Решение системы уравнений методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Название проекта

======Решаем системы уравнений методом Крамера====== Магмедханов.М.П

Название проекта

Решаем системы уравнений методом Крамера.

Предмет.Класс и курсы

Математика,алгебра.9-11 класс и первые крсы в вузах и в колледжах.

цель проекта

Проект «Решаем системы уравнения методом Крамера» ориентирован на школьников – учеников 9-11 класса,также он может быть полезен для студентов первых курсов в вузах и в колледжах.Данный проект направлен на достижение следующих целей:решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений,формирование представлений об идеях и методах решения уравнений в математике;развитие логического мышления,математического(алгебраического) мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области алгебры и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;понимания что уравнения можно решить разными методами(что метод крамера всего лишь один из этих методов),значимость знания этого метода для решения систем алгебраических уравнений.

Научиться применять этот метод для решения различного рода систем линейных алгебраических уравнений.

Необходимые начальные знания, умения, навыки:

– Знание основных математических понятий – Знание основных алгебраических понятий – Знания, о том какое место в математике занимает алгебра – Умения решать элементарные алгебраические уравнения – Знать хотя бы один другой метод решения систем уравнений для сравнения с методом крамера – Необходимо уметь находить определитель матрицы – Вычислительные навыки

Вопросы направляющие проект

Основополагающий вопрос Легко ли решать системы уравнений?

Проблемные вопросы :

  1. Пригодиться ли нам в повседневной жизни знание решений систем уравнений?

  2. Стоит ли вообще изучать этот метод решения систем уравнений?

  3. Какое место этот метод решения систем уравнений занимает в алгебре?

Учебные вопросы

  • Из скольких уравнений может состоять система уравнений?

  • Каким образом помогает матрица для решения систем методом крамера?

  • Что такое определитель матрицы?

  • Как находить определитель матрицы?

  • Как обычно обозначаются неизвестные уравнений?

  • Почему определитель не должен равняться нулю?

  • Возможно ли решение больших систем уравнений методом крамера??

Формы представления

Данный проект может быть представлен в виде презентации или статьи.

Результат

Знания по решению систем линейных уравнений методом крамера.На мой взгляд это самый простой способ решения квадратных линейных уравнений.  

Назад: Название проекта

Решение систем методом крамера примеры. Линейные уравнения


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .


Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.

Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.

е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A

ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н.

метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Практическая работа Метод Крамера

Группа: Тв-21, Тв-22

УД: Математика

ФИО преподавателя: Никонова Н. С.

Дата проведения занятия (занятий): 15 апреля 2020

Дата выполнения задания: 16 апреля 2020

Вид занятия – Практическая работа – 2 часа

Тема занятия: «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

Цели работы:

–          расширить представление о методах решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) и отработать алгоритм решения СЛАУ методом Крамера, закреплять точность вычислений;

–          развивать логическое мышление, умение находить рациональное решение задачи;

–          воспитывать внимательность, аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

 

Задание:

1.      Ознакомиться с теоретическим материалом и оформить краткий конспект теории и разобранных примеров в тетради

2.      Выполнить самостоятельную работу – 1 вариант – аудиторная работа, 2 – вариант – домашнее задание.

 

Форма отчета:

1.      Отчет оформить в текстовом документе (Word): в документ вставить фотоотчет из тетради по плану:

a.       Тема занятия

b.      Цель

 

2.      Отчет отправить не позднее 10 апреля по ссылке https://vk.com/topic-193207144_40458583.

 

Критерии оценивания:

№ п/п

Критерий

Оценка

1

Выполнен конспект в тетради

1 балла

2

Выполнена практическая работа

2 балл

3

Выполнено домашнее задание

2 балл

Итого

5 баллов

Если набрано 5 баллов – оценка 5 (отлично)

4 балла – оценка 4 (хорошо)

3 балла – оценка 3 (удовлетворительно)

2 балла – оценка 2 (неудовлетворительно)

 

Теоретический материал.

Задана система N линейных алгебраических уравнений с  неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами – числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй – при котором из неизвестным он находится.

 

Если определитель матрицы не равен нулю, то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность  чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной.

В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной   

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной.

В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот.

Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

 

Теорема Крамера. 

Если определитель системы  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:    – определители, образованные с  заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из  отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет.

Если же , то СЛАУ имеет множество решений.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

 

 

 

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2* (на дополнительную оценку).

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

 

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

 

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы 

 

Задания для самостоятельного решения:

 

ВАРИАНТ 1      

1..

2 .

3

ВАРИАНТ 2

1.      

2.      

3.      

 

 

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если:   самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если:   самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если:   самостоятельно полностью и верно решены три системы.


 

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Цель работы:
-изучить решение систем линейных уравнений с помощью методом Крамера ;
-научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех
линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
Системы линейных уравнений
Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные
только в первой степени и не содержит произведений переменных.
Система m линейных уравнений с n переменными:
Числа
называются коэффициентами при переменных, а
свободными членами.
Совокупность чисел
называется решением системы линейных уравнений, если при
подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в
верные равенства.
В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и
способ сложения.
В курсе высшей математике решают методом Крамера ,методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера
Сведения из истории
Крамер является одним из
создателей линейной алгебры.
Одной из самых известных его
работ является «Введение в
анализ алгебраических
кривых», опубликованный на
французском языке в 1750
году. В ней Крамер строит
систему линейных уравнений и
решает её с помощью
алгоритма, названного позже
его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве
(Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих
сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал
завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года
Крамер выставил свою кандидатуру на должность
преподавателя в Женевском университете. Юноша так
понравился магистрату, что специально для него и ещё
одного одного кандидата на место преподавателя была
учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и
работал в последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у
знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и
Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и
Клеро в Париже и других. Со многими из них он продолжал
переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в
Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе
Парижской Академии и занимает второе место.
Талантливый учёный написал множество статей на самые
разные темы: геометрия, история, математика, философия. В
1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить
к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует
сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный
сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а
также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном
Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны
учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен
от нуля, то система линейных уравнений имеет одно
единственное решение, причём неизвестное равно
отношению определителей. В знаменателе –
определитель системы, а в числителе – определитель,
полученный из определителя системы путём замены
коэффициентов при этом неизвестном свободными
членами. Эта теорема имеет место для системы
линейных уравнений любого порядка.
Дана система
Формулы Крамера
………….
Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей
переменной свободными членами:
Решение системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными методом Крамера
1)
Ответ: (1;-1)
2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в
минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение
прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная
прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из
отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
Тогда условие задачи можно записать в виде системы:
Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения – 4 млн усл. ед., второго
– 8 усл.ед.
б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,
второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.
При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество
решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:
Система называется несовместной, если у неё нет ни одного
решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система уравнений, имеющая только одно решение,
называется определённой, а более одного – неопределённой.
Решение системы трех линейных уравнений с
тремя двумя неизвестными методом Крамера
Решение. Находим определители системы:
Ответ: (1; 0; -1) .
Решите системы:

Решающих систем с использованием правила Крамера

Решающих систем с использованием правила Крамера Примечания, Урок 6. 5 Матрицы и детерминанты

Мы встретили операцию нахождения определителя. Теперь мы обнаруживаем, что можем найти определитель любой квадратной матрицы.

Определение:

Мы говорим о n-упорядоченных детерминантах. Детерминанты можно найти только для квадрата матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка.
Определитель матрицы 3-го порядка.
в несколько раз больше второстепенного – b раз в минор + в раз в минор Другой способ описания определителя матрицы 3-го порядка.
Пример проблемы.

На данный момент мы решили линейные системы с помощью 1) построения графиков; 2) Замена; а также 3) Устранение.В этом уроке мы изучим 4-ю технику. Собственно, это Техника представляет собой разновидность метода исключения. Правило о коэффициентах будет развиваться. Это правило называется Крамера. Правило . Начнем с решения общей системы линейных уравнений в стандартной форме.


Значения x и y, которые мы нашли выше, всегда будут давать нам решение системы двух линейных уравнений (если уравнения записаны в стандартной форме).С помощью этой формулы мы может игнорировать переменные x и y и алгебраические методы решения и сконцентрируйтесь на коэффициентах a, b, c, d, e, и f. Мы можем взять эти коэффициенты и поместите их в матрицу или сетку, и сконцентрируйтесь на расчетах с ними.

Матрица Прямоугольный массив чисел со столбцами и строками. Матрица 2 на 2 означает 2 строки и 2 столбца.Матрица коэффициентов из системы выше было бы: , которая представляет собой матрицу 2 на 3.
Определитель Определитель матрицы 2 на 2 (определитель второго порядка) определен. своим примером. Этот операция может производиться только с квадратной матрицей.
Если присмотреться к Cramer’s Правило выше, и имейте в виду определение детерминанта второго порядка, вы увидите те же результаты, что и в начале урока.

Правило Крамера

Сложно решить систему линейных уравнений, хотя у нас есть несколько методов для решения этих проблем.

Метод Гаусса – один из них, но теперь мы изучим правило или метод Крамера.

Это правило можно использовать только в том случае, если решаемая система уравнений удовлетворяет двум условиям:

  1. В системе столько же уравнений, сколько и неизвестных.
  2. Определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Теперь мы рассмотрим процедуру, которой нужно следовать, чтобы использовать правило Крамера. Возьмем систему, удовлетворяющую двум необходимым условиям: $$$ \ left \ {\ begin {array} {c} x + y + z = 1 \\ x-2y + 3z = 2 \\ x-z = 5 \ end {array} \ right. $$$ Первым делом перепишем систему с помощью матрицы коэффициентов и вычислим ее определитель, чтобы убедиться, что он не равен нулю: $$$ \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \ end {pmatrix} $$$ И определитель $$$ \ Delta = \ left | \ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \ end {matrix} \ right | = 2 $$$ (реальный и отличный от нуля).

Теперь мы определяем определители $$ \ Delta_i $$, которые являются результатом замены столбца $$ i $$ матрицы коэффициентов на столбец постоянных членов. Вычислим эти определители:

$$ \ Delta_1 = \ left | \ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 5 & 0 & 1 \ end {matrix} \ right | = 21, \ \ $$ $$ \ Delta_2 = \ left | \ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \ end {matrix} \ right | = 8, \ \ $$ $$ \ Delta_3 = \ left | \ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \ end {matrix} \ right | = -11 $$

Правило Крамера гласит, что решение системы уравнений: $$ x_i = \ dfrac {\ Delta_i} {\ Delta} $$.

В этом случае, тогда $$ x_1 = \ dfrac {21} {2} $$, $$ x_2 = \ dfrac {-8} {2} $$, $$ x_3 = \ dfrac {-11} {2 } $$.

После первого примера мы теперь настроим общие шаги для любой системы уравнений. $$$ \ left \ {\ begin {array} {c} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + a_ {13} x_3 + \ ldots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + a_ {23} x_3 + \ ldots + a_ {2n} x_n = b_2 \\ a_ {31} x_1 + a_ {32} x_2 + a_ {33} x_3 + \ ldots + a_ {3n} x_n = b_3 \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + a_ {m3} x_3 + \ ldots + a_ {mn} x_n = b_m \ end { массив} \ право.$$$

1) Убедитесь, что система удовлетворяет двум условиям: равное количество неизвестных и уравнений $$ (n = m) $$ и ненулевой определитель матрицы коэффициентов $$ (\ Delta \ neq0) $$

2) Вычислить определитель матрицы коэффициентов $$$ \ Delta = \ left | \ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ ldots & a_ {mm} \ end {matrix} \ right | $$$

3) Определители $$ \ Delta_i $$ вычисляются путем замены столбца $$ i $$ столбцом постоянных членов:

$$ \ Delta_1 = \ left | \ begin {matrix} b_1 & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ b_2 & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ b_m & a_ {m2} & \ ldots & a_ {mm} \ end {matrix} \ right | \ \ $$, $$ \ Delta_2 = \ left | \ begin {matrix} a_ {11} & b_1 & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & b_2 & \ ldots & a_ {2n} \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ {m1} & b_m & \ ldots & a_ {mm} \ end {matrix} \ right | \ \ $$, $$ \ ldots $$, $$ \ Delta_n = \ left | \ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & b_1 \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & b_2 \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ ldots & b_m \ end {matrix} \ right | $$

4) Решения $$$ x_i = \ dfrac {\ Delta_i} {\ Delta} $$$

Однородные системы

Если система с $$ m $$ уравнениями и $$ n $$ имеет все постоянные члены, равные нулю, то говорят, что она однородна.

Он допускает только тривиальное решение $$$ x_1 = x_2 = \ ldots = x_n = 0 $$$

Необходимое и достаточное условие, чтобы однородная система имела решения, отличные от тривиального, состоит в том, чтобы ранг матрицы коэффициентов был ниже числа неизвестных, или, другими словами, чтобы определитель матрицы коэффициентов равно нулю. Следовательно, чтобы решить однородную систему, мы должны сделать ее так, чтобы определитель не был равен нулю, чтобы гарантировать, что ее решение не является тривиальным.

Объясняющий урок: правило Крамера | Nagwa

Пример 5: Решение системы трех уравнений с использованием определителей

Решите, используя правило Крамера, одновременные уравнения ||| −1𝑧 − 4𝑦 ||| = 23, ||| 2𝑦 − 5𝑥 ||| = 13, || 3𝑥5𝑧 || = 51.

Ответ

Чтобы мы могли использовать правило Крамера в этой задаче, первым шагом является для оценки определителей матриц 2 × 2: ||| −1𝑧 − 4𝑦 ||| = (- 1 × 𝑦) – (𝑧 × (−4)) = – 𝑦 + 4𝑧, ||| 2𝑦 − 5𝑥 ||| = (2 × 𝑥) – (𝑦 × (−5)) = 2𝑥 + 5𝑦, || 3𝑥5𝑧 || = (3 × 𝑧) – (𝑥 × 5) = – 5𝑥 + 3𝑧.

Теперь, когда у нас есть определители, мы можем составить систему из трех уравнений которое затем можно использовать для создания матричного уравнения: − + 4𝑧 = 23,2𝑥 + 5𝑦 = 13, −5𝑥 + 3𝑧 = 51.

Поскольку нас попросили решить систему уравнений с использованием определителей, вспомним правило Крамера: если определитель матрица коэффициентов отлична от нуля, то существует единственное решение системы дано 𝑥 = ΔΔ, 𝑦 = ΔΔ, 𝑧 = ΔΔ.

Чтобы применить правило Крамера, мы перепишем систему в виде матрицы уравнение; однако мы должны быть осторожны, чтобы включить нулевые коэффициенты в наши матрица коэффициентов.Чтобы помочь нам в этом, мы можем переписать нашу систему уравнений чтобы включить нулевые коэффициенты перед записью в виде матричного уравнения: 0𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 23,2𝑥 + 5𝑦 + 0𝑧 = 13, −5𝑥 + 0𝑦 + 3𝑧 = 51.

Записав в виде матричного уравнения, мы получим 0−14250−503𝑥𝑦𝑧 = 231351.

Здесь мы помним, что Δ, Δ и Δ, из правила Крамера, являются определителями матриц, которые образуется в результате замены элементов матрицы констант на элементы из столбцов 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-коэффициенты, как показано ниже: Δ = |||| 23−1413505103 ||||.

Следующий этап – расчет необходимых определителей; мы начнем с Δ: Δ = |||| 0−14250−503 |||| = 0 || 5003 || +1 || 20−53 || +4 || 25−50 || = 0 + 1 (6−0) + 4 (0 + 25) = 106.

Далее рассчитаем Δ: Δ = |||| 23−1413505103 |||| = 23 || 5003 || +1 || 130513 || +4 || 135510 || = 23 (15) +1 (39) +4 (−255) = −636.

Затем вычислим Δ: Δ = |||| 02342130−5513 |||| = 0 || 130513 || −23 || 20−53 || +4 || 213−551 || = 0−23 (6) +4 (167) = 530.

Наконец, рассчитаем Δ: Δ = |||| 0−1232513−5051 |||| = 0 || 513051 || +1 || 213−551 || +23 || 25−50 || = 0 + 1 (167) +23 ( 25) = 742.

Теперь мы заменим наши значения определителей на уникальные решение из правила Крамера, чтобы найти наши ценности 𝑥, 𝑦 и 𝑧: 𝑥 = ΔΔ, Δ = −636, Δ = 106;  следовательно, 𝑥 = −636106 = −6.

Теперь вычисляем 𝑦: 𝑦 = ΔΔ, Δ = 530, Δ = 106;  следовательно, 𝑦 = 530106 = 5.

Наконец, посмотрим на 𝑧: 𝑧 = ΔΔ, Δ = 742, Δ = 106;  следовательно, 𝑧 = 742160 = 7.

В заключение можно сказать, что уникальное решение системы линейные уравнения 𝑥 = −6, 𝑦 = 5, 𝑧 = 7. и

Алгебра 2 Урок 1 Инструкция 5

Мы можем решать системы линейных уравнения с использованием определителей. Здесь мы узнаем, как решать системы два линейных уравнения и системы трех линейных уравнений. Такой метод называется правилом Крамера для решения систем линейных уравнений.

Решение системы двух линейных Уравнения с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пусть будет общий вид системы двух линейных уравнений от двух переменных.Решать в такой системе, используя правило Крамера, мы должны найти следующие детерминанты, образованные коэффициентами и константами в системе.

Практика 14. Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера.

x + y = 5

2 x y = 1

Решение

набор определители A , D x и D y с использованием коэффициенты и константы.

Решение системы трех линейных Уравнения в трех переменных с использованием правила Крамера

Затем замените известные значения в следующие отношения, чтобы найти x , y и z .

Приложение из реальной жизни. Collins Company производит диваны и кресла. В 2003 г. произвела в общей сложности 480 000 диванов и кресел. Если количество произведенных кресел на 11200 больше, чем диванов, найти количество каждого продукта, произведенного в течение 2003 года.

Решение. Обозначим количество диванов x и количество кресел y . Затем

x + y = 480 000

x + 11200 = год

Запишите систему уравнений в стандартном формате. форма, как показано ниже.

x + y = 480 000

x y = –11 200

Теперь мы можем установить следующие определители и найдите их ценности.

Практическое упражнение 4. Решите каждую систему уравнений, используя правило Крамера.

Ответ

Видеоинструкция
* Доступность ссылок на видео You Tube может отличаться. eTAP не контролирует эти материалы.

для студентов, родителей и учителей

Сводка

Матрицы. Матрица ( множественное число : матрицы) представляет собой прямоугольный массив числа. Каждое из этих чисел называется записью или элементом. В элементы матрицы обычно заключаются в две скобки.

Горизонтальные линии матрицы называются строками, а вертикальные линии – столбцами.Размер Матрица идентифицируется по количеству ее строк и столбцов. Размер матрицы обозначается как индекс метки матрицы. Индекс обычно находится в форма m × n , в которой m – количество строк, а n – количество столбцов.

Квадратная матрица. Если матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, она называется квадратной матрицей.

Добавление матриц. Добавление двух или более матриц – простая задача. Просто они должны быть одного размера. Затем добавление соответствующих элементов данных матриц приводит к сложение матриц.

Матрицы вычитания. Вычитание двух матриц аналогично сложению. двух матриц. Они должны быть одного размера. Чтобы найти вычитание двух матрицы упрощают вычитание соответствующих записей и размещение результатов как записи новой матрицы.Эта матрица будет результатом вычитания двух матрицы.

Детерминанты. Только квадратные матрицы имеют детерминанты. Определитель матрицы отображается размещением элементов матрицы матрица между двумя вертикальными полосами | |,

Определитель 2 × 2 Квадратная матрица. Для квадратной матрицы 2 × 2

Решение систем уравнений Использование матриц. Мы можем решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Здесь мы узнаем как решить системы двух линейных уравнений и системы три линейных уравнения. Такой метод называется правилом Крамера для решение систем линейных уравнений.

Решение системы Два линейных уравнения с двумя переменными с использованием

Следующая страница: Проблемы (вверху)

5.1 – Решение систем уравнений

5.1 – Решение систем уравнений

До этого момента мы имели дело только с одним уравнением за раз. Теперь будем работать с более чем переменной и более чем одним уравнением. Это так называемые системы уравнений. При ответе на систему уравнений вам необходимо указать значение для каждой переменной.

Решение систем линейных уравнений

Когда мы закончим рассмотрение двух глав, посвященных решению систем уравнений, их будет шесть. способы, которые мы можем использовать для решения системы линейных уравнений

Графически
Постройте оба уравнения и найдите точку пересечения.
Неточно вручную.
Полезно при использовании техники.
Более подходит для нелинейных систем.
Сначала нужно решить уравнение для y.
Замена
Решите одно уравнение для одной переменной, а затем подставьте его в другое уравнение.
Лучшая алгебраическая техника для нелинейных систем.
Хорошо работает, когда переменная может быть легко решена, имеет коэффициент, равный единице.
Работает лучше, когда дроби и корни не используются.
Добавление / исключение
Умножьте одно или несколько уравнений на константу, а затем сложите два уравнения. чтобы исключить одну переменную.
Хорошо подходит для линейной системы, когда нет переменной с коэффициентом, равным единице.
Хорошо работает для систем уравнений 2×2 (2 уравнения с 2 переменными), но становится утомительно и трудоемко для больших систем.
Исключение Гаусса / Исключение Гаусса Джордана
Использует элементарные операции для создания эквивалентных уравнений.
Работает для неквадратных систем линейных уравнений.
Построен на концепции исключения сложения, но вместо получения новых уравнений старое уравнение заменяется эквивалентным уравнением.
При применении с матрицами из главы 6, вероятно, самый быстрый способ решить большую система линейных уравнений от руки. Безусловно, любимый метод инструктора.
Правило Крамера
Использует определители матрицы для поиска решения.
Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель матрица коэффициентов не равна нулю.
Подходит для компьютера или калькулятора, где есть определяющая программа.
Медленно вручную.
Медленно работает калькулятор без программы, так как каждый определитель должен быть введен вручную.
Может использоваться, когда вам нужно найти только одну из переменных.
Матричная алгебра / Матрица инверсии
Использует обратную матрицу для поиска решения.
Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель матрица коэффициентов не равна нулю.
Подходит для компьютера или калькулятора, где есть функция, обратная матрице.
Медленно вручную.
Быстрые действия на калькуляторе.
Вернет десятичные ответы, но вы можете использовать дробную клавишу, чтобы преобразовать их в целые числа.

Замена

Метод подстановки работает как с нелинейными, так и с линейными уравнениями.

  1. Решите одно из уравнений относительно одной из переменных.
  2. Подставьте это выражение вместо переменной в другом уравнении.
  3. Решите уравнение для оставшейся переменной
  4. Выполните обратную замену значения переменной, чтобы найти другую переменную.
  5. Чек

Процесс обратной подстановки включает в себя получение значения переменной, найденной на шаге 3, и подставив его обратно в выражение, полученное на шаге 1 (или исходную задачу), чтобы найти оставшаяся переменная.

Важно, чтобы при решении системы уравнений были заданы обе переменные. Обычный ошибка студентов состоит в том, что они находят одну переменную и останавливаются на ней. Вы должны указать ценность для всех переменные.

Хорошая идея проверить свой ответ в обоих уравнениях, но, вероятно, достаточно, чтобы проверить в уравнении вы не изолировали переменную на первом этапе. То есть, если вы решили для y в первое уравнение на шаге 1, используйте второе уравнение, чтобы проверить ответ.

Графический подход

Графический подход хорошо работает с графическим калькулятором, но не точен вручную (действительно эти точки пересекаются на 1/6 или 1/7?), если только график не попадает точно на линии сетки.

  1. Решите каждое уравнение относительно y. Это может включать в себя плюс и минус, если есть член y 2 . Если ты не построение графиков с помощью калькулятора или компьютера, вы можете пропустить этот шаг.
  2. Изобразите каждое уравнение.
  3. Найдите точки пересечения.
  4. Проверить!

Важно проверить свои ответы, чтобы убедиться, что вы прочитали точку пересечения правильно.

Иногда калькулятор не может указать точку пересечения с помощью команды пересечения. Возможно, вам понадобится использовать функцию трассировки калькулятора, чтобы найти точку пересечения. Вы можете используйте калькулятор, чтобы проверить ответ.

Постарайтесь, если возможно, преобразовать свой ответ в дробную форму.

Графический подход может сэкономить много времени, когда вы работаете с нелинейной системой уравнения.

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *