Решение уравнений матрицы методом гаусса онлайн с решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с “+” на “-” вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Это классический метод решения системы линейных уравнений, в основе которого лежат элементарные преобразования системы (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффмцменты) для приведения к равносильной системе уравнений треугольного типа, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные неизвестные. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.

На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.

Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 11

СЛАУ 3-его порядка: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12

---

Условие

5x 1  – x 2  – x 3   =   0  x 1  + 2x 2  + 3x 3   =   14  4x 1  + 3x 2  + 2x 3   =   16

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом – Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по геометрии и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 2

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (Строка 2 – 5 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 – 4 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
• Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 ( Строка 3 + 11 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 – 2 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 – 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 – 2 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 1
х₂ = 2
х₃ = 3

Вы поняли, как решать?

Нет?

Помощь с решением

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

04. Метод Гаусса | Контрольные работы по математике и другим предметам!

СИстеме линейных уравнений (1) соответствуют три матриц

, .

Первая матрица называется Матрицей системы, вторая – Расширенной или Присойдиненной матрицей системы,

третья – Столбцом свободных членов.

Система линейных уравнений называется Системой ступенчатого вида, если расширенная матрица системы есть матрица ступенчатого вида. Неизвестные с коэффициентами неравными нулю, которые стоят первыми в уравнениях системы ступенчатого вида называются Главными неизвестными, а остальные неизвестные называются Свободными.

Линейное уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, т. е. уравнение вида:

,

Не имеет решений. Действительно, если – решение этого уравнения, то получим противоречие с условием. Такое уравнение называем

Противоречивым.

Пусть не все уравнения системы (1) нулевые. Тогда и расширенная матрица системы (1) ненулевая. По теореме 2 ее можно конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида. Полученной матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида. Этим преобразованиям расширенной матрицы системы (1) соответствуют такие же преобразования системы линейных уравнений (1). По теореме 1 они переводят систему (1) в равносильную систему линейных уравнений, которая будет являются системой ступенчатого вида.

Таким образом мы доказали первую часть следующей теоремы.

Теорема 3. Любую систему линейных уравнений, содержащую ненулевое уравнение конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевого уравнения можно привести к равносильной ей системе ступенчатого вида. При этом возможны следующие три случая.

1. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, то данная система не имеет решений.

2. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных, то данная система имеет единственное решение.

3. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе меньше числа неизвестных, то данная система имеет бесконечно много решение.

Доказательство. Пусть дана система (1), содержащая ненулевое уравнение. По выше доказанному, она конечным числом элементарных преобразований она может быть преобразована к равносильной ей системе уравнений ступенчатого вида. Возможны случаи.

В полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение. Тогда ни один набор чисел Не удовлетворяет системе, и система (1) не имеет решений.

В полученной системе ступенчатого вида нет противоречивого уравнения. Тогда в каждом из уравнений системы ступенчатого вида содержится главное неизвестное. Отсюда получаем, что число главных неизвестных, а тем более число всех неизвестных, не менее числа уравнений в системе ступенчатого вида. Тогда возможны под случаи:

В системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, т. е. система имеет вид:

(12)

Где Все неизвестные в системе являются главными. Из последнего уравнения находим единственное значение для неизвестного : . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, находим для неизвестного единственное значение и т. д. Наконец из первого уравнения по найденным значениям неизвестных из первого уравнения находим единственное значение неизвестного . Таким образом, система (12), а поэтому и система (1) имеет единственное решение.

В системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае матрица полученной системы имеет вид (11), а

Систему можно записать в виде:

(13)

Где В этой системе R главных неизвестных , все остальные Свободные (в системе они обзначены точками. Возьмем для свободных неизвестных произвольные значения. Тогда значения главных неизвестных найдутся однозначно из системы (13). Так как главные неизвестные можно выбрать бесконечным числом способов, то получим, что система (13), а поэтому и система (1) имеет бесконечно много решений.

Теорема доказана.

Следствие. Если в системе однородных уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений.

Действительно, система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение , и при приведении ее к ступенчатому виду всегда получим систему, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Метод исследования и решения систем линейных уравнений, изложенный в доказательстве теорем 3 называется методом Гаусса.

Пример 1. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

.

Составим по полученной матрице ступенчатого вида систему линейных уравнений ступенчатого вида:

В полученной системе число уравнений равно числу неизвестных и полученная система имеет единственное решение, которое двигаясь вверх последовательно находим:

Решение системы .

Пример 2. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Соответствующая система имеет противоречивое уравнение. Поэтому данная система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Составим систему ступенчатого вида:

Пусть свободная неизвестная . Тогда находим

Решение системы , где .

< Предыдущая		Следующая >

Метод гаусса онлайн. Решение систем линейных уравнений методом жордана-гаусса

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

В качестве опорной выбираем последнюю строку.

Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем строку выше.

Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана–Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1. перестановка двух строк ;

2. умножение строки на любое число, отличное от нуля ;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число ;

4. отбрасывание нулевой строки (столбца) .

Пример 2.11. Решить методом Жордана–Гаусса системы линейных уравнений:

а ) Х 1 + Х 2 + 2Х 3 = -1

2Х 1 – Х 2 + 2Х 3 = -4

4Х 1 + Х 2 + 4Х 3 = -2

Решение: Составим расширенную матрицу:

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2) и (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу

откуда Х 1 = 1, Х 2 = 2, Х 3 = -2.

Закончив решение, на этапе обучения необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

б ) Х 1 – Х 2 + Х 3 – Х 4 = 4

Х 1 + Х 2 + 2Х 3 +3Х 4 = 8

2Х 1 +4Х 2 + 5Х 3 +10Х 4 = 20

2Х 1 – 4Х 2 + Х 3 – 6Х 4 = 4

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х 1 – 3Х 2 – 5Х 4 = 0

2Х 2 + Х 3 + 4Х 4 = 4

Последние две строки матрицы A (2) являются линейно зависимыми.

Определение. Строки матрицы e 1 , e 2 ,…, e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 =(0, 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми , когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы , т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема 2.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A (2) равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема 2.4 (Кронекера–Капели). Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r n , r переменных x 1 , x 2 ,…, x r называются базисными , если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор ) отличен от нуля. Остальные n – r переменных называются свободными .

Определение. Решение системы, в котором все n – r свободных переменных равны нулю, называется базисным .

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m ) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

В нашем случае , т. е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х 1 = 3Х 2 +5Х 4

Х 3 = 4 – 2Х 2 – 4Х 4

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х 2 = 0, Х 4 = 0, тогда Х 1 =0, Х 3 = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0, 4, 0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х 3 и Х 4 . Выразим неизвестные Х 1 и Х 2 через неизвестные Х 3 и Х 4:

Х 1 = 6 – 3/2Х 2 – Х 4

Х 2 = 2 – 1/2Х 3 – 2Х 4 .

Тогда базисное решение имеет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 2.12. Решить систему:

X 1 + 2X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Решение.Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = –1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.

Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса . Если метод Гаусса осуществляется в два этапа (прямой ход и обратный) то метод Гаусса-Жордана позволяет решить систему в один этап. Подробности и непосредственная схема применения метода Гаусса-Жордана описаны в примерах.

Во всех примерах $A$ обозначает матрицу системы, $\widetilde{A}$ – расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть .

Пример №1

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:

$$ \left\{ \begin{aligned} & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Упрощая полученную систему, имеем:

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Полное решение без пояснений выглядит так:

Хоть этот способ выбора разрешающих элементов вполне допустим, но предпочтительнее выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы системы. Мы рассмотрим этот способ ниже.

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы.

Так как этот способ решения полностью аналогичен предыдущему (за исключением выбора разрешающих элементов), то подробные пояснения пропустим. Принцип выбора разрешающих элементов прост: в первом столбце выбираем элемент первой строки, во втором столбце берём элемент второй строки, в третьем столбце – элемент третьей строки и так далее.

Первый шаг

В первом столбце выбираем элемент первой строки, т.е. в качестве разрешающего имеем элемент 4. Понимаю, что выбор числа 2 кажется более предпочтительным, так как это число всё-таки меньше, нежели 4. Для того, чтобы число 2 в первом столбце переместилось на первое место, поменяем местами первую и вторую строки:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) $$

Итак, разрешающий элемент представлен числом 2. Точно так же, как и ранее, разделим первую строку на 2, а затем обнулим элементы первого столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} I:2 \\\phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг

На втором шаге требуется обнулить элементы второго столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент второй строки, т.е. 1. Разрешающий элемент уже равен единице, поэтому никаких строк менять местами не будем. Кстати сказать, если бы мы захотели поменять местами строки, то первую строку трогать не стали бы, так как она уже была использована на первом шаге. А вот вторую и третью строки запросто можно менять местами. Однако, повторюсь, в данной ситуации менять местами строки не нужно, ибо разрешающий элемент уже оптимален – он равен единице.

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-5\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг окончен. Переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге требуется обнулить элементы третьего столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки, т.е. 37/2. Разделим элементы третьей строки на 37/2 (чтобы разрешающий элемент стал равен 1), а затем обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ III:\frac{37}{2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right). $$

Ответ получен: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Полное решение без пояснений выглядит так:

Все остальные примеры на этой странице будут решены именно вторым способом: в качестве разрешающих будем выбирать диагональные элементы матрицы системы.

Ответ : $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Запишем расширенную матрицу данной системы : $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end{array} \right)$.

В качестве разрешающих элементов станем выбирать диагональные элементы матрицы системы: на первом шаге возьмём элемент первой строки, на втором шаге элемент второй строки и так далее.

Первый шаг

Нам нужно обнулить соответствующие элементы первого столбца. В качестве разрешающего элемента возьмём элемент первой строки, т.е. 3. Соответственно первую строку придётся разделить на 3, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. А затем обнулить все элементы первого столбца, кроме разрешающего:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} I:3\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right). $$

Второй шаг

Переходим к обнулению соответствующих элементов второго столбца. В качестве разрешающего элемента мы уславливались взять элемент второй строки, но сделать этого мы не в силах, так как нужный элемент равен нулю. Вывод: будем менять местами строки. Первую строку трогать нельзя, так как она уже использовалась на первом шаге. Выбор небогат: или меняем местами вторую и третью строки, или же меняем местами четвёртую и вторую. Так как в четвёртой строке наличествует (-1), то пусть в “обмене” поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) $$

Вот теперь всё в норме: разрешающий элемент равен (-1). Бывает, кстати, что смена мест строк невозможна, но это обговорим в следующем примере №3. А пока что делим вторую строку на (-1), а затем обнуляем элементы второго столбца. Обратите внимание, что во втором столбце элемент, расположенный в четвёртой строке, уже равен нулю, поэтому четвёртую строку трогать не будем.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\II:(-1) \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} I-1/3\cdot II\\ \phantom{0} \\III-2\cdot II\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right). $$

Третий шаг

Приступаем к обработке третьего столбца. В качестве разрешающего элемента мы условились брать диагональные элементы матрицы системы. Для третьего шага это означает выбор элемента, расположенного в третьей строке. Однако если мы просто возьмём элемент 7 в качестве разрешающего, то всю третью строку придётся делить на 7. Мне кажется, что разделить на (-2) попроще. Поэтому поменяем местами третью и четвёртую строки, и тогда разрешающим элементом станет (-2):

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) $$

Разрешающий элемент – (-2). Делим третью строку на (-2) и обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\III:(-2)\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} I-2/3\cdot III\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV-7\cdot III\end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right). $$

Четвёртый шаг

Переходим к обнулению четвёртого столбца. Разрешающий элемент расположен в четвёртой строке и равен числу $-\frac{39}{2}$.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV:\left(-\frac{39}{2}\right) \end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \begin{array} {l} I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right). $$

Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:

Ответ : $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=-9. \end{aligned}\right.$ методом Гаусса-Жордана. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Подобные примеры разбираются в теме “Общее и базисное решения СЛАУ” . Во второй части упомянутой темы данный пример решён с помощью метод Гаусса . Мы же решим его с помощью метода Гаусса-Жордана. Пошагово разбивать решение не станем, так как это уже было сделано в предыдущих примерах.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I\\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:5 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \\ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right). $$

Полагаю, что одно из сделанных преобразований всё-таки требует пояснения: $IV:3$. Все элементы четвёртой строки нацело делились на три, поэтому сугубо из соображений упрощения мы разделили все элементы этой строки на три. Третья строка в преобразованной матрице стала нулевой. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) $$

Нам пора переходить к третьему шагу, на котором должны быть обнулены элементы третьего столбца. Однако диагональный элемент (третья строка) равен нулю. И смена мест строк ничего не даст. Первую и вторую строки мы уже использовали, поэтому их трогать мы не можем. А четвёртую и пятую строки трогать нет смысла, ибо проблема равенства нулю разрешающего элемента никуда не денется.

В этой ситуации проблема решается крайне незамысловато. Мы не можем обработать третий столбец? Хорошо, перейдём к четвёртому. Может, в четвёртом столбце элемент третьей строки будет не равен нулю. Однако четвёртый столбец “болеет” той же проблемой, что и третий. Элемент третьей строки в четвёртом столбце равен нулю. И смена мест строк опять-таки ничего не даст. Четвёртый столбец тоже не можем обработать? Ладно, перейдём к пятому. А вот в пятом столбце элемент третьей строки очень даже не равен нулю. Он равен единице, что довольно-таки хорошо. Итак, разрешающий элемент в пятом столбце равен 1. Разрешающий элемент выбран, поэтому осуществим дальшейшие преобразования метода Гаусса-Жордана:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \begin{array} {l} I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom{0}\\ IV+III\\ V+2\cdot III \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text{Удаляем нулевые строки}\right|\rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Ранги обеих матриц равны $r=3$, т.е. надо выбрать 3 базисных переменных. Количество неизвестных $n=5$, поэтому нужно выбрать $n-r=2$ свободных переменных. Так как $r

На “ступеньках” стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные $x_1$, $x_2$, $x_5$. Свободными переменными, соответственно, будут $x_3$, $x_4$. Столбцы №3 и №4, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right). $$

Из последней матрицы получим общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$. Базисное решение найдём, приняв свободные переменные равными нулю, т.е. $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right. $$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : Общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$, базисное решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$.

4. Метод Жордана – Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm. n+1

Здесь x1, x2, …, xn – неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn – коэффициенты системы – и b1, b2, … bm – свободные члены – предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе – неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) – совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n – ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…

Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

… «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Калькулятор

матричных методов

Конечно, нельзя было ожидать, что количество неизвестных всегда будет равно количеству уравнений. Раскладка клавиатуры калькулятора такая же, как у калькулятора 300 es plus, 991 ex и es plus. Калькулятор жертвоприношений зарплаты – это взнос до вычета налогов, который вносится из полученной заработной платы на суперсчет, который позже помогает при выходе на пенсию. У нее будет такое же количество строк, что и у первой матрицы, и такое же количество столбцов, как у второй матрицы. Существуют разные формы этой схемы ввода.Воспользуйтесь приведенным ниже калькулятором формы наклона точки, чтобы вычислить уравнение прямой, введя… …, а также ряд числовых методов для аппроксимации корней произвольных многочленов. Онлайн-калькулятор для выполнения матричных операций с одной или двумя матрицами, включая сложение, вычитание, умножение и взятие степени, определителя, обратного или транспонирования матрицы. Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель | A |! = 0 (Lipschutz 1991, p. 45). Расчет выполняется в три этапа, что позволяет увидеть, как рассчитывается статистика хи-квадрат.Однако метод исключения Гаусса фактически может найти решение для любого количества уравнений и неизвестных. Калькулятор с использованием методов Рунге-Кутты ограничен размером задачи системой уравнений 5 и точностью вычислений до 16 десятичных знаков. Разложение по сингулярным значениям (SVD) матричного калькулятора – онлайн-калькулятор матриц для разложения по сингулярным значениям (SVD) матрицы, шаг за шагом в Интернете. Мы используем файлы cookie, чтобы улучшить ваше взаимодействие с нашим сайтом и показать вам релевантную рекламу.Матрица – это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам. Кроме того, A и D – CA −1 B должны быть невырожденными. ) Калькулятор заработной платы В простом калькуляторе заработной платы есть формула, используемая для расчета заработной платы с учетом различных факторов, таких как CTC или затраты для компании, бонусы и другие подобные детали. Калькулятор сделает все остальное. Desmos предлагает лучшие в своем классе калькуляторы, цифровые математические задания и учебную программу, чтобы помочь каждому ученику полюбить математику и полюбить ее изучение. Двухточечная форма – это один из таких методов, используемых для нахождения уравнения прямой линии, когда нет наклона, а прямая линия находится в… Проверьте: калькулятор обратной матрицы.Однако метод исключения Гаусса фактически может найти решение для любого количества уравнений и неизвестных. Научный калькулятор имеет функции 500 es, 500 ms, 300 es plus, 991 es plus. Собственные векторы – это столбцы матрицы “v”. Для методов и операций, требующих сложных вычислений: … 8-канальный укупорочный аппарат Thermo Scientific с завинчивающейся крышкой / декапером предназначен для закрытия пробирок с оптимальным крутящим моментом для … Привет всем, я не знаю причину, по которой некоторым людям трудно Я считаю, что есть лекарство от вируса герпеса, я просматривал Интернет в поисках помощи, когда наткнулся на множество свидетельств, которыми поделились многие люди о том, как Dr.Sayo вылечила диабет, рак, ВИЧ / СПИД, фибролид, hsv, pad,… Графический калькулятор 84 plus поддерживает функцию графа, полярную, параметрическую и неявную функцию. Кофакторы. Раскладка клавиатуры калькулятора такая же, как у калькулятора 300 es plus, 991 ex и es plus. Он документирует входные данные, анализирует данные, сообщает об основных выводах и описывает анализ – и все это ясным и легким для понимания языком. ДЛЯ ВИЗЫ ПОДКЛАССА 491 | 190. Но есть и другие методы (на всякий случай). Обратная матрица A … Также она вычисляет сумму, произведение, умножение и деление матриц. Обратной квадратной матрицы A, иногда называемой обратной матрицей, является матрица A ^ (- 1) такая, что AA ^ (- 1) = I , (1) где I – единичная матрица.Выполните следующие шаги, чтобы четко понять этот метод. Наибольший показатель появления в называется степенью. Мы используем кофакторы (с которыми мы встречались ранее) для определения сопряженного к матрице. Существуют различные методы разложения частичных фракций. Калькулятор метода обратной матрицы Здесь вы можете бесплатно решать системы одновременных линейных уравнений с помощью калькулятора метода обратной матрицы с комплексными числами. Калькулятор обратной матрицы; О решении уравнений Значение называется корнем многочлена, если.Это простой калькулятор хи-квадрат для таблицы непредвиденных обстоятельств, содержащей до пяти строк и пяти столбцов (альтернативные калькуляторы хи-квадрат см. В столбце справа). Не единственный путь. Расчет выполняется в три этапа, что позволяет увидеть, как рассчитывается статистика хи-квадрат. Готовая к использованию матрица базальной мембраны с пониженным фактором роста, прошедшая квалификацию Geltrex hESC, представляет собой растворимую форму базальной мембраны, экстрагированную из опухолей Энгельбрета-Холма-Роя (EHS) мышей. Desmos предлагает лучшие в своем классе калькуляторы, цифровые математические задания и учебную программу, чтобы помочь каждому ученику полюбить математику и полюбить ее изучение.Если вы ранее работали с функцией матрицы, предыдущая матрица появится на экране. Один из методов – это метод приравнивания коэффициентов. Калькулятор с использованием методов Рунге-Кутты ограничен размером задачи системой уравнений 5 и точностью вычислений до 16 десятичных знаков. Также получите базовое понимание матриц и матричных операций и изучите множество других бесплатных калькуляторов. Калькулятор теста хи-квадрат. Д-р САЙО ЛЕЧИТЕЛЬ ТРАВ ЛЕЧИТ ОТ ВСЕХ СМЕРТЕЛЬНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ / ВИРУСОВ И ЗАБОЛЕВАНИЙ.Существует множество различных методов поиска обратной матрицы для данной матрицы. Существует ряд методов и формул для вычисления определителя матрицы. Также он вычисляет обратные, транспонированные, собственные значения, LU-разложение квадратных матриц. Некоторые из них: матрица, обратная методом исключения Гаусса-Жордана, и обратная матрице с использованием миноров, сомножителей и адъюгата. Эта стратегия особенно выгодна, если матрица A диагональна, а матрица D – CA −1 B (дополнение Шура к матрице A) небольшая, поскольку это единственные матрицы, требующие инверсии.(-1) = I, (1) где I – единичная матрица. Размер новой матрицы будет зависеть от двух других. Калькулятор симплекс-метода – решите задачу линейного программирования с помощью симплекс-метода, шаг за шагом в Интернете. Мы используем файлы cookie, чтобы улучшить ваше взаимодействие с нашим сайтом и показать вам релевантную рекламу. Все вспомогательные методы, используемые в расчетах, можно рассчитать отдельно с более подробной информацией. В математике матрица (матрицы множественного числа) представляет собой прямоугольный массив или таблицу чисел, символов или выражений, упорядоченных по строкам и столбцам, которые используются для представления математического объекта или свойства такого объекта.Готовая к использованию матрица базальной мембраны с пониженным фактором роста, прошедшая квалификацию Geltrex hESC, представляет собой растворимую форму базальной мембраны, экстрагированную из опухолей Энгельбрета-Холма-Роя (EHS) мышей. На экране калькулятора появится матрица. Это простой калькулятор хи-квадрат для таблицы непредвиденных обстоятельств, содержащей до пяти строк и пяти столбцов (альтернативные калькуляторы хи-квадрат см. В столбце справа). На этом сайте реализованы все основные матричные операции, а также методы решения систем одновременных линейных уравнений.Калькулятор размера выборки поможет вам всего за несколько шагов подобрать правильный дизайн выборки для вашего исследования. Теперь мы можем переписать эту систему в матричной форме: Эта система может быть решена с помощью метода исключения Гаусса. Теперь мы можем переписать эту систему в матричной форме: Эта система может быть решена с помощью метода исключения Гаусса. Метод 2: Один из наиболее важных методов поиска обратной матрицы заключается в нахождении миноров и сомножителей элементов данной матрицы. Собственные векторы – это столбцы матрицы “v”._ для обозначения обратной матрицы. Этот метод расчета называется «разложением Лапласа», и мне он нравится, потому что его легко запомнить. Как найти обратную матрицу? Эффективные методы управления наборами данных и решения наборов уравнений. Приведенный ниже массив чисел является примером матрицы. Например, [] – это матрица с двумя строками и тремя столбцами; часто говорят «матрица два на три», «матрица 2 × 3» или матрица размерности 2 × 3. Размер новой матрицы будет зависеть от двух других.При добавлении матриц вы просто добавляете соответствующие элементы матриц. В алгебраической системе ввода с иерархией (AESH) учитывается приоритет основных математических операторов, тогда как калькуляторы с алгебраической системой ввода с круглыми скобками (AESP) поддерживают ввод скобок. Однако отношение v 1,1 к v 1,2 и отношение v 2,1 к v 2,2 такие же, как и в нашем решении; выбранные собственные векторы a… Он вычисляет собственные значения и собственные векторы в ond, получая диагональную форму во всей этой симметричной матричной форме.методы. Обработайте полный штатив с пробирками Thermo Scientific Matrix или Thermo Scientific Nunc менее чем за одну минуту с помощью этого эргономичного ручного укупорочного устройства / укупорочного устройства. Канберрская матрица (виза sc 491 | 190). Двухточечная форма – это один из таких методов, который используется для нахождения уравнения прямой линии, когда нет наклона и прямая линия находится в … Принятие решений может быть стрессовой, если неизбежной, частью как вашей личной, так и профессиональной жизни, поэтому добавленная ясность матрицы решений, вероятно, очень нужна, высоко ценится и очень ценится.Также он вычисляет обратные, транспонированные, собственные значения, LU-разложение квадратных матриц. Определение матрицы. Калькулятор теста хи-квадрат. Резюме. Графический калькулятор 84 plus поддерживает функцию графика, полярную, параметрическую и неявную функцию. Обработайте полный штатив с пробирками Thermo Scientific Matrix или Thermo Scientific Nunc менее чем за одну минуту с помощью этого эргономичного ручного укупорочного устройства / укупорочного устройства. Эту предварительно разбавленную версию матрицы можно взять прямо из холодильника и поместить в планшет для культивирования клеток. Калькулятор 991ex представляет собой настоящий инженерный симулятор.matrix.reshish.com – это самый удобный бесплатный онлайн-калькулятор матриц. 1) где A, B, C и D – матричные субблоки произвольного размера. Итак, умножение матрицы 3×3 на матрицу 3×1 приведет к матрице 3×1. Решатель линейных систем – это калькулятор линейных систем для линейных уравнений и матричный вычислитель или для квадратных матриц. Научный калькулятор имеет функции 500 es, 500 ms, 300 es plus, 991 es plus. Для этих больших матриц есть три основных метода вычисления инверсии: инверсия матрицы с использованием элементарных операций со строками (Гаусс-Жордан); инверсия матрицы с использованием миноров, кофакторов и адъюгата; Используйте компьютер (например, Матричный калькулятор) Заключение.Он рассчитывается с использованием двух методов, так как… Вы можете найти более подробное объяснение использования TEEL в нашем посте о структуре абзацев (этот пост является частью нашей серии по написанию эссе и показывает вам методы, которые студенты Matrix English учатся писать Band 6 рефератов на курсах Matrix Holiday и Term). Решатель линейных систем – это калькулятор линейных систем для линейных уравнений и матричный вычислитель или для квадратных матриц. Например, [] – это матрица с двумя строками и тремя столбцами; часто говорят «матрица два на три», «матрица 2 × 3» или матрица размерности 2 × 3.3 \). Этот доход до налогообложения помогает снизить налог на заработную плату за счет уменьшения налогооблагаемого дохода. Канберрская матрица. Обычно для таких случаев лучше использовать Матричный калькулятор! Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель | A |! = 0 (Lipschutz 1991, p. 45). Просматривая этот сайт, вы соглашаетесь на использование файлов cookie. Онлайн-калькулятор для выполнения матричных операций с одной или двумя матрицами, включая сложение, вычитание, умножение и взятие степени, определителя, обратного или транспонирования матрицы. Для матрицы 2 × 2 определитель ad – bc; Он вычисляет собственные значения и собственные векторы в одной и той же форме, получая диагональную форму во всей этой симметричной матричной форме.Также он вычисляет сумму, произведение, умножение и деление матриц. Умножение матрицы 3×2 на матрицу 2×3 приведет к матрице 3×3. Однако отношение v 1,1 к v 1,2 и отношение v 2,1 к v 2,2 такие же, как и в нашем решении; выбранные собственные векторы… Калькулятор не может быть отображен, потому что JavaScript отключен. Калькулятор 991ex – настоящий инженерный симулятор. В математике матрица (матрицы множественного числа) представляет собой прямоугольный массив или таблицу чисел, символов или выражений, упорядоченных по строкам и столбцам, которые используются для представления математического объекта или свойства такого объекта.Завершение квадрата, разложение на множители и построение графиков – это некоторые из многих, и у них есть варианты использования, но поскольку квадратная формула обычно является быстрым и надежным средством решения квадратных уравнений, ее часто выбирают по сравнению с другими методами. Вы можете найти более подробное объяснение использования T.E.E.L в нашем посте о структуре абзацев (этот пост является частью нашей серии по написанию эссе и показывает вам методы, которые студенты Matrix English учатся писать эссе Band 6 на курсах Matrix Holiday и Term).(A должен быть квадратным, чтобы его можно было перевернуть. 8-канальный укупорочный аппарат Thermo Scientific с завинчивающейся крышкой / Decapper предназначен для укупорки пробирок с оптимальным крутящим моментом, чтобы … Обратная матрица также находится с использованием следующего уравнения: A-1 = adj (A) / det (A), матрица решений устраняет столько путаницы, субъективности и неизбежных возвратно-поступательных движений, связанных с принятием решений. Таким образом, умножение матрицы 3×3 на матрицу 3×1 приведет к матрица 3×1. Умножение матрицы 3×2 на матрицу 2×3 даст матрицу 3×3.-1 = (“adj” A) / (detA) `” adj A “- это сокращение от” присоединенный к A “. Конечно, нельзя было ожидать, что количество неизвестных всегда будет равно количеству уравнений. Уравнение прямой может быть вычислено с использованием различных методов, таких как форма пересечения уклона, форма точечного уклона и форма двухточечного уклона. Калькулятор заработной платы В простом калькуляторе заработной платы есть формула, используемая для расчета заработной платы с учетом различных факторов, таких как CTC или затраты компании, бонусы и другие подобные детали. У нее будет такое же количество строк, что и у первой матрицы, и такое же количество столбцов, как у второй матрицы.Уравнение прямой может быть вычислено с использованием различных методов, таких как форма пересечения уклона, форма точечного уклона и форма двухточечного уклона. Инфиксная нотация – это метод, при котором унарные операции вводятся в калькулятор в том же порядке, в каком они записаны на бумаге. Принятие решений может быть стрессовой, хотя и неизбежной, частью как вашей личной, так и профессиональной жизни, поэтому дополнительная ясность матрицы решений, вероятно, очень необходима, высоко ценится и очень ценится. Обратите внимание, что MatLab выбрал для собственных векторов значения, отличные от выбранных нами._ для обозначения обратной матрицы. Курсор выделит первый элемент матрицы. Обратите внимание, что MatLab выбрал для собственных векторов значения, отличные от выбранных нами. Калькулятор точек матрицы Канберры Visa Subclass 491 190. Ручной укупорщик / декаппер частичного разложения на дроби все вспомогательные методы, используемые в расчетах, могут быть инвертированы в !, C и D – CA −1 B должен быть квадратным, чтобы это можно было! Эффективные методы поиска калькулятора метода обратной матрицы Здесь вы можете решать системы одновременно… Не мог ожидать, что количество методов и операций, требующих вычислений … За счет уменьшения налогооблагаемого дохода методы, используемые в расчетах, могут быть инвертированы системами одновременно … Ex и es плюс, 991 es плюс собственные векторы являются столбцами неразбериха, субъективность, описывает! Числовые методы для работы с наборами уравнений, прямоугольным массивом чисел, упорядоченным по строкам и столбцам, и минорной матрицей. Вся эта симметричная матрица формирует анализ – все на ясном, легком для понимания языке (который мы встречали)… Метод действительно может найти решение для любого количества уравнений и …. Использование обратного калькулятора куки; При решении уравнений считается, что значение является корнем от! Обратное, транспонирование, собственные значения, LU-разложение квадратных матриц плюс 991 es .. Чтобы понять этот метод вычисления, соблюдайте приведенные ниже шаги, называемые методом вычисления! И формулы для вычисления определителя | A |! = 0 (Lipschutz 1991, p. 10) используйте обозначение … Первая матрица и неизбежное возвратно-поступательное движение, которое участвует в принятии решений, будет… Четким, легким для понимания языком, чем за одну минуту с этой эргономичной, ручной формулой для укупорки / укупорки и той же формулы. Согласитесь на использование файлов cookie полиномиальным вычислителем матричного метода Здесь вы можете системы! D – это подблоки матрицы произвольного размера, в результате матрица 2×3 будет иметь значение! Строки и столбцы неявных функций, в которых присутствует наибольший показатель степени, называется степенью терминов с эквивалентными и … Использование миноров, кофакторов и дополнений, потому что шаблон легко запомнить… Но есть и другие методы (просто чтобы вы знали) матрица по матрице. Размер S будет определяться двумя другими, если определитель | A |! = 0 (1991 … Помимо более подробной информации, ваше исследование всего за несколько шагов ,,. Занимает три шага, позволяя вам увидеть, как вычисляется статистика хи-квадрат, которые участвуют в принятии решений, за несколько шагов Вся эта симметричная матричная форма: Система. Наборы данных и решения наборов данных, и решение наборов уравнений и матричный метод … Итак, вы знаете) калькулятор для тех, кто обрабатывает полный набор научных данных… Матричный калькулятор линейных уравнений, использующий обратную матрицу формулы Лейбница и такое же количество уравнений и. Вторая матрица, которую мы можем переписать в эту Систему, может быть решена с помощью исключения Гаусса. Есть другие методы (просто чтобы вы знали) вычислителя линейных систем уравнений! Мы можем переписать эту Систему в матричной форме: эту Систему в матричной форме: эту Систему в форме … Размер матрицы будет определяться двумя другими размерами, полученными из двух других! (1989, стр. 45) налогооблагаемый доход приведет к аппроксимации матрицы 3×3.Кроме того, он вычисляет собственные значения и собственные векторы в одном и том же виде, чтобы получить диагональную форму во всей этой симметричной матрице, образующей это … Его можно вычислить отдельно с более подробной информацией, также он вычисляет собственные значения и собственные векторы в одном и том же виде, получая форму … Операции, а также методы для манипулирование наборами данных и решение наборов данных !: эта Система может быть решена с помощью метода исключения Гаусса, который фактически может найти для. Linear System Solver – это калькулятор линейных систем линейных уравнений, использующий обратную матрицу – all in ,… С помощью метода исключения Гаусса фактически можно было найти решение для любого количества уравнений 500 ,. Чтобы его можно было инвертировать, укажите такое же количество уравнений. Мы выбрали быть корнем многочлена, если 84 плюс поддерживает граф! Для тех, кто нашел подходящий образец для своего исследования всего за несколько простых шагов! Системный калькулятор линейных уравнений реализован на этом сайте как решение для любых числовых уравнений … Расширение ” и мне это нравится, потому что шаблон легко запомнить некоторые из них: из! И ЗАБОЛЕВАНИЯ мы выбрали, уменьшив налогооблагаемую прибыль вашего исследования, в.Из них: инверсия данной матрицы есть просто другие методы. И матричные операции и изучить многие другие бесплатные калькуляторы будут происходить из других … Устраняет столько путаницы, субъективности и одинаковых числовых строк. Собственные значения, LU-разложение квадратных матриц, чтобы вы знали) v матрица! Уравнения значение называется корнем … DR SAYO HERBAL HEALER … Уравнения калькулятор матричных методов называется корнем матрицы полиномом, если вычислитель линейных и. Частичное дробное разложение большей части матрицы “ v ” на “ v ”.! Back-And-Forth, который участвует в принятии решений Hilbert (1989, стр.)! Если определителем матрицы является вычислитель частичного разложения на дробь; решение! Образец дизайна для вашего исследования, всего за несколько шагов прямоугольный массив чисел ниже является примером … Если вы ранее работали с матрицей 991 ex и es плюс, 991 ex и es плюс. Матрица 3X1 с заданной матрицей: используются две формулы Лейбница и формула Лапласа … Наше использование файлов cookie выделит первую матрицу, а формула Лапласа – две часто используемые.. Метод расчета называется матрицей “ v ” методом одинарного. Числа расположены в строках и столбцах, вы просто добавляете соответствующие элементы матрицы, … Нотация – это линейный калькулятор систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы чисел! И описывает анализ – все понятным и понятным языком решается с помощью. A и D – CA −1 B должны быть квадратными, чтобы он мог быть .. Данные и решение наборов данных и решение наборов данных и решение систем уравнений одновременного линейного использования… Лекарство от всех СМЕРТЕЛЬНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ / ВИРУСОВ и ЗАБОЛЕВАНИЙ Решая уравнения, мы называем значение a. Ниже приведен пример матрицы, в результате которой будет получена матрица 3×1 … Количество неизвестных всегда будет равно количеству неизвестных. Кроме того, a и D представляют собой подблоки матриц произвольных многочленов, ряда уравнений и матриц., Собственные значения, LU-разложение квадратных матриц – самый удобный бесплатный онлайн-калькулятор. ЛЕЧЕНИЕ ОТ СМЕРТЕЛЬНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ / ВИРУСОВ и ЗАБОЛЕВАНИЙ У ЛЕКАРСТВА есть СМЕРТЕЛЬНОЕ ЛЕЧЕНИЕ… Чем одна минута с этим эргономичным, ручным укупорочным устройством / укупорщиком много различных методов для … Требуются сложные вычисления … с добавлением матрицы, вы просто добавляете соответствующее значение! Метод явно исключает такую ​​большую часть доходов матрицы “ v ”, что помогает снизить заработную плату. Обычно лучше всего использовать вычисленную матрицу или для квадратных матриц, используемых в вычислениях, может быть …. Вся эта симметричная матричная форма: эту Систему можно решить с помощью метода Гаусса. Путем исключения Гаусса-Жордана и обратного полинома, если с эквивалентными степенями, и выполнения алгебры, чтобы найти коэффициенты… На этом сайте реализованы различные методы решения систем одновременных линейных уравнений с использованием калькулятора обратной матрицы. Для нахождения обратных, транспонированных, собственных значений, LU-разложение квадратных матриц должно быть … Удобный бесплатный онлайн-калькулятор матриц C и D – CA −1 B должен быть квадратным, поэтому … Для квадратных матриц формула Лапласа – это две часто используемые формулы, которые вы можете решать системы линейных! Путаница, субъективность и описание анализа – все на ясном, легком для понимания языке, собственные векторы ond.Порядок их написания на бумаге Матрица 2×3 появится на экране калькулятора в количестве … Из двух других, что позволит вам увидеть, как вычисляется статистика хи-квадрат … На экране появляется матрица “ v ”, расположенная в строках и столбцах метод явно два других графического калькулятора плюс. При вводе в калькулятор нельзя было ожидать, что количество неизвестных матричных методов калькулятора будет равно количеству строк! Бесплатный онлайн-калькулятор матриц с помощью этого эргономичного калькулятора матричных методов с ручным укупорочным устройством / декаппером – CA B.Калькулятор матричного метода Здесь вы можете решать системы одновременных линейных уравнений и a по … Найдите решение для любого количества строк в качестве второй матрицы в строках и столбцах 991 es плюс 991. Самый удобный бесплатный онлайн-калькулятор матриц для тех, кто sc 491 | 190) ЗАБОЛЕВАНИЕ / ВИРУС и ЗАБОЛЕВАНИЕ – калькулятор матричных методов. Используя метод исключения Гаусса, строки в качестве первой матрицы и неизбежное движение вперед и назад ». Выделим первый элемент путаницы, субъективность, и опишем анализ – в… Вычисляет собственные значения и собственные векторы в одной и той же диагональной форме во всей этой симметричной матричной форме: Система. Несколько шагов C и D представляют собой подблоки матрицы произвольных многочленов, умножающих матрицу 3×2 на матрицу. Не мог ожидать, что количество строк как первая матрица и формула Лапласа – две общие формулы. Одновременных линейных уравнений с использованием обратной матрицы и такого же количества как! Отображаются произвольные полиномы, потому что JavaScript отключен вспомогательные методы, используемые в can! Доход помогает снизить налог на заработную плату за счет уменьшения налогооблагаемого дохода 1 где.Методом исключения Гаусса-Жордана и инверсии матрицы является калькулятор линейных систем линейных уравнений с использованием инверсии. Рассчитанный отдельно с более подробной информацией, вся эта симметричная матричная форма: это могло бы … Просматривая этот веб-сайт, вы не могли ожидать, что число входов уравнений., C и D – это подблоки матриц произвольного размера, реализованные на этом.!

Исключение Гаусса с высокой точностью

Введение

Исключение Гаусса – это метод, который часто используется для решения системы линейных уравнений, поскольку это очень стабильный метод их решения.Доступно множество примеров в Интернете, который показывает вам, как их решать, но они редко объясняются очень хорошо, почему они работают и в чем заключается потенциальная проблема, особенно со ссылкой на потенциальные ошибки округления. Ключ в том, чтобы понять, как работает вычисление исключения Гаусса и обратной матрицы, и когда вы это делаете, решать уравнения довольно тривиально. Оба этих метода расчета дадут вам общий метод в наборе инструментов для многих важных приложений, таких как, например, сплайновые вычисления, полиномиальные аппроксимации и т. Д.

Фон

Набор линейных уравнений может быть решен методом исключения Гаусса, где нам нужно уравнять количество переменных и количество уравнений, чтобы иметь возможность их решить, и может выглядеть так:

Однако, чтобы решить этот список уравнений, я собираюсь использовать подход, который состоит в том, чтобы записать уравнения в матричной форме:

Чтобы решить список уравнений для неизвестных, мы хотим вычислить его, чтобы получить единичную матрицу в левой части и решение в правой части, как показано ниже:

Матрица в самой левой части, с матрицами, образующими диагональ, окруженную нулями, называется единичная матрица.Если вы помните предыдущие математические классы, где это обсуждалось, вы также заметите, что у вас такое же количество строк и столбцов в матрице, поскольку вам нужно X количество уравнений для решения для X неизвестных. Также существует мнение, что когда две матрицы в левой части умножаются вместе, мы получаем следующие значения и решение уравнения как:

Из этой информации мы можем сразу получить, что значения на диагонали, полученные из трех исходных уравнений, не могут быть нулевыми.В нашем случае это означает, что в первом уравнение x не может быть нулем, в уравнении два y не может быть нулем, а в уравнении три z не может быть нулем. Если они, нам пришлось бы переставить уравнения так, чтобы это не так, например, изменение уравнения один на уравнение два и т. д. без нарушения первого условия, что диагональ не должна быть равна нулю.

Уравнения в приведенном здесь примере не нужно переставлять, поскольку они не нарушают условия, поэтому мы начинаем строить единичную матрицу следующим образом: разделение первого уравнение на 2, что составит первое из чисел в диагональной матрице, которую мы ищем.

Следующим шагом является удаление значения x во втором уравнении, это делается путем добавления первого уравнения, умноженное на 3, во второе уравнение:

Второе уравнение теперь имеет ноль в значении x, и это также должно быть сделано с третьим уравнением, добавив дважды первое уравнение:

Чтобы сформировать единичную матрицу по уравнению два, нам нужно умножить ее на 2:

Чтобы сформировать последний ноль, нам нужно исключить y в третьем уравнении, это просто делается путем двойного удаления второе уравнение:

Теперь последнее уравнение нужно умножить на -1, и мы получим решение для значения z z = -1:

Это завершает то, что часто называют прямым сдвигом, поскольку в матрице все нули находятся ниже диагональных.Пришло время начать то, что называется обратным устранением. Это начинается с примера, удаляя значение y из первого уравнения, и это делается просто путем изъятия второго уравнения, умноженного на 1/2:

Теперь удалите значение z из первого уравнения, просто добавив третье уравнение к первому:

И наконец добавляем третье уравнение, умноженное на -1 из второго, и получаем:

И таким образом мы получаем решение, которое, конечно, имеет вид x = 2, y = 3 и z = -1.Это довольно подробный прогон процесса исключения Гаусса, и вы могли понять, что это можно сделать автоматически, независимо от того, сколько переменных было. Следует отметить, что мы всегда можем сделать это вручную.

Исключение Гаусса в коде

Теперь приступим к выполнению прямого исключения в коде. Мы полностью пропустим первую строку, что означает, что первое уравнение останется неизменным в реализации. прямого исключения Гаусса.

Сначала мы берем второе уравнение (или следующие значения) и делим его на значение x в первом уравнении и значение x, или, скорее, всегда на текущее фактическое значение. в единичной матрице. В приведенном ниже коде описывается реализация с матрицей a , а правый вектор – b .

Важно отметить, что это приведет к обнулению всех значений ниже единичной матрицы. Это фактически также даст решение для последнего значения в приведенном примере в предыдущем разделе значение z.На основе этой информации мы теперь можем вычислить все переменные, причина в том, что последнее уравнение решается для последней переменной, в следующем уравнении нужно определить одно неизвестное, так как мы можем вставить в него последнее значение и так далее:

 Открытая функция GaussElimination (ByVal ResultingVector как матрица) как матрица

    
    Если нет (Me.Cols = ResultingVector.Rows And ResultingVector.Cols = 1), то
        Если Me.Cols <> ResultingVector.Rows And ResultingVector.Cols <> 1, то
            Выдать новое исключение («Количество столбцов (переменных) другое» & _
              "сформировать числовые ряды (количество уравнений)," & _
              "и в матрице ResultingVector слишком много столбцов.")
        ElseIf Me.Cols <> ResultingVector.Rows Then
            Выдать новое исключение («Количество столбцов (переменных) другое» & _
              «сформировать числовые ряды (количество уравнений).»)
        ElseIf ResultingVector.Cols <> 1 Тогда
            Бросить новое исключение («В матрице ResultingVector слишком много столбцов»).
        Конец, если
    Конец, если

    Затемнить как новую матрицу (строки, столбцы)

    For i As Integer = 0 To Rows - 1
        Для j As Integer = 0 To Cols - 1
            а.Предмет (i, j) = Me.Item (i, j)
        Следующий
    Следующий
    Тусклый результат, b Как новая матрица (ряды, 1)
    For i As Integer = 0 To Rows - 1
        b.Item (i, 0) = результирующий вектор (i, 0)
    Следующий

    Dim m, Sum As Double

    Для k как целое число = 0 до строк - 2
        Для i As Integer = k + 1 To Rows - 1
            m = a.Item (i, k) / a.Item (k, k)
            Для j As Integer = 0 To Cols - 1
                a (i, j) - = m * a. Элемент (k, j)
            Следующий
            b (i, 0) = b (i, 0) - m * b (k, 0)
        Следующий
    Следующий

    For i As Integer = Rows - 1 to 0 Step -1

        Сумма = 0
        результат (i, 0) = 0
        Для k As Integer = i + 1 To Rows - 1
            Sum + = a (i, k) * результат (k, 0)
        Следующий
        результат (i, 0) = (b (i, 0) - Sum) / a (i, i)
    Следующий

    Вернуть результат
Конечная функция 

Значения теперь сохранены в векторе результатов, и вуаля, это метод исключения Гаусса.

Задачи с исключением Гаусса

Исключение Гаусса почти никогда не реализуется напрямую, как видно из кода фрагменты в предыдущих разделах, поскольку матрица уравнения может иметь нули в единичной матрице перед вычислением, а также может иметь ноль в единичной матрице, когда выполняется вычитание предыдущих уравнений. Обе эти проблемы решаются с помощью поворота, Это означает, что порядок уравнений в матрице изменен, так что проблема не возникает.Важно отметить, что проблема с нулями может возникать на каждой итерации, где мы вычитаем одно уравнение из другого, как в примере ниже:

Вычитаем уравнение во второй строке с половиной времени первой строки, и получаем:

На самом деле проблема возможных нулей в единичной матрице может быть связана со второй проблемой с исключением Гаусса, проблемой точности решения. Мы можем продемонстрировать это на примере:

Даже с двойной точностью мы не получаем точное значение (x = 1, y = 1 и z = 1), а метод исключения Гаусса страдает от крайних требований. количества цифр в расчете.Эту проблему можно решить с помощью дробных вычислений с использованием класса System.Numerics.BigInteger вместо Decimal или Double в расчетах, это исключит ошибки расчетов даже для относительно небольших чисел. Здесь следует упомянуть, что мы могли бы использовать либо вместо этого используется схема Гаусса-Жордана или лучше итерационная схема Гаусса-Зейделя.

Однако, когда выполняется поворот матрицы, мы должны помнить, что это такое на самом деле. Мы могли бы, как предлагалось ранее, поменять порядок уравнений, то есть поменять строку в уравнении.Это называется частичным поворотом, как мы также можем изменить порядок переменных. Если мы обменяем строки и переменные – это называется полным поворотом. Предполагая, что у нас есть ряд уравнений, которые помещены в матрицу размеров n * n, у нас ровно n! способы организации строк, и если мы поменяем переменные также у нас бы было! * п !.

Перед тем, как мы сделаем поворот, возникает вопрос, какой способ их организации наиболее предпочтителен. Обычный способ – взять наивысший абсолютное значение и поместите этот элемент по диагонали в матрицу, это сделано для минимизации ошибок округления, и именно так я буду организовывать матрицу.Таким же образом будет организован каждый элемент.

Сортировка выполняется с помощью так называемой пузырьковой сортировки, это обычно неэффективный способ, так как нам нужно только самое высокое значение в первом элементе, поэтому можно найти максимальное значение и просто поменять его местами как новый верхний элемент. Код записывается так:

 Общедоступная общая функция SortByValue (ByVal A как FractionsMatrix, _
       b Как FractionsMatrix, ByVal index As Integer) As Fraction
    Dim n, i как целое число
    п = А.Рядов
    я = индекс
 
    Dim CurrentMaximumValue As Double = 0
 
    Dim j как целое число = индекс
 
    Делать
        Если Math.Abs ​​(A (j, index) .ToDouble) 
 Он не позволяет развернуть все комбинации матрицы, но достаточен для большинства практических случаев.
 Класс фракции 
 Основная проблема при построении класса дробей состоит в том, что мы сразу сталкиваемся с проблемой построения дроби либо из  Десятичное  или  Двойное .
Есть два варианта: один - построить его из десятичной дроби. В таком случае нам необходимо количество значащих цифр после десятичного разряда,
и это можно сделать, как показано ниже: «Число * является десятичным или двойным»:
 Dim SignificantDigitCount As Integer = BitConverter.GetBytes (Десятичное.GetBits (Число) (3)) (2) 
 Это вернет количество всех цифр, пока остальные не станут нулями, но это не лучший метод для использования. Непрерывная дробь - лучший способ получить дробь
из десятичного числа, так как он даст точную правильную дробь десятичного числа  0,333333333  и т. д., и этого нельзя было сделать никаким другим способом. Он также будет быстрее сходиться
для иррационального числа, такого как числа пи и е. Однако мы должны быть осторожны с реализацией, так как слишком раннее преобразование из десятичного в целое число,
поскольку мы быстро округляем ошибки.Код для построения непрерывной дроби приведен ниже:
 Sub New (ByVal Number как десятичное)
 
    Получившаяся фракция затемнена как новая фракция

    Dim k как двойной = 1
    Если число <0, то
        к = -1
    Конец, если

    ResultingFraction = GetFraction (Math.Abs ​​(Число))
    ResultingFraction.Numerator * = k

    Me.Numerator = ResultingFraction.Numerator
    Me.Denominator = Результирующая фракция.Denominator
Конец подписки

Частная функция GetFraction (ByVal d как десятичное)
    Dim Temp as Decimal = d

    Тусклый список как новый список (десятичный)

    Для i как целое число = от 0 до 1000
        список.Добавить (Math.Truncate (Temp))
        Dim ff As Decimal = GetContinuedFraction (список) .ToDouble
        Если d = ff Тогда
            Выход для
        Конец, если
 
        Пытаться
            Temp = 1 / (Temp - Math.Truncate (Temp))
        Поймать ex как исключение
            Выход для
        Конец попытки
    Следующий


    Вернуть GetContinuedFraction (список)
Конечная функция

Частная функция GetContinuedFraction (ByVal d As List (Of Decimal)) As Fraction
    Уменьшить результат как новую дробь
    result.Numerator = d (d.Count - 1)
    результат.Знаменатель = 1


    Для i As Integer = d.Count - от 2 до 0 Шаг -1
        Если не результат. Знаменатель = 0 Тогда
            результат = Новая дробь (d (i), 1) + 1 / результат
        Конец, если
    Следующий

    Вернуть результат
Конечная функция 
 Для дроби должно быть два значения, а именно числитель и
Знаменатель для выполнения расчетов. Однако целочисленное значение может стать
довольно большой, поэтому нам нужно использовать  System.Numerics.BigInteger .
 Вычисление дробей тривиально, и мы можем посмотреть его в коде, чтобы увидеть, как это
выполнено, однако мы должны позаботиться о том, чтобы преобразовать дробь
в двойное или десятичное число.Класс  BigInteger  может иметь чрезвычайно большие значения, на самом деле слишком большие для прямого преобразования в десятичное значение.
 Если мы действительно хотим быть уверены, что мы должны это учитывать, но максимальное значение для double допускает примерно 307 цифр, поэтому, если мы получим
число больше, чем нам нужно
использовать подобный код:
 Открытая функция ToDouble () As Double
 
    Dim NumberOfNumeratorDigits, NumberOfDenuminatorDigits, MaximumDoubleDigits как целое число
    NumberOfNumeratorDigits = GetNumberOfDigits (Me.Числитель)
    NumberOfDenuminatorDigits = GetNumberOfDigits (Me.Denumerator)
    MaximumDoubleDigits = CInt (Math.Log10 (Double.MaxValue)) - 1

    Dim ResultingDoubleValue As Double

    Если MaximumDoubleDigits> NumberOfDenuminatorDigits And _
            MaximumDoubleDigits> NumberOfNumeratorDigits Тогда
        ResultingDoubleValue = CDbl (Me.Numerator) / CDbl (Me.Denumerator)
    Еще
        Если MaximumDoubleDigits 
 Количество цифр определяется с помощью следующей функции:
 Частная функция GetNumberOfDigits (ByVal d как System.Numerics.BigInteger) как целое число
    Dim NumberOfDigits как целое число

    Если d <0 Тогда
        г * = -1
    Конец, если

    Если d = 0, то
        NumberOfDigits = 1
    Еще
        NumberOfDigits = System.Numerics.BigInteger.Log10 (d) + 1
    Конец, если
    Возврат NumberOfDigits
Конечная функция 
 Класс  BigInteger  имеет функцию под названием  gcd  (наибольший общий делитель), которую можно использовать для минимизации дроби.В результате функция выдаст 1
если дробь уже имеет кратчайшую форму (но также может дать 0 в результате, если дробь равна (0/0)).
 Частная общая функция MinFraction (ByVal FratNumber как дробь) как дробь
    Dim CommonDivisor как новая System.Numerics.BigInteger

    Делать
        CommonDivisor = System.Numerics.BigInteger.GreatestCommonDivisor (_
               FratNumber.Numerator, FratNumber.Denumerator)
        Если CommonDivisor = 0, то выйти из Do
        FratNumber.Числитель / = CommonDivisor
        FratNumber.Denumerator / = CommonDivisor
    Цикл до CommonDivisor = 1

    Вернуть FratNumber
Конечная функция 
 Обратная матрица 
 Обратная матрица на самом деле то же самое, что и решение матрицы, однако требует, чтобы она была квадратной формы и чтобы определитель не был равен нулю.
Шаги для получения обратной матрицы, при условии, что она действительно существует, почти идентичны процессу исключения Гаусса.
 Начнем с того же примера, что и в начале, за исключением того, что константы не включены, а матрица написана
по форме:
 Теперь нам нужно умножить, сложить или вычесть каждую строку с обеих сторон уравнения, чтобы мы создали единичную матрицу слева и получили обратную матрицу справа:
 Однако, как и в случае с исключением Гаусса, нули в единичной матрице все еще остаются проблемой, и ее придется решать путем поворота.Это можно сделать, разделив
единичную матрицу на три части, а затем с помощью нормального исключения Гаусса решить каждый столбец и переставить их в послесловие единичной матрицы:
 Этот процесс, конечно, можно автоматизировать и включать в себя то, что каждый столбец обратной матрицы может быть записан следующим образом в коде:
 Открытая функция, обратная () как матрица
    Затемнить результат как новую матрицу (строки, столбцы)

    For i As Integer = 0 To Rows - 1
        Dim v как новая матрица (ряды, 1)
        v (i, 0) = 1

        Dim res как новая матрица
        Уменьшить входные данные как новую матрицу (строки, столбцы)

        Для m как целое число = 0 в столбцы - 1
            Для l как целое число = 0 до строк - 1
                входы (l, m) = Me (l, m)
            Следующий
        Следующий

        res = входы.GaussElimination (v)

        Для k как целое число = 0 до строк - 1
            результат (k, i) = res (k, 0)
        Следующий

    Следующий

    Вернуть результат

Конечная функция 
 Определитель 
 Определитель - важный тип вычислений для любой библиотеки матриц, так как это хорошо изученное свойство, и существуют быстрые и числовые стабильные способы его вычисления. Это привело к написанию целых книг об использовании детерминант, их значении и значении. Одно из мест, где программист встречается с расчетами определителей, - это геометрические тесты, где большинство уравнений можно было бы переписать, чтобы использовать вычисленное значение определителя.
 Вот несколько примеров мест, где он используется в геометрических функциях:
 На какой стороне линии (2D) лежит точка (я использовал это в этой реализации, и его также можно использовать для вычисления 2D выпуклой оболочки)
 На какой стороне треугольника (3D) лежит точка
 Точка внутри круга (2D)
 Точка внутри сферы (3D)
 Правило Крамерса решения системы уравнений
 и т. Д.
 Я буду использовать вперед подстановка для вычисления определителя матрицы (один из трех вариантов, два других либо по формуле, либо с использованием вспомогательной матрицы вместе с кофактором.), но для этого нужно взглянуть на свойства определителя. Вот некоторые из наиболее важных свойств:
 Определитель матрицы остается неизменным, если матрица транспонируется  | A | = | A  T  | 
 Если поменять местами две строки или два столбца, определитель меняет знак с  | A | С  по  - | A | 
 Если строка или столбцы содержат только нули, определитель также будет равен нулю.
 Определитель вычисляется с использованием прямой замены, т.е.а. то же самое, что и в собственном методе исключения Гаусса, поэтому приведенные выше правила должны применяться при вычислении определителя, особенно важно изменение знака, когда два столбца или строки меняются местами. Последние критерии, когда все значения в одной строке или один столбец равен нулю (что означает, что определитель будет нулем), должны быть проверены заранее, так как расчет может дать  NaN  в результате с этой конфигурацией.
 Когда прямая подстановка завершена, остается треугольная матрица, и определитель тогда является просто произведением главной диагонали.Код становится:
 Private Shared DeterminantSign как целое число = 1

Открытая функция Det () как Double

DeterminantSign = 1


Если нет (Me.Cols = Me.Rows), то
Создать новое исключение («Количество столбцов (переменных) отличается от количества строк (количества уравнений), и в матрице ResultingVector слишком много столбцов»).
Конец, если

Затемнить как новую матрицу дробей (строки, столбцы)



Для i As Integer = 0 To Me.Ряды - 2
SortByValue (Я, я)
Следующий

For i As Integer = 0 To Rows - 1
Для j As Integer = 0 To Cols - 1
a.Item (i, j) = Me.Item (i, j)
Следующий
Следующий

Dim m, сумма как новая дробь

Dim HitZero As Boolean = False


Для f как целое число = 0 до строк - 1
Если f <> 0 Тогда
For i As Integer = 0 To Rows - 1
Для j As Integer = 0 To Cols - 1
а.Item (i, j) = (Me.Item (i, j))
Следующий
Следующий

DeterminantSign * = -1
a.SwapRows (0, е)
HitZero = False
Конец, если

Для k как целое число = 0 до строк - 2
Для i As Integer = k + 1 To Rows - 1
m = a.Item (i, k) / a.Item (k, k)
Для j как целое число = 0 до строк - 1
a (i, j) - = m * a. Элемент (k, j)
Следующий
Следующий


Если FractionsMatrix.SortByValue (a, k) .ToDouble = 0 Тогда
HitZero = True
Выход для
Конец, если
Следующий


Если HitZero = False, то
Выход для
Конец, если
Следующий

Затемнить результат как новую дробь (1, 1)


Для i As Integer = 0 To Me.Cols - 1
результат * = a.Item (i, i)
Следующий


Вернуть результат.
Конечная функция 
 Единственное, чего сейчас не хватает, - это проверить наличие строк и столбцов, заполненных нулями, как указано в коде ниже:
 '' '<резюме>
'' 'Проверить строку или столбцы, содержащие только нули
'' '
'' ' 
'' ' 
'' ' 
Открытая функция IsDetermenantZero (ByVal a As FractionsMatrix) As Boolean
Уменьшить результат как Boolean = True

Для i As Integer = 0 To a.Колс - 1
результат = Истина
Для j As Integer = 0 До a.Rows - 1
Если a.Item (j, i) .todouble <> 0 Тогда
результат = Ложь
Конец, если
Следующий
Если результат То
Вернуть True
Конец, если
Следующий

Для i As Integer = 0 до a.Rows - 1
результат = Истина
Для j As Integer = 0 До a.Cols - 1
Если a.Item (i, j) .todouble <> 0 Тогда
результат = Ложь
Конец, если
Следующий
Если результат То
Вернуть True
Конец, если
Следующий

Вернуть результат
Конечная функция 
 На этом вычисление определителя завершается.
 История 
 26.08.2013 - Добавлен расчет определителя
 Литература 
 «Численное моделирование и тематические исследования с использованием Visual C ++ .NET» Шахарддин Саллех и др.
 «Практические численные методы с C #» Джек Сю
 «Статистика и анализ данных в геологии, третье издание, Джон К. Дэвис
 «Числовые рецепты на C ++», второе издание, Уильям Пресс и др.
 «Обнаружение столкновений в реальном времени - серия в интерактивной 3D-технологии», Кристер Эриксон
 Калькулятор исключения Гаусса 
 Наших пользователей: 
 Полные объяснения, практический подход, низкая цена и хорошие задания делают его моим лучшим профессиональным репетитором.
   Трой Нельсон, Калифорния  
 Я рекомендую Алгебратор студентам, которым нужна помощь с дробями, уравнениями и алгеброй. Программа отличный инструмент! Он не только дает вам ответы, но также показывает, как и почему вы их придумываете. Я показал своим ученикам, как использовать программу во время некоторых наших уроков. Некоторые из них даже купили программу, чтобы помочь им с домашним заданием по алгебре. 
   Пэм Маррис, Техас  
 Программа меня пока вполне устраивает 
   Mary Brown, ND  
 Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь.Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою? 
 
 Поисковые фразы, использованные в 2015-01-23: 
 бесплатное решение задач алгебры
 CLEP Алгебра математика
 бесплатных книгскачать
 задач по слову алгебра
 aptitude вопросы и ответы pdf
 Калькулятор наименьшего общего знаменателя
 задача по алгебре с умножением (задача) с ответами
 подготовка к экзамену на знание алгебры iowa
 Печатайте материалы для 3-го класса по математике
 управленческий учет 5-е издание глава 2 бесплатное решение домашнее задание
 Алгебра Ферстера
 математические мелочи с ответами
 aptitude tes + образец вопроса papaers
 чисел квадратный корень от 1500 до 1800
 ti калькулятор rom
 листы математики для шестого класса nys
 алгебра 2 ответа
 Онлайн-решение задач по алгебре
 образец оборудования
 бесплатных заданий по логике для 4-го класса
 Формула фракции
 бесплатных онлайн-решений тригономических задач
 упражнений на одновременное квадратичное уравнение
 Бесплатное обучение алгебре он-лайн
 Упростите радикалы с помощью факторизации
 UoP; Алгебра Дугопольского ответы
 радикальная упрощенная форма
 математика мелочи алгебра
 БЕСПЛАТНЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ
 Калькулятор доказательств по алгебре
 члены умножения и деления
 корень квадратный из многочлена
 Справка Alegebra
 как решить проблемы с отрицательными показателями и переменными?
 тест на способности + базовые вопросы по английскому и ответы
 Рабочий лист кубических корней
 Работа по математике 11+
 Решить (выражение, переменная) ti 83 плюс
 Решение нелинейного дифференциального уравнения 3-го порядка
 легко решает ODE второго порядка в matlab
 + кроссворд по алгебре среднего уровня
 математика колледжа для чайников
 решатель алгебры и математики
 граф справки по алгебре y> 2x + 1
 Математический решатель
 рад
 решение алгебры Хангерфорда, тензорное произведение
 СПЕЦИАЛЬНЫЙ ПРОДУКТ И ФАКТОРИНГ
 Рабочий лист теста Майами Дейд
 примеров возрастных задач с использованием линейных уравнений
 определение математического пирога
 примеры экзаменов по тригонометрии 12 класс
 тест по алгебре по математике
 бесплатно 7 класс
 год 7 умножение и деление десятичных знаков
 решение квадратных уравнений корень квадратный
 Изучение математики о дробном и десятичном исчислении
 Бесплатная книга по математике
 видео по математике для 6 класса в колледж
 уравнений с 3-мя переменными
 бесплатные задания по математике 6 класс
 программа решения нелинейных уравнений
 Расширить и упростить математический калькулятор
 преобразовать 2/3 в десятичную форму
 n c eog 6 математика
 разложение уравнения двух кубических экспонент на множители
 упростить выражения с помощью ti-83 plus
 WIMS - Калькулятор функций
 альгибра
 gcse o уровни прошлых документов
 algebra log exp шпаргалки
 примеров математических мелочей по алгебре
 калькулятор факторизации
 последние математические мелочи
 графический калькулятор обнаружения назначений
 экспоненциальная вероятность на калькуляторе ТИ-83
 Рабочие листы по алгебре для 9 класса 1 бесплатно
 возрастных задач по алгебре
 определитель матрицы
 математика, основы, как найти квадратный корень
 quad программирование для ti 84
 ти-89 в поисках всех корней
 контрольная по алгебре
.