Решить неоднородную систему линейных уравнений методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

4.2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим ещё один метод решения систем линейных уравнений (17). С помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы (17) может быть приведена к виду

. (21)

Эта матрица является расширенной матрицей системы

(22)

которая эквивалентна исходной системе (17). Проанализируем систему уравнений (22).

Если хотя бы одно из чисел ,…, отлично от нуля, то система (22), а следовательно, и система (17) несовместны, так как .

Если же …, то система совместна, так как , и из системы (22) можно выразить базисные неизвестные, в данном случае через свободные неизвестные .

4.2.1 Пример. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы (20).

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы уравнений (20)

приведём к виду, подобному (21):

.

Очевидно, что (система уравнений (20) совместна). Выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Тогда , – базисные неизвестные, и – свободные неизвестные. Запишем систему уравнений, которая является эквивалентной исходной и соответствует полученной расширенной матрице:

Выразим из второго уравнения системы базисную переменную через свободную и аналогичным образом из первого уравнения найдём базисную переменную как функцию свободных переменных и :

, .

Теперь пусть , , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

.

4.2.2 Пример. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к виду

.

Итак, (система уравнений совместна и имеет единственное решение, так как ). Полученной матрице соответствует система

которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что , , . Итак, общее решение .

4.3 Упражнения

4.3.1 Исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее и одно частное решение:

4.3.2 Методом Гаусса исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее решение:

4.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 5, § 4], [2, гл. 1, § 1.11, § 1.16 – 1.17], [3, гл. 3, § 3.4, § 3.7].

4.4.1 Исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее решение:

5 Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Цель занятия: выработка навыков построения фундаментальной системы решений и общих решений однородной и неоднородной систем уравнений.

5.1 Структура общего решения однородных и неоднородных систем

5.1.1 Определение. Если в (17) , то система уравнений называется однородной и имеет вид:

(23)

Система (23) всегда совместна, т. к. она имеет нулевое (тривиальное) решение . Приведём условия, при которых система (23) имеет ненулевые решения.

5.1.2 Теорема. Для того чтобы система (23) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Отсюда следует, что если , то нулевое решение будет единственным решением системы (23). Если же , то система (23) в соответствии с (п. 4.1.2.4) имеет бесконечно много решений. Предположим, что и – базисные неизвестные системы (23), – свободные неизвестные. Тогда общее решение системы (23) будет иметь вид (19). Выберем решений (23), полученных из общего решения так: одно из значений свободных переменных полагаем равным 1, а остальные – равными 0:

, , …, .

(24)

Эти решения образуют систему решений однородной системы (23), обладающую следующим свойством: произвольное решение системы (23) может быть единственным образом представлено в виде

, (25)

где некоторые числа.

5.1.3 Определение. Любой набор из решений однородной системы (23), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы (23).

Формула (25) определяет структуру общего решения однородной системы (23).

5.1.4 Определение. Если в (17) среди свободных членов () хотя бы один отличен от нуля, то система уравнений называется неоднородной.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений определяется следующей теоремой.

5.1.5 Теорема. Общее решение неоднородной системы может быть представлено в виде

, (26)

где – частное решение неоднородной системы уравнений,

– общее решение соответствующей однородной системы.

5.1.6 Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение.

Имеем , . В качестве базисного минора возьмём . Наша система эквивалентна следующей:

где , – базисные неизвестные;

, – свободные неизвестные.

Откуда

; .

Теперь пусть , , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

.

Из общего решения находим фундаментальную систему решений:

, .

С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде .

5.1.7 Пример. Найти общее решение неоднородной системы уравнений, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной:

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к виду

.

Имеем , . В качестве базисного минора возьмём . Наша система эквивалентна следующей:

где – базисные неизвестные;

– свободные неизвестные.

Откуда

; .

Теперь пусть , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

,

т. е. , где – частное решение, а столбцы , , образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

Системы линейных алгебраических уравнений – презентация онлайн

1. Системы линейных алгебраических уравнений

Виды систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ)
Решение СЛАУ в матричном виде
Решение СЛАУ методом Крамера
Решение СЛАУ методом Гаусса
Решение СЛАУ в общем случае

2.

Системы линейных алгебраических уравненийПусть задана система, состоящая из m уравнений
с n неизвестными вида:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
,
………
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
где
а
(1)
aij , bi , i 1, m, j 1, n – заданные числа,
x1 , x2 ,…, xn – неизвестные

3. Системы линейных алгебраических уравнений

Систему (1) можно записать в виде
ai1 x1 ai 2 x2 … ain xn bi , i 1, m
или
n
a x
j 1
ij
j
bi , i 1, m
Решением системы (1) называется такая
совокупность чисел x1 1 , x2 2 ,…, xn n ,
при подстановки которых каждое уравнение
системы обращается в верное тождество

4. Системы линейных алгебраических уравнений

Система (1) называется совместной, если у нее
существует решение. Если решения нет, то система
называется несовместной.
Система, имеющая единственное решение
называется определенной. Если система имеет более
одного решения, то она называется неопределенной
Система (1) называется однородной, если все
свободные члены в ней равны нулю. В противном
случае она называется неоднородной.

5. Решение СЛАУ в матричном виде

Коэффициенты при неизвестных в уравнениях
системы (1) образуют матрицу размера m n,
которую обозначим
а11 а12
а21 а22
Am n
… …
a а
m1 m 2
… а1n
… а2 n
… …
… аmn
и назовем матрицей системы (1).

6. Решение СЛАУ в матричном виде

Вектор – столбец неизвестных системы (1):
x1
x2
X n 1
…
x
n
Вектор – столбец свободных членов системы (1):
b1
b2
Bm 1
…
b
m

7. Решение СЛАУ в матричном виде

Рассмотрим произведение матриц:
а11
а21
Am n X n 1
…
a
m1
b1
b2
Bm 1
…
b
m
а12 … а1n x1 а11×1 а12 x2 … а1n xn
а22 … а2 n x2 а21×1 а22 x2 … а2 n xn
… … … …
…
аm 2 … аmn xn аm1 x1 аm 2 x2 … аmn xn
Таким образом систему (1) можно
записать в матричном виде:
A X B

8.

Решение СЛАУ в матричном видеРассмотрим случай, когда m=n, то есть
количество уравнений в системе (1) равно
количеству неизвестных. Матрица системы А –
квадратная матрица порядка n.
а11
а21
An n
…
a
n1
b1
x1
а12 … а1n
а22 … а2 n
b2
x2
B
;
X
;
n
1
n
1
… … …
…
…
b
x
аn 2 … аnn
n
n

9. Решение СЛАУ в матричном виде

Будем считать, что матрица А – невырожденная
матрица, то есть А 0
Пусть система записывается в матричном виде
A X B
(2)
У матрицы А существует, причем единственная
1
матрица А
. Умножим слева обе части
1
уравнения (2) на матрицу А .
1
1
А ( A X ) А B
1
1
( А A) X А B
1
Е X А B
1
X n 1 Аn n Bn 1 (3)

10. Решение СЛАУ в матричном виде

Если задано матричное уравнение вида:
X A B
(4)
, то для его решения умножим обе части
уравнения (4) справа на матрицу А 1 .
1
1
( X A) А B А
1
1
X ( A А ) B А
1
X Е А B
1
X B А
(5)

11. Решение СЛАУ методом Крамера

Рассмотрим невырожденную линейную систему
алгебраических уравнений в матричном виде
A X B,
где А – квадратная матрица порядка n и det A 0
1
Решение системы: X A B
Аn1
А21
А11 А21
А11
…
b1
b2
… bn
b1
x1
А
А
А
А
А
n
2
12
22
12
22
x
b
2
2 b1
…
b
… bn
2
…
…
…
… … … …
x А
b А
А
А
А2 n
2n
nn
1n
n
n 1n
…
b2
… bn
b1
Аn1
Аn 2
Аnn

12. Решение СЛАУ методом Крамера

Таким образом, имеем:
1
x1 (b1 А11 b2 А21 … bn Аn1 )
……………………………………………
1
xn (b1 А1n b2 А2 n … bn Аnn )

13. Решение СЛАУ методом Крамера

Составим определитель 1 , который получается
из определителя путем замены первого
столбца столбцом из свободных членов
b1 a12 . .. a1n
1
b2 a22 … a2 n
…
… … …
b1 А11 b2 А21 … bn Аn1 x1
bn an 2 … ann
1
x1

14. Решение СЛАУ методом Крамера

Составим определитель n , который получается
из определителя путем замены n -ого
n
столбца столбцом из свободных членов
a11 a12 … b1
a21 a22 … b2
…
… … …
an1 an 2 … bn
b1 А1n b2 А2 n … bn Аnn xn
n
xn

15. Решение СЛАУ методом Крамера

Таким образом, была доказана следующая
теорема
Пусть – определитель матрицы системы А и
j – определитель матрицы, полученной из
матрицы А заменой j-ого столбца столбцом
свободных членов. Тогда, если 0, то система
имеет единственное решение, определяемое по
формулам Крамера
xj
j
, j 1, n

16. Решение СЛАУ методом Гаусса

Метод последовательного исключения
неизвестных
Этот метод заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной
системе треугольного вида, из которой
последовательно, начиная с последних по
номеру элементов находятся все остальные
элементы

17.

Решение СЛАУ в общем случаеПусть дана произвольная система m линейных
уравнений с n неизвестными
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
,
………
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
(1)

18. Решение СЛАУ в общем случае

Рассмотрим для системы (1) матрицу системы А
и расширенную матрицу А , дополненную
столбцом свободных членов
а11 а12
а21 а22
A
… …
a а
m1 m 2
… а1n
а11 а12
… а2 n
а21 а22
; A
… …
…
…
a а
… аmn
m1 m 2
… а1n b1
… а2 n b2
… … …
… аmn bm

19. Решение СЛАУ в общем случае

Исследуем систему (1) на совместность
Для того, чтобы система (1) была совместна
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
системы был равен рангу расширенной матрицы
r ( A) r ( A)

20. Решение СЛАУ в общем случае

Из теоремы Кронекера-Капелли следует:
1. Если r ( A) r ( A) , то система (1) несовместна,
то есть не имеет решения.
2. Если r ( A) r ( A) n (n – число неизвестных
системы), то система имеет единственное
решение, которое можно найти, например, по
формулам Крамера.
3. Если r ( A) r ( A) n , то система (1) имеет
бесконечно много решений.

21. Пример

Исследовать систему на совместность
x1 x2 x4 1
x3 3
x1 x2 x3 x4 0
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
A 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3 ~ 0 0 1 0 3
1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 4
r ( A) 3; r ( A) 2 r ( A) r ( A)
система несовместна

22. Решение систем линейных неоднородных уравнений

Алгоритм построения общего решения
неоднородной системы
1.Вычислить r (A) иr (A ) и установить совместность
системы (1). Пусть r ( A) r ( A) r .
2. Выделим в матрице А базисный минор:
а11
а
21
…
ar1
а12
а22
…
аr 2
…
…
…
…
а1r
а2 r 0
…
аrr
(считаем, что он расположен в левом верхнем
углу матрицы А)

23. Решение систем линейных неоднородных уравнений

3.
Рассмотрим уравнения системы (1),
соответствующие базисному минору. Их будет r.
4. Неизвестные x1 , x2 ,…, xr , коэффициенты
которых соответствуют базисному минору,
назовем базисными.
Неизвестные xr 1 , xr 2 ,…, xn назовем свободными.

24. Решение систем линейных неоднородных уравнений

5.
Запишем уравнения системы (1),
соответствующие базисному минору, в виде:
слагаемые с базисными переменными оставим
в левой части, а слагаемые со свободными
переменными перенесем вправо:
a11 x1 a12 x2 … a1r xr b1 a1r 1 xr 1 … a1n xn
a x a x … a x b a x … a x
21 1 22 2
2r r
2
2 r 1 r 1
2n n
………
ar1 x1 ar 2 x2 … arr xr br arr 1 xr 1 … arn xn

25. Решение систем линейных неоднородных уравнений

6.
Обозначим свободные переменные
xr 1 с1 , xr 2 с2 ,…, xn сn r
Выразим базисные переменные x1 , x2 ,…, xr по
формулам Крамера через параметры с1 , с2 ,…, сn r :
x1 x1 (c1 , c2 ,. .., cn r )
x x (c , c ,…, c )
2
2 1 2
n r
…..
xr xr (c1 , c2 ,…, cn r )

26. Решение систем линейных неоднородных уравнений

В результате получим решение системы (1),
которое называю общим решением системы.
Если придать свободным переменным
конкретные числовые значения, то получим
частное решение системы (1).

27. Пример

Найти общее и указать некоторое частное
решение системы
x1 5 x2 4 x3 3×4 1
2 x1 x2 2 x3 x4 0
5 x1 3×2 8 x3 x4 1
1 5 4 3 1 1 5 4 3 1 1 5 4 3 1
A 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 ~ 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1 4 2 4 2 0
r ( A) 2; r ( A) 2 r ( A) r ( A)
система совместна

28. Пример

Базисный минор:
1
2
5 1 10 11 0
1
Система из двух уравнений, соответствующих
базисному минору:
x1 5 x2 4 x3 3 x4 1
2x x 2x x 0
3
4
1 2
x1 , x2 – базисные переменные
x3 , x4 – свободные переменные

29. Пример

Базисные переменные модели выразим через
свободные:
x1 5 x2 1 4 x3 3 x4
2 x x 2 x x
3
4
1 2
Обозначим свободные переменные:
x3 с1 , x4 с2
Имеем:
x1 5 x2 1 4с1 3с2
2 x x 2с с
1
2
1 2

30.

ПримерВыразим базисные переменные по формулам
Крамера через параметры с1 , с2 .
Общее решение системы
1 4с1 3с2
2с1 с2
x1
11
x1
1
2
5
1
6
8
1
с1 с2
11
11
11
1 4с1 3с2
2с1 с2
6
7
2
с1 с2
11
11
11
11

31. Пример

Частное решение системы
с1 0, с2 2
16 1
17
x1
11 11
11
14 2 16
x1
11 11 11

Как завершить решение этой однородной системы линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Итак, я собираюсь решить это, используя исключение Гаусса-Джордана, а не просто исключение Гаусса. По сути, это то же самое, за исключением того, что вы получаете $0$ выше всех ведущих $1$.

Прежде всего, поскольку это однородная система уравнений, вам не нужно использовать расширенную матрицу. $0$ в правой части строки останутся неизменными, независимо от того, какую операцию строки вы используете.

$ \ влево (\ начать {матрица} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 1 и 1 и 2 и -1 \\ 2 и 2 и 1 и 1 \\ -1 и -1 и 1 и -2\\ \конец{матрица}\справа) $ $ \begin{матрица} \\ Р_2-Р_1\\ Р_3-2Р_1\\ R_4+R_1\\ \end{матрица} $ $ \ влево (\ начать {матрица} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 и -1\\ 0 и 0 и -1 и 1\\ 0 и 0 и 2 и -2\\ \конец{матрица}\справа) $ $ \begin{матрица} Р_1-Р_2\\ \\ R_3+R_2\\ Р_4-2Р_2\\ \end{матрица} $ $ \ влево (\ начать {матрица} 1 и 1 и 0 и 1\\ 0 и 0 и 1 и -1\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ \конец{матрица}\справа) $

Для краткости я выполнил несколько операций со строками одновременно, но это тот же ответ, что и вы. Взяв ваш ответ и разделив $R_2$ на $3$, а затем вычтя $R_2$ из $R_1$, вы получите это решение Гаусса-Джордана.

Каждая строка представляет собой уравнение, равное $0$, поскольку это однородная система уравнений. Первый столбец матрицы — это представление $x_1$ переменных в каждом уравнении, второй столбец — $x_2$ переменных, третий — $x_3$, четвертый — $x_4$. Ведущие $1$ являются опорными элементами матрицы и обычно выбираются в качестве зависимых переменных, но не обязательно.

Следующим шагом в решении этой задачи является ее обратное выражение в обычном формате:

$$ \начать{выравнивать} х_1+х_2+х_4=0 \\ х_3-х_4=0 \\ 0x_2=0 \\ 0x_4=0 \\ \end{выравнивание} $$

Обратите внимание, что последние два уравнения показывают, что любой выбор для $x_2$ или $x_4$ даст вам однородное решение системы.

Далее вы хотите найти зависимые переменные и задать параметры независимым переменным:

$$ \начать{выравнивать} х_1 &=-х_2-х_4 \\ х_3 &=х_4 \\ х_2 &=с \\ х_4 &=т \\ \end{выравнивание} $$

Наконец, подстановка независимых переменных $x_2$ и $x_4$ в уравнения зависимых переменных даст вам все решения однородной системы уравнений:

$$ \начать{выравнивать} x_1 &=-s-t \\ х_3 &=т \\ х_2 &=с \\ х_4 &=т \\ \end{выравнивание} $$

С помощью этих уравнений при любых двух произвольных значениях $x_2$ и $x_4$ можно определить значения $x_1$ и $x_3$ так, чтобы была решена однородная система уравнений.

Кроме того, обратите внимание, что вы могли бы решить уравнения для $x_2$ и $x_4$, сделав их зависимыми переменными и задав параметры $x_1$ и $x_3$:

$$ \начать{выравнивать} х_2 &=-х_4-х_1 \\ х_4 &=х_3 \\ х_1 &=с \\ х_3 &=т \\ \end{выравнивание} $$

Эти уравнения делают $x_1$ и $x_3$ независимыми переменными; и при произвольном их выборе можно найти зависимые переменные $x_2$ и $x_4$, которые будут решать однородную систему уравнений. Другими словами, операции со строками ничего не делают с зависимыми/независимыми переменными, вы сами выбираете, какие будут.

Однородные и неоднородные системы

---

Однородная система линейных уравнений в котором все постоянные члены равны нулю. Однородная система всегда имеет хотя бы одно решение, а именно нулевой вектор. Когда операция строки применительно к однородной системе новая система остается однородной. это Важно отметить, что когда мы представляем однородную систему в виде матрицы, мы часто опускаем последний столбец постоянных членов, так как применяя операции со строками не будут изменять этот столбец. n.$

Теорема: Рассмотрим систему линейных уравнений в $n$ переменных, и пусть $\vec p$ является решением системы. затем множество решений системы имеет вид $\{\vec p + a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 + \cdots + a_k\vec v_k \,|\, a_1,a_2,\dots,a_k\in\R \}$, где $\{a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 + \cdots + a_k\vec v_k \,|\, a_1,a_2,\dots,a_k\in\R \}$ есть множество решений ассоциированной однородной системы. (Таким образом, $k$ по-прежнему число свободных переменных в ступенчатой ​​форме системы.)

Вектор $\vec p$ во второй теореме называется частное решение системы. (Напомним, что для неоднородного системы, возможно, что конкретного решения не существует, а множество решений пусто.) Однородная система всегда имеет $\vec 0$ как частное решение, а второе теорема применяется к однородным системам, если взять $\vec p=\vec 0$. Обратите внимание, что для данной системы векторы $\vec p$ и $\vec v_i$ не уникальны. Может быть много разных последовательностей операций со строками, которые можно использовать. придать системе эшелонированную форму. $\vec p$ и $\vec v_i$, которые вы получаете может зависеть от конкретной последовательности операций над строками, которые вы используете. Однако вы можно получить только разные способы записи одного и того же набора решений. (возможно удивительный факт, который до сих пор не доказан, состоит в том, что независимо от того, в какой последовательности операций над строками, которые вы используете, чтобы привести систему в эшелонированную форму, вы всегда получаете такое же количество свободных переменных. Это означает, что число $k$ в система однозначно определяется системой.) 9Н$, что содержит происхождение. Добавление вектор $\vec p$ ко всем точкам этого линейного пространства дает “параллельную” линейную пространство, содержащее $\vec p$. См. второе изображение в предыдущем разделе].

---

Другой важной темой в разделе 1.I.3 учебника является сингулярные и невырожденные матрицы. Это проблема только для квадратных матрицы. (Квадратная матрица – это матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов. ) Квадратная матрица ассоциированная матрица некоторой однородной системы. Так как матрица квадратная, однородная система имеет столько же уравнений, сколько переменные. Однородная система либо будет иметь $\vec 0$ как единственное решение, либо она будет иметь бесконечное число решений. Говорят, что матрица невырожденным, если система имеет единственное решение. Она называется вырожденной, если система имеет бесконечное количество решений. (Термины «сингулярный» и «несингулярный» только применимы к квадратным матрицам.) Заметим, что по приведенным выше теоремам квадратная матрица сингулярна тогда и только тогда, когда она имеет хотя бы одну свободную переменную, когда ставится в ступенчатую форму, что, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда ступенчатая Форма матрицы имеет хотя бы одну строку, содержащую только нули. 9n$ размерности $n-1$ (если уравнение не является тривиальное уравнение, $0=0$.) А так как $\vec 0$ является решением, то линейное пространство проходит через начало координат. Набор решений для всей системы пересечение множеств решений для всех отдельных уравнений; то есть это пересечение $n$ линейных пространств размерности $n-1$.

Например, если $n=2$, мы смотрим на пересечение двух линий через начало координат; возможности заключаются в том, что линии пересекаются только в начале координат [несингулярная матрица] или в том, что линии на самом деле идентичны [сингулярная матрица]. Конечно, если выбрать две строки наугад, очень маловероятно, что они идентичны. Это означает, что если вы выберете матрицу $2\times2$ случайным образом, это очень маловероятно. что он будет единичным.

При $n=3$ мы пересекаем три плоскости, содержащие начало координат. пересечение двух плоскостей через начало координат является линией, если только плоскости не бывают быть идентичным. Когда вы добавляете третью плоскость к пересечению, вы скорее всего пересекает эту плоскость линией и в результате получится один точка (а именно начало), за исключением маловероятного случая, когда линия происходит полностью лежать в плоскости. n$ размерности $n-1$. Взяв пересечение этого пространства с множеством решений второе уравнение, вероятно, дает линейное пространство размерности $n-2$. По мере того как набор решений для каждого уравнения добавляется к пересечению, размер пересечения, вероятно, уменьшится на единицу. Когда вы получаете пересечению множеств решений для всех $n$ уравнений, вы вероятно, имеет пространство нулевой размерности — единственную точку, а именно источник. Опять же, если вы выберете матрицу $n\times n$ наугад, это очень вряд ли единичный. (Слово «сингулярный» означает «заметно необычный».)

Когда вы рассматриваете неоднородную линейную систему из $n$ уравнений с $n$ переменными, вы пересекаете наборы решений, которые не обязательно содержат начало координат. Наиболее вероятная возможность пересечения по-прежнему одна точка, и бесконечное пересечение все еще возможно. Но у вас также есть возможность пустого перекрестка — нет решения — как это произошло бы, например, если бы вы пересекаете две параллельные прямые.

---

Мы также можем подумать о том, что происходит, когда мы применяем сокращение строк к представить матрицу размером $n\times n$ в ступенчатую форму. Рассмотрим матрицу как матрица для однородной линейной системы, записанная без постоянного нуля члены из правых частей уравнений. $$\begin{pматрица} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} и c_{22} и \cdots и c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}$$ Помните, что матрица квадратная, с таким же количеством строк, как и столбцов. Матрица ступенчатой ​​формы, полученная в результате редукции строк, будет иметь вид $$ \begin{pматрица} д_{11} и д_{12} и \cdots и д_{1n}\\ 0 и d_{22} и \cdots и d_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 & \cdots & 0 & d_{nn} \end{pmatrix}$$ где все элементы ниже диагонали равны нулю (и некоторые из $d_{ij}$ также могут быть равны нулю). Но может быть все нулевые строки внизу. То есть $d_{nn}$ может быть равно нулю. Если $d_{nn}\ne0$, то свободных переменных нет и однородная система имеет $\vec 0$ как единственное решение. Если $d_{nn}=0$, то есть по крайней мере одна ненулевая строка, и не более $n-1$ из $n$ строк отличны от нуля. Таким образом, ведущих переменных не более $n-1$, а значит, существует хотя бы одна свободная переменная. переменная; система имеет бесконечное число решений.

Теперь предположим, что у нас есть неоднородная система с одинаковым матрица коэффициентов. Расширенная матрица для неоднородного система имеет вид $$\left(\begin{массив}{cccc|c} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} & a_1\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} & a_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} & a_n \end{массив}\right)$$ Если мы применим метод Гаусса, используя те же операции со строками, что и используемого для однородной системы, получим матрицу вида $$\left(\begin{массив}{cccc|c} d_{11} и d_{12} и \cdots и d_{1n} и b_1\\ 0 & d_{22} & \cdots & d_{2n} & b_2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & d_{nn} & b_n \end{массив}\right)$$ Теперь в случае $d_{nn}\ne0$ свободных переменных нет, и мы можем решить систему, чтобы получить уникальное решение.