Главная
Решить дифференциальное уравнение первого порядка: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Содержание

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка

Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию и ее первую производную .

Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

   

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

   

где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

Задача отыскания решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:

   

Далее рассмотрим методы решения

неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

   

1. Метод Бернулли или метод подстановки

Делаем замену

   

а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что

   

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

   

Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:

   

Функцию и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках, обращалось в нуль:

   

Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:

   

Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.

Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):

   

Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:

   

А тогда, находим и искомую функцию

   

2. Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постоянной

Этот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).

Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения

   

которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение

   

Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:

   

И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:

   

Неизвестную функцию находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).

Как решить дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка относится к простейшим дифференциальным уравнениям. Они наиболее легко поддаются исследованию и решению, а в конечном итоге их всегда можно проинтегрировать.

Решение дифференциального уравнения первого порядка рассмотрим на примере xy’=y. Вы видите, что оно содержит: х – независимую переменную; у – зависимую переменную, функцию; y’ – первую производную функции.

Не пугайтесь, если в некоторых случаях в уравнении первого порядка не будет «х» или (и) «у».Главное, чтобы в дифференциальном уравненииобязательно была y’ (первая производная), и отсутствовали y”, y”'(производные высших порядков).

Представьте производную в следующем виде: y’=dydx (формула знакома из школьной программы). Ваша производная должна выглядеть следующим образом: x*dydx=y, где dy, dx – дифференциалы.

Теперь разделите переменные. Например, в левой части оставьте только переменные содержащие y, а в правой- переменные содержащие x. У вас должно получиться следующее: dyy=dxx.

Проинтегрируйте полученное в предыдущих манипуляциях дифференциальное уравнение. Вот так: dyy=dxx

Теперь вычислите имеющиеся интегралы. В этом простом случае они табличные. Вы должны получить следующий результат: lny=lnx+C
Если ваш ответ отличается от представленного здесь, проверьте все записи. Где-то допущена ошибка и ее нужно исправить.

После того, как вычислены интегралы, уравнение можно считать решенным. Но полученный ответ представлен в неявном виде. На данном шаге вы получили общий интеграл. lny=lnx+C
Теперь представьте ответ в явном виде или, другими словами, найти общее решение. Перепишите полученный на предыдущем шаге ответ в следующем виде: lny=lnx+C, воспользуйтесь одним из свойств логарифмов: lna+lnb=lnab для правой части уравнения (lnx+C) и отсюда выразите у. Вы должны получить запись: lny=lnCx

Теперь уберите логарифмы и модули с обеих частей: y=Cx, С – cons
Вы имеете функцию, представленную в явном виде. Это и называется общим решением для дифференциального уравнения первого порядка xy’=y.

Решение дифференциальных уравнений — Информатика, информационные технологии

Дифференциальные уравнения являются основной формой представления математических моделей. Напомним, что уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называется дифференциальным уравнением. Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным. Обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае содержит независимую переменную (X), неизвестную функцию (Y(X)) и ее производные (dY/dX) до n-го порядка и имеет вид

F(X, Y, Y¢, Y?, … , Y(n))=0.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Здесь мы рассмотрим технику решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, т. е. таких, для которых известны значения искомой функции и ее производных (до n-1 порядка) при Х=0. Решение уравнений в такой постановке называется задачей Коши. Известно, что аналитическое решение дифференциальных уравнений возможно лишь в небольшом числе случаев. В остальных случаях оно доступно только с помощью численных методов. Самый простой из них – метод Эйлера. Суть метода применительно к уравнению первого порядка dY/dX=Y(X,Y) с начальными условиями Y(X0)=Y0поясняет рис. 11.3а.

Решением уравнения является такая функция Y(Х), которая, будучи подставленной в уравнение, превращает его в тождество. Само уравнение не известно. В начальных условиях задается только одна его точка Y(Х0). Разобьем весь диапазон интегрирования уравнения на участки с одинаковым шагом DХ и попытаемся найти значение искомой функции Y(Х) в точке Х1=Х0+DХ. Здесь искомая функция изображена линией с ординатами Y0,Y1,Y2,…, Yk+1 (пустые прямоугольники), а полученная по методу Эйлера – ломаной с ординатами Y0, Y1,Y2, …, Yk+1 (черные прямоугольники). Если DХ мало – можно полагать, что уравнение касательной к искомой функции в точке Х0 (прямая Y0Y1) не сильно отличается от Y(Х) на участке DХ (дуга Y0Y1). Найдем Y1

Y1=Y0+DY1=Y0+DХ?Tg(W0).

Тангенс W0равен значению производной функции Y(Х) в точке Х0, которую легко вычислить

TgW0=Y’0=Z(X0,Y0). И можем записать Y=Y0+DХ?Z(X0,Y0).

Следующий шаг – проведение касательной к Y(Х1), т.е. построение участка с тангенсом наклона, равным Z(X1,Y1). Однако поскольку нам известно не точное значение Y1, а приближенное Y1, проведем линию с тангенсом угла наклона, равным Z(X1,Y1). Тогда

Y 2=Y1+DХ?Z(Х1,Y1).

Отсюда можем получить рабочие формулы метода

Хk+1=Хk+DХ и Yk+1=Yk+DХ?Z(Хk,Yk).

Метод является весьма приблизительным (сравните вычисленную и настоящую функции на рисунке). Уменьшив шаг интегрирования DХ, можно добиться приемлемой погрешности. При DХ?0 решение сходится к точному.

На рис.3.3б и 3в представлены (в числовом и формульном виде) таблицы решения дифференциального уравнения (начальные условия Y(0)=1) вида:

Решение Y=exp(X2) такого простого уравнения известно, что позволит нам оценить точность вычислений в таблице. Здесь в ячейке В1 установлен шаг интегрирования 0,4, в В4 и С4 – начальные условия уравнения. Текущие значения номера шага и значения Х вычисляются аналогично предыдущему. В колонке Yэ находится решение по методу Эйлера, а в колонке Yт – предъявляется точное решение с непосредственным использованием функции exp(X2). Решение доведено до Х=1,96 (50 шагов). Видим (рис. 3.3б), что точное решение и решение, полученное с помощью метода Эйлера, достаточно близки. Это подтверждает и график на рис.3.3г, построенный также средствами Excel (тип диаграммы: “точечная”, вид: “Точечная диаграмма со значениями, соединенными отрезками без маркеров”). Дальнейшее снижение погрешности может быть достигнуто уменьшением шага интегрирования. Увеличение предела интегрирования может быть осуществлено, как и в предыдущем случае, копированием последней строки до достижения нужного значения аргумента Х.

A B C D
DC= 0,04
Р е ш е н и е:
Шаг X Yэ Yт
=EXP(B4^2)
=A4+1 =B4+B$1 =C4+B$1*2*B4*C4 =EXP(B5^2)
=A5+1 =B5+B$1 =C5+B$1*2*B5*C5 =EXP(B6^2)
Рис. 3.3в

Конечно, при такой организации вычислений, к которой нам пришлось прибегнуть для интегрирования и решения дифференциальных уравнений, мы ограничены числом строк в рабочем листе Excel. И хотя мы можем продолжить вычисления на другом листе, нам вряд ли потребуется и такое число строк.

Как уже указывалось, метод Эйлера является самым простым (и самым грубым) средством решения дифференциальных уравнений. Здесь можно воспользоваться и более точными методами, например, методом Рунге-Кутта.

Тест. 3.3.1. Что мы получим при решении дифференциального уравнения? 1). число, 2). функцию.

4.

АППРОКСИМАЦИЯ

ЗАВИСИМОСТЕЙ

Задача аппроксимации возникает при необходимости аналитически описать явления, имеющие место в жизни и заданные в виде таблиц, содержащих значения аргумента/аргументов и функции. Если зависимость удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемой системы в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление ее развития. Такая аналитическая функция (называемая еще трендом) может иметь разный вид и разный уровень сложности в зависимости от сложности системы и желаемой точности представления.

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Самый простой и популярной является аппроксимация прямой линией – линейная регрессия.

Пусть мы имеем фактическую информацию об уровнях прибыли Y в зависимости от размера X капиталовложений – Y(X). На рис. 4.1-1 показаны четыре такие точки М(Y,X). Пусть также у нас имеются основания предполагать, что зависимость эта линейная, т.е. имеет вид Y=А+ВX.Если бы нам удалось найти коэффициенты A и B и по ним построить прямую (например, такую, как на рисунке), в дальнейшем мы могли бы сделать осознанные предположения о динамике бизнеса и возможном коммерческом состоянии предприятия в будущем. Нас бы устроила прямая, находящаяся как можно ближе к известным точкам М(Y,X), т.е. имеющая минимальную сумму отклонений или сумму ошибок (на рисунке отклонения показаны пунктирами). Известно, что существует только одна такая прямая. Для решения этой задачи используют метод наименьших квадратов ошибок. Разность (ошибка) между известным значением Y1точки М1(Y1,X1) и значением Y(X1), вычисленным по уравнению прямой для того же значения X1, составит

D1= Y1– A – B•X1.

Такая же разность

для X=X2 составит D2= Y2– A – B•X2;

для X=X3 D3= Y3– A – B•X3;

и для X=X4 D4= Y4– A – B•X4.

Запишем выражение для суммы квадратов этих ошибок

Ф(A,В)=(Y1–A–B•X1)2+(Y2–A–B•X2)2+(Y3–A–B•X3)2+(Y4–A–B•X4)2

или сокращенно Ф(B,A)=a(Yi – A – BXi)2.

i=1

Здесь нам известны все X и Y и неизвестны коэффициенты A и B. Проведем искомую прямую так (т.е. выберем A и B такими), чтобы эта сумма квадратов ошибок Ф(A,B) была минимальной. Условиями минимальности являются известные соотношения

¶Ф(A,B)/¶A=0 и ¶Ф(A,B)/¶B=0.

Выведем эти выражения (индексы при знаке суммы опускаем):

¶[a(Yi–A–B•Xi)2]/¶A = a(Yi–A–B•Xi)(–1)

¶[a(Yi–A–B•Xi)2]/¶B = a(Yi–A–B•Xi)(–Xi).

Преобразуем полученные формулы и приравняем их нулю

2a(–Yi +B•Xi +A) = 0

2a(–Xi•Yi +B•Xi2 +A•Xi) = 0.

Сократим выражения на 2 и раскроем скобки. Тогда

–aYi + BaXi + Aa1 = 0

–aXi•Yi + BaXi2 +AaXi = 0.

Мы получили систему из двух линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются A и B, а сумма N единиц равна N (в нашем случае a1=4). Перенесем свободные члены в правую часть и для упрощения записи опустим индексы при знаке суммирования. Окончательно получим:

BaX + NA = aY

BaX2+AaX =aXY.

Решив эту систему с помощью любого известного метода линейной алгебры, получим

В=(N•aXY–aX•aY)/( N•aX2–X•aX), А=(N•aX2–aX•aX)/(N•aX2–aX•aX).

В случае, если величина Y зависит не от одного, а от нескольких параметров Y(x,z, …w), задача нахождения коэффициентов решается аналогично и называется задачей множественной регрессии.

Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений Х и Y можно с помощью коэффициента корреляции R, который находится по следующей формуле

R=(N•aXY – aX•aY)/( N•aX2–aX•aX • N•aY2–aY•aY ).

Cчитается что при R?0,3 наблюдается слабая линейная связь, при R= 0,3¸0,7 – средняя, при R³0,7 – сильная, при R³0,9 – весьма сильная связь, при R=1 – полная функциональная связь (все точки Y(X) лежат на одной прямой).

В Excel имеются функции для нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии.

u ЛИНЕЙН(известное Y; известное X) – вычисляет два коэффициента линейного уравнения регрессии для множества значений независимой переменной Х и зависимой переменной Y. Результат выводится в две смежные ячейки – сначала коэффициент при Х, затем – свободный член. Функция должна вводиться как функция обработки массива: выделяются две ячейки для результата, вводится функция и нажимаются клавиши Ctrl+Shift+Enter (вместо обычного Enter).

Пример. Если исходные данные расположены, как показано на рис. 4.1-2, и в C3:D3 введена функция {=ЛИНЕЙН(B2:B11;A1:A11)},результаты в C3 и D3 можно интерпретировать как коэффициенты линейного уравнения регрессии y=0,6364x+1,8. Таким образом, если нам понадобится вычислить ожидаемое значение прибыли Y в будущем, например, при капиталовложениях в сумме 20 единиц, нужно подставить их в найденную функцию Y=0,64+1,8*20=36,64.

u ТЕНДЕНЦИЯ(известное Y; известное X; новое X) – вычисляет ожидаемое новое значение Y для нового Х, если известны некоторые опытные значения X и Y и в предположении, что Х и Y зависят линейно.

А В С D
Х Y
ЛИНЕЙН
0,64 1,8
ТЕНДЕНЦИЯ
9,44
4,5 4,66
Ри с.4.1.2

Пример: Исходные данные расположены (рис. 4.1-2) в C7 и C8, результаты – в

D7=ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B11;A1:A11;G4)и

D8=ТЕНДЕНЦИЯ( B2:B11; A1:A11;G5).

Таким образом, при Х=12 ожидается Y=9,44, а при Х=4,5; Y=4,66.

Используя значения X и Y с помощью Excel, построим график, совмещенный с линией регрессии (линией тренда), как показано на рис.4.1.3.

@ В Excel имеется очень простой способ строить линейную аппроксимацию равноотстоящих значений аргумента. Для этого нужно выделить известные значения прогнозируемой величины и потянуть за маркер заполнения, удерживая правую кнопку мыши. Затем, из появившегося контекстного меню выбрать пункт Линейное приближение. В заполняемых клетках мы обнаружим значения, вычисленные системой для самостоятельно найденного ею линейного уравнения регрессии. На рис.4.1.4 исходными значениями являются 2, 4, 5. Остальные числа являются вычисленным прогнозом в предположении линейной связи аргументов в соответствии с найденным Excel уравнением. Здесь же (рис.10.1.5), при необходимости, можно выбрать и Экспоненциальное приближение.

5 6,67 8,17 9,67 11,17 12,67 Рис. 4.1.4
5 8,55 13,52 21,37 33,80 53,44 Рис. 4.1.5

С помощью средств деловой графики Excel можно не только построить необходимые кривые, но получить линии тренда и соответствующие им уравнения Y(X) (здесь y=1,5x+0,6667 для линейного закона, y=1,368e0,4581x– для экспоненты). Экспоненциальная аппроксимация обозначена прямоугольными точками, линейная – кружками. Исходные точки обведены овалом.

Статьи к прочтению:

Основные понятия дифференциальных уравнений от bezbotvy


Похожие статьи:

Дифференциальные уравнения – ДУ 2-го порядка I

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде где F − заданная функция указанных аргументов.
 

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y”, то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов: С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. 

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

  • Функция F(x, y, y’, y”) является однородной функцией аргументов y, y’, y”;

  • Функция F(x, y, y’, y”) является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y’).
Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно.

Случай 1. Уравнение вида  y”= f (x)

Если дано уравнение y” = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy’ = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию 
p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения.

Случай 2. Уравнение вида  y”= f (y)

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагаяy’ = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y’ = p(y), то есть функцию y(x).

Случай 3. Уравнение вида  y”= f (y’ )

В данном случае для понижения порядка вводим функцию y’ = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными 
p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x).

Случай 4. Уравнение вида  y”= f (x,y’ )

Используем подстановку y’ = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x).

Случай 5. Уравнение вида  y”= f (y,y’ )

Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию 
p(y), полагая y’ = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x). 

Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4.

Случай 6. Функция F(x, y, y’, y”) является однородной функцией аргументов y, y’, y”

Если левая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого 
k справедливо соотношение то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C2 − постоянная интегрирования.

Случай 7. Функция F(x, y, y’, y”) является точной производной

Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y’), не содержащую второй производной y” и удовлетворяющую равенству то решение исходного уравнения представляется интегралом Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка. 

В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель. 


 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение типа

\ [y ‘+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

, где \ (a \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) – непрерывные функции от \ (x, \), называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

  • Использование интегрирующего коэффициента;
  • Метод изменения постоянной.

Использование интегрирующего коэффициента

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

\ [y ‘+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

интегрирующий коэффициент определяется по формуле

\ [u \ left (x \ right) = \ exp \ left ({\ int {a \ left (x \ right) dx}} \ right). \]

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \ (u \ left (x \ right) \) преобразует левую часть в производную произведения \ (y \ left (x \ right) u \ left (x \ Правильно).\)

Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:

\ [y = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}}, \]

где \ (C \) – произвольная постоянная.

Метод изменения константы

Этот метод аналогичен предыдущему. Для начала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

\ [y ‘+ a \ left (x \ right) y = 0. \]

Общее решение однородного уравнения содержит константу интегрирования \ (C. \). Заменим константу \ (C \) некоторой (пока неизвестной) функцией \ (C \ left (x \ right). \) By Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию \ (C \ left (x \ right). \)

Описанный алгоритм называется методом изменения константы. Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.

Задача начального значения

Если помимо дифференциального уравнения существует еще начальное условие в виде \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}, \), такая задача называется задачей начальной стоимости (IVP). или проблема Коши.3}. \]

Решение.

Мы решим эту задачу, используя метод изменения постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения:

\ [xy ‘= y, \]

, которую можно решить, разделив переменные:

\ [x \ frac {{dy}} {{dx}} = y, \; \; \ Rightarrow \ frac {{dy}} {y} = \ frac {{dx}} {x}, \; \; \ Rightarrow \ int {\ frac {{dy}} {y}} = \ int {\ frac {{dx}} {x}}, \; \; \ Rightarrow \ ln \ left | у \ право | = \ ln \ left | х \ право | + \ ln C, \; \; \ Rightarrow y = Cx, \]

, где \ (C \) – положительное действительное число. 3} + {C_1} x. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

Что нужно знать для изучения математического анализа

Дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения, содержащие неизвестную функцию и ее первую производную. Основная цель этой обзорной статьи Calculus III – обсудить свойства решений дифференциальных уравнений первого порядка и описать некоторые эффективные методы поиска решений.

Стандартная форма

Стандартная форма дифференциального уравнения первого порядка для неизвестной функции y (t):

\ dfrac {dy} {dt} = f (t, y)

Здесь f – некоторая функция двух переменных.Многие, но не все, дифференциальные уравнения первого порядка могут быть записаны в стандартной форме, алгебраически решив для \ dfrac {dy} {dt} и затем установив f (t, y) равным правой части полученного уравнения.

Любая дифференцируемая функция y = y (t), удовлетворяющая этому уравнению для всех t в некотором интервале, называется решением. Некоторые дифференциальные уравнения не имеют решений, тогда как другие дифференциальные уравнения имеют бесконечно много решений. Также возможно, что дифференциальное уравнение имеет ровно одно решение.Общее решение дифференциального уравнения – это совокупность всех решений. Дифференциальное уравнение вместе с дополнительным условием y (t_0) = y_0, заданным при некотором значении независимой переменной t = t_0, составляет проблему начального значения. Решением задачи начального значения является функция y (t), которая одновременно решает дифференциальное уравнение и удовлетворяет заданному дополнительному условию y (t_0) = y_0.

Уравнения с разделяемыми переменными

Не существует универсально применимой процедуры для решения дифференциальных уравнений первого порядка в стандартной форме с произвольным f (t, y).Здесь мы рассматриваем подмножество уравнений первого порядка, которые можно напрямую интегрировать.

Это возможно, если функция

ф (т, у)

можно представить в виде

f (t, y) = g (t) h (y)

Здесь g является функцией только t, а h является функцией только y. Дифференциальное уравнение

\ dfrac {dy} {dt} = g (t) h (y)

считается отделимым. Мы можем записать его в дифференциальной форме

\ dfrac {dy} {h (y)} – g (t) dt = 0

Общее решение этого уравнения дается следующим интегралом:

\ int \ dfrac {dy} {h (y)} – \ int g (t) dt = C

Здесь C представляет произвольную постоянную интегрирования.2 = грех t + 1

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение в стандартной форме

\ dfrac {dy} {dt} = f (t, y)

однородно, если

е (\ альфа т, \ альфа у) = е (т, у)

для любого действительного числа \ alpha.

Такое уравнение всегда можно преобразовать в разделимое уравнение заменой независимой переменной

у = т, г

вместе с соответствующей производной:

\ dfrac {dy} {dt} = t, \ dfrac {dz} {dt} + z

Полученное уравнение с переменными z и t

может быть решено как разделимое дифференциальное уравнение, поскольку функция f

после такой замены оказывается функцией с единственной переменной z.

Проиллюстрируем этот метод на примерах.

Пример 1

Рассмотрим уравнение:

\ dfrac {dy} {dt} = \ dfrac {y + t} {t}

Сначала проверяем условие однородности:

f (\ alpha t, \ alpha y) = \ dfrac {\ alpha y + \ alpha t} {\ alpha t} = \ dfrac {y + t} {t} = f (t, y)

Во-вторых, мы вводим новую зависимую переменную

.

z, так что z = y / t:

\ dfrac {dy} {dt} = t, \ dfrac {dz} {dt} + z = z + 1

Уравнение

т, \ dfrac {dz} {dt} = 1

– дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которое можно напрямую интегрировать:

z = ln | Kt |

Здесь мы установили постоянную интегрирования

C = -, ln | K | ,

и отметили, что

ln | t | + ln | K | = ln | Kt | .2

Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:

\ dfrac {dy} {dt} = f (t, y).

Дифференциальное уравнение линейно, если f (t, y)

можно записать как функцию t умножить на y,

плюс еще одна функция

т: f (t, y) = -, p (t) y + q (t).

Следовательно, линейное дифференциальное уравнение всегда можно выразить как:

\ dfrac {dy} {dt} + p (t) y = q (t)

Здесь p и q

даны функции независимой переменной t.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка не могут быть решены прямыми методами интегрирования, потому что переменные не разделимы. В результате нам необходимо использовать другой метод решения. Первый шаг – умножить линейное дифференциальное уравнение на неопределенную функцию \ mu (t):

.

\ mu (t), \ dfrac {dy} {dt} + \ mu (t) p (t) y = \ mu (t) q (t)

Теперь вопрос в том, можем ли мы выбрать \ mu (t) так, чтобы левая часть этого уравнения распознавалась как производная некоторого конкретного выражения.Отметим следующие равенства:

\ dfrac {d} {dt} [\ mu (t) y] = \ mu (t) \ dfrac {dy} {dt} + \ dfrac {d \ mu (t)} {dt}, y = \ mu (t), \ dfrac {dy} {dt} + \ mu (t) p (t) y

Здесь второе равенство верно при условии, что \ mu (t) удовлетворяет уравнению:

\ dfrac {d \ mu (t)} {dt} = p (t) \ mu (t)

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которые можно напрямую интегрировать:

\ int \ dfrac {d \ mu} {\ mu} – \ int p (t) dt = 0

Если мы временно предположим, что \ mu (t) положительно, то получим:

ln \ mu (t) = \ int p (t) dt + К

Выбирая произвольную константу K равной нулю, мы получаем простейшую возможную функцию для \ mu. А именно:

\ му (т) = ехр \ влево (\ int p (t) dt \ вправо)

Обратите внимание, что интегрирующий коэффициент \ mu (t)

положительно для всех t,

, как мы и предполагали. Возвращаясь к линейному дифференциальному уравнению, имеем:

\ dfrac {d} {dt} [\ mu (t) y] = \ mu (t) q (t)

Следовательно, общее решение:

y = \ dfrac {\ int \ mu (s) q (s) ds + C} {\ mu (t)}

Обратите внимание, что для нахождения решения линейного дифференциального уравнения требуются два интегрирования: одно для получения интегрирующего множителя \ mu (t), а другое – для получения y.5}}

Точные уравнения и интегрирующие множители

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

м (t, y) + n (t, y), \ dfrac {dy} {dt} = 0

Мы предполагаем, что он не является ни линейным, ни разделимым, поэтому методы, подходящие для этих типов уравнений, здесь не применимы. Но предположим, что мы можем идентифицировать функцию Psi (t, y) такую, что:

\ dfrac {\ partial Psi} {\ partial t} = m (t, y) ,, \ qquad \ dfrac {\ partial Psi} {\ partial y} = n (t, y)

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

м (t, y) + n (t, y), \ dfrac {dy} {dt} = \ dfrac {\ partial Psi} {\ partial t} + \ dfrac {\ partial Psi} {\ partial y}, \ dfrac {dy} {dt} = \ dfrac {d} {dt}, Psi [t, y (t)] = 0

Такое дифференциальное уравнение называется точным уравнением.Решение точного уравнения дается неявно

фунтов на квадратный дюйм (t, y) = C,

где, как обычно, C

представляет собой произвольную константу.

Систематический способ определения точности данного дифференциального уравнения обеспечивается с помощью следующего теста. Если m (t, y) и n (t, y) – непрерывные функции, то дифференциальное уравнение первого порядка вида:

м (t, y) + n (t, y), \ dfrac {dy} {dt} = 0

является точным тогда и только тогда, когда:

\ dfrac {\ partial m (t, y)} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial n (t, y)} {\ partial t}

В некоторых случаях неточное дифференциальное уравнение можно преобразовать в точное уравнение.Такое преобразование возможно, если мы умножим уравнение на подходящий интегрирующий коэффициент. Чтобы исследовать возможность реализации этой идеи в более общем плане, давайте умножим уравнение на функцию \ mu, а затем попробуем выбрать \ mu так, чтобы полученное уравнение:

\ mu (t, y) m (t, y) + \ mu (t, y) n (t, y), \ dfrac {dy} {dt} = 0

проходит проверку на точность:

\ dfrac {\ partial} {\ partial y} [\ mu m] = \ dfrac {\ partial} {\ partial t} [\ mu n]

Хотя в принципе интегрирующие множители являются мощным инструментом для решения дифференциальных уравнений, на практике их можно найти только в особых случаях.Наиболее важная ситуация, в которой можно найти интегрирующие факторы, возникает, когда \ mu является функцией только одной из переменных t или y, а не обеих. Предполагая, что \ mu является функцией только t, мы имеем:

\ dfrac {d \ mu} {dt} = g \ mu ,, \ qquad g = \ dfrac {1} {n} \ left (\ dfrac {\ partial m} {\ partial y} – \ dfrac {\ partial п} {\ partial t} \ right)

Если g является функцией только t, то интегрирующий коэффициент \ mu можно определить как:

\ му (t) = ехр \ влево (\ int g (t) dt \ вправо)

Аналогичную процедуру можно использовать для определения условия, при котором дифференциальное уравнение имеет интегрирующий коэффициент, зависящий только от y.2 = С

Завершение всего

В этой обзорной статье исчисления III мы исследовали различные типы дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть приняты. Теперь вы сможете определить тип дифференциального уравнения, а затем применить правильный метод его решения. Мы надеемся, что этот пост придаст вам больше уверенности в ваших знаниях дифференциальных уравнений первого порядка и облегчит ваше изучение Calculus III.

Давайте применим все на практике.Попробуйте этот практический вопрос по дифференциальным уравнениям:

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях?

Вы можете найти тысячи практических вопросов на Albert.io. Albert.io позволяет настроить процесс обучения так, чтобы он ориентировался на практику там, где вам больше всего нужна помощь. Мы зададим вам сложные практические вопросы, которые помогут вам овладеть дифференциальными уравнениями.

Начните практиковать здесь .

Вы преподаватель или администратор, заинтересованный в улучшении результатов учащихся по дифференциальным уравнениям?

Узнайте больше о наших школьных лицензиях здесь, .

Дифференциальные уравнения, часть I: Дифференциальные уравнения первого порядка

июль 11-е, 2017 г.

Этот пост будет кратким обзором дифференциальных уравнений первого порядка. Я не буду здесь сосредотачиваться в основном на доказательствах, а буду сосредоточиваться на методах решения уравнений, а также на теоремах существования и единственности.Уникальность говорит нам о том, что существует только одно решение дифференциального уравнения в указанном интервале.

Эти заметки требуют поверхностного знания линейной алгебры и многомерного исчисления.

Интегрирующие факторы

Интегрирующие множители могут использоваться для решения уравнений первого порядка степени $ 1 $, другими словами уравнений вида:

$$ y ‘+ P (t) y = Q (t) $$

Идея состоит в умножении на множитель $ \ mu (t) $, подобранный подходящим образом, чтобы левая часть была экземпляром правила произведения.{\ int P (t) dt} $$

После умножения мы остаемся с правилом произведения в левой части, что дает новое более простое дифференциальное уравнение:

$$ (\ mu (t) y (t)) ‘= \ mu (t) Q (t) $$

И это не должно быть сложно интегрировать в целом.

Разделимые уравнения

Разделимое дифференциальное уравнение можно переписать в виде:

$$ N (y) \ frac {dy} {dx} = M (x) $$

Переписывание:

$$ N (y) dy = M (x) dx $$

Объединение обеих сторон дает решение для $ y $.2 = c $, определяющий круг радиуса $ \ sqrt {c} $.

Тогда по теореме о неявной функции, предполагая, что матрица Якоби $ f $ обратима, мы можем написать:

$$ f (x, y (x)) = c $$

Другими словами, мы можем записать $ y $ через $ x $. Кроме того, можно вычислить скорость изменения $ dy / dx $:

$$ \ frac {dy} {dx} = – \ frac {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} $$

Итак, вместо изучения приведенного выше дифференциального уравнения, мы изучаем связанную неявно определенную поверхность с $ f (x, y) = c $ для некоторой константы, такой что $ f_x = M, f_y = N $ (где $ f_x $ обозначает частная производная $ \ frac {\ partial f} {\ partial x} $).В общем, такую ​​функцию $ f $ найти несложно, интегрировав $ M $ по $ x $ и $ N $ по $ y $.

Мы могли бы эквивалентно сказать, что мы можем проверить точность с необходимым и достаточным условием, что $ M_y = N_x $, а затем использовать вышеупомянутый метод.

Пример

Давайте посмотрим на: $ \ frac {dy} {dx} = – \ frac {x} {y} $, определенный в открытом наборе вне $ y = 0 $. У нас есть $ M = x, N = y $ (примечание: вы можете выбрать другие пары, например, $ M = 2x, N = 2y $, и единственное, что изменится, – это наш выбор константы).2 = c $. Поэтому вместо решения приведенного выше дифференциального уравнения мы просто используем начальные условия, чтобы найти $ c $, а затем решаем для $ y $ в терминах $ x $.

Существование и Уникальность

Как гарантировать существование и единственность решений дифференциального уравнения первого порядка?

Теорема

Если $ p (x), g (x) $ непрерывны в открытом интервале $ I $, содержащем $ x = x_0 $, то существует единственная функция $ y (x) $, удовлетворяющая уравнению:

$$ у ‘+ р (х) у = д (х) $$

А также начальное условие $ y (x_0) = 0 $ для каждого $ x \ in I $.

Доказательство существования дается построением в методе «интегрирующих факторов». Единственность гарантируется непрерывностью $ p, g $. Это говорит нам о том, что линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют уникальные решения.

Теорема

Пусть $ f (x, y) $ – вещественная функция с непрерывной производной $ \ frac {\ partial f} {\ partial y} $, которая непрерывна в некотором прямоугольнике плоскости, содержащей точку $ (x_0, y_0 ) $. В качестве более сильного условия мы могли бы просто сделать $ f $ дифференцируемым в некотором прямоугольнике.Тогда в некотором интервале $ (x_0 – h, x_0 + h) $ существует единственная функция $ y = \ phi (x) $ такая, что:

$$ \ phi (x) ‘= f (x, y) $$

$$ \ phi (x_0) = y_0 $$

Для заданного $ y_0 $.

Это говорит нам о том, что при определенных условиях мы можем даже иметь уникальные решения нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие начальным условиям (а именно, нам просто нужно $ y ‘= f (x, y) $ continuous с $ f_y $ continuous ).

Метод Эйлера

Чтобы приблизить решение, мы могли бы задать достаточно малый параметр $ h $ и пройти расстояние $ h $ касательной в любой точке.Ошибка – это квадратичный член разложения Тейлора; сделав $ h $ достаточно малым, мы сможем оставаться близко к кривой. Мы также можем создать $ n $ уравнений, называемых «конечно-разностными уравнениями», рекурсивно выражая $ y_n $, значение на этапе $ n $, через $ y_ {n-1} $. В этих случаях полезно рассматривать равновесные решения $ y_n = y_ {n + 1} $.

Загрузите эту страницу в формате PDF:

Примечание. Изображения заменены подписями.

Ссылка на PDF

Последние сообщения

% PDF-1.3 % 9 0 объект > эндобдж xref 9 82 0000000016 00000 н. 0000001985 00000 н. 0000002390 00000 н. 0000002596 00000 н. 0000002908 00000 н. 0000003128 00000 н. 0000003420 00000 н. 0000003721 00000 н. 0000003941 00000 н. 0000004447 00000 н. 0000004597 00000 н. 0000004780 00000 н. 0000005002 00000 н. 0000005041 00000 н. 0000005245 00000 н. 0000005479 00000 н. 0000005869 00000 н. 0000006020 00000 н. 0000006042 00000 н. 0000007182 00000 н. 0000007554 00000 н. 0000007705 00000 н. 0000008070 00000 н. 0000008273 00000 н. 0000008453 00000 п. 0000008656 00000 н. 0000008858 00000 н. 0000009061 00000 н. 0000009082 00000 н. 0000009949 00000 н. 0000010234 00000 п. 0000010438 00000 п. 0000010459 00000 п. 0000011515 00000 п. 0000011754 00000 п. 0000011960 00000 п. 0000012111 00000 п. 0000012402 00000 п. 0000012423 00000 п. 0000013242 00000 п. 0000013533 00000 п. 0000013836 00000 п. 0000013986 00000 п. 0000014136 00000 п. 0000014157 00000 п. 0000014936 00000 п. 0000014957 00000 п. 0000015682 00000 п. 0000015703 00000 п. 0000016646 00000 п. 0000016667 00000 п. 0000017323 00000 п. 0000019314 00000 п. 0000019527 00000 н. 0000025779 00000 п. 0000029136 00000 п. 0000038950 00000 п. 0000039173 00000 п. 0000041088 00000 п. 0000043214 00000 п. 0000043432 00000 п. 0000043635 00000 п. 0000043846 00000 п. 0000045831 00000 п. 0000047782 00000 п. 0000047994 00000 н. 0000049839 00000 п. 0000049917 00000 н. 0000052594 00000 п. 0000052795 00000 п. 0000053020 00000 п. 0000053223 00000 п. 0000053425 00000 п. 0000054674 00000 п. 0000054891 00000 п. 0000055252 00000 п. 0000060500 00000 н. 0000061729 00000 п. 0000064329 00000 н. 0000065802 00000 п. 0000002075 00000 н. 0000002369 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 10 0 obj > эндобдж 89 0 объект > транслировать Hb“`f`f`g`

Уменьшение заказа | StudyPug

Сокращение заказа

Метод уменьшения порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка основан на идее решения дифференциальных уравнений первого порядка одного за другим, которые были выведены из исходного уравнения второго порядка для упрощения задачи.Название этого метода происходит именно от этой процедуры, поскольку мы можем буквально сказать, что, решая дифференциальные уравнения первого порядка для нахождения решения задачи, мы «понизили» порядок исходного уравнения.

Когда у нас есть набор дифференциальных уравнений первого порядка для решения проблемы, мы можем работать с ними, используя более простые подходы, такие как метод разделяемых уравнений или уравнение Бернулли и т. Д. Какой подход будет выбран, зависит от того, какой набор уравнений вы используете. осталось решить, в этой статье мы продолжим и решим несколько различных примеров, чтобы показать пошаговую методологию.

Как упоминалось ранее, мы будем решать дифференциальные уравнения второго порядка методом редукции порядка, если вы еще не знакомы с этим типом уравнений или вам нужен быстрый обзор по теме, мы рекомендуем вам посетить раздел однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка на веб-сайте StudyPug, прежде чем вы продолжите эту тему.

Возвращаясь к основному вопросу этой статьи, как метод понижения порядка фактически преобразует исходное дифференциальное уравнение второго порядка в более простое? По правде говоря, чтобы мы могли работать с этим методом, мы уже должны знать одно из решений исходного дифференциального уравнения, чтобы мы могли найти второе решение, это второе решение не обязательно должно быть пропорционально данному решению или в другими словами, второе решение может быть линейно независимым, что обычно и является желаемым случаем.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Обычно пример, содержащий однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида:

Уравнение 1: Общий вид однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

Будет иметь два названных решения:

Уравнение 2: Типичный вид решений дифференциального уравнения

И общее решение будет иметь вид:

Уравнение 3: общая форма решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

Для подобных случаев заданная задача будет содержать уравнение 1 с определенными функциями a (x), b (x) и c (x), а также первое решение y 1 , которое уже определено.Затем дифференциальное уравнение второго порядка будет решено путем сведения к дифференциальному уравнению первого порядка, объединения и перемещения по уравнению для первого решения с использованием основного исчисления и часто исключительно алгебраической методологии, такой как простая подстановка, так что второе решение может быть найденным. В качестве вводного примера, включающего пошаговое объяснение того, как найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, где первое определенное решение является константой, пожалуйста, посмотрите наши видео в верхней части этой статьи на веб-сайте StudyPug в свой раздел «Приведение порядка».

Теперь все это может показаться немного запутанным на словах, поэтому, чтобы прояснить этот момент, давайте взглянем на следующий пример, где мы используем метод уменьшения порядка, чтобы найти второе решение дифференциального уравнения: В этом случае , найдем частное решение следующего однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Где известно, что y 1 (x) = x – решение, а начальные значения – y (1) = 2 и y ‘(1) = 1. Теперь мы собираемся найти второе решение y (x), которое, как мы эмпирически знаем, должно иметь вид y (x) = v (x) x = vx, преобразовав исходную задачу в уравнение первого порядка.

Причина, по которой второе решение автоматически принимает форму v * x, исходит из нашего самого простого предположения, которое подразумевает, что второе решение должно быть каким-то образом связано с первым, поэтому в этом случае мы выбираем случайную функцию x (который мы называем v (x)), чтобы умножить наше первое решение, давая нам обычную форму того, как должно выглядеть это второе решение. Наша задача здесь будет заключаться в том, чтобы найти, что такое v (x).

Используя этот метод, наше второе решение обычно будет полным общим решением дифференциального уравнения второго порядка, которое будет включать наше первое решение.Из-за этого, хотя манипуляции могут занять много времени, это один из лучших методов для получения окончательного решения дифференциального уравнения. В этом случае проблема будет объяснена шаг за шагом, и большинство из этих шагов (или их простая модификация) могут быть повторены для других примеров с однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, где решение и параметры известны.

  • Шаг первый: Для этой задачи мы начинаем манипуляции с получением первого и второго вывода нашего второго решения в его предполагаемой форме.

    Уравнение 4 (a): первый и второй вывод нашего второго решения

    Теперь мы подставляем эти выводы в наше дифференциальное уравнение второго порядка, так как мы хотим, чтобы они были его решением, поэтому наше дифференциальное уравнение идет от:

    Уравнение 4 (b): Подставляя значения, найденные для производных, во второе решение

    Обратите внимание, что мы факторизовали x и вычислили исчезающие члены, чтобы получить простейшую форму уравнения.

  • Шаг второй: Мы преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка, которое легче решить, подставив v ‘= w и v’ ‘= w’.

    Уравнение 4 (c): преобразование из дифференциального уравнения второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка

    Мы решаем это новое уравнение методом разделения:

    Уравнение 4 (d): решение с помощью разделяемых уравнений

    Результаты для этих интегралов были получены в предположении, что как w, так и x больше нуля.

    Применяя экспоненту к обеим сторонам, получаем окончательный ответ для w:

    Уравнение 4 (d-1): Окончательное значение w

    , где C 1 – также любое постоянное значение, эта константа – новое имя, которое мы добавляем к e C = C 1

  • Шаг третий: Найдя w, мы получаем значение v (x), вычисляя первообразную w.

    Уравнение 4 (e): получение значения v (x)

    Поскольку все константы – любые числа, для простоты приравняем их все к 1 и получим:

    Уравнение 4 (e-1): упрощенное значение v (x)

    Итак, наше второе решение:

    Уравнение 4 (f): второе решение y в его общем виде

    Обратите внимание, что это общее решение, содержащее y 1 (x) = x в форме:

    Уравнение 4 (g): Общее решение y, содержащее первое решение

    Где y 2 (x) = xln (x) и c 1 и c 2 – две новые константы, которые нам нужно найти.

  • Шаг четвертый: Чтобы найти частное решение исходного однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, мы вводим начальные параметры y (1) = 2 и y ‘(1) = 1.

    Уравнение 4 (h): ввод начальных условий для нахождения конкретного решения дифференциального уравнения

    Мы знаем, что по определению ln (1) = 0

    Итак, второй член в уравнении исчезает, и остается: c 1 = 2

    Теперь мы получаем первую производную от y для использования второго параметра:

    Уравнение 4 (h-1): ввод начального условия в первую производную y, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения

    Следовательно, окончательное общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет:

    Уравнение 4 (i): Окончательное общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы подвести итог выполненным шагам, давайте перечислим их с небольшим описанием каждого.Вы можете вернуться к этому списку шагов, пока будете работать над другими проблемами, связанными с методом уменьшения порядка.

  1. Получите первый и второй вывод второго решения в его предполагаемой форме. Затем подставьте их в исходное дифференциальное уравнение второго порядка, которое мы хотим решить.
  2. Мы преобразовываем дифференциальное уравнение второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка, подставляя v ‘= w и v’ ‘= w’. Затем решите уравнение первого порядка, используя более простые методы, такие как разделение, чтобы получить значение w.
  3. Получите значение v (x), вычислив первообразную w. Подставьте это в предполагаемую форму второго решения, чтобы получить общее решение дифференциального уравнения второго порядка.
  4. Найдите частное решение проблемы, введя начальные условия (или параметры), указанные в задаче.

Как вы, возможно, уже поняли, не существует уникальной формулы сокращения порядка, которая работает для каждого сценария, поэтому метод порядка уменьшения на самом деле представляет собой комбинацию методов, которые мы уже знаем о том, как решать дифференциальные уравнения первого порядка вместе с новыми уловки в нашей сумке о дифференциации, знания о типах дифференциальных уравнений второго порядка, которые у нас есть, и некоторые ноу-хау или навыки, которые каждый развивает на практике.

Редукция примеров заказа

Как упоминалось ранее, для решения задач сокращения порядка необходимо развить определенные эмпирические навыки, если хотите, и для этого мы рассмотрим другой пример, в котором мы будем следовать шагам, перечисленным выше. Вы заметите, что, несмотря на наличие основных инструкций, для каждого отдельного примера вам придется решать проблемы самостоятельно.

Основная цель этого примера – увидеть логику предлагаемых шагов решения, а в конце вам будет предоставлен способ проверить правильность вашего решения.Также небольшое напоминание: мы рекомендуем вам понять каждый этап проблем, описанных в этой статье, чтобы вы могли вернуться к ним позже, чтобы попрактиковаться и даже использовать их в качестве справочника позже в своих исследованиях.

Итак, вот последний пример, имеющий следующее однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Уравнение 5: Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

для x> 0 и y 1 (x) = x с начальными условиями: y (1) = 3 и y ‘(1) = 3/2

  • Шаг первый: Мы можем справедливо предположить, что решение будет иметь вид y (x) = v (x) × x = vx, поэтому мы получаем его первую и вторую производную:

    Уравнение 5 (a): первый и второй вывод нашего второго решения

    Затем мы подставляем эти три уравнения в исходное дифференциальное уравнение второго порядка:

    Уравнение 5 (b): Подставляя значения, найденные для производных, во второе решение

    Обратите внимание, что в последней части уравнения члены, содержащие v, компенсируют друг друга, обычно это будет так, чтобы облегчить нам следующий шаг.Итак, наше уравнение было упрощено, и мы можем преобразовать его в дифференциальное уравнение первого порядка на следующем шаге.

  • Шаг второй: Сделаем замену v ‘= w и v’ ‘= w’, чтобы преобразовать дифференциальное уравнение второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка.

    Уравнение 5 (c): преобразование из дифференциального уравнения второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка

    Теперь решаем для w разделением:

    Уравнение 5 (d): решение с помощью разделяемых уравнений

    Помните, что C – это просто константа, поэтому мы ее переименовываем.

    В этот момент вы будете время от времени видеть, как константы появляются, помните, что это просто случайные числа, которых мы не знаем, и поэтому мы не можем больше ничего делать, кроме как давать им имена, чтобы они оставались в наших операциях. В некоторых примерах вы можете просто упростить уравнения, предположив, что все константы имеют значение 1 (точно так же, как мы делали раньше в этой статье), это можно сделать, поскольку соотношение пропорциональности сохраняется, даже если вы присваиваете значение этим константам. В этом примере удобно оставить константы такими, какие они есть, поэтому мы продолжаем их, называя и переименовывая их по мере того, как они продолжают преобразовываться в наших операциях, но имейте в виду, каждый раз, когда вы видите C в операциях с новый субиндекс, это просто означает, что либо появилась новая константа, либо мы изменили имя той, которая у нас уже была, из-за операций, через которые она прошла.Мы будем решать эти константы в конце.

  • Шаг третий: Получите значение v (x), вычислив первообразную w.

    Уравнение 5 (e): получение значения v (x)

    Подставляем это в y (x) = vx

    Это общее решение дифференциального уравнения второго порядка вида: y (x) = c 1 y 1 + c 2 y 2

    Уточнение:

    Обратите внимание, что в нашем решении константы записываются с заглавной буквы «C», в то время как в этом последнем уравнении имена констант записываются в нижнем регистре «c».Причина в том, что формула, содержащая константы в нижнем регистре, – это просто обычная формула, которую мы используем для обозначения общего решения ЛЮБОГО однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Следовательно, эти строчные буквы “c” – это не те константы, которые мы нашли в нашем решении y. Наши прописные буквы “C” – это наши конкретные константы решения, которые необходимо найти в этом примере.

  • Шаг четвертый: Теперь мы, наконец, можем найти частное решение проблемы, просто введя заданные начальные условия.В этом случае:

    Уравнение 5 (g): начальные условия для дифференциального уравнения

    Следовательно, мы получаем первую производную нашего решения уравнения и применяем условия:

    Уравнение 5 (h): ввод начальных условий для нахождения конкретного решения дифференциального уравнения

    Итак, имея два уравнения:

    Уравнение 5 (h-1): два уравнения для двух неизвестных для нахождения значений неизвестных констант.

    Мы решаем две константы, используя базовую алгебру:

    Уравнение 5 (h-2): Нахождение значений двух неизвестных констант

    Подставляя это в наше общее решение, получаем:

    Уравнение 5 (i): Окончательное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

Вы можете вернуться самостоятельно и доказать, что это решение правильное.

Если вы не знаете, как это сделать, основные шаги для доказательства – найти первую и вторую производную вашего решения, а затем вставить ее в исходное дифференциальное уравнение второго порядка. Как только вы максимально упростите все члены в уравнении, вы заметите, как все они будут компенсировать друг друга, поскольку все уравнение равно нулю. Позвольте нам сделать это, чтобы вы могли увидеть, как это делается, и самостоятельно воссоздать его для будущих проблем:

Доказательство:

  • Уравнение 6: Получение производных от найденного выражения y для доказательства решения дифференциального уравнения

  • Подставляя это в уравнение 5:

    Уравнение 7: Подставляем значения, найденные в уравнении 6, в уравнение 5

  • Как видите, сразу же отменяются третий и пятый термины, оставив:

    Уравнение 8: Решение, найденное для дифференциального уравнения, является правильным, поскольку обратный инжиниринг дает тот же ответ.

    Итак, ответ, который мы получили для дифференциального уравнения второго порядка, ПРАВИЛЬНЫЙ!

Если в любом другом случае, пока вы практикуетесь самостоятельно, ваше решение не разрешает исходное дифференциальное уравнение второго порядка при прохождении доказательства, тогда вам нужно начать заново решать дифференциальное уравнение и посмотреть, где возникла ошибка.Не расстраивайтесь, если это произойдет, помните, что все дело в практике, и вы быстро освоите ее.

Обратите внимание, что в этой статье мы сосредоточились на решении однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка, но вы также можете использовать метод понижения порядка для решения неоднородного дифференциального уравнения. Мы оставим это обсуждение для другого раздела. На данный момент основная цель состоит в том, чтобы вы познакомились с методом и поняли, что не существует редукции дифференциальных уравнений порядка, которые волшебным образом дадут вам ответ, а все дело в математической обработке информации и знаниях / навыках, которые мы уже имеют.

Чтобы ознакомиться с примерами использования этого и других методов при решении дифференциальных уравнений второго порядка для физических задач, посетите раздел приложений дифференциальных уравнений второго порядка, где вы найдете содержательный подход к проблемам дифференциальных уравнений, посмотрев, насколько полезны эти математические выражения и методы лежат в основе нашего постепенного понимания мира и развития технологий.

Мы также рекомендуем взглянуть на следующие примечания к дифференциальным уравнениям и примеры по технике сокращения порядка.

Что делает дифференциальное уравнение первого порядка? – Mvorganizing.org

Что делает дифференциальное уравнение первого порядка?

Определение 17.1. 1 Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида F (t, y, ˙y) = 0. Решением дифференциального уравнения первого порядка является функция f (t), которая делает F (t, f (t), f ′ (t)) = 0 для любого значения t. Здесь F – функция трех переменных, которые мы обозначаем t, y и ˙y.

В чем разница между дифференциальными уравнениями первого и второго порядка?

Уравнение (1) относится к первому порядку, потому что самая высокая производная, которая появляется в нем, является производной первого порядка.Таким же образом, уравнение (2) имеет второй порядок, как и y. имеет второй порядок, линейный, неоднородный и с постоянными коэффициентами.

Сколько начальных условий необходимо для дифференциального уравнения второго порядка?

Для решения одномерного линейного уравнения в частных производных второго порядка нам требуются одно начальное и два граничных условия.

Как решить неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка?

, где a (x) и f (x) – непрерывные функции от x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка: использование интегрирующего множителя; Метод изменения постоянной.

Какая стандартная форма дифференциального уравнения?

Начнем со стандартной формы линейного дифференциального уравнения первого порядка: y ′ + p (x) y = q (x).

Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, пояснить на примере?

Общие уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение Метод решения
Первого порядка, однородный Установите y = ux, затем решите разделением переменных в u и x.
Первого порядка, отделяемое Разделение переменных (разделить на xy).
Точный дифференциал первого порядка, где Интегрируйте повсюду.

Какая самая сложная математика?

Это 10 самых сложных математических задач, которые когда-либо решались

  • Гипотеза Коллатца. Дэйв Линклеттер.
  • Гипотеза Гольдбаха Creative Commons.
  • Гипотеза о простом числе близнецов.
  • Гипотеза Римана.
  • Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера.
  • Задача о целующемся числе.
  • Проблема без узлов.
  • Большой кардинальный проект.

Какой уровень математики – это дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения часто преподаются в серии исчислений. В зависимости от того, какими методами занимается курс, его размещение может меняться. Однако часто это происходит в конце последовательности исчисления (Calc I – III).

Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

Линейные уравнения:

Общее общее решение дается формулой

куда

называется интегрирующим коэффициентом .

Разделимые уравнения:

(1)
Решите уравнение g ( y ) = 0, которое дает постоянную решения.
(2)
Непостоянные решения даются формулой

Уравнения Бернулли:

(1)
Рассмотрим новую функцию.
(2)
Новое уравнение, которому удовлетворяет v :

(3)
Решите новое линейное уравнение, чтобы найти v .
(4)
Возврат к старой функции y через подстановку.
(5)
Если n > 1, добавьте решение y = 0 к уже полученным (4).

Однородные уравнения:

является однородным , если функция f ( x , y ) однородна, то есть

Подстановкой мы рассматриваем новую функцию

Новое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет z , имеет вид

которое является сепарабельным уравнением.Решения постоянные f (1, z ) – z = 0 и непостоянные, заданные как

Не забудьте вернуться к старой функции y = xz .

Точные уравнения:

будет точным , если

Условие точности гарантирует существование функции F ( x , y ) такой, что

Все решения даются неявным уравнением

Дифференциальные уравнения второго порядка

Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами:

Запишите характеристическое уравнение

(1)
Если и являются различными действительными числами (это происходит если), то общее решение

(2)
Если (что произойдет, если), то общее решение

(3)
Если и – комплексные числа (что происходит, если ), то общее решение

где

то есть

Неоднородные линейные уравнения:

Общее решение дается формулой

где – частное решение, а – общее решение связанного однородного уравнения

Для поиска были разработаны два основных метода.

Метод неопределенных коэффициентов или метод угадывания

Этот метод работает для уравнения

где a , b и c постоянны и

где – полиномиальная функция степени n . В этом случае мы имеем

куда

Константы и должны быть определены. Сила s равно 0, если не является корнем характеристическое уравнение.Если это простой корень, то s = 1 и s = 2, если это двойной корень.
Замечание. Если неоднородный член г ( x ) удовлетворяет следующим

где есть формы, указанные выше, то мы разбиваем исходное уравнение в уравнения N

затем найдите конкретное решение. Конкретное решение исходное уравнение дается

Метод изменения параметров

Этот метод работает до тех пор, пока мы знаем два линейно независимых решения однородного уравнения

Обратите внимание, что этот метод работает независимо от того, являются ли коэффициенты постоянный или нет.конкретный решение как

где и – функции. Отсюда и название метода.
Функции и решения системы:

что подразумевает

Следовательно, мы имеем

Уравнения Эйлера-Коши:

где b и c – постоянные числа. Путем подстановки установить

то новое уравнение, которому удовлетворяет y ( t ), будет

которое является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянной коэффициенты.

(1)
Запишите характеристическое уравнение

(2)
Если корни и являются различными действительными числами, то общее решение дается формулой

(2)
Если корни и равны (), то общее решение

(3)
Если корни и являются комплексными числами, то общее решение

где и.

[Дифференциальные уравнения] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. – П.О. Box 12395 – El Paso TX 79913 – США
пользователей онлайн за последний час .

Оставить комментарий