Решение задач теория игр: К сожалению, что-то пошло не так - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Онлайн контест по решению задачи из теории игр / Хабр

Привет, Хабр!

Меня зовут Миша, и я студент. На факультативе по теории игр мы решаем различные интересные задачи, и я хотел бы поделиться с вами одной из таких.

Описание игры

«Я люблю вархаммер, поэтому решил адаптировать условие»

1. Играют двое.
2. Поле игры представляет собой доску размера 3 на 3.
3. Каждый игрок располагает армией в 100 космодесантников.
4. Перед битвой ночью каждая сторона втайне размещает свои отряды произвольным способом на 9 клетках. На каждую клетку можно поставить любое целое число космодесантников от 0 до 100.
5. Утром начинается сражение за очередную планету. На каждой из 9 клеток побеждает тот игрок, у кого на этой клетке стоит больше астартес. За победу на каждой из 9 клеток дается 1 очко. Если на некоторой клетке стоит одинаковое число, то сражение на этой клетке заканчивается вничью, и оба игрока получают 0,5 очка.
6.
Сражение выигрывает тот, кто выиграл больше полей. Если оба игрока выиграли по 4,5 поля, сражение заканчивается вничью.

Свою стратегию я придумал, но мне пришла идея как сделать этот контест интереснее, а также провести исследование. Я подготовил

соревнование

для всех желающих, где вы можете посоревноваться с другими людьми в решении этой задачи.

В данный момент при отправке ваше решение сыграет 10 игр со случайными людьми, а также с какой-то вероятностью будет играть с новыми стратегиями, а в пятницу произойдет перерасчет по всем решениям и будет вывешен финальный лидерборд.

И это не все — в данный момент каждые 2 минуты 2 нейронки отыгрывают друг с другом 10000 игр, и, конечно же, мне интересно, кто окажется лучше: нейронка или человечество

К выходным же я подготовлю статью о результатах моего исследования.

Ссылка на игру: game.pavlukhinlab.com

upd: Собранные личные данные (e-mail) хранить не собираюсь. Удалю их после получения результатов

upd2: Результаты эксперимента https://habr. com/ru/post/441728/

Решение задач по теории игр

Определения теории игр

Предметом рассмотрения теории игр является изучение конфликтных ситуаций.
Под конфликтной ситуацией понимается ситуация преследования различных целей участников конфликта в условиях неопределенности. При этом результаты действий каждого из участников конфликта зависят от предыдущих действий других участников. В теории игр математическая модель конфликтной ситуации называется

игрой, а стороны, участвующие в конфликте – игроками. Исходом конфликта является выигрыш (или проигрыш, т.е. выигрыш с отрицательным знаком) игроков. Условия, в которых происходит развитие конфликта, считаются неопределенными. Эта неопределенность может иметь различное происхождение. Так заранее могут быть неизвестны как цели игроков, так и поведение игроков в процессе развития конфликтной ситуации. Все условия, в которых происходит развитие конфликта, могут носить как частично заданный, так и вероятностный характер.

Действие игрока в конфликтной ситуации называется ходом. Ходы игроков могут быть намеренными и случайными. Набор ходов игроков называется стратегией.

Как же решают такие задачи в теории игр?

Для математического моделирования конфликтной ситуации в теории игр принимают некоторые упрощающие допущения. Например, допускается, что игра игроками ведется по определенным правилам. Кроме этого упрощенная математическая модель строится без учета второстепенных факторов. Для решения задач в теории игр существует несколько методов. Один из них основан на допущении о том, что ходы игроков носят оптимальный характер. Под оптимальностью подразумевается рациональность ходов, производимых игроками. Т.е. делается предположение, что каждый из игроков при каждом своем ходе стремится получить максимально возможную на данном этапе выгоду. При этом другие игроки в данных условиях при такой стратегии первого игрока стремятся получить минимальный проигрыш.

При этом предполагается, что игроки в течение игры не отклоняются от выбранных ими стратегий. Это так называемая матричная игра, которую можно представить формулой:

где — множества стратегий;
— функция двух переменных х и y, принадлежащих соответственно множествам и .

Согласно принципу оптимальности, при выборе первым игроком некой стратегии из множества , второй игрок может выбрать такую стратегию из множества , при которой выигрыш первого игрока будет равен наименьшему из значений . Поэтому предполагается, что первый игрок заранее будет стремиться выбрать свою стратегию так, чтобы этот минимальный выигрыш был наибольшим из возможных, т.е.

Обозначим

— нижняя цена игры .

Такая стратегия первого игрока в теории игр называется максиминной стратегией

.
А принцип, согласно которому он действует, называется принципом максимина.

При котором первый игрок гарантирует себе определенный выигрыш не зависимо от действий второго игрока.

Приняв эту стратегию, первый игрок при любом поведении второго игрока гарантирует себе выигрыш не меньший, чем значение .

Стратегия же второго игрока при следующем ходе определяется как:

Обозначим

Здесь — верхняя цена игры .

Стратегия второго игрока называется минимаксной стратегией.

Принимая такую стратегию второй игрок при любых действиях первого игрока проигрывает не более значения игры .

Допуская, что игроки придерживаются выбранных стратегий до конца игры, т.е.
, — выигрыши игроков равны .

Получаем, что выигрыши игры в таком случае находятся в интервале между значениями нижней и верхней цены игры и . Т.е.

Если оба игрока действуют согласно одному принципу – принципу минимакса, то

Для игры, заданной матрицей выигрышей это равенство можно записать в виде:

Тогда нахождение решения такой задачи можно представить в виде следующей схемы:

Общее значение максимина и минимакса в теории игр называют

значением матричной игры.

Заключение

Под понятием игрок в теории игр подразумевается не только конкретное лицо, но и может приниматься некая группа (компания, страна), имеющая в конфликте определенные интересы. А под конфликтной ситуацией могут рассматриваться ситуации из различных областей жизнедеятельности (экономики, экологии, и т.п.). Выигрыш игроков может носить не только количественный характер, но и состоять из рекомендаций по достижению целей, преследуемых в конфликте. Таким образом, с помощью теории игр, можно предложить решить конфликтную ситуацию выбором определенных рациональных ходов — стратегий, необходимых для достижения целей игроков.

Решение задач на заказ

Мы также практикуем платное решение задач по теории игр и другим математическим дисциплинам. Заказать решение у нас на сайте. Узнать цену можно бесплатно.

Смотрите также:

Практическая – решение задач, отчет

Preview text

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НИУ ВПО «Московский государственный строительный университет» Институт экономики, управления и информационных систем в строительстве Кафедра «Экономики и управления в строительстве» «ТЕОРИЯ ИГР» Решение задач Выполнила: студентка 2 курса группа 13 Малинина Д.

И. Преподаватель: проф. Клашанов Ф.К Москва 2015 Содержание Введение…………………………………………………………………………………………………….2 1.Терминология, используемая в теории игр……………………………………………….3 2.Классификация теории игр……………………………………………………………………….7 2.1.Схема классификации теории игр……………………………………………………….7 2.2 Признаки, по которым классифицируются игры………………………………….8 3. Методы преобразования (упрощения) платёжной матрицы…………………….11 3.1Доминирование стратегий………………………………………………………………….11 3.2 Аффинное преобразование………………………………………………………………..13 4.Матричные игры…………………………………………………………………………………….16 4.1.Понятие о седловой точке и цене игры.

……………………………………………..16 4.2.Критерии решения игр с природой……………………………………………………17 5.Решение матричных игр…………………………………………………………………………23 5.1 Решение игры с платежной матрицей 2×2 аналитическим методом……23 6.Решение матричной игры графическим способом……………………………………25 7.Аналитическое решение игры nxn…………………………………………………………..28 7.1.Метод Лагранжа……………………………………………………………………………….28 7.2.Метод Крамера…………………………………………………………………………………32 7.3.Метод обратной матрицы………………………………………………………………….39 8.Метод Шепли- Сноу……………………………………………………………………………….41 9.Метод линейного программирования.

…………………………………………………….47 10.Метод Брауна-Робинсон……………………………………………………………………….54 Заключение………………………………………………………………………………………………57 Список использованной литературы………………………………………………………….59 Приложение……………………………………………………………………………………………..60 2 1.Терминология, используемая в теории игр Антагонистическая игра – конечная парная игра с нулевой суммой. Теория антагонистических игр – наиболее развитый раздел теории игр, с четкими рекомендациями. Аффинное преобразование (преобразование подобия и сдвига) – преобразование всех элементов платежной матрицы с помощью формулы a’ij=k*aij+b (где k≠0, b – любая константа), не изменяя решение игры Верхняя цена игры — это гарантированный проигрыш второго игрока B при любой стратегии игрока A.

Выигрыш – исход конфликта Доминирующая стратегия— ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов. Дублирующая стратегия – если в платежной матрице игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующее этим строкам (столбцам). Задача теории игр – выявление оптимальных стратегий игроков. Значением (решением) игры -значение функции выигрыша в ситуации равновесия ai j=v . Игра с нулевой суммой – сумма выигрышей всех игроков равна нулю (т.е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Игра – упрощенная модель конфликтной ситуации. Игроки– конфликтующие стороны (участники игры). Игры с природой – это игра, в которой неопределённость вызвана не сознательным противодействием противника, а достаточной осведомлённостью об условиях. Конфликт – столкновение противоположных интересов.  Личные – игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действий (пример – любой ход в шахматах).

4 Максимин – наибольший из всех минимальных элементов строк платежной матрицы. Выбор игроком строки матрицы с максиминным элементом, т.е. выбор соответствующей стратегии, означает, что он решил довольствоваться гарантированным (хотя и не самым большим) выигрышем. Матрица рисков (сожалений) – это риск реализации вариантов стратегии для каждой альтернативы развития событий (характеризует риск выбора определенного варианта стратегии), который будет зависеть от уровня риска варианта стратегии при наступлении различных сценариев. Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой выигрыш первого игрока (или проигрыш второго) задаётся в виде матрицы. Минимакс – наименьший из всех максимальных элементов строк платежной матрицы. Критерий минимакса в игре двух лиц с нулевой суммой симметричен критерию максимина и также означает осторожный подход игрока, выбирающего решение, которое гарантирует ему минимальный уровень максимально возможного (для каждой стратегии противника) проигрыша.

Неопределенность – это когда противник не имеет противоположных интересов, но выигрыш действующего игрока во многом зависит от неизвестного заранее состояния противника. Нетранзитивность – возникает, если некоторая стратегия может давать меньшие выигрыши, чем другая, в зависимости от поведения остальных участников. Нижняя цена игры — это гарантированный выигрыш первого игрока А при любой стратегии игрока В. Оптимальная стратегия – стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш). При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что 5 Стратегия игрока – совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Строки матрицы – соответствуют стратегиям игрока 1. Теория игр – изучает математические модели принятия решений в конфликтных ситуациях. Ход – выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление.

Ходы бывают: Цена игры – общее значение выигрыша одного игрока и проигрыша другого в «седловой точке». Чистая стратегия – даёт полную определённость, каким образом игрок продолжит игру. В частности, она определяет результат для каждого возможного выбора, который игроку может придётся сделать. Пространством стратегий называют множество всех чистых стратегий, доступных данному игроку. 7 2.Классификация теории игр 2.1.Схема классификации теории игр В зависимости от видов ходов игры Азартные Стратегические В зависимости от числа игроков Парные Множественные По характеру взаимоотношений игроков По количеству стратегий каждого игрока По количеству информации у игроков бескоалиционные коалиционные кооперативные Конечные Бесконечные С полной информацией С неполной информацией По виду описания игры позиционные в нормальной форме дифференциальные рефлексивные По характеру выигрыша игрока С нулевой суммой С ненулевой суммой Матричные Биматричные По характеру выигрыша Игры с нулевой суммой антагонисти ческие Чистые Игры с ненулевой суммой Матричные Биматричные Смешанные 8 Чистые Смешанные информацией.

Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т.п. 6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями. Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника. 7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму n выигрышей Ki, (i = 1, … n) всех n игроков ∑Ki , то говорят об игре с i=1 нулевой суммой. В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой. Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а, следовательно, цели этих игроков прямо противоположны.

Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответствует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец — номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока). 10 Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока/ 3. Методы преобразования (упрощения) платёжной матрицы 3.1Доминирование стратегий Если i-я строка поэлементно не меньше (≥) j-й строки, то говорят, что i-я строка доминирует над j-й строкой. Поэтому игрок A не использует j-ю стратегию, так как его выигрыш при i-й стратегии не меньше, чем при j-й стратегии, вне зависимости от того, как играет игрок B. Если i-й столбец поэлементно не меньше (≥) j-го столбца, то говорят, что j-й столбец доминирует над i-м столбцом.

Поэтому игрок B не использует i-ю стратегию, так как его проигрыш (равный выигрышу игрока A) при j-й стратегии не больше (≤), чем при i-й стратегии, вне зависимости от того, как играет игрок A. Стратегии, над которыми доминируют другие стратегии, надо отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется. Зато размер матрицы игры понизится. Задание 3.1 Дана платёжная матрица игры с размерностью 9×4: 123 105 223 580 250 298 326 140 222 312 302 408 570 253 289 169 139 120 213 128 444 600 220 240 190 820 903 115 142 321 357 138 533 281 606 772 Необходимо: упростить платёжную матрицу игры . Решение: 11 9×4 4. Стратегия A4 доминирует над стратегией A5 . Поэтому отбросим 5ую строку матрицы. Вероятность p5 = 0. 580 298 326 140 222 570 289 169 139 120 600 240 190 820 903 357 533 281 606 772 5×4 5. Стратегия A4 доминирует над стратегией A7.Поэтому отбросим 7-ую строку матрицы. Вероятность p7 = 0. 580 298 140 222 570 289 139 120 600 240 820 903 357 533 606 772 4×4 6.

Стратегия B2 доминирует над стратегией B1. Поэтому отбросим 1-й столбец матрицы. Вероятность q1 = 0. 570 289 139 120 600 240 820 903 357 533 606 772 4×3 P= (0, 0, 0, p4, 0, p6, 0, p8, p9). Q= (0, q2, q3, q4). Дальнейшее упрощение невозможно. Мы свели игру 9 x 4 к игре 4 x 3. 13 3.2 Аффинное преобразование Аффинное преобразование (преобразование подобия и сдвига) платежной матрицы, т.е. преобразование всех элементов матрицы A вида: a’ij = k*aij+b, где k ≠ 0 и b – любая константа, не изменяет решение игры. Кроме того, цена преобразованной игры V’ может быть получена из цены первоначальной игры V по тому же правилу: V’ = kV + b Это означает, что для задания игры в принципе безразлично, в каких единицах измеряется выигрыш. Задание 3.2 Дана платёжная матрица игры с размерностью 9×4: 9×4 -300 Необходимо: матрицу игры путём преобразования. А= Решение: 1. Умножим каждый матрицы A на k = получим: 500 -109 410 360 -245 186 -268 -290 -3 5 -1,09 4,1 А’= 3,6 -2,45 1,86 -2,68 -2,9 -100 190 376 500 -180 200 370 540 230 101 -400 105 214 210 587 -150 165 -220 208 -350 -209 321 600 322 244 -230 -375 -1 1,9 3,76 5 -1,8 2 3,7 5,4 2,3 1,01 -4 1,05 2,14 2,1 5,87 -1,5 1,65 -2,2 2,08 -3,5 -2,09 3,21 6 3,22 2,44 -2,3 -3,75 упростить аффинного из элементов 0.01, 9×4 2. К каждому элементу матрицы A’ прибавим b = 4, получим матрицу: А”= 9 2,91 8,1 7,6 1,55 5,86 1,32 1,1 5,9 7,76 9 2,2 614 7,7 9,4 6,3 0 5,05 6,14 6,1 9,87 2,5 5,65 1,8 0,5 1,91 7,21 10 7,22 6,44 1,7 0,25 Найти: найти минимакс и максимин, найти седловую точку и цену игры заданной матрицы игры, указать множество всех чистых максиминных и минимаксных стратегий игроков 1 и 2. Решение: -300 214 -209 100 -180 -245 -150 -268 -375 – гарантированный выигрыш первого игрока Гарантированный выигрыш будет нижняя цена игры α = max(ai) = 214 – максимально чистая стратегия A2. 214 590 587 600 – максимальный проигрыш второго игрока Верхняя цена игры β = min(bj) = 214. Это свидетельствует о седловой точки и цены игры, равной 214. 4.2.Критерии решения игр с природой Задание 4.2 Дано: платёжная матрица с размерностью 5×5 А= 9 3 |11 18 2 7 8 14 15 1 4 10 −9 3 7 2 6 4 12 −5 1 5 −2 | 8 6 Необходимо: решить матрицу путём максиминного критерия Вальда, критерия Гурвица, критерия Сэвиджа, Критерия Лапласа, Минимаксным критерием. Решение: 16 1.Максиминный критерий Вальда. Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. В каждой строке матрицы эффективности находится минимальная из оценок систем по различным состояниям обстановки K(Ai ) min kij , i = 1,…..,m. 9 3 ‖e ij‖=|11 18 2 7 4 2 8 10 6 14 −9 4 15 3 12 1 7 −5 1 5 −2| 8 6 Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности: Kопт = max K(Ai),i=1,…,m Вычисляем: К(А1 ) = 1, К(А2 ) = 3, К(А3 ) = -2, К(А4 ) = 3, К(А5 ) = -5 . Лучшая стратегия по этому критерию А2= A4=3. 2.Критерий Сэвиджа. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Сэвиджа Zs Z S =min e ij =min max max eij −e ij i i [ ( j i )] e ij=max aij j aij =max e ij−eij i 9 3 ‖e ij‖=|11 18 2 7 4 2 8 10 6 14 −9 4 15 3 12 1 7 −5 1 5 −2| 8 6 а.) Из столбца выбирается элемент с максимальным значением (max), далее из него вычитается первый элемент столбца, потом второй, потом третий, потом четвёртый и пятый. б.) То же самое проделывается с каждым столбцом исходной матрицы. 17 e1r=9*0.3+1*0.7=3,4 e2r=10*0.3+3*0.7=5,1 e3r=14*0.3+(-9)*0.7=-2,1 e4r=18*0.3+3*0.7=7,5 e5r=7*0,3+(-5)*0,7=-1,4 ответ: мах E0 ={ E 4 }=7,5 б) Возьмем c=0 . 8 , тогда ( 1−c )=1−0 . 8=0 . 2 – это степень доверия к позиции критерия азартного игрока ZAG max e ir =max max e ij i i ( j ) Максимальный (min) элемент строки умножается на 0.8 а минимальный элемент строки умножается на 0.2 и складываем. e1r=9*0.8+1*0.2=7,4 e2r=10*0.8+3*0.2=8,6 e3r=14*0.8+(-9)*0.2=9,4 e4r=18*0.8+3*0.2=15 e5r=7*0,8+(-5)*0,2=4,6 ответ: мах E0 ={ E 4 }=15 4. Критерий Лапласа Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Байеса-Лапласа ZBL при равновесных состояниях. Z BL=max eir i n e ir =∑ e ij q j i=1 n Z BL=max ∑ e ij q j i j=1 19

Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft Excel

Библиографическое описание:

Захарова, Т. Н. Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft Excel / Т. Н. Захарова. — Текст : непосредственный // Актуальные задачи педагогики : материалы I Междунар. науч. конф. (г. Чита, декабрь 2011 г.). — Чита : Издательство Молодой ученый, 2011. — С. 176-181. — URL: https://moluch.ru/conf/ped/archive/20/1343/ (дата обращения: 25.07.2021).

Рассмотрим общий случай игровой задачи m x n с нулевой суммой, когда модель задачи не имеет седловой точки. Такую модель можно представить в виде матрицы (табл.1):

Таблица 1. Общая таблица стратегий

Стратегии	В₁	В₂	…	В_n
A₁	a₁₁	a₁₂		a_1n
A₂	a₂₁	a₂₂		a_2n
….
A_m	a_m1	a_m2		a_mn

Оптимальное решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Обозначим вероятности применения стратегий первого игрока (игрока А) через , а цену игры — через v. Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия

Пусть

Поскольку при оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше v при любой стратегии противника, то справедлива система n неравенств:

Или

(1)

Тогда задача отыскания оптимальной смешанной стратегии игрока А может быть сформулирована в виде задачи линейного программирования.

Для этого необходимо максимизировать целевую функцию F =v при ограничениях

(2)

Введем новые неизвестные:

Поскольку

Разделим левую и правую части неравенств (1) и (2) на v, получим:

(3)

В силу того что

max v = min 1/v = min{x₁+x₂+…+x_m}.

задача принимает вид

F= x₁+x₂+…+x_m → min (4)

при ограничениях

(5)

Для второго игрока (игрока В) оптимальная стратегия определяется из условия:

при условии

q₁+q₂+…+q_n = 1

Эта задача записывается как симметричная двойственная задача линейного программирования к задаче игрока A (4), (5):

L= y₁ +y₂+… +y_n → max (6)

при ограничениях

(7)

Задачи игроков A и В решают симплекс-методом.

Использование возможностей Microsoft Excel позволяет существенно облегчить и ускорить решение этой задачи.

Сначала нужно создать исходную таблицу:

Затем, на основе этой таблицы записать формулы для нахождения решения:

Для нахождения решения используется надстройка Поиск решения. Нужно выделить ячейку, в которой вычисляется значение функции F и вызвать надстройку Поиск решения. Заполнить окно поиска решения:

В поле Ограничения нужно задать формулы для всех ограничений. Затем нажать кнопку Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Чтобы найти значения вероятностей и цену игры нужно записать формулы:

Решение задачи для игрока В выполняется по аналогичной схеме согласно формулам (6), (7).

Рассмотрим пример решения задачи. Найдем решение игры, заданной матрицей .

Проверим наличие седловой точки.

В режиме отображения формул эта запись имеет вид:

Поскольку нижняя цена игры (минимальный выигрыш игрока А) и верхняя цена игры (максимальный проигрыш игрока В) не равны, то модель данной задачи не имеет седловой точки. Поэтому решение следует искать в смешанных стратегиях. Составим задачи линейного программирования для нахождения решений игроков А (согласно формулам (4), (5)) и В(согласно формулам (6), (7)):

для игрока А и для игрока В.

Для решения этих систем используем надстройку «Поиск решения». Сначала оформим задачу для поиска решения игрока А:

В режиме отображения формул:

Затем нужно активировать ячейку В7 и запустить надстройку Поиск решения. Далее заполнить окно Поиска решения:

Затем нажать кнопку Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Получим результат:

Вероятности применения смешанных стратегий и цену игры найдем по формулам: p_i=x_i/F, v=1/F.

В режиме отображения формул:

Аналогично найдем решение для игрока В:

В режиме отображения формул:

Литература:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М. «Высшая школа», 1993г.

2. Агальцов В.П., Волдайская И.В. Математические методы в программировании М. ИД «Форум» - ИНФРА-М, 2006г.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем М. «Финансы и статистика», 2003г.

4. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы М. ИД «Форум» – ИНФРА-М, 2007г.

Основные термины (генерируются автоматически): игрок А, Поиск решения, режим отображения формул, игрок В, линейное программирование, цена игры, кнопка ОК, Линейная модель, оптимальная смешанная стратегия, оптимальная стратегия.

Решение игровых задач. Заказать решение задач по Теории игр

Спасибо за скорость и качество!

Понравилось обслуживание в личном кабинете на сайте. Все очень быстро, чётко. Отвечали оперативно на все мои вопросы и быстро подготовили решение. Мне нужно было не срочно получить задачки, до конца сессии просто сдать. Но получилось так, что я принесла все листики уже через пару дней!)