Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

п.3. Закон радиоактивного распада

В многочисленных экспериментах по определению радиоактивности вещества был установлен следующий факт:

Перейдем к бесконечно малым \(dN\) и \(dt\) и запишем соответствующее этому факту дифференциальное уравнение: $$ \frac{dN}{td}=-\lambda N $$ где знак «-» учитывает уменьшение числа атомов N со временем.
Полученное ДУ является уравнением с разделяющимися переменными.
Найдем его общее решение: $$ \frac{dN}{N}=-\lambda dt\Rightarrow\int\frac{dN}{N}=-\lambda\int dt\Rightarrow \ln N=-\lambda t+C $$ Пусть в начальный момент времени \(t=0\) в образце было \(N_0\) атомов.

Закон радиоактивного распада
Количество атомов радиоактивного вещества убывает по экспоненциальному закону: $$ N(t)=N_0e^{-\lambda t} $$ где \(N_0\) – начальное количество атомов вещества, \(\lambda\) – постоянная распада, характеризующая вероятность распада в единицу времени.

За время \(\tau=\frac 1\lambda\) число атомов радиоактивного вещества уменьшается в e раз.
За время \(T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\) (время полураспада) число атомов радиоактивного вещества уменьшается в 2 раза.

п.4. Зарядка конденсатора

По закону Ома для замкнутой цепи можем записать: $$ I(R+r_0)+U=\varepsilon $$ где \(I\) – ток в цепи, \(I(R+r_0)\) – падение напряжения на резисторе и источнике, \(U\) – напряжение на конденсаторе, \(\varepsilon\) – ЭДС источника.
Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=\frac{dq}{dt}=\frac{d(CU)}{dt}=C\frac{dU}{dt} $$ Подставляем: $$ C\frac{dU}{dt}\cdot (R+r_0)=\varepsilon-U $$ Получили ДУ с разделяющимися переменными: $$ \frac{dU}{\varepsilon-U}=\frac{dt}{C(R+r_0)} $$ Интегрируем (не забываем про минус перед U в знаменателе): $$ \int\frac{dU}{\varepsilon-U}=-\ln(\varepsilon-U),\ \ \int\frac{td}{C(R+r_0)} = \frac{t}{C(R+r_0)} $$ Общее решение: $$ \ln(\varepsilon-U)=-\frac{t}{C(R+r_0)}+B $$ где \(B\) константа, которую мы обозначили так, чтобы не путать с емкостью. 4=\frac{1}{16} $$ в 16 раз.
Получаем: $$ m\left(4T_{\frac12}\right)=\frac{m_0}{16},\ \ m\left(4T_{\frac12}\right)=\frac{64}{16}=4\ \text{(г)} $$ Ответ: 4 г

Пример 4. Выведите зависимость \(U(t)\) на обкладках конденсатора при его разрядке в RC-цепи.

По закону Ома для замкнутой цепи: $$ IR+U=0 $$ Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=\frac{dq}{dt}=\frac{d(CU)}{dt}=C\frac{dU}{dt} $$ Подставляем: $$ RC\frac{dU}{dt}=-U $$ Получили ДУ с разделяющимися переменными: $$ \frac{dU}{U}=-\frac{dt}{RC} $$ Интегрируем: $$ \int\frac{dU}{U}=\ln U,\ \ \int{dt}{RC}=\frac{t}{RC} $$ Общее решение: $$ \ln U=-\frac{t}{RC}+B $$ где \(B\) константа, которую мы обозначили так, чтобы не путать с емкостью.
Начальное условие \(U(0)=0\). Подставляем: $$ \ln U_0=-\frac{0}{RC}+B\Rightarrow B=\ln U_0 $$ Решение задачи Коши: \begin{gather*} \ln U=-\frac{t}{RC}+\ln U_0\Rightarrow\ln U-\ln U_0=-\frac{t}{RC}\Rightarrow \ln\frac{U}{U_0}=-\frac{t}{RC}\\ \frac{U}{U_0}=e^{-\frac{t}{RC}} \end{gather*}

Например, \(при U_0=5В,\ RC=0,01 с\) график разрядки конденсатора имеет вид:

Решение линейных ДУ первого порядка с разделяющимися переменными

ПрактическАЯ РАБОТА№ 17

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Цели:

•  изучить понятие дифференциального уравнения
• рассмотреть  дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
• научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Оснащение занятия:   конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

– Ознакомиться с лекцией № 20

– Записать в тетрадь разобранные примеры  на  решение  дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Лекция 20.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ПрактическАЯ РАБОТА№ 17

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Цели:

• изучить понятие дифференциального уравнения

• рассмотреть дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

• научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

– Ознакомиться с лекцией № 20

– Записать в тетрадь разобранные примеры на решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Лекция 20.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Примеры для самостоятельного решения.

Задание 2.

Решить дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1. (y-1)²dx + (1 – x)³dy = 0

2. xdx – y(4 + x²) dy = 0

3. cos x cos y dx – sin x sin y dy = 0

4. ln x sin³y dx + x cos y dy = 0

5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

3xdx + (1 –x²) dy = 0y(0) = 0

Уравнения с разделяющимися переменными

К У Р С

В Ы С Ш Е Й

М А Т Е М А Т И К И

ЧАСТЬ 3

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

Тогда получаем: – уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

– обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается .

– обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается

– дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решениемдифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т. е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интеграломдифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

– это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Определение. Интегральной кривойназывается график y = j(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решениемдифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Найти особое решение, если оно существует.

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С₁ = 0 ошибочно, ведь C₁ = e^{C¹ 0.}

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

– это так называемая дифференциальная формауравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y’ = f(x).

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х₀ и у₀, то можно определить постоянную С.

К У Р С

В Ы С Ш Е Й

М А Т Е М А Т И К И

ЧАСТЬ 3

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

Тогда получаем: – уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

– обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается .

– обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается

– дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решениемдифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т. е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интеграломдифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

– это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Определение. Интегральной кривойназывается график y = j(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решениемдифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Найти особое решение, если оно существует.

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С₁ = 0 ошибочно, ведь C₁ = e^{C¹ 0.}

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

– это так называемая дифференциальная формауравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y’ = f(x).

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х₀ и у₀, то можно определить постоянную С.

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

Получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

– это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

– верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.

при у(2) = 1 получаем

Итого: или – частное решение;

Проверка: , итого

– верно.

Пример. Решить уравнение

– общий интеграл

– общее решение

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).

Если у(1) = 0, то

Итого, частный интеграл: .

Пример. Решить уравнение .

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение .

; ;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х₀ и у₀. Тогда:

Получаем частное решение

Однородные уравнения.

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример. Является ли однородной функция

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Уравнения, приводящиеся к однородным.

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения вида .

Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой

где a и b – решения системы уравнений

Пример. Решить уравнение

Получаем

Находим значение определителя .

Решаем систему уравнений

Применяем подстановку в исходное уравнение:

Заменяем переменную при подстановке в выражение, записанное выше, имеем:

Разделяем переменные:

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

Итого, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

В случае если в исходном уравнении вида определитель то переменные могут быть разделены подстановкой

Пример. Решить уравнение

Получаем

Находим значение определителя

Применяем подстановку

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

.

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

Общее решение:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

При этом очевидно, что – дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т. к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как

и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, можем найти функцию v:

; ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

, С₂ – произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Разделимые дифференциальные уравнения

\(\newcommand{\trace}{\operatorname{tr}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imaginary}{\operatorname{Im}} \новая команда{\lt}{<} \новая команда{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)

Мы определим дифференциальное уравнение порядка \(n\) как уравнение, которое можно представить в виде

\begin{уравнение*} F(t, x, x’, x”, \ldots, x^{(n)}) = 0, \end{уравнение*} 9{(п)}) = 0. \end{уравнение*}

В этой главе мы сосредоточимся на дифференциальных уравнениях первого порядка. То есть мы будем рассматривать уравнения вида

\begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} = f(t, x). \end{уравнение*}

Подраздел 1.2.1 Разделимые дифференциальные уравнения

Для некоторых дифференциальных уравнений первого порядка, таких как

\begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} = k x \end{уравнение*} 9{kt}\text{.}\) В общем случае для произвольного дифференциального уравнения первого порядка мы не можем найти такую ​​формулу. Однако мы можем решить дифференциальное уравнение \(y’ = f(x, y)\), если запишем это уравнение в виде

\begin{уравнение*} f(x) + g(y) \frac{dy}{dx} = 0. \end{уравнение*}

Такие уравнения называются сепарабельными . Мы можем решать разделимые уравнения, интегрируя первый член по \(x\) и второй член по \(y\text{.}\)

Пример 1.2.1

Предположим, что мы хотим решить задачу с начальными значениями

\начать{выравнивать*} \frac{dy}{dx} & = xy\\ у (0) & = 1. \конец{выравнивание*}

Мы можем переписать это уравнение в виде

\begin{уравнение*} \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \end{уравнение*}

или альтернативная форма

\begin{уравнение*} \frac{1}{y} \, dy = x \, dx. \end{уравнение*} 92/2}. \end{уравнение*}

Команды Sage для решения нашей задачи с начальными значениями приведены ниже.

Если мы попросим Мудреца решить дифференциальное уравнение, которое невозможно решить аналитически, вычисление вернет ошибку. Sage не решит проблему начального значения

\начать{выравнивать*} \frac{dy}{dx} & = \sin(xy)\\ у (0) & = 1. \конец{выравнивание*}

Пример 1.2.2 92| }. \end{уравнение*}

Обратите внимание, что решение не имеет смысла для всех значений \(t\text{.}\) На самом деле решение определено только на интервале \(-1 \lt t \lt 1\text{,}\ ), если мы потребуем, чтобы наше решение было непрерывным. Посмотрим, что скажет Sage . 2 = -1\text{.}\) Мы рассмотрим роль комплексных чисел и то, насколько они полезны при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений, позже. главу, но на данный момент комплексные числа только запутают ситуацию.

Пример 1.2.3

Задача с начальным значением в примере 1.1.2 является хорошим примером разделимого дифференциального уравнения,

\начать{выравнивать*} \frac{dP}{dt} & = k \left( 1 – \frac{P}{1000} \right) P\\ Р(0) & = 100. \конец{выравнивание*}

Используя частичные дроби, мы можем переписать это уравнение как

\begin{уравнение} \frac{1000}{P(1000 – P)} \, dP = \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1000-P}\right) \, dP = k \, dt .\label{equation-firstlook02-logistic-IVP}\tag{1.2.1} \end{уравнение} 9{-кт} + 1}. \end{уравнение*}

Используя наше начальное условие \(P(0) = 100\text{,}\), мы можем определить, что \(C = 9\text{.}\)

Подраздел 1.2.2. Закон охлаждения Ньютона.

Разделимые уравнения возникают в широком диапазоне прикладных задач. Не нужно смотреть слишком много криминальных драм, чтобы понять, что время смерти жертвы убийства является важным вопросом во многих уголовных расследованиях. Как судмедэксперт или судмедэксперт определяет время смерти? У человека температура \(9\цирк\)Ф. Если температура окружающей среды ниже, то тело после смерти остынет. В конце концов, температура тела сравняется с температурой окружающей среды. Мы также не должны ожидать, что тело будет охлаждаться с постоянной скоростью. Подумайте о том, как остывает горячая чашка кофе или чая. Жидкость довольно быстро остынет в течение первых нескольких минут, но будет оставаться относительно теплой в течение довольно длительного периода времени.

Ответ на наш криминалистический вопрос можно найти, используя закон охлаждения Ньютона , что говорит нам о том, что скорость изменения температуры объекта пропорциональна разнице между температурой объекта и температурой окружающей среды. Закон охлаждения Ньютона можно легко сформулировать в виде дифференциального уравнения

\begin{уравнение*} \frac{dT}{dt} = k(T – T_m), \end{уравнение*}

, где \(T\) – температура объекта, \(T_m\) – температура окружающей среды, а \(k\) – константа пропорциональности. 9\circ\)F в течение первого часа после смерти. Чтобы определить формулу времени смерти, мы должны решить начальную задачу

\начать{выравнивать*} \frac{dT}{dt} & = k(T – 70)\\ Т(0) & = 98,6, \конец{выравнивание*}

, где \(T(1) = 96,6\text{.}\) Если мы перепишем уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dT}{dt} = k(T – 70) \end{уравнение*}

как

\begin{уравнение*} \frac{1}{T – 70} \frac{dT}{dt} = k, \end{уравнение*} 9{-0,0725 т} + 70. \end{уравнение*}

График \(T\) кажется подходящим для нашей модели (рис. 1.2.4).

Давайте решим наше дифференциальное уравнение, используя Sage .

Мы можем использовать Sage для построения нашего решения.

Подраздел 1.

Существует большой класс задач моделирования, известный как задачи смешивания . Эти проблемы относятся к ситуациям, когда два или более веществ смешиваются вместе в контейнере или контейнерах. Например, мы можем захотеть смоделировать, как химические вещества смешиваются на нефтеперерабатывающем заводе, как загрязняющие вещества смешиваются вместе в пруду или озере, как смешиваются ингредиенты при варке пива или даже как различные парниковые газы смешиваются вместе в разных слоях воды. атмосфера.

Предположим, что у нас есть большой резервуар, содержащий 1000 галлонов чистой воды, и что вода, содержащая 0,5 фунта соли на галлон, поступает в резервуар со скоростью 10 галлонов в минуту. Если бак также опорожняется со скоростью 10 галлонов в минуту, уровень воды в баке останется постоянным. Будем считать, что вода в баке постоянно перемешивается, чтобы смесь соли и воды в баке была однородной.

Мы можем смоделировать количество соли в резервуаре с помощью дифференциальных уравнений. Если \(x(t)\) – это количество соли в баке в момент времени \(t\text{,}\), то скорость, с которой содержание соли в баке изменяется, представляет собой разницу между скоростью, с которой соль втекает в резервуар и скорость, с которой он выходит из резервуара, или

\begin{уравнение} \frac{dx}{dt} = \text{скорость входа} – \text{скорость выхода}.\label{equation-firstlook02-mixing-problem}\tag{1.2.2} \end{уравнение}

Разумеется, соль поступает в бак со скоростью \(10 \cdot 0,5 = 5\) фунтов соли в минуту. Однако скорость, с которой соль покидает резервуар, зависит от \(x(t)\text{,}\) количества соли в резервуаре в момент времени \(t\text{.}\) В момент времени \(t\ text{,}\) в одном галлоне содержится \(x(t)/1000\) фунтов соли. Следовательно, соль вытекает из резервуара со скоростью \(10x(t)/1000 = x(t)/100\) фунтов в минуту. Уравнение (1.2.2) теперь становится

\начать{выравнивать*} \frac{dx}{dt} \amp = 5 – \frac{x}{100}\\ х(0) \амп = 0. \конец{выравнивание*}

Это уравнение разделимо,

\begin{уравнение*} \frac{dx}{500 – x} = \frac{dt}{100}. \end{уравнение*}

Интегрируя обе части уравнения, мы имеем

\begin{уравнение*} -\ln|500 – х| = \frac{t}{100} + k \end{уравнение*}

или

\begin{уравнение*} \ln|500 – х| = – \frac{t}{100} – k. \end{уравнение*} 9{-0,01t} \end{уравнение*}

моделирует количество соли в баке в момент времени \(t\text{.}\) Обратите внимание, что \(x(t)\to 500\) as \(t \to \infty\text{,}\) as ожидал.

Подраздел 1.2.4 Пенсионная модель

Дифференциальные уравнения имеют множество приложений в экономике и финансах. Например, доктор Дж., профессор колледжа, мудро начал откладывать на пенсию, как только он начал работать, и теперь у него есть 500 000 долларов на пенсионном счете, на который постоянно начисляются проценты в размере 5%. Проблема начального значения, 9{0,05 т}. \end{уравнение*}

Если д-р Дж. планирует выйти на пенсию через 10 лет, он может рассчитывать на заначку в размере \(P(10) \приблизительно 824,360635350064\) или около 824 360 долларов.

Конечно, доктор Дж. по-прежнему планирует делать взносы в свой пенсионный фонд в течение следующих десяти лет работы. Его ежегодный взнос составит 5000 долларов, и его работодатель щедро покроет эту сумму. Если мы предположим, что эти вклады будут распределяться равномерно в течение года, мы можем включить эту информацию в нашу первоначальную задачу о начальных значениях 9.0003

\начать{выравнивать*} \frac{dP}{dt} \amp = 0,05 P + 10\\ Р(0) \амп = 500 \конец{выравнивание*}

Это дифференциальное уравнение разделимо, поэтому мы имеем

\begin{уравнение*} \int \frac{dP}{0,05P + 10} = \int dt. \end{уравнение*}

Интегрируя обе части этого уравнения, мы имеем

\begin{уравнение*} 20\ln|0,05P + 10| = т + к, \end{уравнение*}

, где \(k\) — произвольная константа. Так как \(0.05P + 10 \gt 0\text{,}\) мы имеем 9{0,05т} – 200. \end{уравнение*}

Гнездо доктора Дж. теперь составляет \(P(10) \приблизительно 954,1048894

\) или около 954 105 долларов.

Когда доктор Дж. выйдет на пенсию, ему нужно будет начать снимать деньги со своего счета. По его оценкам, ему нужно будет снимать 60 000 долларов в год на проживание, если он хочет путешествовать и наслаждаться своими золотыми годами. Конечно, все, что остается на его счету в любой момент времени, по-прежнему будет приносить проценты. Мы описываем ситуацию выхода J. на пенсию с помощью задачи о начальной стоимости,

\начать{выравнивать*} \frac{dP}{dt} \amp = \begin{case} 0,05 P + 10, \amp t \leq 10 \\ 0,05 P – 60, \amp t \gt 10 \end{case}\\ Р(0) \амп = 500. \конец{выравнивание*}

Если \(P = 954\text{,}\), то

\begin{уравнение*} \frac{dP}{dt} = 0,05 P – 60 \приблизительно -12,3 \lt 0. \end{уравнение*}

Следовательно, скорость снятия средств превышает скорость, с которой на счет доктора Дж. начисляются проценты. В конце концов, пенсионный фонд доктора Дж. исчезнет. Это может создать проблему, если доктор Дж. планирует уйти на пенсию раньше и прожить долгую жизнь.

Опять же, дифференциальное уравнение \(dP/dt = 0,05 P – 60\) разделимо, и мы имеем

\begin{уравнение*} \int \frac{dP}{0,05P – 60} = \int dt. \end{уравнение*}

Интегрирование обеих частей этого уравнения дает

\begin{уравнение*} 20\ln|0.05P – 60| = т + к. \end{уравнение*}

Поскольку \(0,05 P – 60 \lt 0\text{,}\)

\begin{уравнение*} |0,05P – 60| = 60 – 0,05П, \end{уравнение*} 9{0,05t} = 0. \end{уравнение*}

В данном случае

\begin{уравнение*} t = 20 \ln\left( \frac{1200}{149,21} \right) \приблизительно 41,7. \end{уравнение*}

Это означает, что если д-р Дж. выйдет на пенсию через 10 лет в возрасте 55 лет, он может ожидать, что его выход на пенсию продлится до середины 90-х годов.

Подраздел 1.2.5 Немного теории

Теперь мы даем теоретическую основу для решения сепарабельных дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальное уравнение \(y’ = F(x, y)\) называется разделяемый , если его можно записать в виде

\begin{уравнение} f(x) + g(y) \frac{dy}{dx} = 0. \label{equation-firstlook02-separable}\tag{1.2.3} \end{уравнение}

Теперь мы докажем, что такое уравнение может быть решено путем интегрирования первого члена по \(x\) и второго члена по \(y\text{.}\). Если

\начать{выравнивать*} h_1(s) & = \int f(s) \, ds\\ h_2(s) & = \int g(s) \, ds, \конец{выравнивание*}

, то мы можем переписать уравнение (1.2.3) как

\begin{уравнение*} h_1′(x) + h_2′(y) \frac{dy}{dx} = 0. \end{уравнение*}

Применяя цепное правило ко второму члену, получаем

\begin{уравнение*} h_2′(y) \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [ h_2(y)]. \end{уравнение*}

Следовательно, уравнение (1.2.3) теперь принимает вид

\begin{уравнение*} \frac{d}{dx} (h_1(x) + h_2(y)) = 0. \end{уравнение*}

Интегрируя, получаем

\begin{уравнение*} h_1(x) + h_2(y) = C, \end{уравнение*}

, где \(C\) — любая произвольная константа.

Теперь предположим, что \(y(x_0) = y_0\) является начальным условием для

\begin{уравнение*} f(x) + g(y) \frac{dy}{dx} = 0. 2}. \end{уравнение*} 92} \, dy = dt, \end{уравнение*}

мы видим, что

\begin{уравнение*} у = – \ гидроразрыва {1} {т + С} \end{уравнение*}

или

\begin{уравнение*} у = \ гидроразрыва {1} {1-t}. \end{уравнение*}

Следовательно, непрерывное решение существует и на \((-\infty, 1)\), если \(y(0) = 1\text{.}\) В случае \(y(0) = -1\ text{,}\) решение

\begin{уравнение*} y = – \frac{1}{t + 1}, \end{уравнение*} 9{(п)}) = 0. \end{уравнение*}

23

Мистер Рэтчетт, пожилой американец, был найден убитым в купе поезда Восточного экспресса в 7 часов утра. 2 + bx + c = 0\) либо с помощью факторизации, либо с помощью квадратного уравнения, но решая такое уравнение, как 92 +3x -17 = 0 \end{уравнение*}

— гораздо более сложная задача. В отличие от ситуации с квадратными уравнениями, не существует общей формулы для решения уравнений седьмой степени. Мы можем столкнуться с трудностями даже при использовании численного метода, такого как алгоритм Ньютона-Рафсона.

В общем, Sage нужны три вещи для решения дифференциального уравнения:

1. Абстрактная функция
2. Дифференциальное уравнение
3. Команда Sage для решения уравнения.

Предположим, мы хотим решить уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dx} = x + y. \end{уравнение*}

Мы можем использовать следующую последовательность команд Sage .

Первая команда определяет абстрактную функцию. Второй описывает реальное дифференциальное уравнение. Наконец, мы используем команду Sage desolve , чтобы найти действительное решение. попробуй заменить 9Команда 0629 h с show(h) или show(expand(h)) .

Мы также можем указать начальное условие для нашего дифференциального уравнения, скажем, \(y(0) = 1\text{.}\)

Существует множество других команд и пакетов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью Sage. Для получения дополнительной информации см. http://www.sagemath.org/doc/reference/calculus/sage/calculus/desolvers.html . Пустая ячейка Мудреца ниже для практики и исследования.

Разделимые уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f ( x , y ) называется разделимым уравнением, если функция f ( x , y ) может быть разложена на произведение . две функции x и y :

\[f\влево({x,y}\вправо) = p\влево(x\вправо)h\влево(y\вправо),\]

, где p ( x ) и h ( y ) — непрерывные функции.

Рассматривая производную \({y’}\) как отношение двух дифференциалов \({\frac{{dy}}{{dx}}},\), мы перемещаем \(dx\) вправо и делим уравнение на \(h\left( y \right):\)

\[\frac{{dy}}{{dx}} = p\left( x \right)h\left( y \right),\;\; \Rightarrow \frac{{dy}}{{h\left( y \right)}} = p\left( x \right)dx.\]

Конечно, нам нужно убедиться, что \(h\left( y \right) \ne 0.\) Если существует число \({y_0}\) такое, что \(h\left( {{y_0}} \right) = 0,\), то это число также будет решением дифференциального уравнения. Деление на \(h\left( y \right)\) приводит к потере этого решения.

Обозначая \(q\left( y \right) = {\frac{1}{{h\left( y \right)}}},\), запишем уравнение в виде

\[q\влево(у\вправо)dy = p\влево(х\вправо)dx.\]

Мы разделили переменные, так что теперь мы можем интегрировать это уравнение:

\[\int {q\left( y \right)dy} = \int {p\left( x \right)dx} + C,\]

, где \(C\) — постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

\[Q\влево(у\вправо) = P\влево(х\вправо) + С,\] 92} + 4} \right)y’ = 2xy. \]

Пример 1.

Решить дифференциальное уравнение \[\frac{{dy}}{{dx}} = y\left( {y + 2} \right).\]

Раствор.

В данном случае \(p\left( x \right) = 1\) и \(h\left( y \right) = y\left( {y + 2} \right).\) Разделим уравнение на \(h\left( y \right)\) и переместить \(dx\) вправо:

\[\frac{{dy}}{{y\left( {y + 2} \right)}} = dx.\]

Можно заметить, что после деления мы можем потерять решения \(y = 0\) и \(y = -2\), когда \(h\left( y \right)\) становится равным нулю. На самом деле, давайте посмотрим, что \(y = 0\) является решением дифференциального уравнения. Очевидно,

\[y = 0,\;\;dy = 0.\]

Подстановка этого в уравнение дает \(0 = 0.\) Следовательно, \(y = 0\) является одним из решений. Точно так же мы можем проверить, что \(y = -2\) также является решением.

Возвращаясь к дифференциальному уравнению, интегрируем его:

\[\int {\frac{{dy}}{{y\left( {y + 2} \right)}}} = \int {dx} + C.\]

Мы можем вычислить левый интеграл, используя дробное разложение подынтегральной функции:

\[ \frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{A}{y} + \frac{B}{{y + 2}},\;\; \Правая стрелка \frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{{A\left( {y + 2} \right) + By}}{{y\left( {y + 2} \справа)}},\;\; \Правая стрелка 1 \эквив Ay + 2A + By,\;\; \Правая стрелка 1 \equiv \left( {A + B} \right)y + 2A,\;\; \Правая стрелка \left\{ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {А + В = 0}\\ {2А = 1} \end{массив}} \right. ,\;\; \Правая стрелка \left\{ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {А = \фракция{1}{2}}\\ {В = – \фракция{1}{2}} \end{массив}} \right..\]

Таким образом, мы получаем следующее разложение рационального интеграла:

\[\frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{y} – \frac{1 }{{у + 2}}} \справа).\]

Следовательно,

\[\ frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{y} – \frac{1}{{y + 2}}} \right)dy} = \int {dx } + С,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{dy}}{y}} – \int {\frac{{dy}}{{y + 2}}}} \right ) = \int {dx} + C,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\ln \left| y \right| – \ln \left| {y + 2} \right|} \right) = x + C,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = х + С,\;\; \стрелка вправо \ln \влево| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = 2х + 2С.\]

Константу можно переименовать: \(2C = {C_1}.\) Таким образом, окончательное решение уравнения запишется в виде

\[\ln \влево| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = 2x + {C_1},\;\; у = 0,\;\; у = – 2. \]

Здесь общее решение выражено в неявной форме. В данном случае мы можем преобразовать выражение, чтобы получить ответ в виде явной функции \(y = f\left( {x,{C_1}} \right),\), где \({C_1}\) — константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений. 92} + 4} \справа).\]

Когда \(C = 0\), становится \(y = 0.\)

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Численность, математика и статистика — набор академических навыков

Разделимые дифференциальные уравнения первого порядка

ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Решение разделимых уравнений 3 Рабочие примеры 4 Видео примеры 5 Рабочая тетрадь 6 См. также 7 Внешние ресурсы

Определение

Первый порядок дифференциальное уравнение отделимое , если его можно записать в одной из следующих форм:

\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= f(x,y) = \ гидроразрыв {г (х)} {ч (у)}, \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = f (x, y) = \ frac {h (y)} {g (x)}. \end{align}\]

Решение уравнений с разделителями

Уравнение с разделителями решается путем разделения переменных, т. е. перестановки уравнения таким образом, чтобы все, что включает $y$, оказалось на одной стороне уравнения, а все, что связано с $x $ появляется на другом. Тогда уравнение можно интегрировать напрямую.

Для уравнения вида:

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{g(x)}{h(y)},\]

умножение обеих частей на $h(y)\mathrm{d} x$ дает:

\[h(y)\mathrm{d} y = g(x) \mathrm{d} x,\]

что можно интегрировать напрямую:

\[\int h(y) \mathrm{d} y = \int g(x) \mathrm{d} x.\]

Это даст решение для $y(x) $.

Аналогично, уравнение в форме:

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{h(y)}{g(x)}\]

можно умножить на $\dfrac{\mathrm{d} x}{h(y)}$ и затем проинтегрировать:

\[\int \frac{\mathrm{d} y}{h(y)} = \int \frac{\mathrm{d} x}{g(x)},\]

, что дает решение для $y(x)$.

Примечание: Решение, полученное для $y$ путем вычисления этих интегралов, может быть определено неявно. Чтобы получить явное решение для $y$, может потребоваться перестановка решения, хотя в некоторых случаях может оказаться невозможным явно выразить $y$.

Примеры работы 93 + С’}. \end{align}\]

Примечание: Поскольку умножение произвольной константы на число дает произвольную константу, величина $2C$ может быть переименована в $C’$, другую произвольную константу.

Чтобы найти решение, удовлетворяющее условию $y(0)=2$, подставьте $x=0$ и $y=2$ в решение и решите относительно $C’$:

\[\begin{align} 2 &= \pm\sqrt{0+C’} \\ 2 &= \pm\sqrt{C’} \end{align}.\]

Ясно, что этого можно добиться, только взяв положительный квадратный корень. Тогда: 93+4}.\]

Примечание: Поскольку условие $y(0)=2$ выполняется только при извлечении положительного квадратного корня, решение верно только при извлечении положительного квадратного корня, поэтому $ Знак \pm$ больше не включается.

Пример 2

Решите дифференциальное уравнение

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{x+3}\]

Решение

Умножение обеих частей уравнения на $\mathrm{d} x$ дает

\[\frac{\mathrm{d} y}{y} = \frac{\mathrm{d} x}{x+3}.\]

Каждый термин, включающий $x$, теперь появляется справа- стороны, и каждый термин, включающий $y$, теперь появляется в левой части. Таким образом, каждую часть уравнения можно интегрировать напрямую:

\[\begin{align} \int \frac{\mathrm{d} y}{y} &= \int\frac{\mathrm{d} x}{ х+3}, \\ \ln\lvert y\rvert &= \ln\lvert x+3 \rvert + C. \end{align}\]

Чтобы найти решение, которое явно дает $y$, возведите обе части в степень, чтобы получить: 9С$. Поскольку $e$ — число, $e$, возведенное в постоянную степень, также является константой, и эту константу допустимо обозначать одной буквой $A$.

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения равно

\[y=A(x+3).\]

Чтобы найти решение, удовлетворяющее условию $y(0)=1$, подставьте $x=0$ и $y=1$ в решение и найти $A$:

\[1=A(0+3) \Rightarrow 3A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{3}.