Решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований и сведении к верхней треугольной (ступенчатой или трапециевидной). После чего решают систему с конца к началу, подстановкой найденных решений.

Рассмотрим примеры решения систем линейных уравнений методом Гаусса, взяв за справочник сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. “Высшая математика”.

————-

Задача.

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 189)

2) (4. 195)

3) (4. 198)

Решение.

1) Преобразуем исходную систему к ступенчатому виду. Для этого от второго уравнения вычтем первое, умноженное на 3, а от четвертого вычтем первое, умноженное на 4.

В результате с третьего уравнения имеем Полученное значение подставляем в исходное уравнение для нахождения

Полученные значения подставляем в первое уравнение

Решением системы трех линейных уравнений будут следующие значения переменных

2) Имеем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. В таких случаях одна переменная может быть свободна, а остальные будут выражаться через нее. Сведем систему к ступенчатому виду. Для этого от второго и третьего уравнения вычтем первое

Из последних двух уравнений получаем идентичные решения

.

После подстановки в первое уравнение получим

Данное уравнение связывает три переменные. Таким образом любая из переменных может быть выражена через две других

Итак получим следующее решение

3) Имеем разреженную систему линейных уравнений пятого порядка с пятью неизвестными. Сведем ее к ступенчатому виду. От второго уравнения вычтем первое и запишем в удобном для анализа виде

Из второго уравнения находим, что . Подставляем значения во все нижние уравнения и переносим за знак равенства. Также поменяем второе с третьим уравнения местами

Четвёртое и пятое уравнения эквивалентны. Выразим одну из переменных через другую

Полученное значение подставим во второе уравнение и найдем

Из первого уравнения определяем

Решение системы уравнений следующее

При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса нужно свезти систему линейных уравнений к ступенчатому виду. Для этого удобно записывать переменные под переменными, как в последнем примере, это ускорит решение. Остальное все зависит от матрицы, которую нужно решить и Ваших умений.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Метод гаусса приклад. Метод гаусса онлайн

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае

приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы : . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка : рекомендую запомнить термины

линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить)

на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯ

ЛИ не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ : рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется

трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения

. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно

к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО :
А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :
Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ :

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ : .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ : .

Пример 4: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена . (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.

Обратный ход:

Ответ :

Пример 5: Решение : Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.

Обратный ход:

Ответ :

1. Система линейных алгебраических уравнений

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i – свободными членами, a ij и b i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x 1 ,…, x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x n . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

2. Метод исключения Гаусса

2.1 Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на

и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:


– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a 11

0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а 22 (1) (если a 22 (1) 0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида

то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).

2.2 Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты при

во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант – все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x 1 , x 2 … x n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему – означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами – и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) – это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

  • Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
  • Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся – нулями.
  • Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 – получившиеся ответы в процессе решения.

  1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
  2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ – решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

  1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую – уже в измененном.
  2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья – уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
  3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
  4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
  5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
  6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений – это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком “равно”. Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика – это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй – второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).

Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:

1) Не иметь решений (бытьнесовместной ).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.

Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы – матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:

1) с троки матрицыможно переставлять местами.

2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.

3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .

4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.

5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.

В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

  1. «Прямой ход» – с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:

Для этого выполним следующие действия:

1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.

2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.

3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.

  1. «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.

Пример.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг . К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

5 шаг . Третью строку разделили на 3.

Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Ответ 😡 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделим третье уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножим третье уравнение на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.

х 2 = 3 и х 1 = –1.

Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.

Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.

Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите “очень подробное решение” и посмотрите его решение онлайн.

Метод гаусса последовательность. Обратный ход метода гаусса

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите “очень подробное решение” и посмотрите его решение онлайн.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).

Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:

1) Не иметь решений (бытьнесовместной ).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.

Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы – матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:

1) с троки матрицыможно переставлять местами.

2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.

3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .

4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.

5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.

В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

  1. «Прямой ход» – с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:

Для этого выполним следующие действия:

1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.

2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.

3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.

  1. «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.

Пример.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг . К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

5 шаг . Третью строку разделили на 3.

Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Ответ 😡 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделим третье уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножим третье уравнение на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.

х 2 = 3 и х 1 = –1.

Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.

Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.

Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).

Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:

1) Не иметь решений (бытьнесовместной ).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.

Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы – матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:

1) с троки матрицыможно переставлять местами.

2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.

3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .

4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.

5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.

В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

  1. «Прямой ход» – с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:

Для этого выполним следующие действия:

1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.

2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.

3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.

  1. «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.

Пример.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг . К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

5 шаг . Третью строку разделили на 3.

Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Ответ 😡 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделим третье уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножим третье уравнение на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.

х 2 = 3 и х 1 = –1.

Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.

Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.

Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор .

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а . Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.

Пример.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

1. Система линейных алгебраических уравнений

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i – свободными членами, a ij и b i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x 1 ,…, x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x n . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

2. Метод исключения Гаусса

2.1 Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на

и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:


– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a 11

0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а 22 (1) (если a 22 (1) 0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида

то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).

2.2 Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты при

во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

Линейная алгебра для машинного обучения: решите систему линейных уравнений | by Khuyen Tran

Как алгебра является основным механизмом алгоритмов машинного обучения

Давайте начнем с общего графика в науке о данных: график разброса

Получено из Chartio

График выше представляет корреляцию между диаметром и высотой дерева. Каждая точка – это образец дерева. Наша задача – найти наиболее подходящую линию для прогнозирования высоты с учетом диаметра.

Как мы можем это сделать? Вот тогда и нужна линейная алгебра.

Получено из Академии Едутина

Линейная регрессия является примером линейных систем уравнений . Линейная алгебра – это работа с линейными системами уравнений. Вместо того, чтобы работать со скалярами, мы начинаем работать с матрицами и векторами .

Линейная алгебра – это ключ к пониманию вычислений и статистики, необходимых в машинном обучении. Если вы сможете понять методы машинного обучения на уровне векторов и матриц, вы улучшите свою интуицию относительно того, как и когда они работают .Лучшая линейная алгебра поднимет вашу игру по всем направлениям.

А как лучше всего разбираться в линейной алгебре? Реализуй это. Существует 2 метода решения системы линейных уравнений: прямые методы и итерационные методы. В этой статье мы будем использовать прямые методы, в частности, метод Гаусса.

Так как чаще всего мы работаем с данными с множеством функций (или переменных). Мы сделаем нашу систему линейных уравнений более общей, вместо этого работая с трехмерными данными.

Давайте сгенерируем пример для графика выше:

, где коэффициенты x_0, x_1 и x_2 и соответствующие значения 8, 4, 5 являются выборками точек на графике. Уравнения можно разбить на матрицы A, x и b

, где A и b – матрицы известных констант, x – вектор неизвестных переменных.

 A = np.array ([[2, 1, 5], 
[4, 4, -4],
[1, 3, 1]])
b = np.array ([8,4,5 ])

Объедините матрицу A и b, чтобы получить

 n = A.shape [0] 

C = np.c_ [A, b.reshape (-1,1)]

Теперь мы готовы решать наши проблемы с помощью двух шагов:

  1. Примените метод исключения Гаусса, чтобы уменьшить матрицу выше до треугольная матрица

, которая может быть представлена ​​уравнением:

2. Примените обратную замену для получения результата

Начнем с первого шага

Чтобы получить эту матрицу:

идея проста:

  • Мы начните со значения поворота в первой строке и первом столбце: строка = 0, столбец = 0
  • Найдите максимальное абсолютное значение столбца поворота.Если все значения в этом столбце равны 0, мы останавливаемся.
  • В противном случае мы обмениваем E_0 и E_1

Затем применяем эквивалентные преобразования для преобразования всех записей ниже точки поворота в 0 с помощью:

  1. Найдите соотношение между элементом j, i и точкой поворота i, i (.ie, 2 / 4 = 1/2).
  2. Умножьте все элементы в E0 на 1/2. Вычтите все элементы в строке 1 на 1/2 E0 (т.е. 2- (4 * 1/2) = 2–2 = 0)
 #row 
для j в диапазоне (i + 1, n):

c = C [j, i] / C [i, i]
C [j ,:] = C [j ,:] - c * C [i ,:]

После того, как каждый столбец упрощен, мы переходим к следующий столбец справа.

Повторите процедуру:

Сводка: строка = 1, столбец = 1. Максимальное абсолютное значение: 2 в строке 2. Затем переставьте E_1 и E_2

Применяя эквивалентное преобразование, чтобы все записи под поворотом были преобразованы в 0

Собери все вместе

Отлично! Теперь у нас есть система уравнений:

Как только мы попали сюда, эту систему уравнений невероятно легко решить с помощью обратной подстановки

Из метода исключения Гаусса мы получаем треугольную матрицу

Идея состоит в том, чтобы решить систему уравнений, указанную выше, следующим образом: решение снизу вверх.Используйте значение, полученное из последнего уравнения, чтобы найти другие значения.

Начните со строки 3. Разделите 8 на 8, чтобы получить значение x_3.

 X [n-1] = T [n-1, n] / T [n-1, n-1] 

Теперь во второй строке мы имеем:

x_2 можно легко решить с помощью

Повторить с x1

Таким образом, в общем случае обратная подстановка может быть представлена ​​как:

Отлично! Мы получаем решение, как и предполагали. Чтобы убедиться, что это правильно при работе с большей матрицей, мы можем использовать встроенную функцию в NumPy

 >>> np.linalg.solve (A, b) array ([1., 1., 1.]) 

Мы получаем вектор решений, каждый элемент которого соответствует x_0, x_1, x_2

Поздравляем, вы зашли так далеко! Надеюсь, эта статья поможет вам понять, что такое линейная алгебра и один из механизмов решения системы линейных уравнений. Я стараюсь сделать эту статью максимально понятной. Но я понимаю, что это может быть сложно, если вы не знакомы с линейной алгеброй. Это нормально! Шаг за шагом.Чем больше вы знакомитесь с линейной алгеброй, тем лучше вы ее поймете.

Вы можете поиграть и поэкспериментировать с приведенными выше кодами в моем Github.

Мне нравится писать об основных концепциях науки о данных и играть с различными алгоритмами и инструментами анализа данных. Вы можете связаться со мной в LinkedIn и Twitter.

Пометьте это репо, если хотите проверить коды всех статей, которые я написал. Следуйте за мной на Medium, чтобы быть в курсе моих последних статей по науке о данных, таких как:

Как обычное исключение стало исключением по Гауссу

https: // doi.org / 10.1016 / j.hm.2010.06.003Получение прав и содержание

Аннотация

Ньютон в заметках, которые он предпочел бы не видеть опубликованными, описал процесс решения одновременных уравнений, который более поздние авторы применили специально к линейным уравнениям. Этот метод, который Эйлер не рекомендовал, который Лежандр назвал «обычным» и который Гаусс назвал «общим», теперь назван в честь Гаусса: «гауссовское» исключение. Имя Гаусса стало ассоциироваться с исключением из-за принятия профессиональными компьютерами специальной системы обозначений, которую Гаусс разработал для своих собственных вычислений методом наименьших квадратов.Обозначение позволило рассматривать исключение как последовательность арифметических операций, которые неоднократно оптимизировались для ручных вычислений и в конечном итоге описывались матрицами.

Zusammenfassung

In Aufzeichnungen, die Newton lieber nicht der Veröffentlichung preisgeben hätte, beschreibt er den Prozess für die Lösung von simultanen Gleichungen, den spätere Autoren Speziell fürt. Diese Methode – welche Euler nicht empfahl, welche Legendre «ordinaire» nannte, и welche Gauß «gewöhnlich» nannte – wird nun nach Gauß benannt: Gaußsches Eliminationsverfahren.Die Verbindung des Gaußschen Namens mit Elimination wurde dadurch hervorgebracht, dass Professionelle Rechner eine Notation übernahmen, die Gauß speziell für seine eigenen Berechnungen der kleinsten Quadrate ersonnen hatte, welche zuließranschindereisendereisse wurden und schließlich durch Matrizen beschrieben wurden.

2000 MSC

01-08

62J05

65-03

65F05

97-03

Ключевые слова

Алгебра до 1800

Метод исключения Гаусса

Человеческие компьютеры

Минимальное образование

Рекомендуемые статьиЦитирующие статьи (0)

Copyright © 2010 Elsevier Inc.

Рекомендуемые статьи

Цитирование статей

Исключение Гаусса Джордана путем поворота

Исключение Гаусса Джордана путем поворота

Система линейных уравнений может быть помещены в матричную форму. Каждый уравнение становится строкой, и каждое переменная становится столбцом. An добавлен дополнительный столбец для Правая сторона. Система показаны линейные уравнения и результирующая матрица.

Система линейных уравнений …

 3x + 2y - 4z = 3
2х + 3у + 3z = 15
5x - 3y + z = 14 

становится расширенной матрицей…

х y z справа
3 2 -4 3
2 3 3 15
5 -3 1 14

Цель при решении системы уравнений состоит в том, чтобы по возможности преобразовать расширенную матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.

Есть три элементарных операции со строками, которые вы можете использовать для размещения матрицы в уменьшенная строчно-эшелонированная форма.

Каждое из требований сокращенной матрицы строка-эшелон может быть удовлетворено с использованием элементарной строки операции.

  • Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
    Поменяйте местами две строки матрицы, чтобы переместить строку со всеми нулями вниз.
  • Первый ненулевой элемент любой строки – это единица.Этот элемент называется ведущим.
    Умножьте (разделите) строку на ненулевую константу, чтобы превратить первый ненулевой элемент в один.
  • Первая строка любой строки располагается справа от первой строки предыдущей строки.
    Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку. В Смысл этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы преобразовать числа в нули. Сделав числа под ведущими в ноль, это заставляет первый ненулевой элемент любой строки быть справа от ведущей предыдущей строки.
  • Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.
    Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку. В Смысл этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы преобразовать числа в ноль. Разница здесь в что вы очищаете (обнуляете) элементы выше ведущего, а не чуть ниже ведущий.

Что такое поворот?

Цель поворота – сделать элемент выше или ниже ведущего. в ноль.

«Поворотный элемент» или «сводный элемент» – это элемент в левой части матрицы. что вы хотите элементы сверху и снизу равны нулю.

Обычно это единица. Если вы найдете книгу, в которой упоминается поворот, они обычно сказать вам, что вы должны повернуться на один. Если ограничиться тремя элементарными рядами операций, то это верное утверждение.

Однако, если вы хотите объединить вторую и третью элементарные операции со строками, вы придумать другую строковую операцию (не элементарную, но все еще действующую).

  • Вы можете умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к ненулевому кратному другому row, заменив эту строку.

И что? Если вам нужно повернуться на одном, то вам иногда придется использовать второй. элементарная операция со строкой и разделите строку на ведущий элемент, чтобы превратить ее в единицу. Деление приводит к дробям. Хотя дроби – ваши друзья, вы с меньшей вероятностью ошибетесь если вы их не используете.

В чем прикол? Если вы не остановитесь на одном, вы, вероятно, столкнетесь с большими числами.Самый люди готовы работать с большими числами, чтобы избежать дробей.

Процесс поворота

Pivoting работает, потому что общее кратное (не обязательно наименьшее общее кратное) двух чисел всегда можно найти, умножив два числа вместе. Возьмем предыдущий пример и очистить первый столбец.

х y z справа
3 2 -4 3
2 3 3 15
5 -3 1 14

Полезные советы

  • Хотя вам не нужно поворачиваться на одном, это очень желательно.Поворот на единицу означает, что вы умножаете на 1 (что легко сделать).
  • Поворот по главной диагонали – это хорошо, но не обязательно. Некоторым людям нравится начинать с левого верхнего угла и продвигаться вниз к Нижний правый.
  • Пока вы выполняете поворот только один раз для каждой строки и столбца, столбцы, которые были очищены, останутся очищенными.
  • Поскольку точка поворота – очистить столбец поворота, выбор столбец, в котором уже есть нули, экономит время, потому что у вас нет чтобы изменить строку, содержащую ноль.

Выбор оси

  • Выберите столбец с наибольшим количеством нулей.
  • Использовать строку или столбец только один раз
  • Поверните на единицу, если возможно
  • Ось по главной диагонали
  • Никогда не поворачивайтесь на ноль
  • Никогда не поворачивайте вправо

Так как в первом ряду никого нет, у нас есть два варианта: либо мы первую строку делим на три и работаем дробями, либо делаем поворот на три и получите большие числа.Это вариант, который я собираюсь использовать. Я поверну на троих в R 1 C 1 . Обведите его как стержневой элемент. В зависимости от вашего браузера вы элементы поворота могут быть обведены красным кружком или просто отмечены знаком * перед ним.

х y z справа
* 3 2 -4 3
2 3 3 15
5 -3 1 14

Идея состоит в том, чтобы превратить числа в рамке (желтые) в ноль.Использование комбинированного рядная операция (это не элементарная операция), это может сделать 3R 2 – 2R 1 → R 2 и 3R 3 – 5R 1 → R 3 .

Единственная строка, которая не изменяется, – это строка, содержащая элемент поворота ( 3). Весь смысл процесса поворота состоит в том, чтобы обнулить значения в рамке. Перепишите сводную строку и очистите (сделайте ноль) сводный столбец.

х y z справа
* 3 2 -4 3
0
0

Для замены значений в строке 2 каждый новый элемент получается путем умножения элемент, заменяемый во второй строке на 3 и вычитающий в 2 раза элемент в первой строка из того же столбца, что и заменяемый элемент.

Чтобы выполнить поворот, приложите один палец к оси поворота (обведено кружком). номер) и один палец на заменяемом элементе. Умножьте эти два числа вместе. Теперь поместите один палец на номере в рамке в той же строке, что и элемент, который вы заменяя и другой палец в поворотном ряду и такой же столбец как номер, который вы заменяете. Умножьте эти два числа вместе. Возьмите продукт за шарнир и вычесть произведение без оси.

х y z справа
* 3 2 -4 3
2 3 3 15
5 -3 1 14

Чтобы заменить 3 в R 2 C 2 , вы должны взять 3 (3) – 2 (2) = 9-4 = 5.

Чтобы заменить 3 в R 2 C 3 , вы должны взять 3 (3) – 2 (-4) = 9 +8 = 17.

Чтобы заменить 15 в R 2 C 4 , вы должны взять 3 (15) – 2 (3) = 45 – 6 = 39.

Чтобы заменить -3 в R 3 C 2 , вы должны взять 3 (-3) – 5 (2) = -9-10 = -19.

Чтобы заменить 1 в R 3 C 3 , вы должны взять 3 (1) – 5 (-4) = 3 + 20 = 23

Чтобы заменить 14 в R 3 C 4 , вы должны взять 3 (14) – 5 (3) = 42-15 = 27.

Вот как выглядит процесс.

х y z справа
поворотный ряд, копия
3
поворотный ряд, копия
2
поворотный ряд, копия
-4
поворотный ряд, копия
3
поворотная стойка, прозрачная
0
3 (3) – 2 (2)
5
3 (3) – 2 (-4)
17
3 (15) – 2 (3)
39
поворотная стойка, прозрачная
0
3 (-3) – 5 (2)
-19
3 (1) – 5 (-4)
23
3 (14) – 5 (3)
27

Или, если убрать комментарии, матрица после первого поворота будет выглядеть так.

х y z справа
3 2 -4 3
0 5 17 39
0 -19 23 27

Пришло время повторить весь процесс.Мы проходим и выбираем другое место для поворота. Мы хотел бы, чтобы он был на главной диагонали, с единицей или с нулями в столбце. К сожалению, у нас не может быть ничего из этого. Но так как мы должны все умножить другие числа у оси, мы хотим, чтобы она была маленькой, поэтому мы перейдем к 5 дюймов R 2 C 2 и очистите 2 и -19.

х y z справа
3 2 -4 3
0 * 5 17 39
0 -19 23 27

Начните с копирования вниз сводной строки (2-я строка) и очистки сводного столбца (2-я строка). столбец).Ранее очищенные столбцы останутся очищенными.

х y z справа
0
0 * 5 17 39
0 0

Вот вычисления, чтобы найти следующее взаимодействие.Обратите особое внимание в 3-ю строку, где мы вычитаем значение -19 раз. Поскольку мы вычитаем отрицательный, я записал его как плюс 19.

х y z справа
5 (3) – 2 (0)
15
поворотная стойка, прозрачная
0
5 (-4) – 2 (17)
-54
5 (3) – 2 (39)
-63
поворотный ряд, копия
0
поворотный ряд, копия
5
поворотный ряд, копия
17
поворотный ряд, копия
39
ранее погашено
0
поворотная стойка, прозрачная
0
5 (23) + 19 (17)
438
5 (27) + 19 (39)
876

И получившаяся матрица.

х y z справа
15 0 -54 -63
0 5 17 39
0 0 438 876

Обратите внимание, что все элементы в первой строке кратны 3 и все элементы в последней строке кратны 438.Разделим, чтобы сократить ряды.

х y z справа
5 0 -18 -21
0 5 17 39
0 0 1 2

Это имело дополнительное преимущество, давая нам 1, именно там, где мы хотим, чтобы это было вращаться.Итак, мы повернемся к 1 в R 3 C 3 и очистим -18 и 17. Обведите свою точку поворота и поместите остальные числа в рамку. этот столбец очистить.

х y z справа
5 0 -18 -21
0 5 17 39
0 0 * 1 2

Скопируйте сводную строку и очистите сводный столбец.Ранее очищенные столбцы останется очищенным до тех пор, пока вы не повернете строку или столбец дважды.

х y z справа
0 0
0 0
0 0 * 1 2

Обратите внимание, что каждый раз приходится выполнять меньше вычислений.Вот расчеты для этой оси. Опять же, поскольку значение в сводном столбце в первая строка -18 и мы вычитаем, я записал это как + 18.

х y z справа
1 (5) +18 (0)
5
ранее погашено
0
поворотная стойка, прозрачная
0
1 (-21) + 18 (2)
15
ранее погашено
0
1 (5) – 17 (0)
5
поворотная стойка, прозрачная
0
1 (39) – 17 (2)
5
поворотный ряд, копия
0
поворотный ряд, копия
0
поворотный ряд, копия
1
поворотный ряд, копия
2

И получившаяся матрица.

х y z справа
5 0 0 15
0 5 0 5
0 0 1 2

Обратите внимание, что первая и вторая строки кратны 5, поэтому мы можем уменьшить их ряды.

х y z справа
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2

И окончательный ответ: x = 3, y = 1 и z = 2.Вы также можете написать это как упорядоченный триплет {(3,1,2)}.

Надеюсь, вы заметили, что когда я работал с этим примером, я не следовал подсказкам Я дал. Это потому, что я хотел, чтобы вы увидели, что произойдет, если вы не повернетесь на один. В исходной матрице был один на главной диагонали, и Лучше было бы начать с этого.

Сводка

  • Подбирайте поворотный элемент с умом.
  • Выбор столбца с нулями означает меньший поворот.
  • Если выбрать единицу в качестве оси поворота, числа будут меньше, умножение станет проще, а ненулевые элементы в очищенном столбце то же самое (без поворота)
  • Поворот по главной диагонали означает, что вам не придется переключать строки, чтобы поместить матрицу в уменьшенная строчно-эшелонированная форма.
  • Не поворачивайтесь на ноль.
  • Не поворачивайте вправо.
  • Использовать строку или столбец только один раз
  • Возьмите продукт с шарниром за вычетом продукта без шарнира

Особые случаи

Если вы получите строку из всех нулей, кроме правой, то система не имеет решения.

Если вы получаете строку со всеми нулями, а количество ненулевых строк меньше, чем количество переменных, то система зависима, у вас будет много ответов, и вам нужно написать свой ответ в параметрической форме.

Как выполнить исключение Гаусса? Шкаф системы с уникальным решением

В этом разделе мы предлагаем еще один пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Этот пример ясно показывает, что при выполнении исключения Гаусса вы должны замечать, когда удобно менять строки местами, чтобы сэкономить время и сократить вычисления.

Нам предстоит решить следующую систему линейных алгебраических уравнений:

\ left \ {\ begin {align} -2x + y + 2z = 2 \\ x + 3y-z = 0 \\ 3x + 2y + 4z = 3 \ end {align} \ right.

Прежде всего, обратите внимание, что мы можем поменять местами любые два уравнения в системе по своему усмотрению, решение, очевидно, не изменится. Мы видим, что x имеет коэффициент 1 во втором уравнении, поэтому мы можем преобразовать нашу систему следующим образом:

\ left \ {\ begin {align} x + 3y-z = 0 \\ – 2x + y + 2z = 2 \\ 3x + 2y + 4z = 3 \ end {align} \ right.

Вот видеоверсия этого примера:

Теперь мы можем исключить x из второго уравнения.Для этого добавим первое уравнение, умноженное на 2, ко второму:

\ left \ {\ begin {align} x + 3y-z = 0 \\ 7y = 2 \\ 3x + 2y + 4z = 3 \ end {align} \ right.

Также мы исключаем x из третьего уравнения: вычитаем первое уравнение, умноженное на 3, из третьего:

\ left \ {\ begin {align} x + 3y-z = 0 \\ 7y = 2 \\ – 7y + 7z = 3 \ end {align} \ right.

После этого мы могли действовать по нашему алгоритму. Но в этом нет необходимости, поскольку мы видим, что у нас есть второе уравнение, содержащее только одно неизвестное y, а также третье уравнение, содержащее две неизвестные.Таким образом, мы можем изменить нашу систему следующим образом:

\ left \ {\ begin {align} x + 3y-z = 0 \\ – 7y + 7z = 3 \\ 7y = 2 \ end {align} \ right.

Это треугольная форма; мы можем сразу получить y из третьего уравнения:

\ left \ {\ begin {align} x + 3y-z = 0 \\ – 7y + 7z = 3 \\ y = \ frac {2} {7} \ end {align} \ right.

Затем мы подставляем его во второе уравнение и получаем значение z:

\ left \ {\ begin {align} x + 3y-z = 0 \\ z = \ frac {5} {7} \\ y = \ frac {2} {7} \ end {align} \ right.

Затем подставьте значения y, z в первое уравнение, чтобы получить x:

\ left \ {\ begin {align} x = – \ frac {1} {7} \\ z = \ frac {5} {7} \\ y = \ frac {2} {7} \ end {align} \Правильно.

и вот ответ.

Как видите, у данной системы есть одно решение. Это решение уникальное. Имейте в виду, что в общем случае возможны три случая: система линейных алгебраических уравнений либо имеет единственное решение, либо бесконечно много решений, либо вообще не имеет решения. Решая домашнее задание по линейной алгебре, вы можете столкнуться с любым из этих случаев. Не забудьте потом проверить свой ответ. Просто подставьте его в исходную систему. Также вы можете использовать онлайн-решатель систем.Введите свою систему и сравните результат со своим ответом.

Ознакомьтесь с подробными объяснениями метода исключения Гаусса в одном из наших предыдущих руководств для лучшего понимания. Помните, что практика – ключевой момент в изучении математики. Хотите лучше по математике? Уделите больше математики!

Уравновешивание химических уравнений методом исключения Гаусса

с использованием метода исключения Гаусса

Этот калькулятор использует метод исключения Гаусса для определения стехиометрических коэффициентов химического уравнения.Исключение Гаусса (также известное как сокращение строк) – это численный метод решения системы линейных уравнений. Метод назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855).


Все химические уравнения должны быть сбалансированы. Что значит быть сбалансированным? Это означает, что соблюдается закон сохранения массы. 2 +)

  • Чтобы ввести знак уравнения, вы можете использовать символы «=», «->» или «→».
  • Уравнение можно записать строчными буквами. Если элементы в химической формуле правильно написаны с заглавной буквы, преобразователь смарт-кейсов оставит их так, как вы ввели.
  • Для обозначения физических состояний, которые вы можете использовать для твердого тела, (l) для жидкостей, (g) для газов и (aq) для веществ, растворенных в воде.
  • Примеры химических уравнений
    Балансировка окислительно-восстановительных реакций

    При балансировании окислительно-восстановительных реакций математическими методами могут возникнуть две проблемы:

    1.Уравновешивание уравнений окислительно-восстановительных реакций путем проверки или математического метода (например, метода исключения Гаусса) может дать математически точные результаты, но не химически. Это связано с тем, что уравнения окислительно-восстановительных реакций также должны удовлетворять электронному балансу, то есть количество электронов, высвобождаемых в реакции окисления, должно быть равно количеству электронов, полученных в реакции восстановления.

    Метод изменения окислительного числа

    2.Уравнения окислительно-восстановительного потенциала часто записываются таким образом, что вода и ее ионы не учитываются. При необходимости могут быть добавлены H 2 O, H + или OH (в зависимости от среды), поскольку предполагается, что реакция протекает в воде. В противоположность этому математический метод требует, чтобы все частицы, участвующие в реакции, были явно указаны.

    Метод изменения окислительного числа

    Системы линейных уравнений


    Линейное уравнение – это уравнение для линии .

    Линейное уравнение не всегда имеет вид y = 3,5 – 0,5x ,

    Также может иметь вид y = 0,5 (7 – x)

    Или как y + 0,5x = 3,5

    Или как y + 0,5x – 3,5 = 0 и более.

    (Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)

    A Система линейных уравнений – это когда у нас есть два или более линейных уравнения , работающих вместе.

    Пример: Вот два линейных уравнения:

    Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.

    Сможете ли вы сами определить значения x и y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)

    Давайте попробуем построить и решить реальный пример:

    Пример: вы против лошади

    Это гонка!

    Вы можете бегать 0,2 км каждую минуту.

    Лошадь может бежать 0,5 км каждую минуту. Но оседлать лошадь нужно за 6 минут.

    Как далеко вы можете уйти, прежде чем лошадь вас поймает?

    Мы можем составить два уравнения ( d = расстояние в км, t = время в минутах)

    • Вы работаете с 0.2 км каждую минуту, поэтому d = 0,2 т
    • Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы берем на ее время 6: d = 0,5 (t − 6)

    Итак, у нас есть система уравнений (это линейных ):

    Решаем на графике:

    Вы видите, как лошадь стартует через 6 минут, а потом бежит быстрее?

    Кажется, тебя поймают через 10 минут … Тебя всего 2 км.

    В следующий раз беги быстрее.

    Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.

    Давайте продолжим узнавать о них больше ….

    Решение

    Существует множество способов решения линейных уравнений!

    Давайте посмотрим на другой пример:

    Пример: решите эти два уравнения:

    На этом графике показаны два уравнения:

    Наша задача – найти место пересечения двух линий.

    Ну, мы видим, где они пересекаются, так что это уже решено графически.

    А теперь давайте решим это с помощью алгебры!

    Хммм … как это решить? Способов может быть много! В этом случае оба уравнения имеют “y”, поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:

    х + у – (-3x + у) = 6-2

    А теперь упростим:

    х + у + 3х – у = 6-2

    4x = 4

    х = 1

    Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке x = 1 .

    И мы можем найти совпадающее значение y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одинаковое значение при x = 1). Воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):

    х + у = 6

    1 + у = 6

    г = 5

    И решение:

    x = 1 и y = 5

    И график показывает, что мы правы!

    Линейные уравнения

    В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. Нет x 2 , y 3 , √x и т. Д. :


    Линейное против нелинейного

    Размеры

    Линейное уравнение может быть в двух измерениях …
    (например, x и y )
    … или в 3-х измерениях …
    (делает самолет)
    … или 4 размера …
    … или больше!

    Общие переменные

    Чтобы уравнения «работали вместе», они разделяют одну или несколько переменных:

    Система уравнений состоит из двух или более уравнений в одной или нескольких переменных

    Множество переменных

    Таким образом, Система уравнений может иметь много уравнений и много переменных.

    Пример: 3 уравнения с 3 переменными

    2x + y 2z = 3
    x y z = 0
    x + y + 3z = 12

    Может быть любая комбинация:

    • 2 уравнения с 3 переменными,
    • 6 уравнений с 4 переменными,
    • 9000 уравнений в 567 переменных,
    • и др.

    Решения

    Когда количество уравнений равно , то же , что и количество переменных, , вероятно, будет решением. Не гарантировано, но вероятно.

    На самом деле есть только три возможных случая:

    • Нет раствор
    • Одно решение
    • Бесконечно много решений

    Когда нет решения , уравнения называются «несовместимыми» .

    Одно или бесконечно много решений называются “согласованные”

    Вот диаграмма для 2 уравнения с 2 переменными :

    Независимый

    «Независимый» означает, что каждое уравнение дает новую информацию.
    В противном случае это «Иждивенец» .

    Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость»

    Пример:

    Эти уравнения называются «Зависимые» , потому что на самом деле это то же уравнение , только умноженное на 2.

    Итак, второе уравнение не дало новой информации .

    Где верны уравнения

    Уловка состоит в том, чтобы найти, где все уравнения являются истинными одновременно .

    Верно? Что это значит?

    Пример: вы против лошади

    Линия «ты» истинна по всей ее длине (но больше нигде).

    В любом месте этой строки d равно 0.2т

    • при t = 5 и d = 1 уравнение истинно (d = 0,2t? Да, поскольку 1 = 0,2 × 5 верно)
    • при t = 5 и d = 3, уравнение неверно (Является ли d = 0,2t? Нет, поскольку 3 = 0,2 × 5 неверно )

    Точно так же линия «лошади» верна по всей длине (но больше нигде).

    Но только в точке, где они пересекают (при t = 10, d = 2), они оба являются истинными .

    Значит, они должны быть правдой одновременно

    … поэтому некоторые люди называют их «Одновременные линейные уравнения»

    Решить с помощью алгебры

    Для их решения принято использовать алгебру.

    Вот пример “Лошади”, решенный с помощью алгебры:

    Пример: вы против лошади

    Система уравнений:

    В этом случае кажется, что проще всего установить их равными друг другу:

    d = 0.2т = 0,5 (т − 6)

    Начать с : 0,2t = 0,5 (t – 6)

    Расширить 0,5 (t − 6) : 0,2t = 0,5t – 3

    Вычтем 0,5t с обеих сторон: −0,3t = −3

    Разделим обе части на −0,3 : t = −3 / −0,3 = 10 минут

    Теперь мы знаем , когда тебя поймают!

    Зная t , можно вычислить d : d = 0,2t = 0,2 × 10 = 2 км

    И наше решение:

    t = 10 минут и d = 2 км

    Алгебра против графиков

    Зачем использовать алгебру, если графики настолько просты? Потому что:

    Более двух переменных невозможно решить с помощью простого графика.

    Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:

    • Решение заменой
    • Решение путем исключения

    Мы увидим каждую с примерами по 2 переменным и 3 переменным. Вот и …

    Решение заменой

    Это шаги:

    • Напишите одно из уравнений в стиле “переменная = …”
    • Заменить (т.е. заменить) эту переменную в другое уравнение (а).
    • Решите другое уравнение (а)
    • (при необходимости повторить)

    Вот пример с 2 уравнениями с 2 переменными :

    Пример:

    Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной .

    Давайте использовать второе уравнение и переменную «y» (это выглядит как простейшее уравнение).

    Напишите одно из уравнений в стиле “переменная =”… “:

    Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить y = 8 – x . Теперь наши уравнения выглядят так:

    Теперь замените «y» на «8 – x» в другом уравнении:

    • 3x + 2 (8 – x) = 19
    • у = 8 – х

    Решите, используя обычные методы алгебры:

    Развернуть 2 (8 − x) :

    • 3x + 16 – 2x = 19
    • у = 8 – х

    Тогда 3x − 2x = x :

    И на последок 19−16 = 3

    Теперь мы знаем, что такое x , мы можем поместить его в уравнение y = 8 – x :

    И ответ:

    х = 3
    у = 5

    Примечание: поскольку – это решение, уравнения “непротиворечивы”

    Проверка: почему бы вам не проверить, работают ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?

    Решение подстановкой: 3 уравнения с 3 переменными

    ОК! Давайте перейдем к более длинному примеру : 3 уравнения с 3 переменными .

    Это несложно, сделать … просто нужно много времени !

    Пример:

    • х + г = 6
    • г – 3у = 7
    • 2x + y + 3z = 15

    Мы должны аккуратно выровнять переменные, иначе мы потеряем из виду, что делаем:

    x + z = 6
    3 года + z = 7
    2x + y + 3z = 15

    WeI может начать с любого уравнения и любой переменной.Воспользуемся первым уравнением и переменной «x».

    Напишите одно из уравнений в стиле “переменная = …”:

    x = 6 – z
    3 года + z = 7
    2x + y + 3z = 15

    Теперь замените «x» на «6 – z» в других уравнениях:

    (К счастью, есть только одно уравнение с x в нем)

    х = 6 – z
    3 года + z = 7
    2 (6-z) + y + 3z = 15

    Решите, используя обычные методы алгебры:

    2 (6 − z) + y + 3z = 15 упрощается до y + z = 3 :

    x = 6 – z
    3 года + z = 7
    y + z = 3

    Хорошо.Мы добились некоторого прогресса, но пока не достигли этого.

    Теперь повторите процесс , но только для последних 2 уравнений.

    Напишите одно из уравнений в стиле “переменная = …”:

    Выберем последнее уравнение и переменную z:

    x = 6 – z
    3 года + z = 7
    г = 3 – х лет

    Теперь замените “z” на “3 – y” в другом уравнении:

    x = 6 – z
    3 года + 3 – х лет = 7
    z = 3-й год

    Решите, используя обычные методы алгебры:

    −3y + (3 − y) = 7 упрощается до −4y = 4 , или другими словами y = −1

    x = 6 – z
    y = -1
    z = 3-й год

    Почти готово!

    Зная, что y = −1 , мы можем вычислить, что z = 3 − y = 4 :

    x = 6 – z
    y = -1
    г = 4

    И зная, что z = 4 , мы можем вычислить, что x = 6 − z = 2 :

    x = 2
    y = -1
    z = 4

    И ответ:

    x = 2
    y = −1
    z = 4

    Проверка: проверьте сами.

    Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных … просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока не решите проблему.

    Заключение: Замена работает хорошо, но требует много времени.

    Решение методом исключения

    Уничтожение может быть быстрее … но должно быть аккуратным.

    «Исключить» означает удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.

    По идее, мы можем смело :

    • умножить уравнение на константу (кроме нуля),
    • прибавить (или вычесть) уравнение к другому уравнению

    Как в этих примерах:

    ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг в друга?

    Представьте себе два действительно простых уравнения:

    х – 5 = 3
    5 = 5

    Мы можем добавить «5 = 5» к «x – 5 = 3»:

    х – 5 + 5 = 3 + 5
    х = 8

    Попробуйте сами, но используйте 5 = 3 + 2 в качестве второго уравнения

    Он по-прежнему будет работать нормально, потому что обе стороны равны (для этого стоит знак =!)

    Мы также можем поменять местами уравнения, чтобы первое могло стать вторым и т. Д., Если это поможет.

    Хорошо, время для полного примера. Давайте использовать 2 уравнения с 2 переменными , пример из предыдущего:

    Пример:

    Очень Важно, чтобы все было в порядке:

    3x + 2 года = 19
    x + y = 8

    Сейчас… наша цель – исключить переменную из уравнения.

    Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.

    Умножьте второе уравнение на 2:

    .
    3x + 2 года = 19
    2 9 1515 x + 2 л = 16

    Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

    x = 3
    2x + 2 года = 16

    Ура! Теперь мы знаем, что такое x!

    Затем мы видим, что во втором уравнении есть «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:

    Умножьте второе уравнение на ½ (т.е.е. разделить на 2):

    x = 3
    x + y = 8

    Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

    x = 3
    y = 5

    Готово!

    И ответ:

    x = 3 и y = 5

    А вот график:

    Синяя линия – это где 3x + 2y = 19 верно

    Красная линия – это место, где x + y = 8 верно

    При x = 3, y = 5 (где линии пересекаются) они равны , оба истинны. Это и есть ответ.

    Вот еще один пример:

    Пример:

    • 2х – у = 4
    • 6x – 3y = 3

    Разложите аккуратно:

    2x y = 4
    6x 3 года = 3

    Умножьте первое уравнение на 3:

    6x 3 года = 12
    6x 3 года = 3

    Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

    0 0 = 9
    6x 3 года = 3

    0-0 = 9 ???

    Что здесь происходит?

    Все просто, решения нет.

    На самом деле это параллельные линии:

    И на последок:

    Пример:

    • 2х – у = 4
    • 6x – 3y = 12

    Аккуратно:

    2x y = 4
    6x 3 года = 12

    Умножьте первое уравнение на 3:

    6x 3 года = 12
    6x 3 года = 12

    Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

    0 0 = 0
    6x 3 года = 3

    0 – 0 = 0

    Ну, это на самом деле ИСТИНА! Ноль действительно равен нулю…

    … это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение …

    … значит существует бесконечное количество решений

    Это одна строка:

    Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:

    • Нет раствор
    • Одно решение
    • Бесконечно много решений

    Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными

    Прежде чем мы начнем со следующего примера, давайте посмотрим на улучшенный способ решения задач.

    Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью ошибемся.

    Прежде всего удалите переменные в порядке :

    .
    • Сначала удалите x с (из уравнений 2 и 3, по порядку)
    • , затем исключите y (из уравнения 3)

    Вот как мы их устраняем:

    У нас есть “форма треугольника”:

    Теперь начните снизу и вернитесь к (так называемая «обратная подстановка»)
    (введите z , чтобы найти y , затем z и y , чтобы найти x ):

    И решаемся:

    ТАКЖЕ, мы обнаружим, что легче выполнить расчетов в уме или на бумаге для заметок, чем всегда работать в рамках системы уравнений:

    Пример:

    • х + у + г = 6
    • 2y + 5z = −4
    • 2x + 5y – z = 27

    Аккуратно написано:

    x + y + z = 6
    2 года + 5z = −4
    2x + 5лет z = 27

    Сначала удалите x из 2-го и 3-го уравнения.

    Во втором уравнении нет x … переходите к третьему уравнению:

    Вычтите 2 раза первое уравнение из третьего уравнения (просто сделайте это в уме или на бумаге для заметок):

    И получаем:

    x + y + z = 6
    2 года + 5z = −4
    3 года 3z = 15

    Затем удалите y из 3-го уравнения.

    Мы, , могли бы вычесть 1½ раза 2-е уравнение из 3-го уравнения (потому что 1½ раза 2 равно 3) …

    … но мы можем избежать дробей , если мы:

    • умножьте третье уравнение на 2 и
    • умножьте второе уравнение на 3

    и , затем выполняют вычитание … вот так:

    И в итоге получаем:

    x + y + z = 6
    2 года + 5z = −4
    г = -2

    Теперь у нас есть “треугольник”!

    Теперь вернемся снова вверх “с ​​обратной заменой”:

    Мы знаем z , поэтому 2y + 5z = −4 становится 2y − 10 = −4 , затем 2y = 6 , поэтому y = 3 :

    x + y + z = 6
    y = 3
    z = -2

    Тогда x + y + z = 6 становится x + 3−2 = 6 , поэтому x = 6−3 + 2 = 5

    x = 5
    y = 3
    z = -2

    И ответ:

    x = 5
    y = 3
    z = −2

    Проверка: проверьте сами.

    Общий совет

    Как только вы привыкнете к методу исключения, он станет проще, чем замена, потому что вы просто выполняете шаги, и ответы появляются.

    Но иногда замена может дать более быстрый результат.

    • В небольших случаях (например, 2 уравнения, а иногда и 3 уравнения) замена часто проще.
    • Устранение проще для больших ящиков

    И всегда полезно сначала просмотреть уравнения, чтобы увидеть, есть ли простой ярлык… так что опыт помогает.

    .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *