Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Повторим изученный
материал…
Выполните задание
Для каждой функции определите производную и первообразную
0 ошибок – оценка «5»; 1 ошибка – оценка «4»;
2 ошибки – оценка «3»; 3-7 ошибок – оценка «2».
Проверим ответы
1-д-ж
2-в-г
3-е-а
4-ж-в
5-а-б
6-г-е
7-б-д
Вопросы для повторения
1.
2.Каков алгоритм решения
уравнений?
3.Какие виды уравнений вы умеете
решать?
Тема: «Дифференциальные
уравнения первого порядка.
Дифференциальные
уравнения с
разделяющимися
переменными»
Определение дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение – это уравнение, в
которое наряду с неизвестной функцией входит и ее
производная.
Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным
уравнением n-го порядка.
Порядком
дифференциального
уравнения
называется порядок старшей производной, входящей в
данное уравнение.
Решением
дифференциального
уравнения
называется такая функция, которая обращает это
Автономное уравнение
Вид уравнения:
Метод решения:
Умножим обе части уравнения на dx,
проинтегрируем
уравнения:
Таким образом,
обе
части
получившегося
Уравнение с разделяющимися
переменными
Вид уравнения:
Метод решения:
.
Это уравнение сводится к системе
В первом уравнении после интегрирования
находим y как неявную функцию от x:
Однородное уравнение
.
Вид уравнения:
Линейное однородное уравнение
Вид уравнения:
Линейное уравнение
Вид уравнения:
Пример 1.
уравнения
x2
y
y
Решение. Дифференциальное уравнение запишем в
dy x 2
1
2
виде
,
получим,
что
и
f x x g y .
y
dx y
dy
2
2
ydy
x
dx . Интегрируем обе
x
dx
Т.о.
или
1y
части уравнения ydy x 2 dx , получим
y 2 x3
C
2 3
Пример 2.
Найдите общее решение дифференциального
cos x
уравнения
y
sin y
Решение. Дифференциальное уравнение запишем в
dy cos x
виде
, или sin y dy cos x dx .
dx sin y
Интегрируем обе части уравнения
sin y dy cos x dx,
получим cos y sin x C или sin x cos y C.
Найдите общее решение дифференциального
уравнения
2
y xy
Решение.
Дифференциальное уравнение запишем вdy
2
dy
2 2
x
dx.
виде y x , или 2
y
dx
Интегрируем обе части уравнения
dy
2
x
y 2 dx,
2
1
x2
получим C или y 2
x C1
y
2
English Русский Правила
|
Заглавная страница
Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. |
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒ Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнением
Символически дифференциальное уравнение записывается так: F(x,y,y’)=0, F(x,y,y”)=0, F(x,y,y’,y”,.., y(n))=0 Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение Примеры. 1. Это значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения. 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y” – 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения. Действительно, . Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество. А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции. График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Примеры 1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3. Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде . – общее решение дифференциального уравнения. Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 32 + 42= C2 Подставляя С=5 в общее решение, получим x2 +y2 = 52. Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях. 2. Найти общее решение дифференциального уравнения Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .
Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения . Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения . Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши. Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x0) = y0, называется решением задачи Коши. Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x0) = y0,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M0(x0,y0). Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0. В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка. Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную. Пример.Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка . Решением этого уравнения является функция . Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим то есть 3x=3x Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С. Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0. Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиДифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции. Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные». Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C – произвольная постоянная. ⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒ Читайте также: Техника прыжка в длину с разбега Тактические действия в защите История Олимпийских игр История развития права интеллектуальной собственности |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-27; просмотров: 96; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. |
Определение реакций опор и моментов защемления
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.
su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.004 с.)Решение разделимых дифференциальных уравнений — Криста Кинг Математика
Что такое разделимое дифференциальное уравнение?
Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка представляет собой уравнение следующего вида
???y’=f(x)g(y)???,
где ???f(x)??? и ???г(у)??? являются функциями ???x??? и ???y??? соответственно. Зависимая переменная ???y???; независимая переменная ???x???.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Мы можем легко интегрировать функции в этой форме, разделяя переменные.
???y’=f(x)g(y)???
???\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)???
???dy=f(x)g(y)\ dx???
???\frac{dy}{g(y)}=f(x)\ dx???
???\frac{1}{g(y)}\ dy=f(x)\ dx???
???\int \frac{1}{g(y)}\ dy=\int f(x)\ dx???
Иногда в нашем окончательном ответе мы сможем выразить ???y??? явно как функция ???x???, но не всегда.
Когда мы не можем, нам просто нужно довольствоваться неявной функцией, где ???y??? и ???х??? не разделены ???=??? знак. 9{-1}=-\cos{x}+C???
Примечание: Вы можете опустить постоянную интегрирования в левой части, потому что в следующих шагах она будет включена в константу в правой части.
???-\frac{1}{y}=-\cos{x}+C???
???\frac{1}{y}=\cos{x}+C???
Примечание: Мы просто умножили с обеих сторон на ???-1???, но не изменили знак у ???C???, потому что минус всегда может быть поглощен константой.
???1=y(\cos{x}+C)???
???y=\frac{1}{\cos{x}+C}???
Иногда встречаются разделимые дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями. Используя тот же метод, который мы использовали в последнем примере, мы можем найти общее решение, а затем подставить начальные условия, чтобы найти частное решение дифференциального уравнения.
Получить доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»
Изучайте математикуКриста Кинг