Решить систему линейных уравнений методом крамера решить онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ КРАМЕРА
1
Определение 1.
Линейным уравнением называется
уравнение вида
a1 x1 a2 x2 … an xn b,
где а и b – числа, х- неизвестные.
2
Определение 2.
Системой линейных уравнений (линейной
системой) называется система вида
3
МАТРИЧНЫЙ ВИД СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
a11 a12

a
a22
21
. .. …
a
n1 an 2
… a1n x1 b1
… a2 n x2 b2
… … … …
… ann xn bn
4
Определение 3.
Решением линейной системы
называется набор чисел
x01 , x02 ,…, x0 n ,
которые при подстановке вместо
неизвестных обращают каждое
уравнение системы в верное
равенство.
5
В школьном курсе рассматриваются
способ подстановки и способ сложения. В
курсе высшей математике решают
методом Крамера, методом Гаусса и с
помощью обратной матрицы.
Рассмотрим решение систем линейных
уравнений методом Крамера
Сведения из истории.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры.
Одной из самых известных его работ является «Введение в

анализ алгебраических кривых», опубликованный на
французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит
систему линейных уравнений и решает её с помощью
алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704
года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
Уже в детстве он опережал своих
сверстников в интеллектуальном развитии
и демонстрировал завидные способности
в области математики.
В 18 лет он успешно защитил
диссертацию. Через 2 года Крамер
выставил свою кандидатуру на должность
преподавателя в Женевском университете.
Юноша так понравился магистрату, что
специально для него и ещё одного одного
кандидата на место преподавателя была
учреждена отдельная кафедра
математики, где Крамер и работал в
последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе,
перенимая опыт у знаменитых математиков
своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в
Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи
и Клеро в Париже и других. Со многими из них
он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет
преподавательскую работу в Женевском
университете. В это время он участвует в
конкурсе Парижской Академии и занимает
второе место.
Талантливый учёный написал множество
статей на самые разные темы: геометрия,
история, математика, философия. В 1730
году он опубликовал труд по небесной
механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру
подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году
Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он
выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли
(брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник
переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы
вызвали большой интерес со стороны учёных всего
мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во
Франции
Теорема Крамера
Если определитель системы отличен от нуля, то
система линейных уравнений имеет одно
единственное решение, причём неизвестное
равно
отношению
определителей.
В
знаменателе – определитель системы, а в
числителе – определитель, полученный из
определителя
системы
путём
замены
коэффициентов
при
этом
неизвестном
свободными членами. Эта теорема имеет место
для системы линейных уравнений любого
порядка.
Дана система
Формулы Крамера
.
………….
Заменяя столбец с коэффициентами
соответствующей переменнойсвободным членом
Решение систем уравнений с тремя переменными
a1 x b1 y c1 z d1
a2 x b2 y c2 z d 2
a x b y c z d
3
3
3
3
z
z
x
y
x
y
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
d1
c2
z a2
b2
d2
c3
a3
b3
d3
d1
b1
c1
a1
d1
c1
x d2
b2
c2
y a2
d2
d3
b3
c3
a3
d3
Пример:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
РЕШЕНИЕ
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
8
2
4
x 11

4
5 38
1
3
2
x
x
19
y
y
x 38
x
2
19
z
z
Решение систем уравнений с тремя переменными
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
4
y 2 11 5 3
4
1
2
y
x 2
y
z
z
19
11 5
1
2
8
2 5
4
2
4
3 27 8 24 4 42 81 192 168 57
2 11
4
1
ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
8
x 2
y
19
4
y 2 11 5 57
4
1
2
y
57
y
3
19
y
z
z
ПРИМЕР
3 x 2 y 4 z 8
2 x 4 y 5 z 11
4 x 3 y 2 z 1
3
z 2
2
z 1
19
8
4
11 3
3
4 3 1
4
y 3
x 2
11
1
3
2 11
4
z 19
z
1
19
1
8
2
4
4 3
19
Задание1:
Решить систему уравнений
с тремя переменными
5 х 8 у z 7,
3 х 4 у 2 z 8,
2
x
3
y
2
z
9
,
2)
2
x
4
y
3
z
1
,
1)
x 2 y 3z 1
x 5y z 0
2 х у 5 z 1,
3) x 3 y 4 z 1,
2x y z 1

English     Русский Правила

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике – Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Системы уравнений

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

ax +by = c ,

(1)

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

2x +3y = 10

(2)

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a₁ ,  b₁ ,  a₂ ,  b₂   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c₁ ,  c₂  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

      Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p

(9)

      Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение

      Следовательно, система (8) равносильна системе

      Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  d₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂ ,  d₂ ,  a₃ ,  b₃ ,  c₃ ,  d₃   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂ ,  a₃ ,  b₃ ,  c₃   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d₁ ,  d₂ ,  d₃   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
• из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

• первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
• из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение неквадратных линейных систем с внешним произведением и правилом Крамера

ОК. Я попытаюсь объяснить вам первый пример.

Наша задача – решить систему линейных уравнений: $\begin{cases}2x+y=1 \\ 2x+2y+z=4 \\ y+z=3 \end{cases}$

Сказал другое Таким образом, мы пытаемся найти пространство векторов $(x,y,z)$, которые отображаются в $\vec p = (1,4,3)$ при заданном преобразовании $T$. То есть: $T(x,y,z) = x(2,2,0) + y(1,2,1) + z(0,1,1) = (1,4,3) = \vec р$.

---

Во-первых, для справки, давайте посмотрим, как это можно сделать с помощью матричной алгебры.

Итак, воспользуемся методом исключения Гаусса-Жордана: $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2& 1 & 4 \\ 0 & 1 &1 & 3 \end{array} \right] \sim \left [\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{массив}\right] \sim \left[\ begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

Положим тогда $z=t$ для некоторого произвольного значения $t \in \Bbb R$.

Тогда $y=3-t$ и $x=\frac 12(1-y) = \frac 12 (1-3+t) = -1+\frac 12 t$. Итак, наше общее решение: $\vec x = \begin{bmatrix} -1 + \frac 12 t \\ 3-t \\ t\end{bmatrix}$. Как мы видим, это эквивалентно ответу, полученному доктором Виницки заменой переменной $t \mapsto -\beta$.

---

Теперь попробуем сделать это с помощью внешней алгебры и правила Крамера.

Прежде всего необходимо отметить, что в линейной алгебре существует теорема, согласно которой решение системы линейных уравнений есть сумма любого частного решения с общим решением соответствующей однородной системы уравнений.

То есть, если у вас есть некоторое преобразование $T(x,y,z)=(1,4,3)$, то зная некоторый конкретный вектор $(x_0,y_0,z_0)$, который преобразуется в $(1, 4,3)$ через это преобразование и общее решение связанной задачи $T(t,u,v)=(0,0,0)$, ваш набор решений будет $(x_0+t,y_0+u, z_0 + v)$.

Итак, наша первая задача — найти вектор $(x_0,y_0,z_0)$, решающий эту систему.

Сначала заметим, что $\vec p \in \vec a \wedge \vec b$, потому что $x\vec a + y \vec b + z \vec c = \vec p \iff \vec p \in \text {span}(\vec a, \vec b, \vec c)$, но мы знаем, что $\text{span}(\vec a, \vec b, \vec c)=\text{span}(\vec a, \vec b)$, поскольку $\vec a \клин \vec b \клин \vec c = 0$ и $\vec a \клин \vec b \ne 0$.

Мы также знаем, что $\text{span}(\vec a, \vec b)$ можно представить как $\vec a \wedge \vec b$.

Таким образом, $\vec p = \alpha \vec a + \beta \vec b$ для некоторых скаляров $\alpha$ и $\beta$.

Вы поймете, почему работает правило Крамера, просто взяв внешнее произведение этого последнего уравнения с $\vec a$ и $\vec b$: $\ \vec p\wedge \vec b = (\alpha \vec a + \бета \vec b)\клин \vec b = \alpha \vec a \клин \vec b + \beta \vec b \клин \vec b= \alpha \vec a \клин \vec b + 0=\alpha \ vec a \клин \vec b$. Тогда деление на $\vec a \wedge \vec b$ в крайней левой и крайней правой частях дает $\alpha = \frac{\vec p\wedge \vec b}{\vec a \wedge \vec b}$. Аналогично можно найти $\\beta$. Таким образом, $\vec p=-\vec a+3\vec b=x_0\vec a + y_0\vec b + z_0\vec c$.

Итак, мы нашли $\vec x_p=(-1,3,0)$, которая является частным решением нашей системы. Обратите внимание, что правило Крамера недостаточно мощно, чтобы получить КАЖДОЕ решение для нашей системы, но оно может найти нам $1$ (при условии, что есть хотя бы $1$).

Теперь нам нужен однородный раствор. Это означает, что нам нужно найти решение: $\begin{cases}2x+y=0 \\ 2x+2y+z=0 \\ y+z=0 \end{cases}\ \ \ \ $ Эквивалентно, нам нужно решить $x\vec a + y\vec b + z\vec c =0$.

Но мы знаем, что $\vec c$ является линейной комбинацией векторов $\vec a$ и $\vec b$. Затем мы можем использовать точно такой же метод, чтобы определить, что $\vec c = -\frac 12 \vec a + \vec b$.

Прибавив $-\vec c$ к обеим частям, получим $-\frac 12 \vec a + \vec b -\vec c =0$. Таким образом, видимо, одно решение $(x,y,z)=(-\frac 12, 1, -1)$. Из теоремы о ранге недействительности мы знаем, что наше однородное решение (также известное как нулевое пространство) является $1$-мерным, поэтому теперь, когда мы нашли $1$-решение, мы знаем, что все остальные будут скалярно кратны этому решению.

Таким образом, наше общее однородное решение есть $\beta (-\frac 12, 1, -1)$ для некоторого произвольного $\beta \in \Bbb R$.

Сопоставляя это с уже найденным частным решением, мы получаем, что общее решение системы уравнений: $\begin{cases}2x+y=1 \\ 2x+2y+z=4 \\ y+z =3 \end{cases}\ \ \ $ равно $(x,y,z) = (-1,3,0) + \beta(-\frac 12, 1, -1)$, что и мы найдены из наших матричных методов.