Решить пределы онлайн: Решение пределов. Корни многочленов. Онлайн решение

Замечательные пределы (1)

Замечательные пределы.

При вычислении пределов функций при х → х₀ или х → ∞ часто возникают проблемы из-за того, что функция не определена при х → х₀ (х → ∞).

Первым примером такой функции является функция .

Первым замечательным пределом называется предел этой функции при х → 0:

(1)

Пример 1.

Вычислить предел функции при х → 0.

Решение. Подставляя значение аргумента х = 0 в заданную функцию, видим что функция в заданной точке не определена (имеет неопределенность вида ). Для нахождения предела заданной функции попробуем привести ее к первому замечательному пределу. Используя формулу преобразования тригонометрических функций , получим:

дальнейшие преобразования проведем с использованием основных теорем о пределах.

Второй сомножитель в полученном выражении совпадает с формулой (1). Первый сомножитель так же эквивалентен формуле (1) так как может быть записан в виде: , где z = 2х.

Пример 2.

Найти:

Задание: найти пределы, используя первый замечательный предел и эквивалентность бесконечно малых величин:

=

2.

3.

4.

Второй замечательный предел.

Рассмотрим числовую последовательность: .

Если вычислять значения членов последовательности при натуральных значениях номера n числовой последовательности, то получим:

у₁ = 2; у₂ = 2,25; у₃ = 2,37; у₄ = 2,441; у₅ = 2,488; … … у₁₀ = 2,59; … у₅₀ = 2,69; у₁₀₀ = 2,71.

Из приведенных значений видно, что числовая последовательность является монотонной неубывающей. Это обусловлено увеличением показателя степени при увеличении номера

n числовой последовательности. Если рассматриваемую последовательность представить (по формуле бинома Ньютона) в виде (n + 1) слагаемых, то можно показать, что эта последовательность ограничена сверху.

Ограничение возрастания рассматриваемой числовой последовательности обусловлено стремлением к единице основания степени при увеличении номера n числовой последовательности.

Данная числовая последовательность имеет предел:

. (2)

Формулу (2) называют вторым замечательным пределом.

Число е в математике еще называют числом Эйлера, неперовым числом. Число е является иррациональным и с точностью до шестой значащей цифры оно равно

е = 2,71828….

Если рассматривать числовую последовательность как значения некоторой функции при x = n, то получим другую запись второго замечательного предела:

(3)

Причем этот предел равен

е при х → +∞ и при х → –∞, и формулу (3) можно записать в виде:

(4)

Если в формуле (3) произвести замену независимой переменной (при х → ∞, z → 0) получим еще одну форму записи второго замечательного предела:

(5)

Пример 3.

Вычислить предел функции .

Решение. Для решения приведем данный предел ко второму замечательному пределу в записи формулы (4).

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2 и числитель почленно разделим на знаменатель:

.

2. Сделаем замену переменной и решим по формуле (5):

.

Решение высшей математики онлайн

‹– Назад

        Определение 13.7   Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(13.13)

где и — положительные числа.         

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

(13.14)

где , . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При плоскость поверхность не пересекает.

Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью (рис. 13.20).

Рис.13.20.Дополнительные сечения параболоида

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.

Рис.13.21.Эллиптический параболоид

Если в уравнении (13.13) , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 13.22).

Рис.13.22.Параболоид вращения

        Определение 13.8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(13.15)

где и — положительные числа.         

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение определяет на плоскости пару прямых , изображенных на рисунке 13.23.

Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью также является параболой

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).

Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью , . Уравнения этой линии

Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

(13.16)

где , . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси , а мнимая — оси . Полуоси равны соответственно и . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями , параллельными плоскости . Уравнения этих линий

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью , только сдвинутой вдоль оси на величину вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.

Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

Так как — произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Плоскость , , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая — оси (рис. 13.25).

Рис.13.25.Дополнительное сечение

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.

Рис.13.26.Гиперболический параболоид

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Исчисление I – Бесконечные пределы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.

е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2.6: Бесконечные пределы

В этом разделе мы рассмотрим пределы, значение которых равно бесконечности или минус бесконечности. Эти виды ограничений будут довольно регулярно появляться в последующих разделах и на других курсах, поэтому вам нужно будет справляться с ними, когда вы сталкиваетесь с ними.

Первое, что мы, вероятно, должны сделать здесь, это определить, что мы имеем в виду, когда говорим, что предел имеет значение бесконечности или минус бесконечность.

Определение

Мы говорим

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \]

, если мы можем сделать \(f(x)\) произвольно большим для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не допуская \(x = a\).

Мы говорим

\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = – \infty \]

, если мы можем сделать \(f(x)\) сколь угодно большим и отрицательным для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не позволяя \(x = a\) .

Эти определения могут быть соответственно изменены и для односторонних пределов. Чтобы увидеть более точное и математическое определение этого вида предела, см. раздел «Определение предела» в конце этой главы.

Начнем с довольно типичного примера, иллюстрирующего бесконечные пределы.

9- }} \ frac {1} {x} \ hspace {0,5 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} \]

Показать решение

Итак, мы рассмотрим пару односторонних ограничений, а также обычный предел. Обратите внимание, что во всех трех случаях мы не можем просто подставить \(x = 0\). Если бы мы это сделали, мы бы получили деление на ноль. Также помните, что приведенные выше определения можно легко изменить, чтобы дать аналогичные определения для двух односторонних пределов, которые нам здесь понадобятся.

Теперь есть несколько способов получить значения для этих пределов. Один из способов — подставить несколько точек и посмотреть, к какому значению приближается функция. В предыдущем разделе мы сказали, что больше не будем этого делать, но в данном случае это хороший способ проиллюстрировать, что происходит с этой функцией.

Итак, вот таблица значений \(x\) слева и справа. Используя эти значения, мы сможем оценить значение двух односторонних пределов, и как только мы это сделаем, мы сможем использовать тот факт, что нормальный предел будет существовать только в том случае, если два односторонних предела существуют и имеют одинаковое значение. .

\(х\)	\(\displaystyle \frac{1}{x}\)	\(х\)	\(\displaystyle \frac{1}{x}\)
-0,1	-10	0,1	10
-0,01	-100	0,01	100
-0,001	-1000	0,001	1000
-0,0001	-10000	0,0001	10000

Из этой таблицы видно, что по мере того, как мы делаем \(x\) все меньше и меньше, функция \(\frac{1}{x}\) становится все больше и больше и сохраняет тот же знак, что и \(x\ ) изначально было.

– }} \frac{1}{x} = – \infty \]

Еще один способ увидеть значения двух односторонних пределов здесь — построить график функции. Опять же, в предыдущем разделе мы упоминали, что не будем делать это слишком часто, поскольку большинство функций нельзя просто быстро набросать, а также проблемы с точностью считывания значений с графика. Однако в этом случае не так уж сложно нарисовать график функции, и в этом случае, как мы увидим, точность не будет проблемой. Итак, вот краткий набросок графика.

Итак, на этом графике видно, что функция ведет себя во многом так, как мы и предсказывали, исходя из наших табличных значений. Чем ближе \(х\) к нулю справа, тем больше (в положительном смысле) становится функция, а чем ближе \(х\) к нулю слева, тем больше (в отрицательном смысле) становится функция. .

Наконец, нормального предела в этом случае не будет, поскольку два односторонних предела имеют разные значения.

Таким образом, вот значения трех пределов для этого примера. 9- }} \frac{1}{x} = – \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\mbox{ не существовать}}\]

Для большинства оставшихся примеров в этом разделе мы попытаемся «обговорить» каждое ограничение. Это означает, что мы посмотрим, сможем ли мы проанализировать, что должно произойти с функцией, когда мы подойдем очень близко к рассматриваемой точке, фактически не вставляя какие-либо значения в функцию. Для большинства следующих примеров такой анализ не должен быть слишком сложным. Мы также проверим наш анализ с помощью быстрого графика. 92}}}\]

Показать решение

Как и в предыдущем примере, начнем с двух односторонних пределов. Как только мы получим их, мы сможем определить значение нормального предела.

Итак, давайте сначала взглянем на правый предел и, как отмечалось выше, посмотрим, сможем ли мы выяснить, что будет делать каждый предел, фактически не подставляя в функцию какие-либо значения \(x\). Поскольку мы берем все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь положительными, возведение их в квадрат только уменьшит их (вспомним, что возведение в квадрат числа между нулем и единицей уменьшит его) и, конечно, оно останется положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. В результате должно получиться возрастающее положительное число. Похоже, в этом случае у нас должно быть следующее значение правого предела, 92}}} = \infty\]

Теперь давайте посмотрим на левый предел. В этом случае мы будем брать все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь на этот раз отрицательными. Когда мы возведем их в квадрат, они станут меньше, но после возведения в квадрат результат будет положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом, как и в случае правого предела, будет все большее положительное число, поэтому левый предел будет равен 9.- }} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\]

Показать решение

Начнем снова с правого предела. С правым пределом мы знаем, что у нас есть

\[x > – 2\hspace{0. 5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 > 0\]

Кроме того, по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2, тогда \(x + 2\) будет все ближе и ближе к нулю, оставаясь при этом положительным, как отмечалось выше. Итак, для правого предела у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число. Итак, похоже, что правый предел будет равен отрицательной бесконечности.

Для левого предела у нас есть

\[x < - 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 <0\]

и \(x + 2\) будут все ближе и ближе к нулю (и будут отрицательными) по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2. В этом случае у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее отрицательное число. Результатом будет все большее положительное число, и поэтому похоже, что левый предел будет положительной бесконечностью. 9- }} \frac{{ – 4}}{{x + 2}} = \infty \hspace{0. 5in}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\ limit_{x \to – 2} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\,\,{\mbox{не существует}}\]

Здесь мы должны кратко отметить идею вертикальных асимптот. На каждом из трех предыдущих графиков было по одному. Вспомните из класса алгебры, что вертикальная асимптота — это вертикальная линия (пунктирная линия в точке \(x = -2\) в предыдущем примере), на которой график будет стремиться к бесконечности и/или минус бесконечности с одной или обеих сторон линия. 9+ }} f\left( x \right) = \pm \,\infty \hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \pm \ ,\infty\]

Обратите внимание, что для того, чтобы функция имела вертикальную асимптоту в \(x = a\), требуется только один из указанных выше пределов.

Используя это определение, мы можем видеть, что первые два примера имели вертикальные асимптоты в точке \(x = 0\), а третий пример имел вертикальную асимптоту в точке \(x = – 2\).

На самом деле мы не собираемся здесь много делать с вертикальными асимптотами, но хотели упомянуть их сейчас, так как мы достигли подходящего момента для этого. 3} > 0\] 9- }} \frac{{2x}}{{x – 3}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{x – 3} }\]

Показать решение

Давайте сначала рассмотрим правый предел. Для этого предела у нас будет

\[x > 3\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,5in}x – 3 > 0\]

Основное отличие здесь от этого примера заключается в поведении числителя по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3. В этом случае мы имеем следующее поведение как для числителя, так и для знаменателя.

\[x – 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]

Итак, по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3 (всегда оставаясь справа, конечно), числитель, хотя и не является константой, все ближе и ближе к положительной константе, в то время как знаменатель становится все ближе и ближе к нулю и будет положительным, так как мы находимся на правой стороне.

Это означает, что у нас будет числитель, который все ближе и ближе к ненулевой и положительной константе, деленной на все меньшее положительное число, и поэтому результатом должно быть все большее положительное число. Тогда правый предел должен равняться положительной бесконечности.

Для левого предела у нас будет

\[x < 3\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x - 3 <0\]

Как и в случае правого предела, у нас будет следующее поведение числителя и знаменателя:

\[x – 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]

Основное отличие в этом случае состоит в том, что знаменатель теперь будет отрицательным. Итак, у нас будет числитель, который приближается к положительной, отличной от нуля константе, деленной на все меньшее отрицательное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число. 9- }} \frac{{2x}}{{x – 3}} = – \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{ x – 3}}{\mbox{ не существует}}\]

Как и в большинстве примеров в этом разделе, нормального предела не существует, поскольку два односторонних предела не совпадают.

Вот краткий график для проверки наших пределов.

Пока все, что мы сделали, это рассмотрели пределы рациональных выражений, давайте сделаем пару быстрых примеров с некоторыми другими функциями. 9+ }} \ln \влево( х \вправо)\]

Показать решение

Во-первых, обратите внимание, что здесь мы можем оценить только правосторонний предел. Мы знаем, что областью определения любого логарифма являются только положительные числа, поэтому мы даже не можем говорить о левостороннем пределе, потому что это потребовало бы использования отрицательных чисел. Точно так же, поскольку мы не можем иметь дело с левосторонним пределом, мы не можем говорить и о нормальном пределе.

Этот предел довольно просто получить из быстрого наброска графика. 9- }} \tan \left( x \right) = \infty \]

Обратите внимание, что нормального предела не будет, поскольку два односторонних предела не совпадают.

Мы закончим этот раздел несколькими фактами о бесконечных пределах.

Факты

Учитывая функции \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\), предположим, что мы имеем, \[\ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to c} f \ left ( x \ right) = \ infty \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limits_ {x \ to c} g\left( x \right) = L\]

для некоторых действительных чисел \(c\) и \(L\). Тогда

1. \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \infty \)
2. Если \(L > 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \infty\)
3. Если \(L < 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty\)
4. \(\displaystyle \mathop {\lim}\limits_{x \to c} \frac{{g\left(x\right)}}{{f\left(x\right)}} = 0\)

Доказательство этого набора фактов см. в разделе «Доказательство различных предельных свойств» в главе «Дополнительно».

Отметим также, что приведенный выше набор фактов справедлив и для односторонних пределов. Они также будут выполняться, если \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = – \infty \) со сменой знака бесконечностей в первых трех частях. Доказательства этих изменений в фактах почти идентичны доказательствам первоначальных фактов и поэтому оставлены на ваше усмотрение.

Как решать предельные значения с помощью калькулятора

Обновлено: 16.07.2021

Учебное пособие по исчислению для чайников с онлайн-практикой

Изучить книгу Купить на Amazon

С помощью калькулятора можно решить большинство проблем с предельным значением. Есть два основных метода. Например, предположим, что вы хотите оценить следующий предел:

Первый метод

Вот что вы делаете. Возьмите число, очень близкое к 5, и подставьте его в x. Если у вас есть калькулятор Texas Instruments TI-84, выполните следующие действия:

1. Введите свой номер, например 4,9999, на главном экране.

2. Нажмите кнопку Sto (сохранить), затем кнопку x , а затем кнопку Enter .

   Сохраняет число в формате x.

3. Введите функцию:

4. Нажмите Enter.

   Результат 9,9999 очень близок к круглому числу 10, так что это и есть ваш ответ.

5. На всякий случай запишите 4,999999 в x .

   Выполните процедуру шага 2.

6. Вернитесь к функции, нажав 2nd , Enter , 2nd , Enter .

7. Нажмите Введите еще раз.

   Получится 9,999999 — даже ближе к 10. Если у вас еще остались сомнения, попробуйте еще одно число.

8. Сохранить 4.99999999 в x , прокрутите вверх до функции и нажмите , введите .

   Результат, 10, подтверждает это. (Значение функции 4,99999999 на самом деле не равно 10, но оно настолько близко, что калькулятор округляет его до 10. )

Кстати, если вы используете другую модель калькулятора, вы, скорее всего, сможете добиться того же результата с помощью той же техники или чего-то очень близкого к ней.

Метод второй

Второй метод калькулятора заключается в создании таблицы значений:

1. В графическом режиме вашего калькулятора введите следующее:

2. Перейдите к «настройке стола» и введите номер ограничения, 5, в качестве «начала стола».

3. Введите небольшое число, например 0,001, для ∆ Tbl .

   Это размер приращений x- в таблице.

4. Нажмите кнопку Tab le , чтобы создать таблицу.

5. Прокрутите вверх, чтобы увидеть пару цифр меньше 5.

   Вы должны увидеть таблицу значений, похожую на ту, что в этой таблице.

   Х	Д
   4,998	9,998
   4,999	9,999
   5	Ошибка
   5. 001	10.001
   5,002	10.002
   5,003	10.003

Потому что y очень близко к 10, так как x обнуляют 5 сверху и снизу, 10 — это предел.

Эти методы расчета полезны по ряду причин:

• Ваш калькулятор может дать вам ответы на предельные задачи, которые невозможно решить алгебраически.

• Он может решить предельные задачи, которые вы могли бы решить с помощью бумаги и карандаша, за исключением того, что вы зашли в тупик.

• Для задач, которые вы решаете на бумаге, вы можете проверить свои ответы с помощью калькулятора.

Многие математические задачи можно решить алгебраически, графически, и численно . По возможности используйте два или три подхода. Каждый подход дает вам другой взгляд на проблему и улучшает ваше понимание соответствующих концепций.

Используйте методы калькулятора в дополнение к алгебраическим методам, но не слишком полагайтесь на них.