Как решить уравнение Гаусса онлайн с решением
Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем линейных уравнений, поскольку он имеет большее количество преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:
– универсальность;
– не требует проверки системы на совместимость;
– минимальное количество математических операций.
Так же читайте нашу статью “Решить неравенство онлайн решателем”
Если возникли сомнения касательно конечного результата, то всегда можно узнать онлайн решение уравнения
методом Гаусса и сравнить ответы.
Решим следующее уравнение методом Гаусса:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]
Составляем расширенную матрицу системы
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Далее необходимо с помощью второго уравнения исключить переменную \[x_2\] из:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Сделаем собственно исключение переменной\[ x_2\] из 3 и 4 уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на \[\frac{1}{4},\] а к четвёртой – вторую, умноженную на\[ \frac{7}{1}.\]
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения.
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
\[ \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим “с конца”. Из четвёртого уравнения имеем
\[x_4=-\frac{7}{18}\]
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40\]
откуда
\[x_3=\frac{13}{9}\]
Далее, подставляем значения\[ x_3\]и \[x_4\] во второе уравнение системы:
\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8\]
т.е.
\[x_2=-\frac{43}{18},\]
Наконец, подстановка значений
\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1\]
Получаем:
\[x_1=\frac {2}{3}\]
Итак, данная система уравнений имеет единственное решение \[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18},
x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18})\].