Решение задач по начерталке: Решение задач по начертательной геометрии, Гордон - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Решение задач по начертательной геометрии, Гордон

^{Решение задач}

Данный сборник задач и упражнений соответствует программа курса начертательной геометрии для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей высших технических учебных заведений.

Сборник составлен в соответствии и применительно к учебнику «Курс начертательной геометрии» В. О. Гордона и М. А. Семенцова-Огиевского, из которого в данный сборник перенесен ряд примеров и задач.

Авторы стремились помочь изучающим курс в их самостоятельной работе. Этим определился характер пособия, а именно показ процесса решения ряда типовых задач, относящихся к основным вопросам курса. Вместе с тем даны и условия задач для самостоятельного их решения. Условия большинства задач подобны условиям решенных задач, но имеются также задачи и без решенных прототипов, что требует от учащегося проявления большей самостоятельности и творческой инициативы.

Ограничение курса начертательной геометрии в часах и его преимущественно одно семестровое прохождение обусловливают и программное ограничение круга рассматриваемых вопросов.

Очевидно, это предельный минимум; авторы исходили из него при составлении сборника.

В основном задачи, решенные¹) и предлагаемые для решения, относятся к взаимному сочетанию геометрических элементов и их расположению в пространстве и к применению способов преобразования чертежа вращением и введением дополнительных плоскостей проекций. Объектами рассмотрения являются точки, прямые и кривые линии, плоские и некоторые другие поверхности — отдельно и в их взаимном расположении. Рассматриваются задачи на определение расстояний и углов, на построение аксонометрических проекций — прямоугольных — изометрических (с сокращением по оси y вдвое).

Чертежи в большинстве случаев даны в поэтапном их выполнении. Это облегчит чтение чертежей и рассмотрение последовательности их построений. Для лучшего понимания сущности вопроса и представле-

¹) Их номера отмечаются звездочкой вверху.

ния пространственной картины в некоторых из решенных задач даны наглядные изображения. Даны также примеры составления планов решения задач и анализа полученных решений.

Такие сборники задач по начертательной геометрии с их решениями уже издавались, например, в 1928 г. «Сборник задач по ортогональным проекциям с подробными решениями» С. К. Руженцова и Б. А. Иванова. Опыт показывает их полезность.

Особенностью данного сборника является наличие ответов к задачам, предложенным для самостоятельного решения. Правильно ли решена задача? Этот вопрос при самостоятельном решении по большей части является открытым, что затрудняет работу учащегося. Для того чтобы он сам мог убедиться в правильности полученного им решения, в сборнике помещены ответы. Они даны в текстовой или графической форме в зависимости от поставленных в задаче вопросов. Ответ к задаче в форме чертежа содержит положение искомых элементов на фоне задания.

В сборнике даны преимущественно чертежи с указанием оси x как базы для отсчета размеров при построениях и для удобства при перечерчивании заданий. Наличие оси x как направляющей линии облегчает введение в чертеж любой информации и построение чертежей-ответов. Если же ось не показана (как это сделано в некоторых задачах), то ее роль для отсчета размеров может быть присвоена какой-либо из прямых на данном чертеже. Все это находится в логической связи с техническими чертежами, где всегда имеет место база отсчета, хотя и не обозначаемая так, как на чертежах в начертательной геометрии. Однако ось x сохраняет и присущее ей знaчениe линии nepeceчeния плоcкоcтeй пpоeкций V и H, что имеет значение для представления пространственной картины рассматриваемого положения. Но и вне этого значения (определяемого названием «ось проекций») такая прямая является неотъемлемой составляющей каждого чертежа для построения его по заданным размерам. При этом выбор положения оси не является ограниченным и определяется исходя из необходимости и целесообразности.

Авторы придерживаются в основном обозначений, примененных еще в XIX столетии отечественными учеными Н И. Макаровым и В. И. Курдюмовым и в настоящее время используемых в учебной литературе и в практике кафедр без каких-либо осложнений. Эти обозначения, в отличие от всех других, в достаточной степени просты, выразительны, легко читаемы и не загромождают чертежи.

В сборнике применен термин пpoeциpoвaть (от латинск. projicere) взамен пpoeктиpoвaть, так как последнее имеет и другое значение, а именно «разрабатывать, составлять проект» (например, сооружения, механизма, перевозок и т. д.). Переход на слово пpoeциpoвaть вызвал также такие названия, как пpoeциpующaя пpямaя, гopизoнтaльнo-пpoециpующaя плоскость и т. п.

В том же смысле, в каком в некоторых курсах начертательной геометрии применено слово «эпюр» (а иногда «эпюра»), в данном сборнике взято слово «чертеж» (что, вообще, не является новым).

Для лучшего понимания решенных в сборнике задач и усвоения построений рекомендуется перечерчивать исходный чертеж и выполнять на нем все описанные построения.

Следует обратить особое внимание на то, что для сравнимости полученного учащимся чертежа-ответа предложенной для самостоятельного решения задачи с приведенным в сборнике ответом необходимо как можно точнее воспроизвести чертеж-задание, пользуясь осью x как базой отсчета. При желании можно чертеж-задание увеличить> что должно быть учтено при сравнении полученного ответа с ответом в сборнике.

При решении задач, для которых нет решенных прототипов, можно использовать помещенные в конце сборника краткие указания.

Выражение изoбpaзить наглядно, дать наглядное изображение, означает построить изображение в косоугольной фронтальной диметрической проекции (хотя бы в известной под названием «кабинетная»).

Рекомендуется при самостоятельном решении задач предварительно дать рисунок требуемого построения и составить план решения, как это сделано в сборнике для некоторых решенных задач, а лишь затем выполнять построение.

Согласованность данного сборника задач с учебником «Курс начертательной геометрии» В. О. Гордона и М. А. Семенцова-Огиевского не исключает возможности пользоваться другими учебниками, так как для понимания и решения задач по данному сборнику требуется знание тех основных положений, которые должны содержаться в любом учебнике.

При этом, если имеется различие в некоторых обозначениях, можно сопоставить обозначения при помощи таблицы, которую можно найти в учебнике.

Для линий связи применена штрих-пунктирная линия с одной точкой между смежными штрихами. Но если линия связи проведена лишь для проверки правильности построения, то использована линия с двумя точками.

Номера решенных задач отмечены звездочками. Ответы на нерешенные задачи помещены в конце сборника.

Некоторые сокращения слов и условные обозначения в сборнике: пл.— плоскость;

горизонт. — горизонтальный, -ая, -ое; фронт.—фронтальный, -ая, -ое; X — перпендикулярно;

|| — параллельно; ≡ — совпадает;

Точка и прямая
Плоскость
Пересечение прямой линии с плоскостью и двух плоскостей между собой
Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей
Применение способов преобразования чертежа
Кривые линии и поверхности
Смешанные задачи по всему курсу
Аксонометрические проекции
Ответы на решенные задачи

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.

Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.

Моё видео:

<center><div class="advv"><ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:336px;height:280px" data-ad-client="ca-pub-1812626643144578" data-ad-slot="9935184599"></ins> <script>(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});</script></div></center>

Как вы работаете?

Вам нужно написать сообщение в WhatsApp . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ?

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

Теперь напишите мне в Whatsapp или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.

В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Моё видео:

Как вы работаете?

Сколько может стоить заказ?

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Моё видео:

Как вы работаете?

Сколько может стоить заказ?

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности

решение 📝 задач онлайн и письменно

В областях математики, требующих хорошо развитого пространственного воображения, а именно такой дисциплиной является начертательная геометрия, решение задач онлайн зачастую может стать единственным выходом для студентов гуманитарного склада ума.

Хотя, простыми расчетами на бытовом уровне все мы пользуемся в повседневной жизни, сложные математические и тем более геометрические задачи, а также умение правильно чертить пригодятся в будущем только узким специалистам.

Если добавить к сказанному сложность создания чертежей, которых требует решение задач по инженерной графике и «начерталке», становится понятно: для большинства студентов намного более целесообразным оказывается заказать решение задач по математике, инженерной графике и начертательной геометрии. Решение задач можно получить в режиме онлайн.

Заполнение короткой формы непосредственно на сайте займет меньше минуты, как только вы это сделаете – ваша заявка на решение задач (начертательная геометрия), онлайн поддержки во время экзамена или письменной контрольной, написание курсовой или выполнение чертежей автоматически будет разослано всем специалистам нужного профиля.

Уже через небольшой промежуток времени перед вами окажется несколько предложений от опытных специалистов-практиков, способных выполнить поставленную задачу. За вами останется окончательный выбор исполнителя для решения задач по инженерной графике или онлайн решения задач по начертательной геометрии (по условиям сотрудничества, срокам сдачи, ценам).

Большинство пользователей нашего сайта предпочитают заказать инженерную графику (чертежи) и последующую помощь на экзамене (онлайн решение задач по начертательной геометрии) у одного и того же специалиста. Это оправданно, поскольку стиль выполнения заданий в обоих случаях одинаков, а это лишний раз дает понять преподавателю, что работу и дома, и в аудитории выполнял один человек.

Если вам нужна помощь в такой сложной дисциплине, как начертательная геометрия, закажите решение задач онлайн. В заявку также можно включить:

· выполнение чертежей, эпюров в карандаше или в компьютерных программах

· исправление чертежей и эпюров

· решение задач в Паскаль

· полное решение всей методички и т.д.

Возможно, вы захотите не только заказать начертательную геометрию и инженерную графику. Сайт «ВсёСдал!» – это виртуальное сообщество действующих специалистов во всех областях науки и учебных дисциплинах.

Решение задач начертательной геометрии – Энциклопедия по машиностроению XXL

Учитывая современные тенденции широкого внедрения ЭВМ во все сферы человеческой деятельности, в книге уделено достаточное внимание аналитическому описанию основных графических операций, что наряду с приведенными сведениями по универсальным и проблемно-ориентированным алгоритмическим языкам, блок-схемами решения основных задач, соответствующей системой обозначений и т.

д. должно способствовать решению задач начертательной геометрии с применением ЭВМ. При написании учебника был учтен большой опыт разработки научно-методических основ преподавания курса, приобретенный кафедрой прикладной геометрии МАЙ. [c.3]
Поэтому при решении задач начертательной геометрии используют некоторые определения, понятия и результаты дифференциальной геометрии поверхностей. [c.131]

В ряде случаев бывает полезен режим, который не требует вмешательства в процесс человека (автоматическое вычерчивание чертежа, получившегося, например, в итоге интерактивного режима работы автоматическое решение задачи начертательной геометрии с последующим выводом результата в виде чертежа). При этом режиме могут быть допущены относительно низкие скорости получения результатов. г Технические средства интерактивной машинной графики. К таким средствам относят электронные устройства, называемые графическими дисплеями. Носитель изображения и исполнительный блок в дисплее— [c.157]

АВТОМАТИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [c.158]

Автоматизация решения задач начертательной геометрии. В предыдущих главах приведены алгоритмы решений многих задач начертательной геометрии. Рассмотрим общие для всех алгоритмов вопросы, встречающиеся в процессе подготовки геометрических задач для решения их с помощью ЭВМ. [c.159]

Операторы Т = TXY(X, К), Р = РТТ(Т, Г2) и К = K R( , R) выполняют соответственно построение точки, прямой и окружности по достаточной исходной информации и в алгоритмах решения задач начертательной геометрии в основном не рассматриваются. Это чисто машинные операции, не отражающие логику решения графической задачи. [c.161]

Решение задач начертательной геометрии [c.400]

Использование системы трехмерного моделирования для решение задач начертательной геометрии позволяет ие просто быстро выполнить любое, самое сложное построение, но превращает работу в увлекательное занятие, оставляя время для проведения интересных творческих экспериментов. [c.401]

Возникновение и развитие (особенно в середине XIX века) новой области геометрии — проективной геометрии — оказали влияние на общую постановку и методы решения задач начертательной геометрии. Отдельные и разрозненные приёмы стали объединяться общими геометрическими идеями. Отсюда возникали и новые более простые способы решения задач начертательной геометрии. [c.9]

Результатом этих работ является возможность уже в настоящее время автоматизировать такие трудоемкие процессы, как решение многих задач начертательной геометрии, вьшолнение рабочих чертежей деталей по данным чертежам общих видов и т. п. [c.290]

Начертательная геометрия по своему содержанию и методам занимает особое положение среди других наук. Обогащая точные науки наглядностью и простотой решения многих задач, начертательная геометрия в то же время является могучим орудием для работников изобразительного искусства (художников, архитекторов, скульпторов) в создании их произведений. Она как бы является и грамматикой языка техники (чертежа). [c.6]

Пример 1. Составить описания решений некоторых основных задач начертательной геометрии на геометрически ориентированном языке ФАП-КФ. [c.161]

Основными задачами начертательной геометрии являются а) создание метода изображения геометрических фигур на плоскости (поверхности), б) разработка способов решения позиционных и метрических задач, связанных с этими фигурами, Е[ри помощи их изображений на плоскости (поверхности). [c.7]

Во второй половине и конце XIX в. особое развитие получает проективная геометрия, о предмете которой в общих чертах было сказано выше. Проективная геометрия позволила установить значительно более широкий взгляд на круг задач начертательной геометрии, обобщить проекционные методы, создать новые рациональные способы решения позиционных задач. [c. 365]

Прямая линия, пересекающая плоскость. Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пересечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение самых различных задач по всем разделам курса. Решение задач на пересечение прямой и плоскости с поверхностью и взаимное пересечение поверхностей, построение теней в ортогональных проекциях, аксонометрии и перспективе практически сводится к определению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью. [c.24]

ПОСРЕДНИКИ. Вспомогательные линии, плоскости и кривые поверхности, используемые при решении некоторых задач начертательной геометрии. Напр., секущие плоскости при решении задач на пересечение поверхностей тел. [c.89]

Одной из основных задач начертательной геометрии является создание метода отображения трехмерных фигур на плоскость и разработка способов решения позиционных и метрических задач, связанных с этими фигурами, по их плоскостным отображениям. [c.4]

Содержание задания решение позиционных и метрических задач начертательной геометрии методом замены плоскостей проекций. Варианты заданий даны в приложении 7. [c.13]

Преобразование чертежа выполняется для решения позиционных и метрических задач начертательной геометрии. [c.13]

Содержание задания решение позиционных и метрических задач начертательной геометрии. Варианты заданий даны в приложении 8. [c.16]

Однако, как это становилось всё более и более ясным, существенное значение для дальнейшей жизни начертательной геометрии имело происходившее в это время энергичное развитие новой отрасли геометрии, получившей название проективной геометрии. Последняя позволила установить более широкую точку зрения на задачи начертательной геометрии, обобщить применявшиеся в ней методы, найти новые пути и приёмы решения её задач. Бесспорным является значение начертательной геометрии для техники и в педагогическом отношении для развития геометрической интуиции. Но многие математики считают её наукой закостеневшей они видят в ней дисциплину, которая перестала ставить перед исследователем проблемы, которая достигла конца своего развития. Хотя в течение некоторого времени и могло казаться, что подобный взгляд верен, но теперь, в особенности, благодаря работам итальянских и австрийских гео.метров, его следует оспаривать [Клейн. )]. [c.4]

Его преимущество заключается в том, что построение изображения освобождается отрешения обычных задач начертательной геометрии, вызванных определённостью изображения (проекции). Вместо этого элементы изображения выбираются в известной мере произвольно, но этот выбор основывается на учёте расходования параметров и на принадлежности выбираемых элементов областям их существования. Таким образом, вместо решения конструктивных задач на чертеже, мы должны иметь в своём распоряжении. методы учёта параметров и определения их областей существования на изображении. Этим вопросам и посвящена значительная часть настоящей статьи. [c.190]

При решении многих задач в начертательной геометрии геометрические образы часто не связывают с плоскостями проекций, а пользуются разностью удалений их точек от соответствующих плоскостей проекций. [c.23]

В начертательной геометрии проецирующие плоскости часто используют как вспомогательные для решения очень многих геометрических задач. [c.53]

Свойства геометрических фигур, метод их изображения па плоскости и способы решения геометрических задач в пространстве являются базовыми вопросами для курса черчения. Эти вопросы излагаются в курсе начертательной геометрии, изучение которого, таким образом, обязательно должно предшествовать изучению курса черчения. [c.31]

В этой части изложены общие правила выполнения и оформления изображений, рассмотрено практическое применение методов начертательной геометрии при решении задач технического характера и построении аксонометрических и ражений предметов, выполненных в ортогональных проекциях. [c.81]

Способы преобразования аксонометрического чертежа, как и чертежа Монжа, применяются для упрощения решений позиционных и метрических задач путем преобразования гео.метри-ческих фигур общего положения в фигуры частного положения. Обычно в учебных курсах начертательной геометрии рассматривают два способа преобразования прямоугольного аксонометрического чертежа способ совмещения и способ замены плоскости проекций. [c.95]

Изучение проблем теории изображений (начертательной геометрии) на решении прикладных задач. [c.3]

Комплекс вопросов, связанных с вводом, преобразованием и выводом геометрической и графической информации, и возникающих в связи с использованием ЭВМ, называют машиннойграфикой, одна из основных проблем которой — математическое обеспечение (МО), ориентированное на решение задач начертательной геометрии. Создание такого МО необходимо для автоматизации процессов проектирования и чертежно-графических работ. Составление программ решения задач машинной графики требует специальных знаний, связанных с электронной вычислительной техникой и программированием. Однако алгоритмы решения этих задач нельзя создать без знания основ начертательной геометрии, В связи с этим машинная графика становится специальным разделом инженерной графики и начертательной геометрии. [c.157]

В качестве иллюстрации решения задач начертательной геометрии на ЭВМ приведем несколько примеров. Заметим, что все примеры апробированы в течение последних лет в учебном процессе со студентами первых курсов МАИ и на факультете повышения квалификации преподавателей при МАИ и ГИСИ. [c.160]

Из зарубежных разработок следует отметить автоматизированную систему Des riptran [64], предназначенную для решения задач начертательной геометрии, и проблемно-ориентированный язык OGO [65], разработанный для подготовки программ решения различных задач строительного проектирования. [c. 177]

Пространственное воображение необходимо для чтения чертежей, когда из плоских проекций требуется вообразить пространственное тело со всеми особенностями его устройства и формы. Как и любая способность, пространственное воображение может быть улучшено человеком при помощи практических занятий, о достигается решением задач начертательной геометрии и изучением чертежей разных конструкций. Как показывает практика, не все люди могут развить пространственное воображение до необходимой конструктору степени, поэтому проверка на пространственное воображение является лимитирующей проверкой при определении профессиональной пригод-воств конструкторов. [c.206]

Отказ от узкого понимания предмета и цели изучения начертательной геометрии лишь как теоретической базы курса черчения привел к пересмотру ее структуры с целью систематизации изучаемого материала, разработки способов конструировашгя и изображения геометрических фигур, решения общегеометрических и прикладных задач. Учебник призван способствовать самостоятельному изучению предмета студентами, являясь средством организации учебного процесса, подчеркивая единство и взаимосвязь методов начертательной и аналитической геометрии как базы для автоматизации решения задач прикладной геометрии. [c.6]

Поэтому структура учебных заданий на первых занятиях занимала особое место в разработке дидактически обоснованного построения курса. Прежде всего они формулировались не ак графические, а как геометрические, их условие отличалось от соответствующих задач начертательной геометрии и черчения только тем, что результат должен быть получен без применения чертежных инструментов. Содержанием поисковой части задания является определение линии пересечения двух многогранников. Геометрический алгоритм решения такой задачи студентам еще неизвестен. Его поиск составляет содержание первой части работы. Вариантность [c.98]

Решение ряда задач начертательной геометрии упрощ,ается при условии, что исследуемые геометрические элементы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Например, отрезок прямой проецируется без искажения, если он параллелен плоскости проекций. Проще найти точку пересечения прямой и плоскости, если плоскость проецирующая. [c.76]

Решение многих задач начертательной геометрии значительно упрошает-ся, если заданные геометрические элементы занимают в пространстве частное положение, поэтому в основе способов преобразования проекций-переход от обшего положения к частному, когда величина и форма объекта проецируются без искажения. [c.28]

Целью контрольно-графической работы №1 является приобретение студентами практических нмыков решения позиционных задач начертательной геометрии с использованием знаний, полученных при изучении данного раздела. [c.1]

Пример 2. Решение традиционной задачи начертательной геометрии — построение чертежа пересекающихся между собой прямой и плоскоста —рассмотрено на рис.

18.8, а —в. Операции 7 и 2 на рис. 18.8 указывают проекции точек пересечения вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости, вклю шющей прямую, со сторонами заданного треугольника. Операция 3 на рис. 18.8, б — построение проекции линии пересечения вспомогательной плоскости и плоскости треугольника. Операция 4 — указание найденной гортзонтальной проекции точки пересечения прямой и плоскоста. Операция 5 — построение недостающей фронтальной проекции этой точки. Удаление невидимых участков прямой линии [c.343]

Мы не знаем вполне гладких поверхностей, но мы будем считать приближением к ннм те, которые образуют зеркала. Известно, что лучи света, падающие на гладкую поверхность, отражаются под углами, равными углам падения. Если свет излучается из одной единственной точки, то каждая точка гладкой поверхности получает и отражает только один луч, и из всех этих лучей только один попадает в глаз, — другие его не достигают глаз видит только ту точку поверхности, которая отражает к нему луч, все огтальное представляется ему в полной темноте, и оттого тем ярче кажется видимая точка. Если поверхность, положенне глаза и источник света заданы, определение блестящей точки сводится к задаче начертательной геометрии, решение которой более или менее сложно в зависимости от рода образования данной поверхности действительно, речь идет о том, чтобы найти на этой поверх- [c.225]

Практиков в нашем Союзе вследЛеие недостаточной их популяризации в учебниках начертательной геометрии для высших технических школ. Между тем, применение этих методов в практической работе инженера позволяет ему значительно упростить решение многих конкретных задач. Введение же их в учебники для высших технических школ даст возможность студентам глубже понять геометрическую сущность задач начертательной геометрии и тем самым значительно облегчить им сознательное усвоение этой дисциплины. [c.10]

Графические способы исследований предметов окружающего нас мира, присущие начертательной геометрии, широко используются в ряде технических и других наук, обогащая их наглядностью и простотой решений. Особенно большое практическое применение начертательная геометрия находит в конструкторской практике. Учитывая это и возрастающую в последнее время роль математических наук во втузах, начертательная геометрия как прикладная математическая дисциплина рассматривает уже значительно больший комплекс задач, чем те, которые включались раньше в курсы начертательной геометрии. В настоящее время появилась необходимость создания (в пределах существующей прюграммы) учебника, содержащего более полные сведения. [c.5]

Если необходимо изобразить в натуральную величину какие-либо части детали (например, ребро, плоскую грань), которые на основные плоскости проекций проецируются с искажением, то используют способы преобразования проекций, излагаемые в курсе начертательной геометрии. Для решения задачи можно воспользоваться дополнительньсми плоскостями проекций (рис. 54, 55). При этом метод параллельного прямоугольного проецирования сохраняется. [c.32]

Такие сборники задач по начертательной геометрии с их решениями уже издавались, например, в 1928 г. Сборник задач по ортогональным проекциям с подробными решениями С. К. Руженцова и Б. А. Иванова. Опыт показывает их полезность. [c.5]

Согласованность данного сборника задач с учебником Курс начертательной геометрии В. О. Гордона и М. А. Семенцова-Огиевгкого не исключает возможности пользоваться другими учебниками, так как для понимания и решения задач по данному сборнику требуется знаниа тех основных положений, которые должны содержаться в люЗом учебнике. При этом, если имеется различие в некоторых обозначениях, можно сопоставить обозначения при номощи таблицы, которую можно найти в учебнике. [c.6]

Первый уровень (рис. 0.1), реализованный в первых пяти главах учебника, отражает современное состояние преподавания начертательной геометрии как учебной дисциплины, изучающей теорию методов отображения пространства на плоскость и графического решения стереометрических задач на чертеже. Структура и содержание этой части учебника определились в результате анатиза двухвековой истории начертательной геометрии, существующих учебных программ и опыта преподавания предмета в ведущих вузах страны, дискуссий и обсуждений на научно-методических семинарах и конференциях. [c.7]

Как было (угмсчено в первой главе, в курсе начертательной геометрии рассматривается два типа отношений между геометрическими фигурами позиционные и метрические. Соответственно этому решаются два типа задач. Изучение теории и алгоритмов решения позиционных задач в трехмерном расширенном евклидовом пространстве направлено на развитие “пространственного мыпьтсния учащихся для дальнейшего чтения и составления чертежей трехмерных объектов как на бумаге, так и на экранах дисплеев. Некоторые из них (построение касательных плоскостей, соприкасающихся поверхностей) имеют непо-среаственпое значение и составляют основу при составлении математических моделей технических форм в процессе их автоматизированного проектирования и воспроизведения на оборудовании с числовым программным управлением. [c.99]

📐Решение задач по начертательной геометрии на заказ

Спасибо за скорость и качество!

Понравилось обслуживание в личном кабинете на сайте. Все очень быстро, чётко. Отвечали оперативно на все мои вопросы и быстро подготовили решение. Мне нужно было не срочно получить задачки, до конца сессии просто сдать. Но получилось так, что я принесла все листики уже через пару дней!)

5,0 rating based on 521 ratings

Спасибо большое!

В работу вносятся правки, и это отлично! Мое счастье, что вовремя сообразила. В первый раз сдавала, препод не принял ответы без проставленных методов решения. Типа, надо объяснять, как я пришла к такому выводу. Написала менеджеру на сайте, вопрос был решен через день, добавили развернутые ответы.

5,0 rating based on 521 ratings

Ооочень благодарна Вам!

Уважаемые сотрудника сайта. Я ооочень рада что Вы мне помогаете с учёбой. Постоянно у Вас заказываю решение по сопромату, термодинамике, матанализу и другим непонятным предметам))). Вообщем спасибо огромное, вы мне помогаете получить высшее образование. Еще хотелось бы Вас попросить о скидках ))

5,0 rating based on 521 ratings

Заочникам тоже помогут! Спасибо

Пришлось сдать вступительные и начать учиться на заочке. Честно – я уже в возрасте и уделять время на учебу нет желания. Решил воспользоваться – написал на решаем онлайн, сотрудники быстро ответили, проконсультировали. Теперь заказываю решение задач только у них

5,0 rating based on 521 ratings

На удивление недорого и качественно!

Только поступил на 1-ый курс. Наткнулся на проблему – никто не хотел мне помогать с учёбой и домашнем заданием. Решил обратиться к интернету. Очень долго искал подходящий сайт по решение домашних задач. Но везде очень много берут денег и не понятно за что. Самый недорогой сервис – решаем онлайн.

5,0 rating based on 521 ratings

Заказываю все решения по эконом теории только в решаем онлайн

Что в школе, что в университете училась на пять. Но тут наткнулась на предмет, с который у меня ну ни как не выходит разобраться, а тем более понять. Тут у наших ребят подслушала, что решения по различным предметам заказывают, где то в сети. Обратилась и заказываю все решения по эконом теории у вас!

5,0 rating based on 521 ratings

Убедился в качественном сервисе 5+

Заказывал решение задач на разных сайтах. Постоянно были проблемы с выполнением. То преподаватели были не довольны, при этом мне не переделывали решение. То не вовремя скинут задачу и опять же не были довольны мной преподы. Наткнулся на сайт решаемонлайн – стал систематично заказывать только тут.

5,0 rating based on 521 ratings

Скорость и удобство порадовали

Меня смутило, что некуда приложить условия, на сайте только email и имя. Однако после открылся личный кабинет, где я нашла все нужые вкладки. Отправила фотографию с заданием и села ждать. Ответили моментально, прислали цену и сказали, что нашли автора. Я в восторге от скорости.

5,0 rating based on 521 ratings

Морока с Гражданским правом решена на отлично!

Работаю, воспитываю двоих детей одна. Параллельно учусь на заочке. Времени катастрофически не хватает ни на что. На учебе была на гране вылета из-за предмета гражданское право, накопилось много хвостов. Подружка посоветовала обратиться к ребятам из решаемонлайн. В общем они еще и диплом написали!

5,0 rating based on 521 ratings

Сессия для Бухгалтера теперь без проблем ребята!)

Катастрофически не хватает времени! Учусь на бухгалтера и каждую сессию получаю эти пресловутые задачки. Спасибо вам за помощь с работами! Я всегда оформлялась за несколько дней до сдачи, чтобы успеть получить, проверить, распечатать и сдать. Радуют цены, т.к. за учебу итак плачу денежку немалую.

5,0 rating based on 521 ratings

Кто не любит писать сочинения тогда вам сюда!

Очень люблю точные науки. С цифрами мне проще работать. Поэтому я поступил на физмат. Но оказывается весь первый курс у нас продолжают преподавать школьную программу по русскому языку и литературе. Ненавижу писать сочинения. Спасибо однокурснику – показал сайт на котором быстро, качественно!

5,0 rating based on 521 ratings

Незаменимые помощники!

После 9 класса поступил в колледж. Случайно узнал о сайте решаемонлайн – делают за тебя всю домашнюю работу быстро и не дорого. Одногруппники о таком сайте не знают. Стал всем ребятам предлагать помощь в домашнем задании, при этом перенаправляю на работников сайта!

5,0 rating based on 521 ratings

Закрыл сессию на отлично благодаря Вам!

Спасибо вам, дорогие друзья, за помощь! Для меня было жизненно важно закрыть сессию и сдать все экзамены, чтобы получить стипендию. Но я вообще, ну никак не успевала сдать парочку задач по макроэкономике, списывать было не вариант. Мне решили все за один день, по демократичной цене!

5,0 rating based on 521 ratings

Мастера на все руки!

Всю свою сознательную жизнь программировал на С++, а тут преподаватель задал задачку на языке Phynton. Не стал долго заморачиваться и написал ребятам из решаемонлайн – был очень удивлен когда они взялись за работу и через день прислали решение задачи. При этом денег практически не взяли!

5,0 rating based on 521 ratings

Оперативный сервис!

На последних курсах просто некогда заниматься заданиями, которые выдаются на дом. Итак куча дел, а я должен видеть ночами и помимо основной работы и диплома писать задачки. Нашел сайт, где буду заказывать ответы для галочки, а получил настоящих друзей со скидками и супербыстрой реакцией! Спасибо!

5,0 rating based on 521 ratings

Спасибо! Очень выручили

Компьютер для меня – это настоящая черная дыра, умею только то, что делает среднестатистический пользователь. Задали сделать видео с музыкой из своих фоток, а я только накачала вирусов, пока искала программку. Посоветовали обратиться к специалистам, нашла ваш сайт. Спасибо за готовое задание!

5,0 rating based on 521 ratings

Ваш выпускник!)

На втором курсе учиться очень сложно. Я не успевал ничего из-за новых предметов и жуткого расписания занятий. Именно тогда с вами познакомился и стал заказывать мелкие задачки, которые делать не хотелось (или попросту не хватало часов в сутках). Сейчас выпускаюсь и хочу сказать спасибо за поддержку

5,0 rating based on 521 ratings

Обратился впервые – компания не подвела!

На потоке знакомый подкинул идею – что бы самому не заморачиваться с выполнением задач по термодинамики, можно заказать где-то в интернете. Наткнулся на reshaemonline. Предоставил всю методичку, решения скидывают по мере необходимости, еще ни разу не подводили.

5,0 rating based on 521 ratings

Теперь матанализ не зло!

Мне нужно было срочно решить несколько задач по матанализу, иначе ждало отчисление. От безысходности полез в интернет и начал оставлять заявки везде, где предлагаются услуги помощи студентам. Тут мне ответили быстрее всех, я оформил заказ и получил файлик с готовым решением в этот же день. Спасибо!

5,0 rating based on 521 ratings

Большое спасибо!

Медикам особенно тяжело учиться… я частенько обращаюсь за помощью, чтобы закрыть неважные предметы и уделить время учебе по специальности. Задачи по генетике – это зло, но мне не пришлось ими заниматься. 🙂 Я просто передал специалистам нежелаемые дела и получил море свободного времени для написания

5,0 rating based on 521 ratings

Благодарю за помощь!

5,0 rating based on 521 ratings

Решение проблем: нарисуйте картинку

Решение проблем – критически важный и социально-эмоциональный навык 21 века

Стратегия «Нарисуй картинку» – это метод решения проблем, при котором учащиеся визуально представляют проблему.

Этот ресурс поможет вашим ученикам научиться применять фундаментальную стратегию решения проблем, которую легко усвоят ученики всех способностей.

Ищете дополнительные ресурсы по навыкам 21 века и социально-эмоциональному обучению? Найдите их в нашем ресурсном центре FutureFit.

Страница 1 из 2

Решение проблем: нарисуйте картинку

Что это?

Стратегия «Нарисуй картинку» – это метод решения проблем, при котором учащиеся визуально представляют проблему. Например, нарисовав картинку, можно решить следующую задачу:

Лягушка на дне 10-метрового колодца. Каждый день он поднимается на 3 метра. Каждую ночь он спускается на 1 метр. В какой день он достигнет вершины колодца и сбежит?

Почему это важно?

Рисование диаграммы или другого визуального представления часто является хорошей отправной точкой для решения всех видов задач со словами.Это промежуточный этап между языком как текстом и символическим языком математики. Представляя единицы измерения и другие объекты наглядно, учащиеся могут начать думать о проблеме математически. Рисунки и диаграммы также являются хорошими способами описания решений проблем; поэтому они являются важной частью математической коммуникации.

Как это сделать?

Поощряйте студентов рисовать задачи в самом начале их математического образования.Продвигайте и укрепляйте стратегию на всех последующих этапах. Большинство студентов, естественно, будут рисовать картинки при малейшей поддержке.

Предложите учащимся задачу, для решения которой им потребуется нарисовать картинку. Например:

Мара ставит палатку для воссоединения семьи. Размер палатки – 16 на 5 футов. Каждой 4-футовой секции палатки нужна стойка, за исключением сторон 5 футов. Сколько постов ей понадобится?

Продемонстрируйте, что первым шагом к решению проблемы является ее понимание.Это включает в себя поиск ключевой информации, необходимой для выяснения ответа. Это может потребовать от студентов прочитать задачу несколько раз или изложить ее своими словами.

16 футов на 5 футов
1 столбик на каждые 4 фута, в том числе по одному в каждом углу
Нет столбов на коротких сторонах

Выберите стратегию
Чаще всего учащиеся используют стратегию рисования картинки для решения задач вовлекает пространство или организацию, но его можно применить почти ко всем математическим задачам.Также студенты используют эту стратегию при работе с новыми понятиями, такими как эквивалентные дроби или основные операции умножения и деления.

Границы | Когда рисование может помешать решению проблемы? Влияние стратегии рисования на линейные сверхобобщения и решение проблем

Введение

Создание рисунка считается мощной стратегией в решении математических задач (Pólya, 1945). Согласно теории внешних репрезентаций (Cox, 1999), он может поддерживать решение проблем, помогая тем, кто решает проблемы организовать информацию, и может делать недостающую и неявную информацию (например,g. , отношения между объектами) явный. Таким образом, он углубляет понимание и облегчает действия, которые не требуют пояснений. Эмпирические доказательства преимуществ рисования для решения проблем были обнаружены в различных исследованиях (например, Van Essen and Hamaker, 1990; Hembree, 1992; Zahner and Corter, 2010; Rellensmann et al., 2016). Однако стратегия рисования не кажется полезной для решения некоторых типов задач, и, что удивительно, она может быть даже невыгодной из-за снижения успеваемости учащихся при решении задач нелинейной геометрии (De Bock et al., 2003). Похоже, что рисование приводит к увеличению хорошо известной тенденции учащихся к линейному сверхобобщению, что означает, что учащиеся склонны применять линейные модели к нелинейным ситуациям (Van Dooren et al., 2005). В более широком плане этот вывод демонстрирует необходимость исследования процессов, вызванных стратегией рисования, и ключевых факторов, определяющих ее полезное использование. Исходя из этих соображений, настоящее исследование преследует двоякую цель: (а) воспроизвести De Bock et al. (2003) удивительное открытие, что рисование мешает ученикам решать задачи нелинейной геометрии и (б) находить объяснения этому неожиданному явлению. На основании предыдущих исследований мы предполагаем, что недостаточное качество стратегии рисования и отсутствие возможности использовать стратегию рисования для целей мониторинга являются решающими факторами, которые способствовали негативным последствиям рисования. Наша цель – выяснить, вступают ли эти факторы в игру, когда студенты решают задачи нелинейной геометрии, и, более конкретно, можно ли уменьшить отрицательный эффект рисования, обращаясь к этим факторам.

Стратегия рисования и линейные сверхобобщения

Самостоятельно созданный чертеж

Внешние визуальные представления вездесущи в контекстах обучения и воспитания. Таким образом, они выполняют разные функции. Во-первых, способность работать с внешними визуальными представлениями, такими как рисунки, может считаться самоцелью обучения, потому что во многих ситуациях в классе и повседневной жизни необходимо интерпретировать, конструировать и работать с ними (Центр Национальной ассоциации губернаторов для Лучшие практики и Совет директоров государственных школ, 2010 г. ).Во-вторых, утверждается, что они улучшают обучение, освобождая рабочую память, способствуя самообъяснительной деятельности и приводя к более глубокому пониманию учебного материала (Cox, 1999; Mayer, 2005; Van Meter and Garner, 2005). Следует проводить важное различие между готовыми и самопроизвольными внешними визуальными представлениями. В последнем случае учащиеся сами конструируют представления, что означает, что они активно участвуют в экстернализации своего ментального представления, что включает в себя процессы организации, отбора и интеграции информации, представленной в задаче (Van Meter and Garner, 2005).В данной статье мы сосредоточимся на самогенерируемом рисунке. Мы определяем стратегию рисования как процесс построения внешнего визуального представления, которое соответствует математической структуре задачи и направлено на решение проблемы (Ван Метер и Гарнер, 2005).

Самостоятельно созданный рисунок влияет на процесс решения проблемы, поскольку он направляет внимание учащегося и направляет или даже определяет его или ее действия. Теории познания предполагают, что, приступая к решению проблемы, люди конструируют внутреннее представление проблемной ситуации, называемое ментальной моделью (Johnson-Laird, 1980).Во время рисования ментальная модель трансформируется во внешнее визуальное представление (т. Е. В рисунок). Этот процесс – больше, чем простой перевод, потому что он включает в себя реорганизацию данной информации и динамические итерации между ментальной моделью и экстернализованной моделью, чтобы соответствовать обоим представлениям (Cox, 1999). Реорганизация информации может сделать ключевые элементы проблемы и ее взаимосвязи видимыми, так что информация может быть более легко обработана после построения чертежа (см. Раздел «Качество стратегии рисования») (Larkin and Simon, 1987).Для успешного решения проблемы крайне важно, чтобы структура проблемы была адекватно представлена во внешнем визуальном представлении. В противном случае рисование может вызвать перцептивные и когнитивные искажения, которые могут увести решателя проблемы от цели (Zhang, 1997; Cox, 1999).

Исследования, посвященные влиянию рисования на эффективность решения проблем, пришли к разным результатам. Ряд эмпирических исследований показали, что рисование положительно влияет на решение математических задач (Van Essen, Hamaker, 1990; Hembree, 1992; Zahner, Corter, 2010; Rellensmann et al., 2016). Сильную поддержку преимуществ стратегии рисования дал метаанализ, проведенный Хембри (1992). Обучение студентов рисованию было определено как наиболее эффективный метод повышения эффективности решения проблем по сравнению с обучением их использованию других стратегий, таких как обработка посторонних данных, вербализация концепций или использование процедур предположений и тестов. Однако, похоже, несколько факторов определяют, будет ли стратегия рисования полезной или нет. Например, Ван Эссен и Хамакер (1990) обнаружили, что рисование оказывает положительное влияние на пятиклассников, но не на первоклассников и второклассников, указывая на то, что преимущества рисования зависят от конкретных трудностей, с которыми учащиеся сталкиваются при решении задач. Другим важным фактором, по-видимому, является тип проблемы, потому что для некоторых типов задач рисование оказалось полезным (например, вероятностные задачи (Zahner and Corter, 2010) или арифметические задачи со словами (Van Essen and Hamaker, 1990)], тогда как для других типов задач, в частности задач нелинейной геометрии, не было обнаружено никакого эффекта (De Bock et al., 1998) или даже отрицательного эффекта (De Bock et al., 2003). Наиболее важным фактором, определяющим, было ли создание рисунка полезным или нет, казалось, было качество стратегии рисования, о которой мы поговорим в следующем разделе.

Стратегия качества рисования

Качество стратегии рисования означает правильность и явное представление ключевой информации. Соответственно, качественное использование стратегии рисования означает, что рисунок как продукт процесса рисования является правильным и полным в отношении важных элементов и их отношений. Оба критерия должны быть соблюдены, чтобы возможности быстрой обработки зрительной системы учащегося можно было использовать для вынесения перцептивных суждений, вместо того, чтобы полагаться на сложные логические выводы (Cox, 1999).

Исследования самогенерируемого рисунка показали, что преимущества рисования во многом зависят от качества, с которым применяется стратегия рисования (Van Garderen and Montague, 2003; Uesaka et al., 2007; Schwamborn et al., 2010; Mason et al., 2013; Rellensmann et al., 2016). Учащиеся, которые применяют стратегию рисования качественно, лучше справляются с решением проблем и тестами на результаты обучения, чем ученики, которые применяют стратегию рисования более низким качеством. Исследование решения проблем показало, что учащиеся часто не используют качественную стратегию рисования, потому что они, как правило, создают графические изображения с чисто декоративной функцией вместо изображения важных элементов и их взаимосвязей (Hegarty and Kozhevnikov, 1999; Van Garderen and Montague, 2003 ).Что касается задач нелинейной геометрии, качественный анализ решений студентов показал, что качество, с которым применялась стратегия рисования, обычно было слишком низким – с точки зрения правильности и явного представления ключевой информации – чтобы помочь студентам решить задачи (De Bock et al. др., 1998). Следовательно, запроса на рисование, вероятно, недостаточно, и, возможно, потребуется оказать студентам поддержку, которая сделает стратегию рисования более полезной для решения проблем. Эмпирические указания на это утверждение были предоставлены в исследованиях текстового обучения.В исследовании Ван Метера (2001) применение стратегии рисования было более эффективным в условиях, когда процесс рисования учащихся поддерживался предоставлением иллюстраций или подсказок для сравнения иллюстраций с самодельными рисунками. Было обнаружено, что поддержка рисования учащихся положительно влияла на выполнение всесторонних произвольных запоминаний, но не на распознавание заданий. Эти результаты показывают, что улучшение качества стратегии рисования важно для успеваемости учащихся, если оценка требует, чтобы они выстроили связи между информацией, приведенной в задаче, как в случае, когда учащиеся решают нестандартные математические задачи.

Визуальный мониторинг

Еще одним важным фактором в контексте исследования самогенерируемых чертежей является то, что стратегия рисования может улучшить процессы мониторинга. Было заявлено, что мониторинг необходим для решения проблем (Flavell, 1979) и играет важную роль в обнаружении неверных интуиций и заблуждений, таких как линейное чрезмерное обобщение (Van Dooren et al., 2004). Стратегию рисования можно рассматривать как инструмент, который можно использовать для мониторинга по следующим причинам.Когда учащиеся используют стратегию рисования, они создают визуальное представление на основе абстрактного символического представления. Поскольку визуальные представления ограничены в абстракции, они способствуют обрабатываемости и приводят к генерации новой информации (Stenning and Oberlander, 1995). Следовательно, стратегия рисования может использоваться для обнаружения несоответствий. В частности, при решении задач стратегия рисования может применяться с целью выявления ошибок и неточностей в ментальной модели ученика проблемной ситуации.В дальнейшем, когда стратегия рисования применяется для целей мониторинга, мы называем это визуальным мониторингом.

Эмпирические доказательства того, что стратегия рисования может использоваться для целей мониторинга, могут быть получены из исследования Stylianou (2011). Действия экспертов (математиков) и новичков (учащихся средней школы) по решению проблем были проанализированы с использованием качественных методов для определения целей стратегии рисования. И эксперты, и новички использовали стратегию рисования для отслеживания прогресса решения проблем, включая проверку правильности и принятие обоснованных решений о последующих действиях.Однако, в отличие от экспертов, учащиеся средней школы редко занимались визуальным наблюдением и – если вообще – для проверки своего результата в конце процесса решения проблемы. Этот вывод указывает на важность поддержки школьников в их деятельности по визуальному мониторингу.

Дальнейшие указания получены в результате исследования обучения на основе текста. Ван Метер (Van Meter, 2001) проанализировал протоколы мыслей вслух пяти- и шестиклассников, которые читали научный текст в двух условиях: рисование самостоятельно по сравнению с работой с готовыми рисунками.Было обнаружено, что учащиеся, которые использовали самогенерируемые рисунки, участвовали в значительно большем количестве контрольных мероприятий, таких как оглядываясь назад и задавая себе вопросы, по сравнению с учащимися, которые работали с готовыми рисунками. Кроме того, количество событий мониторинга было выше, когда учащиеся получали дополнительную поддержку во время рисования. Следовательно, поддержка рисования учащихся имеет решающее значение для определения способа использования стратегии рисования. В общем, рисование, похоже, служит целям мониторинга, а поддержка рисования увеличивает визуальный мониторинг.Однако исследования еще не определили, в какой степени эти результаты пригодны для решения математических задач.

Линейные сверхобобщения

Заблуждения часто возникают, когда учащиеся обобщают свои предыдущие знания, систематически применяя их в тех контекстах, в которых они неуместны (Smith et al., 1993). Хорошо известным примером такого заблуждения является «иллюзия линейности», тенденция применять линейные модели к нелинейным ситуациям, которые в дальнейшем будут называться линейными сверхобобщениями.Линейность и особенно пропорциональность можно считать простейшим, но также и наиболее важным свойством математических соотношений (две величины изменяются с равным увеличением). Многие факты реального мира основаны на линейных и пропорциональных отношениях. Также в математическом образовании линейность играет центральную роль и проявляется во время обучения детей в школе в контексте различных математических тем – от арифметических задач со словами до линейных функций и сложных понятий, таких как диаметр и окружность круга.Однако интенсивное рассмотрение линейности может привести к тому неудобству, что некоторые студенты разовьют ложные концепции, а именно идею о том, что линейные модели обладают своего рода универсальной достоверностью. Как следствие, они могут ошибочно перенести принцип линейности на нелинейные контексты.

Эмпирически сильная тенденция учащихся к линейному чрезмерному обобщению была подтверждена большим количеством исследований, в которых участвовали разные возрастные группы, начиная с начальной школы (Van Dooren et al., 2005) студентам университетов (Esteley et al., 2010) и обращался к различным математическим областям, таким как арифметические задачи со словами (Van Dooren et al. , 2005, 2010), алгебраические паттерны (Stacey, 1989), геометрия (De Bock et al., 1998, 2003; Ayan, Bostan, 2018) и вероятности (Van Dooren et al., 2003). В частности, казалось, что линейные сверхобобщения увеличились после того, как линейные задачи преподавались в классе (Van Dooren et al., 2005), что подтверждает предположение о том, что опыт учеников с линейными концепциями в классе математики ответственен за их сильную склонность к линейным сверхобобщениям. .Однако даже очень молодые ученики (второклассники и третьеклассники) склонны давать линейные ответы на нелинейные задачи, указывая на то, что необходимо учитывать и другие факторы. Одним из этих факторов может быть склонность людей сокращать информацию в своей среде до максимально простых структур, известная как «Закон простоты» (Chater and Vitányi, 2003). Поскольку линейность и, в частности, пропорциональность – это простейшая форма связи между двумя величинами, это смещение может также возникать независимо от того, как учащиеся сталкиваются с линейными задачами в классе.

Одним из наиболее изученных типов задач, связанных с линейными сверхобобщениями, является задача нелинейной геометрии, в которой учащихся спрашивают о том, как увеличение или уменьшение геометрической фигуры влияет на ее площадь или объем. Например: «Для создания круглой клумбы диаметром 10 м потребуется примерно 400 г семян цветов. Сколько граммов семян цветов вам понадобится, чтобы выложить круглую клумбу диаметром 20 м? » (Де Бок и др., 1998, стр. 68). Серия исследований показала, что учащиеся в возрасте от 12 до 16 лет обычно не могут решать такие задачи (De Bock et al., 1998, 2002b, 2003). В целом, в этих исследованиях сообщалось об особенно низких показателях решения для младших школьников (2% и 7% для правильных решений для 12-13-летних), но неправильные ответы обычно давались и среди старших учеников (23% правильных решений для 13–14-летних; 17%, 22%, 43% правильных ответов для 15–16-летних). Основываясь на этих выводах, De Bock et al. (2002a) провели исследование с целью выяснить, какие аспекты являются причиной частого появления линейных сверхобобщений. Они обнаружили, что некоторые из студентов были твердо убеждены в том, что любую связь между двумя переменными можно выразить константой пропорциональности. Однако большинство студентов интуитивно использовали линейные модели, не зная, какую модель они выбрали. Учащиеся, по-видимому, не осознают ошибок, которые они делают на основе линейного сверхобобщения, и поэтому, вероятно, считают, что их решения этих проблем верны, даже если они неверны.

Кроме того, обучающий эксперимент, проведенный Van Dooren et al.(2004) показали, что можно уменьшить количество линейных сверхобобщений в решениях таких задач. На 10 экспериментальных уроках основные пробелы в предварительных знаниях студентов о геометрии и их предубеждениях о линейности были устранены путем выявления когнитивных конфликтов. Дальнейшие цели вмешательства заключались в том, чтобы способствовать мета-концептуальной осведомленности учащихся, включая мониторинг и улучшение более глубокого понимания за счет использования множественных внешних представлений центрального математического содержания. Хотя автоматическое использование линейных стратегий было успешно сокращено, некоторые из студентов экспериментальной группы по-прежнему были склонны к линейному сверхобобщению, тогда как другие начали также применять непропорциональные стратегии к пропорциональным задачам, указывая на то, что вмешательство не было успешным с точки зрения содействия глубокому концептуальному пониманию различий в линейности и нелинейности у некоторых студентов. Эти результаты дают первые подсказки о том, что внешние представления могут быть полезны для уменьшения линейных сверхобобщений.Дополнительную поддержку дает исследование De Bock et al. (2002b), которые обнаружили, что предоставление готовых чертежей исходных и масштабированных фигур на миллиметровой бумаге положительно, хотя и незначительно, влияет на скорость решения задач нелинейной геометрии. Миллиметровая бумага позволяет сравнивать площади фигур путем подсчета квадратов и, таким образом, облегчает распознавание нелинейной взаимосвязи площадей.

Мы рассматриваем эти результаты как начальные признаки важности внешних представлений для преодоления линейных чрезмерных обобщений и производительности.Дальнейшие указания в противоположном направлении получены в результате исследований самогенерируемого рисунка.

Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

В серии экспериментальных исследований изучалось влияние рисования на линейные сверхобобщения и производительность. В одном из этих исследований (De Bock et al., 1998) ученикам, которые занимались рисованием, предлагали рисовать перед тем, как решать каждый элемент. Инструкции были даны в начале теста с использованием примера.Вопреки теоретическим соображениям, никакого влияния рисования на производительность обнаружено не было. Процент правильных решений для группы 12-13-летних учеников оставался на уровне только 2% и также оказался низким для 15-16-летних учеников, независимо от инструкций по рисованию.

Различные инструкции по рисованию были реализованы в последующем исследовании (De Bock et al. , 2003). В условиях рисования ученикам в возрасте от 13 до 16 лет давали рисунок геометрического объекта для каждой задачи (например,g., квадрат), и их попросили завершить рисунок, добавив масштабированную копию объекта с использованием заданного коэффициента масштабирования. Неожиданным открытием было то, что студенты, получившие эти инструкции, показали значительно более низкие показатели решения, чем контрольная группа (23% против 44%). Дополнительный анализ процессов решения из этого исследования показал, что самогенерируемый рисунок не выявляет стратегии визуального решения, такие как «мощение» – определение площади плоской фигуры путем вымощения ее аналогичными фигурами – и, следовательно, стратегия рисования, по-видимому, была не применяется надлежащим образом.Это потенциальная причина, по которой рисование не приносит пользы, но она не объясняет отрицательный эффект. Анализ проблем, использованных в этом исследовании, предоставил еще одну причину этого результата. Рисование может помешать студентам в решении нелинейных задач, потому что процесс рисования может отвлечь их внимание на несущественные элементы или даже на элементы, которые могут помешать процессу решения: фигуры обычно изображаются их окружностями, которые изменяются линейно через масштабирование. В процессе рисования учащиеся работают с линейными связями и могут ошибочно переносить их в область. Это может сделать качество стратегии рисования недостаточным, потому что ключевая информация (например, область) не выделяется на чертеже. Повышение качества стратегии рисования путем выделения области на рисунках может направить внимание учащихся к важным элементам проблемы, тем самым помогая им определять нелинейные свойства во время рисования.

Другой аспект, который также влияет на распознавание нелинейности, касается визуального мониторинга.Визуальный мониторинг должен выявить нелинейные изменения площади в результате масштабирования. Однако визуальный мониторинг может потенциально не вступить в силу, если размер коэффициента масштабирования слишком велик. Для задач с небольшими коэффициентами масштабирования (например, удвоение длины стороны) разница между площадью или объемом оригинала и измененной фигуры становится заметной во время рисования, так что визуальный мониторинг должен выявить нелинейную взаимосвязь. Принимая во внимание, что для больших коэффициентов масштабирования (например, если длина стороны в двенадцать или более раз больше), разницу в площади или объеме невозможно легко визуально оценить.Следовательно, можно ожидать, что визуальный мониторинг, включенный с использованием небольших коэффициентов масштабирования, может помочь учащимся преодолеть трудности с линейным избыточным обобщением, чтобы они продемонстрировали лучшую производительность при решении задач. Однако, даже если учащиеся распознают нелинейную взаимосвязь, участвуя в высококачественном рисовании или визуальном наблюдении, они не обязательно смогут решить проблему. Вместо этого они могут изменить проблему, навязывая несоответствующую структуру, которая позволяет им применять доступные стратегии решения (Goos, 2002).Вполне возможно, что они могут обнаружить нелинейное свойство области, но тем не менее использовать линейные модели для решения проблемы, поскольку им не хватает адекватных стратегий решения (Weber, 2001). Студенты, которые осознают нелинейную взаимосвязь областей, вероятно, знают о своем несоответствующем применении линейных сверхобобщений и, следовательно, будут ощущать свою более низкую успеваемость в решении задач, чем студенты, которые не осознают нелинейную взаимосвязь. Таким образом, мы предполагаем, что восприятие учащимися своих достижений в решении задач нелинейной геометрии может быть индикатором осведомленности учащихся о нелинейных свойствах задач.Данные о воспринимаемой успеваемости учащихся помогут нам интерпретировать влияние качества рисования и визуального мониторинга на линейное чрезмерное обобщение и производительность.

Вопросы исследования и ожидания

На основе теоретических соображений и предварительных эмпирических данных мы поставили следующие исследовательские вопросы:

1. Приводит ли инструкция рисования масштабированной фигуры к большему количеству линейных сверхобобщений и отрицательно влияет на производительность решения задач нелинейной геометрии?

2. Уменьшает ли улучшение качества стратегии рисования за счет выделения важной информации на рисунке количество линейных избыточных обобщений и отрицательное влияние стратегии рисования на производительность решения проблем?

3. Уменьшает ли визуальный мониторинг количество линейных сверхобобщений и отрицательное влияние стратегии рисования на эффективность решения проблем?

4. Влияет ли рисунок или визуальный контроль на воспринимаемую успеваемость учащихся при решении задач нелинейной геометрии?

Ожидания от исследования Вопрос 1 (рисунок)

Первый вопрос исследования касается репликации De Bock et al.(2003) обнаружил, что рисование мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии. Следуя теоретическим предметно-ориентированным соображениям относительно причин линейного чрезмерного обобщения учащихся, мы предполагаем, что самогенерируемый рисунок отвлекает учащихся и привлекает их внимание к элементам проблемы, которые мешают их процессу решения, например, линейной взаимосвязи окружностей окружностей. оригинальные и масштабированные фигуры в задачах с прямолинейными плоскими фигурами.Из-за очень распространенной тенденции к линейному сверхобобщению (Van Dooren et al., 2008) они могут ошибочно переносить линейную взаимосвязь окружностей в нелинейную взаимосвязь площадей. Те же соображения могут быть сделаны для задач с непрямолинейными фигурами и твердыми телами, касающимися линейных свойств диаметра и нелинейных свойств объема. Таким образом, мы ожидали, что стратегия рисования увеличит количество линейных сверхобобщений и отрицательно повлияет на производительность решения проблем.

Ожидания от исследования Вопрос 2 (высококачественный рисунок):

Мы ожидали, что повышение качества стратегии рисования за счет выделения ключевой информации уменьшит негативный эффект стратегии рисования. Следовательно, мы ожидали, что студенты, применяющие высококачественную стратегию рисования, и студенты, не применяющие стратегию рисования, продемонстрируют такое же количество линейных сверхобобщений и производительность при решении задач нелинейной геометрии. Кроме того, мы ожидали меньшего количества линейных избыточных обобщений и более высокой производительности от студентов, которые применяли стратегию высококачественного рисования, чем студентов, которые использовали стратегию рисования более низкого качества.Обоснование этих ожиданий заключается в том, что эффекты стратегии рисования сильно зависят от качества рисования. Одной из ключевых характеристик высококачественного рисунка является явное представление ключевой информации. В задачах нелинейной геометрии ошибки делаются из-за неправильного акцента на длине стороны или диаметре фигуры или твердого тела и его линейных свойствах вместо учета площади или объема, соответственно. Следовательно, выделение области или объема нарисованной фигуры или твердого тела улучшит качество стратегии рисования и должно привести к меньшему количеству линейных избыточных обобщений и более высокой производительности, чем использование стратегии рисования более низкого качества.

Ожидания от исследования Вопрос 3 (Визуальный мониторинг)

Мы ожидали, что визуальный мониторинг уменьшит негативный эффект от стратегии рисования. Следовательно, визуальный мониторинг во время рисования должен привести к аналогичному количеству линейных избыточных обобщений и аналогичной производительности при решении задач нелинейной геометрии по сравнению с решением задач без рисования. Кроме того, мы ожидали, что визуальный мониторинг приведет к меньшему количеству линейных избыточных обобщений и более высокой производительности, чем рисование без визуального мониторинга.Мы улучшили визуальный мониторинг, используя маленькие коэффициенты масштабирования вместо больших на основе нашего предположения, что для малых коэффициентов масштабирования нелинейная взаимосвязь областей становится заметной во время рисования. Следовательно, визуальный мониторинг может помочь преодолеть линейное чрезмерное обобщение, вызванное стратегией рисования.

Ожидания в отношении вопроса исследования 4 (Влияние на воспринимаемую производительность)

Четвертый вопрос исследования основывался на исследовательском подходе.Таким образом, у нас не было особых ожиданий. Целью анализа воспринимаемой успеваемости учащихся является повышение достоверности за счет использования различных показателей успеваемости учащихся (Rovers et al., 2019) и сбор дополнительной информации, которая помогает объяснить результаты нашего экспериментального исследования. Воспринимаемая успеваемость учащихся в условиях рисования и визуального контроля будет указывать на понимание учащимися нелинейных свойств задач. Учащимся, которые замечают нелинейную взаимосвязь, потому что они делают качественный рисунок или участвуют в визуальном мониторинге, могут не хватать математических знаний для продолжения, и поэтому они, тем не менее, будут придерживаться применения линейных моделей и сообщат о более низкой воспринимаемой производительности.

Материалы и методы

Образец и процедура

В настоящем исследовании приняли участие 198 учеников (57,1% девочек, средний возраст = 16,15 лет) из девяти классов, включая девятиклассников (12,6%), десятиклассников (48,5%) и одиннадцатиклассников (38,9%). Ученики были из четырех средних школ (German Gymnasium) и одной общеобразовательной школы (German Gesamtschule).

учащихся в каждом классе были случайным образом распределены в одну из пяти групп: учащиеся в экспериментальных условиях получали инструкции по рисованию (D) или рисованию с выделением (DQ), направленные на повышение качества стратегии рисования, а также тестовую версию с любым из них. large [11, 12 или 13, использованные в исследовании De Bock et al.(2003)] или малые коэффициенты масштабирования (3, 4 или 5), направленные на улучшение визуального мониторинга (группы V- и V +). Эти условия привели к четырем комбинациям экспериментальных условий (DV-, DV +, DQV-, DQV +). Студенты контрольной группы (CG) не получали инструкций по рисованию и тестовой версии с большими масштабными коэффициентами, как в исследовании De Bock et al. (2003). Все группы работали над бумажно-карандашным тестом, состоящим из четырех экспериментальных задач, которые представляли собой задачи нелинейной геометрии, и трех дополнительных элементов буфера. Все элементы были взяты из исследования De Bock et al. (2003). Рисование и рисование с инструкциями по выделению были встроены в каждый элемент теста. На рисунке 1 показан образец элемента с рисунком с инструкциями по выделению, которые использовались в версии теста, который проводился в состоянии DQ. Учащиеся группы D получили те же инструкции по рисованию (часть а), но не получили инструкций по выделению (часть б).

Рис. 1. Образец предмета с инструкциями по рисованию и выделению.Задачи были взяты из De Bock et al. (2003, с. 449).

После прохождения теста студенты заполнили анкету. Целью анкеты был сбор данных о том, как студенты воспринимают решение задач нелинейной геометрии и экспериментальную обработку. Таким образом, анкета включала четыре утверждения для измерения воспринимаемой успеваемости учащихся.

Проверка лечения

Чтобы проверить выполнение лечения, мы проверили, выполняли ли студенты в экспериментальной и контрольной группах инструкции. Результаты подтвердили, что ученики следовали инструкциям по рисованию и инструкциям по рисованию и выделению. Как и предполагалось, количество рисунков в группах D было значительно выше, чем в CG [96,1% против 40,2%; t (43,636) = 7,542, p <0,001, d = 1,903]. Кроме того, количество выделенных рисунков в группах DQ было значительно выше, чем в CG [80,0% против 0,65%; t (84,756) = 22,526, p <0,001, d = 3.608] и группы D [80,0% против 2,4%; t (109,960) = 15,798, p <0,001, d = 3,033]. Однако из 41 участника контрольной группы 19 сделали спонтанный рисунок хотя бы по одному из предметов. Эти учащиеся, кажется, показывают такие же или даже лучшие результаты, чем учащиеся, которые не рисовали (50,0% против 45,5% правильных решений; 18% против 29% линейных сверхобобщений). Чтобы убедиться, что спонтанные рисунки не искажают наши результаты, мы снова ответили на вопросы нашего исследования, проанализировав скорректированную подвыборку.Скорректированная подвыборка включала только студентов, которые действовали в соответствии со своим состоянием. Поскольку наш анализ показал почти одинаковые размеры эффекта для скорректированной подвыборки и для всей выборки, мы проанализировали всю выборку в нашем исследовании.

Кроме того, мы изучили возраст учащихся и последний класс по математике с помощью дисперсионного анализа, чтобы обеспечить сопоставимость условий лечения. Как и ожидалось, не было обнаружено значительных различий между группами ( p > 0,10).

Меры

Линейные избыточные обобщения и эффективность решения проблем

Линейные избыточные обобщения были оценены путем анализа того, было ли решение основано на линейной модели (код 1) или нет (код 0).Успеваемость учащихся анализировалась путем присвоения баллов 1 за правильное решение и 0 баллов за неправильное решение. Два независимых кодировщика участвовали в оценке тестовых буклетов. Надежность между экспертами была рассчитана для каждой задачи на подмножестве 20% тестовых буклетов, которые были оценены обоими кодировщиками с достаточным соглашением между экспертами (коэффициент Коэна ≥ 0,773). Надежность была удовлетворительной (α Кронбаха = 0,729 для линейных избыточных обобщений и 0,754 для производительности). Все задачи были взяты из De Bock et al.(2003) и перечислены здесь в версии для групп V− в Таблице 1.

Таблица 1. Экспериментальные предметы в группах V−.

Воспринимаемая производительность

Студенты оценили утверждения анкеты по пятибалльной шкале Лайкерта (от полного несогласия до полного согласия). Шкала для измерения воспринимаемой производительности была адаптирована из предыдущих исследований (Hänze and Berger, 2007; Schukajlow and Krug, 2014; Schukajlow et al., 2015, 2019a). Он включал четыре пункта: «Я заметил, что действительно разбираюсь в арифметических задачах»; «Я чувствовал себя способным справиться с арифметическими задачами»; «Я чувствую себя способным справиться с подобными арифметическими задачами»; и «Сегодня я был уверен в своих знаниях по этой теме.«Надежность шкалы (α Кронбаха) составила 0,863.

Анализ данных

Гипотезы были проверены с помощью 3 × 2 MANOVA с рисунком (без рисунка, D, DQ) и визуальным мониторингом (V- и V +) в качестве независимых переменных и линейной избыточной генерации и производительности в качестве зависимых переменных. Была выявлена однородность дисперсии, оцененная с помощью критерия Левена ( p > 0,05). Значимые основные эффекты были дополнительно проанализированы с помощью апостериорных тестов Тьюки . Опубликованные значения p для линейных избыточных обобщений и производительности были односторонними из-за наших ориентировочных ожиданий.Мы следовали Де Боку и др. (2003) процедура для обеспечения сопоставимости результатов. Это включало проведение нашего анализа только с двумя из четырех экспериментальных объектов. Включение всех четырех пунктов в MANOVA дало одинаковые результаты, потому что величина эффекта из двух анализов была очень похожей.

Чтобы проанализировать воспринимаемую производительность, мы провели 2 × 2 ANOVA с рисунком (D, DQ) и визуальным мониторингом (V- и V +) в качестве факторов. Однородность дисперсии подтверждена. Из-за исследовательского подхода не было сделано никаких предположений о направлении эффектов, и представлены двусторонние значения p .

Результаты

Обзор средних значений и стандартных отклонений для всех переменных в различных экспериментальных условиях представлен в таблице 2.

Таблица 2. Средние значения (и стандартные отклонения) всех переменных в различных экспериментальных условиях.

Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

В соответствии с нашими ожиданиями, стратегия рисования увеличила количество линейных сверхобобщений.Студенты, которые применяли стратегию рисования с более низким качеством (группы D), как правило, делали более линейные сверхобобщения, чем студенты, которые не использовали эту стратегию (CG) (43,5% против 24,4%). MANOVA выявил незначительно значимый основной эффект рисования на линейные сверхобобщения [ F (2197) = 1,970, p = 0,071; ηp2 = 0,020]. Апостериорные сравнения с использованием теста Тьюки показали значительные различия ( p <0,05, d _Cohen = -0.461) между студентами, которые использовали стратегию рисования, и контрольной группой, которая не рисовала.

Кроме того, наше ожидание того, что стратегия рисования окажет негативное влияние на производительность, подтвердилось. Студенты, которые применяли стратегию рисования с более низким качеством (группы D), достигли значительно более низких показателей успеваемости, чем студенты, которые не использовали эту стратегию (28,6% против 47,6%). MANOVA выявил значительное влияние рисунка на производительность [ F (2,197) = 4.323, p <0,05; ηp2 = 0,043], и апостериорных сравнений показали значительные различия ( p <0,05 d _Коэн = 0,436) между студентами, которые применили стратегию рисования, и студентами, которые этого не сделали.

Эти результаты не взаимодействовали с использованием двух тестовых буклетов (масштабные коэффициенты большого или малого размера), которые были введены в группы D и DQ, но не были введены в группу CG по экономическим причинам (только большие коэффициенты масштабирования). ).Мы более подробно остановимся на этом моменте в результатах третьего вопроса исследования (см. Раздел «Влияние визуального мониторинга на линейное избыточное обобщение и производительность»). Для обеспечения сопоставимости мы провели дополнительный анализ, в который были включены только группы, получившие тестовую версию с большим коэффициентом масштабирования (CG, DV–, DQV–). Результаты были схожими с еще более сильным эффектом (линейное избыточное обобщение: ηp2 = 0,022; производительность: ηp2 = 0,069).

Влияние стратегии высококачественного рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

Нам удалось частично подтвердить гипотезу о том, что стратегия высококачественного рисования (DQ) уменьшит негативный эффект стратегии рисования.Как и ожидалось, студенты, которые использовали стратегию высококачественного рисования, участвовали в линейных сверхобобщениях примерно так же часто, как студенты, которые не использовали стратегию рисования (CG) (35,0% против 24,4%). Post hoc тесты Тьюки подтвердили отсутствие статистически значимых различий между студентами, которые использовали стратегию высококачественного рисования, и контрольной группой ( p = 0,198, d _Cohen = -0,261). Однако, вопреки нашим ожиданиям, студенты, которые использовали стратегию рисования высокого качества, не показали значительно меньше линейных сверхобобщений, чем студенты, которые использовали стратегию рисования с более низким качеством (D) (35.0% против 38,9%, тесты Тьюки: p = 0,211, d _Cohen = 0,197).

Кроме того, мы ожидали, что ученики, которые использовали стратегию высококачественного рисования (DQ), покажут те же результаты, что и студенты, которые не использовали стратегию рисования (CG). Вопреки нашим ожиданиям, тесты Тьюки показали, что средняя оценка производительности для группы DQ была значительно ниже ( p <0,05, d _Cohen = 0,471), чем оценка для CG (27.5% против 47,6%). Также сравнение двух условий рисования дало результаты, которые противоречили нашим ожиданиям: использование стратегии рисования высокого качества (DQ) не привело к более высокой производительности, чем использование стратегии рисования с более низким качеством (D ) (27,5% против 28,6%; p = 0,493, d _Cohen = 0,027).

Влияние визуального мониторинга на избыточное линейное обобщение и производительность

Мы ожидали, что использование стратегии рисования не будет препятствовать решению проблем при использовании для целей мониторинга, называемых здесь визуальным мониторингом.Визуальный мониторинг был реализован с помощью коэффициента масштабирования меньшего размера, потому что мы предположили, что меньший коэффициент масштабирования сделает отношения между объектами на чертеже заметными и, следовательно, будет стимулировать визуальный мониторинг.

Результаты не подтвердили наши ожидания. Студенты в группе визуального мониторинга не отличались по количеству линейных сверхобобщений от студентов, которые не могли выполнять визуальный мониторинг (42,0% против 32,5%). Не было значительного основного эффекта визуального мониторинга на линейное сверхобобщение [ F (1,197) = 0.698, p = 0,202; ηp2 = 0,004], и также не было эффекта взаимодействия «Визуальный мониторинг × рисование» на линейные сверхобобщения [ F (1,197) = 0,334, p = 0,282; ηp2 = 0,002].

Наши ожидания по производительности также не подтвердились: визуальный мониторинг не уменьшил негативного влияния стратегии рисования на производительность (32,0% против 32,1%). Как уже было обнаружено для количества линейных избыточных обобщений, не было значительного основного влияния визуального мониторинга на производительность [ F (1,197) = 1.312, p = 0,127; ηp2 = 0,007], и не было никакого влияния взаимодействия «Визуальный мониторинг × Рисование» на производительность [ F (1,197) = 0,337, p = 0,281; ηp2 = 0,002].

Влияние стратегии рисования и визуального мониторинга на воспринимаемую производительность

Результаты ANOVA показали, что качество стратегии рисования не повлияло на воспринимаемую успеваемость учащихся [ F (1,153) = 0,183, p = 0,670; ηp2 = 0,001]. Студенты, которым была предложена стратегия рисования высокого качества (DQ), считали, что их успеваемость была такой же, как и у студентов, которым была предложена стратегия более низкого качества (D) ( M = 3.54, SD = 0,88 против M = 3,58, SD = 0,83).

Однако результаты показали значительное влияние визуального мониторинга на воспринимаемую успеваемость учащихся [ F (1,153) = 16,357, p <0,01; ηp2 = 0,097]. Учащиеся из группы визуального мониторинга продемонстрировали значительно более высокую успеваемость, чем их сверстники, которым было нелегко участвовать в визуальном мониторинге ( M = 3,84, SD = 0,79 против M = 3.32, SD = 0,83).

Кроме того, не было обнаружено значительного влияния взаимодействия Рисование × Визуальный мониторинг на воспринимаемую производительность [ F (1,153) = 0,571, p = 0,571; ηp2 = 0,004].

Обсуждение

Настоящее исследование было направлено на воспроизведение De Bock et al. (2003) обнаружили, что стратегия рисования мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии. Мы также стремились уточнить возможные причины этого вывода, обратив внимание на два фактора: качество стратегии рисования и визуальный мониторинг.Кроме того, мы провели исследовательский анализ воспринимаемой успеваемости учащихся, чтобы собрать информацию об осведомленности учащихся о линейных сверхобобщениях в надежде, что это поможет нам интерпретировать результаты нашего экспериментального исследования.

Отрицательный эффект стратегии рисования

Наши результаты повторили предыдущие выводы о негативном влиянии стратегии рисования на производительность задач нелинейной геометрии и подтвердили предыдущее предположение о том, что линейные чрезмерные обобщения являются преобладающей причиной.Мы обнаружили, что студенты, которые применяли стратегию рисования (группы D), делали более линейные сверхобобщения, чем студенты, которые не рисовали. Самостоятельно созданный рисунок, кажется, ведет учащихся к ошибочному сосредоточению внимания на линейных отношениях, изображенных на рисунках. Однако влияние стратегии рисования на количество линейных сверхобобщений было меньше, чем влияние на производительность, что указывает на то, что применение стратегии рисования могло также привести к другим ошибкам, возможно, из-за когнитивных затрат, связанных с процессом экстернализации (Zhang, 1997).

Кроме того, репликация отрицательного эффекта рисования на производительность показывает, что результаты стабильны для разных выборок. Даже оценки решения были очень похожи на те, о которых сообщали Де Бок и др. (2003), с показателем около 75% неправильных решений в группе рисования и 50% в группе без рисования в обоих исследованиях.

На глобальном уровне обнаружение того факта, что самогенерируемый рисунок мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии, показывает, что стратегия рисования не является универсальным решением, и подчеркивает необходимость уточнения факторов, определяющих выгодное использование стратегии.

Стратегия качества рисования

Следуя теоретическим соображениям о важности качества самогенерируемого рисунка, которые были подтверждены в предыдущих исследованиях, мы ожидали, что стратегия рисования будет препятствовать способности учащихся решать задачи нелинейной геометрии, поскольку она не будет применяться недостаточно, когда учащиеся решают нестандартные задачи. -линейные задачи. Поэтому мы повысили качество стратегии рисования, обратив внимание на ее ключевую особенность путем явного представления информации, необходимой для решения проблемы.

Результаты подтвердили важность качества стратегии рисования. Повышение качества стратегии рисования уменьшило увеличение линейных избыточных обобщений, которые ранее были результатом стратегии рисования. В частности, мы обнаружили, что студенты, которые использовали стратегию рисования высокого качества, не отличались по количеству линейных сверхобобщений, которые они сделали от студентов, которые не использовали стратегию рисования, тогда как студенты, которые применяли стратегию рисования более низкого качества, сделали большее количество линейные сверхобобщения по сравнению со студентами, не рисовавшими.Этот вывод помогает объяснить отрицательное влияние самогенерируемого рисунка на решение задач нелинейной геометрии: качественное применение стратегии рисования гарантирует, что область, которая является ключевым элементом проблемы, будет видна на чертеже. . Это, по-видимому, не позволяет, по крайней мере, некоторым ученикам руководствоваться своим рисунком в направлении ошибочного сосредоточения на элементах задачи, которые будут мешать их способности решать задачу, таких как линейные свойства окружности или длины стороны.Однако необходимы дополнительные усилия для изучения того, как мы можем улучшить качество рисования, чтобы стратегия рисования могла принести пользу.

Вопреки нашим ожиданиям, мы обнаружили, что повышение качества стратегии рисования не уменьшило отрицательного влияния самогенерируемого рисования на производительность, хотя и уменьшило отрицательный эффект в отношении количества линейных избыточных обобщений. Судя по всему, улучшение качества стратегии рисования не помогло ученикам решить задачи.Даже качественное использование стратегии рисования, похоже, не выявило стратегии визуального решения, которые могли бы помочь учащимся найти правильное решение. В соответствии с предыдущими исследованиями, это открытие указывает на отсутствие стратегий визуального решения, таких как вычисление площади путем мощения фигуры для решения задач нелинейной геометрии (De Bock et al., 2002b, 2003). В будущих исследованиях следует выяснить, может ли обучение студентов использованию стратегий визуальных решений привести к выгодному использованию стратегии рисования.

Визуальный мониторинг

Еще один фактор, который мы рассмотрели, чтобы объяснить отрицательный эффект стратегии рисования, – это визуальный мониторинг, использование стратегии рисования для целей мониторинга. Было установлено, что мониторинг важен для решения проблем (Flavell, 1979) и важен для обнаружения линейных сверхобобщений (De Bock et al., 2002a). Для задач с нелинейной геометрией мы предположили, что визуальный мониторинг будет иметь место для задач с маленькими масштабными коэффициентами, но не будет для больших, потому что нелинейная взаимосвязь областей становится заметной во время рисования, когда используются маленькие масштабные коэффициенты.

Однако полученные данные не подтвердили наши ожидания о том, что визуальный мониторинг снижает эффект, с помощью которого самогенерируемый рисунок мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии. Визуальный мониторинг не повлиял на количество линейных избыточных обобщений или производительность. Одна из возможных причин этого вывода заключается в том, что склонность студентов к линейному сверхобобщению очень сильна, и ее трудно изменить с помощью тонких действий, таких как визуальный мониторинг (De Bock et al., 2007). Визуальный мониторинг, возможно, помог учащимся распознать нелинейную взаимосвязь между областями во время рисования, но из-за того, что учащимся не хватало знаний о том, как действовать, они продолжали использовать линейные модели, с которыми они были знакомы, для решения проблемы. Другая причина может заключаться в том, что учащиеся даже не заметили нелинейной взаимосвязи областей во время рисования, потому что они не использовали стратегию рисования для мониторинга. Следовательно, наше предположение о том, что визуальный мониторинг имеет место, когда стратегия рисования применяется к задачам с небольшими коэффициентами масштабирования, необходимо пересмотреть.Предыдущие исследования показали, что, в отличие от экспертов, учащиеся редко используют стратегию рисования для отслеживания своих процессов решения (Stylianou, 2011), поэтому они, возможно, не участвовали в визуальном мониторинге, даже если нелинейное свойство области было задано. выступающие, пока они рисовали. Нам нужно больше исследований о том, как визуальный мониторинг влияет на стратегию рисования и как прояснить механизмы, которые могут улучшить визуальный мониторинг у студентов.

В совокупности наши результаты подтвердили идею о том, что применение стратегии может отрицательно сказаться на успеваемости учащихся.Использование стратегии рисования и ее влияния на решение нелинейных задач демонстрирует, что необходимо приложить больше усилий для выяснения того, какие факторы, помимо поощрения чрезмерного линейного обобщения, влияют на снижение успеваемости учащихся. На более общем уровне мы утверждаем, что необходимо также дополнительно исследовать негативные эффекты других стратегий и определить, почему некоторые студенты заблуждаются, применяя конкретную стратегию, даже если эта стратегия может быть полезна для большинства студентов.Качество использования стратегии кажется важным фактором, на который следует чаще обращать внимание в исследованиях стратегий. Кроме того, исследование когнитивных факторов, таких как стратегические знания о рисовании (Lingel et al., 2014; Rellensmann et al., 2019) или эмоциональных и мотивационных факторов, таких как удовольствие от рисования и стоимость рисования (Uesaka and Manalo, 2017) ; Schukajlow et al., 2019b) может способствовать прояснению условий, при которых рисунок полезен, а когда – мешает.

Осведомленность о линейных сверхобобщениях

На основе теоретических соображений мы предположили, что повышение качества стратегии рисования и усиление визуального мониторинга повлияет на осведомленность учащихся о линейных сверхобобщениях, даже если это не повлияет на их успеваемость. Учащиеся могут распознать нелинейное свойство проблемы, но по-прежнему могут придерживаться линейных моделей, потому что им не хватает математических знаний, необходимых для продолжения. Признаки того, знали ли студенты о своих линейных сверхобобщениях, можно было получить по их воспринимаемой работе.Если учащиеся не заметили, что рисование неправильно привело их к неадекватному использованию линейных моделей, они, вероятно, почувствовали, что их успеваемость выше, чем у учеников, которые осознавали, что их решение, вероятно, было неправильным, потому что они сделали несоответствующие линейные предположения.

Чтобы подтвердить наши выводы, мы провели предварительный анализ воспринимаемой успеваемости учащихся. Наши результаты показали, что ни улучшение качества стратегии рисования, ни усиление визуального мониторинга не привели к большей осведомленности о линейных сверхобобщениях.Этот вывод согласуется с предыдущими исследованиями, которые указали на интуитивную природу линейных заблуждений (Van Dooren et al., 2004, 2008).

Похоже, что студенты также столкнулись с другими трудностями при решении задач, которые не основывались на нелинейных свойствах задачи. Учащиеся из группы, в которой визуальный мониторинг был усилен за счет использования небольших масштабных коэффициентов, почувствовали, что их успеваемость была даже выше, чем у студентов из группы с низким уровнем визуального мониторинга, которые работали над задачами с большими масштабными коэффициентами, хотя обе группы имели одинаковые оценки успеваемости.Использование небольших коэффициентов масштабирования, вероятно, привело к более высокой воспринимаемой производительности, поскольку это облегчило вычисления, но не привело к более высокой производительности, потому что учащиеся совершали ошибки на основе линейных избыточных обобщений, о которых они не знали. Эти моменты указывают на то, что нам также необходимо исследовать другие трудности, с которыми студенты сталкиваются при решении задач нелинейной геометрии с помощью стратегии рисования, чтобы получить полную картину трудностей, возникающих при решении нелинейных задач.

Сильные стороны и ограничения

Мы исследовали влияние стратегии рисования на решение задач нелинейной геометрии, используя экспериментальный план с условиями рисования и контрольную группу, которой не было поручено рисовать. Мы реализовали лечебную проверку, которая показала, что студенты надежно следовали инструкциям. Однако 19 из 41 студента контрольной группы рисовали самопроизвольно. Поэтому мы дополнительно проанализировали скорректированную подвыборку, в которую вошли только учащиеся в условиях рисования, которые действительно рисовали, и учащиеся контрольной группы, которые не рисовали.Этот анализ показал те же результаты, что и предыдущие анализы.

Чтобы сделать дизайн исследования максимально простым, контрольная группа работала только над версией теста с большими масштабными коэффициентами. Как отмечалось в разделе «Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность», мы провели дополнительный анализ, чтобы гарантировать сопоставимость различных условий рисования. Однако дизайн нашего исследования не позволяет сравнивать учащихся без рисования и условий рисования для тестов с небольшими масштабными коэффициентами.

Еще одним важным ограничением является то, что наши выводы действительны для эффектов инструкций по рисованию, но не для спонтанной рисования. Описательный анализ решений учащихся показал, что спонтанное рисование учащихся не имело отрицательного (или даже слегка положительного) воздействия на результаты, связанные с успеваемостью учащихся. Таким образом, может оказаться, что спонтанное рисование положительно связано с результатами, связанными с успеваемостью учащихся. Выявление связанных с задачей и личностью факторов, которые предсказывают спонтанное использование рисунков для нелинейных задач, – еще один открытый вопрос.

Еще одно ограничение касается использования факторов качества отрисовки и визуального контроля. Исходя из теоретических соображений, мы предположили, что качество рисования улучшится, если мы выделим ключевую информацию, содержащуюся в задаче. Кроме того, мы предположили, что визуальный мониторинг будет улучшен за счет использования малых коэффициентов масштабирования по сравнению с большими коэффициентами масштабирования. Хотя оба предположения правдоподобны, наши манипуляции могут касаться и других факторов в дополнение к этим двум факторам.Например, использование малых масштабных коэффициентов снижает сложность вычислений.

Поскольку наше исследование было частичным воспроизведением исследования De Bock et al. (2003), мы решили использовать один и тот же материал, чтобы сделать результаты максимально сопоставимыми, и поэтому включили в анализ только два пункта. Как сообщается в разделе о методах, дополнительный анализ, основанный на всех четырех экспериментальных элементах, показал те же результаты, но в будущих исследованиях следует увеличить количество элементов, чтобы повысить достоверность этих результатов.

Заявление о доступности данных

Наборы данных, созданные для этого исследования, доступны по запросу соответствующему автору.

Заявление об этике

Этическая экспертиза и одобрение не требовалось для исследования участников-людей в соответствии с местным законодательством и требованиями учреждения. Письменное информированное согласие на участие в этом исследовании было предоставлено законным опекуном / ближайшими родственниками участников.

Взносы авторов

SS и JK разработали исследование.JK проанализировал данные и подготовил рукопись. С.С. критически отредактировал рукопись на предмет важности интеллектуального содержания.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Список литературы

Аян Р., Бостан М. И. (2018). Рассуждения учащихся средней школы в нелинейных пропорциональных задачах геометрии. Внутр. J. Sci. Математика. Educ. 16, 503–518. DOI: 10.1007 / s10763-016-9777-z

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кокс, Р. (1999). Построение представлений, внешнее познание и индивидуальные различия. ЖЖ. Инструктировать. 9, 343–363. DOI: 10.1016 / s0959-4752 (98) 00051-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Де Бок, Д., Ван Дурен, В., Янссенс, Д., и Вершаффель, Л. (2002a). Неправильное использование линейных рассуждений: углубленное изучение природы и непреодолимости ошибок учащихся средней школы. Educ. Stud. Математика. 50, 311–334. DOI: 10.1023 / A: 1021205413749

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Де Бок Д., Ван Дурен В., Янссенс Д. и Вершаффель Л. (2007). Иллюзия линейности: от анализа к улучшению. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер.

Google Scholar

Де Бок Д., Вершаффель Л. и Янссенс Д. (1998). Преобладание линейной модели в решении учащимися средних школ словесных задач, связанных с длиной и площадью однотипных плоских фигур. Educ. Stud. Математика. 35, 65–83.

Google Scholar

Де Бок, Д., Вершаффель, Л., и Янссенс, Д. (2002b). Влияние различных постановок и постановок задач на иллюзию линейности у учащихся средней школы. Math. Считать. Учиться. 4, 65–89. DOI: 10.1207 / S15327833MTL0401_3

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Де Бок, Д., Вершаффель, Л., Янссенс, Д., Ван Дурен, В., и Клас, К. (2003). Всегда ли реалистичный контекст и графическое представление благотворно влияют на успеваемость учащихся? Отрицательное свидетельство исследования по моделированию задач нелинейной геометрии. ЖЖ. Инструктировать. 13, 441–463. DOI: 10.1016 / s0959-4752 (02) 00040-3

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Эстели, К. Б., Вильярреал, М. Э., и Аладжиа, Х. Р. (2010). Чрезмерное обобщение линейных моделей среди математических произведений студентов университетов: долгосрочное исследование. Math. Считать. Учиться. 12, 86–108. DOI: 10.1080 / 10986060

5988

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Флавелл, Дж. Х. (1979). Метапознание и когнитивный мониторинг: новая область исследования когнитивного развития. Am. Psychol. 34, 906–911. DOI: 10.1037 / 0003-066x.34.10.906

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ханце, М., и Бергер, Р. (2007). Совместное обучение, мотивационные эффекты и характеристики учащихся: экспериментальное исследование, сравнивающее совместное обучение и прямое обучение на уроках физики в 12-м классе. ЖЖ. Инструктировать. 17, 29–41. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2006.11.004

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Хегарти, М., и Кожевников, М. (1999). Типы визуально-пространственных представлений и решение математических задач. J. Educ. Psychol. 91, 684–689. DOI: 10.1037 / 0022-0663.91.4.684

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ларкин, Дж. Х., и Саймон, Х. А. (1987). Почему диаграмма (иногда) стоит десять тысяч слов. Cogn. Sci. 11, 65–99.

Google Scholar

Лингель, К., Нойенхаус, Н., Артельт, К., и Шнайдер, В. (2014). Der Einfluss des metakognitiven wissens auf die entwicklung der mathematikleistung am beginn der sekundarstufe I [Влияние метакогнитивных знаний на развитие успеваемости по математике в начале средней школы]. J. Math. Делал. 35, 49–77. DOI: 10.1007 / s13138-013-0061-2

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мейсон Л., Лоу Р. и Торнатора М. К. (2013). Самостоятельно созданные рисунки для облегчения понимания сложной анимации. Contemp. Educ. Psychol. 38, 211–224. DOI: 10.1016 / j.cedpsych.2013.04.001

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Майер Р. Э. (2005). «Введение в мультимедийное обучение», Кембриджский справочник по мультимедийному обучению , изд.Р. Э. Майер (Нью-Йорк, Нью-Йорк: издательство Кембриджского университета).

Google Scholar

Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет директоров государственных школ (2010 г.). Общие основные государственные стандарты по математике. Вашингтон, округ Колумбия: Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет директоров школ штата.

Google Scholar

Полиа, Г. (1945). Как это решить. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Google Scholar

Rellensmann, J., Schukajlow, S., and Leopold, C. (2016). Сделайте рисунок. Влияние стратегических знаний, точности рисования и типа рисунка на успеваемость учащихся по математическому моделированию. Educ. Stud. Математика. 95, 53–78. DOI: 10.1007 / s10649-016-9736-1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Rellensmann, J., Schukajlow, S., and Leopold, C. (2019). Измерение и исследование стратегических знаний о рисовании для решения задач геометрического моделирования. ZDM Math. Educ. 52, 97–110. DOI: 10.1007 / s11858-019-01085-1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Роверс, С. Ф., Клэрбоут, Г., Савельберг, Х. Х., де Брюин, А. Б., и ван Мерриенбоер, Дж. Дж. (2019). Гранулярность имеет значение: сравнение различных способов измерения саморегулируемого обучения. Metacogn. Учиться. 14, 1–19. DOI: 10.1007 / s11409-019-09188-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Щукайлов С., Ахметли К. и Ракоци К.(2019a). Влияет ли построение множества решений реальных проблем на самоэффективность? Educ. Stud. Математика. 100, 43–60. DOI: 10.1007 / s10649-018-9847-y

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Щукайлов, С., Бломберг, Дж., И Релленсманн, Дж. (2019b). «Мне нравится рисовать! Удовольствие, знание рисунков, использование рисунков и успеваемость учащихся », в Труды 43-й конференции Международной группы психологии математического образования (Vol.3, pp. 297-304), редакторы М. Грейвен, Х. Венкат, А. А. Эссьен и П. Вейл (Претория: PME).

Google Scholar

Щукайлов, С., Круг, А. (2014). Имеют ли значение несколько решений? Подсказка к множеству решений, интерес, компетентность и автономия. J. Res. Математика. Educ. 45, 497–533.

Google Scholar

Щукайлов, С., Круг, А., Ракоци, К. (2015). Влияние подсказки нескольких решений для моделирования задач на успеваемость учащихся. Educ.Stud. Математика. 89, 393–417. DOI: 10.1007 / s10649-015-9608-0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Швамборн А., Майер Р. Э., Тиллманн Х., Леопольд К. и Лейтнер Д. (2010). Рисование как порождающая деятельность и рисование как прогностическая деятельность. J. Educ. Psychol. 102, 872–879. DOI: 10.1037 / a0019640

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Смит, Дж. П., ди Сесса, А. А., и Рошель, Дж. (1993). Вновь осознанные заблуждения: конструктивистский анализ переходного знания. J. Learn. Sci. 3, 115–163. DOI: 10.1207 / s15327809jls0302_1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Стейси, К. (1989). Поиск и использование закономерностей в задачах линейного обобщения. Educ. Stud. Математика. 20, 147–164. DOI: 10.1007 / bf00579460

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Стеннинг К. и Оберландер Дж. (1995). Когнитивная теория графических и лингвистических рассуждений: логика и реализация. Cogn. Sci. 19, 97–140.DOI: 10.1016 / 0364-0213 (95)

-5

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Стилиану Д. А. (2011). Изучение репрезентативных практик учащихся средней школы при решении математических задач через призму экспертной работы: к организационной схеме. Educ. Stud. Математика. 76, 265–280. DOI: 10.1007 / s10649-010-9273-2

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Уэсака Ю. и Манало Э. (2017). «Как решить проблему отсутствия у учащихся спонтанности в использовании диаграмм: выявление образовательных принципов для продвижения использования стратегии спонтанного обучения в целом», в «Содействие спонтанному использованию стратегий обучения и рассуждения» , ред.Манало, Ю. Уэсака и К. А. Чинн (Лондон: Рутледж), 62–76. DOI: 10.4324 / 9781315564029-5

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Уэсака Ю., Манало Э. и Итикава С. (2007). Какие виды восприятия и повседневное поведение при обучении способствуют использованию учащимися диаграмм при решении математических задач? ЖЖ. Инструктировать. 17, 322–335. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2007.02.006

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Дурен, В., Де Бок, Д., Депапе Ф., Янссенс Д. и Вершаффель Л. (2003). Иллюзия линейности: расширение свидетельств в сторону вероятностных рассуждений. Educ. Stud. Математика. 53, 113–138. DOI: 10.1023 / A: 1025516816886

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Дурен, В., Де Бок, Д., Хессельс, А., Янссенс, Д., и Вершаффель, Л. (2004). Устранение иллюзии линейности учащихся средней школы: педагогический эксперимент, направленный на концептуальные изменения. ЖЖ. Инструктировать. 14, 485–501.DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2004.06.019

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Дорен, В., Де Бок, Д., Хессельс, А., Янссенс, Д., и Вершаффель, Л. (2005). Не все пропорционально: влияние возраста и типа проблемы на склонность к чрезмерному обобщению. Cogn. Инструктировать. 23, 57–86. DOI: 10.1207 / s1532690xci2301_3

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Дорен, В., Де Бок, Д., Янссенс, Д., и Вершаффель, Л. (2008).Линейный императив: инвентаризация и концептуальный анализ чрезмерного использования линейности учащимися. J. Res. Математика. Educ. 39, 311–342. DOI: 10.2307 / 30034972

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Дорен, В., Де Бок, Д., Влейгельс, К., и Вершаффель, Л. (2010). Просто отвечаете или думаете? Противоположные решения учеников и классификации задач с пропущенными словами. Math. Считать. Учиться. 12, 20–35. DOI: 10.1080 / 10986060

5806

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Эссен, Г.и Хамакер К. (1990). Использование собственных рисунков для решения арифметических задач со словами. J. Educ. Res . 83, 301–312. DOI: 10.1080 / 00220671.1990.10885976

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Гардерен, Д., и Монтегю, М. (2003). Визуально-пространственное представление, решение математических задач и студенты с разными способностями. ЖЖ. Disabil. Res. Практик. 18, 246–254. DOI: 10.1111 / 1540-5826.00079

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван-метр, П.(2001). Построение чертежей как стратегия обучения по тексту. J. Educ. Psychol. 93, 129–140. DOI: 10.1037 / 0022-0663.93.1.129

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Метер, П., и Гарнер, Дж. (2005). Обещание и практика рисования, создаваемого учащимися: обзор и синтез литературы. Educ. Psychol. Ред. 17, 285–325. DOI: 10.1007 / s10648-005-8136-3

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Вебер, К. (2001). Студенческая сложность построения доказательств: потребность в стратегических знаниях. Educ. Stud. Математика. 48, 101–119. DOI: 10.1023 / A: 1015535614355

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Захнер, Д., и Кортер, Дж. Э. (2010). Процесс решения вероятностных задач: использование внешних визуальных представлений. Math. Считать. Учиться. 12, 177–204. DOI: 10.1080 / 10986061003654240

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Чжан Дж. (1997). Природа внешних представлений в решении проблем. Cogn. Sci. 21, 179–217. DOI: 10.1207 / s15516709cog2102_3

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Рисование схемы

На этой странице

Математические диаграммы могут помочь учащимся представить ситуацию и помочь найти решение проблемы.

Учителя могут помочь учащимся использовать диаграмму для решения проблемы, задавая вопрос: «Можем ли мы нарисовать диаграмму, чтобы помочь решить эту проблему?»

Понимание стратегии

Чтобы реализовать эту стратегию, учитель может:

предоставить ученикам задачу для решения (работая в парах или группах)
наблюдать, используют ли ученики диаграмму, чтобы помочь им решить проблему
задавать различные вопросы учащиеся должны нарисовать свою диаграмму на доске и сравнить
провести в классе обсуждение преимуществ каждой диаграммы.

Примеры использования диаграммы для обоснования решения

Задача

На вечеринке двадцать человек, и каждый из них пожимает руку один раз. Сколько будет рукопожатий?

Схема

Рукопожатия между людьми, представленные в виде диаграммы

Эта диаграмма была нарисована учеником 8-го класса, решающим задачу рукопожатия, описанную выше.

Учитель попросил ученицу нарисовать схему на доске, чтобы объяснить, как она использовала ее для решения задачи.Рассуждения студента записаны.

Обсуждение решения

Кружки – это люди, а линии – рукопожатия.

Указывая на диаграмму слева:

«Когда будет четыре человека, будет 6 рукопожатий».

Указывая на диаграмму справа:

«Если бы был пятый человек, было бы еще 4 рукопожатия, итого 10».

Каждый раз, когда вы добавляете человека, количество рукопожатий, которое вы добавляете, равно количеству этого человека минус 1.Итак, пятый человек добавляет 4 рукопожатия, шестой добавляет 5 рукопожатий.

«Когда я это записал, то увидел закономерность. Вам нужно сложить все числа до количества людей минус 1».

«Для 4 человек количество рукопожатий составило 3 плюс 2 плюс 1, что равно 6; для 5 человек это 4 + 3 + 2 + 1 = 10».

«На 20 человек от 19 + 18 + 17 до +1».

Эта стратегия поддерживает Навыки математики Рассуждение («адаптировать известное к неизвестному») и решение проблем («использовать математику для представления незнакомых или значимых ситуаций») (VCAA, n.г.)

, как дети китайского происхождения используют рисование в социальном контексте

Аннотация

Понимание того, как дети решают проблемы с помощью рисунка, решается путем экзамена качественно следующие вопросы: Какие проблемы у детей младшего возраста решаются стратегии, поскольку они пытаются решить проблемы в группе, где рисование является частью контекст? Как маленькие дети используют рисование и другие социальные взаимодействия, чтобы интерпретировать и раскрывать свое понимание проблем? Какую роль играет рисунок этот контекст решения социальных проблем? Испытуемые включали пять групп детей китайского происхождения в возрасте от 4 до 5 лет. с тремя знакомыми друг другу детьми из одного класса китайского языка в каждом группа и их родители.Среди детей было одиннадцать девочек и четыре мальчика. Оба родители троих детей были опрошены исследователем и матерями другие дети были опрошены. Сессии по решению проблем были записаны на видео, и дети были опрошены об их стратегиях. Как показало исследование, дети будут формировать стратегии решения проблем с использованием системы знаков, снятие ограничений, концепции решений, оценка, планирование и поведенческие реакции, когда они пытаются решить проблемы в групповой обстановке, где рисунок – это часть контекста.Все важные элементы решения детских проблем стратегии будут отражать опыт детей в социальном контексте рисования. Более того, рисунки и словесные выражения детей продемонстрировали их восприятие данных элементов с точки зрения индивидуально категоризированных изображений элементов и коллективно-неорганизованные изображения кучи и начальные отношения с точки зрения подмножества композиции образы и образы комплексной композиции. Более того, исследование показало как дети использовали бы графические, вербальные и жестовые изображения, чтобы раскрыть свои восприятие состояния цели, корректировки в восприятии и операции с данным элементы для формирования комплексного мышления и концепций.В социальном контексте у детей будет опыт обучения рисованию. и привнести в рисунок свой предыдущий опыт. Рисунок был бы уместным средства для детей интерпретировать и раскрывать свое восприятие, способствовать детскому знаковая операция, формирование комплексного мышления и концепций, планирование, оценка и поведенческие реакции и расширяют работу памяти.

Рисунок для решения математических задач со словами

Автор: Роб Мэделл

Умение моделировать текстовые задачи – основа всей арифметики целых чисел.Стандарты математики определяют множество различных типов задач со словами, которые дети должны уметь моделировать. Начиная с физических моделей, учащиеся развивают понимание процесса моделирования, и в какой-то момент они должны перейти от конкретных физических моделей к рисованному представлению проблемы. Давайте посмотрим на несколько примеров.

Вот простая задача-рассказ.

Роза имеет 5 пенсов. У Евы 9 пенни. На сколько пенни у Евы больше, чем у Роуз?

Я поставил эту задачу перед многими, многими детьми.Многие из них ответили: «У Евы 9. Ты только что сказал мне об этом». Эти дети не поняли вопроса. Дело не просто в том, что они получили неправильный ответ. Дело не только в том, что они допустили небольшую ошибку. Эти дети действительно не понимали, о чем я спрашивал.

Вот еще одна проблема.

У Трикси 3 корзины. В каждой корзине по 4 вишенки. Сколько всего вишен у Трикси?

Я часто прошу детей рисовать картинки, изображающие задачи в рассказе.Эти нарисованные модели задач позволяют лучше понять мышление детей. Для этой задачи я видел, как дети рисуют 3 корзины, рисуют по 4 вишенки в каждой корзине, а затем неправильно подсчитывают вишни – может быть, они считают 11, а может быть 13. Конечно, 11 – это неправильно. И 13 – не то.

Но сравните тех детей, которые неправильно считают, с теми детьми, которые начинают рисовать 4 вишенки и 3 корзины.

Ошибочный подсчет – это одно – все делают мелкие ошибки. Но дети, которые рисуют 4 вишенки и 3 корзины, не понимают вопроса.Этим детям нужна помощь.

Большинство детей приходят в школу с пониманием одних типов задач-рассказов и непониманием других типов. Это проблема, которую многие дети хорошо понимают.

Дхани было 6 наклеек. Его учитель дал ему еще 3 наклейки. Тогда сколько наклеек было у Дхани?

Я бы знал, что ребенок понял эту проблему, если бы он или она:

Смог нарисовать картинку, точно отображающую проблему, а
Знали, что считать на их картинке, чтобы получить ответ.

Вероятно, самая важная задача учителей начальной школы (математики) – помочь каждому ребенку понять все типы сюжетных задач. Это потому, что понимание словесных задач является основой всей элементарной арифметики целых чисел.

Подумайте о времени в классах K – 5, которое тратится на стратегии сложения, вычитания, умножения и деления с целыми числами. Время, потраченное на эти стратегии, составляет большую часть общего времени, затрачиваемого на математику в начальной школе.

А теперь подумайте, что такое стратегия. Вот два примера.

Простая стратегия: я могу решить указанную выше проблему с наклейками, «рассчитывая на» от 6 – «6, 7, 8, 9». Расчет на это – стратегия. Расчет – это ярлык для решения определенных типов сюжетных задач – мне не нужно пересчитывать все стикеры один за другим.
Жесткая стратегия: предположим, что в приведенной выше задаче у Трикси было 35 корзин по 46 вишен в каждой. Поскольку я понимаю эту проблему, я могу решить ее, нарисовав изображение 35 корзин, нарисовав по 46 вишен в каждой корзине, а затем посчитав все вишни одну за другой.Но я не только понимаю проблему, у меня также есть очень сложный ярлык, который позволяет мне избежать всего этого подсчета. Этот ярлык, эта стратегия и есть стандартный алгоритм умножения.

Книги из серии Draw & Solve Word Problems предназначены для того, чтобы помочь детям смоделировать типы задач Math Standards для каждого уровня с помощью бумаги и карандаша. На каждом из протестированных в классе рабочих листов в этих ресурсах есть задача со словом, а также достаточно места для учащихся, чтобы нарисовать проблему и проработать ее решение, обеспечивая вид практики, необходимой учащимся для понимания задач со словами.

Учителя математики начальной школы имеют две большие работы. Помогите детям разобраться в словесных задачах, а затем помогите им понять и использовать стратегии – ярлыки, позволяющие им избежать счета. Помогать каждому ребенку развить понимание этих ключевых типов задач – еще один блок в прочной основе арифметики целых чисел.

Роб Мэделл был вице-президентом по интерактивным исследованиям в Детской телевизионной мастерской (Улица Сезам) в течение 15 лет. Он начал свою карьеру в качестве математика-исследователя и учителя начальной школы в Нью-Йорке.Сейчас он снова преподает в Чартерной школе Compass в Бруклине, Нью-Йорк. Вместе с Лорой Зои Домбровски он стал соавтором серии «Рисование и решение словесных задач для классов K – 3» (Didax, 2018).

Когда рисование может помешать решению проблемы? Влияние стратегии рисования на линейные сверхобобщения и решение проблем

Abstract

Стратегия рисования была заявлена для облегчения решения математических задач. Однако Де Бок и др. (2003) неожиданно обнаружили, что рисование отрицательно сказывается на производительности при решении задач нелинейной геометрии, в которых площадь или объем аналогичных фигур или твердых тел должны определяться заданным коэффициентом масштабирования.Авторы предположили, что создание рисунка увеличивает количество чрезмерных обобщений и отрицательно сказывается на успеваемости учащихся. Наше исследование включает частичное повторение, а также важную проверку и расширение этого исследования за счет рассмотрения двух факторов: некачественной стратегии рисования и плохого визуального мониторинга, оба из которых могут объяснить отрицательный эффект рисования. Во-первых, мы ожидали, что повышение качества стратегии рисования путем побуждения учащихся выделять важную информацию в своих рисунках уменьшит отрицательный эффект стратегии рисования.Во-вторых, мы ожидали, что усиление визуального мониторинга во время рисования, предлагая проблемы с небольшими коэффициентами масштабирования, уменьшит негативный эффект стратегии рисования. Мы провели рандомизированное контролируемое испытание с участием 180 учеников (с девятого по одиннадцатый класс), чтобы изучить влияние рисования и визуального мониторинга на решение задач нелинейной геометрии. Наши результаты повторили предыдущий вывод о том, что рисование отрицательно влияет на производительность. Мы подтвердили, что преобладающей причиной этого вывода являются линейные сверхобобщения.Уточнение предыдущих результатов показало, что качество стратегии рисования, но не визуальный мониторинг, было ответственным за влияние стратегии рисования на линейные сверхобобщения. Кроме того, исследовательский анализ осведомленности учащихся о линейных сверхобобщениях показал, что повышение качества стратегии рисования и усиление визуального мониторинга не привело к большему осознанию ошибок, которые ученики сделали из-за линейных сверхобобщений. Мы пришли к выводу, что способ использования стратегии рисования определяет, является ли она полезной или вредной, и необходимы дополнительные усилия, чтобы студенты могли применять ее надлежащим образом.

Ключевые слова: стратегия рисования , геометрические задачи, иллюзия линейности, линейные сверхобобщения, мониторинг, решение проблем, самогенерируемый рисунок

Введение

Создание рисунка считается мощной стратегией в решении математических задач (Pólya, 1945) . Согласно теории внешних репрезентаций (Cox, 1999), он может поддерживать решение проблем, помогая тем, кто решает проблемы организовать информацию, и может делать недостающую и неявную информацию (например,g., отношения между объектами) явный. Таким образом, он углубляет понимание и облегчает действия, которые не требуют пояснений. Эмпирические доказательства преимуществ рисования для решения проблем были обнаружены в различных исследованиях (например, Van Essen and Hamaker, 1990; Hembree, 1992; Zahner and Corter, 2010; Rellensmann et al., 2016). Однако стратегия рисования не кажется полезной для решения некоторых типов задач, и, что удивительно, она может быть даже невыгодной из-за снижения успеваемости учащихся при решении задач нелинейной геометрии (De Bock et al., 2003). Похоже, что рисование приводит к увеличению хорошо известной тенденции учащихся к линейному сверхобобщению, что означает, что учащиеся склонны применять линейные модели к нелинейным ситуациям (Van Dooren et al., 2005). В более широком плане этот вывод демонстрирует необходимость исследования процессов, вызванных стратегией рисования, и ключевых факторов, определяющих ее полезное использование. Исходя из этих соображений, настоящее исследование преследует двоякую цель: (а) воспроизвести De Bock et al.(2003) удивительное открытие, что рисование мешает ученикам решать задачи нелинейной геометрии и (б) находить объяснения этому неожиданному явлению. На основании предыдущих исследований мы предполагаем, что недостаточное качество стратегии рисования и отсутствие возможности использовать стратегию рисования для целей мониторинга являются решающими факторами, которые способствовали негативным последствиям рисования. Наша цель – выяснить, вступают ли эти факторы в игру, когда студенты решают задачи нелинейной геометрии, и, более конкретно, можно ли уменьшить отрицательный эффект рисования, обращаясь к этим факторам.

Стратегия рисования и линейные сверхобобщения

Самостоятельно созданный рисунок

Внешние визуальные представления вездесущи в контекстах обучения и образования. Таким образом, они выполняют разные функции. Во-первых, способность работать с внешними визуальными представлениями, такими как рисунки, может считаться самоцелью обучения, потому что во многих ситуациях в классе и повседневной жизни необходимо интерпретировать, конструировать и работать с ними (Центр Национальной ассоциации губернаторов для Лучшие практики и Совет директоров государственных школ, 2010 г.).Во-вторых, утверждается, что они улучшают обучение, освобождая рабочую память, способствуя самообъяснительной деятельности и приводя к более глубокому пониманию учебного материала (Cox, 1999; Mayer, 2005; Van Meter and Garner, 2005). Следует проводить важное различие между готовыми и самопроизвольными внешними визуальными представлениями. В последнем случае учащиеся сами конструируют представления, что означает, что они активно участвуют в экстернализации своего ментального представления, что включает в себя процессы организации, отбора и интеграции информации, представленной в задаче (Van Meter and Garner, 2005).В данной статье мы сосредоточимся на самогенерируемом рисунке. Мы определяем стратегию рисования как процесс построения внешнего визуального представления, которое соответствует математической структуре задачи и направлено на решение проблемы (Ван Метер и Гарнер, 2005).

Исследования, изучающие влияние рисования на эффективность решения проблем, пришли к разным результатам. Ряд эмпирических исследований показали, что рисование положительно влияет на решение математических задач (Van Essen, Hamaker, 1990; Hembree, 1992; Zahner, Corter, 2010; Rellensmann et al., 2016). Сильную поддержку преимуществ стратегии рисования дал метаанализ, проведенный Хембри (1992). Обучение студентов рисованию было определено как наиболее эффективный метод повышения эффективности решения проблем по сравнению с обучением их использованию других стратегий, таких как обработка посторонних данных, вербализация концепций или использование процедур предположений и тестов. Однако, похоже, несколько факторов определяют, будет ли стратегия рисования полезной или нет. Например, Ван Эссен и Хамакер (1990) обнаружили, что рисование оказывает положительное влияние на пятиклассников, но не на первоклассников и второклассников, указывая на то, что преимущества рисования зависят от конкретных трудностей, с которыми учащиеся сталкиваются при решении задач.Другим важным фактором, по-видимому, является тип проблемы, потому что для некоторых типов задач рисование оказалось полезным (например, вероятностные задачи (Zahner and Corter, 2010) или арифметические задачи со словами (Van Essen and Hamaker, 1990)], тогда как для других типов задач, в частности задач нелинейной геометрии, не было обнаружено никакого эффекта (De Bock et al., 1998) или даже отрицательного эффекта (De Bock et al., 2003). Наиболее важным фактором, определяющим, было ли создание рисунка полезным или нет, казалось, было качество стратегии рисования, о которой мы поговорим в следующем разделе.

Качество стратегии рисования

Исследования самогенерируемого рисунка показали, что преимущества рисования сильно связаны с качеством, с которым применяется стратегия рисования (Ван Гардерен и Монтегю, 2003; Уесака и др., 2007; Швамборн и др., 2010; Mason et al., 2013; Rellensmann et al., 2016). Учащиеся, которые применяют стратегию рисования качественно, лучше справляются с решением проблем и тестами на результаты обучения, чем ученики, которые применяют стратегию рисования более низким качеством. Исследование решения проблем показало, что учащиеся часто не используют качественную стратегию рисования, потому что они, как правило, создают графические изображения с чисто декоративной функцией вместо изображения важных элементов и их взаимосвязей (Hegarty and Kozhevnikov, 1999; Van Garderen and Montague, 2003 ).Что касается задач нелинейной геометрии, качественный анализ решений студентов показал, что качество, с которым применялась стратегия рисования, обычно было слишком низким – с точки зрения правильности и явного представления ключевой информации – чтобы помочь студентам решить задачи (De Bock et al. др., 1998). Следовательно, запроса на рисование, вероятно, недостаточно, и, возможно, потребуется оказать студентам поддержку, которая сделает стратегию рисования более полезной для решения проблем. Эмпирические указания на это утверждение были предоставлены в исследованиях текстового обучения.В исследовании Ван Метера (2001) применение стратегии рисования было более эффективным в условиях, когда процесс рисования учащихся поддерживался предоставлением иллюстраций или подсказок для сравнения иллюстраций с самодельными рисунками. Было обнаружено, что поддержка рисования учащихся положительно влияла на выполнение всесторонних произвольных запоминаний, но не на распознавание заданий. Эти результаты показывают, что улучшение качества стратегии рисования важно для успеваемости учащихся, если оценка требует, чтобы они выстроили связи между информацией, приведенной в задаче, как в случае, когда учащиеся решают нестандартные математические задачи.

Визуальный мониторинг

Дальнейшие указания получены в результате исследования текстового обучения. Ван Метер (Van Meter, 2001) проанализировал протоколы мыслей вслух пяти- и шестиклассников, которые читали научный текст в двух условиях: рисование самостоятельно по сравнению с работой с готовыми рисунками.Было обнаружено, что учащиеся, которые использовали самогенерируемые рисунки, участвовали в значительно большем количестве контрольных мероприятий, таких как оглядываясь назад и задавая себе вопросы, по сравнению с учащимися, которые работали с готовыми рисунками. Кроме того, количество событий мониторинга было выше, когда учащиеся получали дополнительную поддержку во время рисования. Следовательно, поддержка рисования учащихся имеет решающее значение для определения способа использования стратегии рисования. В общем, рисование, похоже, служит целям мониторинга, а поддержка рисования увеличивает визуальный мониторинг.Однако исследования еще не определили, в какой степени эти результаты пригодны для решения математических задач.

Линейные сверхобобщения

Заблуждения часто возникают, когда учащиеся обобщают свои предыдущие знания, систематически активируя их в тех контекстах, в которых они неуместны (Smith et al., 1993). Хорошо известным примером такого заблуждения является «иллюзия линейности», тенденция применять линейные модели к нелинейным ситуациям, которые в дальнейшем будут называться линейными сверхобобщениями.Линейность и особенно пропорциональность можно считать простейшим, но также и наиболее важным свойством математических соотношений (две величины изменяются с равным увеличением). Многие факты реального мира основаны на линейных и пропорциональных отношениях. Также в математическом образовании линейность играет центральную роль и проявляется во время обучения детей в школе в контексте различных математических тем – от арифметических задач со словами до линейных функций и сложных понятий, таких как диаметр и окружность круга.Однако интенсивное рассмотрение линейности может привести к тому неудобству, что некоторые студенты разовьют ложные концепции, а именно идею о том, что линейные модели обладают своего рода универсальной достоверностью. Как следствие, они могут ошибочно перенести принцип линейности на нелинейные контексты.

Эмпирически сильная тенденция учащихся к линейному чрезмерному обобщению была подтверждена большим количеством исследований, в которых участвовали различные возрастные группы, начиная с начальной школы (Van Dooren et al., 2005) студентам университетов (Esteley et al., 2010) и обращался к различным математическим областям, таким как арифметические задачи со словами (Van Dooren et al., 2005, 2010), алгебраические паттерны (Stacey, 1989), геометрия (De Bock et al., 1998, 2003; Ayan, Bostan, 2018) и вероятности (Van Dooren et al., 2003). В частности, казалось, что линейные сверхобобщения увеличились после того, как линейные задачи преподавались в классе (Van Dooren et al., 2005), что подтверждает предположение о том, что опыт учеников с линейными концепциями в классе математики ответственен за их сильную склонность к линейным сверхобобщениям. .Однако даже очень молодые ученики (второклассники и третьеклассники) склонны давать линейные ответы на нелинейные задачи, указывая на то, что необходимо учитывать и другие факторы. Одним из этих факторов может быть склонность людей сокращать информацию в своей среде до максимально простых структур, известная как «Закон простоты» (Chater and Vitányi, 2003). Поскольку линейность и, в частности, пропорциональность – это простейшая форма связи между двумя величинами, это смещение может также возникать независимо от того, как учащиеся сталкиваются с линейными задачами в классе.

Одним из наиболее изученных типов задач, связанных с линейными сверхобобщениями, является задача нелинейной геометрии, в которой учащихся спрашивают о том, как увеличение или уменьшение геометрической фигуры влияет на ее площадь или объем. Например: «Для создания круглой клумбы диаметром 10 м потребуется примерно 400 г семян цветов. Сколько граммов семян цветов вам понадобится, чтобы выложить круглую клумбу диаметром 20 м? » (Де Бок и др., 1998, стр. 68). Серия исследований показала, что учащиеся в возрасте от 12 до 16 лет обычно не могут решать такие задачи (De Bock et al., 1998, 2002b, 2003). В целом, в этих исследованиях сообщалось об особенно низких показателях решения для младших школьников (2% и 7% для правильных решений для 12-13-летних), но неправильные ответы обычно давались и среди старших учеников (23% правильных решений для 13–14-летних; 17%, 22%, 43% правильных ответов для 15–16-летних). Основываясь на этих выводах, De Bock et al. (2002a) провели исследование с целью выяснить, какие аспекты являются причиной частого появления линейных сверхобобщений.Они обнаружили, что некоторые из студентов были твердо убеждены в том, что любую связь между двумя переменными можно выразить константой пропорциональности. Однако большинство студентов интуитивно использовали линейные модели, не зная, какую модель они выбрали. Учащиеся, по-видимому, не осознают ошибок, которые они делают на основе линейного сверхобобщения, и поэтому, вероятно, считают, что их решения этих проблем верны, даже если они неверны.

Кроме того, обучающий эксперимент, проведенный Van Dooren et al.(2004) показали, что можно уменьшить количество линейных сверхобобщений в решениях таких задач. На 10 экспериментальных уроках основные пробелы в предварительных знаниях студентов о геометрии и их предубеждениях о линейности были устранены путем выявления когнитивных конфликтов. Дальнейшие цели вмешательства заключались в том, чтобы способствовать мета-концептуальной осведомленности учащихся, включая мониторинг и улучшение более глубокого понимания за счет использования множественных внешних представлений центрального математического содержания.Хотя автоматическое использование линейных стратегий было успешно сокращено, некоторые из студентов экспериментальной группы по-прежнему были склонны к линейному сверхобобщению, тогда как другие начали также применять непропорциональные стратегии к пропорциональным задачам, указывая на то, что вмешательство не было успешным с точки зрения содействия глубокому концептуальному пониманию различий в линейности и нелинейности у некоторых студентов. Эти результаты дают первые подсказки о том, что внешние представления могут быть полезны для уменьшения линейных сверхобобщений.Дополнительную поддержку дает исследование De Bock et al. (2002b), которые обнаружили, что предоставление готовых чертежей исходных и масштабированных фигур на миллиметровой бумаге положительно, хотя и незначительно, влияет на скорость решения задач нелинейной геометрии. Миллиметровая бумага позволяет сравнивать площади фигур путем подсчета квадратов и, таким образом, облегчает распознавание нелинейной взаимосвязи площадей.

Мы рассматриваем эти результаты как первые признаки важности внешних представлений для преодоления линейных чрезмерных обобщений и производительности.Дальнейшие указания в противоположном направлении получены в результате исследований самогенерируемого рисунка.

Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

В серии экспериментальных исследований изучалось влияние рисования на линейное избыточное обобщение и производительность. В одном из этих исследований (De Bock et al., 1998) ученикам, которые занимались рисованием, предлагали рисовать перед тем, как решать каждый элемент. Инструкции были даны в начале теста с использованием примера.Вопреки теоретическим соображениям, никакого влияния рисования на производительность обнаружено не было. Процент правильных решений для группы 12-13-летних учеников оставался на уровне только 2% и также оказался низким для 15-16-летних учеников, независимо от инструкций по рисованию.

Различные инструкции по рисованию были реализованы в последующем исследовании (De Bock et al., 2003). В условиях рисования ученикам в возрасте от 13 до 16 лет давали рисунок геометрического объекта для каждой задачи (например,g., квадрат), и их попросили завершить рисунок, добавив масштабированную копию объекта с использованием заданного коэффициента масштабирования. Неожиданным открытием было то, что студенты, получившие эти инструкции, показали значительно более низкие показатели решения, чем контрольная группа (23% против 44%). Дополнительный анализ процессов решения из этого исследования показал, что самогенерируемый рисунок не выявляет стратегии визуального решения, такие как «мощение» – определение площади плоской фигуры путем вымощения ее аналогичными фигурами – и, следовательно, стратегия рисования, по-видимому, была не применяется надлежащим образом.Это потенциальная причина, по которой рисование не приносит пользы, но она не объясняет отрицательный эффект. Анализ проблем, использованных в этом исследовании, предоставил еще одну причину этого результата. Рисование может помешать студентам в решении нелинейных задач, потому что процесс рисования может отвлечь их внимание на несущественные элементы или даже на элементы, которые могут помешать процессу решения: фигуры обычно изображаются их окружностями, которые изменяются линейно через масштабирование.В процессе рисования учащиеся работают с линейными связями и могут ошибочно переносить их в область. Это может сделать качество стратегии рисования недостаточным, потому что ключевая информация (например, область) не выделяется на чертеже. Повышение качества стратегии рисования путем выделения области на рисунках может направить внимание учащихся к важным элементам проблемы, тем самым помогая им определять нелинейные свойства во время рисования.

Вопросы исследования и ожидания

На основе теоретических соображений и предыдущих эмпирических данных мы поставили следующие исследовательские вопросы:

1.
Приводит ли инструкция по рисованию масштабированной фигуры к большему числу линейных сверхобобщений и отрицательно влияют на производительность решения задач нелинейной геометрии?
2.
Уменьшает ли повышение качества стратегии рисования за счет выделения важной информации на чертеже количество линейных сверхобобщений и отрицательное влияние стратегии рисования на производительность решения проблем?
3.
Уменьшает ли визуальный мониторинг количество линейных избыточных обобщений и отрицательное влияние стратегии рисования на эффективность решения проблем?
4.
Влияет ли рисунок или визуальный контроль на воспринимаемую успеваемость учащихся при решении задач нелинейной геометрии?

Ожидания от исследования Вопрос 1 (рисунок)

Первый вопрос исследования касается повторения De Bock et al.(2003) обнаружил, что рисование мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии. Следуя теоретическим предметно-ориентированным соображениям относительно причин линейного чрезмерного обобщения учащихся, мы предполагаем, что самогенерируемый рисунок отвлекает учащихся и привлекает их внимание к элементам проблемы, которые мешают их процессу решения, например, линейной взаимосвязи окружностей окружностей. оригинальные и масштабированные фигуры в задачах с прямолинейными плоскими фигурами.Из-за очень распространенной тенденции к линейному сверхобобщению (Van Dooren et al., 2008) они могут ошибочно переносить линейную взаимосвязь окружностей в нелинейную взаимосвязь площадей. Те же соображения могут быть сделаны для задач с непрямолинейными фигурами и твердыми телами, касающимися линейных свойств диаметра и нелинейных свойств объема. Таким образом, мы ожидали, что стратегия рисования увеличит количество линейных сверхобобщений и отрицательно повлияет на производительность решения проблем.

Ожидаемые результаты исследования Вопрос 2 (высококачественный рисунок):

Мы ожидали, что повышение качества стратегии рисования за счет выделения ключевой информации уменьшит отрицательный эффект стратегии рисования. Следовательно, мы ожидали, что студенты, применяющие высококачественную стратегию рисования, и студенты, не применяющие стратегию рисования, продемонстрируют такое же количество линейных сверхобобщений и производительность при решении задач нелинейной геометрии. Кроме того, мы ожидали меньшего количества линейных избыточных обобщений и более высокой производительности от студентов, которые применяли стратегию высококачественного рисования, чем студентов, которые использовали стратегию рисования более низкого качества.Обоснование этих ожиданий заключается в том, что эффекты стратегии рисования сильно зависят от качества рисования. Одной из ключевых характеристик высококачественного рисунка является явное представление ключевой информации. В задачах нелинейной геометрии ошибки делаются из-за неправильного акцента на длине стороны или диаметре фигуры или твердого тела и его линейных свойствах вместо учета площади или объема, соответственно. Следовательно, выделение области или объема нарисованной фигуры или твердого тела улучшит качество стратегии рисования и должно привести к меньшему количеству линейных избыточных обобщений и более высокой производительности, чем использование стратегии рисования более низкого качества.

Ожидания для вопроса исследования 3 (Визуальный мониторинг)

Мы ожидали, что визуальный мониторинг уменьшит отрицательный эффект стратегии рисования. Следовательно, визуальный мониторинг во время рисования должен привести к аналогичному количеству линейных избыточных обобщений и аналогичной производительности при решении задач нелинейной геометрии по сравнению с решением задач без рисования. Кроме того, мы ожидали, что визуальный мониторинг приведет к меньшему количеству линейных избыточных обобщений и более высокой производительности, чем рисование без визуального мониторинга.Мы улучшили визуальный мониторинг, используя маленькие коэффициенты масштабирования вместо больших на основе нашего предположения, что для малых коэффициентов масштабирования нелинейная взаимосвязь областей становится заметной во время рисования. Следовательно, визуальный мониторинг может помочь преодолеть линейное чрезмерное обобщение, вызванное стратегией рисования.

Ожидания от вопроса исследования 4 (Влияние на воспринимаемую производительность)

Материалы и методы

Образец и процедура

В настоящем исследовании приняли участие 198 учеников (57,1% женщин, средний возраст = 16,15 лет) из девяти классов, включая девятиклассников (12,6%), десятиклассников (48,5%), и одиннадцатиклассники (38,9%). Ученики были из четырех средних школ (German Gymnasium) и одной общеобразовательной школы (German Gesamtschule).

Учащиеся в каждом классе были случайным образом распределены в одну из пяти групп: учащиеся в экспериментальных условиях получали инструкции по рисованию (D) или рисованию с выделением (DQ), направленные на повышение качества стратегии рисования, и тестовую версию с инструкциями по рисованию. либо большие [11, 12, либо 13, как использовалось в исследовании De Bock et al.(2003)] или малые коэффициенты масштабирования (3, 4 или 5), направленные на улучшение визуального мониторинга (группы V- и V +). Эти условия привели к четырем комбинациям экспериментальных условий (DV-, DV +, DQV-, DQV +). Студенты контрольной группы (CG) не получали инструкций по рисованию и тестовой версии с большими масштабными коэффициентами, как в исследовании De Bock et al. (2003). Все группы работали над бумажно-карандашным тестом, состоящим из четырех экспериментальных задач, которые представляли собой задачи нелинейной геометрии, и трех дополнительных элементов буфера.Все элементы были взяты из исследования De Bock et al. (2003). Рисование и рисование с инструкциями по выделению были встроены в каждый элемент теста. показывает образец элемента с рисунком с инструкциями по выделению, которые использовались в версии теста, который проводился в состоянии DQ. Учащиеся группы D получили те же инструкции по рисованию (часть а), но не получили инструкций по выделению (часть б).

Образец предмета с инструкциями по рисованию и выделению. Задачи были взяты из De Bock et al.(2003, с. 449).

Проверка лечения

Чтобы проверить выполнение лечения, мы проверили, выполняли ли студенты в экспериментальной и контрольной группах инструкции.Результаты подтвердили, что ученики следовали инструкциям по рисованию и инструкциям по рисованию и выделению. Как и предполагалось, количество рисунков в группах D было значительно выше, чем в CG [96,1% против 40,2%; t (43,636) = 7,542, p <0,001, d = 1,903]. Кроме того, количество выделенных рисунков в группах DQ было значительно выше, чем в CG [80,0% против 0,65%; t (84,756) = 22,526, p <0,001, d = 3.608] и группы D [80,0% против 2,4%; t (109,960) = 15,798, p <0,001, d = 3,033]. Однако из 41 участника контрольной группы 19 сделали спонтанный рисунок хотя бы по одному из предметов. Эти учащиеся, кажется, показывают такие же или даже лучшие результаты, чем учащиеся, которые не рисовали (50,0% против 45,5% правильных решений; 18% против 29% линейных сверхобобщений). Чтобы убедиться, что спонтанные рисунки не искажают наши результаты, мы снова ответили на вопросы нашего исследования, проанализировав скорректированную подвыборку.Скорректированная подвыборка включала только студентов, которые действовали в соответствии со своим состоянием. Поскольку наш анализ показал почти одинаковые размеры эффекта для скорректированной подвыборки и для всей выборки, мы проанализировали всю выборку в нашем исследовании.

Кроме того, мы исследовали возраст учащихся и последний класс по математике с помощью дисперсионного анализа, чтобы гарантировать сопоставимость условий лечения. Как и ожидалось, не было обнаружено значительных различий между группами ( p > 0,10).

Меры

Линейные избыточные обобщения и эффективность решения проблем

Линейные избыточные обобщения оценивались путем анализа того, было ли решение основано на линейной модели (код 1) или нет (код 0).Успеваемость учащихся анализировалась путем присвоения баллов 1 за правильное решение и 0 баллов за неправильное решение. Два независимых кодировщика участвовали в оценке тестовых буклетов. Надежность между экспертами была рассчитана для каждой задачи на подмножестве 20% тестовых буклетов, которые были оценены обоими кодировщиками с достаточным соглашением между экспертами (коэффициент Коэна ≥ 0,773). Надежность была удовлетворительной (α Кронбаха = 0,729 для линейных избыточных обобщений и 0,754 для производительности). Все задачи были взяты из De Bock et al.(2003) и перечислены здесь в версии для V− групп в.

ТАБЛИЦА 1

Экспериментальные предметы в группах V−.

Экспериментальные предметы в группах V−
Сторона квадрата C в 12 раз больше квадрата D. Если площадь квадрата C равна 1440 см ², какова площадь квадрат D?
Диаметр круга E в 11 раз больше диаметра круга F. Если площадь круга E составляет 242 см ², какова площадь круга F?
Сторона куба G в 13 раз больше стороны куба H.Если объем куба G равен 2,197 см ³, каков объем куба H?
Диаметр сферы M в 12 раз больше диаметра сферы N. Если объем сферы M составляет 172 800 мм ³, каков объем сферы N?

Воспринимаемая успеваемость

Студенты оценили утверждения в анкете по пятибалльной шкале Лайкерта (от полного несогласия до полного согласия). Шкала для измерения воспринимаемой производительности была адаптирована из предыдущих исследований (Hänze and Berger, 2007; Schukajlow and Krug, 2014; Schukajlow et al., 2015, 2019а). Он включал четыре пункта: «Я заметил, что действительно разбираюсь в арифметических задачах»; «Я чувствовал себя способным справиться с арифметическими задачами»; «Я чувствую себя способным справиться с подобными арифметическими задачами»; и «Сегодня я был уверен в своих знаниях по этой теме». Надежность шкалы (α Кронбаха) составила 0,863.

Анализ данных

Гипотезы были проверены с помощью 3 × 2 MANOVA с рисунком (без рисунка, D, DQ) и визуальным мониторингом (V- и V +) в качестве независимых переменных и линейной избыточной генерации и производительности в качестве зависимых переменных.Гомогенность дисперсии оценивалась с помощью критерия Левена ( p > 0,05). Значимые основные эффекты были дополнительно проанализированы с помощью апостериорных тестов Тьюки. Опубликованные значения p для линейных избыточных обобщений и производительности были односторонними из-за наших ориентировочных ожиданий. Мы следовали Де Боку и др. (2003) процедура для обеспечения сопоставимости результатов. Это включало проведение нашего анализа только с двумя из четырех экспериментальных объектов. Включение всех четырех пунктов в MANOVA дало одинаковые результаты, потому что величина эффекта из двух анализов была очень похожей.

Чтобы проанализировать воспринимаемую производительность, мы провели 2 × 2 ANOVA с рисованием (D, DQ) и визуальным мониторингом (V- и V +) в качестве факторов. Однородность дисперсии подтверждена. Из-за исследовательского подхода не было сделано никаких предположений о направлении эффектов, и представлены двусторонние значения p .

Результаты

Обзор средних значений и стандартных отклонений для всех переменных в различных экспериментальных условиях представлен в.

ТАБЛИЦА 2

Средние значения (и стандартные отклонения) всех переменных в различных экспериментальных условиях.

Переменная	CG	DV-	DV +	DQV-	DQV +	Итого
Линейный
Линейный	0,24 909 0,3000 909 0,3000 0,24 909	0,36
	(0,39)	(0,43)	(0,46)	(0,43)	(0,43)	(0,43)
Производительность	0.48	0,27	0,31	0,22	0,33	0,32
	(0,46)	(0,39)	(0,44)	(0,39)	(0,39) 0,4 _{) 91}
Воспринимаемая производительность	3,73	3,28	3,92	3,34	3,76	3,60
	(0,82)	(0,78)	(0,75)88)	(0,83)	(0,85)

Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

В соответствии с нашими ожиданиями, стратегия рисования увеличила количество линейных избыточных обобщений. Студенты, которые применяли стратегию рисования с более низким качеством (группы D), как правило, делали более линейные сверхобобщения, чем студенты, которые не использовали эту стратегию (CG) (43,5% против 24,4%). MANOVA выявил незначительно значимый основной эффект рисования на линейных сверхобобщениях [ F (2,197) = 1.970, p = 0,071; ηp2 = 0,020]. Апостериорные сравнения с использованием теста Тьюки показали значительные различия ( p <0,05, d _Коэн = -0,461) между студентами, которые использовали стратегию рисования, и контрольной группой, которая не рисовала.

Кроме того, наше ожидание того, что стратегия рисования окажет негативное влияние на производительность, подтвердилось. Студенты, которые применяли стратегию рисования с более низким качеством (группы D), достигли значительно более низких оценок успеваемости, чем студенты, которые не использовали эту стратегию (28.6% против 47,6%). MANOVA выявил значительное влияние рисунка на производительность [ F (2197) = 4,323, p <0,05; ηp2 = 0,043], и апостериорных сравнений показали значительные различия ( p <0,05 d _Коэн = 0,436) между студентами, которые применили стратегию рисования, и студентами, которые этого не сделали.

Эти результаты не взаимодействовали с использованием двух тестовых буклетов (масштабные коэффициенты большого или малого размера), которые были введены в группы D и DQ, но не были введены в группу CG по экономическим причинам (большие коэффициенты масштабирования Только).Мы более подробно остановимся на этом моменте в результатах третьего вопроса исследования (см. Раздел «Влияние визуального мониторинга на линейное избыточное обобщение и производительность»). Для обеспечения сопоставимости мы провели дополнительный анализ, в который были включены только группы, получившие тестовую версию с большим коэффициентом масштабирования (CG, DV–, DQV–). Результаты были схожими с еще более сильным эффектом (линейное избыточное обобщение: ηp2 = 0,022; производительность: ηp2 = 0,069).

Влияние стратегии высококачественного рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

Мы смогли частично подтвердить гипотезу о том, что стратегия высококачественного рисования (DQ) уменьшит отрицательный эффект стратегии рисования.Как и ожидалось, студенты, которые использовали стратегию высококачественного рисования, участвовали в линейных сверхобобщениях примерно так же часто, как студенты, которые не использовали стратегию рисования (CG) (35,0% против 24,4%). Post hoc Тесты Тьюки подтвердили отсутствие статистически значимых различий между студентами, которые использовали стратегию высококачественного рисования, и контрольной группой ( p = 0,198, d _Cohen = -0,261). Однако, вопреки нашим ожиданиям, студенты, которые использовали стратегию рисования высокого качества, не показали значительно меньше линейных сверхобобщений, чем студенты, которые использовали стратегию рисования с более низким качеством (D) (35.0% против 38,9%, тесты Тьюки: p = 0,211, d _Cohen = 0,197).

Кроме того, мы ожидали, что учащиеся, которые использовали стратегию высококачественного рисования (DQ), покажут те же результаты, что и студенты, которые не использовали стратегию рисования (CG). Вопреки нашим ожиданиям, тесты Тьюки показали, что средняя оценка производительности для группы DQ была значительно ниже ( p <0,05, d _Cohen = 0,471), чем оценка для CG (27.5% против 47,6%). Также сравнение двух условий рисования дало результаты, которые противоречили нашим ожиданиям: использование стратегии рисования высокого качества (DQ) не привело к более высокой производительности, чем использование стратегии рисования с более низким качеством (D ) (27,5% против 28,6%; p = 0,493, d _Cohen = 0,027).

Влияние визуального мониторинга на линейное избыточное обобщение и производительность

Результаты не подтвердили наши ожидания. Студенты в группе визуального мониторинга не отличались по количеству линейных сверхобобщений от студентов, которые не могли выполнять визуальный мониторинг (42,0% против 32,5%). Не было значительного основного эффекта визуального мониторинга на линейное сверхобобщение [ F (1,197) = 0.698, п. = 0,202; ηp2 = 0,004], и также не было эффекта взаимодействия Визуальный мониторинг × Рисование на линейные сверхобобщения [ F (1,197) = 0,334, p = 0,282; ηp2 = 0,002].

Наши ожидания по производительности также не подтвердились: визуальный мониторинг не уменьшил негативного влияния стратегии рисования на производительность (32,0% против 32,1%). Как уже было обнаружено для количества линейных избыточных обобщений, не было значительного основного влияния визуального мониторинга на производительность [ F (1,197) = 1.312, р. = 0,127; ηp2 = 0,007], и не было никакого влияния взаимодействия Визуальный мониторинг × Рисование на производительность [ F (1,197) = 0,337, p = 0,281; ηp2 = 0,002].

Влияние стратегии рисования и визуального мониторинга на воспринимаемую производительность

Обсуждение

Негативный эффект стратегии рисования

Наши результаты повторили предыдущие выводы о негативном влиянии стратегии рисования на производительность задач нелинейной геометрии и подтвердили предыдущее предположение о том, что линейные избыточные обобщения являются преобладающей причиной.Мы обнаружили, что студенты, которые применяли стратегию рисования (группы D), делали более линейные сверхобобщения, чем студенты, которые не рисовали. Самостоятельно созданный рисунок, кажется, ведет учащихся к ошибочному сосредоточению внимания на линейных отношениях, изображенных на рисунках. Однако влияние стратегии рисования на количество линейных сверхобобщений было меньше, чем влияние на производительность, что указывает на то, что применение стратегии рисования могло также привести к другим ошибкам, возможно, из-за когнитивных затрат, связанных с процессом экстернализации (Zhang, 1997).

Кроме того, повторение отрицательного влияния рисования на производительность показывает, что результаты стабильны для разных выборок. Даже оценки решения были очень похожи на те, о которых сообщали Де Бок и др. (2003), с показателем около 75% неправильных решений в группе рисования и 50% в группе без рисования в обоих исследованиях.

На глобальном уровне обнаружение того факта, что самогенерируемый рисунок мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии, показывает, что стратегия рисования не является универсальным решением, и подчеркивает необходимость уточнения факторов, которые определить выгодное использование стратегии.

Стратегия качества рисования

Следуя теоретическим соображениям о важности качества самогенерируемого рисунка, которые были подтверждены в предыдущих исследованиях, мы ожидали, что стратегия рисования будет препятствовать способности учащихся решать задачи нелинейной геометрии, потому что это будет недостаточно применяться при решении студентами нелинейных задач. Поэтому мы повысили качество стратегии рисования, обратив внимание на ее ключевую особенность путем явного представления информации, необходимой для решения проблемы.

Визуальный мониторинг

Однако полученные данные не подтвердили наши ожидания о том, что визуальный мониторинг уменьшает эффект, с помощью которого самогенерируемый рисунок мешает учащимся решать задачи нелинейной геометрии. Визуальный мониторинг не повлиял на количество линейных избыточных обобщений или производительность. Одна из возможных причин этого вывода заключается в том, что склонность студентов к линейному сверхобобщению очень сильна, и ее трудно изменить с помощью тонких действий, таких как визуальный мониторинг (De Bock et al., 2007). Визуальный мониторинг, возможно, помог учащимся распознать нелинейную взаимосвязь между областями во время рисования, но из-за того, что учащимся не хватало знаний о том, как действовать, они продолжали использовать линейные модели, с которыми они были знакомы, для решения проблемы. Другая причина может заключаться в том, что учащиеся даже не заметили нелинейной взаимосвязи областей во время рисования, потому что они не использовали стратегию рисования для мониторинга. Следовательно, наше предположение о том, что визуальный мониторинг имеет место, когда стратегия рисования применяется к задачам с небольшими коэффициентами масштабирования, необходимо пересмотреть.Предыдущие исследования показали, что, в отличие от экспертов, учащиеся редко используют стратегию рисования для отслеживания своих процессов решения (Stylianou, 2011), поэтому они, возможно, не участвовали в визуальном мониторинге, даже если нелинейное свойство области было задано. выступающие, пока они рисовали. Нам нужно больше исследований о том, как визуальный мониторинг влияет на стратегию рисования и как прояснить механизмы, которые могут улучшить визуальный мониторинг у студентов.

Осведомленность о линейных избыточных обобщениях

На основе теоретических соображений мы предположили, что повышение качества стратегии рисования и усиление визуального мониторинга повлияет на осведомленность учащихся о линейных избыточных обобщениях, даже если это не повлияет на их успеваемость. Учащиеся могут распознать нелинейное свойство проблемы, но по-прежнему могут придерживаться линейных моделей, потому что им не хватает математических знаний, необходимых для продолжения. Признаки того, знали ли студенты о своих линейных сверхобобщениях, можно было получить по их воспринимаемой работе.Если учащиеся не заметили, что рисование неправильно привело их к неадекватному использованию линейных моделей, они, вероятно, почувствовали, что их успеваемость выше, чем у учеников, которые осознавали, что их решение, вероятно, было неправильным, потому что они сделали несоответствующие линейные предположения.

Кажется, что студенты также столкнулись с другими трудностями при решении задач, которые не основывались на нелинейных свойствах задачи. Учащиеся из группы, в которой визуальный мониторинг был усилен за счет использования небольших масштабных коэффициентов, почувствовали, что их успеваемость была даже выше, чем у студентов из группы с низким уровнем визуального мониторинга, которые работали над задачами с большими масштабными коэффициентами, хотя обе группы имели одинаковые оценки успеваемости.Использование небольших коэффициентов масштабирования, вероятно, привело к более высокой воспринимаемой производительности, поскольку это облегчило вычисления, но не привело к более высокой производительности, потому что учащиеся совершали ошибки на основе линейных избыточных обобщений, о которых они не знали. Эти моменты указывают на то, что нам также необходимо исследовать другие трудности, с которыми студенты сталкиваются при решении задач нелинейной геометрии с помощью стратегии рисования, чтобы получить полную картину трудностей, возникающих при решении нелинейных задач.

Сильные стороны и ограничения

Мы исследовали влияние стратегии рисования на решение задач нелинейной геометрии, используя экспериментальный план с условиями рисования и контрольной группой, которой не было поручено рисовать. Мы реализовали лечебную проверку, которая показала, что студенты надежно следовали инструкциям. Однако 19 из 41 студента контрольной группы рисовали самопроизвольно. Поэтому мы дополнительно проанализировали скорректированную подвыборку, в которую вошли только учащиеся в условиях рисования, которые действительно рисовали, и учащиеся контрольной группы, которые не рисовали.Этот анализ показал те же результаты, что и предыдущие анализы.

Еще одно ограничение касается использования факторов качества рисования и визуального контроля. Исходя из теоретических соображений, мы предположили, что качество рисования улучшится, если мы выделим ключевую информацию, содержащуюся в задаче. Кроме того, мы предположили, что визуальный мониторинг будет улучшен за счет использования малых коэффициентов масштабирования по сравнению с большими коэффициентами масштабирования. Хотя оба предположения правдоподобны, наши манипуляции могут касаться и других факторов в дополнение к этим двум факторам.Например, использование малых масштабных коэффициентов снижает сложность вычислений.

Задачи «Рисование по математике» в JSTOR

Абстрактный
В этом исследовании изучается серия детских рисунков (задачи «Рисование для математики»), чтобы определить взаимосвязь между пространственным пониманием учащихся и решением математических задач. Уровень пространственного понимания оценивался с применением системы центральных концептуальных структур, предложенной Кейсом (1996), исследователем когнитивного развития. Рисунки, созданные учащимися для задач Draw for Math, также были отнесены к категории схем (т.е., пропорциональные детали включены) или несхема (т. е. не включены пропорциональные детали). Результаты показывают, что уровень пространственного понимания и использование схематических рисунков в значительной степени коррелировали с эффективностью решения проблем. Результаты этого исследования имеют значение для политики и практики. Художественный класс является важным контекстом для развития у учащихся пространственного понимания и способностей пропорционального мышления, связанных с художественными, а также математическими способностями. Также предлагаются конкретные стратегии по укреплению совместных усилий специалистов в области искусства и их коллег по интеграции значимых математических действий по рисованию.
Информация о журнале
Исследования в области художественного образования – это ежеквартальный журнал, в котором публикуются количественные, качественные, исторические и философские исследования в области художественного образования, включая исследования теории и практики в областях художественного производства, художественной критики, эстетики, истории искусства, человеческого развития, учебных программ и инструкция и оценка. В исследовании также публикуются отчеты о применимых исследованиях в смежных областях, таких как антропология, образование, психология, философия и социология.
Информация об издателе
Национальная ассоциация художественного образования, основанная в 1947 году, является крупнейшей в мире ассоциация профессионального художественного образования и лидер образовательных исследований, политика и практика художественного образования. Миссия NAEA – продвигать художественное образование через профессиональное развитие, обслуживание, продвижение знаний и лидерство. Членский состав (около 48000) включает учителей начальных и средних школ искусств. (а также учащиеся средних и старших классов по программам National Art Honor Society), художники, администраторы, преподаватели музеев, сотрудники художественного совета и университет профессора со всех концов Соединенных Штатов и нескольких зарубежных стран.В него также входят издатели, производители и поставщики художественных материалов, родители, студенты, бывшие преподаватели искусств и другие лица, озабоченные качеством художественного образования в наших школах.

Решение задач по начертательной геометрии, Гордон

Точка и прямая

Плоскость

Пересечение прямой линии с плоскостью и двух плоскостей между собой

Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей

Применение способов преобразования чертежа

Кривые линии и поверхности

Смешанные задачи по всему курсу

Аксонометрические проекции

Ответы на решенные задачи

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

решение 📝 задач онлайн и письменно

Решение задач начертательной геометрии – Энциклопедия по машиностроению XXL

📐Решение задач по начертательной геометрии на заказ

Спасибо за скорость и качество!

Спасибо большое!

Ооочень благодарна Вам!

Заочникам тоже помогут! Спасибо

На удивление недорого и качественно!

Заказываю все решения по эконом теории только в решаем онлайн

Убедился в качественном сервисе 5+

Скорость и удобство порадовали

Морока с Гражданским правом решена на отлично!

Сессия для Бухгалтера теперь без проблем ребята!)

Кто не любит писать сочинения тогда вам сюда!

Незаменимые помощники!

Закрыл сессию на отлично благодаря Вам!

Мастера на все руки!

Оперативный сервис!

Спасибо! Очень выручили

Ваш выпускник!)

Обратился впервые – компания не подвела!

Теперь матанализ не зло!

Большое спасибо!

Благодарю за помощь!

Решение проблем: нарисуйте картинку

Решение проблем – критически важный и социально-эмоциональный навык 21 века

Решение проблем: нарисуйте картинку

Что это?

Почему это важно?

Как это сделать?

Границы | Когда рисование может помешать решению проблемы? Влияние стратегии рисования на линейные сверхобобщения и решение проблем

Введение

Стратегия рисования и линейные сверхобобщения

Самостоятельно созданный чертеж

Стратегия качества рисования

Визуальный мониторинг

Линейные сверхобобщения

Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

Вопросы исследования и ожидания

Ожидания от исследования Вопрос 1 (рисунок)

Ожидания от исследования Вопрос 2 (высококачественный рисунок):

Ожидания от исследования Вопрос 3 (Визуальный мониторинг)

Ожидания в отношении вопроса исследования 4 (Влияние на воспринимаемую производительность)

Материалы и методы

Образец и процедура

Проверка лечения

Меры

Линейные избыточные обобщения и эффективность решения проблем

Воспринимаемая производительность

Анализ данных

Результаты

Влияние стратегии рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

Влияние стратегии высококачественного рисования на линейное избыточное обобщение и производительность

Влияние визуального мониторинга на избыточное линейное обобщение и производительность

Влияние стратегии рисования и визуального мониторинга на воспринимаемую производительность

Обсуждение

Отрицательный эффект стратегии рисования

Стратегия качества рисования

Визуальный мониторинг

Осведомленность о линейных сверхобобщениях

Сильные стороны и ограничения

Заявление о доступности данных

Заявление об этике

Взносы авторов

Конфликт интересов

Список литературы

Рисование схемы