Решение уравнений онлайн по крамеру: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение уравнений крамер. Правило Крамера

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.

Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие

. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:

– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы.

По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три».

Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Алгебра 2

Часть 1 Уравнения и неравенства

День 1 Рабочий лист порядка действий, видео на YouTube, программа курса, порядок действий в Powerpoint, только домашнее задание 1–16!
День 2 Решение основных линейных уравнений. Рабочий лист, видео на Youtube, разминка. Домашнее задание:  1–16 на рабочем листе.
День 3 Решение уравнений с абсолютными значениями, Powerpoint Решение уравнений с абсолютными значениями ; Рабочий лист Домашнее задание Эвены 2-20,   Видео на YouTube, разминка, классная работа по круговой системе
День 4 Решение абсолютных неравенств Рабочий лист ; Видео, разминка 
День 5 Предварительное тестирование, часть 1 Уравнения Предварительное тестирование, разминка
День 6 Тест

Блок 2 Уравнения прямых и функций

День 7 Компьютерный класс; Разминка. Изучение онлайн-поддержек по алгебре 2
День 8 Отношения и функции; Разминка 1, Разминка 2, Видео, Рабочий лист 1, Рабочий лист 2
День 9 Линии графика/ Наклон, Разминка, График пересечения наклона в классе, Наклон в классе, Видео 1, Видео 2, Видео 3 Поиск наклонов на графиках, Домашнее задание
День 10 Написание линейных уравнений. ТРУДНЫЙ УРОК. Видео Уравнение прямой с учетом 2 баллов, Классная работа, Домашняя работа, Разминка
День 11 Точечная диаграмма. Данные реального мира. Сегодня нужен калькулятор!! Классная работа стр. 88, 1–15 (Glencoe Algebra 2, издание 2003 г.) ПО ЭТОЙ ССЫЛКЕ НА ДОМАШНИЙ ОНЛАЙН-КАЛКУЛЯТОР, ОНЛАЙН-РЕГРЕСС-КАЛЬКУЛЯТОР, Домашнее задание по практике линейной регрессии (пропустите вторую страницу!!), Разминка
День 12 Специальные функции { Кусочные функции, в частности) Разминка, Powerpoint, кусочные функции
День 13 Графики неравенств, компьютерная лаборатория DESMOS GRAPHING, разминка, домашнее задание Графики абсолютных значений/кусочных функций, классная работа Компьютерная лаборатория

Раздел 3 Системы уравнений

День 16 Решение системы с помощью графиков, видео, разминки, классной работы, домашней работы, словесных задач DESMOS GRAPHING
День 17 : Решение системы уравнений GRAPH 4 лист DESMOSr Задачи Кута Алгебра 2)
День 18  Решение системы путем замены, видео, разминки, работы в классе, домашней работы, смены места, замены. Классная работа 
День 21  Предварительное тестирование, разминка, предварительное тестирование решений
День 22  Тест систем уравнений

Раздел 4 Матрицы

0007   Разминка, Пакет для чтения в классе, Домашнее задание Кута Введение в матрицы, Видео
День 24 Операции с матрицами: Разминка, Работа в классе стр. 163 1–27 шансы, Домашнее задание, Решения для домашних заданий
День 25: Умножение матриц, Разминка и домашнее задание, Онлайн-программа Matrix (веб-сайт, который позволяет вводить матрицы и умножать, складывать, вычитать или вычислять обратные значения), Видео по умножению матриц , Номер видео 2
День 26:   Детерминанты и обратные матрицы, разминка, рабочий лист детерминантов, обратная классная работа, домашнее задание
День 27:  Решение системы уравнений с использованием правила Крамера, правила видео Крамера, разминка, классная работа, домашнее задание и ответы 
день 28:  предварительное тестирование глав 4, матрицы, разминка, предварительное тестирование матриц, предварительное тестирование решений
день 29 : Тест Глава 4 Матрицы
День 30 : Назначение на День Благодарения

Блок 5 Полиномы: экспоненциальные правила, факторинг, радикалы

День 31 : Разминки мономиальных, классов, домашняя работа, видео -экспоненциальные правила

009

День 32 : Сложение и вычитание многочленов: разминка, классная работа, домашняя работа, видео Сложение и вычитание многочленов
День 33 : Умножение многочленов Специальные продукты Пакет для разминки и домашних заданий
День 35: Викторина Правила экспоненты, сложение, вычитание и умножение полиномов
День 36: Разминка с делением полиномов, рабочие листы
День 37:  Предварительные показатели степени и полиномы
День 38:  Проверка показателей степени и полиномы, разминка (на борту)
День 39:  Учет точек и мономиального “вытягивания” *B День Дополнительный кредит и назначение, GCF Пакет
День 40: Факторинг Трехчленов Простой ведущий коэффициент равен 1, Трехчленная разминка, Треугольники День 1 Пакет
День 41 : Факторинг трехчленов Жесткий ведущий коэффициент не равен 1, Видео, День
0008 : Факторинг по группировке и разнице/сумме кубов. Видео с факторингом путем группировки
День 43 : Факторинг предварительного тестирования
День 44: Факторинг испытаний
День 45: День радикалов 1 Упрощающий пакет квадратных корней
День 46: День радикалов 2 Упрощающие корни и добавление. /Вычитание квадратных корней Пакет
День 47:  Радикалы День 3 Умножение и деление радикалов, включая сопряженные
День 48:  Радикалы День 4 Решение радикальных уравнений
День 49: предварительные радикалы
День 50: Тестовый Свойство нулевого произведения
День 53: Решение квадратичных уравнений по квадратичной формуле
День 54: Формы квадратичных уравнений, преобразования и решения
День 55: Предварительное тестирование квадратичных уравнений Предварительное тестирование решений, предварительное тестирование
День 56: Тест Квадратики

День 57: ПАРКК -тестирование
ДЕНЬ 58: ПАРКК ТЕСТИЦИИ
День 59: Представающие числа определены
день 60: воображаемые числа Умножение

Блок 7: Функции

День 61: Оценка функций
День. 62: Функциональные операции
День 63: Составные функции
День 64: Обратные функции
День 65: Предварительное тестирование
День 66: Тест

Интернет-поддержка:  
ЦЕЛЫЕ ИГРЫ. Если у вас возникли серьезные проблемы с выполнением фундаментальной целочисленной арифметики, загляните сюда. Вы найдете несколько игр, которые работают над этим навыком.

Prentice Hall:  Этот сайт предлагает бесплатные онлайн-викторины и тесты, которые вы можете пройти и сразу же получить оценку.

Алгебра 2 Гленко:  Это направит вас на сайт другого учителя, где вы сможете увидеть издание для учителя нашего учебника.

Kutasoftware: Нужны дополнительные рабочие листы по любой концепции? Перейдите сюда, и вы можете получить бесплатные рабочие листы с ответами на них (но без решений… не будет показано, как решить задачу)

Algebra 2.com:  Это наш онлайн-учебник. Вы можете выполнять онлайн-викторины и тесты по главам, которые оцениваются немедленно.

Линейные драгоценные камни: играйте в эту игру, чтобы научиться рисовать линии.

Координатная игра: играйте в нее, чтобы просмотреть точки построения графика.

Онлайн-калькулятор: бесплатный калькулятор, который также отображает уравнения в различных цветах.

DESMOS: бесплатная онлайн-программа для построения графиков. Позволяет отображать множество функций одновременно в нескольких цветах.

Cramer s rule vba program

  • Expression
  • Equation
  • Inequality
  • Contact us
  • Simplify
  • Factor
  • Expand
  • GCF
  • LCM
  • Solve
  • Graph
  • Система
  • Решение
  • График
  • Система
  • Математический решатель на вашем сайте

правило Крамера vba программа
Похожие темы:
математика повседневная жизнь + линейное уравнение | математическая формула 10 класса RBSE | что такое кубический корень из 25 | тригонометрия в повседневной жизни | где я могу найти онлайн-калькулятор, который поможет мне решить математические задачи | полиномиальный порядок 3 | распечатать листы по математике для третьего класса | решатель математических задач mcgraw hill/contemprary’s | шаг за шагом, как делать неравенства | бесплатный вычислитель уравнения параболы | графические экспоненциальные функции

Автор Сообщение
Baohz

Зарегистрирован: 13. 05.2002
От кого: gxmwt0

Размещено: Суббота, 04 августа, 10:15

Привет, ребята! Угадайте, на прошлой неделе у меня была температура, и из-за этого я пропустил несколько занятий. Теперь, когда наши выпускные экзамены должны быть сданы на следующей неделе, мне очень нужна помощь в таких темах, как программа cramer s rule vba, и в некоторых других темах, таких как упрощение выражений, отношения и сложение дробей. Я думал о том, чтобы нанять частного репетитора, но тогда мой ограниченный бюджет означал, что я не мог этого сделать. Мне действительно нужна немедленная помощь по этим темам, иначе я могу очень плохо успевать в середине семестра. Кто-нибудь может сделать предложение? Мне нужна помощь, и мне нужно это БЫСТРО!
Наверх
кфир

Зарегистрирован: 07.05.2006
Откуда: Египет

Размещено: Понедельник, 06 Авг, 08:36

У меня есть для вас выход, и он может оказаться лучше, чем покупка нового учебника. Попробуйте Algebrator, он охватывает довольно полный список математических тем и настоятельно рекомендуется. Это поможет вам решить различные типы проблем, а также ответит на все ваши вопросы о том, как он пришел к конкретному ответу. Я попробовал его, когда у меня возникли трудности с решением вопросов, основанных на программе cramer s rule vba, и мне очень понравилось его использовать.
Наверх
3Di

Зарегистрирован: 04.04.2005
Откуда: 45°26′ северной широты, 09°10′ восточной долготы

Размещено: вторник, 07 августа, 10:37

Даже я прошел через этот этап, когда пытался найти способ решения определенного типа вопросов, относящихся к квадратным неравенствам и радикальным выражениям. Но потом я наткнулся на эту программку и почувствовал, что нашел волшебную палочку. В мгновение ока он решит для вас даже самые сложные вопросы. А тот факт, что он дает подробное и подробное объяснение, делает его еще более полезным. Это необходимо купить каждому студенту-математику.
Наверх
Бет

Зарегистрирован: 13.10.2001
Откуда: kµlt øƒ Ø™

Размещено: Среда, 08 августа, 07:44

радикальные уравнения, разность кубов и неравенства были для меня кошмаром, пока я не нашел Algebrator, действительно лучшую математическую программу, с которой я когда-либо сталкивался.

Оставить комментарий