Решение уравнений методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

3.3: Решающие системы с исключением Гаусса-Жордана

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

40127

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Написать расширенную матрицу системы уравнений.
• Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
• Решите систему линейных уравнений с помощью матриц и графического калькулятора.
• Решайте финансовые задачи с помощью матриц и графического калькулятора.

Необходимые навыки

Прежде чем начать, пройдите этот обязательный тест.

Введите в калькулятор следующие матрицы и выполните указанные операции.

Если операция не может быть выполнена, укажите причину.

\(A=\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2\\2 & 6 & 7\\4 & 1 & −5 \end{bmatrix} \), \(B=\begin{bmatrix} 3 & -7\\0 & 1\\2 & −8 \end{bmatrix} \), \(C=\begin{bmatrix} 9 & 4\\6 & -5\\7 & −1 \end{bmatrix } \)

а. \(A \cdot B\)

б. \(B \cdot A\)

c. \(4B-2C\)

д. \(A+C\)

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

а. \(\begin{bmatrix} 11 и -18\\20 и -64\\2 и 13 \end{bmatrix} \)

б. Не определено, так как количество столбцов в матрице \(B\) не соответствует количеству строк в матрице \(A\).

в. \(\begin{bmatrix} -6 и -36\\-12 и 14\\-6 & −30 \end{bmatrix} \)

д. Не определено, так как размерность матрицы \(A\) не соответствует размерности матрицы \(C\).

Если вы пропустили какую-либо часть этой проблемы, просмотрите Раздел 3.2 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

Карл Фридрих Гаусс жил в конце \(18^{th}\) века и начале \(19{го}\) века, но он до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Ранее в этой главе мы рассмотрели методы решения систем уравнений. В этом разделе мы изучим еще один метод решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Расширенные матрицы

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей .

Например, рассмотрим следующую \(2 × 2\) систему уравнений.

\[\begin{align*} 3x+4y&= 7\\ 4x-2y&= 5 \end{align*}\]

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

\(\left[ \ begin{array}{cc|c} 3&4&7\\4&-2&5\end{array} \right]\)

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов .

\(\begin{bmatrix}3&4\\4&−2\end{bmatrix}\)

Система уравнений три на три , такая как

\[\begin{align*} 3x- y-z&= 0\\ x+y&= 5\\ 2x-3z&= 2 \end{align*}\]

имеет матрицу коэффициентов

\(\begin{bmatrix}3&−1&−1\\1&1&0\\2&0&−3\end{bmatrix}\)

и представлен расширенной матрицей

\(\left [ \begin{array}{ccc|c}3&-1&-1&0\\1&1&0&5\\2&0&-3&2\end{array} \right]\)

Обратите внимание, что матрица записана таким образом, что переменные выстраиваются в собственные столбцы: \(x\)-термы идут в первом столбце, \(y\)-термы во втором столбце и \(z\)-термы в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме \(ax+by+cz=d\), чтобы переменные совпадали. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен \(0\).

Как: Для системы уравнений составить расширенную матрицу

1. Записать коэффициенты при \(x\)-членах в виде чисел в первом столбце.
2. Запишите коэффициенты \(y\)-членов в виде чисел во втором столбце.
3. Если есть \(z\)-члены, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

Пример \(\PageIndex{1}\): запись расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

\[\begin{align*} x+2y-z&= 3\\ 2x-y+2z&= 6\\ x-3y+3z&= 4 \end{align*}\]

Решение

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&2&−1&3\\2&−1&2&6\\1&−3&3&4\end{массив} \right]\)

Упражнение \(\PageIndex{1} \)

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

\[\begin{align*} 4x-3y&= 11\\ 3x+2y&= 4 \end{align*}\]

Ответ

\(\left[ \begin{array}{cc|c} 4&−3&11\\3&2&4\end{массив} \right]\)

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы для решения систем уравнений, поскольку они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Пример \(\PageIndex{2}\): запись системы уравнений из расширенной матрицы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−3&−5&-2\\2&−5&−4&5\\−3&5&4&6 \end{массив} \right]\)

Решение

Когда столбцы представляют переменные \(x\), \(y\) и \(z\),

\[\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-3&-5&- 2\\2&-5&-4&5\\-3&5&4&6 \end{массив} \right] \rightarrow \begin{align*} x-3y-5z&= -2\\ 2x-5y-4z&= 5\\ -3x+ 5y+4z&= 6 \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-1& 1&5\\2&-1&3&1\\0&1&1&-9\end{массив}\right]\)

Ответ

\(\begin{align*} x-y+z&= 5\\ 2x-y+3z&= 1\\ y+z&= -9 \end{align*}\)

Сокращенная ступенчатая форма

Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать ее матрицу в уменьшенная форма строки-эшелона , в которой единицы расположены вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции выше и ниже главной диагонали, как показано.

Сокращенная ступенчатая форма строк \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

Следующие расширенные матрицы представлены в сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

\(\left[ \begin{array}{cc|c}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5\end{array} \right]\), \(\left[ \begin{array }{ccc|c}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{массив} \right]\)

Следующие расширенные матрицы не имеют редуцированной ступенчатой ​​формы.

\(\left[ \begin{array}{cc|c}2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7\end{array} \right]\), \(\left[ \begin{array }{ccc|c}0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{массив} \right]\)

Пример \(\PageIndex{3 }\): Матрицы в редуцированной ступенчатой ​​форме

Запишите систему уравнений из каждой из матриц в редуцированной ступенчатой ​​форме сверху. В чем преимущество этой формы?

а. \(\left[ \begin{массив}{cc|c}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5\end{массив} \right]\)

b. \(\left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{массив} \right]\)

Раствор

а. \(\begin{align*} x=-2\\ y=5 \end{align*}\)

б. \(\begin{align*} x=4\\ y=3\\z=2 \end{align*}\)

Преимущество редуцированной строчно-эшелонной формы в том, что решение системы уравнений дано в правой колонке.

 

ИСКЛЮЧЕНИЕ ГАУССА-ЖОРДАНА

Метод исключения Гаусса-Жордана относится к стратегии, используемой для получения сокращенной формы строки-эшелона матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу \(A\) с числом \(1\) в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями сверху и снизу.

\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33 }\end{bmatrix}\xrightarrow{После\пробел Гаусса-Жордана\исключение пробела} A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

Мы можем выполнить операцию со строками над матрицей, например сложение, умножение на константу и перестановку строк, чтобы создать уменьшенную форму строки-эшелона. Процесс выполнения этих шагов вручную выходит за рамки этого класса. Тем не менее, вы можете найти дополнительную информацию о методе Гаусса-Джордана ЗДЕСЬ.

 

Решение систем уравнений с исключением Гаусса-Жордана

Для целей этого курса мы продемонстрируем, как найти уменьшенную форму строки-эшелона в графическом калькуляторе.

Как: Данную систему уравнений решить с помощью матриц с помощью калькулятора

1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную \([A], [B], [C],. ..\)

   1. Нажмите 2 ^и МАТРИЦА. На экране отобразится меню Matrix. Дважды используйте клавишу со стрелкой вправо, чтобы выбрать меню EDIT. В меню EDIT используйте стрелку вниз, чтобы переместить курсор, чтобы выбрать желаемое имя матрицы из меню, и нажмите ENTER. Появится экран ввода матрицы.

   2. Введите размеры общего размера матрицы в виде строк \(\times\) столбцов. Введите количество строк, нажмите клавишу ВВОД, введите количество столбцов и снова нажмите клавишу ВВОД. Форма матрицы изменяется на экране, чтобы показать запрошенное количество строк и столбцов. Проверить соответствие формы желаемой матрице; если нет, то вернитесь к верхнему ряду и скорректируйте размеры. Если матрица слишком велика и не помещается на экране, используйте клавиши со стрелками для прокрутки вправо или вниз, чтобы просмотреть оставшиеся строки и столбцы.

   3. Введите элементы матрицы, нажимая ENTER после каждого. Курсор прокручивает матрицу, перемещаясь по каждой строке слева направо, а затем вниз к следующей строке. Использование клавиш со стрелками для перемещения курсора вместо нажатия клавиши ENTER может привести к тому, что значение не будет сохранено в памяти калькулятора.

   4. Нажмите  2 ^и  ВЫХОД, чтобы завершить процесс сохранения и вернуться на главный экран.

2. Используйте функцию rref( в калькуляторе, чтобы найти сокращенную ступенчато-строковую форму матрицы.

   1. На главном экране нажмите 2 ^nd MATRIX. Используйте стрелку вправо один раз, чтобы перейти в меню MATH.

   2. Прокрутите вниз (или вверх) до rref(, стараясь не выбирать ref(, и нажмите ENTER.

   3. Нажмите 2 ^nd MATRIX еще раз и с помощью стрелки вниз (при необходимости) выберите имя матрицы и нажмите ENTER.

   4. Нажмите ENTER для завершения операции.

3. Если существует сокращенная форма строки-эшелона матрицы, калькулятор отобразит ее на главном экране. ×

Пример \(\PageIndex{4}\): Решение системы уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

\[\begin{align*} 6x+4y+3z&= -6\\ x+2y+z&=\dfrac{1}{3}\\ -12x-10y-7z&= 11 \end{align*} \]

Решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 6&4&3&-6\\1&2&1&\dfrac{1}{3}\\-12&-10&-7&11\end{array} \right]\)

На странице матрицы калькулятора введите указанную выше расширенную матрицу в качестве переменной матрицы \([A]\).

\([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 6&4&3&-6\\1&2&1&\dfrac{1}{3}\\-12&-10&-7&11\end{массив} \right ]\)

Используйте функцию rref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную \([A]\).

rref([A])

представить матричные элементы в виде дробей

Вычислить

\[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&-\dfrac{2}{3}\\ 0&1&0&\dfrac{5}{2}\\0&0&1&-4\end{массив} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+0y+0z &= -\dfrac{2}{3} \ \ y+0z &= \dfrac{5}{2} \\ z &= -4 \end{align*}} \end{array}\]

Таким образом, решение, которое легко читается из правого столбца редуцированной строчно-эшелонной формы матрицы, равно \(\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{2} ,−4\справа)\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решите систему уравнений.

\[\begin{align*} 4x-7y+2z&= -5\\ -x+3y-8z&= -10\\ -5x-4y+6z&= 19 \end{align*}\]

Ответ

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&-7&2&-5 \\ -1&3&-8&-10 \\ -5&-4&6&19\end{массив} \right]\)

На странице матрицы калькулятора введите указанную выше расширенную матрицу в качестве переменной матрицы \([A]\).

\([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&-7&2&-5 \\ -1&3&-8&-10 \\ -5&-4&6&19\end{массив} \right]\)

Используйте функцию rref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную \([A]\).

rref([A])

Используйте параметр MATH –> FRAC в калькуляторе, чтобы выразить элементы матрицы в виде дробей.

Оценка

\[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&\dfrac{3}{2}\end{array} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+0y+0z &= -2 \\ y+0z &= 0 \\ z &= \dfrac{3}{2} \end{align*}} \end {массив}\]

Таким образом, решение, которое легко читается из правого столбца редуцированной построчно-ступенчатой ​​формы матрицы, равно \(\left(-2, 0,\dfrac{3}{2}\right)\).

Пример \(\PageIndex{5}\): применение матриц \(2×2\) к финансам 12% годовых. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил \($1335\). Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть \(x=\) сумма, инвестированная под 10,5% %, и \(y=\) сумма, инвестированная под 12% %.

\[\begin{align*} x+y&= 12,000\\ 0,105x+0,12y&= 1,335 \end{align*}\]

В качестве матрицы имеем

\(\left[ \begin{ array}{cc|c} 1&1&12 000\\0,105&0,12&1,335\end{массив} \right]\)

Введите эту матрицу в качестве переменной матрицы \([A]\). Используйте функцию rref(  , вызывающую переменную матрицы \([A]\). \0&1&5000\конец{массив} \право]\)

Таким образом, \(7000 долларов США\) было инвестировано под 10,5% годовых, а \(5000 долларов США\) под 12% годовых.

Пример \(\PageIndex{6}\): применение матриц \(3×3\) к финансам

Ava инвестирует в общей сложности \(10 000 долларов США\) в три счета, один из которых приносит 5 % годовых, другой – 8 %. проценты, а третий платит 9 % годовых. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил \($770\). Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть \(x\) будет суммой, инвестированной под 5 % процентов, пусть \(y\) будет суммой, инвестированной под 8 % процентов, и пусть \(z\) будет суммой, инвестированной под 9 % процентов. Таким образом,

\[\begin{align*} x+y+z &= 10 000 \\ 0,05x+0,08y+0,09z &= 770 \\ 2x−z &= 0 \end{align*}\]

В качестве матрицы у нас есть

\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0,05&0,08&0,09&770\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)

Введите эту матрицу как переменную матрицы \([A]\). Используйте функцию rref(  , вызывающую переменную матрицы \([A]\). \0&1&0&1000\\0&0&1&6000\end{array} \right]\)

Ответ: \(3000$\) инвестировано под 5%, \(1000$\) инвестировано под 8% и \(6000$\) инвестировано под 9 % .

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Небольшая обувная компания взяла кредит в размере \($1 500 000\) для расширения своих запасов. Часть денег была взята в долг под 7 %, часть – под 8%, а часть была заимствована под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7 %, а годовой процент по всем трем кредитам составлял \(130 500 долларов США\). Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа под каждая ставка

Ответить

\($150,000\) под 7%, \($750,000\) под 8%, \($600,000\) под 10%

Медиа

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по решению систем линейных уравнений методом исключения Гаусса.

• Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы
• Решение системы трех уравнений с помощью расширенной матрицы
• Расширенные матрицы на калькуляторе

Ключевые понятия

• Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. пример \(\PageIndex{1}\).
• Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​в виде исходной системы уравнений. См. пример \(\PageIndex{2}\).
• Мы можем использовать метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы уравнений. См.  Пример \(\PageIndex{4}\).
• Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).

Авторы и авторство

---

Эта страница под названием 3.3: Решающие системы с методом исключения Гаусса-Джордана распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   да

2. Теги

   1. расширенная матрица
   2. Исключение Гаусса
   3. операции со строками
   4. рядно-эшелонная форма
   5. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus
   6. источник[1]-math-15092
   7. источник[2]-math-3101
   8. источник[3]-math-15092

Delta Quants – Гауссовая квадратура

Gaussian квадратура – Gauss Legendre Integration

• 3,04
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

голос: 6052 9003

5

: 6052

5

: 6052

5

. необходимо применить численное интегрирование, чтобы получить цифры риска или оценки, которые в противном случае были бы невозможны, поскольку решения в закрытой форме для этих интегрирований не существуют. Для этого существует несколько вариантов численных методов. Примеры включают трапецеидальные квадратуры, квадратуры Буля и Гаусса. Квадратура Гаусса, вероятно, является наиболее популярным методом на практике сегодня. Эта статья посвящена интегрированию Гаусса-Ландра, которое применяется для численного вычисления определенных интегралов.

Давайте сначала кратко поговорим о полиномах Лежандра:

Полиномы Лежандра

Рассмотрим рекурсивные уравнения 1 и 2 ниже.

Применяя уравнение 2 для n = 1, получаем 2P2(x) = 3xP ₁ (x) – P ⁰ (x)  (3)

Решая (3) имеем = 2, получаем 3P ₃ (x)=5xP ₂ (x)-2P ₁ (x) или, 3P ₃ (x)=15/2x ² -5/2x-2x

что ведет к,

Первые пять полиномов Лежандра приведены в таблице ниже. К ним относятся такие методы, как Bisection, Newton, Brent и т. д. Здесь нам, однако, нужна схема для вычисления всех корней этих многочленов Лежандра. Ниже приведена наводящая на размышления схема:

Предположим, что у нас есть многочлен Лежандра P(x), нам нужны все корни, такие как P(x) = 0,

1. Найдите первый корень (R ¹ ) числа P(x) с помощью решателя (бисекция, Ньютон и т. д.)
2. Найдите полином f(x) такой, что f(x) * (x-R ₁ ) = P(x).
3. Используйте решатель, чтобы найти следующий корень (R ₂ ).
4. Найдите f'(x) такое, что f'(x) * (x-R ₂ ) = f(x) или (x-R ₁ ) * (x-R ₂ ) * f'(x) = P (х)
Итак, и так далее. n — степень полинома. Это начальное предположение эффективно сходится.

Вычисление f(x) таким образом, что f(x) * (x – R ₁ ) = P(x)

Допустим, у нас есть

 (1),

 (2)

 900 )

и нам нужно узнать коэффициенты а ₀ , а ₁ , а ₂ , а ₃ … и т.д.

решая (3) получаем,

что упрощается до

, (4)

и, (5)

(6)

2 точки Гаусса Лежандра Правило интегрирования

Правило интегрирования Лежандра по Гауссу показано в уравнении (7) ниже:

(7)

, где x ₁ и x ₂ — абсциссы, а w ₁ и w ₂ — веса для двухточечного правила интегрирования Гаусса Лежандра. Абсциссы правила n точек — это корни функции Лежандра степени n. Например, для правила двух точек у нас есть функция Лежандра. Таким образом, корни уравнения P ₂ (x) = 0 являются абсциссами двухточечного правила Гаусса-Лжандра.

Далее, корни функции Лежандра степени 2 (см. таблицу 1 выше) таковы, как показано ниже.

(8)

Чтобы найти веса w ₁ и w ₂ , нам нужны два уравнения соотношения. Поэтому мы используем наше знание определенного интегрирования 1 и x, что дает нам следующие два соотношения.

(9)

или, (10)

(11)

Подставив (11) в (7), получим

(12)

:

Примем так, чтобы двухточечное приближение Гаусса-Ландра было следующим:

или

, где точное решение равно 0,74682413281243

) – ln(1) = 1,09861228866811.

Правило интегрирования Гаусса Лежандра по 4 точкам

Абсциссы и веса для правила по 4 точкам следующие:

x1 = -0,339981043584856, x2=-0,861136311594053, x3=0,339981043584856 и x4=0,861136311594053.

w1 = 0,652145154862546, w2 = 0,347854845137454, w3 = 0,652145154862546 и w4 = 0,347854845137454.

Пример 3: Вернемся ко второму примеру, так как нам нужно оценить, используя 4-х точечное правило Гаусса Лежандра.

Применяя правило четырех точек, имеем

Подставляя указанные выше значения весов и абсцисс, получаем . Мы замечаем, что правило 4-х баллов дает более близкий результат, чем правило 2-х баллов.

N-точечное правило интегрирования Гаусса-Ландра

До сих пор мы видели применение 2- и 4-точечных правил интегрирования Гаусса-Лжандра. Обобщение для правила интегрирования более высокого порядка выглядит следующим образом: (13)

, где x _i s и w _i s — абсциссы и веса, применимые для правила N точек. Таблица для правила Гаусса Лежандра более высокого порядка доступна по ссылке ниже.

Просмотр абсцисс Гаусса Лежандра и весов квадратур Гаусса Лежандра более высокого порядка.

Правило более высокого порядка обычно дает лучшее приближение к требуемому интегрированию. В таблице 2 ниже показано, как улучшаются результаты расчета по мере того, как мы переходим к правилам Гаусса-Лжандра более высокого порядка. Правило 32 или 64 пунктов достаточно для большинства реальных случаев.

Заказ (н)	приближение Гаусса Лежандра	Ошибка (%)
2	1.09090909090909	0,70118%
4	1.09857035364936	0,00382%
8	1.09861228751918	0,000000105%
16	1.09861228866810	0,0000000000011%

Таблица 2: Сравнение квадратур Лежандра Гаусса различных порядков.