Решить онлайн систему линейных уравнений методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

где:

• x и y - переменные;
• а 1 , б 1 , c 1 — коэффициенты первого уравнения; и
• a 2 , b 2 , c 2 — коэффициенты второго уравнения.

Что такое метод линейной комбинации?

Линейная комбинация уравнений — это метод решения систем линейных уравнений . Ключевая идея состоит в том, чтобы объединить уравнения в систему меньшего количества и более простых уравнений . Если мы имеем дело с двумя линейными уравнениями с двумя переменными, мы хотим объединить эти уравнения в одно уравнение с одной переменной.

Под объединением линейных уравнений мы подразумеваем умножение одного или обоих уравнений на подходящие числа и последующее сложение уравнений вместе. Множители должны допускать операцию сложения, чтобы одна из переменных обращалась в нуль. В итоге мы получим одно уравнение с одной переменной, которое легко решим. Как только мы решили это уравнение, мы подставляем найденное значение в одно из исходных уравнений. Это приводит к другому уравнению с одной переменной , которую мы быстро решаем. Таким образом, мы решили систему с помощью линейной комбинации!

Существуют ли другие методы решения систем линейных уравнений ? Конечно! Вы наверняка слышали о методе подстановки. Существует также метод исключения Гаусса и правило Крамера.

Как пользоваться этим калькулятором линейных комбинаций?

Если вы хотите быстро решить систему уравнений с помощью линейной комбинации, наш инструмент — лучший выбор! Чтобы использовать его, выполните следующие действия:

1. Сообщите нам коэффициенты вашей системы : введите их в соответствующие поля.
2. Наш калькулятор линейных комбинаций решает систему методом линейных комбинаций ...
3. ...и показывает и объясняет все промежуточных шагов !
4. Перейдите в расширенный режим калькулятора линейных комбинаций, если вы хотите вычислить решение с большей точностью (с большим числом цифр). По умолчанию наш калькулятор линейных комбинаций использует шесть цифр.

Как использовать метод линейной комбинации?

For the system of equations:

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

мы всегда можем использовать наименьшее общее кратное 1 и 2 . А именно, положим:

m 1 := LCM(a 1 , a 2 ) / a 1

m 2 := LCM(a 1 , a 2 ) / a 2

and multiply the first equation by m 1 а второе уравнение на -m 2 . Это приводит к следующей системе:

НОК(a 1 , a 2 )x + [LCM(a 1 , a 2 )b 1 /a 1CM ( 1 , 2 ) C 1 /A 1

-LCM (A 1 , A 2 ) X - [LCM (A 1 , A 2 979). 2 ]y = -LCM(a 1 , a 2 )c 2 /a 2

Мы создали противоположных коэффициентов для переменной x

6 ! Все, что нам нужно сделать, это сложить эти уравнения вместе: мы получим уравнение только с переменной y .

В некоторых конкретных ситуациях этот подход LCM сводится к элементарным операциям:

• Когда коэффициенты одной переменной равны напротив чисел , оба множителя равны 1 .

• Когда коэффициенты одной переменной равны, один множитель равен 1 , а другой -1 .

Иногда может случиться так, что вы исключите обе переменные сразу. Прежде всего, не паникуйте. Вы пришли к утверждению о числах. В зависимости от того, верно ли полученное вами утверждение, например:

0 = 0 или 7 = 7 ,

или ложь, например,:

0 = 1 или 5 = 7 ,

. Нарисуйте выводы около системы :

. Около системы :

.

Если утверждение неверно, то система не имеет решения .

• Если последнее утверждение верно, то система имеет бесконечно много решений .

Примеры метода линейной комбинации

Ух ты, мы многое узнали о методе линейной комбинации! Пришло время решить несколько систем линейных уравнений с помощью линейных комбинаций.

1. Рассмотрим систему уравнений:

   х - 4г = 1

   -2x + 4y = 2

   и решить его с помощью линейной комбинации.

   • Сложите два уравнения вместе:

     -х = 3

   • Решить для x :

     х = -3

   • Подставляем x = -3 в первое уравнение:

     -3 - 4 года = 1

   • Найти y :

     -4г = 4

     г = -1

   • Решение: х = -3, у = -1

2. Решите, используя линейную комбинацию:

   2х + 3у = 3

   2х - у = -3

   • Сначала умножьте первое уравнение на -1 :

     -2x - 3y = -3

     2х - у = -3

   • Сложите уравнения, что приведет к удалению x :

     -4г = -6

   • Найти y :

     г = 1,5

   • Подставляем y = 1,5 во второе уравнение:

     2x - 1,5 = -3

   • Решить для x :

     2x = -1,5

     х = -0,75

   • Решение: х = -1,5, у = -0,75

3. Решите систему с помощью линейной комбинации:

   3x - 7y = 1

   4x + 4y = -2

   • Используйте подход LCM: найдите вычисление наименьшей общей кратности 3 и 4 :

     НОК(3, 4) = 12 .