Решить по формуле крамера систему уравнений онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Похожие презентации:

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ

Обратная матрица. Матричный способ решения линейной системы уравнений. Формулы Крамера

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Линейная алгебра. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Лекция 5

Системы линейных уравнений. (Тема 9.1)

1. ТЕМА 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ Алгебраических УРАВНЕНИЙ

Система m линейных уравнений с n
переменными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1 22 2
2n n
2
. ………………………………….
am1x1 am 2 x2 … amn xn bm
aij
bi
– коэффициенты системы,
– свободные члены.
Решением системы называется такая
совокупность значений, при подстановке которых
каждое уравнение системы обращается в верное
равенство.
Система линейных уравнений называется:
совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
несовместной, если она не имеет решений;
определенной, если она имеет единственное
решение;
неопределенной, если она имеет более одного
решения;
однородной, если все bi=0;
неоднородной, если не все bi=0.
Методы решения систем
1. Метод Крамера
Рассмотрим систему n линейных уравнений
неизвестными:
a11x1 a12 x2 … a1n xn b1
c
n
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
……………………………………..
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn
Теорема Крамера:
Пусть Δ – определитель матрицы системы,
Δi – определитель матрицы, получаемой из
матрицы
A
заменой
столбца коэффициентов
аij при xi столбцом свободных членов.
Тогда, если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
j
xj
– формула Крамера.
Вспомним тему: Определители
Определитель квадратной матрицы – это число,
вычисляемое по определённым правилам.
Обозначают: |А|, ΔА, detA .
Определитель 2-го
порядка:
a11 a12
2
a11 a22 a21a12
a21 a22
2 3
1 5
2 5 1 3 7
Боковая
диагональ
Главная
диагональ
Определитель 3-го порядка:
Правило Саррюса (правило треугольников)
a11
a12
a13
a21
a22
a 23
a31
a 32
a33
a11a22a33 a21a32a13 a12a23a 31
a31a22a13 a21a12a33 a 32 a23a11
1 1 1
2
1
1 1 1 1 2 ( 1) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 1) 5
1 2
Вспомним тему: Алгебраические дополнения и
миноры
a11 a1 j ……a1n В квадратной матрице n-го
порядка рассмотрим элемент aij.
ai1 aij ……ain Вычеркнем i-ю строку и j-ый
A
столбец, на пересечении которых
…… ……………. стоит элемент aij. В результате
матрица
(n-1)-го
a a .. .. a получается
nn
n1 nj
порядка.
Минором Мij к элементу aij матрицы n-го порядка
называется определитель матрицы (n-1)-го порядка,
полученной из исходной матрицы вычеркиванием
строки и
i-й
j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Аij к элементу aij
матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со
знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-»,
если сумма нечетная: A 1 i. j M
ij
ij
Пример. Решить систему методом Крамера:
x1 2 x2 x3 0
2 x1 x2 3 x3 0
x x x 1
2
3
1
1 2 1
Решение. 1)Определитель матрицы системы: 2 1 3 5 0
1
2) Вычислим определители
1
0 2 1
1 0 1
1
1
3 5
1
Δ1, Δ2, Δ3 :
0 1
2 2 0
1
1
1 1
3 5
1
2
0
3 2 1 0 5.
1
1
1
1
3) Подставим полученные значения в формулу Крамера:
1
5
x1
1,
5
2
5
x2
1,
5
3 5
x3
1
5
2. Матричный метод
Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:
a11x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
……………………………………..
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn
x1
x2
X
….
x
n
a11 a12 …a1n
a21 a22 …a2 n
A
…………………
a a …a
n1 n 2 nn
матрица коэффициентов
системы
b1
b2
матрица-столбец B
….
переменных
b
n
Запишем эту систему в матричном виде.
1
A X B
Обозначим:
X A B
матрица столбец
свободных членов
– решение системы
Вспомним тему : умножение матриц
Произведением матрицы А размера m x n на матрицу
В размера n x k есть матрица С размера m x k ,
каждый элемент которой вычисляется по формуле:
n
cij ais bsj .
dim A m n
dim B n k
s 1
C A B существует
dim C m k
Вывод: число столбцов первого множителя должно
равняться числу строк второго множителя.
3
1
1 0 2
3
2
5
3 1 0 2 3
2
4 3 2
2
c11 1 ( 1) 0 5 2 2 3
11
7 2 2
c12 1 3 0 ( 2) 2 4 11
10
Пример. Решить систему матричным методом
x1 2 x2 x3 0
ОБОЗНАЧИМ
2 x1 x2 3 x3 0
x x x 1
2
3
1
x1
X x2
x
3
1 2 1
A 2 1 3
1 1
1
1. Вычислим определитель матрицы
1
2
det A 2 1
1
1
1
3 5 0
1
0
B 0
1
3. Вычисляем обратную матрицу:
3 2 0,2
0,6 0,4
1
1 ~ 1
1
A
A 3 1
1 0,6 0,2
0,2
A
5
0,2 0,4 0,6
1
2
3
4.
Проверка:
1
1
A A AA E
3 2 1 1 1
1
5 0 0
1
1
1
A A 3 1
1 2 1 1 0 5 0 E
5
5
1
2
3
1
1
2
0
0
5
Вспомним тему : Обратная матрица
Матрица А является невырожденной (неособенной),
если |А|≠0, иначе матрица называется вырожденной
(особенной).
Матрица
А-1
называется
обратной
матрицей
к
квадратной матрице А, если при умножении этой
матрицы на данную как справа, так и слева получается
единичная матрица: 1
1
A A A A E
А11 А 21 А n1
1 А12 А 22 А n 2
1
A
A
А А
А
2n
nn
1n
алгебраические
дополнения к элементам
строки
записаны
в
столбец
Пример. Найти матрицу обратную к
матрице: A 2
1
Решение.
1. Вычислим определитель матрицы
1 1 1
А 2
1
1 5 0
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
определитель матрицы не равен
нулю, значит обратная матрица
существует
2. Находим алгебраические дополнения элементов
матрицы
A11 1
1 1
A12 1
2 1
1 1
1 2
A13 1
1 3
1 2
1 2
2 1
1 1
1
A21 1
2 1
1 1
1
2
1 1
3 A22 1
1 A23 1
1 1
2 2
2 3
1
1 2
1
3 A31 1
1
2
3 1
1 1
2
1
1
A32 1
1 1
A33 1
1 1
3 2
3 3
2 1
2
1
1
3
2. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы и
составим обратную матрицу
1 3
A11 1 1 1
4
1 1
2 3
A12 1 1 2
1
1 1
2 1
1
3
A13 1
3
1 1
Обратная матрица
3. Решение системы
2 1
3 1 2 1 5
A21 1 2 1
3 A31 1
1 3
1 1
1 1
3 2 1 1 5
A22 1 2 2
2 A32 1
2 3
1 1
3 3 1 2 5
1 2
2
3
A
1
33
A23 1
1
2 1
1 1
5
4 3
1
1
A
2 5
1
5
3
1
5
4
1
1
X A B
1
5
3
x1 1, x2 1, x3
3
2
1
1.
5 0
5 1
1
5 0
5 1
5
5 1
5 1
3. Метод Гаусса
Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1 22 2
2n n
2
…………………………………..
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
Apа сши р
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n
A
B
основная м атрица
м атрица св ободных
систем
( а ) ы чл( bенов
a a a a
)
ij
i
mn
m1 m 2 m 3
b1
– расширенная
b2
матрица
системы
bm
Цель: с помощью элементарных эквивалентных преобразований
получить трапецивидную (треугольную) матрицу
a11 a12 a13 a14 b1
a21 a22 a23 a24 b2
a
31 a32 a33 a34 b3
c11 c12 c13 c14 d1
0 c22 c23 c24 d 2
0 0 c
c
d
33
34
3
Пример.
Решить систему методом Гаусса
Решение:
5 x 2 y 4 z 5
2 x 3 y z 7
3 x y 2 z 3
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 2)
( 3)
~
Римскими
2 3 1 7
2 3 1 7
цифрами I, II, III
~
3 1 2 3 обозначим 3 1 2
3
номера строк
1
~
8
0 19
0 4
6
9
1 8
0 19 13 25
0 23 16 30
системы
9 ( 5) 1 8 6 9 1 4 8 6 9
~ 0 1 2 0
~
13 25
0
0 1 2
0 0 5 5
0 4 3 5
3
5
6
Восстановим систему:
x 8 y 6 z 9
y 2z 0
5z 5
x 9 8 y 6 z
y 2z 2
z 1
x 1 y 2 z 1
x 9 16 6 1
y 2
z 1

18.

Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера – Капелли. Для того, чтобы система
линейных алгебраических уравнений была совместна (имела
решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной
матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов:
r ( Ap) r ( A)
r ( Ap) r ( A) , то система несовместна (не имеет
Если
решений).
r ( Ap) r ( A) n
Если
(числу неизвестных), то система
совместна и определенна (имеет единственное решение).
r ( Ap) r ( A) n
Если
, то система совместна
неопределенна (имеет бесконечное множество решений):
и
Бесконечное множество решений:
r ( Ap) r ( A) n
Система имеет r базисных переменных и n – r свободных
переменных.
Общее решение системы запишется в виде:
x1(t1,…, tn r )
…
xr (t1,…, tn r )
X
t1
…
tn r
Базисные переменные,
зависящие от свободных
переменных
Свободные
переменные
t1 xr 1; t 2 xr 2; tn r xn

20.

Ранг матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a 21 a 22
a
a 32
31
am1 am 2
a13
a 23
a 33
am3
a1n
a 2n
a3n
amn
M2
a12
a1n
a32
a3 n
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k
произвольных столбцов. Элементы матрицы А, стоящие
на пересечении выделенных строк и столбцов,
образуют определитель k – того порядка.
Минором
k-го
порядка
матрицы
А
называют
определитель,
полученный
из
А
выделением
произвольных k строк и k столбцов.
Рангом матрицы называется наибольший порядок
отличного от нуля минора этой матрицы.
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
2
Матрица А имеет 4 минора 3 – его порядка,
например:
18 миноров 2 – го порядка, например:
2
3
0 2
3
4
0 2 3 20
0
4
12 миноров 1 – го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3
2
2
Базисным минором называется определитель, порядок
которого равен рангу матрицы. Он может быть не
единственным.
Теорема.
Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы.
Эквивалентные преобразования:
Умножение или деление элементов одного ряда на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух рядов
Прибавление к элементам ряда
параллельного
ряда,
умноженного
множитель
Вычеркивание нулевого ряда
элементов другого
на
произвольный
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду.
1 3 2
A 0 5 4 ~
1 7 6
1 3 2 ( 2)
~
0 5 4
0 10 8
1 3 2
0 5 4
0 0 0
r( A ) 2
Два ряда матрицы называются линейно зависимыми,
если их линейная комбинация с коэффициентами, не все
из которых равны нулю, дает нулевой ряд.
В противном случае ряды называются линейно
независимыми.
Теорема.
Ранг матрицы равен числу линейно независимых рядов
Пример. Решить систему:
Решение
x1
x2
x3
2 x1 2 x2 2 x3 4
x x x 0
1
2
3
3 x1 3 x2 x3 2
x1 x2 3 x3 2
2
:
2
2 2 2 4
1
1
1
2
( 3) 1 1 1
2 2 V
A p 1 1 1 0 ~ 1 1 1 0 V
0 0 2 2
3 3 1 2
~
0 0 4 4
3 3 1 2
~
1 1 3 2
0 0 4
4
1
1
3
2
x1 x2 x3
2
1 1 1
2
1 1 1
r ( Ap) r ( A) 2 совместна
0 0 2 2
0 0 – 2 2
0 0 0
0
r ( Ap) n неопределенна
0
0 0 0
2 базисных переменных, т. к. r 2 например, x1 , x3
1 свободная переменная, т.к. n r 3 2 1 например, x2 t
Восстановим систему:
x1 1 t
x
2
t
x
1
t
x
t
x
2
1
1
3
3
x2 t
2
x
2
x
1
3
3
x 1
3

25. Однородные системы линейных уравнений

a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a x a x a x 0
21 1
22 2
2n n
am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0 x2 0 xn 0
– тривиальное решение.
Оно является единственным решением системы в случае, когда
r ( A) n
Если r ( A)
решений.
n , то система имеет бесконечное множество
Решить однородную систему уравнений:
x1 x2 5 x3 7 x4 0
2 x1 x2 4 x3 x4 0
3 x 2 x x 6 x 0
1
2
3
4
1 1 5 7
0 1 14 15
0 1 14 15
1 1 5 7
0 1 14 15
n r 4 2 2
1 1 5 7
1
2 1 4
3 2 1 6
~
1 1 5 7
0 1 14 15
0 0
0
0
r ( A) 2
n 4
( 2)
( 3)
~
( 1)
~
множество решений
– число свободных переменных

English     Русский Правила

6.

Решение линейных систем по формулам Крамера

Теорема Крамера.

Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных

(10)

Если определитель основной матрицы системы

, (11)

не равен нулю, то система имеет единственное решение и , где

Определители , получены из определителя (11) заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

►Пример 8. По формулам Крамера найти решение системы уравнений

Решение.

Вычислим определители и найдем решение

Ответ: . ◄

Упражнения.

Решить системы по формулам Крамера:

1) 2)3)

Ответы: 1), 2), 3).

7. Решение систем с помощью обратной матрицы

Система из уравнений снеизвестными (10) в матричной форме имеет вид (5)

,

где ,,.

Если матрица невырожденная, то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формуле.

►Пример 9. С помощью обратной матрицы найти решение системы

Решение.

Проведем необходимые вычисления:

.

Ответ:. ◄

Упражнения.

Найти решение систем с помощью обратной матрицы:

а) б)в)

г) Ответы: а) ; б); в)г).

8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим линейную систему общего вида:

Теорема Кронекера-Капелли.

Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы () был равен рангу расширенной матрицы ().

Пусть ==. Тогда верны следующие утверждения.

Следствие 1. Если ранг матрицы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Следствие 2. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. При этомнеизвестных, которые называются свободными, принимают произвольные значения. Говорят, что система имеетстепеней свободы.

Метод Гаусса (исключение неизвестных) состоит в том, что с помощью умножения уравнений на ненулевые числа и сложения в первом уравнении оставляем все неизвестные, во втором на одно меньше, в третьем на два меньше и т.д. Эту операцию (назовем ее процедурой Гаусса) удобно проводить, используя матрицы.

Составим расширенную матрицу системы и отделим для удобства свободные члены вертикальной линией. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Элементарные преобразования матрицы проводим только для строк.

Умножая первую строку на соответствующие коэффициенты и прибавляя к лежащим ниже строкам, получим нули в первом столбце. Затем проделываем такую же процедуру со второй строкой, третьей и т.д., до предпоследней строки. В результате преобразований получаем матрицу, по которой можно записать систему, равносильную исходной.

Рассмотрим три ситуации, возникающие при исследовании линейных систем.

1) .Система несовместна.

►Пример 10.

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:

.

Как и в примере 2 над стрелочкой указаны выполняемые операции.

Для удобства вычислений переставим четвертую строку на место второй и за счет второй строки получим нули во втором столбце во всех строках ниже второй, а затем за счет третьей строки – в третьем столбце:

В четвертой строке легко было получить нули, умножив третью строку на минус единицу и прибавив ее к четвертой. Мы не упрощали вычислений, чтобы сохранить алгоритм получения нулей в нижележащих строках за один шаг.

По преобразованной матрице определяем ранги: ,, следовательно, данная система уравнений несовместна.

.

Ответ: система не имеет решений. ◄

2) .Система совместна и имеет единственное решение. В результате преобразований приходим к ступенчатой системе, решение которой легко находится.

►Пример 11. Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение.

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. По преобразованной матрице составляем систему, равносильную исходной

Полученная система имеет ступенчатый вид и легко решается.

Ответ: . ◄

3) .Система совместна, но имеет бесконечное множество решений. Это множество решений находим, перенося члены со свободными неизвестными в правую часть уравнений.

Рассмотрим запись решения таких систем в матричной форме.

Пусть дана система

и известно, что . Тогда система имеетстепеней свободы, т.е.неизвестных принимают произвольные значения, анеизвестных выражаются через них. Минор, не равный нулю, напоминаем, называется

базисным. Не уменьшая общности, будем считать, что базисный минор системы занимает в ней верхний левый угол. Обозначим этот минор :

.

Минор является базисным и для матрицы, поэтому строки с номерамиявляются линейными комбинациями первыхстрок и система эквивалентна системе изуравнений (свободные неизвестные перенесены в правую часть)

Решая эту систему по методу Крамера, имеем

,

где

−определитель, полученный из базисного заменой го столбца на столбец правой части системы.

Пользуясь свойствами определителей, имеем

. (11)

Символ: ,- означает, что−ый столбец базисного минора заменен на столбец коэффициентов при неизвестном. Введем обозначения:

.

Тогда .

Добавим сюда очевидных равенств.

Тогда множество решений системы можно записать в виде:

(12)

Для вычисления полагаем свободные неизвестные равными нулю. Для вычисленияполагаем свободные члены равными нулю,, а остальные свободные неизвестные равными нулю.

. Выбор свободных неизвестных, вообще говоря, можно делать по-разному. Однако не всякие неизвестных можно принять за свободные. Необходимо, чтобы коэффициенты при остальныхнеизвестных составили базисный минор.

►Пример 12. Решить систему уравнений

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

.

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы , число неизвестных равно пяти. Следовательно, система совместна, но имеет бесконечное множество решений. Число степеней свободы равно двум. Выберем свободными неизвестнымии выразимчерез них:

отсюда получаем

Ответ запишем в виде вектора-столбца.

Ответ:. ◄

Получим также решение заданной системы, используя формулу (12). Положим .

Получаем вектор .

Положим .

Получаем вектор .

Положим .

Получаем вектор .

Окончательное решение: ◄

Упражнения.