Решение системы по формулам крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение системы уравнений в Excel

6325 16.10.2022 Скачать пример

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином “поведенческая экономика”, т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется “Думай медленно – решай быстро” (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений – несознательной автоматической реакции – приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.

Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет “10 центов!” 🙂 Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b – это бита, а m – это мяч):

Конечно можно “тряхнуть стариной” и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных – как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel – универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо – прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае – размером 2х2, в общем случае – может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) – сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

1. Выделить диапазон для результатов – G7:H8
2. Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
3. Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т. е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT)

:

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем – через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой “Поиск решения” (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач – это итерационные методы, т. е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл – Параметры – Надстройки – Перейти (File – Options – Add-ins – Go to)

 или на вкладке Разработчик – Надстройки (Developer – Add-ins). 

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

Здесь:

• В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы – роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, – для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы – Создать из выделенного – Слева (Formulas – Create from selection – Left column). 
• В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
• В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные – Поиск решения (Data – Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

• Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) – любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
• Изменяя ячейки переменных (By changing cells) – жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы “играем”.
• Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
• В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

После нажатия на кнопку Найти решение (Solve) через пару мгновений (или не пару – это зависит от сложности задачи) мы должны увидеть окно с результатами. Если решение найдено, то в жёлтых ячейках отобразятся подобранные значения наших переменных:

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно

Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).

11. Правило Крамера

Рассмотрим систему N Линейных уравнений с N неизвестными:

(20)

У которой определитель матрицы системы (Определитель системы) не равен нулю, т. е.

Такую систему называем системой линейных уравнений крамеровсого типа. Далее через , будем обозначать определитель, полученный из D заменой I-го столбца столбцом свободных членов:

Разлагая определитель , по элементам I-го столбца, представим его в виде:

(21)

Где , алгебраические дополнения элементов определителя D.

Теорема 10 (Теорема Крамера). Система линейных уравнений крамеровского типа имеет единственное решение, которое находится по формулам:

. (22)

Способ нахождения решений системы N линейных уравнений с N неизвестными и ненулевым определителем называется Правилом Крамера, а формулы называются Формулами Крамера.

Доказательство. Сначала допустим, что решение системы (20), и покажем, что оно находится по формулам (22). В силу определения системы справедливы верные числовые равенства:

Умножив первое из этих равенств на ,второе на , и т. д. N-е на

И сложив почленно получим равенство:

.

По теореме 6 коэффициент равен D , по следствию теоремы 6 все коэффициенты у ,…, равны нулю, правая часть равенства по формуле (21) равна и равенство принимает вид:

.

Аналогично получаем равенства:

Так как , то отсюда находим, что

,

Т. е. решения находятся по формулам (22).

Покажем, что числа, найденные по формулам (22), удовлетворяют уравнениям системы (20). Имеем

.

Эта сумма равна , так как по теореме 6 коэффициент у Равен d, по следствию теоремы 6 коэффициенты у ,…, равны нулю и числа (22) удовлетворяют уравнениям (22). Аналогично устанавливается, что числа (22) удовлетворяют остальным уравнениям системы (20).