Решение системы уравнений методом гаусса жордана: Решить систему методом Жордана Гаусса

Метод Гаусса — Жордана | это… Что такое Метод Гаусса — Жордана?

Толкование

Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана^[1].

Содержание 1 Алгоритм 2 Пример 3 Ссылки 4 Примечания

Алгоритм

1. Выбирают первую колонку слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранной колонки.
4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
6. После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу
7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Пример

Для решения следующей системы уравнений:

запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
• Строку 2 делим на −2

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
• К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

Ссылки

• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. “Schaum’s Outlines: Linear Algebra”. Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

Примеры реализации алгоритма:

• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python

Примечания

1. ↑ Транскрипция фамилии как «Жордан» является ошибочной, но она общепринята и встречается в большинстве русскоязычных источников.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

• Марка (наркотики)
• Фейер (медье)

Полезное

Численные методы решения систем линейных уравнений, страница 4

Математика \ Вычислительная математика

Рассмотрим метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента с точки зрения операций над матрицами.

Теорема

Произвольная невырожденная матрица перестановкой строк (столбцов) может быть приведена к матрице с главными минорами, отличными от нуля (

, где P – матрица перестановок).

Матрица Р получается из единичной матрицы перестановкой строк (столбцов).

Сложность метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента

Число арифметических действий, необходимых для его реализации: , где n – число уравнений. Оценим сложность по памяти: требуется память для хранения n² элементов матрицы, вектора b (n элементов) и вектора x (n элементов), в результате, .

Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента является устойчивым, если все ведущие элементы по модулю больше единицы.

Следует отметить, что метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента – это основной алгоритм вычислительной математики линейной алгебры.

Метод Гаусса с полным выбором ведущего элемента отличается от метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента тем, что на каждом шаге прямого хода ведущий элемент ищется в непреобразованной части матрицы. Непреобразованная часть матрицы – это квадратная матрица размерности n-i+1, получаемая вычеркиванием первых   i – 1  строк и первых  

i – 1  столбцов. В методе Гаусса с полным выбором ведущего элемента возможна не только перестановка строк матрицы и соответствующих элементов правой части, но и перестановка столбцов матрицы и, соответственно, изменение порядка следования неизвестных.

3.4. Вычисление определителя матрицы

Мы знаем, что в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента , где P – матрица перестановок, т.е. матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой строк, следовательно, , где  – число перестановок строк.

Получим:                        .

Окончательная формула для вычисления определителя матрицы А:

, где  – число перестановок строк в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента;  – ведущие элементы матрицы, полученные методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

Таким образом, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента мы одновременно с решением получаем значение определителя матрицы. Если же при использовании метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента мы получаем, что ведущий элемент равен нулю, то detA = 0.

3.5. Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы также используется метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

Напомним, что если , то существует  такая, что , где E – единичная матрица.

 – это и есть система линейных уравнений для нахождения элементов .  содержит n² элементов, все они неизвестные.

 – это система линейных уравнений размерности  n² , но одновременно можно рассматривать как n систем линейных уравнений с одинаковой матрицей А, вектором правой части является столбец единичной матрицы, а вектором решения – столбец матрицы , т.

е.

,        , где  –  столбец единичной матрицы ,;  –  столбец матрицы .

Решая эти системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, получаем столбцы , образующие матрицу . Следует отметить, что хотя мы решаем n систем линейных уравнений, но матрица у всех систем линейных уравнений одинакова, следовательно, ведущие элементы матрицы мы находим один раз.

Если же detA = 0, то при использовании метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента этот факт обнаружится, так как ведущий элемент будет равен нулю. Таким образом, используя метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, мы либо находим обратную матрицу , либо приходим к выводу, что detA = 0.

3.6. Метод Гаусса-Жордана

Метод Гаусса-Жордана – это модификация метода Гаусса. После выполнения прямого хода в методе Гаусса-Жордана матрица преобразуется к диагональной, а не к верхней треугольной. Обратный ход в методе Гаусса-Жордана – это решение системы линейных уравнений с диагональной матрицей.

Рассмотрим пример использования метода Гаусса-Жордана.

Пример

Скачать файл

Используйте метод Гаусса-Жордана для решения системы уравнений. y=-9+x y=-5+z z=6-x

Конечная математика

Алисса Г.

спросил 23.07.20

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Уильям В. ответил 23.07.20

Репетитор

5,0 (839)

Математика и естественные науки стали проще — учитесь у инженера на пенсии

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Обратите внимание, что есть много способов решить эту проблему. Это просто один из способов. Это может совпадать или не совпадать с шагами, которые использует кто-то другой.

Объяснение:

1) Преобразуйте уравнения в матрицу (позиция 1). Умножьте строку 1 на «-1», добавьте к строке 3 и замените строку 3 результатами, чтобы получить позицию 2

2) Умножьте строку 2 на «-1», добавьте к строке 3 и замените строку 3 результатами, чтобы получить позиция 3.

3) Разделите строку 3 на 2, чтобы получить позицию 4

4) Сложите строки 3 и 2 и замените строку 2 на результат, чтобы получить позицию 5

5) Добавьте строки 2 и 2 и замените строку 2 на результат, чтобы получить позицию 6.

Интерпретируйте позицию 6, чтобы получить ответ: x = 5, y = -4, z = 1

Голосовать за 1 голос против

Подробнее

Отчет

Патрик Б. ответил 23. 07.20

Репетитор

4.7 (31)

Репетитор/учитель математики и информатики

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

набор решений (x=5, y=-4, z=1)

переписывание:

-x + y + 0z = -9

0x + y – z = -5

z + 0y + z = 6

Таким образом, матрица имеет вид:

-1 1 0 -9

0 1 -1 -5

1 0 1 6

добавляет строку3 + строку1 –> строку1

0 1 1 -3

0 1 -1 -5

1 0 1 6

добавляет строку2 + строку1 –> строку1

0 2 0 -8

0 1 -1 -5

1 0 1 6

поэтому 2y = -8

уравнение 2 говорит: y – z = -5

-4 – z = -5

-z = -1

z = 1

исходное первое уравнение говорит: -x + y = -9

– х + -4 = -9

-x = -5

x = 5

набор решений (x=5, y=-4, z=1)

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Вопросы и ответы по методу Гаусса Джордана

Этот набор вопросов и ответов с множественным выбором численного анализа (MCQ) фокусируется на «Методе Гаусса Джордана — 1».

1. Решите уравнения методом Гаусса-Жордана.

 х + 2у + 6з = 22
3x + 4y + z = 26
6х - у - г = 19
 

а) х = 4, у = 3, z = 2
б) х = 4, у = 3, z = 2
в) х = 4, у = 3, z = 2
г) х = 4, y = 3, z = 2
Просмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: Методом Гаусса-Жордана мы получаем
\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
3 & 4 & 1\\
6 & -1 & -1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
22\\
26\\
19\\
\end{bmatrix} \)

По R ₂ -3R ₁ и R ₃ -6R ₁

\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
0 & -2 & -17\\
0 & -13 & 37\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
22\\
-40\\
-113\\
\end{bmatrix} \)

реклама

реклама

-2R ₃ и -13R ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
0 & 26 & 221\\
0 & 26 & 74\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
22\\
520\\
226\\
\end{bmatrix} \)

R ₃ -R ₂ и R ₂ /13, R ₃ /(-147)

\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
0 & 2 & 17\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
22\\
40\\
2\\
\end{bmatrix} \)

реклама

R ₁ -R ₂ и R ₁ +11R ₃ , Р ₂ -117Р ₃

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
4\\
6\\
2\\
\end{bmatrix} \)

реклама

(1/2)р ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
4\\
3\ \
2\\
\end{bmatrix} \)

Следовательно, x = 4, y = 3, z = 2.

2. Решите уравнения методом Гаусса-Жордана.

 х + 2у + 6з = 44
3x + 4y + z = 52
6х - у - г = 38
 

а) х = 8, у = 6, z = 4
б) х = 8, у = 4, z = 6
в) х = 4, у = 8, z = 6
г) х = 8, y = 6, z = 2
Посмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: Методом исключения Гаусса Джордана мы получаем
\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
3 & 4 & 1\\
6 & -1 & -1 \\
\ end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
44\\
52\\
38\\
\end{bmatrix} \)

По R ₂ -3R ₁ и R ₃ -6R ₁
-2R ₃ и -13R ₂
R0188 3 -R ₂ and R ₂ /13, R ₃ /(-147)
R ₁ -R ₂ and R ₁ +11R ₃ , R ₂ -117R ₃
(1/2)R ₂
\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end {bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
8\\
6\\
4 \\
\end{bmatrix} \)
Следовательно, x = 8, y = 6, z = 4,

3. Решите уравнения методом Гаусса-Жордана.

 х+у+г=9
2x-3y+4z=13
3x+4y+5z=40
 

а) х=1, у=3, z=4
б) х=1, у=3, z=5
в) х=1, у=3, z=7
г) х=1, y=3, z=2
View Answer

Ответ: b
Объяснение: Методом Гаусса-Жордана получаем
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & -3 & 4\\
3 & 4 & 5\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
9\\
13\\
40\\
\end{bmatrix} \)

По R ₂ -2R ₁ и R ₃ -3R ₁

\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
0 & -5 & 2\\
0 & 1 & 2\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\ \
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
9\\
-5\\
13\\
\end{bmatrix} \)

5R ₃ и -R ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 5 & 10\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z \\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
9\\
5\\
65\\
\end{bmatrix} \)

R ₃ -R ₂ и R ₂ +(1/6) R ₃ , (1/12)R ₃

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 5 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
9\\
15\\
5\\
\end{bmatrix} \)

(1/2)R ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
9\\
3\\
5\\
\end{bmatrix} \)

Р ₁ -Р ₂ -Р ₃

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5\\
\end{bmatrix} \)

Следовательно, x =1, y=3, z=5.

4. Решите уравнения методом Гаусса-Жордана.

 2x-3y+z=-1
х+4у+5г=25
3x-4y+z=2
 

а) х=1, у=3, z=4
б) х=1, у=3, z=5
в) х=1, у=3, z=7
d) x=1, y=3, z=2
Просмотреть ответ

Ответ: b
Объяснение: Методом Гаусса-Жордана получаем
\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
2 & -3 & 1\\
3 & -4 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
25\\
-1\\
2\\
\end{bmatrix} \)

По R ₂ -2R ₁ и R ₃ -3R ₁

\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
0 & -11 & -9\\
0 & -16 & -14\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\ \
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
25\\
-51\\
-73\\
\end{bmatrix} \)

-R ₃ и -R ₂ , 16R ₂ и 11R ₁

\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
0 & 176 & 144\\
0 & 176 & 154\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
25\\
816\\
803\\
\end{bmatrix} \)

R ₃ -R ₂ и (1/16)R ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
0 & 11 & 9\\
0 & 0 & 10\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
25\\
51\\
-13\\
\end{bmatrix} \)

Р ₂ -(9/10)R ₃ и R ₁ -(1/2)R ₃

\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & 0\\
0 & 11 & 0\\
0 & 0 & 10\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
63/2\\
627/10\\
-13\\
\end{bmatrix} \)

R ₁ -(4/11)R ₂ , (1/11)R ₁ и (1/10)R ₃

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\ \
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
8. 7\\
5.7\\
-1.3\\
\end{bmatrix} \)

Следовательно, x = 8,7, y = 5,7, z = -1,3.

5. Какие из следующих преобразований допустимы в методе Гаусса-Жордана?
a) Преобразование по диагонали
b) Преобразование столбца
c) Преобразование строки
d) Преобразование квадрата
View Answer

Ответ: c
Объяснение: В методе Гаусса-Жордана преобразования, выполняемые над расширенной матрицей, являются преобразованиями строк. Матрица приводится к форме Row Echelon с помощью преобразований Row.

6. Расширенная матрица в методе Гаусса Жордана сводится к ______________
a) Эшелонная форма строк
b) Эшелонная форма столбцов
c) Эшелонная форма матрицы
d) Расширенная форма
Просмотр Ответ

Ответ: a
Объяснение: The матрица приводится к форме Row Echelon с помощью преобразований Row. В методе Гаусса-Жордана преобразования, выполняемые над расширенной матрицей, являются преобразованиями строк.

7. Решите уравнения методом Гаусса-Жордана.

 х+2у+6г = 12
3x+4y+z = 24
6x-y-z = 36
 

а) х = 48/7, у = 8/7, z = 4/7
б) х = 4/7, у = 48/7, z = 4/7
в) х = 44/7, y = 8/7, z = 4/7
d) x = 4/7, y = 8/7, z = 44/7
Посмотреть ответ

Ответ: c
Объяснение: Методом исключения Гаусса Жордана получаем
\(\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6\\
3 & 4 & 1\\
6 & -1 & -1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
12\\
24\\
36\\
\end{bmatrix} \)

по р ₂ -3R ₁ и R ₃ -6R ₁
-2R ₃ и -13R ₂
R и -13R ₂
R и -13R ₂
R и -13R ₂
R и -13R _{2 3} и -13R _{2 3} и -13R _{2 3} и -13R _{2 3} . 13, R ₃ /(-147)
R ₁ -R ₂ and R ₁ +11R ₃ , R ₂ -117R ₃
(1/2)R ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
5\\
9\\
2\\
\end{bmatrix} \)
Отсюда x=5, у=9, г=2.

8. Решите уравнения методом Гаусса-Жордана.

 х + 2у + 6з = 15
3x + 4y + z = 16
6х - у - г = 20
 

а) х=3,735, у=0,795, z=1,612
б) х=3,735, у=3,735, z=1,612
c) x=3.735, y=1.612, z=3.735
d) x=1.612, y=0.795, z=3.735
Посмотреть ответ

Ответ: a
Пояснение: Методом Гаусса-Жордана получаем
\(\begin {bmatrix}
1 & 2 & 6\\
3 & 4 & 1\\
6 & -1 & -1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y \\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
15\\
16\\
20\\
\end{bmatrix} \)

По R ₂ -3R ₁ и R ₃ -6R ₁
-2R ₃ and -13R ₂
R ₃ -R ₂ and R ₂ /13, R ₃ /(-147)
R ₁ -R ₂ и R ₁ +11R ₃ , R ₂ -117R ₃
(1/2)R ₂

\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
3,735\\
0,795\\
1,612\\
\end{bmatrix} \)

Следовательно, x=3,735, y=0,795, z=1,612.

Sanfoundry Global Education & Learning Series – Численные методы.

Чтобы попрактиковаться во всех областях численных методов, вот полный набор из более чем 1000 вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .

Категории Численные методы MCQ

реклама

реклама

Подпишитесь на наши информационные бюллетени (тематические). Участвуйте в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатный Сертификат отличия. Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий!

Ютуб | Телеграмма | Линкедин | Инстаграм | Фейсбук | Твиттер | Пинтерест

Маниш Бходжасиа, ветеран технологий с более чем 20-летним опытом работы в Cisco и Wipro, является основателем и техническим директором компании Sanfoundry . Он живет в Бангалоре и занимается разработкой Linux Kernel, SAN Technologies, Advanced C, Data Structures & Alogrithms.