Решить систему линейных уравнений методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Пример решения методом Крамера

Задание. Дана система линейных уравнений. Найти неизвестные xi методом Крамера.
2 x 1 + 5x2 + 4x3+ x4= 20
x 1 + 3x2 + 2x3+ x4= 11
2 x 1 + 10x2 + 9x3+ 9x4= 40
3 x 1 + 8x2 + 9x3+ 2x4= 37

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

BT = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):


4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель:
∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Определитель минора:
1 = 20∙(-67)-11∙(-89)+40∙(-6)-37∙(-16)

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 11∙(9∙2-9∙9)-40∙(2∙2-9∙1)+37∙(2∙9-9∙1)= -160
Минор для (2,1):

2,1 = 20∙(9∙2-9∙9)-40∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙9-9∙1)= -221
Минор для (3,1):

3,1 = 20∙(2∙2-9∙1)-11∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙1-2∙1)= -15
Минор для (4,1):

4,1 = 20∙(2∙9-9∙1)-11∙(4∙9-9∙1)+40∙(4∙1-2∙1)= -37
Определитель минора:
2 = 2∙(-160)-1∙(-221)+2∙(-15)-3∙(-37)

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 3∙(40∙2-37∙9)-10∙(11∙2-37∙1)+8∙(11∙9-40∙1)= -137
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(40∙2-37∙9)-10∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙9-40∙1)= -175
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(11∙2-37∙1)-3∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙1-11∙1)= -12
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(11∙9-40∙1)-3∙(20∙9-40∙1)+10∙(20∙1-11∙1)= -35
Определитель минора:
3 = 2∙(-137)-1∙(-175)+2∙(-12)-3∙(-35)

Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 3∙(9∙37-9∙40)-10∙(2∙37-9∙11)+8∙(2∙40-9∙11)= 17
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(9∙37-9∙40)-10∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙40-9∙20)= 25
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(2∙37-9∙11)-3∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙11-2∙20)= 3
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(2∙40-9∙11)-3∙(4∙40-9∙20)+10∙(4∙11-2∙20)= 5
Определитель минора:
4
= 2∙17-1∙25+2∙3-3∙5

Выпишем отдельно найденные переменные Х:



см. также Вычисление определителя разложением по столбцу.

Пример №2. Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

A =
123
456
780
BT = (6,9,-6)
Главный определитель:
∆ = 1 • (5 • 0-8 • 6)-4 • (2 • 0-8 • 3)+7 • (2 • 6-5 • 3) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В
.
1 =
623
956
-680
Найдем определитель полученной матрицы.
1 = 6 • (5 • 0-8 • 6)-9 • (2 • 0-8 • 3)+(-6 • (2 • 6-5 • 3)) = -54
x1 = -54/27 = -2
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
163
496
7-60
Найдем определитель полученной матрицы.

2 = 1 • (9 • 0-(-6 • 6))-4 • (6 • 0-(-6 • 3))+7 • (6 • 6-9 • 3) = 27
x2 = 27/27 = 1
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
126
459
78-6
Найдем определитель полученной матрицы.
3 = 1 • (5 • (-6)-8 • 9)-4 • (2 • (-6)-8 • 6)+7 • (2 • 9-5 • 6) = 54
x3 = 54/27 = 2
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -54/27 = -2
x2 = 27/27 = 1
x3 = 54/27 = 2
Проверка
.
1•-2+2•1+3•2 = 6
4•-2+5•1+6•2 = 9
7•-2+8•1+0•2 = -6

Пример №2. Запишем систему в виде:

A =
2-112-5
1-1-50
3-2-2-5
7-5-9-1
BT = (1,0,3,-4)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-2-5
-5-9-1
Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
2,1 =
-112-5
-2-2-5
-5-9-1

2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
3,1
=
-112-5
-1-50
-5-9-1
3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
4,1 =
-112-5
-1-50
-2-2-5
4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Главный определитель:
∆ = 2 • (-72)-1 • 279+3 • 63-7 • (-45) = 81
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
1-112-5
0-1-50
3-2-2-5
-4-5-9-1
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-2-5
-5-9-1
1,1
= -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
2,1 =
-112-5
-2-2-5
-5-9-1
2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
3,1 =
-112-5
-1-50
-5-9-1
3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
4,1 =
-112-5
-1-50
-2-2-5
4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Определитель минора:
1 = 1 • (-72)-0 • 279+3 • 63-(-4 • (-45))
x1 = -63/81 = -0. 78
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
2112-5
10-50
33-2-5
7-4-9-1
Минор для (1,1):
1,1 =
0-50
3-2-5
-4-9-1
1,1 = 0 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))+(-4 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -115
Минор для (2,1):
2,1 =
112-5
3-2-5
-4-9-1
2,1 = 1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 408
Минор для (3,1):
3,1 =
112-5
0-50
-4-9-1
3,1 = 1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-0 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 105
Минор для (4,1):
4,1 =
112-5
0-50
3-2-5
4,1 = 1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-0 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))+3 • (12 • 0-(-5 • (-5))) = -50
Определитель минора:
2 = 2 • (-115)-1 • 408+3 • 105-7 • (-50)
x2 = 27/81 = 0. 33
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
2-11-5
1-100
3-23-5
7-5-4-1
Минор для (1,1):
1,1 =
-100
-23-5
-5-4-1
Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (0 • (-1)-(-4 • 0)))+(-5 • (0 • (-5)-3 • 0)) = 23
Минор для (2,1):
2,1 =
-11-5
-23-5
-5-4-1
2,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • (-5)-3 • (-5))) = -69
Минор для (3,1):
3,1 =
-11-5
-100
-5-4-1
3,1 = -1 • (0 • (-1)-(-4 • 0))-(-1 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • 0-0 • (-5))) = -21
Минор для (4,1):
4,1 =
-11-5
-100
-23-5
4,1 = -1 • (0 • (-5)-3 • 0)-(-1 • (1 • (-5)-3 • (-5)))+(-2 • (1 • 0-0 • (-5))) = 10
Определитель минора:
3 = 2 • 23-1 • (-69)+3 • (-21)-7 • 10
x3 = -18/81 = -0. 22
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
4 =
2-1121
1-1-50
3-2-23
7-5-9-4
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-23
-5-9-4
1,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (-5 • (-4)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • 3-(-2 • 0))) = 80
Минор для (2,1):
2,1 =
-1121
-2-23
-5-9-4
2,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 3-(-2 • 1))) = -303
Минор для (3,1):
3,1 =
-1121
-1-50
-5-9-4
3,1 = -1 • (-5 • (-4)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 0-(-5 • 1))) = -84
Минор для (4,1):
4,1 =
-1121
-1-50
-2-23
4,1 = -1 • (-5 • 3-(-2 • 0))-(-1 • (12 • 3-(-2 • 1)))+(-2 • (12 • 0-(-5 • 1))) = 43
Определитель минора:
4 = 2 • 80-1 • (-303)+3 • (-84)-7 • 43
x4 = -90/81 = -1. 11
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -63/81 = -0.78
x2 = 27/81 = 0.33
x3 = -18/81 = -0.22
x4 = -90/81 = -1.11
Проверка.
2•-0.78+-1•0.33+12•-0.22+-5•-1.11 = 1
1•-0.78+-1•0.33+-5•-0.22+0•-1.11 = 0
3•-0.78+-2•0.33+-2•-0.22+-5•-1.11 = 3
7•-0.78+-5•0.33+-9•-0.22+-1•-1.11 = -4

Пример №3. Запишем систему в виде:

A =
21-1
1-22
311
BT = (-1,-3,-8)
Главный определитель:
∆ = 2 • (-2 • 1-1 • 2)-1 • (1 • 1-1 • (-1))+3 • (1 • 2-(-2 • (-1))) = -10 = -10
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
-11-1
-3-22
-811
1 = -1 • (-2 • 1-1 • 2)-(-3 • (1 • 1-1 • (-1)))+(-8 • (1 • 2-(-2 • (-1)))) = 10
x1 = 10/-10 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
2-1-1
1-32
3-81
2 = 2 • (-3 • 1-(-8 • 2))-1 • (-1 • 1-(-8 • (-1)))+3 • (-1 • 2-(-3 • (-1))) = 20
x2 = 20/-10 = -2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
21-1
1-2-3
31-8
3 = 2 • (-2 • (-8)-1 • (-3))-1 • (1 • (-8)-1 • (-1))+3 • (1 • (-3)-(-2 • (-1))) = 30
x3 = 30/-10 = -3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = 10/-10 = -1
x2 = 20/-10 = -2
x3 = 30/(-10) = -3
Проверка.
2•-1+1•-2+-1•-3 = -1
1•-1+-2•-2+2•-3 = -3
3•-1+1•-2+1•-3 = -8

Пример №4. Запишем систему в виде:

A =
1-11
43-2
2-15
BT = (0,-4,11)
Главный определитель:
∆ = 1 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-4 • (-1 • 5-(-1 • 1))+2 • (-1 • (-2)-3 • 1) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
0-11
-43-2
11-15
1 = 0 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-(-4 • (-1 • 5-(-1 • 1)))+11 • (-1 • (-2)-3 • 1) = -27
x1 = -27/27 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
101
4-4-2
2115
2 = 1 • (-4 • 5-11 • (-2))-4 • (0 • 5-11 • 1)+2 • (0 • (-2)-(-4 • 1)) = 54
x2 = 54/27 = 2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
1-10
43-4
2-111
3 = 1 • (3 • 11-(-1 • (-4)))-4 • (-1 • 11-(-1 • 0))+2 • (-1 • (-4)-3 • 0) = 81
x3 = 81/27 = 3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -27/27 = -1
x2 = 54/27 = 2
x3 = 81/27 = 3
Проверка.
1•-1+-1•2+1•3 = 0
4•-1+3•2+-2•3 = -4
2•-1+-1•2+5•3 = 11

Пример №5. Запишем матрицу в виде:

A =
122
2-21
31-1
Главный определитель:
∆ = 1 • (-2 • (-1)-1 • 1)-2 • (2 • (-1)-1 • 2)+3 • (2 • 1-(-2 • 2)) = 27

Пример №6. При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:

  • столбцы матрицы А линейно независимы;
  • определитель матрицы А не равен нулю;

Пример №7. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения.
-75x 1 + 35 x 2 + 25 x 3 = -4,5
25x 1 – 70x 2 + 25 x 3 = -20
15x 1 + 10x 2 – 5 5 x 3 = -30

  • Решение
  • Видеоинструкция

Решение получаем через калькулятор. Запишем систему в виде:

BT = (-4.5,-20,-30)
Главный определитель:
∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
1 = -4.5∙(-70∙(-55)-10∙25)-(-20∙(35∙(-55)-10∙25))+(-30∙(35∙25-(-70∙25)))= -138450

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
2 = -75∙(-20∙(-55)-(-30∙25))-25∙(-4.5∙(-55)-(-30∙25))+15∙(-4.5∙25-(-20∙25))= -157875

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
3 = -75∙(-70∙(-30)-10∙(-20))-25∙(35∙(-30)-10∙(-4.5))+15∙(35∙(-20)-(-70∙(-4.5)))= -162600

Выпишем отдельно найденные переменные Х


Пример №8. Решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
Скачать решение

Перейти к онлайн решению своей задачи

Уравнения и системы уравнений

Эта страница содержит онлайн калькуляторы для решения различных типов уравнений (линейных, квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических и др.), а также систем линейных и нелинейных уравнений. Кроме того, представлены решатели обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решатели уравнений 9

Решите линейное уравнение Онлайн-калькулятор умеет решать линейные уравнения с пошаговым решением.

Решите квадратное уравнение Калькулятор решает квадратные уравнения с помощью дискриминантной формулы и, если возможно, более простыми методами.

Решите кубические уравнения Калькулятор решает кубические уравнения множеством различных способов, начиная от самых простых и заканчивая формулами Кардано.

Решите произвольное уравнение мощности Калькулятор решает полиномиальные уравнения произвольной степени. Для нахождения корней уравнения калькулятор использует численный алгоритм.

Решите тригонометрические уравнения Калькулятор решает тригонометрические уравнения с пошаговым решением.

Решите показательные уравнения Калькулятор умеет решать показательные уравнения. Пошаговое решение тоже присутствует.

Решите логарифмические уравнения Калькулятор способен решить любое логарифмическое уравнение с пошаговым решением.

Решатель диофантовых линейных уравнений NEW Калькулятор решает любое линейное диофантово уравнение с пошаговым решением

Решите уравнения любой формы Калькулятор решает уравнения любого типа. Если калькулятор не может найти точное решение уравнения, используются численные алгоритмы.

Решатели обыкновенных дифференциальных уравнений 2

Решите дифференциальные уравнения Калькулятор решает дифференциальные уравнения с пошаговым решением.

Калькулятор задач Коши NEW Калькулятор решает задачу Коши с пошаговым решением.

Решатели систем уравнений 4

Решить систему линейных уравнений методом подстановки Калькулятор решает СЛАУ методом подстановки с пошаговым решением.

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера Калькулятор решает СЛАУ по правилу Крамера. Пошаговое решение также доступно.

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы Калькулятор решателя СЛАУ методом обратной матрицы. Пошаговое решение также доступно.

Калькулятор системы уравнений Онлайн-калькулятор способен решить практически любую систему уравнений, даже очень сложную.

Метод Крамера в Excel. Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Алгебраические уравнения линейных систем также можно решать с помощью надстройки “Поиск решения”. При использовании этого дополнения строится последовательность приближений , i=0,1,…n.

Назовем остаточный вектор следующий вектор:

Задача Excel найти такое приближение , при котором вектор невязки стал бы нулевым , т.е. добиться совпадения значений правой и левой частей системы.

В качестве примера рассмотрим СЛАУ (3.27).

Секвенирование:

1. Составим таблицу, как показано на рисунке 3.4. Введем коэффициенты системы (матрицы А) в ячейки А3:С5.

Рис.3.4. Решение СЛАУ с помощью модуля «Поиск решения»

2. В ячейках A8:C8 будет сформировано решение системы (x 1, x 2, x 3) . Изначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. В дальнейшем будем называть их смена ячеек. . Однако для контроля правильности вводимых ниже формул удобно вводить в эти ячейки любые значения, например, единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, = (1, 1, 1).

3. В столбце D вводим выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введите и скопируйте формулу в конец таблицы:

D3=СУММПРОИЗВ(A3:C3;$A$8:$C$8).

Используемая функция СУММПРОИЗВ принадлежит к категории Математические .

4. В столбец E записываем значения правых частей системы (матрица B).

5. В столбце F вводим остатки по формуле (3.29), т.е. вводим формулу F3=D3-E3 и копируем ее в конец таблицы.

6. Не лишним будет проверить правильность вычислений для случая = (1, 1, 1).

7. Выбрать команду Данные\Анализ\Поиск решения .

Рис. 3.5. Окно надстройки Solver

В окне Поиск решения (рис.3.5) в поле Изменяемые ячейки указать блок $A$8:$C$8, и в поле Ограничения $ F$3:$F$5=0 . Далее нажимаем на кнопку Добавить и вводим эти ограничения. А затем кнопка Выполнить

Полученное решение систем (3.28) х 1 = 1 ; Х 2 = –1 Х 3 = 2 записывается в ячейки A8:C8, рис. 3.4.

Реализация метода Якоби с помощью MS Excel

В качестве примера рассмотрим систему уравнений (3.19), решение которой было получено выше методом Якоби (Пример 3.2)

Приведем эту систему к нормальной форме:

Последовательность

1. Составим таблицу, как показано на рис. 3.6.:

Введем матрицы и (3.15) в ячейки B6:E8.

Значение e – в H5.

Номер итерации k сформируем в столбце А таблицы с помощью автозаполнения.

В качестве нулевого приближения выбираем вектор

= (0, 0, 0) и вписываем его в ячейки B11:D11.

2. Используя выражения (3.29), в ячейки B12:D12 запишем формулы для расчета в первом приближении:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8 .

Эти формулы можно записать по-разному, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ

В ячейку E12 введите формулу: E12=ABS(B11-B12) и скопируйте ее справа, в ячейки F12:G12.

Рис.3.6. Схема решения СЛАУ методом Якоби

3. В ячейку h22 ввести формулу расчета M(k) , по выражению (3.18): h22 = MAX(E12:G12). Функция MAX относится к категории статистический.

4. Выберите ячейки B12:h22 и скопируйте их в конец таблицы. Таким образом, мы получаем k приближений решения СЛАУ.

5. Определить приближенное решение системы и количество итераций, необходимое для достижения заданной точности e .

Для этого оценим степень близости двух соседних итераций по формуле (3.18). Используем условное форматирование в ячейках столбца.

Результат такого форматирования показан на рис. 3.6. Клетки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.18), т.е. меньше е =0,1, окрашиваются.

Анализируя результаты, примем четвертую итерацию как приближенное решение исходной системы с заданной точностью e=0,1, т.е.

Исследуя характер итерационного процесса . Для этого выделим блок ячеек A10:D20 и с помощью мастера диаграмм , построим графики изменения каждой компоненты вектора решения в зависимости от номера итерации,

Приведенные графики (рис. 3.7) подтверждают сходимость итерационного процесса.

Рис. 3.7. Иллюстрация сходящегося итерационного процесса

Меняя в ячейке H5 значение e , мы получаем новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Реализация метода прогонки с помощью Excel

Рассмотрим решение следующей системы линейных алгебраических уравнений методом «прогонки» с использованием таблиц excel .

Векторы :

Последовательность

1. Составим таблицу, как показано на рис. 3.8. В ячейки B5:E10 будут введены исходные данные расширенной матрицы системы (3.30), т.е. векторы.

2. О скачках коэффициенты U 0 =0 и V 0 =0 введите в ячейки G4 и h5 соответственно.

3. Рассчитайте коэффициенты развертки L i , U i , Vi . Для этого в ячейках F5, G5, H5 вычисляем L 1 , U 1 , V 1 . по формуле (3.8). Для этого введем формулы:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*h5)/F5, а затем скопируйте их вниз.

Рис.3.8. Расчетная схема метода «развертки»

4. В ячейке I10 вычисляем x6 по формуле (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. По формуле (3.7) вычисляем все остальные неизвестные х 5 х 4 , х 3 , х 2 , х 1 . Для этого в ячейке I9 посчитаем х5 по формуле (3.6): I9=G9*I10+H9 . А затем скопируйте эту формулу вверх.

тестовых вопросов

1. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Каково решение СЛАУ. Когда имеется единственное решение СЛАУ.

2. Общая характеристика прямых (точных) методов решения СЛАУ. Методы и прогонки Гаусса.

3. Общая характеристика итерационных методов решения СЛАУ. Методы Якоби (простые итерации) и Гаусса-Зейделя.

4. Условия сходимости итерационных процессов.

5. Что понимается под условиями условности задач и расчетов, корректности задачи решения СЛАУ.

Глава 4

Численное интегрирование

При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла: , моментов инерции, умножение диаграмм по формуле Мора и др. сводится к вычислению определенного интеграла.

При непрерывной на отрезке [ a, b ] функция y = f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x) , т. е. F’ (x) = f(x) , то интеграл (4.1) можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако только для узкого класса функций y=f(x) первообразная F(x) может быть выражена в элементарных функциях . Кроме того, функция y=f(x) можно указать графически или таблично. В этих случаях используются различные формулы для приближенного вычисления интегралов.

Такие формулы называются квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.

Формулы численного интегрирования хорошо иллюстрируются графически. Известно, что значение определенного интеграла (4.1) пропорционально площади криволинейной трапеции, образованной подынтегральной функцией y=f(x) , прямой x=a и x=b, ось OH (рис.4.1).

Задача вычисления определенного интеграла (4.1) заменяется задачей вычисления площади этой криволинейной трапеции. Однако задача нахождения площади криволинейной непростая.

Отсюда идея численного интегрирования будет заключаться в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто.

у=f(х)

Рис.4.1. Геометрическая интерпретация численного интегрирования

Для этого интервал интегрирования [ a, b ] разбивается на n равных элементарных отрезков (i=0, 1, 2, …. .,n-1), шагов на шаг h=(b-a)/n. При этом криволинейная трапеция разобьется на n элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h (рис.4.1).

Каждая элементарная криволинейная трапеция заменяется фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто. Обозначим эту область Си. Сумма всех этих площадей называется интегральной суммой и рассчитывается по формуле

Тогда приближенная формула для вычисления определенного интеграла (4.1) имеет вид

Точность расчета по формуле (4.4 ) зависит от шага h , т.е. от количества разделов n. При увеличении n интегральная сумма приближается к точному значению интеграла

Это хорошо показано на рис. 4.2.

Рис.4.2. Зависимость точности вычисления интеграла

от числа разбиений

В математике доказана теорема: если функция y=f(x) непрерывна на , то предел интегральной суммы b n существует и не не зависит от того, как отрезок разбивается на элементарные отрезки.

Формула (4.4) может быть использована, если степень точности таких приближений . Существуют различные формулы для оценки погрешности выражения (4.4), но, как правило, они достаточно сложны. Оценим точность аппроксимации (4.4) методом полушаг .

В этой статье мы объясним, как использовать формулы для решения систем линейных уравнений.

Вот пример системы линейных уравнений:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Решение состоит в том, чтобы найти такие значения X и при , которые удовлетворяют обоим уравнениям. Эта система уравнений имеет одно решение:
x=7,5
y=-3,625

Количество переменных в системе уравнений должно быть равно количеству уравнений. В предыдущем примере используются два уравнения с двумя переменными. Три уравнения требуются для того, чтобы найти значения трех переменных ( X , в и z ). Общие действия по решению систем уравнений следующие (рис. 128.1).

  1. Выразите уравнения в стандартной форме. При необходимости используйте базовую алгебру и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались слева от знака равенства. Следующие два уравнения идентичны, но второе дано в стандартной форме:
    3x – 8 = -4y
    3x + 4y = 8 .
  2. Поместите коэффициенты в диапазон ячеек размером n x n , где n — количество уравнений. На рис. 128.1 коэффициенты находятся в диапазоне I2:J3.
  3. Поместите константы (числа справа от знака равенства) в вертикальный диапазон ячеек. На рис. 128.1 константы находятся в диапазоне L2:L3 .
  4. Используйте массив формул для вычисления обратной матрицы коэффициентов. На рис. 128.1 вводится следующая формула массива в диапазоне I6:J7 (не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter для ввода формулы массива): =ОБР(I2:J3) .
  5. Используйте формулу массива, чтобы умножить обратную матрицу коэффициентов на матрицу констант. На рис. 128.1 В диапазон J10:JJ11 вводится следующая формула массива, которая содержит решение (x = 7,5 и y = -3,625): =MMULT(I6:J7;L2:L3) . На рис. 128.2 показан лист, предназначенный для решения системы трех уравнений.

Решение систем линейных уравнений в Excel

1. Введение

Многие задачи организации строительного производства сводятся к решению систем линейных уравнений вида:

а 11х 1а 12х 2а 1n х n b 1,

а2 н х

а 21x 1a 22x 2

№ 1 1

называется системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n

неизвестными.

При этом произвольные числа a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n ) называются

коэффициентами неизвестных, а числа b i (i = 1, 2 ,…, n ) свободны

члена.

Система(1) может быть записана в матричной форме

AX=B,

где A – матрица коэффициентов для неизвестных:

а2 нет

и 1

и 1

и 1

и 1

X – вектор-столбец неизвестных X= (x1 , x2 , …, xn ) T :

B – вектор-столбец свободных членов:

b 2B ,

или B = (b 1 ,b 2 , . ..,bn)T.

2. Операции с матрицами в Excel

В Excel для операций с матрицами есть функции из категории “Математика”:

1) MOPRED (матрица) – вычисление определителя матрицы, 2) MIN (матрица) – вычисление обратной матрицы, 3) MULT(матрица1, матрица2) – произведение матриц, 4)TRANSP(матрица) является транспонированием матрицы.

Первая из этих функций в результате возвращает число(определитель матрицы), поэтому вводится как обычная формула (ENTER ).

Последние три возвращают блок ячеек, поэтому их нужно вводить как формулы массива (CTRL+SHIFT+ENTER ).

Рассмотрим задачу решения СЛАУ на следующем примере (3) имеет вид

, а вектор-столбец свободных членов равен (5)B = (–24, –48, 18)T .

Решим СЛАУ (7) в MS Excel тремя разными способами.

Решения матричным методом (обратная матрица)

Обе части матричного равенства (2) умножаются на обратную матрицу A -1 . Получаем A -1 A X = A -1 B. Так как A –1 A =E , где E – единичная матрица (диагональная матрица с единицами вдоль главной диагонали). Тогда решение системы (2) можно записать в следующем виде

МУЛЬТИП(матрица1, матрица2), оканчивающаяся в каждом случае комбинацией

CTRL+SHIFT+ENTER.

Метод Крамера

Решение СЛАУ находится по формулам Крамера

дет А

дет А

дет А 2

дет А

дет А

дет А

где det A =A – определитель матрицы (3) системы (основной определитель), detA i =A i (i = 1, 2, …,n ) – определители матриц A i (вспомогательный определителей), которые получаются из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B (5).

Для рассматриваемой СЛАУ (7) вспомогательные матрицы имеют вид

Разместим их на рабочем листе (рис. 1).

Аналогичная формула (=MOPRED(A3:C5)) для вычисления определителя матрицы A записана в ячейке E8. Осталось найти решение системы. Соответствующие формулы Excel запишем в интервал решения B7:B9 (рис. 3), в котором мы увидим результат (рис. 4).

Обратите внимание на то (рис. 3), что при вычислении x i (i = 1, 2, 3)

анализируется значение определителя матрицы системы А, вычисляемое в ячейке Е8, и если оно равным нулю, то в ячейку B7 помещается текст «Нет решения», а в ячейки B8 и B9 помещаются пустые строки.

3. Решение СЛАУ с помощью инструмента «Решатель»

Производственные задачи широкого класса — задачи оптимизации. Задачи оптимизации предполагают нахождение значений аргументов, доставляющих функции, называемой целевым, минимального или максимального значения при наличии каких-либо дополнительных ограничений. В Excel есть мощный инструмент для решения задач оптимизации.

Это дополнительный инструмент под названием Solver

(доступен через меню Tools  Solver).

Задача решения СЛАУ может быть сведена к задаче оптимизации.

Зачем одно из уравнений (например, первое) взять в качестве целевой функции, а остальные n -1 считать ограничениями.

Запишем систему(1) как

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

а2 н х

а 21x 1a 22x 2

б0.

№ 1 1

Для решения этой задачи необходимо написать выражения (формулы) для вычисления значений функций слева в уравнениях системы (12). Например, возьмем для этих формул интервал C7:C9. В ячейку C7 введите формулу =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 и скопируйте ее в остальные ячейки C8 и C9. =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 и =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 появятся в них соответственно.

В диалоговом окне Поиск решения (рис. 5) задать параметры поиска (установить целевую ячейку С7 равной нулю, решение в изменяемых ячейках В7: В9, ограничения задаются формулами в ячейках С8 и С9) . После нажатия на кнопку Выполнить

интервал B7:B9 получаем результат (рис. 6) – решение СЛАУ.

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1 Решаем систему линейных уравнений:

Согласно Теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

53 90 калькулятор Крамера онлайн .

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система непротиворечивая и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместная)

Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение. уравнения совместной системы, имеющие только одно решение, называются определенными , а более одного неопределенными .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой в столбце коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:

Пример 2

.

Следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Раствор. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2;-1;1).

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Начало страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам поиска общих свойств каких-либо явлений или объектов. То есть вы изобрели какой-либо новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, необходимо решить систему линейных уравнений, где вместо каких-то коэффициентов при переменных стоит являются письма. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Нахождение определителей неизвестных

Краткая теория из курса алгебры:

Пусть задана система линейных уравнений (1). Матричный метод решения систем линейных уравнений применяется в случаях, когда количество уравнений равно количеству переменных.

Введем обозначения. Пусть НО – матрица коэффициентов при переменных, B – вектор свободных членов, X – вектор значений переменных. Тогда Х=А-1×В , где А -1 – матрица, обратная А . При этом обратная матрица А-1 существует, если определитель матрицы А не равен 0. Произведение исходной матрицы А и обратной А-1 должно быть равно единичной матрице:

А-1 А\ u003d АА -1 = Е.

Упражнение : Решить систему линейных уравнений:

Технология работы:

Пусть на промежутке A11:C13 задана исходная матрица A, составленная из коэффициентов системы. Сначала найдите определитель матрицы А. Для этого в ячейке F15 необходимо вызвать Мастер функций , В категории “ Справочники и массивы ” найти функцию MOPRED() , установите для его аргумента значение A11:C13. Получили результат 344. Так как определитель исходной матрицы A не равен 0, т.е. существует обратная матрица, то следующим шагом является нахождение обратной матрицы. Для этого выделите диапазон A15:C17, где будет размещена обратная матрица. звоню Мастера функций , в категории “ Ссылки и массивы ” найдите функцию MOBR( ), установите его аргумент в A11:С13 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Для проверки правильности обратной матрицы умножьте ее на исходную с помощью функции MULT() . Вызовите эту функцию после выбора диапазона A19:A21. Укажите в качестве аргументов исходную матрицу A, т.е. диапазон A11:C13, и обратную матрицу, т.е. диапазон A15:C17, и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Получил идентификационную матрицу. Таким образом, обратная матрица находится правильно.

Оставить комментарий