Решить интеграл неопределенный: Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?

Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!

Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Интеграл косинуса

Неопределенный интеграл от косинуса cos (x) равен синусу. Для первоначальной косинуса к правой стороне добавляем постоянную Постоянную определяют с дополнительного условия на первоначальную.
График косинуса имеет вид
Само по себе определение интеграла косинуса достаточно простое. Но как только задают вычислить интеграл косинуса двойного угла, тройного или половины угла, сразу возникают трудности в половины студентов. Выведем формулу интегрирования для функции cos (k*x). Для применения табличной формулы интегрирования надо внести коэффициент под дифференциал, что может привести к изменению самого интеграл. Поэтому одновременно необходимо разделить на этот коэффициент.
.
Зная приведенную формулу, проинтегрировать косинус двойного угла сможет каждый школьник 10, 11 класса. Все что необходимо это подставить 2 или 3 в интеграл
и по индукции следующие интегралы
int(sin(k*x)=-1/k*cos(k*x).
Приведенная формула позволяет вычислить интеграл от косинуса половины угла
и интеграл от косинуса одной трети угла
В этих случаях коэффициент, стоящий при переменной в косинусе при интегрировании становится обратным значением перед синусом.

Распространенные примеры интегрирования косинуса

Пример 1. Найти интеграл от cos(5*x).
Решение: По формуле интегрируем косинус

Пример 2. Вычислить интеграл от cos(7*x).
Решение: Выполняем интегрирование

Пример 3. Проинтегрировать выражение cos (11*x).
Решение: Вычисляем неопределенный интеграл

Пример 4. Найти интеграл функции y= cos (x/5).
Решение: Записываем неопределенный интеграл

Пример 5. Найти интеграл функции y= cos (x/6).
Решение: Проинтегрируем по приведенной выше формуле
Как только Вы освоите методику интегрирования на простых примерах, смело можете переходить к определенным интегралам и первообразным. Для отискания определенного интеграла проводим интегрирование, а дальше подставляем пределы интегрирования и находим изменение первообразной функции.

Пример 6. Проинтегрировать косинус двойного угла y = cos (2 * x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Находим указанный интеграл от косинуса

Пример 7. Найти интеграл от косинуса y = cos (x) от 0 до 60 градусов.
Решение: Вычисляем интеграл и подставляем пределы интегрирования

Пример 8. Найти первоначальную от cos (x), которая при 30 градусах равна 1.
Решение: Находим первоначальную
С наложенного условия на первоначальную вычисляем постоянную
sin(Pi/6)+C=1; C=1-
sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.
Подставляем полученную постоянную в уравнение
На этом задача решена. На таких простых примерах Вы четко должны знать, чему равный интеграл от косинуса.
Далее полученные знания можно применять для вычисления площадей криволинейных трапеций. Это достаточно абстрактное понятие, но с помощью интегрирования находить площадь фигур достаточно просто и быстро. Следует только помнить, что площадь всегда принимает положительное значение, в то время как определенный интеграл может принимать отрицательное значение.
Например вычислим площадь и интеграл от косинуса, если переменная принадлежит интервалу от 0 до 2*Pi.
По физическому содержанию площадь равна заштрихованным поверхностям.
Находим определенный интеграл в указанных пределах
Он равен нулю. Что касается площади, то сначала следует найти точки пересечения с осью абсцисс на этом интервале
Таким образом площадь необходимо искать на трех промежутках
Ось абсцисс можем записать функцией y = 0. Таким образом на первом промежутке площадь равна интегралу от косинуса,
на втором 0-cos (x) = – cos (x) от минус косинуса и на третьем от косинуса. Все при вычислении площади зависит от того, какая функция принимает большее значение по оси ординат (Oy). Вычисляем площадь интегрированием в указаных пределах
Таким образом искомая площадь равна 4. Если иметь график функции перед глазами, то данное значение можно получить как 4 площади косинус функции, которые периодически повторяются
На этом знакомство с интегрированием косинуса завершается. Приведенная методика интегрирования позволяет вычислить 80% основных задач на интегрирование косинуса. Остальные 20% Вы научитесь после изучения способов нахождения интегралов от функций вида
Мы научим Вас, какие свертки и замены переменных следует использовать, в каких случаях целесообразно интегрировать по частям.
Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете в категории “Интегрирование функций”.

Калькулятор интегралов онлайн

Оператор	Описание
Простейшие математические операции
+ – * / ()	Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы: + – * / () . x
Тригонометрические функции
sin(x)	Синус от x: sin(x)
cos(x)	Косинус от x: cos(x)
tg(x)	Тангенс от x: tan(x)
ctg(x)	Котангенс от x: 1/tan(x)
arcsin(x)	Арксинус от x: arcsin(x)
arccos(x)	Арккосинус от x: arccos(x)
arctan(x)	Арктангенс от x: arctan(x)
arcctg(x)	Арккотангенс от x: \pi/2 – arctan(x)
Некоторые константы
e	Число Эйлера e: \e
π	Число π: \pi

Интеграл от 3.

Решение интеграла онлайн. Решить неопределенный интеграл

Нахождение неопределенного интеграла является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Даже решение простейших физических задач часто не обходится без вычисления нескольких простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов, приводятся многочисленные таблицы с интегралами простейших функций. Однако со временем всё это благополучно забывается, либо у нас не хватает времени на рассчеты или нам нужно

найти решение неопределеленного интеграла от очень сложной функции. Для решения этих проблем для вас будет незаменим наш сервис, позволяющий безошибочно находить неопределенный интеграл онлайн .

Решить неопределенный интеграл

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение интеграла онлайн быстро, бесплатно и качественно. Вы можете заменить поиск по таблицам нужного интеграла нашим сервисом, где быстро введя нужную функции, вы получите решение неопределенного интеграла в табличном варианте.

Не все математические сайты способны вычислять неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт сайт поможет решить интеграл онлайн и справиться с поставленной задачей. Используя онлайн решение интеграла на сайте сайт, вы всегда получите точный ответ.

Даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно, благодаря нашему сервису вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или описку, либо же убедиться в безукоризненном выполнении задания. Если вы решаете задачу и вам как вспомогательное действие необходимо вычислить неопределенный интеграл, то зачем тратить время на эти действия, которые, возможно, вы уже выполняли тысячу раз? Тем более, что дополнительные расчеты интеграла могут быть причиной описки или маленькой ошибки, приведших впоследствии к неверному ответу.

Просто воспользуйтесь нашими услугами и найдите неопределенный интеграл онлайн без каких-либо усилий. Для практических задач по нахождению интеграла функции онлайн этот сервер очень полезен. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла и сравнить ответ с вашим решением.

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?

Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!

Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени.

Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод.

Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Введите функцию, для которой надо найти интеграл

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла. 3 – возведение в степень x + 7 – сложение x – 6 – вычитание
Другие функции: floor(x) Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция – Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

Решение неопределённых интегралов. Решение интеграла онлайн Решение интеграла dx x 3 1

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?

Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!

Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь. 3 – возведение в степень x + 7 – сложение x – 6 – вычитание
Другие функции: floor(x) Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция – Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

Нахождение неопределенного интеграла является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Даже решение простейших физических задач часто не обходится без вычисления нескольких простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов, приводятся многочисленные таблицы с интегралами простейших функций. Однако со временем всё это благополучно забывается, либо у нас не хватает времени на рассчеты или нам нужно найти решение неопределеленного интеграла от очень сложной функции. Для решения этих проблем для вас будет незаменим наш сервис, позволяющий безошибочно находить неопределенный интеграл онлайн .

Решить неопределенный интеграл

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение интеграла онлайн быстро, бесплатно и качественно. Вы можете заменить поиск по таблицам нужного интеграла нашим сервисом, где быстро введя нужную функции, вы получите решение неопределенного интеграла в табличном варианте. Не все математические сайты способны вычислять неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт сайт поможет решить интеграл онлайн и справиться с поставленной задачей. Используя онлайн решение интеграла на сайте сайт, вы всегда получите точный ответ.

Даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно, благодаря нашему сервису вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или описку, либо же убедиться в безукоризненном выполнении задания. Если вы решаете задачу и вам как вспомогательное действие необходимо вычислить неопределенный интеграл, то зачем тратить время на эти действия, которые, возможно, вы уже выполняли тысячу раз? Тем более, что дополнительные расчеты интеграла могут быть причиной описки или маленькой ошибки, приведших впоследствии к неверному ответу. Просто воспользуйтесь нашими услугами и найдите неопределенный интеграл онлайн без каких-либо усилий. Для практических задач по нахождению интеграла функции онлайн этот сервер очень полезен. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла и сравнить ответ с вашим решением.

Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Табличные интегралы Сложность: лёгкое	1
2.	Определённый интеграл степенной функции Сложность: лёгкое	2
3.	Основной интеграл тригонометрической функции Сложность: лёгкое	3
4.	Неопределённый интеграл от дробной функции Сложность: среднее	4
5.	Неопределённый интеграл от дробной тригонометрической функции Сложность: среднее	3
6.	Неопределённый интеграл от показательной функции Сложность: среднее	4
7.	Неопределённый интеграл, метод замены переменной, натуральный логарифм Сложность: среднее	4
8.	Неопределённый интеграл, метод замены переменной, тригонометрические функции Сложность: среднее	4
9.	Определённый интеграл, функция, содержащая квадратный корень Сложность: среднее	4
10.	Определённый интеграл, тригонометрическая функция Сложность: среднее	4
11.	Определённый интеграл, геометрический смысл Сложность: сложное	4
12.	Вычисление силы сжатия пружины Сложность: сложное	4
13.	Физический смысл определённого интеграла Сложность: сложное	5

Непосредственное интегрирование (интегрирование по таблице и с использованием простейших свойств).

В этой теме мы подробно поговорим о свойствах неопределённого интеграла и о нахождении самих интегралов с помощью упомянутых свойств. Также поработаем с таблицей неопределенных интегралов. Материал, изложенный здесь, есть продолжение темы “Неопределённый интеграл. Начало”. Честно говоря, в контрольных работах редко встречаются интегралы, которые можно взять с использованием типичных таблиц и(или) простейших свойств. Эти свойства можно сравнить с азбукой, знание и разумение которой необходимы для понимания механизма решения интегралов в иных темах. Часто интегрирование с использованием таблиц интегралов и свойств неопределённого интеграла именуют непосредственным интегрированием.

Итак, начнём с таблицы неопределённых интегралов. В ней указаны восемнадцать формул, которых, в принципе, должно хватить для интегралов стандартного университетского курса. Однако эта таблица далеко не полна, ибо в справочниках указаны сотни или даже тысячи неопределенных инегралов. Можете заглянуть, например, в справочник под редакцией Бронштейна и Семендяева, где начиная с 91й страницы находятся 515 неопределенных интегралов. Начнём пока с малого, – а потом поговорим, почему указанные таблицы столь обширны.

Само применение таблицы интегралов основано на свойстве, которое часто именуют инвариантностью неопределённого интеграла. В несколько упрощённой форме это свойство можно сформулировать так:

Пусть $\int f(x)dx=F(x)+C$ и $u=\varphi (x)$ – некоторая функция, имеющая непрерывную производную на соответствующем промежутке. Тогда $\int f(u)du=F(u)+C$.

Грубо говоря, это свойство означает следующее: в формулах таблицы интегралов вместо буквы, обозначающей переменную, может располагаться функция, – формула останется верной. Проиллюстрируем работу с таблицей интегралов на примерах.

Пример №1

Найти $\int \cos 2t \; d(2t)$.

Решение

Обратимся к таблице неопределённых интегралов.2}+C$.

Возможно, к этому моменту у читателя может возникнуть пару вопросов, посему постараюсь их предугадать и сразу дать ответы.

Вопрос №1

Минутку. Почему вы используете прямые скобки для обозначения подстановки? Наш преподаватель использует фигурные скобки $\{ \}$.

Ответ

И это совершенно нормально. Разные авторы используют разные обозначения, – кому что больше нравится. Главное, чтобы эти обозначения были понятными читателю.

Вопрос №2

В предыдущей теме вы говорили, что операция интегрирования есть обратная к операции нахождения производных, т.е. дифференцирования. Я открыл справочник Бронштейна, но таблица производных на странице 226 гораздо скромнее, чем таблица интегралов в том же справочнике: всего 32 формулы. А в таблице интегралов более пятисот формул!

Ответ

Да, этот вопрос действительно крайне важен. Более того, даже 500 формул – не столь значительное количество для интегральных таблиц.\frac{1}{3} dx$ потребуется применение нового метода – подстановок Чебышева.

Ну и напоследок: для нахождения производной функции $y=\sin x\cdot\frac{1}{x}$ вновь применима формула $(u\cdot v)’=u’\cdot v+u\cdot v’$, в которую вместо $u$ и $v$ подставим соответственно $\sin x$ и $\frac{1}{x}$. А вот $\int \sin x\cdot\frac{1}{x} dx$ не берётся. Точнее, не выражается через конечное число элементарных функций.

Подведём итоги: там, где для нахождения производной понадобилась одна формула, для интеграла потребовались четыре (и это не предел), – причем в последнем случае интеграл находиться отказался вообще. Изменили функцию – понадобился новый метод интегрирования. Вот отсюда и имеем многостраничные таблицы в справочниках. Отсутствие общего метода (пригодного для решения “вручную”) приводит к изобилию частных методик, которые применимы лишь для интегрирования своего, крайне ограниченного класса функций (в дальнейших темах мы займёмся этими методами подробно). Хотя не могу не отметить наличие алгоритма Риша (советую почитать описание в Википедии), но он пригоден лишь для программной обработки неопределённых интегралов.

Вопрос №3

Но если этих свойств так много, как же мне научиться брать интегралы? С производными было полегче!

Ответ

Для человека пока существует лишь один способ: решить как можно больше примеров на применение различных методик интегрирования, чтобы при появлении нового неопределённого интеграла можно было подобрать для него метод решения, основываясь на своём опыте. Понимаю, что ответ не слишком обнадёживает, но иного нет.

Свойства неопределённого интеграла

Свойство №1

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. $\left(\int f(x) dx\right)’=f(x)$.

Это свойство вполне естественно, ибо интеграл и производная – взаимно обратные операции. Примеры:

$$\left(\int \sin 3x dx\right)’=\sin{3x};\; \left(\int\left(3x^2+\frac{4}{\arccos x}\right) dx\right)’=3x^2+\frac{4}{\arccos x}.2xdx=\tg x-x+C$.

Калькулятор интегралов

: интеграция с Wolfram | Alpha

Что такое интегралы?

Интеграция – важный инструмент в исчислении, который может дать первообразную или представить площадь под кривой.

Неопределенный интеграл от, обозначенный, определяется как первообразная от. Другими словами, производная от is. Поскольку производная константы равна 0, неопределенные интегралы определяются только с точностью до произвольной константы. Например, так как производная от. Определенный интеграл от до, обозначенный, определяется как область со знаком между и осью, от до.

Оба типа интегралов связаны основной теоремой исчисления. Это означает, что если непрерывен на и является его непрерывным неопределенным интегралом, то. Это означает . Иногда требуется приближение к определенному интегралу. Обычный способ сделать это – разместить под кривой тонкие прямоугольники и сложить области со знаком. Wolfram | Alpha может решать широкий спектр интегралов

Как Wolfram | Alpha вычисляет интегралы

Wolfram | Alpha вычисляет интегралы иначе, чем люди.Он вызывает функцию Integrate системы Mathematica, которая представляет собой огромное количество математических и вычислительных исследований. Интеграция не делает интегралов так, как это делают люди. Вместо этого он использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложную математику. Есть несколько подходов, которые используются чаще всего. Один из них включает разработку общей формы интеграла, затем дифференцирование этой формы и решение уравнений для сопоставления неопределенных символьных параметров. Даже для довольно простых подынтегральных выражений уравнения, сгенерированные таким образом, могут быть очень сложными и для их решения требуются сильные алгебраические вычислительные возможности Mathematica.Другой подход, который Mathematica использует при вычислении интегралов, – это преобразовать их в обобщенные гипергеометрические функции, а затем использовать наборы соотношений об этих очень общих математических функциях.

Хотя эти мощные алгоритмы дают Wolfram | Alpha возможность очень быстро вычислять интегралы и обрабатывать широкий спектр специальных функций, понимание того, как будет интегрироваться человек, также важно. \ prime \ left (x \ right) = f \ left (x \ right)} \]

для всех \ (x \) в интервале \ (I.\ prime \ left (x \ right) = f \ left (x \ right).} \]

В этом определении \ (\ int {} \) называется интегральным символом, \ (f \ left (x \ right) \) называется подынтегральным выражением, \ (x \) называется переменной интегрирования, \ (dx \) называется дифференциалом переменной \ (x, \), а \ (C \) называется постоянной интегрирования.

Неопределенный интеграл некоторых общих функций

Интегрирование – это обратный процесс дифференцирования, поэтому таблица основных интегралов следует из таблицы производных.x}}} {{\ ln b}} \ normalsize} + C \) \ (\ int {\ sin xdx} = – \ cos x + C \) \ (\ int {\ cos xdx} = \ sin x + C \) \ (\ int {\ tan xdx} = – {\ ln \ left | {\ cos x} \ right |} + C \) \ (\ int {\ cot xdx} = {\ ln \ left | {\ sin x} \ right |} + C \) \ (\ int {\ sec xdx} = {\ ln \ left | {\ tan \ left ({\ large \ frac {x} {2} \ normalsize} + {\ large \ frac {\ pi} {4}) \ normalsize} \ right)} \ right | + C} = {\ ln \ left | {\ sec x + \ tan x} \ right | + C} \) \ (\ int {\ csc xdx} = {\ ln \ left | {\ tan \ large \ frac {x} {2} \ normalsize} \ right | + C} = {- \ ln \ left | { \ csc x + \ cot x} \ right | + C} \) \ (\ int {{\ sec ^ 2} xdx} = \ tan x + C \) \ (\ int {{\ csc ^ 2} xdx} = – \ cot x + C \) \ (\ int {\ sec x \ tan xdx} = \ sec x + C \) \ (\ int {\ csc x \ cot xdx} = – \ csc x + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{1 + {x ^ 2}}} \ normalsize} = \ arctan x + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{{a ^ 2} + {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {a} \ normalsize} \ arctan {\ large \ frac {x} {a} \ normalsize} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{1 – {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {2} \ normalsize} {\ ln \ left | {{\ large \ frac {{1 + x}} {{1 – x}} \ normalsize}} \ right |} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{{a ^ 2} – {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {{2a}} \ normalsize} \ ln \ left | {\ large {\ frac {{a + x}} {{a – x}} \ normalsize}} \ right | + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {1 – {x ^ 2}}}}} \ normalsize} = \ arcsin x + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {{a ^ 2} – {x ^ 2}}}} \ normalsize} = \ arcsin {\ large \ frac {x} {a} \ normalsize} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {{x ^ 2} \ pm {a ^ 2}}}} \ normalsize} = {\ ln \ left | {x + \ sqrt {{x ^ 2} \ pm {a ^ 2}}} \ right |} + C \) \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{x \ sqrt {{x ^ 2} – 1}}} \ normalsize} = {\ text {arcsec} \ left | x \ right | } + C \) \ (\ int {\ sinh xdx} = \ ch x + C \) \ (\ int {\ cosh xdx} = \ sinh x + C \) \ (\ int {{\ text {sech} ^ 2} xdx} = \ tanh x + C \) \ (\ int {{\ text {csch} ^ 2} xdx} = – \ text {coth} \, x + C \) \ (\ int {\ text {sech} \, x \ tanh xdx} = – {\ text {sech} \, x} + C \) \ (\ int {\ text {csch} \, x \ coth xdx} = – {\ text {csch} \, x} + C \) \ (\ int {\ tanh xdx} = {\ ln \ cosh x} + C \)

\ (\ int {adx} = ax + C \)

\ (\ int {xdx} = {\ large \ frac {{{x ^ 2}}}} {2} \ normalsize} + C \)

\ (\ int {{x ^ 2} dx} = {\ large \ frac {{{x ^ 3}}} {3} \ normalsize} + C \)

\ (\ int {{x ^ p} dx} = {\ large \ frac {{{x ^ {p + 1}}}} {{p + 1}} \ normalsize} + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {x} \ normalsize} = {\ ln \ left | x \ right |} + C \)

\ (\ int {{e ^ x} dx} = {e ^ x} + C \)

\ (\ int {{b ^ x} dx} = {\ large \ frac {{{b ^ x}}} {{\ ln b}} \ normalsize} + C \)

\ (\ int {\ sin xdx} = – \ cos x + C \)

\ (\ int {\ cos xdx} = \ sin x + C \)

\ (\ int {\ tan xdx} = – {\ ln \ left | {\ cos x} \ right |} + C \)

\ (\ int {\ cot xdx} = {\ ln \ left | {\ sin x} \ right |} + C \)

\ (\ int {\ sec xdx} = {\ ln \ left | {\ tan \ left ({\ large \ frac {x} {2} \ normalsize} + {\ large \ frac {\ pi} { 4} \ normalsize} \ right)} \ right | + C} = {\ ln \ left | {\ sec x + \ tan x} \ right | + C} \)

\ (\ int {\ csc xdx} = {\ ln \ left | {\ tan \ large \ frac {x} {2} \ normalsize} \ right | + C} = {- \ ln \ left | { \ csc x + \ cot x} \ right | + C} \)

\ (\ int {{\ sec ^ 2} xdx} = \ tan x + C \)

\ (\ int {{\ csc ^ 2} xdx} = – \ cot x + C \)

\ (\ int {\ sec x \ tan xdx} = \ sec x + C \)

\ (\ int {\ csc x \ cot xdx} = – \ csc x + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{1 + {x ^ 2}}} \ normalsize} = \ arctan x + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{{a ^ 2} + {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {a} \ normalsize} \ arctan {\ large \ frac {x} {a} \ normalsize} + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{1 – {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {2} \ normalsize} \ ln \ left | {{\ large \ frac {{1 + x}} {{1 – x}} \ normalsize}} \ right | + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{{a ^ 2} – {x ^ 2}}} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {{2a}} \ normalsize} \ ln \ left | {\ large {\ frac {{a + x}} {{a – x}} \ normalsize}} \ right | + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {1 – {x ^ 2}}}} \ normalsize} = \ arcsin x + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {{a ^ 2} – {x ^ 2}}}} \ normalsize} = \ arcsin {\ large \ frac {x} {a} \ normalsize} + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt {{x ^ 2} \ pm {a ^ 2}}}} \ normalsize} = {\ ln \ left | {x + \ sqrt {{x ^ 2} \ pm {a ^ 2}}} \ right |} + C \)

\ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{x \ sqrt {{x ^ 2} – 1}}} \ normalsize} = \ text {arcsec} \ left | x \ right | + С \)

\ (\ int {\ sinh xdx} = \ ch x + C \)

\ (\ int {\ cosh xdx} = \ sinh x + C \)

\ (\ int {{\ text {sech} ^ 2} xdx} = \ tanh x + C \)

\ (\ int {{\ text {csch} ^ 2} xdx} = – \ text {coth} \, x + C \)

\ (\ int {\ text {sech} \, x \ tanh xdx} = – \ text {sech} \, x + C \)

\ (\ int {\ text {csch} \, x \ coth xdx} = – \ text {csch} \, x + C \)

\ (\ int {\ tanh xdx} = \ ln \ cosh x + C \)

Свойства неопределенного интеграла

1. Если \ (a \) некоторая константа, то \ [\ cssId {element11} {\ int {af \ left (x \ right) dx}} = \ cssId {element12} {a \ int {f \ left (x \ right) dx},} \] я.е. постоянный коэффициент можно вынести за знак интеграла.
2. Для функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right), \) \ [\ cssId {element13} {\ int {\ left [{f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right] dx}} = \ cssId {element14} {\ int { f \ left (x \ right) dx}} \ pm \ cssId {element15} {\ int {g \ left (x \ right) dx},} \] т.е. неопределенный интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

Вычисление интегралов с использованием линейных свойств неопределенных интегралов и таблицы основных интегралов называется прямым интегрированием.4}}}}} {4} + C.}
\]

Пример 5.

Найдите неопределенный интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{x + 1}} {{\ sqrt x}}} \ normalsize dx}. \)

Решение.

Запишем интегралы в виде суммы двух интегралов и вычислим их отдельно:

\ [{\ int {\ frac {{x + 1}} {{\ sqrt x}} dx}} = {\ int {\ left ({\ frac {x} {{\ sqrt x}} + \ frac {1} {{\ sqrt x}}} \ right) dx}} = {\ int {\ left ({\ sqrt x + \ frac {1} {{\ sqrt x}}} \ right) dx}} = {\ int {\ sqrt x dx} + \ int {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x}}}} = {\ frac {{{x ^ {\ frac {3} {2}}}} } {{\ frac {3} {2}}} + 2 \ sqrt x + C} = {\ frac {{2 \ sqrt {{x ^ 3}}}} {3} + 2 \ sqrt x + C.2}}} {2} + C.} \]

5.1: Первообразные и неопределенная интеграция

Мы потратили много времени на рассмотрение производных функции и их приложений. В следующих главах мы начнем думать «в обратном направлении». То есть, учитывая функцию \ (f (x) \), мы собираемся рассматривать функции \ (F (x) \) такие, что \ (F ‘(x) = f (x) \). Это может оказаться полезным по множеству причин: эти функции помогут нам вычислить площади, объемы, массу, силу, давление, работу и многое другое.

Для функции \ (y = f (x) \) дифференциальное уравнение – это уравнение, которое включает \ (y \), \ (x \) и производные от \ (y \). Например, простое дифференциальное уравнение:

$$ y ‘= 2x. \]

Решение дифференциального уравнения сводится к нахождению функции \ (y \), которая удовлетворяет данному уравнению. Найдите минутку и рассмотрите это уравнение; можете ли вы найти функцию \ (y \) такую, что \ (y ‘= 2x \)?

Вы можете найти другой?

И еще один?

Надеюсь, кто-то смог найти хотя бы одно решение: \ (y = x ^ 2 \).2 + 123,456,789 \) также имеет производную от \ (2x \). Дифференциальное уравнение \ (y ‘= 2x \) имеет много решений. Это подводит нас к некоторым определениям.

Определение \ (\ PageIndex {1} \): первообразные и неопределенные интегралы

Пусть дана функция \ (f (x) \). Первообразная функции \ (f (x) \) – это функция \ (F (x) \) такая, что \ (F ‘(x) = f (x) \).

Множество всех первообразных \ (f (x) \) – это неопределенный интеграл \ (f \) , обозначенный

.

$$ \ int f (x) \ dx.\]

Обратите внимание на наше определение: мы ссылаемся на как на первообразную \ (f \), в отличие от , на первообразную \ (f \), поскольку существует , всегда – бесконечное число из них. Мы часто используем заглавные буквы для обозначения первообразных.

Знание одной первообразной \ (f \) позволяет нам найти бесконечно больше, просто добавляя константу. Это не только дает нам на больше первообразных, но и дает нам все из них.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \): первообразные формы

Пусть \ (F (x) \) и \ (G (x) \) – первообразные от \ (f (x) \). Тогда существует такая постоянная \ (C \), что

$$ G (x) = F (x) + C. \]

Для функции \ (f \) и одной из ее первообразных \ (F \) мы знаем, что все первообразные функции \ (f \) имеют вид \ (F (x) + C \) для некоторой константы \ ( С \). Используя определение \ (\ PageIndex {1} \), мы можем сказать, что

$$ \ int f (x) \ dx = F (x) + C. \]

Давайте проанализируем эту неопределенную интегральную запись.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Общие сведения об обозначении неопределенного интеграла.

На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показаны типичные обозначения неопределенного интеграла. Символ интегрирования \ (\ int \) на самом деле представляет собой «удлиненную букву S», обозначающую «взять сумму». Позже мы увидим, как связаны суммы и первообразные .

Функция, для которой мы хотим найти первообразную, называется подынтегральным выражением .Он содержит дифференциал переменной, по которой мы интегрируем. Символ \ (\ int \) и дифференциал \ (dx \) не являются “подставками” с функцией, зажатой между ними; скорее, символ \ (\ int \) означает «найти все первообразные из того, что следует», а функции \ (f (x) \) и \ (dx \) умножаются вместе; \ (dx \) не «просто сидит там».

Попрактикуемся в использовании этих обозначений.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): вычисление неопределенных интегралов

Вычислить \ (\ displaystyle \ int \ sin x \ dx.\)

Решение

Нас просят найти все функции \ (F (x) \) такие, что \ (F ‘(x) = \ sin x \). Некоторые мысли приведут нас к одному решению: \ (F (x) = – \ cos x \), потому что \ (\ frac {d} {dx} (- \ cos x) = \ sin x \).

Таким образом, неопределенный интеграл от \ (\ sin x \) равен \ (- \ cos x \) плюс постоянная интегрирования. Итак:

$$ \ int \ sin x \ dx = – \ cos x + C. \]

Часто задаваемый вопрос: “Что случилось с \ (dx \)?” Непросвещенный ответ: «Не беспокойтесь об этом.Он просто уходит ». Полное понимание включает в себя следующее.

Этот процесс антидифференцировки действительно решает вопрос о дифференциале . Интеграл

$$ \ int \ sin x \ dx \]

представляет нам дифференциал \ (dy = \ sin x \ dx \). Он спрашивает: «Что такое \ (y \)?» Мы нашли множество решений, все в форме \ (y = – \ cos x + C \).

Пусть \ (dy = \ sin x \ dx \) перепишем

$$ \ int \ sin x \ dx \ quad \ text {as} \ quad \ int dy.\]

Это спрашивает: «Какие функции имеют дифференциал вида \ (dy \)?» Ответ: «Функции вида \ (y + C \), где \ (C \) – постоянная». Что такое \ (y \)? У нас есть много вариантов, каждый из которых отличается постоянной величиной; Самый простой выбор – \ (y = – \ cos x \).

Понимание всего этого будет важнее позже, когда мы попытаемся найти первообразные более сложных функций. В этом разделе мы просто исследуем правила неопределенного интегрирования, и на данный момент можно добиться успеха, ответив «Что случилось с \ (dx \)?» с “Он ушел.2 + 4х + 5 \).

Этот последний шаг «проверки нашего ответа» важен как с практической, так и с теоретической точек зрения. В общем, брать производные легче, чем искать первообразные, поэтому проверка нашей работы проста и жизненно важна по мере того, как мы учимся.

Мы также видим, что взятие производной нашего ответа возвращает функцию в подынтегральном выражении. Таким образом, мы можем сказать, что:

$$ \ frac {d} {dx} \ left (\ int f (x) \ dx \ right) = f (x). \]

Дифференциация «отменяет» работу, проделанную антидифференцировкой.

Теорема 27 дает список производных общих функций, которые мы узнали к тому моменту. Мы повторяем часть этого списка здесь, чтобы подчеркнуть взаимосвязь между производными и первообразными. Этот список также будет полезен в качестве глоссария основных первообразных, когда мы узнаем. 2 + 5x + C \ end {align} \]
На практике мы обычно не записываем все эти шаги, но мы демонстрируем их здесь для полноты картины.0 + C \) “; см. Правило № 14.

Мы представляем антидифференцировку как «обратную операцию» дифференциации. Вот полезная цитата, которую следует запомнить: «Обратные операции делают противоположные вещи в обратном порядке».
При получении производной с использованием правила мощности, мы сначала умножаем на степень, затем второй вычитаем 1 из мощности. Чтобы найти первообразную, выполните противоположные действия в обратном порядке: сначала прибавьте единица к степени, затем второй разделите на степень.

Обратите внимание, что Правило № 14 включает абсолютное значение \ (x \). Упражнения помогут читателю понять, почему это так; а пока знайте, что абсолютное значение важно, и его нельзя игнорировать.

Проблемы с начальным значением

В разделе 2.3 мы видели, что производная функции положения дает функцию скорости, а производная функции скорости описывает ускорение. Теперь мы можем пойти «другим путем»: первообразная функции ускорения дает функцию скорости и т. Д.2 \). В момент времени \ (t = 3 \) падающий объект имел скорость \ (- 10 \) футов / с. Найдите уравнение скорости объекта.

Решение

Мы хотим знать функцию скорости \ (v (t) \). Мы знаем две вещи:

1. Ускорение, т.е. \ (v ‘(t) = -32 \), и
2. скорость в конкретный момент времени, т.е. \ (v (3) = -10 \).

Используя первую информацию, мы знаем, что \ (v (t) \) является первообразной от \ (v ‘(t) = – 32 \). Итак, мы начнем с нахождения неопределенного интеграла от \ (- 32 \):

$$ \ int (-32) \ dt = -32t + C = v (t).\]

Теперь мы используем тот факт, что \ (v (3) = – 10 \), чтобы найти \ (C \):

\ [\ begin {align} v (t) & = -32t + C \\ v (3) & = -10 \\ -32 (3) + C & = -10 \\ C & = 86 \ end { align} \]

Таким образом, \ (v (t) = -32t + 86 \). Мы можем использовать это уравнение, чтобы понять движение объекта: когда \ (t = 0 \), объект имел скорость $ v (0) = 86 $ ft / s. Поскольку скорость положительная, объект двигался вверх.

Когда объект начал двигаться вниз? Сразу после \ (v (t) = 0 \):

$$ – 32t + 86 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad t = \ frac {43} {16} \ приблизительно 2.69 \ text {s}. \]

Признайте, что мы можем довольно много определять путь объекта, зная только его ускорение и скорость в один момент времени.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение проблем с начальным значением

Найдите \ (f (t) \), учитывая, что \ (f ” (t) = \ cos t \), \ (f ‘(0) = 3 \) и \ (f (0) = 5 \) .

Решение

Начнем с поиска \ (f ‘(t) \), который является первообразной от \ (f’ ‘(t) \):

$$ \ int f ” (t) \ dt = \ int \ cos t \ dt = \ sin t + C = f ‘(t).\]

Итак, \ (f ‘(t) = \ sin t + C \) для правильного значения \ (C \). Нам дано, что \ (f ‘(0) = 3 \), поэтому:

$$ f ‘(0) = 3 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin 0 + C = 3 \ quad \ Rightarrow \ quad C = 3. \]

Используя начальное значение, мы нашли \ (f ‘(t) = \ sin t + 3. \)

Теперь мы снова находим \ (f (t) \) интегрированием.

$$ f (t) = \ int f ‘(t) \ dt = \ int (\ sin t + 3) \ dt = – \ cos t + 3t + C. \]

Нам дано \ (f (0) = 5 \), поэтому

\ [\ begin {align} – \ cos 0 + 3 (0) + C & = 5 \\ -1 + C & = 5 \\ C & = 6 \ end {align} \]

Таким образом, \ (f (t) = – \ cos t + 3t + 6 \).

В этом разделе представлены первообразные и неопределенный интеграл. Мы обнаружили, что они необходимы при нахождении функции с учетом информации о ее производной (ах). Например, мы нашли функцию положения, заданную функцией скорости.

В следующем разделе мы увидим, как положение и скорость неожиданно связаны между собой площадями определенных областей на графике функции скорости. Затем, в Разделе 5.4, мы увидим, как области и первообразные тесно связаны друг с другом.

Авторы и авторство

• Грегори Хартман (Военный институт Вирджинии). Свой вклад внесли Трой Симерс и Димплекумар Чалишаджар из VMI и Брайан Хайнольд из Университета Маунт-Сент-Мэри. Этот контент защищен авторским правом Creative Commons Attribution – Noncommercial (BY-NC) License. http://www.apexcalculus.com/

• Интегрировано Джастином Маршаллом.

Неопределенные интегралы Некоторые хитрости

Всегда есть коэффициент 1

Мы можем использовать интегрирование по частям, чтобы найти интеграл того, что не похоже на продукт.Это связано с тем, что каким бы ни было подынтегральное выражение, мы можем рассматривать его как произведение самого себя и 1. Затем мы можем выбрать v ‘ = 1 и применить формулу интегрирования по частям.

Например, так как

ln x = (ln x ) (1),

мы знаем

Если бы мы выбрали u = 1, то u ‘ было бы равно нулю, что не не кажется хорошей идеей. Итак, возьмите

u = ln x

v ‘ = 1

Факторинг

Иногда нам нужно переставить подынтегральное выражение, чтобы увидеть, какими должны быть u и v ‘.Экспоненты могут вводить в заблуждение.

Пример задачи

Например, посмотрите на интеграл

Это похоже на продукт, поэтому мы хотим использовать интеграцию по частям. Однако выбор

u = x ⁵

или

u = e ^{x 3}

не будет работать очень хорошо (попробуйте сами, если наденете не верьте нам, мы не собираемся демонстрировать). Но что, если мы перепишем подынтегральное выражение, разложив на множители x ⁵ ?

Теперь мы видим, что разумно выбрать

v ‘ = x ² e ^{x 3} ,

, так как мы можем использовать подстановку для вычисления антипроизводной v .Это оставляет

u = x ³ .

Двойное интегрирование по частям

Мы уже выполнили несколько упражнений, в которых вам приходилось интегрировать по частям дважды: один раз для начала, затем еще раз, чтобы найти новый интеграл. Есть некоторые проблемы, когда при двукратном интегрировании по частям снова появляется исходный интеграл. Иногда это будет так же полезно, как уравнение

0 = 0

(то есть совершенно бесполезно). Однако иногда, когда исходный интеграл появляется снова, вы получаете уравнение, которое можно переставить, чтобы найти исходный интеграл.

Представление стратегии неопределенной интеграции на JSTOR

Информация о журнале

The Monthly публикует статьи, а также заметки и другие статьи о математике и профессии. Его читатели охватывают широкий спектр математических интересов и включают профессиональных математиков, а также студентов-математиков на всех университетских уровнях. Авторам предлагается присылать статьи и заметки, которые знакомят с интересными математическими идеями широкую аудиторию читателей журнала.Читатели Monthly ожидают высокого уровня изложения; они ожидают, что статьи будут информировать, стимулировать, бросать вызов, просвещать и даже развлекать. Ежемесячные статьи предназначены для чтения, просмотра и обсуждения, а не для архивирования. Статьи могут быть изложением старых или новых результатов, историческими или биографическими эссе, размышлениями или окончательными трактовками, обширными разработками или исследованиями одного приложения. Новизна и общность гораздо менее важны, чем ясность изложения и широкая привлекательность.Приветствуются соответствующие рисунки, схемы и фотографии. Примечания короткие, четкие и, возможно, неформальные. Часто они представляют собой жемчужины, обеспечивающие новое доказательство старой теоремы, новое изложение знакомой темы или живое обсуждение одного вопроса.

Информация об издателе

Основываясь на двухвековом опыте, Taylor & Francis за последние два десятилетия быстро выросла и стала ведущим международным академическим издателем.Группа издает более 800 журналов и более 1800 новых книг каждый год, охватывающих широкий спектр предметных областей и включая журнальные оттиски Routledge, Carfax, Spon Press, Psychology Press, Martin Dunitz и Taylor & Francis. Тейлор и Фрэнсис полностью привержены делу. на публикацию и распространение научной информации высочайшего качества, и сегодня это остается первоочередной задачей.

Калькулятор неопределенного интеграла – Онлайн-калькулятор неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл – это обращение процесса дифференцирования.Вместо того, чтобы иметь набор предельных значений, можно найти только уравнение, которое дало бы интеграл из-за дифференцирования, без необходимости использовать значения для получения определенного ответа.

Что такое калькулятор неопределенного интеграла?

«Калькулятор неопределенных интегралов Cuemath» – это онлайн-инструмент, который помогает вычислить значение неопределенных интегралов для заданной функции. Онлайн-калькулятор неопределенных интегралов Cuemath поможет вам вычислить значение неопределенных интегралов за несколько секунд.

Как пользоваться калькулятором неопределенного интеграла?

Чтобы найти значение неопределенных интегралов, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Введите функцию относительно x в указанные поля ввода.
• Шаг 2: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти значение неопределенных интегралов для заданной функции.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести различные функции.

Как найти калькулятор неопределенного интеграла?

Производные определяются как определение скорости изменения функции по отношению к другим переменным. Он имеет дело с такими переменными, как x и y, функциями f (x) и соответствующими изменениями переменных x и y. Производная функции представлена ​​как f ‘(x).

Интеграция определяется как обратный процесс дифференциации. Интеграция представлена ​​ ‘∫’

Неопределенные интегралы – это интегралы, не имеющие верхнего и нижнего пределов.Он представлен как ∫f (x) dx

Существуют общие функции и правила, которым мы следуем, чтобы найти интеграцию.

Хотите находить сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. Cuemath находит решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенный пример:

Найдите значение интегрирования 5x ³ + 2x ²

Решение:

= ∫ (5x ³ + 2x ² )

= ∫ (5x ³ ) + ∫ (2x ² )

Используя умножение на константу и правило мощности,

= [5 × (x ^{3 + 1} /3 + 1)] + [2 × x ^{2 + 1} /2 + 1]

= 5x ⁴ /4 + 2x ³ /3

Точно так же вы можете использовать калькулятор, чтобы найти значение неопределенных интегралов для следующего:

Калькулятор и решатель неопределенных интегралов

1

Решенный пример неопределенных интегралов

$ \ int x \ left (x ^ 2-3 \ right) dx $

2

Мы можем решить интеграл $ \ int x \ left (x ^ 2-3 \ right) dx $, применив интегрирование методом подстановки (также называемое U-подстановкой).