РЕШЕНО: Решите следующую систему линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса: 4X1 5 Xz + 6X3 x4 = 4 2 X1 Xz + 3×3 + X4 = 2 X1 +X2 +2×3 + 2 x4 = 6 X1
Вопрос
Решите следующую систему линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса: 4X1 5 Xz + 6X3 ~ x4 = 4 2 X1 ~ Xz + 3×3 + X4 = 2 X1 +X2 +2×3 + 2×4 = 6 X1 – 2×2 + х3 + 2х4 =5
Шаг за шагом Ответ:
Шаг 1/2
Сначала запишем расширенную матрицу системы уравнений.
[4 5 6 1]
[2 -1 3 1]
[1 1 2 2]
[1 -2 1 2]
Затем мы применяем метод исключения Гаусса, чтобы преобразовать матрицу в верхнюю треугольную матрицу.
[4 5 6 1]
[0 -3 0 0]
[0 0 -1 1]
[0 0 0 -1]
Теперь мы можем решить систему уравнений обратной подстановкой.
-1×4 = -1
-1×3 + 1×4 = 0
-3×2 = 0
4х1 + 5х2 + 6х3 + 1х4 = 4
Из третьего уравнения получаем x2 = 0. Тогда из второго уравнения получаем x3 = 0.
Подставляя эти значения в четвертое уравнение, получаем 4×1 = 4, что дает x1 = 1,
Рекомендация видео с лучшим совпадением:
Решено проверенным экспертом
У нас нет заданного вами вопроса, но вот рекомендуемое видео, которое может помочь.
Вопрос о наилучшем совпадении
Пошаговый ответ
Найдите решение системы линейных уравнений с помощью функции Гаусса Жордана метод исключения X1 – X2 – 2×3 +x4 = 0 2×1 – X2 – 3×3 + 2×4 = -6 ~X1 – 2×2 + X3 + 3×4 = 3 X1 + xz – X3 + 2×4 = 1
Рекомендуемые видео
Стенограмма
Если вы запишете это как расширенную матрицу, это будет выглядеть как из первого уравнения: 1 отрицательное, 1 отрицательное 21 с 0 второе уравнение: 2 отрицательное, 1, отрицательное 3, положительное, 2 отрицательное 6 третье уравнение. Было 1 отрицательное и 2133 отрицательных балла. Вы хотите уменьшить строку. Придется немного потрудиться, если делать это вручную. Если вам нужно сделать это вручную с помощью строковых операций или калькулятора, просто скажите нам, что вы хотите, и мы создадим для вас матрицу 4 на 5.
Поделиться вопросом
Добавить в плейлист
Хммм, похоже, у вас нет плейлистов. Пожалуйста, добавьте свой первый плейлист.
`
Метод исключения Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений
Что вы знаете о решении систем линейных уравнений? Этот тип заданий часто предлагается учащимся в домашнем задании по линейной алгебре. В одном из наших видео мы обсуждали, что система линейных уравнений может быть решена с использованием правила Крамера, которое включает поиск определителей, и это может быть сложно при работе с системами из 4, 5 или более уравнений. К счастью, есть еще один метод, который позволяет избежать массовых вычислений. И это называется методом исключения Гаусса (или сокращением строк).
\left\{ \begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n =b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n =b_2\\ …& & \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n = b_m\конец{выровнено}\справа.
a_{ij}– коэффициенты при неизвестных,
b_i– свободные члены (правые части уравнений).
Давайте думать об этом как о наборе условий, дающих нам информацию о неизвестных. Это можно записать как… если взять, скажем, столько-то этого неизвестного, отмеченного как х_1, и столько-то другого неизвестного – х_2, то какое-то количество следующего неизвестного и, скажем, просуммировать их – получится столько-то из b_1. Конечно, этой информации недостаточно для определения всех неизвестных, поэтому уравнений больше. если мы возьмем столько же неизвестных x_1 и вычтем столько же из x_2, затем добавим некоторые другие неизвестные и вычтем еще какие-то – мы получим столько же из b_2. И так далее.
- совершенно очевидно, что мы можем поменять местами любую пару уравнений в наборе, потому что порядок, в котором мы получаем эту информацию, не важен. Идея состоит в том, чтобы иметь достаточно информации, но не особенно упорядоченной;
- еще один простой вывод, который приходит на ум, заключается в том, что мы можем умножать обе части любого уравнения на любую ненулевую константу и это не изменит систему, как и прибавление к обеим частям любого из уравнений соответствующих частей любого другого уравнения .
Мы можем выполнять эти элементарные преобразования столько раз, сколько захотим. Это приведет к эквивалентной системе уравнений, потому что при этом мы фактически не производим и не уменьшаем информацию о неизвестных, а просто реорганизуем ее.
Что мы будем делать со всем этим? Очевидно, мы найдем эти свойства существенными при решении системы уравнений методом Гаусса.
Рассмотрим реальный пример системы линейных уравнений:
\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\x_1-2x_2+5x_3+2x_4 =2\\2x_2-4x_3+5x_4 =-1\\2x_3+x_4 =-3 \ конец {выровнено}\справа.
Это хорошая привычка сформировать красивые столбцы переменных, прежде чем решать какую-либо систему. Это должно уберечь нас от ошибок, и мы будем двигаться быстрее. Во-вторых, перестроим систему так, чтобы уравнения со всеми неизвестными оказались вверху. Теперь давайте выберем первые два уравнения из системы и исключим первое неизвестное из одного из них. Неважно, какое уравнение и какое неизвестное выбрать, единственное условие — оба уравнения должны его содержать :).
Хорошо, вернемся к устранению. Как это сделать? Более чем просто — сначала умножаем или делим одно из выбранных уравнений на некоторое число, чтобы в нем было столько же x_1, сколько в другом, но с обратным знаком. Во-вторых, мы складываем соответствующие части этих двух уравнений, и таким образом неизвестный x_1 сокращается. Причинно не будет разницы, если мы добавим первое уравнение ко второму или наоборот.
Итак, давайте умножим первое уравнение на \frac{1}{2}, добавим его ко второму и заменим существующее второе уравнение новым. После всего этого получаем новую эквивалентную систему:
\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\-4x_2+\frac{13}{2} x_3+x_4 =2\\2x_2-4x_3+5x_4 =-1\\2x_3 +x_4 =-3 \end{выровнено}\вправо.
Как видите, мы исключили x_1 из второй строки.
Теперь умножим его на \frac{1}{2}, добавим результат к уравнению в третьей строке, а затем заменим существующее уравнение вновь полученным.
\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\-4x_2+\frac{13}{2} x_3+x_4 =2\\-\frac{3}{4}x_3+\ frac{11}{2}x_4 =0\\2x_3+x_4 =-3 \end{выровнено}\right.
Мы исключили x_2 из третьего уравнения. Нашим последним ходом будет исключение x_3 из четвертого уравнения.
Итак, давайте умножим это на -\frac{3}{8}, добавим к уравнению третьей строки и поместим результат в четвертую строку.
Наша окончательная эквивалентная система выглядит следующим образом:
\left\{ \begin{aligned}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\-4x_2+\frac{13}{2} x_3+x_4 =2\\- \frac{3}{4}x_3+\frac{11}{2}x_4 =0\\ \frac{41}{8}x_4 =\frac{9}{8} \end{выровнено}\right.
Получили систему верхнетреугольной формы.
Нахождение неизвестных треугольной системы называется обратным ходом метода Гаусса. На самом деле довольно легко понять, как двигаться дальше. Сначала найдем x_4 из четвертого уравнения. Затем мы просто подставим x_4 в третье уравнение, чтобы найти x_3. После этого мы подставим x_4 и x_3 во второе уравнение, чтобы найти x_2.
Итак, вот ответ нашей системы:
\left\{ \begin{align}x_1 =-\frac{88}{41}\\x_2=\frac{89}{41}\\x_3=\frac{66}{41}\\ x_4 = \frac{9}{41} \end{выровнено}\right.
Вы можете проверить это, если хотите.
В общем случае может случиться так, что при преобразовании системы мы получим противоречивое уравнение вида 0 = b, где b \neq 0. Это означает, что система не имеет решений. Такие системы называются несовместными.
Также может случиться так, что вы будете следовать методу правильно, но не получите эту красивую треугольную форму и это последнее уравнение \frac{41}{8}x_4 = \frac{9{8} откуда можно получить x_4 и решить систему. Вместо этого вы сталкиваетесь со случаем, когда вы можете выразить одни неизвестные только в терминах другого. Бояться нечего, это нормально 🙂 В одном из следующих разделов мы выберем пример, показывающий именно этот случай.
Метод исключения Гаусса часто даже более удобен, чем метод Крамера (правило Крамера), который требует вычисления определителей, и эта операция сложна для систем высокого порядка.