Решение системы по правилу Крамера — Мегаобучалка
Ранее мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Далее разберём правило Крамера и решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод).
Для того, чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите раздел Вычисление определителей.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Во-первых, пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.
Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
.
На первом шаге вычислим определитель, который называют главным определителем системы.
.
Если , то система имеет бесконечно много решений или не имеет решений (несовместна). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения двух неизвестных мы должны вычислить еще два определителя:
и .
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой D с соответствующими индексами. Корни уравнения находим по формулам:
, .
Пример 7:
Решить систему линейных уравнений
.
Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему мы взяли из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера. Прежде всего, вычислим определитель системы:
,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим ещё два определителя:
;
; Ответ: ,
Как видите, корни получились иррациональными, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики. Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс.
Когда используете данный метод, обязательнымфрагментом оформления задания является следующий: «Δ ≠ 0 , значит, система имеет единственное решение».
В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения и в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8:
Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы: . Если D = 0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: , , .
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два».
Здесь столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по такому же принципу.
Пример 9:
Решить систему по формулам Крамера.
.
Решение: Вычислим определитель системы
, – значит, система имеет единственное решение.
Ответ: .
Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель, в данном случае он имеет вид:
.
Здесь на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Примечание: Определители рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой есть ноль, или максимальное число нулей, так как вычислений получается меньше.
Пример 10:
Решить систему по формулам Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
09.14
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
рабочий за восьмичасовой рабочий день вытачивает 80 деталей,а его ученик работает 6 ч в день и вытачивает 42 такие детали.
На сколько больше деталей…
Начертите отрезок АВ длинной 16…
Мальчик рассаживал солдатиков в машинки…
Пеппи длинныйчулок может одним пальцем…
Решено
Пользуйтесь нашим приложением
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными | Колледж Алгебра |
Вычисление определителя матрицы 2×2
Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений.
Общее примечание. Найдите определитель матрицы 2 × 2
Определитель матрицы
2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2
матрицы, заданной
A=[abcd]A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right]A=[acbd]
определяется как
Рисунок 1
Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, в том числе
det(A)\mathrm{det}\left(A\right)det(A)
и замена скобок в матрице прямыми,
∣A∣ |А|∣А∣
.
Пример 1. Нахождение определителя матрицы 2 × 2
A=[52−63]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right]A=[5−623]
Решение
det(A)=∣52−63∣=5(3)−(−6)(2)=27\begin{array}{l}\mathrm{det}\left(A\right) =|\begin{массив}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{массив}|\qquad \\ =5\left(3\right)-\left(-6\right)\left(2\ right)\qquad \\ =27\qquad \end{array}det(A)=∣5−623∣=5(3)−(−6)(2)=27
Использование правила Крамера для Решить систему двух уравнений с двумя переменными
Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.
Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.
Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.
a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1} \left(1\right)\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\left(2\right)\end{массив}a1x+b1 y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)
Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим найти
xxx
. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный
yyy
в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент
yyy
в уравнении (2), и мы добавляем два уравнения, переменная
yyy
будет исключена.
b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1Умножить R_1 на b_2−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2Умножить R_2 на −b_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2}{gin{\textmaunder}}{gin 2}a\text{\textunderscore}{1}x+b\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}y=b\text{\textunderscore}{2}c\text{ \textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }b\text{\textunderscore}{2} \\-b\text{\textunderscore}{1 }a\text{\textunderscore}{2}xb\text{\textunderscore}{1}b\text{\textunderscore}{2}y=-b\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-b\text{\textunderscore}{2} \\ \text{——– ————–} \\ b\text{\textunderscore}{2}a\text{\textunderscore}{1}xb\text{\textunderscore}{1}a\text {\ textunderscore} {2} x = -b \ text {\ textunderscore} {2} c \ text {\ textunderscore} {1} -b \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2 }\end{matrix}b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2 Умножить R_1 на b_2Умножить R_2 на −b_2
Теперь найдите
xxx
.
b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2x(b2a1−b1a2)=b2c1−b1c2 x=b2c1−b1c2b2a1−b1a2=[c1b1c2b2][a1b1a2b2]\begin{array}{l}{b}_{2}{a} _{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2 }\qquad \\ x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}\right)={b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }x=\frac{{b}_{2}{c}_{1}-{ b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}}=\frac{\ слева[\begin{массив}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right] }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{array} \right]}\qquad \end{массив}b2a1x−b1a2x=b2c1-b1c2x(b2a1-b1a2)=b2c1− b1c2 x=b2a1−b1a2b2c1−b1c2=[a1a2b1b2][c1c2b1b2]
Точно так же, чтобы решить для
yyy
, мы исключим
xxx
.
a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1Умножить R_1 на a_2−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2Умножить R_2 на −a_1———————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_under1−a_1c_2\begin } а \ текст {\ textunderscore} {1} х + а \ текст {\ textunderscore} {2} б \ текст {\ textunderscore} {1} у = а \ текст {\ textunderscore} {2} с \ текст {\ textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }a\text{\textunderscore}{2} \\-a\text{\textunderscore}{1} a \ text {\ textunderscore} {2} x-a \ text {\ textunderscore} {1} b \ text {\ textunderscore} {2} y = -a \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-a\text{\textunderscore}{1} \\ \text{——— ————-} \\ a\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}ya\text{\textunderscore}{1}b\text{ \textunderscore}{2}y=a\text{\textunderscore}{2}c\text{\textunderscore}{1}-a\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore}{2}\ конец{матрица}a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c_2Mu умножить R_1 на a_2умножить R_2 на −a_1
Решение для
YYY
дает
A2B1Y -A1B2Y = A2C1 -A1C2Y (A2B1 -A1B2) = A2C1 – A1C2 Y = A2C1 -A1C2A2B1 -A1B2 = A1C2-A2C1A1B1 -A1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1 -A1 -A1B1 -A1B1 -A1B1.
}{l}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1} -{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ y\left({a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{ 2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }y=\frac{{a }_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1 }{b}_{2}}=\frac{{a}_{1}{c}_{2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1 }{b}_{2}-{a}_{2}{b}_{1}}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{ 1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1 }\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}\qquad \end{массив}a2b1y-a1b2y=a2c1-a1 c2y(a2b1−a1b2)=a2c1−a1c2 y=a2b1−a1b2a2c1−a1c2=a1b2 −a2b1a1c2−a2c1=∣a1a2b1b2∣∣a1a2c1c2∣
Обратите внимание, что знаменатель для
xxx
и
yyy
является определителем матрицы коэффициентов.
Мы можем использовать эти формулы для решения для
xxx
и
yyy
, но правило Крамера также вводит новые обозначения: детерминанты.
Тогда мы можем выразить
xxx
и
yyy
как частное двух определителей.
Общее примечание. Правило Крамера для систем 2×2
Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых количество уравнений равно числу переменных.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{ 2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\end{массив}a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
Решение с использованием правила Крамера задается как
x=DxD=∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0; y=DyD=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& { b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|},D\ne 0;\text{ }\text{ }y=\frac{{ D}_{y}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c }_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b} _{2}\end{массив}|},D\ne 0x=DDx=∣a1a2b1b2∣∣c1c2b1b2∣,D= 0; y=DDy=∣a1a2b1b2∣∣a1a2c1c2∣,D=0
.
Если мы вычисляем
xxx
, столбец
xxx
заменяется столбцом констант. Если мы вычисляем
гггг
, столбец
гггг
заменяется столбцом констант.
Пример 2. Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2
Решите следующую систему
2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2
, используя правило Крамера.
12x+3y=15 2x−3y=13\begin{массив}{c}12x+3y=15\\ \text{ }2x – 3y=13\end{массив}12x+3y=15 2x−3y=13
Решение
Найдите
xxx
.
x=DxD=∣15313−3∣∣1232−3∣=−45−39−36−6=−84−42=2x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac {|\begin{массив}{rr}\qquad 15& \qquad 3\\ \qquad 13& \qquad -3\end{массив}|}{|\begin{массив}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{-45 – 39}{-36 – 6}=\frac{-84}{-42}=2x=DDx=∣122 3−3∣∣15133−3∣=−36−6−45−39=−42−84=2
Решите для
гггг
.
y=DyD=∣1215213∣∣1232−3∣=156−30−36−6=−12642=−3y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{|\begin {array}{rr}\qquad 12& \qquad 15\\ \qquad 2& \qquad 13\end{array}|}{|\begin{array}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{156 – 30}{-36 – 6}=-\frac{126}{42}=-3y=DDy=∣1223−3∣∣ 1221513∣=−36−6156−30=−42126=−3
Решение:
(2,−3)\left(2,-3\right)(2,−3)
.
Попробуйте 1
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.
x+2y=−11−2x+y=−13\begin{array}{l}\text{ }x+2y=-11\qquad \\ -2x+y=-13\qquad \end{array } x+2y=-11-2x+y=-13
Решение
Лицензии и атрибуты
Контент с лицензией CC, конкретное авторство
- Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface.
Лицензия : CC BY: Attribution
Лицензия : CC BY: Attribution Математические задачи от Good Will Hunting, с решениями | by Jørgen Veisdal
Фото : © 1997 Miramax PicturesЦель этой статьи — рассказать вам о решениях двух математических задач, решенных вымышленным персонажем Уиллом в фильме 1997 года «Умница Уилл Хантинг», удостоенном премии «Оскар». Повествование в значительной степени основано на отличной статье «Математика в доброй воле Хантинга II: проблемы с точки зрения студентов» 9.0229 Хорвата, Коранди и Сабо (2010).
Музыка для настроения Spotify. Приятного чтения!
Краткое изложение Умница Уилл Хантинг рассказывает историю вымышленного персонажа Уилла Хантинга, который, несмотря на свой исключительный интеллект, работает уборщиком в Массачусетском технологическом институте в Бостоне. Там он однажды замечает задачу на доске в коридоре, поставленную профессором Джеральдом Ламбо, обладателем медали Филдса. Обладая эйдетической памятью, Уилл запоминает задачу и решает ее перед зеркалом в своей ванной дома в Южном Бостоне.
Вернувшись на следующий день в Массачусетский технологический институт, он не может ничего с собой поделать, но анонимно представляет свое решение на доске.
Когда на следующий день никто из студентов Ламбо не претендует на зачет, профессор ставит другую, более сложную задачу. Уилл снова решает ее, но профессор ловит его в момент написания своего решения, который потрясен, узнав, что самый блестящий молодой математик в Массачусетском технологическом институте – необразованный уборщик.
Профессор Джеральд Ламбо (Стеллан Скарсгард) просматривает предложенное Уиллом решение. Фото : © 1997 Miramax PicturesЗадача 1: По графу G найти 1. Матрица смежности, AРисунок 1: График G
2. Матрица, задающая количество 3-шаговых блужданий
3. Производящая функция для блужданий от i → j
4. Производящая функция для блужданий от 1 → 3
Первая задача теории графов требует количества обходов от вершины i до вершины j в графе G.
Для этого пусть G — граф с множеством вершин V = {1, 2 , 3, 4} и множество ребер E = {(1,2), (1,4), (2,4), (2,3),(2,3)}, где (2,3) — обоюдоострый.
Решения задачи 1
Задача 1.1
Для заданного графа G найдите матрицу смежности A
Матрица смежности — это квадратная матрица, используемая для представления конечного графа. Элементы матрицы смежности L указывают, являются ли пары вершин в графе смежными или нет. Для простого графа с набором вершин V матрица смежности представляет собой квадрат |L| × |Л| матрица такая, что ее элемент L ᵢⱼ равен 1, когда есть одно ребро из вершины i до вершины j , 2, если их два, и ноль, если нет ребер из вершины i в вершину j. Все диагональные элементы матрицы равны нулю, так как ребра из вершины i в саму себя (петли) не допускаются в простых графах. Для всех ступенчатых обходов длины 1 вдоль множества ребер E это дает нам следующую матрицу смежности для графа G:
Решение 1.
1. Реберные элементы от вершин i до j и матрица смежности графа G, показывающая количество ребер между вершинами i и jЗадача 1.2
Найдите матрицу, определяющую количество трехшаговых прогулок
Вторая задача в задаче 1 состоит в том, чтобы найти матрицу, которая кодирует все возможные прогулки длины 3 (Knill, 2003). То есть найти количество различных последовательностей ребер, соединяющих каждую отдельную последовательность вершин.
n + 1 шаг от i до j состоит из n шагов от i до k и затем 1 шаг от к по j . То есть запись ij L ⁿ⁺¹ задается суммой:
Equation 1 Которое на английском языке для этой задачи гласит, что «количество обходов длины 3 из вершины i в j» равно сумма «количества прогулок длины 2 от вершины i до k» , умноженная на «количество прогулок длины 1 от вершины k до j» для k = 1,2.
Путем матричного умножения, для всех ступенчатых обходов длины 3 от i до j это дает следующую матрицу:
Задача 1.3
Найти производящую функцию для обходов из i → j
Третья задача в задаче 1 запрашивает производящую функцию из вершины i с по и . Чтобы ответить на этот вопрос, Хорват и др. (2010) рассматривают аналитическую производящую функцию, определяемую степенным рядом
Уравнение 2Где коэффициент zⁿ обозначает число n шаговая прогулка от i до j . Из задачи 1.3 мы нашли, что ω_n(i → j) является ij элементом матрицы Lⁿ . В задаче требуется производящая функция, которая дает все элементы одновременно, поэтому имеет смысл рассмотреть матрицу L , заданную знакомым степенным рядом (Horváth et al, 2010):
Уравнение 3 Где Lⁿ — это матрица, содержащая количество шагов, пройденных из каждой вершины i к j (общий случай решения задачи 1.
2). Сумма может быть рассчитана с использованием известного тождества для геометрического степенного ряда, а именно:
Чтобы вычислить обратное выражение ( I − z × L) , мы можем использовать правило Крамера. Согласно Horváth et al (2010) для матрицы M пусть Mᵢⱼ обозначает матрицу, полученную из M удалением i -го столбца и j -й строки. Если мы это сделаем, мы получим матрицу N, ij запись равна
Уравнение 5По правилу Крамера, если M обратима (существует некоторая матрица N размера n×n такая, что M × N = N × M = 90928 I_n 902), то 9 9228 I_n 902 Уравнение 6
То есть ij запись обратной матрицы M: 8
Замена M:
Решение 1.3. 9(i+j) (вероятно, из-за обозначений), и он обозначает единичную матрицу с 1 вместо более распространенного I .Задача 1.4
Найти производящую функцию для блужданий от 1 → 3
Для решения задачи 1.
4 просто применим общую формулу для блужданий от i к j (из задачи 1.3) к случаю блужданий от 1 → 3 :
Определители которого несложно найти:
Уравнения 10 и 11. Определители ( I − zL ) и его младший/приведенный определитель ( I ₁₃ − zL ₁₃)Задав следующие выражения, получим, используя определение определителя:
Уравнение 12. Формула для определения производящей функции для обходов из вершины 1 в вершину 3. Уравнение 13. Формула для определения значений производящей функции для блужданий из вершины 1 в вершину 3, решеннаяДля получения коэффициентов этого степенного ряда вычисляется ряд Тейлора функции:
Уравнение 14. f(z) — ряд Маклорена, где fⁿ(0) — n-я производная от f при 0,Для нашего выражения f(z) мы можем использовать правило частных, где g(z) = 2z² и h(z) = 4z³− 6z² −z +1. В фильме Уилл приводит значения первых шести производных разложения f(z):
Решение 1.
4. Разложение Тейлора для определения значений производящей функции для обходов из вершины 1 в вершину 3А потрясенный профессор Ламбо смотрит на правильное решение второй задачи, данное анонимным уборщиком, которого он только что прогнал. Фото : © 1997 Miramax PicturesПоскольку Уилл не расписался на доске за решение первой задачи, профессор Ламбо поставил вторую задачу, о которой он сообщает своему классу , что «нам потребовалось более двух лет, чтобы доказать» . Задача снова касается древовидных структур:
Задача 2
a. Сколько существует деревьев с n помеченными вершинами?
б. Нарисуйте все гомоморфно неприводимые деревья с n = 10
Решения задачи 2
Как указывают Horváth et al (2010), задача 2a на самом деле просто запрашивает формулу Кэли, которая для каждого положительного целого числа n количество деревьев на n -помеченных вершинах равно nⁿ⁻². Формула названа в честь Артура Кэли, но известна с тех пор, как была открыта Карлом Вильгельмом Борхардтом в 1860 году.
учитывайте степени вершин, и поэтому с тех пор он носит его имя. Есть несколько известных доказательств результата.
Последнее задание, задача 2b требует рисунков все гомоморфно неприводимых деревьев с n = 10. Гомоморфно неприводимое дерево — это дерево, не имеющее точек степени 2. Проблема, вероятно, была навеяна статьей «Число гомоморфно неприводимых деревьев и других видов » Харари и Принса ( 1959).
Мы можем сгруппировать гомоморфно неприводимые деревья, пометив их вершины цифрами 1,…., 10 и степени их вершин цифрами d₁, …,d₁₀ (Horváth et al, 2010). Поскольку у деревьев 10 вершин, мы знаем, что у них 9края. Мы можем классифицировать эти различные деревья по количеству их листьев (узлов/вершин степени вершины 1):
- Если есть 9 листьев и 1 нелист, то мы получаем «звезду», единственную вершину, соединенную с каждым листом :
- Если 8 листьев и 2 нелиста, то d₁ + d₂ = 10 и d₁ ≥ d₂ ≥ 3, поэтому либо: a) d₁ =7 и d₂ = 3 (одно дерево), или b ) d₁ = 6 и d₂ = 4 (одно дерево), или c) d₁ = d₂ = 5 (одно дерево).
- Если листьев 7, то d₁ + d₂ + d₃ = 11 и d₁ ≥ d₂ ≥d₃ ≥ 3, поэтому либо а) d₁ = d₂ = 5 и d₃ = 3 (два дерева), либо b) d₁ = 5 и d₂ = d₃ = 3 (три дерева).
- Если листьев 6, то d₁ + d₂ + d₃ +d₄ = 3.
Итого получается 10 деревьев с n=10. На доске в фильме появляется только 8, либо потому, что Уилла прервал профессор Ламбо, либо из-за недосмотра со стороны создателей фильма.
В ранних версиях сценария «Умница Уилл Хантинг» персонаж Уилл был вундеркиндом физиком, но Шелдон Глэшоу из Гарварда предположил, что речь идет о математике, поскольку современная физика — это «обычно групповой проект», тогда как «выполнение какая-то математическая теорема очень часто является единичным предприятием» (Лондон, 2016).