Главная
Решить матрицу методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решить матрицу методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Сообщество Экспонента

  • вопрос
  • 02.05.2023

Другое

Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим

Мне нужно сделать интегральную частотно-импульсную систему автоматического управления теплопотреблением помещения. Я никак не могу разобраться как сделать регулятор ичим

1 Ответ

  • MATLAB

02.05.2023

  • вопрос
  • 02.05.2023

ПЛИС и СнК, Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Другое, Встраиваемые системы

Задача – LDPC декодер внутри FPGA.  Первый пришедший в голову вариант – декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL. Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…

Задача – LDPC декодер внутри FPGA.  Первый пришедший в голову вариант – декодер из MATLAB с последующей генерацией HDL.

Источник : https://www.mathworks.com/help/wireless-hdl/ref/dvbs2ldpcde…

  • Simulink
  • ПЛИС и СнК
  • Системы связи

02.05.2023

  • вопрос
  • 24.04.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Автоматизация испытаний

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

1 Ответ

  • Simulink

24.04.2023

  • вопрос
  • 23.04.2023

ПЛИС и СнК

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

1 Ответ

  • вопрос
  • 19.04.2023

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

  • вопрос
  • 14.04.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика, Системы управления

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

6 Ответов

  • Simulink
  • modeling
  • газ

14.04.2023

  • вопрос
  • 12.04.2023

Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

2 Ответа

  • вопрос
  • 06.04.2023

Цифровая обработка сигналов

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

1 Ответ

  • вопрос
  • 04.04.2023

Цифровая обработка сигналов

  End

  End

7 Ответов

  • вопрос
  • 02.04.2023

Другое

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Методы решений систем уравнений /qualihelpy

1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую  уравнений и  переменных, методом Крамера, необходимо:

1) найти определитель  основной матрицы системы;

2) найти определители  (), полученные в результате замены i-го столбца определителя  столбцом свободных членов системы;

3) найти значения переменных уравнений системы по формулам, которые называют формулами Крамера.  

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:

1) составить расширенную матрицу системы;

2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;

3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений;

Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы:

1) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число;

2) менять местами строки;

3) складывать и вычитать строки;

4) вычеркивать строки, все элементы в которых нули.

3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Систему уравнений, содержащую  уравнений и  переменных, можно записать в виде матричного уравнения: , откуда .

Чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, необходимо: 

1) записать основную матрицу  системы;

2) записать матрицу-столбец , состоящую из переменных уравнений системы;

3) записать матрицу , состоящую из столбца свободных членов;

4) найти определитель основной матрицы системы;

5) найти матрицу, обратную матрице ;

6) найти матрицу , умножив матрицу  на матрицу .

Пример 1. Решите систему линейных уравнений  методом Крамера.

Решение. 

  1.  Вычислим определитель основной матрицы системы: . Так как , то решение системы можем найти по формулам Крамера.
  2.  Заменим первый столбец определителя  столбцом свободных членов и найдем : 

.

3. Заменим второй столбец определителя  столбцом свободных членов и найдем : 

.

4. Заменим третий столбец определителя  столбцом свободных членов и найдем : 

.

5. Найдем значения переменных: 

Проверка: 

Ответ: , , .

Пример 2. Решите систему линейных уравнений  матричным методом.

Решение. Запишем матрицы системы: 

Так как , то решение системы можем найти матричным методом по формуле .

Матрицу, обратную данной, найдем по формуле:

.

По формуле  найдем алгебраические дополнения элементов матрицы : 

, , , , , , , , .

Получим:   .

Следовательно, , , .

Пример 3. Решите систему линейных уравнений  методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы: 

.

С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду: 

.

Решим систему уравнений:  

Решая уравнение , получим: .

Решая уравнение , получим: , . 

Решая уравнение , получим: , .

Ответ: , , .

1. Методом Крамера и матричным методом можно решать только те системы, которые содержат  уравнений и  переменных.

2. Если определитель  основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера и матричным методом.

3. Если матрица, составленная из коэффициентов при переменных системы линейных уравнений, вырождена, то такая система уравнений может не иметь вовсе решений либо иметь бесконечно много решений.

4. Любую совместную систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Гаусса.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными | Колледж Алгебра |

Решение систем по правилу Крамера

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей

вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right ]А=⎣

⎡​a1​a2​a3​b1​b2​b3​c1​c2​c3​⎦

⎤​

  1. Дополните

    AAA

    первыми двумя столбцами.

    det(A)=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1a2a3b1b2b3∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& { c}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& { c}_{3}\end{массив}|\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{массив} \begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив}|det(A)=∣a1​a2​a3 b1​b2​b3​c1​c2​c3​∣a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​∣

  2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
  3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом: }_{3}+{b}_{1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}- {a}_{3}{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3 }{a}_{2}{b}_{1}∣A∣=a1​b2​c3​+b1​c2​a3​+c1​a2​b3​−a3​b2​c1​−b3​c2 ​a1​−c3​a2​b1​

Пример 3. Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по данным

A=[0213−11401]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array }\right]A=⎣

⎡​034​2−10​111​⎦

⎤​

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

∣A∣=∣0213−11401∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6\begin{массив}{l}|A|=|\begin{массив}{ ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{c}0\\ 3\\ 4\end{массив}\begin{массив}{c} 2\\ -1\\ 0\end{массив}|\qquad \\ =0\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)+2\влево(1\вправо)\влево(4\вправо) )+1\влево(3\вправо)\влево(0\вправо)-4\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)-0\влево(1\вправо)\влево(0\вправо) -1\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =0+8+0+4 – 0-6\qquad \\ =6\qquad \end{массив}∣A∣=∣ 034​2−10​111​∣034​2−10​∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1) −0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6​

Попробуйте 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det(A)=∣1−371111−23∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{array}|det(A)=∣111​−31−2​713​∣

Решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

и

3 × 3\text{3}\text{ }\times \text{ }33 × 3

матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y }}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D},D\ne 0x=DDx​,y=DDy​​,z=DDz​​,D=0

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель

Dx{D}_{x}Dx​

, мы заменяем столбец

xxx

столбцом констант. Если мы записываем определитель

Dy{D}_{y}Dy​

, мы заменяем столбец

yyy

постоянным столбцом. Если мы записываем определитель

Dz{D}_{z}Dz​

, мы заменяем столбец

zzz

постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4. Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x – 2y+z=-5\\ x+3y – 2z=14\end{массив}x+y−z=63x−2y+z=−5x+3y−2z=14​

Решение

Используйте правило Крамера.

D=∣11−13−2113−2∣,Dx=∣61−1−5−21143−2∣,Dy=∣16−13−51114−2∣,Dz=∣1163−2−51314∣D =|\begin{массив}{ccc}1& 1& -1\\ 3& -2& 1\\ 1& 3& -2\end{массив}|,{D}_{x}=|\begin{массив}{ccc} 6& 1& -1\\ -5& -2& 1\\ 14& 3& -2\end{массив}|,{D}_{y}=|\begin{массив}{ccc}1& 6& -1\\ 3& -5& 1\\ 1& 14& -2\end{массив}|,{D}_{z}=|\begin{массив}{ccc}1& 1& 6\\ 3& -2& -5\\ 1& 3& 14\end{массив }|D=∣131​1−23​−11−2​∣,Dx​=∣6−514​1−23​−11−2​∣,Dy​=∣131​6−514​−11− 2​∣,Dz​=∣131​1−23​6−514​∣

Тогда

x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2\begin{array}{l}x=\frac{{D}_{ x}}{D}=\frac{-3}{-3}=1\qquad \\ y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{-9}{-3} =3\qquad \\ z=\frac{{D}_{z}}{D}=\frac{6}{-3}=-2\qquad \end{array}x=DDx​=−3 −3​=1y=DDy​=−3−9​=3z=DDz​=−36​=−2​

Решение:

(1,3,−2)\left(1,3,-2\right)(1,3,−2)

.

Попробуйте 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4\begin{array}{r}\qquad x – 3y+7z=13\\ \qquad x+y+z=1\ \ \qquad x – 2y+3z=4\end{массив}x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4​

Решение

Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решить систему уравнений по правилу Крамера.

3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)\begin{array}{l}3x – 2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x – 4y=0\ text{ }\left(2\right)\end{array}3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)​

Решение

Начнем с нахождения определителей

D,Dx и DyD,{D}_{x},\text{и {D}_{y}D,Dx​, и Dy​

.

D=∣3−26−4∣=3(−4)−6(−2)=0D=|\begin{массив}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{массив}|= 3\влево(-4\вправо)-6\влево(-2\вправо)=0D=∣36​−2−4​∣=3(−4)−6(−2)=0

Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

  1. Умножить уравнение (1) на

    −2-2−2

    .
  2. Добавьте результат к уравнению

    (2)\влево(2\вправо)(2)

    .

−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8\begin{matrix} \qquad-6x+4y=-8 \\ \qquad6x-4y=0 \\ \qquad\text{ ————–} \\ \qquad 0=8\end{matrix}−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8​

Получаем уравнение

0=−80=-80=−8

, что неверно. Следовательно, система не имеет решений. График системы показывает две параллельные линии.

Рис. 5

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)\begin{массив}{rr}\qquad x – 2y+3z=0& \ qquad \left(1\right)\\ \qquad 3x+y – 2z=0& \qquad \left(2\right)\\ \qquad 2x – 4y+6z=0& \qquad \left(3\right)\end {массив}x−2y+3z=03x+y−2z=02x−4y+6z=0​(1)(2)(3)​

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

∣1−2331−22−46 ∣1−2312−4∣|\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 3& \qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 2& \qquad -4& \qquad 6\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{rr}\qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 3& \qquad 1\\ \ qquad 2& \qquad -4\end{массив}|∣132​−21−4​3−26​ ∣ 132​−21−4​∣

Тогда

1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=01\влево(1\вправо)\влево(6\вправо)+\влево(-2\вправо)\влево(-2\вправо)\влево(2\вправо) )+3\влево(3\вправо)\влево(-4\вправо)-2\влево(1\вправо)\влево(3\вправо)-\влево(-4\вправо)\влево(-2\вправо) )\влево(1\вправо)-6\влево(3\вправо)\влево(-2\вправо)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3) (−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0

Так как определитель равен нулю, то решений либо нет, либо их бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

  1. Умножьте уравнение (1) на

    −2-2−2

    и добавьте результат к уравнению (3):

    −2x+4y−6x=02x−4y+6z=00=0\frac{\begin{ array}{r}\qquad -2x+4y – 6x=0\\ \qquad 2x – 4y+6z=0\end{массив}}{0=0}0=0-2x+4y-6x=02x-4y +6z=0

  2. Получение ответа

    0=00=00=0

    , утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой.

Рисунок 6

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, конкретное авторство
  • Precalculus. Автор : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция

Предыдущая

Следующая

Системы трех уравнений: решение с использованием матриц и правила Крамера

Определяющий

Есть и другой способ решения систем уравнений с тремя переменными. Он включает в себя величину, называемую определителем.

Каждая матрица размером 90 265 м 90 266 × 90 265 м 90 266 имеет уникальный определитель. Определитель единый номер. Чтобы найти определитель матрицы 2×2 , умножьте числа по диагонали вниз и вычтите произведение числа на восходящей диагонали:


detA = а 1 б 2 – а 2 б 1 .
Например,

det = 4(6) – (- 1)(- 2) = 24 – 2 = 22

Чтобы найти определитель матрицы 3×3, скопируйте первые два столбцы матрицы справа от исходной матрицы. Следующий, умножьте числа на трех нисходящих диагоналях и добавьте эти продукты вместе. Умножьте числа на восходящих диагоналях, и добавить эти продуктов вместе. Затем вычтите сумму из произведения восходящих диагоналей из суммы произведений диагоналей вниз (отнять второе число от первого число):




Пример : Найдите определитель:


Решение :

Шаг 1


Этап 2

Этап 3

Этап 4

10 – 80 = -70. detA = – 70.

Правило Крамера

Вспомните общую матрицу 3×4, используемую для решения систем из трех уравнения:


Эта матрица будет использоваться для решения систем по правилу Крамера. Мы разделите его на четыре отдельные матрицы 3×3:






D — матрица коэффициентов 3×3, а D x , D 90 279 y и D z являются результатом замены столбца констант одним из столбцы коэффициентов в Д .


Правило Крамера гласит:

х =
у =
z =

Таким образом, для решения системы трех уравнений с тремя переменными с использованием Правило Крамера,

  1. Расположите систему в следующем виде:
    a 1 x + b 1 y + c 1 z 902 66 = д 1
    a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
    a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
    90 388
  2. Создать D , D x , D y и D z .

Оставить комментарий