Решить методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

36Risolvere per ?cos(x)=1/27Risolvere per xsin(x)=-1/28Преобразовать из градусов в радианы2259Risolvere per ?cos(x)=( квадратный корень из 2)/210Risolvere per xcos(x)=( квадратный корень из 3)/211Risolvere per xsin(x)=( квадратный корень из 3)/212Графикg(x)=3/4* корень пятой степени из x 13Найти центр и радиусx^2+y^2=914Преобразовать из градусов в радианы120 град.

2+n-72)=1/(n+9)

Содержание

Метод крамера для произвольных систем линейных уравнений. Метод крамера решения систем линейных уравнений

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Решить слу методом крамера.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера. В чем заключается метод Крамера

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Как решить систему уравнений методом крамера.

Метод крамера решения систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Решение СЛАУ методом Крамера

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

(2. 5)

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



(2.6)

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.



2.

5. Основные свойства определителей

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

решаем системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1. 8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1. 18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………. .
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т. к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1. 4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Решение СЛАУ методом Крамера

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Решите методом Крамера онлайн с подробным решением. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера. Системы линейных алгебраических уравнений

Для освоения этого параграфа необходимо уметь открывать классификаторы «два на два» и «три на три». Если определители плохие, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? «Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, почленным сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения довольно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: “значит система имеет единственное решение” . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример изящного оформления и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видим, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм “лечения”. Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» кадром, нужно сразу же проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и оформить на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть под рукой компьютер, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системы матричным методом.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

В ходе решения лучше описать подсчёт несовершеннолетних подробно, хотя при определённом опыте их можно приспособить к счёту с ошибками устно.

В первой части мы рассмотрели теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример изящного оформления и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Пример 9

Решите систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Габриэль Крамер – швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли , один из основоположников линейной алгебры. Крамер рассмотрел систему произвольного числа линейных уравнений с квадратной матрицей. Он представил решение системы в виде столбца дробей с общим знаменателем – определителем матрицы. Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений, что позволяет значительно ускорить процесс решения. Этот метод можно применять при решении системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Главное, чтобы определитель системы не был равен “0”, тогда в решении можно использовать метод Крамера, если “0” – этот метод использовать нельзя. Также этот метод можно применять для решения систем линейных уравнений с единственным решением.

Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Допустим, нам дали такую СЛАУ:

\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]

По теореме Крамера получаем:

Ответ: \

Где можно решить уравнение по методу Крамера онлайн-решателем?

Решить уравнение можно на нашем сайте https://сайт.Бесплатный онлайн-решатель позволит решить онлайн-уравнение любой сложности за считанные секунды. Все, что вам нужно сделать, это просто ввести свои данные в решатель.Также вы можете посмотреть видеоинструкцию и научиться решать уравнение на нашем сайте.А если у вас есть какие-либо вопросы, вы можете задать их в нашей группе Вконтакте http:/ /vk.com/pocketteacher Вступайте в нашу группу, мы всегда рады вам помочь

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратичными. Определитель, составленный из коэффициентов независимых переменных системы (1. 5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой Д. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный ( j -й) столбец заменить его столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательные определители:

( j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Решите систему уравнений методом Крамера

Вычислим главный определитель системы:

Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить все ее элементы на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Добавление матрицы.

Эта операция вводится только для матриц одного порядка.

Для сложения двух матриц необходимо сложить соответствующие элементы другой матрицы с элементами одной матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если количество столбцов матрицы А соответствует числу строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерностей ´ 1 х 6 м В размеры н ´ к получаем матрицу ИЗ размеров м ´ к . При этом элементы матрицы ИЗ рассчитываются по следующим формулам:

Задача 1. 8. Найдите, если возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведения BA не существует, так как количество столбцов матрицы B не соответствует количеству строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица А- 1 называется обратной квадратной матрице А , если выполняется равенство:

где через I обозначает единичную матрицу того же порядка, что и матрица А :

Чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица находится по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам aij матрицы А (обратите внимание, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A- 1 к матрице

Находим обратную матрицу по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | А | = 1 х 3 х 8 + 2 х 5 х 3 + 2 х 4 х 3 – 3 х 3 х 3 – 1 х 5 х 4 – 2 х 2 х 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найти алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы мы разместили алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы в соответствующих столбцах.

Квадратные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричной форме:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на А- 1 , получаем решение системы:

, где

Таким образом, для того, чтобы найти решение квадратной системы , нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Раствор. Запишем систему в матричной форме: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы, то главная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1. Чтобы найти обратную матрицу А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находится по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений с помощью обыкновенных жордановых исключений

Пусть задана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных, удовлетворяющая всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесконечное число решений. Она также может вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который также называют методом обыкновенных жордановых исключений. Суть этого метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого была выражена переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в истинные тождества. Такие уравнения исключаются из системы, так как они справедливы при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например, ), то делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения несовместных уравнений не возникло, то одна из оставшихся в ней переменных находится из последнего уравнения. Если в последнем уравнении остается только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении останутся другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем делается так называемый «обратный ход». Найденная переменная подставляется в последнее запомненное уравнение и находится вторая переменная. Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее запоминаемое уравнение и находится третья переменная, и так до первого запоминаемого уравнения.

В результате получаем решение системы. Это решение будет единственным, если найденные переменные являются числами. Если первая найденная переменная, а затем и все остальные зависят от параметров, то система будет иметь бесконечное число решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от определенного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

Запомнив первое уравнение и приведя во втором и третьем уравнениях аналогичные члены, придем к системе:

Выразим из второго уравнения

6 y 9000 первое уравнение:

Вспоминаем второе уравнение, и из первого находим z :

Делая обратный ход, последовательно находим y и з . Для этого сначала подставляем в последнее запомненное уравнение, из которого находим y :

Затем подставляем и в первое запомненное уравнение откуда находим х :

Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе и третье уравнения:

Запомните первое уравнение

В этой системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получаем, что 14 = 17. Это равенство не выполняется при любых значениях переменных х , y и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т. е. не имеет решения.

Читателям предлагается самостоятельно проверить равенство нулю главного определителя исходной системы (1.17).

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) только одним свободным членом.

Задача 1. 13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе и третье уравнения:

Вспомним первое уравнение и представим аналогичные члены во втором и третьем уравнениях. Приходим к системе:

выразив y из первого уравнения и подставив его во второе уравнение, получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а, следовательно, его можно исключить из системы.

В последнем запомненном равенстве в качестве параметра будет рассматриваться переменная z . Мы верим. Затем

Подставляем y и z в первое запомненное равенство и находим x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесконечное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19) при выборе произвольного значения параметра t :

(1.19)
Таким образом, решения системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы за один шаг в общем виде и формализовать решение задачи в виде специальных таблиц Жордана.

Пусть задана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, aij – постоянные коэффициенты
( i = 1,2016 1,2016 …, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i ( i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решения этой системы путем исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, именуемую в дальнейшем «один шаг обычных жордановых исключений». Из произвольного ( r th) равенства выразим произвольную переменную ( x s ) и подставим во все остальные равенства. Конечно, это возможно только в том случае, если а rs ¹ 0. Коэффициент а rs называется разрешающим (иногда ведущим или основным) элементом.

Получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S Строка th запоминается и впоследствии исключается из системы. Оставшаяся система будет содержать одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты получившейся системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет иметь вид:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

( 1.23)
Теперь вычислим новые коэффициенты b ij ( i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим переменную, выраженную в (1.22), x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов получаем:

(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -е уравнение):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений представлено в виде таблиц (матриц). Эти таблицы называются «таблицами Иордании».

Таким образом, задаче (1.20) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	х	…	х с	…	х
у 1 =	и 11	и 12		и 1 и		а 1 с		а 1 n
…………………………………………………………………. .
у я =	и 1	и 2		ай		а есть		а в
……………………………………………………………………..
г р =	1	2		рдж		а рс		а р-н
………………………………………………………………….
д н =	а м 1	а м 2		а мдж		мс		утра

Таблица Жордана 1.1 содержит левый головной столбец, в котором записаны правые части системы (1.20), и верхнюю головную строку, в которой записаны независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1. 20). Если умножить матрицу А на матрицу, состоящую из элементов верхней заголовочной строки, то получим матрицу, состоящую из элементов левого заголовочного столбца. То есть, по сути, таблица Жордана представляет собой матричную форму записи системы линейных уравнений: . В этом случае системе (1.21) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	х	…	г р	…	х
у 1 =	б 11	б 12		б 1 к		б 1 с		б 1 н
…………………………………………………………………..
у я =	б и 1	б и 2		б идж		б это		б в
…………………………………………………………………. .
х с =	бр 1	бр 2		б рдж		брс		б р-н
………………………………………………………………….
д н =	б м 1	б м 2		бмж		б мс		бмн

Разрешающий элемент a rs выделим жирным шрифтом. Напомним, что для реализации одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть ненулевым. Строка таблицы, содержащая разрешающий элемент, называется разрешающей строкой. Столбец, содержащий элемент включения, называется столбцом включения. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная ( x s ) из верхней строки заголовка таблицы перемещается в левый столбец заголовка и, наоборот, один из свободных членов системы ( г. р. ) перемещается из левого столбца заголовка таблицы в верхнюю строку заголовка.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от таблицы Жордана (1.1) к таблице (1.2), который следует из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным номером:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца равны разделен на активирующий элемент:

4. Элементы, не входящие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последнюю формулу легко запомнить, если заметить, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i -ой и r -й строк и j й и s -го столбцов (разрешающая строка, разрешающий столбец и строка и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно пользоваться следующей схемой:

-21 -26 -13 -37

Выполняя первый шаг жордановых исключений, любой элемент таблицы 1. 3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Вы должны не только выбрать разрешающий элемент в последнем столбце, так как нужно найти независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 с переменной х 3 в третьей строке таблицы 1.3 (активирующий элемент выделен жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней строки заголовка заменяется константой 0 из левого столбца заголовка (третья строка). При этом переменная х 3 выражается через остальные переменные.

string x 3 (таблица 1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Таблица 1.4 также исключает третий столбец с нулем в верхней строке заголовка. Дело в том, что вне зависимости от коэффициентов этого столбца b i 3 все соответствующие ему члены каждого уравнения 0 b i 3 системы будут равны нулю. Следовательно, эти коэффициенты не могут быть рассчитаны. Исключив одну переменную х 3 и вспомнив одно из уравнений, мы придем к системе, соответствующей табл. 1.4 (с перечеркнутой линией х 3). Выбрав в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, перейти к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: х 1 = – 3 + 2 х 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим оставшиеся переменные:

Таким образом, система имеет бесконечное число решений. переменная x 5 , вы можете присвоить произвольные значения. Эта переменная действует как параметр x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2 t

x 2 = – 1 – 3 t

x 1 = – 9 0 2 (1.27)
х 4 = 4 + 5 t

х 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получаем исходную систему из бесконечного числа решений. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определители

получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1 Решить систему линейных уравнений:

Согласно Теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2), решение Крамера онлайн

1 9 .

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система непротиворечивая и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместная)

Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, которая имеет только одно решение, называется определенным , а более одного неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть система

На основе теоремы Крамера

………….
,

где
–

системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой в столбце коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:

Пример 2

Следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Раствор. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2;-1;1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам нахождения общих свойств каких-либо явлений и объектов. То есть вы изобрели какой-то новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, вам нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных стоят буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители неизвестных

Mathway | Популярные проблемы

93-8

1	Фактор
9	Оценить	квадратный корень из 12
10	Оценить	квадратный корень из 20
11	Оценить	квадратный корень из 50	94
18	Оценить	квадратный корень из 45
19	Оценить	квадратный корень из 32
20	Оценить	квадратный корень из 18	92

Решение системы уравнений с несколькими неизвестными

Решение уравнений, расчет онлайн

Summary :

Решатель систем линейных уравнений позволяет решать уравнения с несколькими неизвестными: система уравнений с 2 неизвестными, система уравнений с 3 неизвестными, система с n неизвестными.

решить_уравнения онлайн

Описание :

Решение уравнений с несколькими неизвестными Другими словами, решение системы уравнений онлайн возможно за счет использования функцииsolve_equations калькулятора. Калькулятор допускает разрешение системы онлайн нескольких типов, это возможно:

по решать системы уравнений с двумя неизвестными онлайн ,
по решать системы уравнений с тремя неизвестными онлайн ,
и, в более общем смысле, разрешение уравнения онлайн-систем с несколькими неизвестными.

Обладая способностью к алгебре, калькулятор может решить уравнений с двумя неизвестными или решить уравнения с 3 неизвестными с использованием букв (буквальный расчет).

Калькулятор представляет собой решатель системы уравнений , который использует очень простой синтаксис для решения систем линейных уравнений, допускающих единственное решение.

Решение системы 2 уравнений с 2 неизвестными

Существует несколько методов решения системы 2 уравнений с 2 неизвестными: метод подстановки , комбинированный метод , графический метод , метод Крамера .

Комбинированный метод заключается в исключении одной из переменных благодаря арифметическим операциям над уравнениями;
Метод замены состоит из выражения одной из переменных как функции другой, а затем замены, чтобы получить уравнение с одним неизвестным;
Метод графического решения позволяет предположить решение, которое необходимо будет проверить вычислением, графический метод состоит в изображении прямых линий, соответствующих уравнениям, а затем «чтении» координат точки пересечения, графический калькулятор позволяет выполнять этот тип операции;
Метод Крамера использует определители.

Калькулятор может использовать эти методы для решения уравнений с 2 неизвестными

Чтобы решить систему 2 уравнений с 2 неизвестными согласно x+y=18 и 3*y+2*x=46, необходимо войти solve_equations(`[x+y=18;3*y+2*x=46];[x;y]`), после вычисления возвращается результат [x=8;y=10].

Решение системы 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

К найти решения систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными калькулятор может использовать метод подстановки, метод комбинации или метод Крамера.

Так, например, для решения линейной системы уравнений по x+y+z=1, x-y+z=3, x-y-z=1 необходимо ввести solve_equations(`[x+y+z=1;x-y+z=3;x-y-z=1];[x;y;z]`) , после вычисления результат [x=1;y=-1; z=1] возвращается.

Синтаксис :

решить_уравнения([уравнение1;уравнение2;…;уравнениеN];[переменная1;переменная2…переменнаяN])

Примеры:

x+y=18
3*у+2*х=46

solve_equations(`[x+y=18;3*y+2*x=46];[x;y]`), возвращает[x=8;y=10] Расчет онлайн с помощьюsolve_equations (решение системы линейных уравнений)

См. также

Список связанных калькуляторов:

Решение квадратного уравнения с комплексным числом : complexe_solve. Калькулятор уравнений комплексных чисел возвращает комплексные значения, для которых квадратное уравнение равно нулю.
Расчет дискриминанта онлайн: дискриминант. Калькулятор, который позволяет вычислить дискриминант квадратного уравнения онлайн.
Найти уравнение прямой линии из двух точек: уравнение_прямой_линии. Калькулятор уравнения прямой позволяет рассчитать уравнение прямой по координатам двух точек с пошаговым расчетом.
Найдите уравнение касательной линии: уравнение_касательной_линии. Калькулятор уравнения касательной используется для расчета уравнения касательной к кривой в заданной точке абсцисс с поэтапным вычислением.
Калькулятор теоремы Пифагора: пифагорейский. Калькулятор использует теорему Пифагора, чтобы проверить прямоугольность треугольника или найти длину одной стороны прямоугольного треугольника.
Калькулятор решения для x: уравнение_решателя. Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестным с шагами расчета: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.
Калькулятор неравенства: неравенство_решатель. Решатель неравенств, который решает неравенство с деталями расчета: линейное неравенство, квадратное неравенство.
Решение системы линейных уравнений :solve_equations. Решатель систем линейных уравнений позволяет решать уравнения с несколькими неизвестными: система уравнений с 2 неизвестными, система уравнений с 3 неизвестными, система с n неизвестными.
Решатель обратного отсчета: arithmetic_solver. Этот решатель обратного отсчета позволяет найти целевое число из набора целых чисел с помощью арифметических операций.

Список связанных упражнений:

Решите систему двух уравнений с двумя неизвестными. Целью этого исправленного математического упражнения является решение системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Использование системы уравнений для решения задачи : Цель этого упражнения — использовать систему двух уравнений с двумя неизвестными для решения задачи.

Напоминания о курсах, калькуляторы, упражнения и игры: Уравнения, Матрицы

Алгебратор онлайн

Посетители поисковых систем пришли на эту страницу сегодня, введя следующие ключевые слова:

решение уравнений на сложение и вычитание	как решать показательные уравнения	параболическая алгебра	бесплатные онлайн калькуляторы алгебры рациональные выражения	примеры упрощенных дробей 6 класс
макдугал литтел алгебра книга ответы	секрет баланса химических уравнений	гр. 10 заметок по тригонометрии	алгебра ответы	упрощение уравнений
калькулятор добавления радикалов	бесплатных рабочих листа для сложения и вычитания целых чисел	Алгебра и тригонометрия: Структура и метод Книга 2 ответы	факторизация уравнений с несколькими переменными	PowerPoint дискретная математика для детей
задача по математике	распределительное свойство: дробные задачи	Трехступенчатые алгебраические уравнения с использованием дистрибутивного свойства	лог программы для ti89	бесплатный онлайн-лист LCM
решения абстрактной алгебры + галлиан	математические преобразования	нахождение наклона функции	какой наибольший общий делитель одного числа	какой ответ на самую сложную простую задачу по геометрии в мире
бесплатных ежедневных рабочих листа	“Бесплатный тест на грамматику”	вопросы о способностях и решения	“преобразователь стандартной формы”	Рабочие листы GCF
КАЛЬКУЛЯТОР ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДОЛЯ	математика с несколькими вариантами ответов для шестого класса	7 класс Алгебраическое мышление часть первая	одновременных уравнения в Matlab	загрузки приложения Trig Identity для ti-84 plus
Экспоненциальная модель на TI-83 плюс	рудин текст глава 6 решение	Промежуточная алгебра – алгебра Гленко 1	дроби квадратного корня	описать шаги графического решения линейного неравенства с двумя переменными
Сложение И ОТДЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО 8 КЛАСС	МАТЕМАТИКА ДЛЯ ДЕТЕЙ В ПРОЦЕНТАХ	конвертировать десятичные числа в дроби	вопросы по алгебре	введите здесь задачу решить математику
Калькулятор упрощения трехчленов	рабочих листа алгебра неравенств 1 приложения	решение уравнений к калькулятору перехвата +slop онлайн	разложение чисел на множители с использованием показателей степени и переменных	написать уравнение в стандартной форме/решатель
многочлена по математике ppt	практические задачи по тригонометрии	алгебра целых чисел сложение вычитание	разделительные радикалы	онлайн алгебраический калькулятор
бесплатные бухгалтерские книги	читы на простые и составные числа	бесплатные рабочие листы для 11 класса для печати	упростить рабочий лист переменных выражений	алгебра сила
примера задач по алгебре с ответами	бесплатный онлайн калькулятор абсолютного научного значения	Aptitude Вопросы с ответами	“печатные” “симметричные игры”	состояние здоровья 5 для печати
Обучение тригинометрии	покажи мне, как вычитать все дроби	Растворы “Артин”	калькуляторы экспоненциальных зависимостей(бесплатно онлайн)	“современная алгебра” гауссовские полевые заметки
бесплатных рабочих листа с положительными и отрицательными десятичными знаками	как написать обозначение последовательности	проверка полиномов	Расширение логарифмического уравнения	математические уравнения, упрощающие порядок
Рабочий лист уравнения АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ	Программа для одновременного решения уравнений	сколько игр для соотношения и пропорции	покажите мне лист математических задач для старшеклассников	актуальные ответы на освоение физики
mATH упрощает радикалы, используя абсолютное значение	ЖКИ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Практика	преобразовать квадратный корень в логарифмическую форму	Тест Макдугал Литтелл Ауснерс	сложение и вычитание уравнений и переменных
рабочих листа с положительными и отрицательными целыми числами	как решать квадратные уравнения извлекая квадратный корень	Решатель сложных неравенств	бесплатные научные онлайн калькуляторы стандартная форма	Как записать смешанное число в виде десятичной дроби?
мелочи о дробях	завершить квадратную программу	Рабочий лист коэффициента масштабирования	алгебра 1. 2.3 пример истории	решение неравенства ТИ-83 плюс
www.see online test papers.com	Pre-Algebra Simplifying Fractions Упражнения для 9 класса	уравнение химического баланса анимации	простых рабочих листа по теории Пифагора	бесплатных рабочих листа по математике + углы + 5 класс
Калькулятор правильного рационального выражения	т189 техас	упрощающие радикалы с дробями	alg 2 рабочих листа журнала	математика для чайников
распечатать бесплатно ks3 sats papers	онлайн-решатель математических уравнений	“Что означает М в уравнении наклона”	логарифмические решатели	рабочие листы по умножению/делению дробей
Рабочий лист уравнений с дробями	апплет двоичного деления	онлайн факторинг	Скачать онлайн калькулятор Ti-83	с использованием свойства квадратного корня
решение подкоренного выражения	упрощение подкоренных выражений TI-84 Plus	калориметрия: TI-83	помощь по алгебре в колледже, состав функций	решение неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений
Калькулятор радикальных выражений	математика третьего класса+Powerpoint	Вопрос с ответами – Тест на пригодность	введение в алгебру маленькая книжка Макдугала	Мгновенные ответы по математике
алгебра+вершина	рабочий лист по перестановкам	математические функции ks3	викторина по математике неполная квадратика	Ответы Макдугала Литтела на математические задания
онлайн-упрощение математики	Рабочий лист умножения и деления целых чисел	алгебра 1 ответы	Калькулятор экстраполяции	зеленые шарики скачать
триггерные функции формулы сложения и вычитания	решение квадратных уравнений с суммой наименьших квадратов	бесплатных печатных заметок для углубленного изучения алгебры	примерных вопросов по алгебре ответы	КНИГА+ПО+АЛГЕБЕРЕ
Как решить радикальное уравнение, заполнив квадрат	калькулятор фото уравнения	Excel + Решение одновременных линейных уравнений	Калькуляторы факторинговых программ	Алгебра для 1 класса
Учебник по преалгебре Холла	рабочих листа по алгебре, таких как термины	бесплатных загрузок книг о способностях	викторины по алгебре Гленко	Бумага для распечатки по математике для третьего класса
72365748	решить квадратное уравнение в Matlab	ТИ-85 комплексный участок Полярный	собственных значения Java	Алгебра 1 умножение биномов на распределение
шага для построения уравнения в прямоугольной системе координат	решение уравнения третьего порядка	уроки алгебры	биномиальный квадрат рабочий лист	сочинения по математике онлайн бесплатно на уровне
рабочих листа по математике электроэнергии	gcse логарифмы	решение для рабочего листа y перехвата	ПОМОЩЬ С ТЕСТОМ CLEP ДЛЯ КОЛЛЕДЖА	решение самой сложной простой геометрии в мире
алгебра 1 прентис холл ответы	Практические листы с квадратным корнем для 8 класса	база журнала преобразования	Глава 5 тест А на деление целых чисел	математический исследовательский проект
Вывести квадратную формулу из таблицы точек	решатель стандартной формы/уклона	решение уравнений методом квадратного корня	surds+онлайн упражнение	математический полином обновления
калькулятор триггеров	графики разностных отношений	ответы к учебнику алгебры II	матлаб второго порядка ода	“функции” и “алгебра 1” и “рабочий лист”
Рождественская школа для печати worksheets. com	общих вопроса о способностях	добавление и вычитание подкоренного выражения	все четвертые корни	печатные рабочие листы GED для практики длинного деления
в кубе, алгебра, калькулятор	самый простой ответ на самую сложную задачу по геометрии	объединение однородных терминов деятельности	Бесплатный онлайн графический калькулятор TI-83	распечатки простых математических листов
математика из фольги с показателями	Решение двухшаговых неравенств/7 класс	калькулятор корней квадратного выражения	Как решать дроби с неизвестными	примера планов уроков по решению линейных уравнений со скобками
современный учебник химии глава 8 обзор ответы	уравнения дробей на вычитание и сложение	учебники по предварительной алгебре для прентис холла онлайн бесплатно	решение квадратичных функций с помощью ti-89	процентов рабочих листов
ответа на книгу по понятиям и приложениям алгебры от Glencoe	записать смешанное число как десятичное	Рабочий лист графических логарифмов с ответами	выучить алгебру бесплатно	лист золотого сечения “начальная школа”
алгебра ответы бесплатно	помощник по алгебре	процентные задачи на слова пятый класс	Шпаргалка по алгебре 1 unit8	BBC GCSE отделение алгебры
ввод дифференциальных уравнений в Matlab	fx алгебра решает уравнения	решить переменные с листом дробей	квадратное уравнение в кубе	квадратных корня из дробей
Сложение и вычитание целых чисел для детей	алгебра2 калькулятор	перехват формулы полинома	McDougal Littell Gateways to Algebra глава 3	делаем программу для ти-84
как решать дроби линейного неравенства	сложные задачи по алгебре	КАКАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ РЕШЕНИЕМ АБСОЛЮТНОГО УРАВНЕНИЯ, ВКЛЮЧАЮЩЕГО ЛИНЕЙНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ, И РЕШЕНИЕМ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ	наименьшее общее кратное 28 и 39	скачиваемая книга по бухгалтерскому учету
TI-83 Plus Root Calc	бесплатных рабочих листа для 6 класса/дробей	Современная химия Тест Холта помогает ответить на вопросы главы 8	рабочие листы уравнений все операции	листов изображений в координатной плоскости
алгебра упрощения дробей gcse	вычислить квадратный корень без калькулятора	ти89 базовый	сохранение формул на TI-86	McDougal Littell Учебник для 7-го класса
факторинговые игры с трехчленами	Решение Хангерфорда по алгебре	решать уравнения с помощью редактора уравнений Word	логи ti89	бесплатные рабочие листы умножения 0-12
Алегбра, класс 3	решить неравенства с показателями	свободный объем рабочего листа элементарный	приложение квадратичной формулы для ti-84	ти 84 эмулятор
скрыть триггерные функции в чите калькулятора	факторинг трехчленов бесплатные рабочие листы	Бесплатный калькулятор Ti 83 онлайн	одновременных дифференциальных уравнения	как решать нелинейные дифференциальные уравнения
бесплатная бухгалтерская книга из университета	новые математические мелочи	колледж Алгебра для чайников	игры по алгебре	Ускоренный экзамен по математике для 8-го класса для выпускных экзаменов
списывание по алгебре в колледже; журналы	ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА С ПИЦЦАЗОЙ!	бесплатное домашнее задание для третьего класса	базовая алгебра	программное обеспечение для алгебры
концептуальных теста по физике с ответами	преобразование в лог из on ti 89	калькулятор рациональных выражений онлайн	ответы на четные задачи по саксонской алгебре 1 книга	решать уравнения с дробными показателями
Абсолютное значение радикала	АЛГЕБРАТОР	рабочих листа по сложению и вычитанию рациональных выражений	быстро выучить алгебру в колледже	упрощенная радикальная форма
сложение, вычитание и умножение радикалов	Бесплатные рабочие листы по математике для 8-го класса	печатных рабочих листа по тесту на делимость	десятичная форма в радикальной форме	уравнение калькулятора факторизации
Рабочий лист сложных слов	рабочие листы по алгебре	научный калькулятор t i 84	бесплатно распечатать онлайн ged math	репетитор по линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка
вычисление алгебраических выражений PowerPoint	макдугал литтел заметки по биологии	последние математические мелочи	Рабочий лист по математике для 6-го класса	элементарная алгебра помощь
разложение трехчленов в кубе на множители	Приложения алгебры – астрология	найти следующие числа в последовательности 4 9 25 49 121 169	программы/загрузки по алгебре для ti-83	наибольшее общее кратное как получить 7 класс
математическая формула процентов	бесплатные онлайн задачи с графиками и сюжетами для 5 класса	читерские программы статистика ti84	гэд читы	шаг правил факторинга
как подключить логарифмическую базу 2 к калькулятору	Таблица математических формул	прентис холл научное обозначение	загружаемый тест способностей бесплатно	объяснение стандартной формы математической фразы
алгебра мелочи	решить систему нелинейных уравнений	АККУПЛЕЙСЕР Практика. Проверка навыков предложения	дешевая алгебра Макдугала 2	glencoe курс математики 2 ключ ответа
математические упражнения для первокурсников	математические игры-решающие системы уравнений	МОГУ ЛИ Я ИСПОЛЬЗОВАТЬ КАЛЬКУЛЯТОР TI-86 ДЛЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ	Дроби, складывающие формулу вычитания	Рабочие листы для упрощения дроби с возможностью печати
ti83+ журнал	реальных примера коников	техасское издание предварительное исчисление графическое, числовое, алгебраическое седьмое издание помощь с домашним заданием	раздел а множители и кратные навыки 2 практика 7 класс ответы по математике	калькулятор алгебры корень
“Шпаргалка по умножению”	java: цифры после секунд	Решатель ОДУ второго порядка	решить первообразную онлайн	найти уклон вычислить
обучение с помощью листов алгебры	калькулятор уравнений и дробей	словесные задачи правила сложения положительных чисел	упрощение подкоренных выражений с числами в кубе	Мне нужны ответы на вопросы из книги по геометрии Glencoe
Рабочий лист параллельных и перпендикулярных линий	алгебра II бесплатные онлайн задачи	Бесплатные рабочие листы по геометрии для 9 класса	Код сложной процентной ставки TI-83	проекты по статистике до алгебры
онлайн тест по математике 8 год	калькулятор “булева алгебра”	как строить квадратные уравнения на TI-89	Тестовое сочинение для 6 класса	стандартное уравнение эллипса программа ti-84
Калькулятор уравнения линейной дроби	Решатель логарифмических уравнений	Рабочая тетрадь по концепциям и приложениям алгебры glencoe ответы	радикальное частное	онлайн-листа по преалгебре
Рабочие листы для 7 класса	как решить квадратное системное уравнение с помощью алгебры	круговые диаграммы листы для печати	Хорошая программа по алгебре 1	формула дроби до десятичной дроби
калькулятор десятичного порядка	как решать квадратные многочлены в третьей степени	факторизация квадратных уравнений на ti 83	решение уравнения с двумя переменными с помощью Mathcad	как решать дроби
комбинированных рабочих листа	Калькулятор корня системы нелинейных уравнений	область и область квадратных формул	Алгебра 2 книга ответы	бесплатные уроки денег во 2 классе
рабочих листа по алгебре	помогите решить это уравнение методом подстановки	простые математические мелочи	корень нелинейного уравнения matlab	бесплатных рабочих листа по целочисленной математике
Решатель кубического факторинга	алгебра балансировки радикальных уравнений	сложное неравенство видео	Нанесение изображений с использованием координат	помощь в решении задачи по алгебре 2
элементарная алгебра	деление квадратных корней	домашнее задание для печати, первый класс	бесплатный математический лист по ассоциативному свойству	Скачать Алгебратор
линейные уравнения TI 83	Калькулятор свойства квадратного корня	радикальные выражения с наименьшим общим знаменателем	Шпаргалка по математике TAKS для средней школы	расчет журнала ti 83
полиномиальный факторер	стандартный наклонный зубец	рабочие листы по алгебре ks3	pdf Интегральные вычисления	шпаргалки по алгебре в колледже
онлайн математика прошлые статьи	шпаргалки по математике/кореням	счет математика бесплатные ресурсы для загрузки бесплатные экзаменационные документы	алгебра мелочи с ответами	онлайн калькулятор неявного дифференцирования
Программа ФОЛЬГА TI84	калькулятор задач подстановки уравнений	Руководство по тестированию способностей к алгебре в Айове	бесплатный тест математических способностей	математические формулы
бесплатных экзамена по биологии с ответами	примера применения квадратных уравнений в текстовых задачах с ответами. .	решить бином	предварительная алгебра с математической помощью	мне нужна помощь с домашним заданием по алгебре 2
Практические листы по алгебре для 8 класса	десять дробей от наименьшего к наибольшему	рабочих листа/экспонента	Базовый образец дифференциальной математики для начинающих	бесплатные рабочие листы переменные порядок операций
наклон и y перехват на ti-84	Уравнение в частных производных первого порядка + функция Грина	определения терминология статистики – полином третьего порядка	картинки полярных уравнений	решение одновременных дифференциальных уравнений Matlab
рабочие листы с наименьшим общим знаменателем	Кнопка кубического корня TI-83	бесплатных домашних заданий по математике ответы	Калькулятор индекса Джини Matlab	алгебраический тест
разложение полиномов третьего порядка на множители	самый сложный простой математический вопрос	рабочие листы порядка работы	Ответ Макдугала для WorldHistory	нелинейный 3 неизвестных
БЕСПЛАТНЫЕ ОНЛАЙН-ИГРЫ ДЛЯ 7-ГО КЛАССА ПО АЛГЕБРЕ	умножение сложение вычитание деление дробей	решить для переменных рабочих листов	gmat мошенничество	область функций
самое веселое занятие с общим фактором 5-й класс	кумон тесты	бесплатный рабочий лист LCM	бесплатный онлайн калькулятор кубический корень	биномиальная теорема рабочий лист
Многопараметрический интегральный онлайн-калькулятор	Продвинутая дискретная математика	ответ на предварительную алгебру	степень полиномиального решателя онлайн	корня многочлена третьего порядка
как использовать журнал с TI-83	Математические задачи – Соотношения	калькулятор для однотипных терминов	шагов алгебры	примеры математических триггеров наклон
гмат теория наборов	БЕСПЛАТНЫЕ САЙТЫ ДЛЯ ОБНОВЛЕНИЯ АЛГЕБРЫ	бесплатный решатель алгебры	вычесть радикалы из целых чисел	примеры перестановок и комбинаций

Пользователи Bing нашли наш веб-сайт вчера, введя следующие алгебраические термины:

матрицы Гленко	вычитание научной нотации	алгебраический решатель задач со словами	Бесплатный решатель домашних заданий по алгебре
радикалы для чайников математика	добавить калькулятор рациональных выражений	Рабочие листы по математике KS3	бесплатное программное обеспечение для алгебры
КАЛЬКУЛЯТОР СВОЙСТВ АЛГЕБРА	программы по алгебре	распечатки для подготовки к алгебре	бесплатных онлайн-ответа на алгебру Холта 1
программное обеспечение для предварительной алгебры	денежные задачи с квадратным уравнением	решение сложных трехчленов	сила алгебры
алгебра 1 глава тест ответы	таблицы коэффициентов сложения и вычитания	Калькулятор упрощающих показателей	покажи мне математические задачи для старшеклассников
помощь в построении деревьев математических факторов	узоры функции и алгебра 5 класс	калькулятор булевой алгебры	ответы на алгебру 3 математические уравнения
многочлена в кубе	преобразовать дробь в десятичную в Maple	решение уравнений состояния в Matlab	“Викторина по рациональным уравнениям”
бесплатные онлайн-практики по математике с использованием показателей	Алгебра для 9 класса	правила сбалансированного уравнения алгебры	как выглядит линейное уравнение с двумя переменными
преобразовать десятичное число в смешанное число	mcdougal littell английские листы ответов	Рабочие листы на умножение и деление для 6 класса	полисмлт ТИ83
Как вы делите десятичные дроби	бесплатный загружаемый учебный материал для IAS PDF	Онтарио 12 класс математические радикалы	вопрос о способностях
гленко алгебра пропорции	Графические рабочие листы линейных уравнений	Рабочий лист родителей для 5-го и 2-го класса	решение домашней работы по классической механике
расчет погонного метра	Рабочий лист по вычитанию и сложению дробей с ключом ответа	рабочие листы с порядковыми операциями	как найти 6-й корень числа из таблицы журнала
бесплатный учитель сложения алгебра 2 книги ответы	бесплатные онлайн решения математических задач	математическое видео glencoe	деление целых чисел и целых чисел
дополнительный рабочий лист по линейным уравнениям ged	бесплатных печатных рабочих листа по медиане и моде для третьего класса	бесплатная алгебра 2 с отличием помощь	базовая алгебра
Тест по математике IOWA для седьмого класса	десятичных знака с основанием 8	как преобразовать порядковую дробь	упрощая радикалы powerpoint
algerba help guid рабочие листы	Решение уравнений путем сложения/вычитания дробей	Рабочий лист синтетического деления	Объясните, кто использует обратные уравнения для решения линейных систем
kumon математические листы онлайн	уравнения для указанной переменной +как сделать	УМНОЖЕНИЕ БЕСПЛАТНО + ВИКТОРЫ	листы расширения
Математический решатель FOIL	доля до десятичной точки Matlab	Рабочий лист геометрической арифметической последовательности	бесплатный интерактивный onlie калькулятор
переменная в степени	Бухгалтерская книга PDF	входной билет в парк развлечений	решение линейных уравнений с матрицами с использованием титана TI-89
java преобразовать число в десятичное число	какой наибольший общий делитель чисел 25 и 105	как решить переменное выражение	Справка по математике квадратного корня для 6-го класса
Бесплатные рабочие листы научной нотации	Онлайн-справка по алгебре 2	самая сложная простая задача по геометрии	деление дробей интернет-калькулятор
как построить график ti-85 эллипс	ti 83 plus скачать ром	рабочих листа прямого варианта	уравнения факторизации легко
записать полиномиальную дробь простейшую	Практика экспоненты и корня	используйте T1-83 plus для решения матриц	Алгебра и упрощающие вопросы
посторонний решатель корней	как решать алгебраические уравнения	решение системы уравнений методом исключения деления	сравнение линейных уравнений
рабочих листа кс3	упрощающие уравнения для решения квадратичной формулы	радикалов в алгебре pdf	квадратное уравнение для калькулятора ти-83
основание 10 десятичных знаков 6-й класс математики	как умножать многочлены в ti 83	Учебник по алгебре для 9-го класса с ответами	Бесплатные программы обучения математике для 9-х классов
как решать квадратные уравнения	Занятия по обучению десятичному сложению и вычитанию	сложение и вычитание сложного радикала	Алгебра Гленко 2 рабочих листа
нахождение вершин и асимптот парабол	решение не линейного дифференциального уравнения	Руководство по решениям для выпускника факультета алгебры Голдфорда	общий вступительный вопрос\начальная школа
бесплатные страницы математических шаблонов	Хитрые задачи по математике в 5 классе	уравнение на ti 83	Простые вопросы о способностях по интересам
ti-86 ошибка 10 тип данных	задачи по математике для 6-х классов	преобразование ti89 в ti 84	пошаговая помощь по задачам вершинной алгебры
бесплатных рабочих листа для сложения и вычитания целых чисел	сложение вычитание целых чисел алгебра	Ti 83 решить уравнение 4-го порядка	KS3 Рабочий лист без вращения
Calculus Made Easy взломан	силовая алгебра	алгебра балдор	математика + мелочи
бесплатные онлайн показатели предварительной алгебры для 8-го класса	математические листы для четвертого класса для печати	повседневные картинки парабол	дроби для чайников
Рабочий лист для преобразования процентов в дроби	План урока математики для 1-го класса-Какой длины 9 футов0005	как писать программы по химии TI 83 plus silver	предалгебраический словарь
решить полиномиальное уравнение, извлекая корень	математический словарь параллельных линий рабочий лист для печати бесплатно	Алгебра 2 Макдугал Литтел РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ	“линейное уравнение” java
периметр квадрата формула 3 класс	уравнения ситуаций линейных графиков	калькулятор упрощающих радикалов	вычисление базы 2 лог в ти-83
рабочих листа с положительными и отрицательными числами цвета	программа для вычисления суммы 10 чисел в java 92-3	Калькулятор деления дробей	уравнения в процентах	бесплатно Алгебра Макдугала Литтела 2 ответы
Рабочий лист факторинга 10 класса	найти длину окружности	Решение для переменной	mcdougall littell онлайн книга по химии
дроби с корнем в знаменателе	бесплатные документы KS2 SATS	квадратичный решатель с шагами	Уравнения 6-го класса, рабочий лист переменных
Тригонометрические задачи и ответы	печатных теста для предварительной алгебры	texas ti83 неправильные комплексные числа	печатный экзамен по линейным системам
решение неравенств с ti 89	КАЛЬКУЛЯТОР СВОЙСТВ АЛГЕБРА БЕСПЛАТНО	решение нелинейных уравнений в Matlab	как упростить многочлен кубического корня
репетитор Thinkwell	решение нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка	фракций в процентах рабочие листы	Java квадратное уравнение
Рабочие листы с квадратными числами для 4-го класса	упрощение радикалов с участием переменной	найти общий делитель Matlab	Алгебра Холта 1 рабочая тетрадь
процентов в Децимели	практика простых координат для 7-х классов	бесплатный печатный лист по алгебре для начинающих	сдать любую финальную шпаргалку по алгебре 92
как пользоваться журналом калькулятора TI-83	n-й семестр легкое обучение	решить+калькулятор+вершина	бесплатный рабочий лист по расширенным общим факторам для 7-го класса
онлайн-решатель уравнений показывает работу	онлайн калькуляторов для решения вершины	решить, заполнив квадратный калькулятор	“головоломки”+”углы”+”треугольники”+”рабочие листы”
программа упрощения радикалов для TI 83	прентис холл математика алгебра 1 ответ	Характеристики упрощенного подкоренного выражения	рабочих листа 2-шаговые уравнения
Калькулятор наименьшего общего знаменателя	линейные уравнения ppt учитель семинар	бесплатных целых рабочих листа	способа подсчета школьных оценок
Онлайн калькулятор вычисления логарифмов	Десятичные дроби в радикалы	важность переменных в алгебре	корни дробей
построения шаблонов путем сложения и вычитания	Рабочие листы по математике для 8-го класса ФОЛЬГА	n-ые корни и рациональные степени калькуляторы онлайн бесплатно	как рассчитать НОД 3 чисел
ответы на математические задачи бесплатно	решатель рациональных выражений	упражнения по учету затрат	линейная интерполяция ti 83
умножить и упростить на множители	корень формулы	упрощение выражений	целочисленных поинтов
что делает калькулятор т1-92	наибольший общий делитель	в кубе формула	Рабочие листы по математике для 5-го класса, графики
Бумага для теста способностей с ответом онлайн	бесплатные электронные книги по бухгалтерскому учету	Mcdougal Littell English Ответный ключ	вопросов о модели способностей
объединение одинаковых терминов бесплатных рабочих листов	Алгебра Гленко книга онлайн	решатель квадратного корня десятичный ti 83	График гиперболы
“MIT” учебник по математике первый курс теории вероятностей	вычитание обозначения функции деления	холт онлайн алгебра 1 глава 8 ответы	алгебра 1a практические тесты для печати
Калькулятор упрощающих полиномов	вронскиан” “энный заказ	Бумага с вопросами по Java Apptitude	Калькулятор рациональных выражений
Балансирующий решатель химических уравнений	образца задач по математике для 8 класса – Онтарио	граф рациональных выражений	Макдугал Литтел Всемирная история ответ
преалгебра, 2-е издание Йошивары	переставить уравнения решить MAPLE	алгебра пицц	радикальное решение проблем
Тригонометрия Гленко	пример задачи и ответ по тригонометрии	rudin принципы математического анализа решения	Калькулятор фольгирования с показателями степени
радикальные задачи с ответами	геометрия любовь стихи. ком	листоделательная машина математика и английский	лучших экзамена по английскому языку с ответами
Матричный онлайн-калькулятор для помощи с правилом Крамера	листов с формулами	Онлайн-калькулятор решений	шпаргалки по концептуальной физике
детские математические программы	год восьмой курс британской программы по алгебре	преобразование десятичных дробей в смешанные числа	TI 84 gcd десятичных знаков
Альгиба 2	скачать промежуточный тест матрицы	как решить показательное уравнение в MATLAB?	как написать алгебраическую формулу
алгебра по математике сделать упражнение	математические наклоны	дифференциальный решатель онлайн	уравнения с основными переменными
бесплатная загрузка n+ вопросов и ответов	применение одной неизвестной переменной линейного уравнения в экономике	приложение для калькулятора ti	решение уравнений с дробными и отрицательными показателями
рабочие листы умножения чисел со знаком	– сложный экзамен по математике	что означает термин разность двух квадратов	интегрировать векторное дифференциальное уравнение с помощью Matlab
Значения углов тригономических функций	правила экспоненты квадратный корень	таблица умножения	Умножение дробей на целые числа
тригонометрия с рабочими листами	продвинутая алгебра 10 класс	ti89 конечное поле	промежуточная помощь по алгебре
Лист ответов для Макдугал Литтел; рабочая тетрадь	деление на двучлены и трехчлены	бесплатные книги по алгебре	как использовать ti-83 plus для преобразования двоичного кода в восьмеричный
типовая форма линейного калькулятора	решение уравнений символьным методом	Уроки вероятностей в 6 классе	тестирование базовых навыков по математике онлайн/бесплатно
Математика седьмого класса найти масштабный коэффициент: edu	вычисление log2	от наименьшей до наибольшей дроби	разница целых чисел вычитания
преобразовать целое число сначала в bigdecimal	apptitude вопрос и ответы	одновременный решатель TI 89	функции и обратные бесплатные рабочие листы
графический калькулятор онлайн ти-83	скачать игры ти 84	алгебра t-таблиц	бесплатные тестовые листы для проверки грамотности, которые можно распечатать
добавление 3 целых чисел	добавить калькулятор рациональных выражений	КАК СДЕЛАТЬ ПОЛИНОМЫ НА ТЕХАССКИЙ ИНСТРУМЕНТ TI-83 PLUS	загрузки бесплатного программного обеспечения для обучения алгебре
распечатанные математические задачи для 5-х классов	сложные математические задачи для младших школьников	решение функций в кубе	коды магистерских модулей по математике для 10 класса математической грамотности
Бесплатные рабочие листы по алгебре для печати	кубических корня в виде дробей	преподавание алгебры в колледже мистером французом	программное обеспечение
проблемы масштабного коэффициента	рабочие листы для стеблей и листьев для детей	факторинговая помощь	калькулятор вопросов по алгебре
как складывать дроби с помощью ti-84	можно ли принести графический калькулятор на gmat	уравнения Matlab с переменными	онлайн графический калькулятор кубический
направления перестановки легкий план урока	VB Калькулятор квадратного корня	Рабочие листы Решение двухшаговых уравнений	excel решатель систем линейных уравнений
уравнение графика для 3 точек	упроститель логических выражений	кубический корень на TI-83 плюс	предварительно algerbra. com
ti 85 ручных задач по алгебре	mcdougal littell inc алгебра 2 книга по математике с ответами	Решатель уравнений факторинга	упростить частное с радикалами
бесплатные упражнения по математике 9 класс Онтарио	простые инструкции по решению квадратных уравнений Заполнение квадратов	десятичный корень	бесплатные образцы рабочих листов ks2
решение лимитов онлайн	решение безумной головоломки	математика/проценты	ode45 несколько уравнений
gcse одновременные уравнения для печати рабочих листов	урок упрощения показателей степени	решить квадратное на ti 89	как найти уравнения, если даны два корня
проблемы с алгеброй 1	Системы нелинейной оды MATLAB	как делать алегебру	математические решения glencoe precalculus
калькулятор наклона тригонометрии. com	скидка на программное обеспечение по алгебре для колледжей	бесплатная научная онлайн-практика	алгебра решить в кубе
самая сложная задача по алгебре	математика фракции	объяснение алгебры ks2	Численное на корнях многочленов третьего порядка
листы перестановок и комбинаций	домашнее обучение ks3 рабочие листы	образец бумаги теста способностей	упрощение логического выражения вычислить
бесплатные математические игры	простых рабочих листа по алгебре	бесплатное преалгебраическое видео	Рабочие листы по элементарной алгебре
примеры тестов на способности	где можно скачать круговую диаграмму на калькулятор ТИ-84	полиномиальный решатель TI 83	интерполяция наклона и пересечения
алгебра два макдугал литтел	бесплатные загружаемые книги по основам бухгалтерского учета	Стандартизированный практический тест Glencoe	помощь по алгебре ОНЛАЙН КАЛЬКУЛЯТОР фактор
вычислений	разложение на множители несовершенных квадратов	matlab+бесплатная загрузка	простые математические задачи по алгебре для старшеклассников
прентис холл онлайн алгебра 1 книга	Рабочие листы по переменным по математике для 5-х классов	дробь часть с код	домашнее задание по алгебре ответы
средство решения проблем со смесью	алгебра 1 стихи	карточки для изучения алгебры в колледже	алгебра 1,5 в степени
эмулятор скачать ti-84	репетитор по учету затрат	начало agebra 1 шпаргалка	автоматизированных пошаговых математических решения
алгебра 2 решатель	бесплатные рабочие листы по математике 6 КЛАСС	phoenix, ti калькулятор, скачать, приложения, игры, puzzpack	коэффициент группового вычислителя
математические игры-6	Merrill Chemistry глава 6 учебное пособие pdf	решить линейное уравнение Java	рабочих листа с веселыми триггерами
“Правила экспоненты” на ти 84	Бесплатные рабочие листы Ks2 English Fun	Стихи дробями для детей	простой способ сложения и вычитания рациональных выражений
математические листы ks2	Как вы делаете радикальные выражения и уравнения	онлайн-решатель алгебраических выражений	Порядок действий Математические задачи по алгебре
Таблица функций жизненных навыков по математике для 1-2 класса	Презентация powerpint по темам алгебры	карты разности квадратов решить	Формулы с использованием радикала
ТИ-81 Плюс + действие	ti-89 умножение полярных переменных	рабочих листа по элементарной геометрии	Решатель уравнения лайнера
помощь с начальной алгеброй 9 класса	как решать перестановки для детей средней школы	Предварительная алгебра для студентов колледжей, 2-е изд.	перестановка математических задач средней школы
год 8 онлайн-тест по математике	наименьшее общее кратное (программы)	бесплатных печатных рабочих листа GCSE Maths	Корень нелинейного уравнения с использованием Matlab

Посетители поисковых систем нашли наш веб-сайт вчера, используя следующие ключевые фразы:

символьный метод
вопрос о способностях
работ предыдущего года G MAT
бесплатный печатный практический тест GMAT
легкая алгебра
ti 84 изменить десятичную дробь на дробь
порядок гиперболы
Наименее распространенные кратные мономов Рабочий лист
разделов алгебры пятого класса
как решить задачу извлечения квадратного корня с помощью факторизации
стихотворение о неравенствах, математика
ти-84 упростить коренные
листы для печати по линейным измерениям
Уроки третьего класса и рабочие листы по периметру и площади
matlab символически решает неравенства
Решаемые упражнения по математике бесплатного уровня O-Level
онлайн
построение графика отрицательной гиперболы
бесплатных комбинаций математических листов
java конвертировать “целое число в число с плавающей запятой”
важность алгебры в колледже
одновременный решатель уравнений imaginari
рабочие листы фракций ks2
ответов на Книга Макдугала Литтела по алгебре
бесплатный алгебраический калькулятор
математические мелочи с ответами
ti 83 плюс рассчитать r2
Рабочая тетрадь Prentice Hall Chemistry ответы
запишите числа отношения как десятичные дроби
Бесплатная алгебра и введение
Рабочие листы по математике
Уравнение третьего порядка
электронная таблица gnuplot, подобная функции
триггерный решатель идентификаторов
Контрольный лист по математике для 9-го класса
Калькулятор умножения квадратных корней
Алгебра II Таблицы формул в конце курса
дивизион, рабочие листы с текстовыми задачами, пятый класс
Техасская алгебра 1
рабочие задачи по алгебре
математика для чайников
предалгебраических формул для площадей поверхностей
АЛГЕБРА ДЛЯ ЧЕТВЕРТОГО КЛАССА
алгебра
Распечатка словаря по алгебре 1 для поиска слов
алгебраическое уравнение с помощью калькулятора подстановок
бесплатно кс3 математика ppt
бесплатных рабочих листов для пятого класса
бесплатный образец теста по математике 6 класс
написание подкоренных выражений в простейшей форме
показатель степени листа элементарный
Калькулятор квадратных уравнений показать работу
Бесплатный решатель домашних заданий по алгебре
Приемы АСТ для калькуляторов ТИ-83
онлайн коэффициент квадратичный
Математические листы для 9-го класса
зачем решать квадратное уравнение
математическая формула, используемая в реальной жизни
решение алгебраических уравнений относительно неизвестной степени
бесплатный онлайн Иллинойс g. e.d.test
решение больших квадратных корней без калькуляторов
комбинаций и перестановок средняя школа
почему факторизация важна в алгебре
бесплатный алгебраический калькулятор решения рациональных выражений
Решатель дифференциальных уравнений для ti 89
как преобразовать квадратные метры в линейный фут
решение нелинейных уравнений
ответов на научную тетрадь “Прентис Холл”
выход из внутреннего цикла while + java
План урока по преалгебре
помощник по алгебре
Алгабра онлайн
алгебра с рабочими листами
“добавить” “целое число” “рабочий лист”
простая алгебра
листов по математике glencoe
электронная книга Картера по учету затрат
решение НЕЛИНЕЙНЫХ одновременных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB
Как заниматься алгеброй
простой способ рассчитать основной коэффициент
рабочих листов по математике для класса v
решение систем с 3 переменными
Ключ ответа по алгебре 2
бесплатный решатель уравнений
практический тест по алгебраическим выражениям
методы решения тестов способностей
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ по математике — УРОВЕНЬ СТАРШЕЙ ШКОЛЫ
бесплатных онлайн-ресурсов по математике для обучения биномиальному разложению
ks3 рабочие листы дроби
Компьютерное программное обеспечение ALgebra 2
Аннотированный вывод SPSS
Скотт Форман, ключ к ответу на курс математики средней школы 2
научите меня как уровень математики ревизия
что означает система счисления
Алгбер лист
решатель определенных интегралов
кубических уравнений в TK Solver Help
перевод ti-84 в уравнение множителя 92
рабочих листов по упрощению
несколько уравнений в Excel
ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
разделить подкоренные выражения
рабочих листов по системам уравнений бесплатно
решил английский aptitude
T1-83 плюс к одновременным уравнениям
практика алгебры glencoe
ставок/соотношений математических
“задачки по математике” “второй класс”
GMAT+Перестановка+упражнения
бесплатный онлайн-тест по математике gr5
рабочие листы по геометрии mcdougal littell все главы теста A
разложение на множители дробных и отрицательных показателей
скачать тест на пригодность
умножение с квадратными корнями и дробями
c вопросы о навыках программирования
формула математической шкалы
объясните, как писать программы для TI-84 plus
графический онлайн-калькулятор log2
Задание на упрощение рациональных выражений
учебник gmat
перестановок и комбинаций
Какой самый высокий математический класс
уравнения плитки алгебры
с ключевым ответом
вычитание отрицательных целых чисел
“бесплатный рабочий лист” для шестиклассников
умножить дроби квадратного корня
как решить 4-ю корневую проблему
рабочих листов линейной регрессии для 7-8 классов
TI-83 плюс решение полиномиального уравнения
полиномиальных уравнений с интервальными коэффициентами
творческих публикаций ответы средней школы pizzazz
умножение нескольких показателей степени
вопросов теста Пифагора
вопросов и ответов по математическому кольцу
Парабола 3-го порядка
решен вопрос о способностях
чему равен общий знаменатель чисел 3,6,7,14
ti 86 помощь ошибки
как решить нелинейное дифференциальное уравнение
определение наклона с помощью TI89
алгебраические вычисления
онлайн обратный поиск
Бесплатный научный онлайн-калькулятор с символом круга
квадратичное преобразование 11 класс колледжа
математические вычисления
решение задач по алгебре 2
онлайн-калькулятор неравенства
Лист формул по физике стандартного класса
решить мою задачу по алгебре
как вычислять индуктивные формулы из алгебраических уравнений
найти квадратный корень из многочлена
Калькулятор химических уравнений Балансировка
использование сетки для решения трехчленов множителей
бесплатная помощь с домашним заданием по математике для 11 класса
сложные математические уравнения для 7 класса
+ Рабочие листы по основной математике с расширенными обозначениями
Урок общего фактора в 5-м классе PowerPoint
происхождение программного обеспечения 7 функция квадратный корень
решать уравнения с комплексными переменными
бесплатное программное обеспечение для базовых показателей математики
вопрос о пригодности модели
рабочий лист пиктограммы
современная биология от holtcheats глава 12
математические игры онлайн бесплатно школьная алгебра мультфильмы
Структура алгебры и методическая книга 1 онлайн
загрузок вопросов о приложениях
математический исследовательский проект
рабочие листы умножения дробей с переменными
преобразовать из десятичных дробей в смешанное число
2-шаговые задачи по уравнению Word Рабочий лист
калькулятор радикалов
упрощение понимания алгебры
решатель десятичного квадратного корня ti 83
одновременное решение excel
бесплатные математические мелочи
сложение и вычитание целых чисел для пятиклассников
онлайн-инструмент алгебраического уравнения перестановки
“дискретная математика и ее приложения” ответы
Одновременные уравнения Excel
скачать бесплатно алгебра для чайников
исследовательский проект по математике
математика второго класса
онлайн графический калькулятор TI 83
текстовых задач/уравнений с остатком/5 класс
разные математические мелочи
тест на Rational Expressions
соответствие изменяющимся размерам по объему и площади поверхности
справок о способностях решено
как рассчитать радикальную функцию домена
найти рабочий лист переменной
бесплатная помощь по триггеру
КАЛЬКУЛЯТОР структурный
решение уравнений в частных производных с частными решениями
Помощь в решении линейных уравнений для 9-го класса
Калькулятор коэффициента в кубе
тригонометрия стала проще
симуляционная алгебра, расширяющая биномы
решатель наименьших общих множителей
рабочих листов Холта
+ квадратный корень 48
Java пример нелинейных систем в третьей степени
Калькулятор кубического корня ti-30x
ключ ответа по алгебре 2
суммы по квадратным уравнениям
алгебра 1 помощь +сложные неравенства
как решить алгебраическое уравнение
обратные операции шаги восьмой класс объяснение математики
квадратных уравнений, интерактивные графики
Калькулятор подстановки систем уравнений
разделить и упростить показатели
phoenix, ti калькулятор, скачать
Рабочие листы с двухшаговыми уравнениями
сложное математическое уравнение
электронный калькулятор по алгебре
Диаграммы, графики для 1 класса
Руководство по решениям для линейной алгебры и ее приложений Дэвида К. Лея
WWW.РАБОЧИЕ ЛИСТЫ НАБОР
репетиторы по алгебре в колледже
примеры смешанных задач по элементарной алгебре
Рабочий лист простого двухшагового уравнения
квадратных корней бесплатные рабочие листы
уравнений с неизвестными с обеих сторон скачать рабочий лист
Вопросы по алгебре для 9 класса
Упрощение иррациональных выражений.
Вопросы по математике
“статистика видеолекций”
алгебраическая факторизация gcse расширить и упростить
пошаговые инструкции по решению уравнений
наименьший общий знаменатель “рабочие листы”
элементарный рабочий лист координатных сеток
бесплатный онлайн калькулятор
Вопросы об экспонентах и радикалах
математика учить
триггерных значений
сат. бумага математика
СМЕШАННАЯ ФРАКЦИЯ
гиперболический sin ti-83
правил факторинга+ в кубе
рабочий лист со сложением и вычитанием целых чисел
решение задач с координатами, PowerPoint для четвертого класса
clep test колледж алгебра
упрощение выражений с двойным углом
Номера для заказа по математике для 6-го класса мастер-листы blackline
сумма радикалов
объяснение алгебры
как найти от меньшего к большему
найти общий знаменатель
формула для решения многочлена третьего порядка
Ссуды до зарплаты
Онлайн-учебники по алгебре
алгебра длинных делений
системы нелинейных уравнений Matlab
простой способ выучить алгебру
бесплатных рабочих листов по системам уравнений
eoc отзывов за 1 семестр
Бесплатные рабочие листы триггеров
код Matlab для решения уравнения Ричардса
домашние задания по учету затрат
Рабочие листы по преобразованию десятичных и процентных дробей
игр по алгебре для печати
maxima разместили онлайн алгебру
83 Преобразование десятичных дробей в дроби
edhelper\дополнение для 1 класса
тождеств тригономической симметрии
математических перестановок
нахождение корней квадратного уравнения+java код
алгебра колледжа для математики с вызовом
онлайн-решатель математических уравнений
юго-западная бухгалтерская книга ответы на ключевой школьный учебник
решен вопрос о способностях
средство решения экспоненциальных задач
2004 KS3 SATS ментальная математика
целых рабочих листов
более высокого порядка от rungekutta+matlab
факторинг рабочих листов общего множителя
бесплатный кумон
добавить вычитание, деление и умножение в словах
листы перестановок
Алгебра Гленко 2
калькулятор системы счисления
Как найти площадь в 5 классе по математике
Математические викторины для печати 8-го класса
викторины для 5-го класса
разложение по методу квадратного корня
ti 84 silver плюс коэффициент установки программы
рабочий лист наименее распространенный логово
Как найти домен и диапазон уравнения
квадратичная формула
Калькулятор упрощения степени
решать квадратные уравнения с помощью матричного программирования
математические упражнения для индийских детей
решатель алгебры онлайн
калькуляторов для решения дробей для переменной
математика +ppt
Бесплатный веб-сайт с графическим изображением равенства и неравенства
2 шага неравенства забавный рабочий лист творческое решение
онлайн ти-83
Уравнения алгебры для 5-го класса
программа наибольшего общего фактора в Java
Прентис Холл Математика ответы
бесплатных рабочих листов по радикальному выражению для средней школы
“вычислители степени”
весёлых игр на умножение и деление дробей
формула пересечения наклона
Вирджиния Прентис Холл Алгебра 2 учителя копия
Преобразование квадратных корней в степени
алгебра колледжа
нелинейные уравнения C# “исходный код”
дроби и степени
калькулятор для сложения рациональных дробей
многочлен 3-го порядка
очиститель водорослей
полином третьего порядка методом наименьших квадратов
программы предварительного расчета glencoe
Основные математические программы ti84
что такое ахимия?
за 6 год
Теория Пифагора рабочий лист
SAXON ALGEBRA 1/2 MATH ОБЯЗАТЕЛЬНО?
алгебра Мелочи
как обмануть ti 84
“ти-84” + “эмулятор”
график функций линейной нелинейной рабочей таблицы
решение нелинейных систем уравнений с помощью Maple
скачать электронную книгу “Геометрия и дискретная математика”
загружаемых учебников по хозрасчету
онлайн-график с уклоном
пустая координатная плоскость
бесплатных статей для 6 класса сат
Решатель математических задач
ответы по математике для учеников холла математика до алгебры
нужны таблицы преобразования математики
Рабочие листы для бесплатной печати по разделу для третьего класса
Скачать документы о размещении + aptitude
крестики-нолики и квадратные уравнения
рабочий лист математических текстовых задач
график рабочего листа гиперболы
китайская разделительная KS3
Калькулятор полиномов деления
математические мелочи
Распечатки домашних заданий по математике для 1 класса
Бесплатные учебные листы по алгебре
печатная таблица факторов
символы алгебры ks3
объяснение решения уравнений для переменной для пятиклассников
бесплатных ответов по линейной математике
триггер Диаграмма и график
триг игра удостоверение личности
математический решатель колледжа для MAC
БЕСПЛАТНЫЙ РЕПЕТИТОР ПО МАТЕМАТИКЕ
преобразование смешанных десятичных чисел в рабочие листы со смешанными числами
решение алгебраических уравнений в Matlab
тригономические соотношения прямоугольного треугольника для калькулятора
дробей в степени
сложные рациональные выражения
научная обычная десятичная запись
углов / edhelper
квадратный корень кривой
ti89 квадратное уравнение
примеров вопросов о способностях + ответы
банк вопросов по математике 7-й стандарт в Индии
бесплатный онлайн калькулятор исключения алгебры
Математические мелочи
решение с использованием свойства нулевого коэффициента
базовая статистика обработанных решений edu ppt
математические пропорции
видов математических мелочей
Стандарт школы VIII класса по математике
рабочих листов с буквенными уравнениями
неправильная дробь для 7-классников с заданиями
алгебра умножения и деления степеней
“уравнения в Excel”
статистика (продвинутая алгебра)
правил квадратных корней
как расположить алгебраические термины
почему бы и нет графиков со звездными линиями
Прентис Холл Математика Ответы
clep практический тест по биологии
рабочих листов по сложению, вычитанию, умножению и делению квадратных корней
алгебра 2 онлайн калькулятор
Написание квадратного уравнения в форме вершин
калькулятор наибольшего общего делителя
программное обеспечение для предварительной алгебры
образец бумаги с раствором aptitude
класс девять рабочих листов-распределительное имущество
обучающая плоскость координат
решение дробей
положительных и отрицательных чисел
предварительная алгебра пицца ответы
как решать радикальные выражения, уравнения и функции
простых математических примеров, для процентов
помощник по алгебре
общий множественный искатель
математика PowerPoint
9-й класс и онлайн-игры
математика для третьего класса
когда вы объединяете одинаковые термины в алгебре
покрытие, научное обозначение
Алгебра 3, расширенные математические концепции, ключ ответа
бесплатный онлайн факторинг алгебры
листов для печати для sats ks3 ревизия
тест по математике квадратичный
самый простой способ выучить математику
веселый урок НОД
проблема возраста
Как рассчитать остатки на калькуляторе TI83?
Лист сложения и вычитания дробей
круговая диаграмма для бесплатной печати
Книга по концептуальной физике 3-е издание ответы
Умножение/деление денег
печатных листов для 4-го класса бесплатно
как добавить формулу в TI-85
правила элементарных дробей
БЕСПЛАТНОЕ АЛГЕБРОВОЕ БУЛЕВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ВОПРОС 9 ЭКЗАМЕНА APTITUDE STANDARD2492
алгебра целых чисел Калькулятор
одновременное + дифференциальное уравнение с использованием Matlab
промежуточные формулы алгебры
решение двух графиков абсолютных уравнений
математических задач для мышления высокого порядка
квадратный корень из 48
Общий вступительный экзамен Paul Fort 11+ по математике
бесплатных распечатываемых листов с дробями для третьеклассников
Алгебра и тригонометрия: структура и метод Книга 2 все ответы
– дробь одночлена
шагов для построения круга на калькуляторе TI-84 Plus
точек построения печатных форм и
найти рабочие листы по простым интересам для 6 класса
вычислитель переменных радикалов
Химические уравнения распада водорода
нелинейные уравнения Matlab
узнать algreba. com
сложение и вычитание смешанных чисел 5 класс
11 класс Переходная математика
решение математических задач с десятичными дробями
lcm и gcf ppt
алгебра 2, упрощающая радикальные выражения
ti voyage200 rom-файл
умножение целого листа
решение задач трехчленов
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ГРАФИКЕ
поиск корня с использованием метода деления пополам с использованием Matlab
добавлен лист вычитания положительных отрицательных целых чисел
бесплатных задач на триггеры для учащихся 10 класса
бесплатная помощь по задачам по алгебре
смешанное число в десятичное число
найти уравнение пересечения параболы через (0,1)
рабочие листы ассоциативного свойства
базовая алгебра littell онлайн
Glencoe алгебра 1 графический калькулятор
уравнений для парабол калькулятор онлайн
линейное уравнение в форме функции рабочий лист
Алгебра 2 PDF бесплатно в США
поиск склонов в алгебре и упрощение
координатный рабочий лист
лучшие обучающие программы по алгебре
элементарная алгебра
тригонометрические способности
калькулятор цепных правил онлайн
решения и ответы по статистике колледжей
Линейная алгебра и ее приложения, 4-е издание, наборы задач в формате pdf
ускоренных математических заданий
помощь в биномиальном расширении
ti 89 “линейное программирование”
Упрощение радикальных рабочих листов
одновременные квадратные уравнения Matlab
инструмент для поиска перестановок и комбинаций
есть ли простой способ выучить алгебру 1
автоматический калькулятор алгебры
алгебраический решатель casio 9850 “шаг за шагом”
125 ИНФОРМАЦИИ О МАТЕМАТЕ
физика с ответами
самая сложная математическая задача факторинга
триггерный решатель неравенства
добавление уравнений онлайн
бесплатных решателей рациональных выражений
ромбовидные задачи факторизации многочленов
формы по алгебре для третьеклассников
Alt + квадратный корень
Метод квадратного корня
рабочий лист отрицательных целых чисел сложение вычитание
скачать бесплатно книгу по числовой линейной алгебре
умножение/деление/сложение/вычитание дробей
Экзаменационные листы основной школы
тригонометрический калькулятор. com
Калькулятор упрощающих радикалов
ВСК по хозрасчету
график log2
образец теста на математические способности
бесплатных онлайн-игр и занятий на Trigo
бесплатных печатных математических стихотворений для учащихся начальных классов
Добавление рабочих листов с целыми числами
Рабочие листы по алгебре 2, конусы
упрощение экспоненциальных радикалов
формул в листах по алгебре
Вступительный тест МакДугалла
рабочий лист по математике 9 класс алгебра
Решение задач с помощью алгебраических плиток
онлайн геометрический калькулятор с символом круга
интегрированный решатель онлайн
программное обеспечение для математического колледжа
ТИПЫ УГЛОВ, ВОСПРОИЗВОДИМЫЕ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ И СВОБОДНЫХ
квадрат уравнения алгебры
для вычисления двоичного числа из кода ascii
такс тест практика гленко мировая история ответы
РАЦИОНАЛИЗАЦИЯ ЗНАМЕНАТЕЛЯ И УПРОЩЕНИЕ КАЛЬКУЛЯТОРА
Исследовательский проект по математике
бесплатные вычисления по алгебре
учить алгебру 1
решение алгебры
как найти уравнение функции по таблице значений
free science SATS ДЛЯ KS2
квадратное уравнение в tI-83 плюс
перестановок и комбинаций исследование для средней школы
Калькулятор радикальных уравнений
TI-84 плюс значения выражений клавиш калькулятора
как написать алгоритм исключения Гаусса в mathcad
решение линейных систем с помощью урока подстановки PowerPoint
дробь претест четвертый класс
Уравнения для 5-го класса
базовая алгебра GRE для печати
запрос на приложение с решением
Рабочий лист по алгебре для 8-го класса
Упрощение радикалов делать онлайн
алгебра квадратные корни
Деление многочленов Бесплатные рабочие листы для печати
решить частное решение неоднородного частного дифференциала
Алгебра, рисующая график исследования наклона и формы перехвата наклона сдвига, печатная бесплатная забавная рабочая тетрадь
формула для расчета площади
наименьший общий знаменатель чисел 4, 7, 9
задача по алгебре
Найти листы с наименьшим общим знаменателем
интерактивная помощь по умножению целых чисел
Алгебраические выражения + предварительная алгебра + рабочие листы
как решать алгебраические уравнения отношений
онлайн ТИ-83
математический вероятностный решатель
одновременных уравнений онлайн
упрощающие частные с радикалом
математических формул с использованием радикалов
есть ли онлайн калькулятор для вычисления степени
Онтарио учебники по математике
начальный арабский бесплатный лист
“бесплатные видео” и “приложения алгебры”
как решать системы уравнений Лагранжа, клен
простой способ выучить проценты онлайн
лист математики класс 7
квадратные уравнения + стандартные, факторизованные, вершинные
упрощение выражения
рациональных и подкоренных выражений
Предварительная алгебра для 8 класса Перестановки и комбинации
оценка и упрощение
поиск – исходный код для приема 3 чисел и поиска квадратного корня и кубов в С++
бесплатных рабочих листов и координат
Предварительная алгебра
предварительные тесты по алгебре онлайн
математических заданий для рациона
решение нелинейных уравнений Matlab
Ключи ответов Glencoe для предварительной алгебры
формула для определения среднего и режима
оценка выражений, план урока
JAVA сравнение значений от 1 до 100 примеров
учить математику для чайников
встроенные математические читы
томов элипсов
шагов базовой алгебры
шкала математики
листы с пропорциями
Рабочий лист биномиального произведения
Алгебра Прентиса Холла 2 с тригонометрией даже ответы
рабочий лист сложения и вычитания отрицательных чисел
Калькулятор квадратичных формул с комплексными корнями
инструкция по плану урока математики, превращающая десятичную дробь в дробь
сат. лет6 вопросов для детей
Вопросы по Aptitude +скачать
триггерный решатель уравнений
Создатель сосков по математике “скачать бесплатно”
смешанных чисел до десятичных дробей
развивающая алгебра для чайников
эмуляторы калькулятора ti
упрощение факторинга
бухгалтерские книги скачать бесплатно в формате pdf
Адвокаты в нетрезвом виде
алгебраические формулы для решателя кубических метров
печатная математическая дробь
чрезвычайно сложных задач по алгебре
решение систем линейных уравнений простым графическим способом
Калькулятор упрощающего логарифма
использование ti 89 для решения неизвестного
базовая математика для чайников
примеров процентных уравнений
преобразовать смешанное число в квадратный корень
система уравнений подстановкой домашнее задание мошенник
БИНОМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В КУБЕ
математическое изменение записи
квадратное уравнение в основном коде
уравнение окружности графика
программа в матлабе для электрических сетей
комбинация перестановок matlab
решить математические задачи для 10 класса
пошаговая алгебра
вычисление выражений, рабочий лист
самоучка по алгебре университет техас
графическая игра одновременных уравнений
бесплатных ответов на уравнения алгебры
паскалей для ти-84
нахождение вершин квадратного уравнения
как пользоваться ти-89 полярный
тождеств алгебраической факторизации
как использовать решатель на калькуляторе ti 83 plus
Бесплатная печатная основная миллиметровая бумага
третья программа поиска корней
Справка по алгебре CPM
t183 абсолютное значение
формула графического калькулятора от десятичной до шестнадцатеричной
Powerpoint по математике для 8-го класса бесплатно
Какой основной принцип можно использовать для упрощения многочлена?
Делить биномы стало проще
листов головоломки пропорции бесплатно
разность квадратов квадратный корень
рабочий лист по тригонометрии
разложение на множители в кубе показателей
онлайн-помощь по алгебре 2 mcgraw
онлайн-упроститель выражений
ти-83 код интерполяции
вопросов о вероятностях
Калькулятор квадратного корня факторинга
рабочих листов для печати по математике для 4/5 классов
как найти диапазон для уравнения
Расчет уравнений стандартной формы Алгебра
Калькулятор упрощения радикальных выражений
алгебра буля ti 89
рабочих листов Холта онлайн
Рациональное выражение отвечает
общие уравнения графа
сайты учебников “обществознание”+Всемирная история+9 класс”
идей для преподавания даомаина и диапазона до 8-го класса
онлайн Альгерба 1
рабочих листов с многошаговыми уравнениями
как вводить показатели степени на компьютере
Упрощение логических функций онлайн
решение уравнений онлайн
радикальный решатель
факторизовать уравнения
дразнилки milfhunter
Листы по математике для третьего класса
правил сложения и умножения целых чисел
алгебраический калькулятор с несколькими переменными
базовая алгебра разработана
какой проект можно сделать в power point по физике 11 класс
Упрощение булевой алгебры
алгебраическая сила числа
рабочие листы зала для учеников
Алгебра 2 ответы
Решатель Ti-38
образец листа по алгебре для колледжа
Бумага с вопросами о способностях
рабочих листов по алгебре 1 с использованием формул бесплатно
запишите радикалы в экспоненциальной форме
макдугал литтел читер
графические данные через точку пересечения наклона
образцы работ 11 класса по химии
пройти математический тест по масштабным коэффициентам
как решить теорему Пифагора для 8 класса
Функция FX для расчета сложных процентов в Excel
бесплатное начальное задание по математике
рабочих листов с пиктограммами бесплатно
Чем операции с рациональными выражениями (сложение, вычитание, умножение и деление) похожи или отличаются от операций с дробями?
лист рабочих задач
бесплатный калькулятор алгебры
разложение полиномов высших порядков на множители
самый сложный математический алгоритм
пицца математика
пример подстановки переменных + коэффициент
онлайн-калькулятор для десятичных знаков больше или меньше
Абстрактная алгебра по Fraleigh решение
онлайн калькулятор + TI + бесплатно
Объясните своими словами, почему линия x = 4 является вертикальной линией.
Алгебра Макдугала 2 бесплатный ключ ответа
девятый класс факторинговых полиномиальных задач
найти кубический корень на ti-83
ks2 рабочие листы по алгебре
рабочие листы с пиктограммами (элементарные)
самая сложная математическая задача и ответ
рабочий лист положительное и отрицательное целое число
рационализировать калькулятор знаменателя
статистика загрузки шрифта
пример рабочего листа для банджи Барби
алгебра 1 ответы
предварительная алгебра с учебником по пицце d
деление целых чисел с отменой
добавление рабочих листов с целыми числами
порядок выполнения теста по математике
7 лет Тесты по математике
бесплатные документы для спутников ks3
рабочий лист координатной сетки для третьеклассников
как найти наибольший общий делитель на ti-84
решатели алегбр
Математическая практика
Наклон T183 и точка пересечения Y
процентов формулы
Бесплатно \Онлайн ДОКУМЕНТЫ САТС
решение нелинейных уравнений в Matlab
Математика для чайников 9 класс
область рабочего листа для свободной печати ПРЯМОУГОЛЬНИКА
расчет уклона на графическом калькуляторе
Объяснение раскрывающихся скобок
формула фольгирования в кубе
Порядок операций смешанной математики и булевой алгебры
Какое самое сложное математическое уравнение в мире?
упрощение выражений с квадратными корнями
Рабочий лист семикруговой диаграммы mathpower
как запрограммировать TI-84 на склонах
бесплатный калькулятор квадратного корня
Алгебра 2 Ключи ответов
скачать Бесплатная книга + способности
T83 Plus, поиск гипотенузы
диаграммы о квадратных корнях
Учебник по алгебре II
матлаб заполните квадрат
математические бесплатные задачи по алгебре деньги
блочный метод деления многочленов
скачать бесплатно рабочие листы по математике для 8 класса
математические навыки мелочи 4-й 6-й бесплатно
как рассчитать LCM
бесплатных книг по абстрактной алгебре
использование калькулятора для решения перестановки/комбинации
удаление экспоненциальной части из десятичного деления в java
ПРЕНТИС ХОЛЛ Аллен Р. Энджел Промежуточная алгебра
алгебра в pdf
Алгебра Холта 1 рабочая тетрадь
Контактные линзы
ti 84 рабочих листа “Правила экспоненты”
base 8 to base 10 калькулятор
задание по математике для 11 класса онтарио пример
множить функцию в кубе
www.softmath.com
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ШАТ ДО АЛГЕБРЫ
задание по математике в девятом классе
Калькулятор исключения систем уравнений
квадратичный решатель четвертой степени
секретов систем линейных уравнений
онлайн-учебник по математике для 11 лет
математики для детей
вычислить корень 5
наука для детей
Рабочий лист с графиком для 7-го класса бесплатно
РАСШИРЕННАЯ ФИНАНСОВАЯ ПРОГРАММА TI-82 СКАЧАТЬ
КАК РАССЧИТАТЬ ЛИНЕЙНЫЕ ФУТЫ
125 математических мелочей
Страхование путешествий
задача факторинга и ответы
www. scienceprojects.org
Алгебра 2 книга онлайн для Сан-Антонио
факторинговая программа TI83
распечатываемых математических листов для 4-х классов
Эмулятор TI-84 Plus
рабочие листы с координатной плоскостью
Рабочий лист Алегра
математические и научные мелочи
Видеоурок по математике для 5-го класса
бесплатный полиномиальный калькулятор
ПОЛИНОМ ФАКТОРИНГА
рабочих листов Интеграция путем замены Интеграция по частям, стр.
образец бумаги для 6-го стандарта
Рабочие листы для решения математических задач для 1-го класса
калькулятор уравнений онлайн
формула и алгебра KS3
логическое уравнение
pdf основы учета затрат
математических упражнений и решений на перестановки и комбинации вероятностей
рабочий лист по всемирной истории ответы
бесплатных печатных рабочих листов по упорядоченным парам и графикам
листов для начальной школы по окружности
УЧЕБНОЕ РУКОВОДСТВО, РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ/ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ
бесплатный рабочий лист для шестиклассника
комбинаций и перестановок из 3-х переменных
Рабочий лист по правилам экспоненты
“ТИ-81 Плюс” +акт
шагов к объединению похожих терминов
простых способов расчета медианы
Тест по алгебре для 8-го класса на склоне
множитель x в кубе-8
упрощающие решатели сложных дробей
образцов стихов по алгебре
рабочие листы “словные задачи с картинками”
игр, чтобы показать рабочий лист линейных отношений
программа для обучения алгебре
ответов на домашнее задание по математике
Рабочий лист TAKS по чтению в 3-м классе
сокращение квадратного уравнения
листов с добавлением положительных чисел
квадратное уравнение путем извлечения квадратного корня
Решения по алгебре для печати
ti 84 загрузки игр
как делать пропорции алгебры
лямбда-калькулятор онлайн
как списать на экзамене GED
макдугал литтел ответы мировая история
сложные дроби с переменными
простое рациональное число
забавная полиномиальная распечатка рабочего листа факторинга
угадывание случайных чисел в цикле java for
алгебра с шиком!
Онтарио математический периметр третьего класса
решение задач по алгебре для 8-го класса
балансировка химических уравнений моделирование
Ответы на предварительную алгебраическую рабочую тетрадь Макдугала
начало алгебры? Метод ФОЛЬГИ
алгебра 1 cpm ответ
СЛОЖНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
бесплатных рабочих листов FOIL
примеров вопросов и ответов по абстрактной алгебре
онлайн-калькулятор для решения f(x)= типов задач
радикальный калькулятор
сложение и вычитание чисел со знаком с множественным выбором
многочленов в кубе
Триггерный расчет
бесплатных электронных книг математические формулы
Бесплатные задачи по математике
рабочих мест для эквивалентных дробей. com
нужна помощь по основным уравнениям алгебры
Рабочие листы второго класса Техас
СТРАТЕГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ СЛОЖЕНИЮ И ВЫЧИТАНИЮ Дробей
ti84 плюс квадратичный
шагов алгебры
калькулятор сокращения рациональных выражений
почему команда log base работает на моем ти-89
Калькулятор квадратного корня
математическая практика рационализация уравнений
Реальные проблемы + L.C.M.
математический исследовательский проект
рабочий лист решения квадратных корней
алгебра 1 сайты и примеры о замене
репетиторская помощь по задачам по алгебре
тестов способностей pdf загрузок
ответов на кумон
калькулятор кубического индекса квадратного корня
первоклассных практических тестов по физике Merrill
изучайте продвинутую алгебру онлайн
стандарт 10 математических подшипников
решение переменной в решателе excel нелинейно
простая алгебра для начинающих
найти решение квадратного уравнения на цифровом калькуляторе
glencoe/mcgraw 6-8 практика интеграции: дискретная математика геометрические последовательности
поиск наименьшего общего знаменателя с использованием переменных
примеры бухгалтерских задач
2-е дифференциальное уравнение Matlab
Калькулятор Т-83 загрузок
скачать rom ti 89
алгебра факторизации квадратных выражений
метод сопряжения неоднородный
Саксонская алгебра 1/2 бесплатная помощь с домашним заданием по математике
квадратные числа деятельность квадратного корня
формулы для биномиальных задач для калькулятора TI82
рабочих листов калькулятора сложения
забавный лист квадратных корней
ti 89 линейное программирование
бумага для теста способностей
экспонентов онлайн
онлайн-решатель полиномов с длинным делением
простые математические тесты коэффициенты gcse
алгебра 1 саксонский ответы
решение уравнений в Matlab
glencoe Division Merrill Физические науки
многочлен excel
распечатываемых математических задач с ключом ответа
Подготовка к сб/10 тестам для первоклассников
упростить радикальный калькулятор
нахождение общего знаменателя с числами и переменными
бухгалтерские книги компании бесплатно
матричный калькулятор
Решатель квадратичных формул с 4-м корнем
“калькулятор наименьшего общего знаменателя”
TI-89 уравнение
макдугал литтел алгебра 1 помощь в решении систем уравнений бесплатно
игра-произведение с отрицательными целыми числами
Алгебра 2-глава 8 словарь
Калькулятор факторинга
калькулятор разности двух кубов
R в три раза больше отношения m и n
сложное математическое уравнение
Целочисленный порядок работы рабочего листа
легкая математическая работа онлайн
mcdougal littell inc РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ
общая математика перекрестное умножение, деление, тригонометрия + pdf
Рабочие листы с одношаговыми уравнениями
примеров и ответов на факторинг
+Вниз +загрузить прошлые экзаменационные работы
рабочий лист по математике для седьмого класса
рабочий лист по тригонометрии с ответами
сложение и вычитание целых чисел для 5-х классов
prealgrebra скачать бесплатно забавный материал
листов с задачами и ответами по математике для 7 класса
образец алгебраического выражения мелочи
рабочих листов по вычитанию целых чисел
Эмуляция TI-84
средство поиска математических решений
сложных задач по алгебре
ЧЕТВЕРТЫЙ КОРЕНЬ
Apptitute Solve paper
лист оценок для печати
лог база 2 таблица
справочник по алгебре 1, глава 9
т1-83 онлайн
Алгебра Холта 1 глава 7 Учебное пособие
тренировочных листов по целым числам
Практический лист по перестановке формул
как найти масштабные коэффициенты
дробные десятичные числа в калькулятор двоичных дробей
скачать бесплатно ppt приложений логарифмов
математика как рассчитать возраст
решатели задач на упрощение одночленов
математических тестов 8 лет
бесплатных математических листов FOIL
онлайн-вопросов по алгебре
Рабочие листы с множественным выбором степени и степени
рабочих листов с целыми числами
факторинг по ТИ 83
скачать бесплатно электронную книгу по бухгалтерскому учету
онлайн-калькулятор упрощения
викторины по математике онлайн
+экзамен по плоской тригонометрии
калькулятор сложения, подпрограммы и умножения Java
математика для чайников онлайн
бланки вопросов о способностях
Книга планов уроков для 1 класса
полиномиальный решатель
математическая пробная версия/начальная школа
полная триггерная диаграмма
Рабочие листы синтетического отдела
примеров графических пределов
бесплатных заданий и ответов по математике для старших классов
рассчитать квадратный маршрут
“онлайн” “несколько” “уравнение” “решатель”
Банк вопросов о способностях в формате pdf
бесплатных рабочих листов eog 5th class nc
биномиальный апплет из фольги
Математические задачи, 6 класс, Дети, Бесплатно
листов уравнений для печати
упрощенный квадратный корень из 5200
бесплатных рабочих листов по оценке сложения и вычитания
преобразовать 0,62 в дробь
решение неравенств, одна переменная, бесплатный рабочий лист
листов с шаблонами по базовой алгебре
распечаток математических упражнений
комбинаций в матлабе
Модульная арифметика на TI-84
коэффициент уравнения
графическое отображение абсолютного значения функционального теста
предварительная алгебра Холта, глава 9, накопительная форма теста c, ответы
lcm gcf лист простейшей формы
Программное обеспечение t183
онлайн-калькулятор исключения по алгебре
бесплатный урок алгебры
ti-84 квадратное уравнение скачать
квадратный корень из числа в упрощенной подкоренной форме
обозначение функций вычитания и деления
бесплатный вопрос о способностях
корень пятой степени из x в кубе
Решатель среднеквадратичного значения
решение уравнений с двумя переменными в excel
Aptitude Вопросы ответы скачать бесплатно
Рабочие листы по истории искусств для 6-го класса
Обзор замены алгебры
бесплатных полиномиальных рабочих листов
какова химическая формула 4 граммов бутана
мелочей по математике
упрощающий калькулятор
Калькулятор факторизации квадратных выражений
бесплатно Скачать вопросник мат экзамена
Нелинейное дифференциальное уравнение Matlab
фактор на ти-83
словесных алгебраических задач
онлайн математические мелочи
Рабочие листы по алгебре
Макдугал Литтел, Алгебра 1, Флорида, издание
Алгебра Макдугала 1 учебник для учителей
формула для процента
Онлайн-игры «11 плюс экзамен»
Бесплатная онлайн-программа для факторизации многочленов
Рабочий лист умножения/деления дробей
Учебники по неравенству перед алгеброй для 8-го класса, задачи со словами
Калькулятор элементарной алгебры
Java-апплет на арифметической прогрессии
листов по математике для пятого класса
математический
онлайн ТИ-83+
графический онлайн-калькулятор TI89
решение сложных задач с алгебраическими выражениями
примеров математических коэффициентов масштабирования
Учебное пособие по разделению многочленов 9 класс
руководство для идиотов по Visual Basic. net
МАТРИЧНЫЕ БУМАГИ
Математические символы GCSE
Эмулятор TI-84
решение неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с помощью Matlab
соединения геометрии cpm второй том интерактивной справки
рабочих листов по одновременным уравнениям текстовые задачи
как извлекать кубические корни на T.I.-83
стихотворений с номерами
Практические тесты по алгебре начального и среднего уровня Чарльза П. МакКега
формул алгебры для КПП
калькулятор умножения и деления дробей
решение уравнений на сложение и вычитание без отрицательных значений
www.бесплатный математический лист .com
переименование программы на калькулятор ти-84
нахождение квадратного корня из многочленов
найти все целые числа, делящиеся на число
алгебра буля + упрощение
преобразовать листы смешанных десятичных чисел в дроби
приложений линейного программирования
вопрос об английском языке
Как решать трехчлены
превратить десятичные дроби в дроби
нужен онлайн-калькулятор, чтобы помочь решить многочлены деления с мономами
печатная работа 6 класса
калькулятор квадратичных коэффициентов
математические стихи – алгебра
добавление вычитания отрицательных чисел PowerPoint
как заниматься алгеброй
Онлайн-репетиторство по математике для 10 класса факторинг
Бесплатные уроки по математике для 11-х классов Австралии
алгебраические уравнения
рабочих листов со скобками элементарно
решение систем линейных уравнений ти-83 программа
решение нескольких переменных
очень сложная задача по алгебре
сгенерированный онлайн графический калькулятор
Калькулятор квадратного корня
Алгебра pdf.
алгебра q И СТАНДАРТНАЯ 5-Я АЛГЕБРА
решить уравнение второго порядка Matlab
nyc тест по математике для 3-го класса 2007 образцы
интегральные вычисления
ti-83 плюс смешанные фракции
бесплатный онлайн калькулятор
заполнение квадрата, несколько переменных
рабочие листы для упрощения выражений
математические проекты для 9 класса по квадратичной формуле
как построить график кубического корня в TI89?
факторинговый трехчленный рабочий лист
бесплатные онлайн документы
бесплатные документы ks3 stas
рабочий лист по упрощению подкоренных выражений
ti 89 растворов титана
решение нелинейных уравнений + коды Matlab
реальных задач квадратного уравнения
алгебра 1 показатель степени
радикальных уравнений с использованием обратной экспоненты
забавный рабочий лист по алгебре уравнений в один шаг
алгебра подстановок
Как объяснить, используя наклон и точку пересечения по оси Y
Бесплатные печатные материалы по отражению, вращению и переводам
как построить график вершинной алгебры
алгебра генератора факторов
онлайн математический решатель математика
Листы с домашним заданием для 4 стержней и листьев
умножение и деление целых чисел
игры по алгебре или работа над подобными терминами
решить уравнения состояния с помощью решателя дифференциальных уравнений Matlab
онлайн-решатель булевой алгебры
онлайн-решатель триггеров
онлайн ТИ-82
самая сложная в мире задача по алгебре
решенных вопросов
предалгебраических игр для печати
решение уравнения методом Ньютона-Рафсона в Matlab
Сравнение десятичных знаков бесплатно 5 класс
клен “шпаргалка по математике”
Тест по математике для 9 класса
как решить одновременные уравнения 3*3
образцы работ по базовой математике
координатный график для второго класса
помогите решить уравнения рабочий лист прилагаются ответы
Рабочая тетрадь по правописанию для 5-го класса, стр. 21
математическое программное обеспечение решает алгебру
перевод дробных десятичных чисел в двоичные дроби онлайн калькулятор
пропорции/алгебра
заданий по квадратным уравнениям
решатель интервальных обозначений
ti-84 справочные матрицы
словесные задачи с коэффициентом масштабирования
решатель уравнений дробей
решение сложных радикалов
задач, с которыми столкнулся учитель алгебры
скачать aptitude
перестановка изображений на листах
Калькулятор уклона в виде электронной таблицы Excel
системы уравнений PowerPoint презентации
Перевод линейных уравнений из рабочих листов слов
Алгебратор
алгебра решения уравнений
заполнение квадрата, рабочие листы
ПРОСТЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.COM
планы уроков по простым интересам – 6 класс
умножить дроби
Рабочий лист основных алгебраических выражений
дроби, проценты, десятичные дроби бесплатные планы уроков
рабочих листов с переменной практикой
образец бланка вопросов о способностях
ti 89 титан квадратный экв.
Амортизационные листы практики студентов
бесплатных книг по бухгалтерскому учету
алгебра для начинающих
приложение бесплатного факторинга TI-83
ответов на тест по алгебре
суммы по алгебре
растворов однородных УЧП второго порядка
функция логбазы + ti-89
Бесплатный тест по алгебре
математические читы harcourt для 5 класса
Рабочие листы по математике алгебра старшая школа
решить многошаговое неравенство ppt
бесплатный лист сложения и вычитания целых чисел
предельный графический калькулятор
Пятый класс + Математические уравнения
листов для печати в свободных углах
ответы математика алгебра 2 макдугал литтелл
выражений дробей
Радикальный калькулятор
викторины по алгебре и методике
помощь по алгебре
ПО для булевой алгебры
Рабочий лист сложения, вычитания и умножения отрицательных и положительных чисел
mathtype скачать
Математические листы для печати для 9-х классов
бесплатный рабочий лист для первого класса для печати
КОМБИНАЦИЯ И ПЕРЕСТАНОВКА PPT
Учет затрат + упражнения и задачи + решения + бесплатно
Решатель экспоненциального уравнения
изучайте алгебру онлайн, бесплатно
Алгебра 1 читы
квадратных корней и идеальные квадратные рабочие листы
“контрольная по математике за 8 класс”
решение уравнений методом возведения в квадрат
ti квадратный корень упростить
читы по алгебре
как смоделировать нелинейное дифференциальное уравнение в MATLAB
рабочий лист умножения биномов
мелочи: алгебраический вектор, математика вещественных векторных пространств
проверка порядка операций
вопросов по алгебре по рационализации
абсолютное значение правило
Калькулятор ti 89 карманный ПК
бесплатные математические рабочие листы таблица значений функций
ti-83 plus руководство + решение квадратного уравнения
матрицы мнимых чисел ti-83
бесплатных тестовых распечаток заданий
математические секретные коды для детских листов
решение и построение уравнений
поэма продвинутая алгебра
уравнение теплопроводности Дирихле Грина
как найти квадратный корень переменной
правил экспоненты с квадратными корнями
рабочих листов математика бесплатно 6-й класс диапазон среднее значение медиана
решатель задач по алгебре
источник программы ti 83 фактор

Использование варьирования параметров с помощью системы уравнений для нахождения частного решения — Криста Кинг Математика

Метод вариации параметров, системы уравнений и правило Крамера

Как и метод неопределенных коэффициентов, вариация параметров — это метод, который можно использовать для нахождения общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго (или более высокого) порядка.

Помните, что однородные дифференциальные уравнения имеют ???0??? в правой части, где неоднородные дифференциальные уравнения имеют ненулевую функцию в правой части.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Общее решение ???Y(x)??? неоднородному дифференциальному уравнению всегда будет суммой дополнительного решения ???y_c(x)??? и конкретное решение ???y_p(x)???.

???Y(x)=y_c(x)+y_p(x)???

Мы начнем с поиска дополнительного решения, предполагая, что неоднородное уравнение на самом деле является однородным уравнением. Другими словами, мы просто заменяем ???g(x)??? с ???0??? а затем решить для значений ???x??? которые являются решениями однородного уравнения.

В зависимости от значений ???x??? которое мы найдем, мы сгенерируем дополнительное решение дифференциального уравнения.

Из дополнительного решения выберем фундаментальный набор решений ???\{y_1,y_2\}???. В наборе решений будет все, кроме коэффициентов ???c_1??? и ???c_2???. Другими словами,

Это означает, что мы могли бы переписать дополнительные решения как

Как только у нас будет фундаментальный набор решений, мы включим его в простую систему линейных уравнений

???u_1’y_1+u_2’y_2=0???

???u_1’y_1’+u_2’y_2’=g(x)???

и затем решить систему для ???u_1′??? и ???u_2′???. Причина, которую мы хотим решить для ???u_1′??? и ???u_2′??? так что мы можем объединить их обоих, чтобы найти ???u_1??? и ???u_2???.

Если мы сможем найти ???u_1??? и ???u_2???, то можно сказать, что частное решение равно

???y_p(x)=u_1y_1+u_2y_2???

Поскольку общее решение является суммой дополнительного и частного решений,

???Y(x)=y_c(x)+y_p(x)???

мы просто добавляем частное решение к дополнительному решению, которое мы нашли ранее, чтобы получить общее решение. {(n)}??? для дифференциальных уравнений более высокой степени) равным ???1???. Если это еще не ???1???, просто разделите его, чтобы получилось ???1???.

Использование метода вариации параметров и системы уравнений для нахождения частного решения дифференциального уравнения

Пройти курс

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Как использовать изменение параметров и правило Крамера для больших наборов решений 9{-2x}}{2x}???

Большие наборы решений

Легко решить систему линейных уравнений

???u_1’y_1+u_2’y_2=0???

???u_1’y_1’+u_2’y_2’=g(x)???

потому что в наборе решений ???\{y_1,y_2\}??? было только два решения, и поэтому было только два неизвестных, ???u_1′??? и ???u_2′???. Но иногда набор решений будет больше, например ???\{y_1,y_2,y_3,y_4,. ..,y_n\}???. Например, если бы в наборе решений было четыре решения, нам пришлось бы решить эту систему:

???u_1’y_1+u_2’y_2=0???

???u_1’y_1’+u_2’y_2’=0???

???u_1’y_1”+u_2’y_2”=0???

???u_1’y_1”’+u_2’y_2”’=g(x)???

, потому что вам нужно столько же уравнений в системе, сколько решений в наборе решений. ???г(х)??? всегда является правой частью последнего уравнения системы; каждое из других уравнений имеет ???0??? как его правая сторона.

Если размер набора решений, а, следовательно, и размер системы линейных уравнений становятся неуправляемыми, для нахождения частного решения будет удобнее использовать правило Крамера.

Мы по-прежнему начнем с замены неоднородного уравнения на однородное, чтобы мы могли найти дополнительное решение и выделить фундаментальный набор решений.

Чтобы найти каждое неизвестное, ???u_1′???, ???u_2′???, ???u_3′??? и т. д., вместо решения системы линейных уравнений будем использовать набор матриц. Предположим, что в нашем фундаментальном множестве есть четыре решения. Затем нам нужно найти определители этих матриц:

Тогда в этом примере

Следовательно,

Это означает, что конкретное решение

???y_p(x)=u_1y_1+u_2y_2+u_3y_3+u_4y_4???

, который действительно совпадает с

???y_p(x)=y_1\int\frac{g(x)W_1}{W}+y_2\int\frac{g(x)W_2}{W}+ y_3\int\frac{g(x)W_3}{W}+y_4\int\frac{g(x)W_4}{W}???

Помните, что вы можете изменить систему линейных уравнений и эти формулы для дополнительных и частных решений в зависимости от того, сколько решений у вас есть в фундаментальном наборе решений.

Давайте рассмотрим пример, в котором мы используем правило Крамера вместо решения системы линейных уравнений. Вы обычно используете правило Крамера с дифференциальными уравнениями более высокого порядка, потому что часто оказывается, что они имеют более двух решений в фундаментальном множестве. В этом примере мы получим только два решения в фундаментальном наборе, но для примера мы начнем использовать правило Крамера вместо системы линейных уравнений.

Если размер набора решений и, следовательно, размер системы линейных уравнений становится неуправляемым, будет удобнее использовать правило Крамера для нахождения частного решения. 9х+\frac32\cos{x}-\frac32\sin{x}-3???

Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»

Learn mathKrista King 27 декабря 2020 математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, дифференциальные уравнения, неоднородные уравнения, неоднородные, обыкновенные дифференциальные уравнения, решение ОДУ, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, вариация параметров, система уравнений, фундаментальные множество решений, правило Крамера, общее решение, частное решение, дополнительное решение, вронскиан, ОДУ

0 лайков

Правило Крамера: Метод определителей

Содержание | Дом

Урок 35

Одновременные уравнения: Раздел 2

Назад к Разделу 1

Правило Крамера: Метод определителей

Пример 4. Решите эту систему одновременных уравнений:

1)	3 х	+	4 у	=	19

2)	2 х	—	г	=	9

Решение . Если мы сложим уравнения как есть, ни одно из неизвестных не сократится. Теперь, если бы коэффициент y в уравнении 2) был равен -4, тогда y сокращались бы. Поэтому мы расширим нашу стратегию следующим образом:

Сделайте одну пару коэффициентов минусами друг друга — на умножив
обе части уравнения на одно и то же число. При добавлении уравнений это неизвестное будет устранено.

Чтобы сделать коэффициенты и равными 4 и −4, мы умножим обе части уравнения 2) на 4 :

1)	3 х	+	4 у	=	19	3 х	+	4 у	=	19

2)	2 х	—	г	=	9	8 х	—	4 г	=	36

						11 х			=	55

								х	=	55 11

								х	=	5

Цифра 4 над стрелкой в уравнении 2) означает, что обе части этого уравнения были умножены на 4. Уравнение 1) не изменилось.

Чтобы найти y , подставьте x = 5 в одно из исходных уравнений. В уравнении 1):

3 · 5 + 4 у	=	19

4 г	=	19 − 15

4 г	=	4

г	=	1

Решение (5, 1).

Ученик должен всегда проверять решение, заменяя x и y с (5, 1) в исходных уравнениях.

Пример 5. Решить одновременно:

1)	3 х	+	2 у	=	−2

2)	2 х	+	5 у	=	−5

Раствор . Мы должны сделать одну пару коэффициентов отрицательными друг для друга. В этом примере мы должны решить, какое из неизвестных исключить, x или y . В любом случае мы сделаем новые коэффициенты наименьшим общим кратным (НОК) исходных коэффициентов, но с противоположными знаками.

Таким образом, если мы исключим x , то мы получим новые коэффициенты 6 и −6. (НОК 3 и 2 равен 6.) Если мы исключим y , мы сделаем их новые коэффициенты равными 10 и −10. (НОК 2 и 5 равен 10.)

Давайте решим исключить x :

1)	3 х	+	2 у	=	−2	6 х	+	4 у	=	−4

2)	2 х	+	5 у	=	−5	−6 х	−	15 г	=	15
						__________________________________________________________________________
							−	11 г	=	11
								г	=	−1.

Уравнение 1) было умножено на 2. Уравнение 2) было умножено на −3, потому что мы хотим сделать эти коэффициенты равными 6 и −6, чтобы при сложении y отменит.

Чтобы найти x , мы подставим y = −1 в исходное уравнение 1):

3 x + 2(−1)	=	−2

3 x − 2	=	−2

3 x	=	0

x	=	0

Решение (0, −1).

Задача 3. Решить одновременно.

1)	2 х	+	3 у	=	13

2)	5 х	−	г	=	7

Чтобы отменить и , умножьте уравнение 2) на 3:

1)	2 х	+	3 у	=	13	2 х	+	3 у	=	13
2)	5 х	−	г	=	7	15 х	—	3 у	=	21
						__________________________________________________________________________
						17 х			=	34
								х	=	2

Чтобы найти и :

Подставьте x = 2 в одно из исходных уравнений.
В уравнении 1:

2 · 2 + 3 у	=	13

4 + 3 у	=	13

3 у	=	9

г	=	3

Решение (2, 3).

Задача 4. Решить одновременно.

1)	х	+	2 у	=	−1

2)	2 х	−	3 у	=	5

Чтобы сократить x , умножьте уравнение 1) на −2:

1)	х	+	2 у	=	−1	−2 x	—	4 у	=	2

2)	2 х	—	3 у	=	5	2 х	—	3 у	=	5
						__________________________________________________________________________
							—	7 у	=	7

								г	=	−1

Чтобы решить для x :

Подставьте y = −1 в одно из исходных уравнений.
В уравнении 1:

х + 2(−1)	=	−1

х − 2	=	−1

х	=	−1 + 2

x	=	1

Решение (1, −1).

Мы могли бы исключить и , умножив уравнение 1) на 3 и уравнение 2) на 2.

Задача 5. Решить одновременно:

1)	3 х	−	4 у	=	1

2)	2 х	+	3 у	=	12

Для отмены и :

Умножьте уравнение 1) на 3 и уравнение 2) на 4:

1)	3 х	—	4 у	=	1	9 х	−	12 г	=	3

2)	2 х	+	3 у	=	12	8 х	+	12 г	=	48
						__________________________________________________________________________
						17 х			=	51

								х	=	51 17

								х	=	3

Чтобы найти и :

Подставьте x = 3 в одно из исходных уравнений.
В уравнении 2 (поскольку знак и уже положительный):

2 · 3 + 3 у	=	12

6 + 3 у	=	12

3 г	=	6

г	=	2

Решение (3, 2).

Задача 6. Решить одновременно:

1)	3 х	+	2 у	=	−4

2)	2 х	+	5 у	=	1

Для отмены x :

Умножьте уравнение 1) на 2 и уравнение 2) на −3:

1)	3 х	+	2 у	=	−4	6 х	+	4 у	=	−8

2)	2 х	+	5 у	=	1	−6 x	—	15 г	=	−3
						__________________________________________________________________________
							—	11 г	=	−11

								г	=	1

Чтобы решить для x :

Подставьте y = 1 в одно из исходных уравнений.
В уравнении 1:

3 x + 2 · 1	=	−4

3 x + 2	=	−4

3 x	=	−4 − 2

3 x	=	−6

x	=	−2

Решение (−2, 1).

Мы могли бы исключить y , умножив уравнение 1) на 5 и уравнение 2) на −2.

Задача 7. Решить одновременно:

1)	5 х	+	3 у	=	−11

2)	2 х	+	4 у	=	−10

Для отмены x :

Умножьте уравнение 1) на 2 и уравнение 2) на −5:

1)	5 х	+	3 у	=	−11	10 х	+	6 у	=	−22

2)	2 х	+	4 у	=	−10	−10 x	—	20 у	=	50
						__________________________________________________________________________
							—	14 г	=	28

								г	=	−2

Чтобы решить для x :

Подставьте y = −2 в одно из исходных уравнений.
В уравнении 1:

5 x + 3(−2)	=	−11

5 x − 6	=	−11

5 x	=	−11 + 6

5 x	=	−5

х	=	−1

Решение (−1, −2).

Мы могли бы исключить y , умножив уравнение 1) на 4 и уравнение 2) на −3.

Правило Крамера: Метод определителей

Система двух уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид:

и – это коэффициенты х с. b — это коэффициенты y . Ниже представлена матрица этих коэффициентов.

Номер A ₁ B ₂ – B ₁ A ₂ называется определяющей собой матрикс.

от

а ₁ б ₂ − б ₁ а ₂

Обозначим этот определитель через D.

Теперь рассмотрим эту матрицу, в которой c заменены коэффициентами x :

Тогда определитель этой матрицы, которую мы назовем D x , равен

с ₁ б ₂ − б ₁ с ₂

И рассмотрим эту матрицу, в которой c заменяют коэффициенты y :

Определитель этой матрицы — D y — равен

а ₁ в ₂ − в ₁ а ₂

Правило Крамера утверждает следующее:

Во всякой системе из двух уравнений с двумя неизвестными
, в которой определитель D не равен 0,

х	=	D x D

г	=	Д у D

Пример. Используйте правило Крамера, чтобы решить эту систему уравнений (задача 7):

5 х	+	3 у	=	−11

2 x	+	4 у	=	−10

Раствор .

Д	=	от	=	5 · 4 − 3 · 2

			=	20 − 6

			=	14.

D x	=	от	=	−11 · 4 − 3 · −10

			=	−44 + 30

			=	−14.

Д у	=	от	=	5 · −10 − (−11) · 2

			=	−50 + 22

			=	−28.

Следовательно,

х	=	D x D	=	−14 14	=	−1.

г	=	Д у Д	=	−28 14	=	−2.

Проблема. Используйте правило Крамера, чтобы решить эти одновременные уравнения.

3 х	−	5 у	=	−31

2 x	+	у	=	1

Д	=	от	=	3 · 1 − (−5) · 2

			=	3 + 10

			=	13.

D x	=	от	=	−31 · 1 − (−5) · 1

			=	−31 + 5

			=	−26.

Д у	=	от	=	3 · 1 − (−31) · 2

			=	3 + 62

			=	65.

Следовательно,

x	=	D x D	=	−26 13	=	−2.

г	=	Д у Д	=	65 13	=	5.

Когда определитель D отличен от 0, мы говорим, что уравнения линейно независимы .

Метод крамера для произвольных систем линейных уравнений. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

В чем заключается метод Крамера

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Решение систем уравнений методом Крамера

Решить слу методом крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

2.4. Определители n-го порядка

2.

Как решить систему уравнений методом крамера.

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

2.4. Определители n-го порядка

2.

решаем системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Действия над матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Метод Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

Где можно решить уравнение по методу Крамера онлайн-решателем?

Действия с матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений с помощью обыкновенных жордановых исключений

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Mathway | Популярные проблемы

Решение системы уравнений с несколькими неизвестными

Решение уравнений, расчет онлайн

Summary :

Описание :

Решение системы 2 уравнений с 2 ​​неизвестными

Решение системы 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

Синтаксис :

Примеры:

Алгебратор онлайн

Использование варьирования параметров с помощью системы уравнений для нахождения частного решения — Криста Кинг Математика

Метод вариации параметров, системы уравнений и правило Крамера

Использование метода вариации параметров и системы уравнений для нахождения частного решения дифференциального уравнения

Пройти курс

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Как использовать изменение параметров и правило Крамера для больших наборов решений 9{-2x}}{2x}???

Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»

Правило Крамера: Метод определителей

Оставить комментарий Отменить ответ

Решение системы 2 уравнений с 2 неизвестными