Решить системы линейных алгебраических уравнений (Слау)
В первой части мы рассмотрели некоторый теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, посеместровым сложением!
Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.
Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .
Метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.
Корни уравнения находятся по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
Решение : Видим, что коэффициенты уравнения довольно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.
Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода, обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: “значит система имеет единственное решение” . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.
Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы.
В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.
Пример 8
Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.
Это пример для самостоятельного решения (пример изящного оформления и ответ в конце урока).
Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Найдем главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ вычисляется по формулам:
Как видите, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решите систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.
, поэтому система имеет единственное решение.
Ответ : .
Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм “лечения”. Если под рукой нет компьютера, делаем так:
1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» выстрелом, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).
2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверьте и составьте его на чистом экземпляре после принятия решения.
Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.
Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системного матричного метода.
Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.
Пример 10
Решите систему, используя формулы Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.
Решение системы с помощью обратной матрицыМетод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).
Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.
Пример 11
Решить систему матричным методом
Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где
Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы.
По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.
Находим обратную матрицу по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраическими сложениями соответствующих элементов матрицы .
Сначала разберемся с определителем:
Здесь определитель расширяется первой строкой.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:
То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце
2.
Решение систем уравнений матричным методом (с использованием обратную матрицу).
3. Метод Гаусса для решения систем уравнений.
Метод Крамера.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ ).
Формулы на примере системы двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решите систему методом Крамера
Относительно переменных X и в .
Решение:
Найдите определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы Вычисление определителей. :
Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решите систему уравнений:
относительно переменных X и в .
Решение:
Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:
Проделаем аналогичное действие, заменив второй столбец в первом определителе :
Применим Формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Комментарий: Этот метод можно использовать для решения систем больших размерностей.
Комментарий: Если оказывается, что , и на ноль делить нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система либо имеет бесконечно много решений, либо вообще не имеет решений.
Пример 2 (бесконечное число решений):
Решите систему уравнений:
относительно переменных X и на .
Решение:
Найдите определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:
Решение систем методом подстановки.
Первым из уравнений системы является равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Так что осталось только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными.
Общее решение будет записано так:
Частные решения можно определить, выбрав произвольное значение y и вычислив x из этого уравнения связи.
и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:
Пример 3 (нет решений, система несовместна):
Решите систему уравнений:
Решение:
из определителя из коэффициентов системы:
Формулами Крамера пользоваться нельзя. Решим эту систему методом подстановки
Второе уравнение системы представляет собой равенство, которое не выполняется ни при каких значениях переменных (разумеется, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то вся система не имеет решений.
Ответ: решений нет
Рассмотрим систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители третьего порядка, решение такой системы можно записать в том же виде, что и для системы из двух уравнений, т.е.0003
если 0. Здесь
Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:
Решение . Нахождение определителя главной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислить еще три определителя:
Экспертиза:
Следовательно, решение найдено верно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам
(2.5)
, где
– определитель главной матрицы ,
и – определитель матрицы , производный от основного, замена i -го столбца свободных элементов столбца .
Обратите внимание, что если =0, то правило Крамера неприменимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. детерминанты n-го порядка
Дополнительный минор M ij элемент a ij называется определителем, полученным из заданного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Алгебраическое сложение A ij элемент a ij называется минором этого элемента, взятого со знаком (–1)
. n -й порядок по строке или столбцу .
Теорема 2.1. Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) и их алгебраических дополнений:
(2.
6)
Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления детерминанты, так наз. метод сокращения заказа . В результате разложения определителя n -го порядка в любой строке или столбце получим n определителей (
т.е. алгебраические дополнения записываются явно в терминах миноров.
Примеры 2.4. Вычислите определители, разложив их сначала в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будут отмечены стрелкой.
2.5. Основные свойства определителей
Разложив определитель по любой строке или столбцу, получим n определителей ( n –1)-й приказ. Тогда каждый из этих определителей (
Продолжая этот процесс, можно добраться до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Количество членов будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, не под силу даже компьютеру. Однако определители можно вычислить и другим способом, используя свойства определителей.Собственность 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :
.
Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк, и наоборот.
Собственность 2 .
Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Последствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.
Собственность 3 . Общий делитель всех элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя .
Например,
Последствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .
Собственность 4 . Определитель не изменится, если элементы одной строки (столбца) прибавить к элементам другой строки (столбца), умноженным на некоторое число
Например,
Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений.
Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами.
Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1 Решить систему линейных уравнений:
Согласно Теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
1 90 калькулятор Крамера онлайн .
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система непротиворечивая и определенная)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений
(система непротиворечивая и неопределенная)
** ,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений
(система несовместная)
Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение.
Совместная система уравнений, которая имеет только одно решение, называется определенным , а более одного неопределенным .
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть система
.
На основании теоремы Крамера
………….
,
где
–
системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой в столбце коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:
Пример 2
.
Следовательно, система определена. Для ее решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.
Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Раствор. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Для ее решения вычисляем определители неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.
Начало страницы
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.
Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение.
Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных
Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам поиска общих свойств каких-либо явлений или объектов. То есть вы изобрели какой-либо новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, необходимо решить систему линейных уравнений, где вместо каких-то коэффициентов при переменных стоит являются письма.
За примерами далеко ходить не надо.
Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Нахождение определителей при неизвестных
При числе уравнений равном числу неизвестных с главным определителем матрицы, не равным нулю, коэффициенты при системы (решение таких уравнений есть и только одно).
Теорема Крамера.
Когда определитель матрицы квадратной системы отличен от нуля, это означает, что система совместна и имеет одно решение и его можно найти по формулам Крамера :
где Δ – определитель матрицы системы ,
Δ и – определитель матрицы системы, в которой вместо и -го столбца стоит столбец правых частей.
Когда определитель системы равен нулю, то система может стать состоятельной или несовместной.
Этот метод обычно используется для небольших систем с объемными расчетами и если необходимо определить 1 из неизвестных. Сложность метода в том, что необходимо вычислить множество определителей.
Описание метода Крамера.
Имеется система уравнений:
Систему из 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который обсуждался выше для системы из 2-х уравнений.
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных:
Это будет системный классификатор . Когда D≠0 , система непротиворечива. Теперь составим 3 дополнительных определителя:
,
Решаем систему по формулам Крамера :
Примеры решения систем уравнений методом Крамера.
Пример 1 .
Дана система:
Решим методом Крамера.
Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:
Так как ∆≠0, то по теореме Крамера система совместна и имеет одно решение. Вычислим дополнительные определители.
Определитель Δ 1 получается из определителя Δ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Получаем:
Таким же образом получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы, заменив второй столбец столбцом свободных коэффициентов:
3 Калькулятор систем уравнений + Онлайн Решатель с бесплатными шагами
Калькулятор 3 систем уравнений используется для решения уравнений для трех переменных x, y и z.
Три системы уравнений представляют собой набор из трех уравнений с тремя переменными . Он принимает три уравнения в качестве входных данных, переставляет уравнения и решает значения x, y и z.
Этот калькулятор также может решать уравнения высшей степени второй и третьей степени, давая комплексные решения для x, y и z. Если система уравнений линейная, калькулятор выдает три действительных решения.
Что такое калькулятор трех систем уравнений?
Калькулятор трех систем уравнений — это онлайн-калькулятор, который решает три уравнения с тремя различными переменными, используя разные методы, и дает решение для неизвестных переменных.
Для решения уравнений используются различные методы: метод подстановки, метод исключения и метод построения графиков. Калькулятор использует только первые два метода решения системы.
Как использовать калькулятор 3 систем уравнений?
Вы можете использовать калькулятор трех систем уравнений, введя три уравнения и нажав кнопку отправки.
Ниже приводится подробное объяснение шагов, необходимых для использования калькулятора 3 системы уравнений.
Шаг 1
Введите три уравнения в блоки с названиями Уравнение 1 , Уравнение 2 и Уравнение 3, соответственно. По умолчанию используются три переменные: x, y и z, но пользователь также может использовать другие переменные. Уравнения по умолчанию являются линейными, но пользователь также может найти решения для уравнений более высокого порядка.
Шаг 2
Нажмите кнопку S отправить , чтобы калькулятор обработал три входных уравнения.
Вывод
Окно вывода показывает следующие блоки:
Ввод
Окно ввода показывает интерпретированный ввод калькулятора. Отсюда пользователь может проверить правильность или неправильность введенных уравнений. Если ввод неверен, в окне отображается сообщение «Неверный ввод, попробуйте еще раз».
Альтернативные формы
В этом окне показаны некоторые альтернативные формы трех уравнений, переставленные для разных переменных с одной стороны.
Решения
В этом окне показаны полученные решения трех систем уравнений. Решениями являются значения неизвестных переменных в уравнениях.
Пользователь также может нажать «Нужно пошаговое решение этой проблемы?» для просмотра всех шагов для конкретной системы уравнений.
Решенные примеры
Ниже приведены некоторые решенные примеры калькулятора 3 систем уравнений.
Пример 1
для трех систем уравнений:
2x + y + z = 7
2x – y + 2z = 6
x – 2y + z = 0
.
значения x, y и z.
Решение
Сначала введите три уравнения в окно ввода калькулятора. Нажмите «Отправить», чтобы калькулятор отобразил результаты.
Калькулятор показывает входные уравнения, введенные пользователем, затем отображает решения для x, y и z следующим образом:
x = 1
y = 2
z = 3
Калькулятор также дает альтернативные формы трех уравнений, переставляя их для третьей переменной z.
для уравнения 1:
2x + y + z = 7
z = – 2x – y + 7
для уравнения 2:
2x – y + 2z = 6
74 2x – y + 2z = 6 74 2x 2x – y + 2z = 6 74 2x 2z. + 2z = 6 + yПринимая 2 за общее с левой стороны:
2 ( x + z ) = y + 6
Деление на 2 с обеих сторон дает нам:
\[ x + z = \frac{y}{2} + 3\]
Итак:
\[ z = – x + \frac{y}{2} + 3 \]
Для уравнения 3:
x – 2y + z = 0
Добавление 2y с обеих сторон дает нам:
x + z = 2y
Таким образом, окончательное значение равно:
z = 2y – x
Пример 2
Для трех систем уравнений:
3x – 2y + 4z = 35
-4x + y – 5z = -36
5x – 3y + 3z = 31
900, а x – 3y + 3z = 31 900,Решение
Введите три уравнения в окно ввода и нажмите «Отправить», чтобы калькулятор отобразил следующие результаты:
Сначала калькулятор показывает интерпретированные входные уравнения.
Затем он находит значения x, y и z, которые равны:
x = -1
y = -5
z = 7
В следующем окне показаны альтернативные формы трех входных уравнений.
Для уравнения 1:
3x – 2y + 4z = 35
Преобразование уравнения 1:
3x + 4z = 2y + 35
Это первая альтернативная форма, показанная на калькуляторе.
Теперь, разделив на 4 с обеих сторон:
\[ \frac{3x}{4} + z = \frac{y}{2} + \frac{35}{4} \]
Таким образом, уравнение принимает следующий вид:
\[ z = \frac{-3x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{35}{4} \]
Это вторая альтернативная форма .
для уравнения 2:
-4x + y -5z = -36
Умножение на -1 дает:
4x -Y + 5Z = 36
= y + 36
Это первая альтернативная форма, показанная на калькуляторе.
Деление на 5 с обеих сторон:
\[ \frac{4x}{5} + z = \frac{y}{5} + \frac{36}{5} \]
Итак:
\[ z = \frac{-4x} {5} + \frac{y}{5} + \frac{36}{5} \]
Для уравнения 3:
5x – 3y + 3z = 31
5x + 3z = 3y + 31
Это первая альтернативная форма, показанная на калькуляторе.