z &= \dfrac{5}{2} \\ z &= -4 \end{align*}} \end{array}\]

    Таким образом, решение, которое легко читается из правого столбца редуцированной строчно-эшелонной формы матрицы, равно \(\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{2} ,−4\справа)\).

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Решите систему уравнений.

    \[\begin{align*} 4x-7y+2z&= -5\\ -x+3y-8z&= -10\\ -5x-4y+6z&= 19 \end{align*}\]

    Ответ

    Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

    \(\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&-7&2&-5 \\ -1&3&-8&-10 \\ -5&-4&6&19\end{массив} \right]\)

    На странице матрицы калькулятора введите указанную выше расширенную матрицу в качестве переменной матрицы \([A]\).

    \([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&-7&2&-5 \\ -1&3&-8&-10 \\ -5&-4&6&19\end{массив} \right]\)

    Используйте функцию rref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную \([A]\).

    rref([A])

    Используйте параметр MATH –> FRAC в калькуляторе, чтобы выразить элементы матрицы в виде дробей.

    Оценка

    \[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&\dfrac{3}{2}\end{array} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+0y+0z &= -2 \\ y+0z &= 0 \\ z &= \dfrac{3}{2} \end{align*}} \end {массив}\]

    Таким образом, решение, которое легко читается из правого столбца редуцированной построчно-ступенчатой ​​формы матрицы, равно \(\left(-2, 0,\dfrac{3}{2}\right)\).

    Пример \(\PageIndex{5}\): применение матриц \(2×2\) к финансам 12% годовых. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил \($1335\). Сколько было вложено по каждой ставке?

    Решение

    У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть \(x=\) сумма, инвестированная под 10,5% %, и \(y=\) сумма, инвестированная под 12% %.

    \[\begin{align*} x+y&= 12,000\\ 0,105x+0,12y&= 1,335 \end{align*}\]

    В качестве матрицы имеем

    \(\left[ \begin{ array}{cc|c} 1&1&12 000\\0,105&0,12&1,335\end{массив} \right]\)

    Введите эту матрицу в качестве переменной матрицы \([A]\). Используйте функцию rref(  , вызывающую переменную матрицы \([A]\). \0&1&5000\конец{массив} \право]\)

    Таким образом, \(7000 долларов США\) было инвестировано под 10,5% годовых, а \(5000 долларов США\) под 12% годовых.

    Пример \(\PageIndex{6}\): применение матриц \(3×3\) к финансам

    Ava инвестирует в общей сложности \(10 000 долларов США\) в три счета, один из которых приносит 5 % годовых, другой – 8 %. проценты, а третий платит 9 % годовых. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил \($770\). Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

    Решение

    У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть \(x\) будет суммой, инвестированной под 5 % процентов, пусть \(y\) будет суммой, инвестированной под 8 % процентов, и пусть \(z\) будет суммой, инвестированной под 9 % процентов. Таким образом,

    \[\begin{align*} x+y+z &= 10 000 \\ 0,05x+0,08y+0,09z &= 770 \\ 2x−z &= 0 \end{align*}\]

    В качестве матрицы у нас есть

    \(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0,05&0,08&0,09&770\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)

    Введите эту матрицу как переменную матрицы \([A]\). Используйте функцию rref(  , вызывающую переменную матрицы \([A]\). \0&1&0&1000\\0&0&1&6000\end{array} \right]\)

    Ответ: \(3000$\) инвестировано под 5%, \(1000$\) инвестировано под 8% и \(6000$\) инвестировано под 9 % .

    Упражнение \(\PageIndex{4}\)

    Небольшая обувная компания взяла кредит в размере \($1 500 000\) для расширения своих запасов. Часть денег была взята в долг под 7 %, часть – под 8%, а часть была заимствована под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7 %, а годовой процент по всем трем кредитам составлял \(130 500 долларов США\). Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа под каждая ставка

    Ответить

    \($150,000\) под 7%, \($750,000\) под 8%, \($600,000\) под 10%

    Медиа

    Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по решению систем линейных уравнений методом исключения Гаусса.

    • Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы
    • Решение системы трех уравнений с помощью расширенной матрицы
    • Расширенные матрицы на калькуляторе

    Ключевые понятия

    • Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. пример \(\PageIndex{1}\).
    • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​в виде исходной системы уравнений. См. пример \(\PageIndex{2}\).
    • Мы можем использовать метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы уравнений. См.  Пример \(\PageIndex{4}\).
    • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).

    Авторы и авторство

    Эта страница под названием 3.3: Решающие системы с методом исключения Гаусса-Джордана распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        ОпенСтакс
        Лицензия
        СС BY
        Версия лицензии
        4,0
        Показать страницу TOC
        да
      2. Теги
        1. расширенная матрица
        2. Исключение Гаусса
        3. операции со строками
        4. рядно-эшелонная форма
        5. источник@https://openstax.

      Оставить комментарий