Открытое образование – Дифференциальные уравнения
Select the required university:
———
Закрыть
Log in and enroll
В курсе излагаются методы решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры их приложений при моделировании физических и других процессов. Рассматриваются также элементы теории устойчивости. Курс в основном ориентирован на студентов технических специальностей.
- About
- Format
- Information resources
- Requirements
- Course program
- Education results
- Formed competencies
- Education directions
About
Курс посвящён изучению методов решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем линейных дифференциальных уравнений. Цель курса – научить слушателей некоторым способам аналитического нахождения решений и дать представление о том, каким образом дифференциальные уравнения могут применяться на практике.
В состав курса входят видеолекции, а также наборы заданий для самостоятельного решения. В результате прохождения курса обучающийся получит базовые навыки работы с дифференциальными уравнениями, которые он сможет применить в прикладных областях знания.
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения окружающего мира. Повсеместное применение дифференциальных уравнений в науке и технике при моделировании различного рода явлений делает их изучение необходимой частью образования будущего инженера.
Format
В состав курса входят видеолекции, электронный конспект, задачи для самостоятельного решения, электронное тестирование.
Продолжительность курса – 10 недель, средняя нагрузка составляет 7,2 часа в неделю. Общая трудоёмкость – 2 зачётные единицы.
- Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения – СПб: Специальная Литература, 1996.
- Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений – М.: КомКнига, 2007. – 240 с.
- Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» – 2000 – 176 с.
- Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко, Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями – М.: Едиториал УРСС, – 2002 – 256 с.
- Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Рябова А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения – СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 104 с. http://books.ifmo.ru/book/1315/obyknovennye_differencialnye_uravneniya.htm
- Б.П. Демидович, В.П. Моденов Дифференциальные уравнения — СПб: Лань, 2019. — 280 с. https://e.lanbook.com/book/115196
Requirements
Для успешного освоения курса необходимо иметь математическую подготовку в объеме программы первого курса технического вуза. В частности, необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением функций одной переменной, а также основными приёмами линейной алгебры.
Дополнительный инструментарий не требуется.
Course program
В курсе рассматриваются следующие темы:
- Введение
- Уравнения первого порядка. Основные понятия
- Элементарные методы нахождения решений
- Линейные уравнения высшего порядка. Общий случай
- Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- Системы дифференциальных уравнений
- Линейные системы с постоянными коэффициентами
- Теория устойчивости
Каждая тема предполагает изучение в течение одной недели.
Education results
- Способность находить общие и частные решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений (РО-1)
- Способность решать системы линейных дифференциальных уравнений (РО-2)
Formed competencies
- Способен применять математические, естественнонаучные и общепрофессиональные знания для понимания окружающего мира и для решения задач профессиональной деятельности (ОПК-1)
- Способен формулировать, строить и применять математические модели для управления достижением планируемых результатов процессов и объектов профессиональной деятельности на базе знаний математики, программирования и унифицированных пакетов программ (ОПК-3)
Education directions
09. 03.01 Информатика и вычислительная техника
10.03.01 Информационная безопасность
11.03.03 Конструирование и технология электронных средств
12.03.01 Приборостроение
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств
15.03.06 Мехатроника и робототехника
24.03.02 Системы управления движением и навигация
27.03.04 Управление в технических системах
44.03.04 Профессиональное обучение (по отраслям)
Университет ИТМО
Бабушкин Максим Владимирович
Кандидат физико-математических наук
Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО
Тертычный Владимир Юрьевич
Доктор физико-математических наук, профессор
Position: старший преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО
Танченко Юлия Валерьевна
Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО
Certificate
По данному курсу возможно получение сертификата.
Similar courses
Защита информации
НИУ ВШЭ
15 February 2021 – 31 December 2023 г.
Строение вещества: от атомов и молекул до материалов и наночастиц
СПбГУ
15 February 2021 – 31 December 2022 г.
Современные финансовые технологии
СПбГУ
К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.
Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.
Google Chrome
Mozilla Firefox
Apple Safari
Тесты по теме “Решение уравнений” онлайн
-
Подготовка к ВПР по математике 7 класс (задание №9 – решение уравнений)
13. 12.2020 449 0
Данный тест по теме «Решение линейных уравнений» в 7 классе, предназначен для отработки полученных знаний, подготовке к ВПР
-
Решение задач на составление уравнения.
13.10.2018 5085
Тест для обучающихся 6-7 классов. Предназначен для проверки знаний, умений, навыков по теме “Решение задач на составление уравнения”.
-
Решение простейших тригонометрических уравнений
06.11.2019
Решить простейшие тригонометрические уравнения, используя справочный материал
-
тест по теме: Решение уравнений – МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС
05. 04.2020 8248
тест по теме: Решение уравнений – МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС Для того чтобы выполнить данный тест, вам необходимо ознакомиться с учебным материалом, который представлен здесь, либо открыть учебник на стр. 239-241 и прочитать параграф 41.
-
Решение линейных уравнений (со скобками)
03.12.2020 2243 0
В тест включены задания на решение линейных уравнений, в записи которых есть скобка. В тест случайным образом выбираются 5 уравнений из общей базы заданий. Сколько уравнений верно решите, такая и будет оценка. Время выполнения не ограничено.
-
Уравнения. Математика 5 класс.
27. 11.2019 16500
тест предназначен для контроля знаний по теме “Решение уравнений” в 5 классе
-
Решение уравнений
24.11.2017 680
Тест по математике для учащихся 7 классов по теме: Преобразования и решение уравнений с использованием тестовых заданий открытого типа (выбор из вариантов), и закрытого типа – ввода численных ответов.
-
Линейное уравнение с двумя переменными
27.04.2020 581 0
Тест по теме “Линейное уравнение с двумя переменными. Корни линейного уравнения с двумя переменными”
-
Алгебра 7 класс решите уравнение
13. 04.2018 1151 0
Данный тест предназначен для контроля знаний по алгебре учащихся 7 классов по теме” УРАВНЕНИЕ”
-
Решение уравнений 6 класс
12.04.2020 723 0
Данный тест предназначен для закрепления материала по теме “Решение уравнений”. Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!!
-
Решение уравнений в 7-9 классах
18.01.2020 366 0
Тест предназначен для проверки знаний учащихся 7-9 классов по решению уравнений.
-
Применение формул сокращённого умножения
29. 03.2021 182 0
Тест предназначен для учащихся средней школы для проверки уровня знаний по темам “Квадрат двучлена. Разность квадратов двух выражений”.
-
Самостоятельная работа по теме “Уравнения”. 6 класс
15.02.2016 43 0
Самостоятельная работа представляет собой тест и посвящена решению уравнений. На прохождение теста отводится 1 час 30 минут.
-
Иррациональные уравнения-2
11.04.2020 262 0
тест предназначен для проверки, полученных знаний по теме “Иррациональные уравнения”
-
Решение уравнений
13. 04.2020 122 0
Тест по теме “Решение уравнений” предназначен для учащихся 6 класса
-
Решение уравнений и решение задач с помощью уравнений
19.04.2020 657 0
тест математика 6 класс по теме решение уравнений и задач с помощью уравнений
-
Контрольная работа “Действия с десятичными дробями” 5 класс
19.04.2020 590
Контрольная работа “Действия с десятичными дробями” для 5 класса состоит из прмеров на все действи с десятичными дробями, уравнения, задач на действия с десятичными дробями.
-
Контрольная работа по теме “Решение уравнений” 6 или 7 класс
20.04.2020 322 0
Данный тест предназначен для закрепления материала по теме “Решение уравнений”. Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!!
-
Деление на десятичную дробь. Уравнения.
21.04.2020 583 0
Тест предназначен для контроля знаний по теме “Деление десятичных дробей. Решение уравнений” в 5 классе. За каждое правильно выполненное задвание выставляется 1 балл. Количество попыток ограничено.
-
Простейшие тригонометрические уравнения
25. 04.2020 238 0
Тест включает в себя следующие вопросы: 1) нахождение значений аркфункций 2) решение уравнений вида sinx=a 3) решение уравнений вида cosx=a 4) решение уравнений вида tg x=a В тесте 77 вопросов, из которых в случайном порядке для решения выбирается 20.
-
Итоговая контрольная работа, 6 класс
14.05.2020 68
В тесте проверяются темы ” Уравнение. Свойства умножжения. Координатная плоскость”
-
Решение уравнений и решение задач с помощью уравнений
18.05.2020 375 0
Контрольный тест по математике 6 класс по теме “Решение уравнений и задач с помощью уравнений” (Мерзляк и др)
-
Тест по теме “Решение уравнений”
14. 06.2020 142 0
Тест предназначен для проверки знаний по теме “Решение уранвений” на уроке математике в 6 классе
-
Экзамен по математике 1 курс 2 семестр вариант 1 группа 511
22.06.2020 238 0
Количество вопросов в тесте: 12. Количество вопросов в тесте: 12. Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Введите в поле ответа полученный результат и только после этого приступайте к выполнению следующего задания. В тесте 12 вопросов с кратким ответом. Тест предназначен для студентов среднеспециальных учебных заведений, обучающихся по специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям.
-
Экзамен по математике 1 курс 2 семестр вариант 2 группа 511
22. 06.2020 39 0
Количество вопросов в тесте: 12 Количество вопросов в тесте: 12. Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Введите в поле ответа полученный результат и только после этого приступайте к выполнению следующего задания. В тесте 12 вопросов с кратким ответом. Тест предназначен для студентов среднеспециальных учебных заведений, обучающихся по специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям.
-
Экзамен по математике 2 курс 4 семестр вариант 2 1121
25.06.2020 25
Количество вопросов в тесте: 12. Количество вопросов в тесте: 12 Количество вопросов в тесте: 12. Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Введите в поле ответа полученный результат и только после этого приступайте к выполнению следующего задания. В тесте 12 вопросов с кратким ответом. Тест предназначен для студентов среднеспециальных учебных заведений, обучающихся по специальности 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения.
-
Экзамен по математике 2 курс 4 семестр вариант 1 группа 1121
25.06.2020 22 0
Количество вопросов в тесте: 12 Количество вопросов в тесте: 12. Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Введите в поле ответа полученный результат и только после этого приступайте к выполнению следующего задания. В тесте 12 вопросов с кратким ответом. Тест предназначен для студентов среднеспециальных учебных заведений, обучающихся по специальности 09. 01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения.
-
Экзамен по математике 1 курс 2 семестр вариант 1 группа 1211
26.06.2020 28 0
Количество вопросов в тесте: 12. Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Введите в поле ответа полученный результат и только после этого приступайте к выполнению следующего задания. В тесте 12 вопросов с кратким ответом. Тест предназначен для студентов среднеспециальных учебных заведений, обучающихся по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование.
-
Экзамен по математике 1 курс 2 семестр вариант 2 группа 1211
26. 06.2020 17 0
Количество вопросов в тесте: 12. Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Введите в поле ответа полученный результат и только после этого приступайте к выполнению следующего задания. В тесте 12 вопросов с кратким ответом. Тест предназначен для студентов среднеспециальных учебных заведений, обучающихся по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование.
-
Обобщение темы Тригонометрические функции
28.09.2020 282
ваши результаты я увижу и выствлю баллы. Незабываем подписать ФИ группа когда завершите тест
-
Итоговый тест по теме Таблица умножения и деления с числами 6-8
18. 11.2020 48 0
Закрепление знаний по таблице умножения и деления с числами 7-8
-
Уравнения. Решение уравнений
01.12.2020 11 0
Проверим на сколько хорошо ты знаешь компоненты в уравнении? .
-
Тест по теме: “Решение вычислительных задач на компьютере”
17.03.2021 37 0
Тест содержит 10 обязательных вопросов теоретического характера и 1 практический вопрос, который является необязательным для выполнения, оценка за него выставляется дополнительная. Максимальное количество баллов -15 (100%) Оценка за тест выставляется системой автоматически, в соответствии со следующей таблицей: Процент выполнения задания Отметка 95% и более «5» 75% – 94% «4» 50% – 74% «3» Менее 50% «2»
-
Показательные уравнения
23. 03.2021 56 0
Тест по теме “Показательные уравнения”. Проверяем навыки решения простейших показательных уравнений.
-
Сложение смешаных чисел
01.11.2021 27 0
Тест по теме “Сложение и вычитание смешаных чисел”. Здесь вы проверите свои знания по данной теме. После прохождения теста вы узнаете свою отметку за урок. Желаю удачи!
-
Вычислить без программ и калькулятора
12.01.2022 9 0
Тест предназначен для учеников 9-11 классов для проверки умения нестандартных вычислений. Тест требует следующих знаний и умений: 1) введение новой(-ых) переменной (-ых) 2) разложения многочлена на множители 3) свойств квадратичного трехчлена 4) нахождение целых корней многочлена Дан пример решения вначале каждого вопроса
-
Вычислить без программ и калькулятора Часть 2
16.01.2022 19 0
Тест предназначен для учеников 9-11 классов для проверки умения нестандартных вычислений. Тест требует следующих знаний и умений: 1) введение новой(-ых) переменной (-ых) 2) разложения многочлена на множители 3) свойств квадратичного трехчлена 4) нахождение целых корней многочлена Дан пример решения вначале каждого вопроса
-
Теорема Виета
29. 03.2022 12 0
Тема “Теема Виета”. Тест предназначен для первичной проверки усвоения материала по теме. Проверяет минимальный уровень. Состоит из пяти вопросов с выбором ответа. В последнем задании предполагается выбор нескольких вариантов ответа. Может быть использован на первом уроке по теме (уроке открытия нового знания) как самостоятельная работа.
-
Уравнение и его корни.
11.05.2022 48 0
Тест предназначен для учащихся 6 класса средней школы для проверки уровня знаний по теме “Уравнение и его корни.” В нём содержатся задания с одиночным или множественным выбором ответа из числа предложенныхна и с вводом числа.Чтобы успешно справиться с тестом нужно знать правила решения уравнений и уметь использовать равносильные преобразования. Будьте внимательны!
Метод вариации постоянной онлайн калькулятор. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом лагранжа. Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной
Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z “(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )
состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении
z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )
соответствующего однородного уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + . .. + a 1 (t )z “(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0
на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если – первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
состоит в построении частного решения (1) в виде
где Z (t ) – базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .
Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:
1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.
2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).
3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).
Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).
y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:
2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда
Полученные выражения подставляем в условие (I):
Интегрируем обе части уравнения:
здесь С — уже некоторая новая константа.
3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Ответ: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.
1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:
Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:
Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.
2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии
Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:
Умножим обе части уравнения на
Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:
Здесь С уже не функция, а обычная константа.
3) В общее решение однородного уравнения
подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .
y’x+y=-xy².
Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:
Подставляем полученные выражения в условие (II):
Упрощаем:
Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:
Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.
3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.
Примеры для самопроверки:
1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.
1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:
Отсюда находим y:
Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C”(x)):
Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:
Теперь подставляем u, du и v в формулу:
Здесь С =const.
3) Теперь подставляем в решение однородного
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n – фундаментальная система решений, а – общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной – восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C” j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C” j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Пример №1
. Найдём общее решение уравнения y”” + 4y” + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y”” + 4y” + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e – x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e – x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C” 1 , C” 2 составляем систему уравнений (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим
Пример №2
. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 – 4·1·8 = 4
Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C” i составляем систему уравнений:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C” 1 из первого уравнения:
C” 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C” 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C” 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C” i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) – e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Поскольку y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) – e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) – e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) – e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) – e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) – 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) – 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) – 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) – e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x
Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.
В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?
1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.
2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).
Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.
Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка
Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)
Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.
Пример 1
(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .
На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении проведём замену:
Подставим и в уравнение :
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ: общее решение:
Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.
Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Приведем уравнение к виду :
Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
Общее решение вспомогательного уравнения:
В неоднородном уравнении проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и в исходное неоднородное уравнение :
Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:
Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:
Теперь вспоминаем проведённую замену:
Ответ: общее решение:
И один пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Выполним подстановку:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.
Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.
Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.
Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.
Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Где – пока ещё неизвестные функции.
Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.
В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.
Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:
Найдем производные:
С левыми частями разобрались. Что справа?
– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:
Коэффициент – это коэффициент при второй производной:
На практике почти всегда , и наш пример не исключение.
Всё прояснилось, теперь можно составить систему:
Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.
Найдем главный определитель системы:
Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)
Итак: , значит, система имеет единственное решение.
Находим производную:
Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:
Разбираемся со второй функцией:
Здесь добавляем «нормальную» константу
На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:
Нужные функции только что найдены!
Осталось выполнить подстановку и записать ответ:
Ответ: общее решение:
В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.
Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных
Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.
Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.
Рассмотрим два примера с задачей Коши .
Пример 6
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
,
Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.
Составим систему:
В данном случае:
,
Находим производные:
,
Таким образом:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Восстанавливаем функцию интегрированием:
Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .
Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:
Такой интеграл решается методом замены переменной :
Из самой замены выражаем:
Таким образом:
Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :
Обе функции найдены:
В результате, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .
Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:
Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :
Подставим найденные значения констант в общее решение:
В ответе логарифмы можно немного запаковать.
Ответ: частное решение:
Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!
Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Решить задачу Коши
,
Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),
В результате общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .
Подставим найденные значения констант в общее решение:
Ответ: частное решение:
Калькулятор дифференциальных уравнений с начальным условием
Калькулятор дифференциальных уравнений
Решить для abcdfghjklmnpqrstuvtwxyz ( abcdfghjklmnpqrstuvtwxyz )
Введите дифференциальное уравнение:
y”+4y’+cos(x)=0
Исходное состояние
|
п р О С Е С С я Н грамм
Дифференциальное уравнение:
Решение:
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений, который мы рады предоставить вам, является очень полезным инструментом, когда дело доходит до изучения и решения дифференциальных уравнений.
Его интуитивно понятный интерфейс означает, что вы можете использовать его с первого момента, не тратя время на чтение инструкции по применению. Но чтобы у вас не было сомнений в том, как пользоваться калькулятором дифференциальных уравнений, ниже мы пошагово объясним, как им пользоваться. В свою очередь, после введения мы покажем вам краткое введение в наиболее важные теоретические концепции в мире обыкновенных дифференциальных уравнений.
Содержание
- 1 Калькулятор дифференциальных уравнений
- 2 Инструкции по использованию калькулятора дифференциальных уравнений
- 3 Что такое дифференциальные уравнения?
- 4 Что такое порядок дифференциального уравнения?
- 5 Степень дифференциального уравнения
Инструкция по использованию калькулятора дифференциальных уравнений
- Первым шагом в использовании калькулятора является указание переменных, определяющих функцию, которая будет получена после решения дифференциального уравнения. Для этого будут использоваться два поля в верхней части калькулятора. Например, если вы хотите решить дифференциальное уравнение второго порядка y”+4y’+ycos(x)=0, вы должны выбрать переменные y , x, как показано на следующем рисунке:
- На втором этапе вводится решаемое дифференциальное уравнение. Для этого вы должны написать выражение в основное поле калькулятора, используя клавиатуру самого калькулятора или вашего устройства. Обратите внимание, что вы должны использовать одинарные кавычки и’ для обозначения первой производной, две одинарные кавычки для обозначения второй производной и т. д.
- Если требуется решить дифференциальное уравнение из определенных начальных условий, необходимо нажать синяя кнопка под клавиатурой. При этом будет отображаться поле с теми, которые необходимы для ввода начальных условий. Важно отметить, что вы можете вводить их прямо в основное поле, отделяя каждое условие запятой, например: y”+4y’+ycos(x)=0, y(1)=2.
- Наконец, вам просто нужно нажать кнопку «Рассчитать», и автоматически появится окно с решением, как показано ниже:
Что такое дифференциальные уравнения?
Дифференциальные уравнения — это математические уравнения, которые описывают, как величина изменяется в зависимости от одной или нескольких (независимых) переменных, часто во времени или пространстве. Мы также можем определить дифференциальное уравнение как уравнение, состоящее из функции и ее производных.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, записанное в форме y’ = ………. Некоторые дифференциальные уравнения можно решить, просто выполнив интегрирование, в то время как другие требуют гораздо более сложных математических процессов.
Что такое порядок дифференциального уравнения?
Порядок дифференциального уравнения определяется производной старшего порядка. Чем выше порядок дифференциального уравнения, тем больше произвольных констант необходимо добавить к общему решению. Уравнение первого порядка будет состоять из одного, уравнения второго порядка — из двух и так далее. Конкретное решение можно найти, присвоив значения произвольным константам, чтобы они соответствовали любому заданному ограничению.
Степень дифференциального уравнения
Степень дифференциального уравнения определяется наибольшей степенью одной из его переменных.
Калькулятор уравнения в частных производных
|
Система линейных уравнений 2×2 – онлайн-решатель
Алгебра Решатели
инструкции : Этот инструмент находит решения для системы двух одновременных линейных уравнений с двумя переменными. Для решения уравнения используется метод Крамера. Пожалуйста, заполните форму ниже с параметрами для обоих линейных уравнений:
Введите 1-е линейное уравнение (пример 2x + 3y = 4)
Введите второе линейное уравнение (пример x – 3y = 2)
Этот калькулятор позволяет одновременно решать два линейных уравнения с двумя переменными, которые часто называют «системами два на два». Такие системы 2×2 очень часто используются в алгебре, потому что они часто появляются во всех видах приложений, например, когда вы попробуйте решить текстовые задачи.
Обычно переменные, используемые в линейной системе два на два, по умолчанию называются \(x\) и \(y\), но это всего лишь соглашение, поскольку они могут быть \(u\) и \(v\), если хотите
Итак, это система два на два:
\[х + 2у = 4\] \[2х – 2у = 2\]
так же, как этот
\[2u – 2v = 1\] \[и – 3v = 2\]
— это система «два на два». Важно то, что у нас есть два линейных уравнения с двумя переменными (неизвестными)
Методы решения линейной системы 2×2
К счастью, есть много способов, которые вы можете использовать для решения системы два на два, и у вас есть преимущество чтобы выбрать, какой метод использовать. Наиболее часто используемые методы:
- Графика
- Замена
- Ликвидация
Графический метод основан, что неудивительно, на графическом изображении двух уравнений и попытке визуально определить, где пересекаются эти две линии (если они пересекаются вообще). Этот метод, естественно, ограничивается приближениями в большинстве случаев
Метод подстановки основан на идее, что можно найти одну переменную в одном из уравнений, а затем подставить ее в другое уравнение, чтобы решить для другой переменной. Часто это удобно, потому что структура одного из уравнений может сделать его прямым для одной переменной. Но это не всегда так, и этот метод во многом ограничивается случаем систем 2х2
Метод исключения основан на идее, что можно манипулировать одним или обоими уравнениями, чтобы просуммировать или вычесть их так, чтобы одна переменная исчезла. В некотором смысле, это более общий способ использования метода подстановки
Как работать с большими системами линейных уравнений?
Три метода, представленные выше, действительно могут быть эффективно использованы только с системами 2×2, так как для более крупных систем системы становятся намного более сложными и может быть даже возможно использовать эти методы
Для систем 3×3 и больших систем лучше всего использовать систематические подходы, такие как использование метода Крамера для общих \(n \times n\) систем или использование Исключение Гаусса, который работает независимо от размера системы и от того, совпадает ли количество переменных с количеством уравнений.
Алгебра Калькулятор Калькулятор алгебры онлайн Алгебра Решатель Система уравнений 2×2 Калькулятор системы линейных уравнений 2×2
Научное машинное обучение (SciML) с поддержкой моделирования и оценки · DifferentialEquations.jl
Это пакет для численного решения дифференциальных уравнений, написанный на Julia и доступный для использования в Julia, Python и R. Целью этого пакета является предоставление эффективных Джулия реализации решателей для различных дифференциальных уравнений. Уравнения в области этого пакета включают:
- Дискретные уравнения (функциональные карты, дискретное стохастическое (Гиллеспи/Марков) моделирование)
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
- Разделенные ОДУ (симплектические интеграторы, методы IMEX)
- Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения (СОДУ или СДУ)
- Стохастические дифференциально-алгебраические уравнения (СДУУ)
- Случайные дифференциальные уравнения (РОДУ или РОДУ) RDE)
- Дифференциальные алгебраические уравнения (DAE)
- Дифференциальные уравнения с запаздыванием (DDE)
- Нейтральные, запаздывающие и алгебраические дифференциальные уравнения с запаздыванием (NDDE, RDDE и DDAE)
- Стохастические дифференциальные уравнения с запаздыванием (SDDEs)
- Экспериментальная поддержка стохастических нейтральных, запаздывающих и алгебраических дифференциальных уравнений с запаздыванием (SNDDEs, SRDDEs, и SDDAEs)
- Смешанные дискретные и непрерывные уравнения (Hybrid Equations, Jump Diffusions)
- (Stochastic ) уравнения в частных производных ((S)PDE) (как с методом конечных разностей, так и методом конечных элементов)
Хорошо оптимизированные решатели дифференциальных уравнений оцениваются как одни из самых быстрых реализаций, использующих классические алгоритмы и алгоритмы из недавних исследований, которые обычно превосходят «стандартные» методы C/Fortran и включают алгоритмы, оптимизированные для высокоточных приложений и высокопроизводительных вычислений. В то же время он объединяет классические методы C/Fortran, что позволяет легко переключаться на них при необходимости. Решение дифференциальных уравнений с помощью различных методов из разных языков и пакетов можно выполнить, изменив одну строку кода, что позволяет легко провести сравнительный анализ, чтобы убедиться, что вы используете самый быстрый из возможных методов.
DifferentialEquations.jl интегрируется со сферой пакета Julia с помощью:
- ускорения графического процессора через CUDA.jl и DiffEqGPU.jl
- автоматического обнаружения разреженности с помощью SparsityDetection.jl задачи с разреженными или структурированными (Tridiagonal, Banded, BlockBanded и т. д.) якобианами
- Разрешение спецификации линейных решателей для максимальной эффективности
- Интеграция прогресс-метра с Juno IDE для расчетного времени решения
- Автоматическое построение временных рядов и фазовых графиков
- Встроенные интерполяции
- Обертки для распространенных методов C/Fortran, таких как солнечные часы и радо Хайера
- Произвольная точность с BigFloats и Arbfloats
- Произвольные типы массивов, позволяющие определять дифференциальные уравнения на матрицах и распределенных массивах
- Арифметика с проверкой единиц измерения с Unitful
Кроме того, DifferentialEquations. jl поставляется со встроенными функциями анализа, в том числе:
- Прямой и сопряженный анализ чувствительности (автоматическое дифференцирование) для быстрых вычислений градиента
- Оценка параметров и байесовский анализ
- Нейронные дифференциальные уравнения с DiffEqFlux.jl для эффективного научного машинного обучения (научного машинного обучения) и научного искусственного интеллекта.
- Автоматическое распределенное, многопоточное и параллельное моделирование ансамбля графических процессоров
- Глобальный анализ чувствительности
- Количественная оценка неопределенности
Если у вас есть какие-либо вопросы или вы просто хотите поговорить о решателях/использовании пакета, пожалуйста, не стесняйтесь использовать канал Gitter . Для отчетов об ошибках, запросов функций и т. д., пожалуйста, отправьте вопрос. Если вы хотите внести свой вклад, ознакомьтесь с документацией для разработчиков.
Программное обеспечение в этой экосистеме было разработано в рамках научных исследований. Если вы хотите помочь в его поддержке, отметьте репозиторий звездочкой, поскольку такие показатели могут помочь нам обеспечить финансирование в будущем. Если вы используете программное обеспечение SciML как часть своей исследовательской, преподавательской или другой деятельности, мы будем признательны, если вы сможете процитировать нашу работу.
@article{rackauckas2017дифференциальные уравнения, title={Differentialequations.jl — эффективная и многофункциональная экосистема для решения дифференциальных уравнений в julia}, автор={Ракаукас, Кристофер и Ни, Цин}, journal={Журнал открытого исследовательского программного обеспечения}, громкость = {5}, номер={1}, год = {2017}, издатель = {Ubiquity Press} }
необходим для любого использования DifferentialEquations.jl или пакетов, которые поддерживаются как часть его набора (OrdinaryDiffEq.jl, Sundials.jl, DiffEqDevTools.jl и т. д.). Кроме того, многие из решателей используют новые алгоритмы, и если эти алгоритмы используются, мы просим вас указать методы. Пожалуйста, смотрите нашу страницу цитирования для рекомендаций.
Установка из Julia
Чтобы установить пакет, используйте следующую команду внутри REPL Julia:
с помощью Pkg Pkg.add("Дифференциальные уравнения")
Чтобы загрузить пакет, используйте команду:
с использованием дифференциальных уравнений
Это добавит решатели и зависимости для всех видов дифференциальных уравнений (например, ODE или SDE и т. д., см. раздел «Поддерживаемые уравнения» ниже). Если вас интересует только один тип решателей уравнений DifferentialEquations.jl
или вам просто нужна более легкая версия, см. страницу «Использование с низким уровнем зависимостей».
Чтобы получить более подробное представление о пакете, ознакомьтесь со следующими руководствами в этом руководстве. Настоятельно рекомендуется, чтобы новые пользователи начали с учебника ODE . Примеры блокнотов IJulia также можно найти в DiffEqTutorials.jl. Если вы найдете какой-либо пример, в котором, кажется, есть ошибка, пожалуйста, откройте проблему.
Чтобы получать самую свежую информацию об использовании пакета, присоединяйтесь к каналу Gitter.
Использование новейших функций и разработок рекомендуется только для опытных пользователей. Информацию о том, как добраться до переднего края, можно найти в документации для разработчиков.
Установка из Python
Использование DifferentialEquations.jl из языка программирования Python доступно через модуль diffeqpy. Чтобы установить diffeqpy, используйте pip:
pip install diffeqpy
Для использования diffeqpy требуется, чтобы Julia была установлена и указана в пути, а также DifferentialEquations.jl и PyCall.jl. Чтобы установить Julia, загрузите универсальный двоичный файл с сайта JuliaLang и добавьте его в свой путь. Чтобы установить пакеты Julia, необходимые для diffeqpy, откройте интерпретатор Python и выполните:
>>> импорт diffeqpy >>> diffeqpy.install()
и все в порядке! Кроме того, для повышения производительности кода рекомендуется использовать Numba для JIT-компиляции производных функций. Чтобы установить Numba, используйте:
pip install numba
diffeqpy поддерживает большинство DifferentialEquations.jl с очень похожим синтаксисом, см. diffeqpy README для более подробной информации. Важно отметить, что Numba обычно на порядок медленнее, чем Julia, с точки зрения сгенерированного кода решателя дифференциальных уравнений, и поэтому рекомендуется использовать julia.Main.eval
для реализации производной функции на стороне Джулии для максимальной эффективности. См. этот пост в блоге для получения дополнительной информации.
Установка из R
Использование DifferentialEquations.jl из языка программирования R доступно через модуль diffeqr. diffeqr зарегистрирован в CRAN. Таким образом, чтобы добавить пакет, используйте:
install.packages("diffeqr")
Чтобы установить основную ветку пакета (для разработчиков), используйте:
devtools::install_github('SciML/diffeqr', build_vignettes= Т)
Вам понадобится рабочая установка Юлии в вашем пути. Чтобы установить Julia, загрузите универсальный двоичный файл с сайта JuliaLang и добавьте его в свой путь. Загрузка и установка DifferentialEquations.jl произойдет при первом вызове diffeqr::diffeq_setup()
.
В настоящее время использование из R поддерживает подмножество DifferentialEquations.jl, которое задокументировано через CRAN.
Учебники по ноутбукам IJulia
Вы можете получить доступ к дополнительным учебным пособиям из репозитория DiffEqTutorials.jl с помощью команд:
с использованием Pkg pkg"добавить https://github.com/SciML/SciMLTutorials.jl" с помощью SciMLTutorials SciMLTutorials.open_notebooks()
Или вы можете просмотреть веб-страницы визуализированных руководств по ссылкам, найденным в репозитории.
Видеоруководство
Учебное пособие
В следующих учебных пособиях вы познакомитесь с функциями файла DifferentialEquations.jl. Дополнительные примеры можно найти в блокнотах IJulia в папке примеров.
- Обычные дифференциальные уравнения
- Пример 1: Решение скалярных уравнений
- Пример 2: Решающие системы уравнений
- Определяющие параметрируемые функции
- Пример 3: Соответствующие Nonhomogenevationsabations, использующие параметрируемые функции
- Пример 3: Соревнование. уравнений
- Выход за рамки ОДУ: использование документации
- Стохастические дифференциальные уравнения
- Пример 1: Скалярные СДУ
- Пример 2: Системы СДУ с диагональным шумом
- Пример 3: Системы СДУ со скалярным шумом
- Пример 4: Системы СДУ с недиагональным шумом
- Пример 4: Цветной шум
67
- Дифференциальные уравнения с запаздыванием
- Дифференциальные алгебраические уравнения
- Масс-матричные дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ)
- Неявно определенные дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ)
- Процессы перехода с непрерывным временем и методы Гиллеспи
- Иллюстративная модель: динамика заболевания SIR
- Определение модели SIR с использованием реакций с помощью Catalyst
- Построение и моделирование процесса перехода с помощью моделей Catalyst Процесс с использованием низкоуровневого интерфейса DiffEqJump
- Непосредственное определение переходов:
ConstantRateJump
- SSAStepper
- Уменьшение использования памяти: управление режимом сохранения
- Defining the Jumps Directly:
MassActionJump
- Defining the Jumps Directly: Mixing
ConstantRateJump
andMassActionJump
- Adding Jumps to a Differential Equation
- Adding a VariableRateJump
- RegularJumps and Tau-Leaping
- FAQ
- Уравнения скачкообразной диффузии
- Определение задачи с постоянным скачком скорости
- Скачки переменной скорости
- Скачковая диффузия
- Проблемы с прыжком с связью
- Проблемы с граничным значением
- Пример 1: Простые маятницы
- Дополнительные учебники
- . Использование DifferenitalEquations.jl. Если это так, есть две стратегии для использования. Одна из стратегий заключается в использовании низкого уровня использования зависимостей. DifferentialEquations.jl — это метапакет, состоящий из множества небольших пакетов, поэтому можно напрямую использовать один компонент, например 9.0694 OrdinaryDiffEq.jl для чистых решателей Julia ODE и уменьшите время компиляции, игнорируя остальные (примечание: интерфейс точно такой же, за исключением того, что использование решателя, отличного от тех, что в OrdinaryDiffEq.jl, приведет к ошибке). Мы рекомендуем, чтобы последующие пакеты полагались только на те пакеты, которые им нужны.
Другая стратегия заключается в использовании PackageCompiler.jl для создания образа системы, который предварительно компилирует весь пакет. Для этого просто выполните:
с помощью PackageCompiler PackageCompiler.create_sysimage([:DifferentialEquations,:Plots];replace_default=true)
Обратите внимание, что добавление пакета в образ системы имеет некоторые недостатки, например, пакет никогда не будет обновляться до тех пор, пока вы снова не пересоберете образ системы вручную. Дополнительные сведения о последствиях см. в этой части руководства PackageCompiler. В нем объясняется общий рабочий процесс, общедоступные параметры и общие инструменты для анализа.
- Overview of DifferentialEquations.jl
- Defining Problems
- Solving the Problems
- Analyzing the Solution
- Add-on Tools
- Development and Testing Tools
- Common Solver Options
- Default Algorithm Hinting
- Управление выводом
- Управление размером шага
- Оптимизация памяти
- Разное
- Мониторинг прогресса
- Error Calculations
- Examples
- Solution Handling
- Accessing the Values
- Array Interface
- Using the AbstractArray Interface
- Interpolations and Calculating Derivatives
- Comprehensions
- Special Fields
- Differential Equation Solver Statistics (destats )
- Коды возврата (RetCodes)
- Специфические для проблемы функции
- Функции построения графиков
- Standard Plots Using the Plot Recipe
- Density
- Choosing Variables
- Animations
- Plotting Without the Plot Recipe
- Integrator Interface
- Initialization and Stepping
- Handing Integrators
- Function Interface
- Дополнительные параметры
- Рецепт графика
- Интерфейс проблемы
- Формы определения функций на месте и вне места
- Type Specifications
- Functional and Condensed Problem Inputs
- Lower Level
__init
and__solve
- Modification of problem types
- Frequently Asked Questions
- Stability and Divergence of ODE Solves
- Performance
- Сложные модели
- Числовая ошибка
- Автодифференциация и двойные числа
- Таблица совместимости решателей
Типы задач
На этих страницах описывается построение типов задач для определения дифференциальных уравнений для решателей, а также особенности различных типов решений.
- Discrete Problems
- Solution Type
- ODE Problems
- Solution Type
- Example Problems
- Dynamical, Hamiltonian and 2nd Order ODE Problems
- Solution Type
- Hamiltonian Problems
- Split ODE Problems
- Solution Type
- Steady State Problems
- Solution Type
- BVP Problems
- Solution Type
- SDE Problems
- Тип решения
- Примеры задач
- Проблемы RODE
- Тип решения
- DDE Problems
- Solution Type
- Example Problems
- DAE Problems
- Solution Type
- Example Problems
- Jump Problems
- Types of Jumps: Regular, Variable, Constant Rate and Mass Action
- Определение задачи перехода
- Агрегаторы скачков постоянной скорости
- Агрегаторы скачков постоянной скорости, требующие графов зависимостей
- Рекомендации для скачков постоянной скорости
- Переделка
JumpProblem
s
Алгоритмы решателя
На этих страницах подробно описаны решатели и доступные алгоритмы.
- Discrete Solvers
- DiscreteProblems
- Recommended Methods
- Full List of Methods
- ODE Solvers
- Recommended Methods
- Translations from MATLAB/Python/R
- Full List of Methods
- Dynamical, Hamiltonian, and 2nd Order ODE Solvers
- Recommendations
- Standard ODE Integrators
- Specialized OrdinaryDiffEq.jl Integrators
- Split ODE Solvers
- Implicit-Explicit (IMEX) ODE
- Semilinear ODE
- Решатели стационарных состояний
- Рекомендуемые методы
- Полный список методов
- Решатели BVP
- Recomended Methods
- Full List of Methods
- Jump Problem and Jump Diffusion Solvers
- Recommended Methods
- Special Methods for Pure Jump Problems
- RegularJump Compatible Methods
- Regular Jump Diffusion Compatible Methods
- Решатели SDE
- Рекомендуемые методы
- Специальные формы шума
- Повторные интегральные аппроксимации
- Special Keyword Arguments
- Full List of Methods
- RODE Solvers
- Recommended Methods
- Full List of Methods
- DDE Solvers
- Recommended Methods
- Special Keyword Arguments
- Решатели DAE
- Рекомендуемые методы
- Полный список методов
- Эталонные тесты решателя
Дополнительные функции
В этих разделах обсуждаются дополнительные улучшения производительности, обработка событий и другие подробные функции.
- Jacobians, Gradients, etc.
- Built-In Jacobian Options
- Passing Jacobian Function Definitions
- DiffEq-Specific Array Types
- ArrayPartitions
- MultiScaleArrays
- DiffEqOperators
- Использование DiffEqOperators
- Конструкторы
- Формальные свойства дифференцированных дифференцев
- Процессы шума
- Использование шумовых процессов
- Типы шума
- Шумовые процессы 9026 НОМЕНИ
- Шумовые процессы 9026 НОМЕНИ
- Шумовые Процессы 9026 НОМЕНИ
- Шумовые процессы. и предобуславливатели
- Линейные решатели:
linsolve
Спецификация - Предобуславливатели:
precs
Спецификация - Nonlinear Solvers:
nlsolve
Specification
- Линейные решатели:
- Event Handling and Callback Functions
- The Callback Types
- Using Callbacks
- DiscreteCallback Examples
- ContinuousCallback Examples
- VectorContinuousCallback Example
- Callback Library
- Сохранение и проецирование коллектора
- AutoAbstol
- PositiveDomain
- GeneralDomain
- Stepsize Limiters
- FunctionCallingCallback
- SavingCallback
- PresetTimeCallback
- IterativeCallback
- PeriodicCallback
- TerminateSteadyState
- Parallel Ensemble Simulations
- Performing an Ensemble Simulation
- Analyzing an Ensemble Experiment
- Example 1: Solving an ОДУ с разными начальными условиями
- Пример 2. Решение СДУ с разными параметрами
- Пример 3: Использование сокращения для остановки, когда Estimator находится в пределах допуска
- Пример 4: Использование инструментов анализа
- Ввод-вывод: сохранение и загрузка данных решения
- Табличные данные: IterableTables .jl
- JLD
- Использование с низким уровнем зависимостей
- Общий пример: использование только OrdinaryDiffEq.jl
- Обобщение идеи
Прогресс интеграции панели227- Использование индикаторов выполнения за пределами Juno
Инструменты анализа
Поскольку DifferentialEquations.jl имеет общий интерфейс для решений, можно легко добавить функциональность ко всей экосистеме DiffEq, разработав ее для интерфейса решения. На этих страницах описываются доступные дополнительные инструменты анализа.
- Параметризованные функции
- Установка
- Макросы определения функций
- Parameter Estimation and Bayesian Analysis
- Bifurcation Analysis
- Local Sensitivity Analysis (Automatic Differentiation)
- Installation
- High Level Interface:
sensealg
- Sensitivity Algorithms
- Lower Level Sensitivity Analysis Interfaces
- Локальный прямой анализ чувствительности с помощью ODEForwardSensitivityProblem
- Сопряженный анализ чувствительности с помощью
adjoint_sensitivities
(Backpropogation) - Sensitivity analysis for chaotic systems (shadowing methods)
- Second Order Sensitivity Analysis via
second_order_sensitivities
- Global Sensitivity Analysis
- Uncertainty Quantification
- Installation
- ProbInts
- Example 1 : FitzHugh-Nagumo
- Пример 2: Адаптивные исследования на FitzHugh-Nagumo
- Пример 3: Адаптивные исследования на аттракторе Лоренца
- Нейронные сети
- Разработка и тестирование алгоритма
- Установка
Инструменты моделирования
- Многомасштабные модели
- More Information
- Physical Models
- Hamiltonian Problems
- N-Body Problems
- Financial Models
- SDE Model Library
- Chemical Reactions
- External Modeling Packages
- DynamicalSystems.jl
- BioEnergeticFoodWebs.jl
- SwitchTimeOpt.jl
- VehicleModels.jl
- MADS.jl
- QuantumOptics.jl
Дополнительные детали
Это просто дополнительные пояснения для любопытных.
- Timestepping Method Descriptions
- Common Setup
- Integral Controller (Standard Controller)
- Proportional-Integral Controller (PI Controller)
- Proportional-Integral-Derivative Controller (PID Controller)
- Gustafsson Acceleration
- Математика анализа чувствительности
- Прямой анализ чувствительности
- Сопутствующий анализ чувствительности
Основные участники
JuliaDiffEq и DifferentialEquations. jl были совместными усилиями многих людей. Значительный вклад внесли следующие лица:
- Крис Ракаукас (@ChrisRackauckas) (ведущий разработчик)
- Инбо Ма (@YingboMa)
- Дэвид Видманн (@devmotion)
- Хендрик Раноча (@ranocha)
- Этан Леевен (@Elevien)
- Том Шорт (@tshort)
- @dextorious
- Samuel Isaacson (@isaacsas)
Google Summer of Alumni
999
Google Summer of Alumni
999Google Summer of Alumni
94. @shivin9)- OnlineLive
- 16 Week
Introduction
Здравствуйте и добро пожаловать!
МАТЕМАТИКА 215 — это курс, который служит введением в обыкновенные дифференциальные уравнения и представляет собой основу для построения математических моделей природных явлений, изменяющихся во времени, и различных других динамических систем. Этот курс часто является требованием для студентов бакалавриата по математике, естественным наукам или технике. Таким образом, это относительно быстрый и сложный курс. Чтобы преуспеть в этом курсе, вам понадобится прочная основа во всей предыдущей математике, алгебре, геометрии, тригонометрии, предварительном исчислении и исчислении. Учащиеся, достигшие мастерства в этих предварительных условиях, и те, кто ценит математику, естественные науки и их приложения, обычно получают удовольствие от углубления своих знаний. Однако они знают, что для достижения успеха требуется время, тяжелая работа и усилия. Я рад помочь вам в изучении тем курса в течение предстоящего семестра.
Я с нетерпением жду встречи с вами на нашем первом занятии (пожалуйста, убедитесь, что вы присутствуете!).
Профессор В. Ковачев-Николич
Описание курса
МАТЕМАТИКА 215 включает множество тем. Используя несколько более простых математических моделей, мы познакомимся с понятием дифференциального уравнения и узнаем о классификации дифференциальных уравнений. После введения мы потратим некоторое время на изучение и решение дифференциальных уравнений первого порядка и задач с начальными значениями, а также на теорему существования и единственности решения. Следующий раздел курса посвящен дифференциальным уравнениям второго и высших порядков, их свойствам и методам нахождения общего решения и решения начальной задачи. Мы потратим некоторое время на решение однородных уравнений с постоянными коэффициентами и введение принципа суперпозиции. После этого найдем частные решения неоднородных уравнений, используя метод неопределенных коэффициентов и метод вариационных параметров. Мы также будем решать уравнения с переменными коэффициентами в виде уравнения Коши-Эйлера. Другая более обширная часть курса посвящена решениям степенных рядов обыкновенных дифференциальных уравнений. Следующая глава посвящена преобразованиям Лапласа. В конце семестра мы будем решать линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Чего ожидать от этого курса
ОжиданияВаша приверженность делу необходима для вашего успеха. Чтобы не сдаваться, вам нужно будет тратить время и прилагать усилия регулярно и постоянно. В общем, вам нужно будет тратить около 2-3 часов на каждый час занятий (что означает 10-15 часов в неделю) или больше, по мере необходимости. Пожалуйста, сделайте все возможное, чтобы оправдать следующие ожидания:
Постоянно посещать занятия: Требуется регулярное присутствие. Используя ссылку Zoom в меню слева в Canvas, присоединяйтесь к интерактивному сеансу вовремя и оставайтесь до конца. Помимо первого дня занятий, когда неявившиеся учащиеся исключаются (что позволяет учащимся из списка ожидания зачислиться), у вас может быть два льготных пропуска; пожалуйста, сохраните их для настоящих чрезвычайных ситуаций или болезней. Если вы пропустите три классных собрания, вас могут исключить из курса, если только на это нет уважительной причины. Три опоздания могут засчитываться за одно отсутствие.
Участвовать в классе : Обучение становится более эффективным, когда учащиеся активно участвуют. Во время лекций вы будете участвовать через чат. Я также могу попросить вас дать ответы в устной форме; может быть групповая работа, где вы обсуждаете соответствующие концепции со сверстниками, решаете проблемы и представляете результаты классу.
Подготовьтесь к уроку: Чтобы получить максимальную отдачу от каждого занятия, вы должны прийти подготовленным. В идеале вам следует повторить понятия и примеры, изученные на предыдущем уроке. Возможно, вам придется посмотреть вступительное видео, прочитать назначенную часть электронной книги или пройти короткий тест перед занятием.
Постоянно повторяйте : После каждой лекции старайтесь просматривать свои записи. Ваше обучение и запоминание будут более эффективными, если вы повторите примеры занятий и прочитаете соответствующий раздел в электронной книге.
Выполняйте задания вовремя: Будьте в курсе своих задач! Чтобы выучить и запомнить, вы должны выполнить домашнее задание как можно скорее, в идеале в течение дня после собрания класса.
Убедитесь, что у вас есть доступ к WebAssign : значительная часть ваших домашних заданий будет выполняться в WebAssign . Эта платформа онлайн-обучения включает в себя электронную книгу и интерактивные задачи с мгновенной обратной связью и видеоуроками. Без WebAssign вы не сможете выполнить необходимую курсовую работу и преуспеть в курсе.
Сдать все экзамены : Контролируемые тесты будут проходить во время занятий в кампусе. Если это будет невозможно (если будут изменения в требованиях, связанных со здоровьем), у нас будут онлайн-тесты с прокторингом. В этом случае вам также потребуется дополнительное устройство (например, смартфон или планшет) для потоковой передачи видео окружающего рабочего пространства, а также для сканирования и загрузки вашей письменной работы на Canvas в течение ограниченного периода времени после завершения теста.
Будьте активны и обращайтесь за помощью : В течение семестра вам предлагается задавать вопросы, создавать учебные группы или присоединяться к ним, посещать рабочие часы и пользоваться репетиторскими услугами, предоставляемыми Учебным центром (TLC) или MESA.
Для участия в интерактивных онлайн-классах и выполнения заданий вам потребуется некоторое оборудование. Более конкретно:
Вам понадобится компьютер (ноутбук, планшет и т. д.), а также веб-камера, микрофон и динамики. Если у вас нет компьютера, ознакомьтесь с информацией о Программе кредитования ноутбуков .
Вам также потребуется надежное подключение к Интернету и стандартный браузер (Mozilla Firefox или Chrome).
Вы будете использовать вторичное устройство (например, смартфон), чтобы отсканировать вашу рукописную работу и загрузить ее на Canvas. Если нам нужны онлайн-экзамены, вам может понадобиться дополнительное устройство для потоковой передачи видео через Zoom.
Доступ к WebAssign, , который включает электронную книгу курса и онлайн-домашнее задание.
Типы оценивания
Несложные формирующие задания (например, викторины, домашние задания и т. д.) помогут вам изучить концепции курса и освоить необходимые математические навыки. Суммативное оценивание (как правило, экзамены) даст обратную связь о том, насколько хорошо вы понимаете и знаете концепции курса. В частности, может быть любое или все из следующего:
Участие в занятиях (индивидуальная или групповая работа)
Домашнее задание
Викторины
Проверка заданий
Проекты
Минимум три промежуточных теста и полный итоговый тест
Информация об учебнике / ссылка на учебник ZTC
Название: | WebAssign для Elementary Differential Equations (10-е издание) |
Авторы: | Уильям Бойс и Ричард ДиПрима |
ISBN: | 9781945801143 (на один срок, 91,70 доллара США) |
URL: | https://www. webassign.net/features/textbooks/boycediffeqbr10/details.html |
Импорт nt уведомление : Курс дополнен образовательной онлайн-платформой, предоставляемой через WebAssign. Доступ к этому ресурсу можно приобрести в официальном книжном магазине College of the Canyons или непосредственно у издателя, что можно сделать по ссылке для доступа к WebAssign в Canvas. WebAssign обязателен, и без него вы не сможете выполнить необходимую курсовую работу.
Другая соответствующая информация о курсе
Программа кредитования ноутбуковВы можете взять ноутбук в аренду в COC и использовать его в течение семестра. Чтобы узнать об этом, отправьте электронное письмо по адресу Laptops@canyons.edu и включите следующую информацию:
Полное имя
Идентификационный номер
Номер телефона
Адрес
Вам также необходимо будет подписать соглашение о кредитовании ноутбука .
Дополнительные ресурсы
Canvas
Доступ к этому курсу можно получить в первый день занятий через Canvas по адресу https://coc.instructure.com. Войдите в Canvas, используя систему единого входа CanyonsID:
- Имя пользователя CanyonsID – адрес электронной почты учащегося COC (пример: username@my.canyons.edu)
- Пароль CanyonsID – пароль электронной почты учащегося COC
Посетите страницу «Познакомьтесь с онлайн-классом», чтобы получить помощь по входу в Canvas и советы по использованию Canvas и Zoom. Поддержка чата Canvas также доступна круглосуточно и без выходных по любым вопросам, связанным с Canvas.
Онлайн-обучение
Посетите веб-сайт онлайн-обучения, чтобы получить дополнительную информацию по различным темам, которые могут помочь вам стать успешным онлайн-студентом, например: контроль за экзаменом, стили обучения, навыки работы с компьютером и советы для успешной учебы. Если это ваш первый онлайн-курс, не стесняйтесь пройти нашу оценку готовности к онлайн-обучению, чтобы оценить свои навыки.
Учебный центр (TLC)
TLC предоставляет БЕСПЛАТНЫЕ онлайн-ресурсы для обучения студентов COC!
Academic Accomodation Center (AAC)
College of the Canyons AAC предоставляет образовательные услуги и доступ для подходящих студентов с документально подтвержденной инвалидностью, которые намерены продолжить обучение в COC. Доступны различные программы и услуги, которые дают соответствующим требованиям учащимся с ограниченными возможностями возможность в полной мере участвовать во всех аспектах программ и мероприятий колледжа посредством соответствующих и разумных приспособлений. Для получения дополнительной информации об их услугах посетите веб-сайт Центра академического размещения.
Онлайн-консультации
Консультационный отдел предлагает встречи онлайн. Записаться на прием можно на сайте онлайн-консультации. Консультанты могут помочь вам составить план достижения ваших образовательных целей, а также проконсультировать вас по выбору курса и регистрации.
Управление стрессом и психическим здоровьем
College of the Canyons заботится о вашем эмоциональном и физическом здоровье. Узнайте больше о широком спектре конфиденциальных услуг для студентов, включая бесплатные консультации и услуги по охране психического здоровья, доступные в течение этого времени, посетив веб-сайт Центра здоровья и благополучия студентов или позвонив им по телефону: 661-362-3259..
Номер национальной линии спасения для самоубийц: 1-800-273-8255 (РАЗГОВОР). Пожалуйста, звоните туда, если у вас или у кого-то из ваших знакомых есть мысли о самоубийстве или вы находитесь в тяжелом состоянии — это может спасти чью-то жизнь.
Вы также можете воспользоваться линией экстренного сообщения: просто отправьте «Courage» на номер 741741. Это бесплатно, доступно круглосуточно и конфиденциально.
Ресурсный центр для ветеранов
Ресурсный центр для ветеранов Колледжа Каньонов — это отдел в составе Отдела обслуживания студентов колледжа, созданный для оказания помощи ветеранам и их иждивенцам в подаче заявления в Колледж Каньонов, зачислении на курсы и получении образования по программе VA. или профессиональные льготы. Для получения дополнительной информации посетите веб-сайт Ресурсного центра для ветеранов, отправьте письмо по электронной почте ветераны@canyons.edu или позвоните по телефону (661) 362-3469..
Библиотека
Библиотека предоставляет интерактивную и личную исследовательскую помощь, доступ к полному спектру электронных ресурсов и физических материалов, которые поддерживают учебную программу, области индивидуального и группового обучения и многое другое!
Последнее обновление: 22.08.2021 Под№: 445
Калькулятор частных производных с пошаговыми инструкциями онлайн
Знакомство с калькулятором частных производных
Калькулятор частных производных с шагами находит производную кривой с множеством переменных в режиме онлайн. это 9Калькулятор частных производных 0210 имеет возможность многократно дифференцировать функцию.
Измерение скорости изменения функции по отношению к одной переменной известно в математике как частные производные. Он обрабатывает такие переменные, как x и y, такие функции, как f(x), и модификации переменных x и y.
С калькулятором частных производных вы можете узнать о частных производных по цепному правилу и многое другое. Чтобы легко получить производные, можно воспользоваться бесплатным онлайн-калькулятором частичного дифференцирования.
Связанный: Вы также можете найти калькулятор неявного дифференцирования и калькулятор производных второго порядка, чтобы еще больше закрепить свои представления о производных и их вычислениях.
Процесс использования калькулятора частных производных второго порядка
Калькулятор частных производных вычисляет частную производную функции путем деления функции на части. Ниже приведен процесс использования калькулятора частичного дифференцирования с пошаговыми инструкциями.
Как ввести:
- Сначала напишите функцию дифференцирования или выберите из примеров.
- Теперь из раскрывающегося списка выберите производную переменную.
- Затем решите, сколько раз нужно дифференцировать данную функцию.
- Нажмите кнопку расчета, чтобы увидеть результаты.
Калькулятор второй частной производной мгновенно покажет вам пошаговые результаты и другие полезные показатели.
Вы также можете найти калькулятор производной по направлению для расчета производных по направлению.
Как калькулятор частичной дифференциации показывает выходные данные?
Первый калькулятор частных производных использует правила производных и формулы для вычисления частной производной этой функции.
В результатах он показывает производную (только для вычисления производной функции используйте калькулятор производной функции на домашней странице. Помимо этого калькулятор второй частной производной показывает возможные промежуточные шаги, трехмерные графики, альтернативные формы, правила, расширение ряда и неопределенный интеграл. Вы также можете использовать неопределенный интеграл с шагами для большего обучения и практики. 0005
Формулы, используемые калькулятором частных производных
Частная производная функции f(x,y) частично зависит от “x” и “y”. Таким образом, формула для частной производной функции f(x,y) по x:
$$ \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂f}{∂u}\frac{∂u}{∂x} \;+\; \frac{∂f}{∂v}\frac{∂v}{∂x} $$
Аналогично, частная производная функции f(x,y) по y:
$$ \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂f}{∂u}\frac{∂u}{∂y} \;+\; \frac{∂f}{∂v}\frac{∂v}{∂y} $$ 94) $$
Вывод:
Калькулятор частичного дифференцирования представляет собой веб-инструмент, который работает с математическими функциями и несколькими переменными. Благодаря этому становится легко решать и вычислять функции частичного дифференцирования. Решатель частичного дифференцирования показывает вам различные метрики и детали, необходимые для изучения этой концепции.
Связанный: На этом веб-сайте вы также можете найти калькулятор локальной линеаризации для нахождения линейной аппроксимации.
Каковы преимущества использования калькулятора первой частной производной?
Одним из основных преимуществ этого калькулятора является точность. Если вы находите производные вручную, возможно, вы застрянете посреди математической задачи и не сможете избавиться от нее в течение часа. Если вы используете инструмент частной производной, он дает точный результат одним щелчком мыши.
Что такое цепное правило в дифференциальных уравнениях?
По цепному правилу производная f (g (x)) равна f'(g (x)) g’ (x). Частные производные Калькулятор использует цепное правило для дифференциации составных функций.
Также на этом веб-сайте можно найти калькулятор цепного правила с несколькими переменными, чтобы найти производную от композиции двух дифференцируемых функций.
Чем полезен критерий частной производной второго порядка?
Вы можете использовать частные производные второго порядка, чтобы определить, является ли местоположение локальным максимумом, минимумом или седловой точкой. Как только вы нашли нулевой наклон вектора многомерной функции, это указывает на то, что касательная плоскость графика в этой точке гладкая.
Мы надеемся, что приведенный выше калькулятор поможет вам в ваших расчетах. Существуют и другие связанные инструменты, такие как решатель правил продукта и калькулятор производных частных, которые вы можете использовать для большей практики и обучения.
Часто задаваемые вопросы
Уравнения в частных производных сложны?
Да, уравнения в частных производных решить сложно. Но когда эти уравнения преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения, мы можем вычислять их другими методами или с помощью калькулятора в частных производных.
В чем разница между обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных?
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, в которых производные берутся по одной независимой переменной. Принимая во внимание, что дифференциальные уравнения в частных производных (УЧП) – это те уравнения, в которых производные берутся по более чем одной переменной.
Что такое частные производные первого порядка?
Производная функции многих переменных по независимой переменной один раз известна как частная производная первого порядка. В частной производной мы дифференцируем функцию с одной переменной, рассматривая другую как константу. Мы можем использовать калькулятор частных производных первого порядка, чтобы решить их онлайн.
Что такое непрерывные частные производные первого порядка?
Частная производная непрерывной функции известна как непрерывная частная производная, если производная также является непрерывной. Но для непрерывной функции вовсе не обязательно, чтобы ее производная также была непрерывной.
Что такое эллиптические уравнения в частных производных?
Уравнение в частных производных второго порядка (УЧП)
Au xx +2Bu xy +Cu yy +Du x +Fu y +G=0 считается эллиптическим, если B 2 −AC < 0. Эллиптические уравнения в частных производных не имеют вещественных характеристических поверхностей.