Решить методом крамера систему уравнений калькулятор: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Практическая работа «Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Практическая работа
«Решение систем методом Крамера»

Цель работы: Научиться решать системы уравнений методом Крамера

Материально-техническое обеспечение:
1 Методические указания.
2 Калькулятор.

1 Краткие теоретические сведения

1.1 Решая упражнения, удобно пользоваться следующими формулами:
Решить методом Крамера систему
относительно переменных х  и у.
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
 и .
Три случая при решении систем линейных уравнений
1. Система линейных уравнений имеет единственное решение (система совместна и определённа)

2. Система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений (система совместна и неопределённа)
,

·1,
·2=0
3. Система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна)

·1,
·2
·0
1.2 Алгоритм решения систем уравнений методом Крамера 1.Запишите систему уравнений.

2. Найдите главный определитель системы. 3.Найдите вспомогательные определители системы. 4.Найдите неизвестные, пользуясь формулами Крамера. 5.Запишите ответ.

1.3 Примеры решения заданий:
1. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестнымиПо формулам Крамера получаем

Ответ: (4;2)
2 Задание
2.1 Решите системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2.2 Дополнительное задание
1. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

2. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

3 Содержание отчета
В отчете должны быть изложены:
1) номер практической работы;
2) тема практической работы;
3) цель работы;
4) выполненное задание.

Контрольные вопросы.

1 Каким методом решают систему линейных уравнений?
2 Что называют определителем второго порядка?
3 Алгоритм решения методом Крамера?

Рисунок 25Рисунок 91Рисунок 94система двух линейных уравнений с 2-мя неизвестнымиРисунок 115система двух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

Приложенные файлы

• rabota10
  Практическая работа
  Размер файла: 58 kB Загрузок: 4

Решить рівняння онлайн 7 клас

Скачать решить рівняння онлайн 7 клас EPUB

Тест Решение уравнений по алгебре (7 класс). Сложность: знаток.Последний раз тест пройден 1 час назад. Вопрос 1 из Решите уравнение: 5х – 3 = 2. 3,2. Решение уравнений.

Подборка онлайн калькуляторов, которые помогут решить решить уравнения. С помощью этих калькуляторов вы сможете найти корни квадратного и биквадратного уравнения, а также решить систему линейных уравнений разными методами. Онлайн калькуляторы. Решение уравнений Решение квадратных уравнений Решение биквадратных уравнений Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений.

Метод Гаусса Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера Решение систем линейных уравнений. Матричный метод Показать все онлайн калькуляторы.

Любые нецензурные комментарии будут удалены. Квадратные уравнения. Неравенства. Системы уравнений. Матриц. Тригонометрии.  Решить уравнения. Исчисление. Производные. Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков онлайн с помощью калькулятора на сайте. Используйте для проверки ваших навыков решения. Обсудить. Может быть интересно: Тренажёр по профильной математике. Задание 17 ЕГЭ кредит и банки № 8. Задание 17 ЕГЭ кредит и банки № 7. Похожие материалы. 7 класс – Решение линейных уравнений с одной переменной, базовый уровень.

Время прохождения ~ мин. Пояснения.  Предложите ему пройти онлайн тест по алгебре 7 класс на уникальном тренажере, базирующемся на интеллектуальной программе. Это можно сделать совершенно бесплатно, если зарегистрироваться на образовательной платформе Skills4u. Все тематические тесты по алгебре 7 класс разбиты на группы.

Решить систему линейных уравнений можно различными способами, например используя метод Крамера и метод Гаусса, метод Жордана Гаусса и метод Кронекера Капелли, или другими способами. Используя наш сервис, вы можете бесплатно в режиме онлайн получить решения разными способами с пошаговыми действиями и пояснениями. Наш калькулятор будет также полезен, если вам необходимо проверить выполненные самостоятельно вычисления. Выводить десятичную дробь, число знаков после запятой. Линейные уравнения и их системы.

Часть 1. Решение линейных уравнений. Видеоурок. Текстовый урок. Вопросы к уроку. На этом уроке мы потренируемся решать линейные уравнения, системы, а также различные текстовые задачи, которые к ним сводятся. Линейные уравнения. Центр образования. Центр образования. Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники?.

fb2, fb2, EPUB, djvu

Похожее:

Основи християнської етики 5 клас підручник скачать

Німецька мова 7 клас надія басай гдз 2007

Міні проект квіти і комахи 6 клас з біології

Тестовий зошит укр мова

Укр мова 5 клас контрольна робота 5

Рейтингова таблиця зно українська мова 2015

Гдз 4 клас українська мова 1 частина відповіді

Крамер онлайн калькулятор с подробным решением. Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами.

Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение.

Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1. 10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица.

Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1. 16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1. 21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………. .
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Навигация по странице.

Метод Крамера – вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

Где x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные переменные, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b 1 , b 2 , …, b n – свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x 1 , x 2 , …, x n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B , где – основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, – матрица – столбец свободных членов, а – матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x 1 . Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А 1 1 , обе части второго уравнения – на А 2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А n 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А ):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x 2 . Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А :

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

То получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x 1 и x 2 по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x 1 и x 2 в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .

Решение.

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле

Имеем

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :

Таким образом,

Ответ:

Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x 1 , x 2 , …, x n . Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x , y и z вместо x 1 , x 2 и x 3 ). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:

Осталось найти неизвестные переменные по формулам :

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел ):

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Ответ:

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Крамера, – некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: . выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Воспользуйтесь правилом Крамера и предоставленным калькулятором, чтобы найти значение y, которое удовлетворяет системе линейных уравнений.

x – 5y + 5z = 3 4x + 4y + 2z = 5 5x + 3y + 5z = 4 Обратите внимание, что графический калькулятор ALEKS может использоваться для упрощения вычислений. Детектор

Вопрос:

Воспользуйтесь правилом Крамера и предоставленным калькулятором, чтобы найти значение y, которое удовлетворяет системе линейных уравнений.

х – 5у + 5z = 3

4x + 4y + 2z = 5

5x + 3y + 5z = 4

Обратите внимание, что графический калькулятор ALEKS может использоваться для упрощения вычислений.

Определитель матрицы коэффициентов равен {eq} D = \ begin {vmatrix} & & \\ & & \\ & & \ end {vmatrix} = {/ eq} _____

{eq} y = \ frac {\ begin {vmatrix} & & \\ & & \\ & & \ end {vmatrix}} {D} = {/ eq} _____

В поисках решения системы уравнений:

Для решения системы линейных уравнений мы можем применять различные процедуры: а) Правило Крамера, б) Подстановка, в) Уравнение, г) Отмена, среди прочего.

При применении любой из предыдущих процедур цель состоит в том, чтобы вычислить значения переменных, удовлетворяющих системе.

Ответ и объяснение:

Давайте воспользуемся правилом Крамера и предоставленным калькулятором, чтобы найти значение {eq} y. {/ eq}, удовлетворяющий системе линейных уравнений.

{экв} х – 5у + 5z = 3 \\ 4х + 4у + 2z = 5 \\ 5х + 3у + 5z = 4. {/ eq}

Шаг 1. Вычисление определителя.

Для вычисления определителя воспользуемся методом Сарруса.

Таким образом, мы имеем

{eq} D = \ begin {vmatrix} 1 и -5 и 5 \\ 4 и 4 и 2 \\ 5 и 3 и 5 \ end {vmatrix} = (20 + 60-50) – (100 + 6-100) = 24. {/ eq}

Следовательно, {eq} D = 24. {/ eq}

Шаг 2. Расчет значения {eq} y {/ экв}.

Значение {eq} y {/ eq} задается

{eq} y = \ dfrac {\ begin {vmatrix} 1 и 3 и 5 \\ 4 и 5 и 2 \\ 5 и 4 и 5 \ end {vmatrix}} {24}.{/ eq}

Давайте посчитаем {eq} \ begin {vmatrix} 1 и 3 и 5 \\ 4 и 5 и 2 \\ 5 и 4 и 5 \ end {vmatrix}. {/ eq}

Итак, у нас есть

{eq} \ begin {vmatrix} 1 и 3 и 5 \\ 4 и 5 и 2 \\ 5 и 4 и 5 \ end {vmatrix} = (25 + 80 + 30) – (125 + 8 + 60) = 135 -193 = -58. {/ eq}

Тогда

{eq} y = \ dfrac {\ begin {vmatrix} 1 и -5 и 5 \\ 4 и 4 и 2 \\ 5 и 3 и 5 \ end {vmatrix}} {24} = – \ dfrac {58} {24} = – \ dfrac {29} {12}.{/ eq}

Следовательно

{eq} y = – \ dfrac {29} {12}. {/ eq}

Калькулятор системы линейных уравнений 3×3

---

Этот онлайн-калькулятор системы линейных уравнений 3×3 решает систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными, используя правило Крамера. Введите значения коэффициентов для каждого линейного уравнения системы в соответствующие поля калькулятора. Все поля, оставленные пустыми, будут интерпретированы как коэффициенты с нулевыми значениями.После нажатия кнопки «Рассчитать» вы получите значения неизвестных.

---

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = d ₂

a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃

---

Решение системы линейных уравнений с использованием правила Крамера

В математике система линейных уравнений – это набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым числом переменных (или неизвестных). Рассматриваемая здесь линейная система включает три уравнения с тремя неизвестными:
$$ {a} _ {1} x + {b} _ {1} y + {c} _ {1} z = {d} _ {1} $$ $$ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y + {c} _ {2} z = {d} _ {2} $$ $$ {a} _ {3} x + {b} _ {3} y + {c} _ {3} z = {d} _ {3}, $$ где \ (x, y, z \) – неизвестные, \ (a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 , c_1, c_2, c_3 \) – коэффициенты системы, а \ (d_1, d_2, d_3 \) – постоянные члены.

Решение линейной системы уравнений – это поиск таких значений неизвестных \ (x, y, z \), которые удовлетворяют каждому из уравнений.Существует ряд методов решения системы линейных уравнений. В этом калькуляторе линейной системы уравнений используется правило Крамера. Он выражает решение системы в терминах определителей матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее, путем замены одного столбца вектором-столбцом правых постоянных членов уравнений.

Обозначим через \ (D \) определитель матрицы коэффициентов системы:
$$ D = \ begin {vmatrix} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1 } \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3 } \ end {vmatrix}.

$

Тогда определители матриц, полученные из матрицы коэффициентов заменой одного столбца вектором-столбцом правых частей уравнений, будут:

$$ {D_x = \ left | \ begin {array} {ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \ end {array} \ right |,} \ hspace {0.3em}
{D_y = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \ end {array} \ right |,} \ hspace {0.3em}
{D_z = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \ end {array} \ right | .} $$

Правило Крамера гласит, что в случае \ (D \ neq 0 \) система имеет единственное решение, индивидуальные значения которого для неизвестных задаются следующими формулами:

$$ x = \ frac {D_x} {D}, \ hspace {0.2em} y = \ frac {D_y} {D}, \ hspace {0.2em} z = \ frac {D_z} {D}. $$

В зависимости от значения \ (D \) линейная система уравнений может вести себя одним из трех возможных способов:

• Если \ (D \ neq 0 \) система имеет единственное уникальное решение, представленное выше.
• Если \ (D = 0 \) и \ ({D_x} \ neq 0 \) (или \ ({D_y} \ neq 0 \) или \ ({D_z} \ neq 0 \)), система не имеет решения (линейная система несовместна).
• Если \ (D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0 \) система имеет бесконечно много решений.

Связанные калькуляторы

Ознакомьтесь с нашими другими калькуляторами алгебры, такими как Калькулятор системы линейных уравнений 2 × 2.

---

(PDF) Матричный множитель: расчет по методу Крамера

Матричный множитель: расчет по методу Крамера

Харука Кидо

EE 304: компьютерные измерения и контроль

Осень 2020 г. Окончательный проект

1.Введение в систематическую конфигурацию двумерного умножения матриц

Системный процесс метода Крамера повышает эффективность решения задач матричного умножения

, включающих системы линейных уравнений с наборами из 3 или более добавленных или вычтенных неизвестных переменных, связанных с числовыми коэффициентами

. Коэффициенты системы уравнений генерируют числа в матрице, которые будут использоваться в воспроизводимом и формульном процессе вычислений

. Таким образом, превращение метода Крамера в компьютерный алгоритм

и, в конечном итоге, программирование алгоритма на вычислительной машине метода Крамера со встроенной схемой для чтения кода

может быть простой моделью для оптимизации инженерных вычислений, которые в противном случае выполнялись бы на бумаге. Если это сделано с точностью

и точностью до степени получения ответов на проблемы умножения матриц с помощью автоматизации, конфигурация

между языками LabVIEW и C ++, сборка схем и программирование аппаратного обеспечения удовлетворит

голым фундаментом природы построения системы. программируемый калькулятор от инициализации сценария до достижения алгоритмических вычислений

, полученных с помощью запаянной схемы.

Первый код основан на математических функциях LabVIEW для выполнения операций с массивами для стандартных входов и выходов матриц метода Крамера

. Программа калькулятора метода Крамера написана на C ++ для обеспечения возможности настройки оборудования.

Калькулятор может использоваться для решения задач линейных систем уравнений. В LabVIEW пользовательский ввод разрешает

изменения размера матрицы. Код C ++ написан для образца матрицы 3×3. Коды калькулятора метода Крамера

будут воспроизводимыми системами, которые будут использоваться в более крупном программно-аппаратном проекте конфигурации аппаратного обеспечения

внешнего ЖК-контроллера с возможностью использования математических символов и операций на основе графической автоматизации из обоих или

либо из LabVIEW VI. и C ++ для максимальной возможности подключения к компьютерам для записи расширенных математических документов

через USB-приемник.Компонент электротехнического оборудования является продолжением этого проекта

как часть II. Этот отчет и проект, представленный для EE 304, включают только часть I, компьютерную часть калькулятора метода Крамера

.

2. Концепция: объяснение метода Крамера

Метод Крамера включает математические шаги для определения определителя с использованием двухмерной матрицы с наборами

коэффициентов переменных из каждого линейного уравнения в виде отдельных строк. Например, для системы из 3 линейных уравнений

коэффициенты, связанные с переменными, разделяются на упорядоченные буквенные значения, как показано:

Затем матрица коэффициентов 3 x 3 буквенных значений выглядит следующим образом:

[]

4x + 7y + 4z = 2

8x + 3y – 2z = 6

3x – 6y + 7z = 3

ax + by + cz = 2

dx + ey – fz = 6

gx – hy + iz = 3

для каждой исходной переменной (x, y и z) как 3 матрицы.a представляет x, b представляет y и c представляет z:

Для определения определителя матрицы коэффициентов 3 x 3 применяется следующая организация матриц

Rule Calculator – Free Online Cramers Rule Calculator

Калькулятор правила Крамера вычисляет значения переменных для заданных линейных уравнений. Линейное уравнение определяется как уравнение, записанное для двух разных переменных. Это уравнение будет линейной комбинацией этих двух переменных и константы.

Что такое калькулятор правила Крамера?

Калькулятор правил Крамера – это онлайн-инструмент, который помогает вычислить значения переменных для заданных линейных уравнений. Этот онлайн-калькулятор правил Крамерса поможет вам вычислить значения переменных за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор правил Крамера, введите коэффициенты в соответствующее поле ввода.

Как пользоваться калькулятором правила Крамера?

Выполните следующие действия, чтобы найти значения переменных с помощью онлайн-калькулятора правил Крамера:

• Шаг 1: Зайдите в онлайн-калькулятор правил Крамера Cuemath.
• Шаг 2: Введите коэффициенты уравнений в данное поле ввода калькулятора правил Крамера.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Решить» , чтобы найти значения переменных.
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор правила Крамерса?

Правило Крамера используется для решения линейных уравнений и нахождения значений переменных для заданных линейных уравнений.

Пусть A ₁ x + B ₁ y = C ₁ и A ₂ x + B ₂ y = C ₂ будут линейными уравнениями.

Формула, используемая для решения переменных для данных двух линейных уравнений с использованием правила Крамерса, имеет вид

x = ∆x / ∆ и y = ∆y / ∆

\ (∆ = \ left | \ begin {array} {ll} A_ {1} & B_ {1} \\ A_ {2} & B_ {2} \ end {array} \ right |, \, \, ∆ x = \ left | \ begin {array} {ll} C_ {1} & B_ {1} \\ C_ {2} & B_ {2} \ end {array} \ right | \, \ и \, \, ∆y = \ left | \ begin {array} {ll} A_ {1} & C_ {1} \\ A_ {2} & C_ {2} \ end {array} \ right | \)

Есть два условия для правила Крамерса:

Условие 1: Если все детерминанты равны нулю, то система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.

Условие 2: Если ∆ = 0 и ∆x & ∆y не равны нулю, то система несовместима и уравнения не имеют решения.

Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. С Cuemath находите решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенный пример по правилу Крамера

Решить заданные линейные уравнения x – 2y = -3 и 3x – 4y = -5, используя правило Крамера, и проверить его, используя калькулятор правил Крамера?

Решение :

Дано: A ₁ = 1, B ₁ = -2, C ₁ = -3, A ₂ = 3, B ₂ = -4, C ₂ = -5

x = ∆x / ∆ и y = ∆y / ∆

\ (∆ = \ left | \ begin {array} {ll} A_ {1} & B_ {1} \\ A_ {2} & B_ {2} \ end {array} \ right |, \, \, ∆ x = \ left | \ begin {array} {ll} C_ {1} & B_ {1} \\ C_ {2} & B_ {2} \ end {array} \ right | \, \ и \, \, ∆y = \ left | \ begin {array} {ll} A_ {1} & C_ {1} \\ A_ {2} & C_ {2} \ end {array} \ right | \)

\ (∆ = \ left | \ begin {array} {ll} 1 & -2 \\ 3 & -4 \ end {array} \ right |, \, \, ∆x = \ left | \ begin {array} {ll} -3 & -2 \\ -5 & -4 \ end {array} \ right | \, \ и \, \, ∆y = \ left | \ begin {array} {ll} 1 & -3 \\ 3 & -5 \ end {array} \ right | \)

∆ = 2, ∆x = 2, ∆y = 4

х = ∆x / ∆ = 2/2 = 1

y = ∆y / ∆ = 4/2 = 2

Следовательно, значения x и y равны (1,2)

Теперь попробуйте калькулятор правила Крамерса и найдите значения переменных для:

• 2x + 5y = 6 и 4x – 5y = 10
• -4x – 10y = 7 и 5x + 5y = 9

☛

Статьи по теме:

Решающие системы с правилом Крамера · Алгебра и тригонометрия

Решение систем с правилом Крамера · Алгебра и тригонометрия

В этом разделе вы:

• Оцените детерминанты 2 × 2.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
• Оцените детерминанты 3 × 3.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, используя несколько методов: подстановку, сложение, исключение Гаусса, использование обратной матрицы и построение графиков.Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель – это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы требует следования определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найти определитель матрицы 2 × 2

Определитель 2 × 2

Матрица

, учитывая

A = [abcd]

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений.Есть несколько способов указать определитель, в том числе det (A)

и заменив скобки в матрице прямыми линиями \ | A \ |.

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

A = [52−63]

det (A) = \ | 52−63 \ | = 5 (3) – (- 6) (2) = 27

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курб. algébriques. Правило Крамера – это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

a1x + b1y = c1 (1) a2x + b2y = c2 (2)

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим найти x.

Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный y

в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент при y

в уравнении (2), и мы добавляем два уравнения, переменную y

будет исключен.

b2a1x + b2b1y = b2c1 Умножить R1 на b2 − b1a2x − b1b2y = −b1c2 Умножить R2 на −b1 \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ B2a1x − b1a2x = b2c1 − b1c2

Теперь решите относительно x.

b2a1x − b1a2x = b2c1 − b1c2 x (b2a1 − b1a2) = b2c1 − b1c2 x = b2c1 − b1c2b2a1 − b1a2 = [c1b1c2b2] [a1b1a2b2]

Аналогично, чтобы найти y,

исключим x.

a2a1x + a2b1y = a2c1 Умножить R1 на a2 − a1a2x − a1b2y = −a1c2 Умножить R2 на − a1 \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ A2b1y-a1b2y = a2c1-a1c2

Решение для y

дает

a2b1y − a1b2y = a2c1 − a1c2y (a2b1 − a1b2) = a2c1 − a1c2 y = a2c1 − a1c2a2b1 − a1b2 = a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1 = \ | a1c1a2c1 \ |

Обратите внимание, что знаменатель для обоих x

и

– определитель матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы, чтобы найти x

и у,

, но Правило Крамера также вводит новую нотацию:

• D:

  определитель матрицы коэффициентов

• Dx:

  определитель числителя в решении

  х

  х = DxD

• Dy:

  определитель числителя в решении

  y

  у = DyD

Ключ к правилу Крамера – заменить интересующий столбец переменных столбцом констант и вычислить детерминанты.Затем мы можем выразить x

и

как частное двух определителей.

Правило Крамера для систем 2 × 2

Правило Крамера – это метод, который использует детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

Решение, использующее правило Крамера, дается как

x = DxD = \ | c1b1c2b2 \ | \ | a1b1a2b2 \ |, D ≠ 0; Y = DyD = \ | a1c1a2c2 \ | \ | a1b1a2b2 \ |, D ≠ 0.

Если мы решаем относительно x,

х

Столбец

заменяется постоянным столбцом. Если мы решаем y,

г

Столбец

заменяется постоянным столбцом.

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующие 2 × 2

с использованием правила Крамера.

12x + 3y = 15 2x − 3y = 13

Решите относительно x.

х = DxD = \ | 15313-3 \ | \ | 1232-3 \ | = -45-39-36-6 = -84-42 = 2

Решить относительно y.

у = DyD = \ | 1215213 \ | \ | 1232-3 \ | = 156-30-36-6 = -12642 = -3

Решение: (2, −3).

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

x + 2y = −11−2x + y = −13

(3, −7)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из способов – увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5.Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

A = [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

1. Дополнение

   с первыми двумя столбцами.

   det (A) = \ | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 \ | a1a2a3 b1b2b3 \ |

2. Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали.Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. От левого нижнего угла к правому верхнему: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра следующая:

\ | A \ | = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 − a3b2c1 − b3c2a1 − c3a2b1

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 для данного

A = [0213-11401]

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

\ | A \ | = \ | 0213-11401 \ | 03 4 2-10 \ | = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 = 6

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det (A) = \ | 1−371111−23 \ |

−10

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

* Нет, этот метод работает только для 2 × 2

и 3 × 3

матриц.Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение. *

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

где

Если мы пишем определитель Dx,

заменяем х

столбец с постоянным столбцом. Если мы пишем определитель Dy,

заменяем на

столбец с постоянным столбцом. Если мы пишем определитель Dz,

заменяем z

столбец с постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

x + y − z = 63x − 2y + z = −5x + 3y − 2z = 14

Используйте правило Крамера.

D = \ | 1 1−13−2 11 3−2 \ |, Dx = \ | 61−1−5−2 114 3−2 \ |, Dy = \ | 1 6−13−5 1114−2 \ | , Dz = \ | 1 163−2−51 314 \ |

Затем,

x = DxD = −3−3 = 1y = DyD = −9−3 = 3z = DzD = 6−3 = −2

Решение: (1,3, −2).

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x − 3y + 7z = 13x + y + z = 1 x − 2y + 3z = 4

(-2,35,125)

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

3х − 2у = 4 (1) 6х − 4у = 0 (2)

Начнем с нахождения определителей D, Dx и Dy.

D = \ | 3−26−4 \ | = 3 (−4) −6 (−2) = 0

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель – исключить одну из переменных.

1. Умножим уравнение (1) на −2.
2. Добавьте результат к уравнению (2).

−6x + 4y = −8 6x − 4y = 0 \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ 0 = −8

Получаем уравнение 0 = −8,

, что неверно. Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. [Ссылка].

Используйте правило Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

x − 2y + 3z = 0 (1) 3x + y − 2z = 0 (2) 2x − 4y + 6z = 0 (3)

.

Давайте сначала найдем определитель.Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\ | 1−2331−22−46 \ | 1−2312−4 \ |

Затем,

1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) – (- 4) (- 2) (1) −6 (3) (- 2) = 0

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножим уравнение (1) на −2

   и сложите результат в уравнение (3):

   −2x + 4y − 6x = 02x − 4y + 6z = 0 0 = 0

2. Получение ответа 0 = 0,

   утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений.Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой. См. [Ссылка].

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей . Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства детерминантов

1. Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
4. Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
5. Определитель обратной матрицы A − 1

   – величина, обратная определителю матрицы

   А.
6. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Иллюстрация свойств детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

A = [1 230 210 0−1]

Дополнение A

с первыми двумя столбцами.

A = [12302100−1 \ | 100 220]

Затем

det (A) = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) −0 (2) (3) −0 (1) (1) +1 (0) (2) = −2

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая

A = [- 154−3], det (A) = (- 1) (- 3) – (4) (5) = 3−20 = −17B = [4−3−15], det (B) = (4) (5) – (- 1) (- 3) = 20−3 = 17

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

A = [122222−122 \ | 12−1 222] det (A) = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) −2 (2) (1) −2 (2) (2) = 4−4 + 8 + 4−4−8 = 0

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,

A = [1200], det (A) = 1 (0) −2 (0) = 0

Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы A − 1

– это величина, обратная определителю A.

Таким образом,

A = [1234], det (A) = 1 (4) −3 (2) = – 2A − 1 = [- 2132−12], det (A − 1) = – 2 (−12) – (32) (1) = – 12

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

A = [1234], det (A) = 1 (4) −2 (3) = – 2B = [2 (1) 2 (2) 34], det (B) = 2 (4) −3 (4) = −4

Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

2x + 4y + 4z = 2 (1) 3x + 7y + 7z = −5 (2) x + 2y + 2z = 4 (3)

Используя правило Крамера , получаем

D = \ | 244377122 \ |

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и прибавьте результат к уравнению (1).

   −2x − 4y − 4x = −8 2x + 4y + 4z = 2 0 = −6

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Ключевые понятия

• Определитель для [abcd]

  –

  . ad − bc.

  См. [Ссылка].

• Правило Крамера заменяет переменный столбец постоянным столбцом. Решения х = DxD, y = DyD.

  См. [Ссылка].

• Чтобы найти определитель матрицы 3 × 3, дополните ее первыми двумя столбцами.Сложите три диагональных входа (верхний левый нижний правый) и вычтите три диагональных входа (нижний левый верхний правый). См. [Ссылка].
• Чтобы решить систему трех уравнений с тремя переменными с использованием правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого желаемого решения: х = DxD, у = DyD, z = DzD.

  См. [Ссылка].

• Правило Крамера также полезно для поиска решения системы уравнений без решения или с бесконечными решениями. См. [Ссылка] и [ссылка].
• Некоторые свойства определителей полезны для решения задач. Например:

Упражнения по разделам

Словесный

Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

Определитель – это сумма и произведения элементов матрицы, поэтому вы всегда можете оценить этот продукт, даже если в конечном итоге он окажется равным 0.

Исследуя правило Крамера, объясните, почему не существует единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0.Для простоты используйте 2 × 2

Матрица

.

Объясните, что в терминах обратного значения для матрицы означает наличие определителя 0.

Обратного не существует.

Определитель 2 × 2

матрица A

равно 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6, а вторую строку на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.

Алгебраические

Найдите определитель для следующих упражнений.

\ | −2−33.14,000 \ |

−7 990,7

\ | −214−42−82−8−3 \ |

224

\ | 6−12−4−3519−1 \ |

\ | 51−12313−6−3 \ |

15

\ | 1.12−1−4004.1−0.42.5 \ |

\ | 2−1.63.11.13−8−9.302 \ |

−17,03

\ | −12131415−16170018 \ |

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

2x − 3y = −14x + 5y = 9

(1,1)

6x − 3y = 2 −8x + 9y = −1

(12,13) ​​

4x + 3y = 23 2x − y = −1

(2,5)

10x − 6y = 2 −5x + 8y = −1

4x − 3y = −32x + 6y = −4

(-1, -13)

4x + 10y = 180 −3x − 5y = −105

(15,12)

8x − 2y = −3−4x + 6y = 4

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений с помощью правила Крамера.

x + 2y − 4z = −1 7x + 3y + 5z = 26 −2x − 6y + 7z = −6

(1,3,2)

−5x + 2y − 4z = −47 4x − 3y − z = −94 3x − 3y + 2z = 94

4x + 5y − z = −7−2x − 9y + 2z = 8 5y + 7z = 21

(−1,0,3)

4x − 3y + 4z = 105x − 2z = −23x + 2y − 5z = −9

4x − 2y + 3z = 6 −6x + y = −22x + 7y + 8z = 24

(12,1,2)

5x + 2y − z = 1 −7x − 8y + 3z = 1,56x − 12y + z = 7

13x − 17y + 16z = 73 −11x + 15y + 17z = 61 46x + 10y − 30z = −18

(2,1,4)

−4x − 3y − 8z = −7 2x − 9y + 5z = 0.5 5x − 6y − 5z = −2

4x − 6y + 8z = 10 −2x + 3y − 4z = −5 x + y + z = 1

4x − 6y + 8z = 10 −2x + 3y − 4z = −5 12x + 18y − 24z = −30

Технологии

Для следующих упражнений используйте детерминантную функцию в графической утилите.

\ | 10210−

−2−1011−2 \ |

\ | 1217401210050022,0000002 \ |

1

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения.Затем вычислите определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, найдите уникальное решение.

Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

Два числа в сумме дают 104. Если вы сложите два раза первое число плюс два раза второе число, ваша сумма составит 208

Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго. Третье число на 4 больше, чем первое.

Три числа добавляют к 216.Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше, чем первые два числа вместе взятые.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

Вы вкладываете 10 000 долларов в два счета, которые получают 8% годовых и 5% годовых. В конце года на ваших комбинированных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждую учетную запись?

7000 долларов на первом счете, 3000 долларов на втором счете.

Вы вкладываете 80 000 долларов в два счета, 22 000 долларов в один и 58 000 долларов в другой. В конце года, если исходить из простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Какие процентные ставки по вашим счетам?

Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детские билеты 5 долларов.95, билеты для взрослых стоят 11,15 долларов, а общая сумма выручки составила 12 756 долларов. Сколько билетов для детей и взрослых было продано?

120 детей, 1080 взрослых

Концертная площадка продает одиночные билеты по 40 долларов каждый и билеты для пар по 65 долларов. Если общий доход составил 18 090 долларов и был продан 321 билет, сколько разовых билетов и сколько билетов для пар было продано?

Вы решили покрасить свою кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски.Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета было добавлено в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

Вы продали два типа шарфов на фермерском рынке и хотите знать, какой из них пользуется большей популярностью. Всего было продано 56 шарфов, желтый платок стоил 10 долларов, а фиолетовый – 11 долларов.Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых и фиолетовых шарфов было продано?

В вашем саду выращивали два вида помидоров: зеленый и красный. Красный весит 10 унций, а зеленый – 4 унции. У вас 30 помидоров, а общий вес составляет 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

13 зеленых помидоров, 17 красных помидоров

На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей.Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, у которой на 5% больше продаж, чем у лука. Какую долю занимает каждый овощ на рынке?

На этом же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества проданных фруктов. Клубника продается вдвое больше, чем апельсины, а киви продаются на один процентный пункт больше, чем апельсины. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

Клубника 18%, апельсины 9%, киви 10%

Три ансамбля выступили на концертной площадке.Первый диапазон взимал 15 долларов за билет, второй диапазон – 45 долларов за билет, а последний диапазон – 22 доллара за билет. Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй, сколько билетов было продано каждой группе?

В кинотеатре продаются билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм – 11 долларов, а третий фильм – 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов.Всего было продано 642 билета, общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

100 для фильма 1, 230 для фильма 2, 312 для фильма 3

Мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет в прошлом году составляли 78% заключенных. В этом году эти же возрастные группы составили 82,08% населения. Возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась до 34

от их предыдущего населения.Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 2% больше заключенных, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процентную долю заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

В женской тюрьме по дороге общее количество заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составило 5 525 человек. В этом году возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30–39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40–49 лет увеличилась вдвое. Сейчас в тюрьме 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет их было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы за прошлый год.

20–29: 2,100, 30–39: 2,600, 40–49: 825

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает сделать смесь из миндаля, сушеной клюквы и кешью в шоколаде. Информация о питательной ценности этих продуктов представлена ​​в [ссылка].

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0.02	0	8
Кешью (10)	7	3,5	5,5

Для специальной «низкоуглеводной» смеси для трейлов имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов – 425 г, а общее количество жиров – 570,2 г. Если кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Для «походной» смеси в смеси 1000 штук, содержащих 390 штук.8 г жира и 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько и кешью, сколько каждого из них входит в состав смеси?

300 миндальных орехов, 400 клюквы, 300 кешью

Для смеси «усилитель энергии» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если сумма миндальных орехов и кешью эквивалентна количеству клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Обзор упражнений

Системы линейных уравнений: две переменные

Для следующих упражнений определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

3x − y = 4x + 4y = −3

и (−1,1)

6x − 2y = 24−3x + 3y = 18

и (9,15)

В следующих упражнениях используйте подстановку для решения системы уравнений.

10x + 5y = −5 3x − 2y = −12

(−2,3)

47x + 15y = 437056x − 13y = −23

В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи.Решите систему уравнений.

Завод имеет себестоимость производства C (x) = 150x + 15,000

и функция дохода R (x) = 200x.

Что такое точка безубыточности?

(300 60 000)

Взимает исполнителя C (x) = 50x + 10,000,

где x

– это общее количество посетителей выставки. Место проведения взимает 75 долларов за билет. После того, как сколько людей купит билеты, место проведения станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

(400 30 000)

Системы линейных уравнений: три переменные

Для следующих упражнений решите систему трех уравнений, используя замену или сложение.

0,5x − 0,5y = 10 −0,2y + 0,2x = 4 0,1x + 0,1z = 2

(10, -10,10)

5x + 3y − z = 5 3x − 2y + 4z = 134x + 3y + 5z = 22

2x − 3y + z = −1 x + y + z = −4 4x + 2y − 3z = 33

3x + 2y − z = −10 x − y + 2z = 7 − x + 3y + z = −2

(-1, -2,3)

3x + 4z = −11x − 2y = 5 4y − z = −10

2x − 3y + z = 02x + 4y − 3z = 06x − 2y − z = 0

(х, 8×5,14×5)

6x − 4y − 2z = 23x + 2y − 5z = 46y − 7z = 5

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи.Решите систему уравнений.

Три нечетных числа в сумме дают 61. Меньшее на треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

Местный театр распродает билеты на их спектакль. Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 долларов. Билеты стоили 15 долларов для студентов, 12 долларов для детей и 18 долларов для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем детских, сколько билетов каждого типа было продано?

Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные

Для следующих упражнений решите систему нелинейных уравнений.

у = x2−7y = 5x − 13

(2, −3), (3,2)

х2 + у2 = 16 у = х-8

х2 + у2 = 25 у = х2 + 5

Для следующих упражнений нарисуйте неравенство в виде графика.

14×2 + y2 <4

! [] (../ resources / CNX_Precalc_Figure_09_08_202.jpg)

Для следующих упражнений нарисуйте систему неравенств.

x2 + y2 + 2x <3 y> −x2−3

x2−2x + y2−4x <4 y <−x + 4

! [] (../resources/CNX_Precalc_Figure_09_08_204.jpg)

х2 + у2 <1 у2 <х

Частичные дроби

Для следующих упражнений разложите на частичные дроби.

−2x + 6×2 + 3x + 2

2x + 2, −4x + 1

7x + 20×2 + 10x + 25

7х + 5, −15 (х + 5) 2

−x2 + 36x + 70×3−125

3x − 5, −4x + 1×2 + 5x + 25

x3−4×2 + 3x + 11 (x2−2) 2

х-4 (х2-2), 5х + 3 (х2-2) 2

4×4−2×3 + 22×2−6x + 48x (x2 + 4) 2

Матрицы и матричные операции

Для следующих упражнений выполните требуемые операции с заданными матрицами.

A = [4−213], B = [67−311−24], C = [6711−2140], D = [1−49105−7285], E = [7−1432−13019]

В + С

undefined; размеры не соответствуют

BA

undefined; внутренние размеры не соответствуют

CB

[11328104481-418498-42]

ED

[−127−74176−21140287738]

CE

undefined; внутренние размеры не соответствуют

Решение систем с исключением Гаусса

Для следующих упражнений напишите систему линейных уравнений из расширенной матрицы.Укажите, будет ли уникальное решение.

[10−3012000 \ | 7−50]

x − 3z = 7y + 2z = −5

с бесконечными решениями

[10501−2000 \ | −943]

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу из системы линейных уравнений.

−2x + 2y + z = 72x − 8y + 5z = 019x − 10y + 22z = 3

[−2212−8519−1022 \ | 703]

4x + 2y − 3z = 14−12x + 3y + z = 100 9x − 6y + 2z = 31

х + 3z = 12 −x + 4y = 0 y + 2z = −7

[103−140012 \ | 120-7]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.

−1,1x − 2,3y = 6,2−5,2x − 4,1y = 4,3

2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 0

−x + 2y − 4z = 8 3y + 8z = −4−7x + y + 2z = 1

Решающие системы с инверсными элементами

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

[-0,21,41,2-0,4]

18 [2761]

Для следующих упражнений найдите решения, вычислив обратную матрицу.

0.3x − 0,1y = −10−0,1x + 0,3y = 14

(-20,40)

0,4x − 0,2y = −0,6−0,1x + 0,05y = 0,3

4x + 3y − 3z = −4,35x − 4y − z = −6,1x + z = −0,7

(−1,0,2,0,3)

−2x − 3y + 2z = 3 − x + 2y + 4z = −5−2y + 5z = −3

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты. 90% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов.Если апельсины были наполовину популярнее бананов, а яблоки были на 5% популярнее бананов, каков процент каждого отдельного фрукта?

17% апельсинов, 34% бананов, 39% яблок

Женское общество провело распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавало пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 2 доллара и печенье с шоколадной крошкой в ​​1 доллар. Они собрали 250 долларов и продали 175 вещей. Сколько было продано пирожных и печенья?

Решение систем с правилом Крамера

Найдите определитель для следующих упражнений.

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения линейных систем уравнений.

4x − 2y = 23 −5x − 10y = −35

(6,12)

0,2x − 0,1y = 0−0,3x + 0,3y = 2,5

-0,5x + 0,1y = 0,3 -0,25x + 0,05y = 0,15

x + 6y + 3z = 42x + y + 2z = 33x − 2y + z = 0

4x − 3y + 5z = −527x − 9y − 3z = 32 x − 5y − 5z = 52

(0,0, −12)

310x − 15y − 310z = −1501 10x − 110y − 12z = −95025x − 12y − 35z = −15

Практический тест

Является ли следующая упорядоченная пара решением системы уравнений?

−5x − y = 12 x + 4y = 9

с (−3,3)

Для следующих упражнений решите системы линейных и нелинейных уравнений с помощью замены или исключения.Укажите, если решения не существует.

5x − y = 1 −10x + 2y = −2

4x − 6y − 2z = 110 x − 7y + 5z = −143x + 6y − 9z = 65

120 (10,5,4)

5x − 4y − 3z = 02x + y + 2z = 0x − 6y − 7z = 0

(х, 16×5−13×5)

y2 + x2 = 25y2−2×2 = 1

(−22, −17), (- 22,17), (22, −17), (22,17)

Для следующих упражнений нарисуйте следующие неравенства.

х2 + у2> 4у <х2 + 1

! [] (../ resources / CNX_Precalc_Figure_09_08_207.jpg)

Для следующих упражнений напишите разложение на частную дробь.

13x + 2 (3x + 1) 2

53x + 1−2x + 3 (3x + 1) 2

Для следующих упражнений выполните указанные матричные операции.

5 [49−23] +12 [−6124−8]

[1751−811]

[14−7−295120−4] [3−413510]

[12131415] -1

[12−20−1530]

det \ | 12−120−120120120 \ |

−18

Если det (A) = – 6,

что было бы определителем, если бы вы поменяли местами строки 1 и 3, умножили вторую строку на 12 и взяли обратное?

Перепишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

14x − 2y + 13z = 140−2x + 3y − 6z = −1x − 5y + 12z = 11

[14−213−23−61−512 \ | 140−111]

Перепишите расширенную матрицу как систему линейных уравнений.

[103−249−612 \ | 12−58]

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения систем уравнений.

2x + y + z = −3x − 2y + 3z = 6 x − y − z = 6

В следующих упражнениях используйте обратную матрицу для решения систем уравнений.

4x − 5y = −50 − x + 2y = 80

(100,90)

1100x − 3100y + 120z = −493100x − 7100y − 1100z = 13 9100x − 9100y − 9100z = 99

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения систем уравнений.

200x − 300y = 2400x + 715y = 4

(1100,0)

0,1x + 0,1y − 0,1z = −1,20,1x − 0,2y + 0,4z = −1,20,5x − 0,3y + 0,8z = −5,9

Для следующих упражнений решите, используя систему линейных уравнений.

Завод по производству сотовых телефонов выполняет следующие функции затрат и доходов: C (x) = x2 + 75x + 2,688

и R (x) = x2 + 160x.

Какой ассортимент сотовых телефонов они должны производить каждый день, чтобы получать прибыль? Округлите до ближайшего числа, приносящего прибыль.

32 и более сотовых телефона в день

Небольшая ярмарка взимает 1,50 доллара для студентов, 1 доллар для детей и 2 доллара для взрослых. За один день пришло в три раза больше детей, чем взрослых. Было продано 800 билетов на общую выручку в 1050 долларов. Сколько билетов каждого типа было продано?

Глоссарий

Правило Крамера

метод решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные, с использованием определителей

определитель

число, вычисленное с использованием элементов квадратной матрицы, которая определяет такую ​​информацию, как наличие решения системы уравнений

---

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 Международная лицензия.

Вы также можете бесплатно скачать по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

Как решать системы уравнений с использованием правила Крамера

Этот урок не только освежит память читателей об основных методах решения системы уравнений, но и познакомит их с более сложной стратегией, включающей матрицы и детерминанты. Названный в честь своего автора Габриэля Крамера, этот метод широко известен как правило Крамера.

Что такое правило Крамера?

Предположим, у нас есть система уравнений с двумя переменными

топор + by = e

cx + dy = f

Мы можем переписать эту систему в матричных обозначениях как:

где

Правило Крамера гласит:

Примечание. Нам нужно заменить первый столбец определителя коэффициента элементами постоянной матрицы, чтобы найти x, и заменить второй столбец на него, чтобы найти y.

Аналогично для системы уравнений с тремя переменными

топор + by + cz = j

dx + ey + fz = k

gx + hy + iz = l

Правило Крамера гласит:

Примечание. Нам нужно заменить первый, второй и третий столбцы определителя коэффициента элементами постоянной матрицы, чтобы найти x, y и z соответственно.

Решение систем уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Давайте решим эту линейную систему с двумя переменными, используя правило Крамера.

3х + у = 1

х – 2у = 5

Во-первых, нам нужно оценить определитель матрицы коэффициентов.

Определитель матрицы коэффициентов:

= 3 (–2) – 1 (1)

= –6 – 1

Δ = –7

У нас есть определитель коэффициентов, отличный от нуля. Перейдем к следующему шагу: решению относительно x.

Примечание: Когда Δ = 0, система либо не имеет решения, либо бесконечно много решений.В этом случае правило Крамера неприменимо.

Когда мы заменяем столбец x определителя коэффициента постоянной матрицей, получаем:

= 1 (–2) – 1 (5)

= –2 – 5

Δx = –7

Когда мы заменяем y-столбец определителя коэффициента постоянной матрицей, мы получаем:

= 3 (5) – 1 (1)

= 15–1

Δy = 14

Теперь мы готовы применить правило Крамера.По правилу имеем:

x = Δx Δ , y = Δy Δ

Подставляя соответствующие значения, получаем:

x = –7 –7 , y = 14 –7

⇨ x = 1, y = –2

Таким образом, решение нашей системы (1, –2).

Теперь, когда мы разобрались с шагами, давайте применим правило к системе уравнений с 3 переменными.

Решение систем уравнений с тремя переменными с использованием правила Крамера

Правило Крамера – наиболее эффективный метод решения систем из 3 или более уравнений, поскольку все другие методы включают в себя серию шагов.Основное преимущество состоит в том, что мы можем решить для любой одной переменной, и нам не нужно решать всю систему.

Давайте решим эту систему, используя правило Крамера.

х + у + 2z = 6

2x + y + 3z = 10

x + 2y – z = –20

Для решения этой системы с использованием правила Крамера определитель матрицы коэффициентов должен быть ненулевым числом. Давайте проиллюстрируем это.

= 1 (–1 – 6) – 1 (–2 – 3) + 2 (4 – 1)

= 1 (–7) – 1 (–5) + 2 (3)

= –7 + 5 + 6

Δ = 4

Δ ≠ 0; так что давайте продолжим поиск Δx, Δy и Δz.

= 6 (–1 – 6) – 1 (–10 + 60) + 2 (20 + 20)

= 6 (–7) – 1 (50) + 2 (40)

= –42 – 50 + 80

Δx = –12

= 1 (–10 + 60) – 6 (–2 – 3) + 2 (–40 – 10)

= 1 (50) – 6 (–5) + 2 (–50)

= 50 + 30 – 100

Δy = –20

= 1 (–20 – 20) – 1 (–40 – 10) + 6 (4 – 1)

= 1 (–40) – 1 (–50) + 6 (3)

= –40 + 50 + 18

Δz = 28

Теперь применим правило Крамера.

x = Δx Δ , y = Δy Δ , z = Δz Δ

Подставляя соответствующие значения, получаем:

x = –12 4 , y = –20 4 , z = 28 4

x = –3, y = –5, z = 7

Таким образом, решение нашей системы (–3, –5, 7).

Пример

Решите относительно z, используя правило Крамера.

–y + z = –3 – 7x

5лет – z = 26 – 2x

y – 2z = –24 – 8x

Преобразование уравнений в стандартную форму:

7x – y + z = –3

2x + 5y – z = 26

8x + y – 2z = –24

= 7 (–10 + 1) + 1 (–4 + 8) + 1 (2-40)

= 7 (–9) + 1 (4) + 1 (–38)

= –63 + 4 – 38

Δ = –97

Решение относительно z с использованием правила Крамера:

z = Δz Δ

= 7 (–120–26) + 1 (–48–208) – 3 (2–40) –97

= 7 (–146) + 1 (–256) – 3 (–38) –97

= –1 022 – 256 + 114 –97

= –1 164 –97

г = 12

Таким образом, значение переменной z равно 12.

Мгновенно вычисляйте детерминанты 3×3 с помощью калькулятора детерминантов!

Заполните элементы матрицы 3×3 и мгновенно найдите ее определитель!

Представлять на рассмотрение

Краткий обзор!

• Правило Крамера эффективно при решении систем уравнений с 3 или более переменными.

• Правило Крамера помогает нам решать любую конкретную переменную, и нам не нужно каждый раз решать всю систему.

• Мы можем применить правило Крамера, только когда Δ ≠ 0.

• При Δ = 0 система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

---

Пройдите тест по решению систем уравнений с помощью правила Крамера прямо сейчас!

К сожалению, ваш ответ неверен.

Ответ:

Система линейных уравнений | Реальная статистика с использованием Excel

Определение 1 : Набор из n линейных уравнений

в k неизвестных x _j можно рассматривать как матричное уравнение AX = C , где A – это матрица n × k [ a _ij ], X – вектор-столбец k × 1 [ x _j ] и C – это n × 1 вектор-столбец [ c _j ].

Свойство 1 : Если A является квадратной матрицей (т. Е. Количество уравнений равно количеству неизвестных), уравнение AX = C имеет уникальное решение тогда и только тогда, когда A обратимо. (т.е. det A ≠ 0), и в этом случае уникальное решение дается формулой X = A ^-1 C.

Свойство 2 ( Правило Крамера ): Если квадратная матрица является обратимым, уникальное решение для AX = C дается как

, где A _j равно A с j -й столбец заменен записями C .

Пример 1 : Решите следующую линейную систему, используя правило Крамера:

На рисунке 2 мы вычисляем det A и det A _j для каждого j .

Рисунок 1. Вычисление определителя с использованием правила Крамера

Отсюда следует, что x = -6/9 = -2/3, y = 3/9 = 1/3 и z = 0/9 = 0.

Для свойства 1 мы можем получить тот же результат, вычислив A ^-1 C , что можно выполнить в Excel по формуле = MMULT (MINVERSE ( A ), C ) .Для Примера 1 это дает

Определение 2 : Когда C из Определения 1 не является нулевой матрицей, тогда линейные уравнения называются гетерогенными . Когда C = Ο , линейные уравнения называются однородными . В этом случае Ο является решением AX = Ο , называемым тривиальным решением .

Свойство 3 : Если A обратимо, то X = Ο является единственным решением AX = Ο .

Доказательство: это следует из свойства 1.

Наблюдение : Когда A не обратимо (т.е. det A = 0), любое скалярное кратное нетривиального решения однородного уравнения AX = Ο тоже решение. Чтобы найти такое решение, мы можем использовать метод исключения Гаусса, метод, аналогичный тому, который мы использовали для вычисления определителя квадратной матрицы на основе свойства 5 детерминантов и линейных уравнений. Этот подход работает для любого A (квадратного или непрямого, обратимого или нет).

Определение 3 : Если A представляет собой матрицу n × k и B представляет собой матрицу n × m , то расширенная матрица A | B – это матрица n × ( k + m ), первые k столбца которой идентичны столбцам в A , а остальные m столбца идентичны столбцам в B .

Свойство 4 : Если A ‘ и C’ получены из A и C на основе любого из следующих преобразований, тогда уравнения AX = C и A’X = C ′ имеют такие же решения.

1. Обмен любыми двумя строками
2. Умножение любой строки на константу
3. Добавление любой строки, умноженной на константу, в другую строку

Наблюдение : Обычно мы применяем вышеуказанные преобразования к расширенной матрице A | С .

Определение 4 : Метод исключения Гаусса – это способ решения линейных уравнений, основанный на преобразованиях, описанных в Свойстве 9.Предположим, что A и C соответствуют определению 1.

Шаг 0 – установите i = 1 и j = 1

Теперь применим следующую серию преобразований к расширенной матрице (шаги с 1 по шаг p , где p является меньшим из n и k ):

Шаг i – часть 1: Найдите r ≥ i , чтобы абсолютное значение a _rj – самый большой.Если a _rj ≈ 0 (т. Е. | a _rj | <ϵ, где ϵ - некоторое заранее определенное малое значение), то если j = n завершить процедуру; в противном случае замените j на j + 1 и повторите шаг i. Если не a _rj ≈ 0 и r > k , то поменяйте местами строки r и i (правило 1).

Шаг i – часть 2: Разделите все записи в строке i на a _ij (правило 2).

Шаг i – часть 3: Для каждой строки r под строкой i добавьте – a _rj раза строку i к строке r (правило 3). Это гарантирует, что a _rc = 0 для всех r > i и c ≤ j .

Наблюдение : Для неоднородных уравнений (например, C ≠ Ο ) есть три возможности: существует бесконечное количество решений, нет решений или существует единственное решение.Для однородных уравнений (например, C = ) есть две возможности: существует бесконечное количество решений или существует единственное решение, а именно тривиальное решение, где X = Ο .

Пример 2 : Решите следующую линейную систему с использованием исключения Гаусса:

На рисунке 2 показаны этапы процесса исключения Гаусса для примера 2.

Рисунок 2 – Решение линейных уравнений с использованием исключения Гаусса

Так как A преобразуется в единичную матрицу, мы знаем, что преобразование C является единственным решением системы линейных уравнений, а именно x = 0, y = 2 и z = -1.Обратите внимание, что мы получаем тот же результат, вычисляя X = A ^-1 C .

Пример 3 : Решите следующую однородную линейную систему с помощью исключения Гаусса:

Методом исключения Гаусса из рисунка 3 мы видим, что единственным решением является тривиальное решение:

Рисунок 3 – Решение однородного линейного уравнения

Пример 4 : Решите следующую однородную линейную систему с помощью исключения Гаусса:

На этот раз метод исключения Гаусса дает строку со всеми нулями (см. Рисунок 4), а количество ненулевых строк = 2 <3 неизвестных .Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Рисунок 4 – Поиск решений однородных линейных уравнений

Решения могут принимать форму x = -2,5 t , y = 0,5 t , z = t для любого Стоимость т .

Наблюдение : Как мы видим из приведенных выше примеров, однородное уравнение AX = O , где A представляет собой матрицу м × n , имеет уникальное решение, когда имеется n не -нулевые строки после выполнения исключения по Гауссу.В противном случае уравнение имеет бесконечное количество решений.

Функции Excel для реальной статистики : Для выполнения процедуры исключения Гаусса предусмотрены следующие функции массива.

ELIM (R1, prec ): функция массива, которая выводит результаты исключения Гаусса на расширенной матрице, найденной в массиве R1. Форма вывода такая же, как форма R1.

LINEQU (R1, Prec ): функция массива, которая возвращает вектор-столбец n × 1 с уникальным решением уравнений, определяемых расширенной матрицей m × ( n +1), найденной в массив R1; возвращает вектор, состоящий из # N / A! если нет решения и вектор, состоящий из # ЧИСЛО! если существует бесконечное количество решений.

По умолчанию каждая из этих функций предполагает, что запись с абсолютным значением меньше 0,0001 эквивалентна нулю. Это необходимо, поскольку малые значения не рассматриваются как ноль в алгоритме исключения Гаусса, описанном выше. Вы можете изменить это значение по умолчанию на другое, вставив второй параметр в любую из этих функций: например, ELIM (R1, до ) или LINEQU (R1, до ). Таким образом, ELIM (R1) = ELIM (R1, 0,0001).

Инструмент анализа данных реальной статистики : Набор решения линейных уравнений Инструмент анализа данных , содержащийся в пакете ресурсов реальной статистики, обеспечивает функциональность, эквивалентную LINEQU и ELIM.Чтобы использовать этот инструмент, введите Ctrl-m и выберите в меню Решить набор линейных уравнений . Когда появится диалоговое окно, заполните Input Range (с тем же диапазоном, что и R1 выше). Выбор Показать только решение эквивалентен LINEQU (R1), в то время как не щелкать по этой опции эквивалентно ELIM (R1).

Наблюдение : Исключение Гаусса также можно использовать для инвертирования квадрата n × n матрицы A , применяя описанную выше процедуру к A | Я _№ .Если процедура завершается до того, как будет выполнено n шагов, тогда A не обратимо. Если процедура завершается после n шагов (в этом случае A ′ = I _n ), то C ′ = A ^-1 .

Пример 5: Использование исключения Гаусса для инвертирования матрицы

Результат показан на рисунке 5.

Рисунок 5 – Инверсия матрицы с использованием исключения Гаусса

Тот факт, что A преобразуется в единичная матрица указывает, что A является обратимым.Обратное значение дает преобразование единичной матрицы, а именно

. Это тот же результат, что и при использовании формулы Excel MINVERSE ( A ).

Наблюдение : Как мы видели в примере 4, иногда существует бесконечное количество решений системы линейных уравнений, каждое из которых выражается как кратное одному решению.