Решить систему линейных уравнений по формулам крамера и методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Метод крамера решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т. е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т. е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.

В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.

Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.

Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Для решения системы применяют различные методы.

Пусть
(число уравнений равно числу неизвестных).

Метод Крамера

Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(7)

Для нахождения неизвестных
применим формулу Крамера:

(8)

где – определитель системы, элементы которого есть коэффициенты при неизвестных:

.

получается путём замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:

.

Аналогично:

;
.

Пример 1. Решить систему по формуле Крамера:

.

Решение: Воспользуемся формулами (8):

;

;

;

;

Ответ:
.

Для любой системы линейных уравнений снеизвестными можно утверждать:

Матричный способ решения

Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.

Используя правила умножения матриц, данную систему уравнений можно записать в виде:
, где

.

Пусть матрица невырожденная, т.е.
. Умножая обе части матричного уравнения слева на матрицу
, обратную матрице, получим:
.

Учитывая, что
, имеем

(9)

Пример 2. Решить систему матричным способом:

.

Решение: Введём матрицы:

– из коэффициентов при неизвестных;

– столбец свободных членов.

Тогда систему можно записать матричным уравнением:
.

Воспользуемся формулой (9). Найдём обратную матрицу
по формуле (6):

;

.

Следовательно,

Получили:

.

Ответ:
.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Допустим, что
(если
, то изменим порядок уравнений, выбрав первым уравнением то, в котором коэффициент прине равен нулю).

Первый шаг: а) делим уравнение
на
; б) умножаем полученное уравнение на
и вычитаем из
; в) затем полученное умножаем на
и вычитаем из
. В результате первого шага будем иметь систему:

,

Второй шаг: поступаем с уравнением
и
точно так же, как с уравнениями
.

В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.

Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов, при неизвестных, и свободных членов.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему:

.

Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности ~.

~
~
~
~

~
.

По полученной матрице выписываем преобразованную систему:

.

Ответ:
.

Замечание: Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система приводится к треугольной, то есть к такой, в которой последнее уравнение будет содержать одно неизвестное. В случае неопределённой системы, то есть такой, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, треугольной системы не будет, так как последнее уравнение будет содержать более одного неизвестного (система имеет бесчисленное множество решений). Когда же система несовместна, то, после приведения её к ступенчатому виду, она будет содержать хотя бы одно значение вида
, то есть уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля (система решений не имеет). Метод Гаусса применим к произвольной системе линейных уравнений (при любых
и).

Теорема существования решения системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.

Пусть дана система
линейных уравнений снеизвестными:

(10)

Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы

.

был равен рангу её расширенной матрицы

.

Причём, если
, то система (10) имеет единственное решение; если же
, то система имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:

.

Эта система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .

В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.

Терема. Для того, чтобы однородная система линейчатых уравнений имела нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:

.

Таким образом, если
, то решение- единственное. Если
, то существует бесконечноё множество других ненулевых решений. Укажем один из способов отыскания решений для однородной системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными в случае
.

Можно доказать, что если
, а первое и второе уравнения непропорциональны (линейно независимы), то третье уравнение есть следствие первых двух. Решение однородной системы трёх уравнений с тремя неизвестными сводится к решению двух уравнений с тремя неизвестными. Появляется так называемое свободное неизвестное, которому можно придавать произвольные значения.

Пример 4. Найти все решения системы:

.

Решение. Определитель этой системы

.

Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

.

Полагая, например,
, получим

.

Решая систему двух линейных уравнений, выразим ичерез:
. Следовательно, решение системы можно записать в виде:
, где- произвольное число.

Пример 5. Найти все решения системы:

.

Решение. Нетрудно видеть, что в данной системе только одно независимое уравнение (два других ему пропорциональны). Система из трёх уравнений с тремя неизвестными свелась к одному уравнению с тремя неизвестными. Появляются два свободных неизвестных. Найдя, например, из первого уравнения
при произвольныхи, получим решения данной системы. Общих вид решения можно записать, гдеи- произвольные числа.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений снеизвестными.

В чём сущность матричного способа решения систем?

В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?

Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.

Примеры для самостоятельного решения

Найдите все решения систем:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Определите, при каких значениях исистема уравнений

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решения;

в) имеет бесконечно много решений.

16.
; 17.
;

Найти все решения следующих однородных систем:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Ответы к примерам

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
– произвольное число.

6.
, где- произвольное число.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, где- произвольное число.

12. , гдеи- произвольные числа.

13.
; 14.
гдеи- произвольные числа.

15. Ǿ; 16. а)
; б)
; в)
.

17. а)
; б)
; в)
;

18.
; 19.
; 20., где- произвольное число.

21. , где- произвольное число.

22. , где- произвольное число.

23. , гдеи- произвольные числа.

Практическая работа

«Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

Цели работы:

расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Крамора;

развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;

воспитывать у студентов аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

Основной теоретический материал.

Метод Крамера. Применение для систем линейных уравнений.

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами – числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй – при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами, например, по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: – определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если: самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно полностью и верно решены три системы.

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Прямоугольную таблицу из чисел,

матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные

черточки, либо круглые скобки. Например:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

6 11 2 -6 11 2

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется

квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами .

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,

и обозначаемое символом

Итак, по определению

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют

элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго

порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или

соответственно его столбцов) были пропорциональны .

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из

пропорций /

эквивалентна равенству

А последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и

отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(коэффициенты ,

и свободные члены ,

считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел

Называется

решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место

и в данную систему

обращает оба уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на –

А второе – на -и

затем складывая полученные при этом равенства, получим

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на -исоответственно получим:

Введем следующие обозначения:

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка

уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

Определитель ,

составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть

определителем этой системы . Заметим, что определители

и получаются из

определителя системы

посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными

Могут представиться два случая: 1) определитель системы

отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай

0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,

называемые формулами Крамера :

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают

единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)

является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в

случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,

пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при

0 два числа и

Определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в

уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю

самому расписать выражения для определителей

И убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель

системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель

системы равен нулю . Могут представиться два подслучая : а) хотя

бы один из определителей

или , отличен от

нуля; б) оба определителя

и равны нулю. (если

определитель и

один из двух определителей

и равны нулю, то и

другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,

например = 0

Тогда из этих пропорций получим, что

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.

система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система

(3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В

самом деле, из равенств

0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы

(3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с

двумя неизвестными

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов

Или отличен от

нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9)

через произвольно заданное значение другого неизвестного).

Таким образом, если определитель

системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в

случае, если хотя бы один из определителей

или отличен от

нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда

0). В последнем

случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно

неизвестное задавать произвольно.

Замечание . В случае, когда свободные члены

и равны нулю,

линейная система (3.3) называется однородной . Отметим, что однородная

система всегда имеет так называемое тривиальное решение:

0, = 0 (эти два

числа обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы

отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же

= 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку

для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким

образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в

том случае, когда определитель ее равен нулю.

Решение систем линейных уравнений по формулам крамера. Правило Крамера

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Пусть дана система трех линейных уравнений:

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид
.

Далее составляются определители по переменным
,,. Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть

,
,
.

Тогда решение системы находится по формулам Крамера

,
,

Следует отметить, что система имеет единственное решение
, если главный определитель
. Если же
и
= 0,= 0,= 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же
и
0, или0,или0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.

Пример

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

.

Следовательно, система имеет единственное решение.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов.

По формулам Крамера находим неизвестные:

,
,
.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения

Т.е.
.

, т.е.

, т.е.

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Следовательно, система не имеет единственного решения.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов:

,
, следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна .

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).

(1)

Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная . Умножим первое уравнение на, а второе на (
) и сложим полученные уравнения

Заменим коэффициент перед y , z и свободный член на ,исоответственно, получим новую пару уравнений

Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x .

Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду

(2)

Такой результат возможен, если система имеет единственное решение. В этом случае решение находится при помощи обратного хода метода Гаусса (второй этап). Из последнего уравнения системы (2) находим неизвестную переменную z , затем из второго уравнения находим y , а x соответственно из первого, подставляя в них уже найденные неизвестные.

Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:

А)
, где
. Это означает, что решаемая система несовместна.

Б) , то есть
. Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.

Пример

Решение:

Рассмотрим следующий способ осуществления первого этапа решения методом Гаусса. Запишем три строки коэффициентов при неизвестных и свободных членов, соответствующих трем уравнениям системы. Свободные члены отделим от коэффициентов вертикальной линией, а под третьей строкой проведем горизонтальную прямую.

Первую строку, которая соответствует первому уравнению системы, обведем – коэффициенты в этом уравнении останутся неизменными. Вместо второй строки (уравнения) надо получить строку (уравнение), где коэффициент при равен нулю. Для этого все числа первой строки умножим на (–2) и сложим с соответствующими числами второй строки. Полученные суммы запишем под горизонтальной чертой (четвертая строка). Для того чтобы вместо третьей строки (уравнения) также получить строку (уравнение), в которой коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой строки на (–5) и сложим с соответствующими числами третьей строки. Полученные суммы запишем пятой строкой и проведем под ней новую горизонтальную черту. Четвертую строку (или пятую – по выбору) обведем. Выбирается строка с меньшими коэффициентами. В этой строке коэффициенты останутся неизменными. Вместо пятой строки надо получить строку, где уже два коэффициента равны нулю. Умножим четвертую строку на 3 и сложим с пятой. Сумму запишем под горизонтальной чертой (шестая строка) и обведем ее.

Все описанные действия изображены в таблице 1 при помощи арифметических знаков и стрелок. Обведенные в таблице строки запишем снова в виде уравнений (3) и, применив обратный ход метода Гаусса, найдем значения переменных x , y и z .

Таблица 1

Восстанавливаем систему уравнений, полученную в результате наших преобразований:

(3)

Обратный ход метода Гаусса

Из третьего уравнения
находим
.

Во второе уравнение системы
подставим найденное значение
, получим
или
.

Из первого уравнения
, подставляя уже найденные значения переменных, получаем
, то есть
.

Чтобы убедиться в правильности решения, проверку необходимо сделать во всех трех уравнениях системы.

Проверка:

, получим

Получим

Получим

значит, система решена верно.

Ответ:
,
,
.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Порядок действий в этом примере аналогичен порядку в предыдущем примере, а конкретные действия указаны в таблице 2.

В результате преобразований получим уравнение вида , следовательно, заданная система несовместна.

Ответ: система несовместна .

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Таблица 3

В результате преобразований получим уравнение вида , которое исключается из рассмотрения. Таким образом, имеем систему уравнений, в которой число неизвестных 3, а число уравнений 2.

Система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы отыскать эти решения, введем одну свободную переменную. (Число свободных переменных всегда равно разности между числом неизвестных и числом уравнений, оставшихся после преобразования системы. В нашем случае 3 – 2 = 1).

Пусть
– свободная переменная.

Тогда из второго уравнения найдем
, откуда
, а затем найдемx из первого уравнения
или
.

Таким образом,
;
;
.

Сделаем проверку в уравнениях, которые не участвовали в нахождении и, то есть во втором и в третьем уравнениях первоначальной системы.

Проверка:

или , получаем
.

или , получаем
.

Система решена верно. Давая произвольной постоянной различные значения, будем получать различные значенияx , y и z .

Ответ:
;
;
.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель матрицы системы:

Заменим в определителе D первый столбик, соответствующий переменной х₁, на столбец свободных членов b₁, b₂, …,b_n, получим определитель D_х1:

Заменим в определителе D второй столбик, соответствующий переменной х₂, на столбец свободных членов b₁, b₂, …,b_n, получим определитель D_х2:

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя D. В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х₁, х₂ , …, х_n используем формулы Крамера:

, , …,

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

· если определитель матрицы системы D отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;

· если определитель матрицы системы D равен 0, а среди определителей D_х1, D_х2, …, D_хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;

· если определитель матрицы системы D равен 0 и все определители D_х1, D_х2, …, D_хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Пример 3.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы D и вычислим его:

Так как D 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_х :

Заменим в определителе D второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_у :

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

,

Ответ: (-3;1)

Пример 4.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы D и вычислим его:

Так как D 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_х :

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_у :

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_z :

Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:

, ,

Ответ: (-1; 1; -2)

Задания для самостоятельного решения.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Узнать еще:

1 (a) Используйте метод исключения Гаусса для решения системы линейных уравнений x + 2y …

Решение линейных систем с использованием матриц

Система уравнений может быть представлена ​​в нескольких различных матричных формах. Один из способов – реализовать систему как матричное умножение коэффициентов системы и вектора-столбца ее переменных.Квадратная матрица называется матрицей коэффициентов , потому что она состоит из коэффициентов переменных в системе уравнений:

Произведение матриц: 2x + 4y + 7z = 43x + 3y + 2z = 85x + 6y + 3z = 0⟶ [247332563] [xyz] = [480]. \ text {Произведение матриц:} \ quad \ begin {array} {c c c c c c c c} 2x & + & 4y & + & 7z & = & 4 \\ 3x & + & 3y & + & 2z & = & 8 \\ 5x & + & 6y & + & 3z & = & 0 \\ \ конец {массив} \ longrightarrow \ left [\ begin {array} {c c c} 2 и 4 и 7 \\ 3 и 3 и 2 \\ 5 и 6 и 3 \\ \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {c} Икс \\ у \\ z \\ \ end {массив} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} 4 \\ 8 \\ 0 \ end {array} \ right].Произведение матриц: 2x3x5x +++ 4y3y6y +++ 7z2z3z === 480 ⟶⎣⎡ 235 436723 ⎦⎤ ⎣⎡ xyz ⎦⎤ = ⎣⎡ 480 ⎦⎤.

Альтернативное представление, называемое расширенной матрицей , создается путем сшивания столбцов матриц вместе и деления вертикальной чертой. Матрица коэффициентов помещается слева от этой вертикальной полосы, а константы в правой части каждого уравнения помещаются справа от вертикальной полосы:

Расширенная матрица: 2x + 4y + 7z = 43x + 3y + 2z = 85x + 6y + 3z = 0⟶ [247433285630].\ text {Расширенная матрица:} \ quad \ quad \ begin {array} {c c c c c c c c} 2x & + & 4y & + & 7z & = & 4 \\ 3x & + & 3y & + & 2z & = & 8 \\ 5x & + & 6y & + & 3z & = & 0 \\ \ конец {массив} \ longrightarrow \ left [\ begin {array} {c c c | c} 2 и 4 и 7 и 4 \\ 3 и 3 и 2 и 8 \\ 5 и 6 и 3 и 0 \ end {array} \ right]. Дополненная матрица: 2x3x5x +++ 4y3y6y +++ 7z2z3z === 480 ⟶⎣⎡ 235 436 723 480 ⎦⎤.

Матрицы, представляющие эти системы, можно изменять таким образом, чтобы предоставлять легко читаемые решения.Эта манипуляция называется сокращением строк. Методы сокращения строк преобразуют матрицу в сокращенный эшелон строк формы без изменения решений в системе.

Уменьшенный ряд строк формирует матрицы AAA (\ big ((обозначается rref (A)) \ text {rref} (A) \ big) rref (A)) является матрицей равных размеров, которая удовлетворяет:

1. Крайний левый ненулевой элемент в каждой строке – 1 1 1. Этот элемент известен как опорный элемент.
2. Любой столбец может иметь не более 1 1 1 стержня.Если столбец имеет точку поворота, то остальные элементы в столбце будут равны 0 0 0.
3. Для любых двух столбцов C1C_ {1} C1 и C2C_ {2} C2, которые имеют точки поворота в строках R1 R_ {1} R1 и R2, R_ {2}, R2, соответственно, если поворот в C1 C_ {1 } C1 находится слева от точки поворота в C2 C_ {2} C2, тогда R1 R_ {1} R1 находится выше R2 R_ {2} R2. Другими словами, для любых двух точек поворота P1 P_ {1} P1 и P2P_ {2} P2, если P2 P_ {2} P2 находится справа от P1 P_ {1} P1, то P2 P_ {2} P2 ниже P1 P_ {1} P1.
4. Строки, состоящие только из нулей, находятся внизу матрицы.

Чтобы преобразовать любую матрицу в ее сокращенную форму эшелона строк, выполняется исключение Гаусса-Жордана. Для получения сокращенной формы эшелона строк используются три элементарные операции со строками:

1. Переключить два ряда.
2. Умножьте строку на любую ненулевую константу.
3. Добавить скалярное кратное одной строки к любой другой строке.

Найдите rref (A) \ text {rref} (A) rref (A), используя метод исключения Гаусса-Жордана, где

A = [26-216-4-149].A = \ left [\ begin {array} {c c c} 2 и 6 и -2 \\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \ end {array} \ right] .A = ⎣⎡ 21−1 664 −2−49 ⎦⎤.

---

Крайний левый элемент в первой строке должен быть равен 1, поэтому первая строка делится на 2:

[26−216−4−149] → Разделите первую строку на 2. [13−116−4−149]. \ left [\ begin {array} {c c c} 2 и 6 и -2 \\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \ end {array} \ right] \ ce {-> [\ large \ text {Разделите первую строку на 2.}]} \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 3 и -1 \\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \ end {array} \ right].⎣⎡ 21−1 664 −2−49 ⎦⎤ Разделите первую строку на 2. ⎣⎡ 11−1 364 −1−49 ⎦⎤.

Верхний левый элемент является поворотным, поэтому остальные элементы в первом столбце должны быть равны 0. Это можно сделать, вычтя первую строку из второй. Кроме того, первую строку можно добавить к третьей строке, чтобы получить необходимые нули в первом столбце:

[13−116−4−149] → RX2 − RX1 и RX3 + RX1 [13−103−3078]. \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 3 и -1 \\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \ end {array} \ right] \ ce {-> [\ large R_2 – R_1 \ text {и} R_3 + R_1]} \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 3 и -1 \\ 0 и 3 и -3 \\ 0 и 7 и 8 \\ \ end {array} \ right].⎣⎡ 11−1 364 −1−49 ⎦⎤ RX2 −RX1 и RX3 + RX1 ⎣⎡ 100 337 −1−38 ⎦⎤.

Теперь, когда крайний левый столбец равен [100] \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {array} \ right] ⎣⎡ 100 ⎦⎤, средний элемент можно сделать 1, разделив вторую строку на 3:

[13−103−3078] → Разделите вторую строку на 3. [13−101−1078]. \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 3 и -1 \\ 0 и 3 и -3 \\ 0 и 7 и 8 \\ \ end {array} \ right] \ ce {-> [\ large \ text {Разделите вторую строку на 3.}]} \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 3 и -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 и 7 и 8 \\ \ end {array} \ right].⎣⎡ 100 337 −1−38 ⎦⎤ Разделите вторую строку на 3. ⎣⎡ 100 317 −1−18 ⎦⎤.

Верхний и нижний элементы во втором столбце можно сделать 0 с помощью соответствующих операций со строками:

[13−101−1078] → RX1−3 RX2 и RX3−7 RX2 [10201−10015]. \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 3 и -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 и 7 и 8 \\ \ end {array} \ right] \ ce {-> [\ large R_1 – 3R_2 \ text {и} R_3 – 7R_2]} \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 0 и 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 15 \\ \ end {array} \ right].⎣⎡ 100 317 −1−18 ⎦⎤ RX1 −3RX2 и RX3 −7RX2 ⎣⎡ 100 010 2−115 ⎦⎤.

Теперь со средним столбцом [010] \ left [\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \ end {array} \ right] ⎣⎡ 010 ⎦⎤, метод переходит к третьему столбцу, разделив третью строку на 15:

[10201−10015] → Разделите третью строку на 15 [10201−1001]. \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 0 и 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 15 \\ \ end {array} \ right] \ ce {-> [\ large \ text {Разделите третью строку на 15}]} \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 0 и 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right].⎣⎡ 100 010 2−115 ⎦⎤ Третью строку разделите на 15 ⎣⎡ 100 010 2−11 ⎦⎤.

На последнем этапе процесса кратные третьей строке добавляются к первой и второй строкам, так что последний столбец становится [001]: \ left [\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \ end {array} \ right]: 001 ⎦⎤:

[10201−1001] → RX1−2 RX3 и RX2 + RX3 [100010001]. □ \ left [\ begin {array} {c c c} 1 и 0 и 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ ce {-> [\ large R_1 – 2R_3 \ text {и} R_2 + R_3]} \ left [\ begin {array} {c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right].\ _\квадрат ⎣⎡ 100 010 2−11 ⎦⎤ RX1 −2RX3 и RX2 + RX3 ⎣⎡ 100 0100001 ⎦⎤. □

Отправьте свой ответ

A = [14−564022−1] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 и 4 и -5 \\ 6 и 4 и 0 \\ 2 и 2 и -1 \\ \ end {array} \ right] A = ⎣⎡ 162 442 −50−1 ⎦⎤

Какова сумма всех записей в rref (A)? \ text {rref} (A)? rref (A)?

Примечание : rref (A) \ text {rref} (A) rref (A) обозначает «сокращенную форму эшелона строк» ​​матрицы A.А.А.

РЕШЕНО: Решите систему уравнений, используя (а) метод исключения Гаусса и (б) правило Крамера. Какой метод вы предпочитаете и почему? \ left \ {\ begin {array} {l} 2 x + 3 y-5 z = 1 \\ 3 x + 5 y + 9 z = -16 \ 5 x + 9 y + 17 z = -30 \ end {массив} \ право.

Стенограмма видео

По вопросу нам даны три системы уравнений, и мы должны их решить. Заполнено исключение осторожности в середине маршрута по грамматике для вопросов, например, кто Wicks плюс три y минус пять зигзаг, потому что один – это наше уравнение затрат.Второй вопрос задан красивой буквой X за вычетом пяти и девяти дней, равных минус 16. Это наше второе уравнение. 30 вопросов дают нам привет Викс плюс девять вариантов. 17 сохраненных равняются минус 30. Это 30 наших творений. Теперь мы решаем эту систему уравнений. Сначала мы должны найти аргумент, связанный с металлом исключения Гаусса. Хорошие показатели. Так что же в наших наставнических показателях? Это показатель, который состоит из коэффициентов смазки и их константы. Итак, здесь вы пишете коэффициенты смазки и единицы, 23 минус пять, а затем с помощью простого, и мы пишем, потому что сила равна единице.Точно так же мы делаем это для 2-го и 3-го уравнения для трех, 59 минус 16 и 9 70 минус 30 теперь в следующем, кажется, когда-либо, мы должны выполнить некоторые синие операции, чтобы мы получили ноль при это место и в этом месте. Итак, что мы можем сделать, так это написать правило номер два как работу. Кого двое минус трое – один. Дорога станет действовать слишком минусовой. Три – это одно. И мы проводим цензуру для того, чтобы убить аллигаторов на этом яде. Так что здесь у нас будет ноль.Нам здесь нравится один, потому что пять, умноженные на вас, останутся внутри, а боль за вычетом трех умножится на его ночь. Итак, 10 минус минус один. Аналогично дисперсия. У нас будет 33, и здесь у нас будет минус 35. Хорошо, здесь у нас будет ноль, затем три и 59, если оно равно минус 60 минус 65. Теперь, на следующем шаге, мы должны перейти к нулю на этом вопрос. Итак, что мы можем сделать, так это написать через три. Наше мышление было трудным, за исключением того, что все видели, как наш кто стал маленьким нулем Vittel 64 и 33.У нас будет минус 35. Конец минуса выключен. И что? У нас должно быть минус 64. Теперь для упрощения. Мы можем это увидеть. Тогда видите, у нас 64 равно минус 60 человек. Итак, мы можем писать. 64 Сказано равно минус 64. Это наш первый вопрос Больной. У любого христианина будет меньше белых траекторий. Статьи минус офф 35. Так почему же меньше? 33 Был минус 35. Найти кого? X две недели плюс три на минус +50 равняется одной. Итак, последний леви минус пять говорит о многом. Теперь, исходя из этого уравнения, мы и займемся разработкой.Это не так. Итак, отсюда у нас будет очень равный минус один. Если бы вы могли разработать машины минус один в этом секрете, тогда у нас будет, я процитирую минус 25. 33. Так это было. Вы знаете, Майкл не понимает многих людей. Джелликлы минус один и автомобили минус два в этом уравнении. Тогда у нас будет X равняться единице, поэтому x будет равняться единице. Итак, у нас есть план. Наше решение. А теперь давайте против всего этого вопроса, двигая грамматики. Правда. Итак, чтобы решить. Это не Kraemer Shoe, что, конечно, мы должны найти кавказские метрики, которые представляют собой матрицу, в которой термины – это не что иное, как корпорации, о которых не идет речь.Таким образом, показатели коэффициентов представлены Дейлом, и это дано нам. Кто? Трое несовершеннолетних? Пять, 3593 на девять, 59 17. Теперь мы должны помнить, что мы можем решить вопрос снова. Крамер на свободе развивает метрики со-капитана не равны нулю. Таким образом, значение показателей конкуренции в данном случае равно минус 20. Затем разработайте отличные автомобили. Назначение телекса. Ценность того, почему равны, скажет им, Ганнибал, они будут, потому что они будут ксилофонами, которые восхитительно ценят и строят.Это три уникальные детерминанты матриц. Так что dnx дается определением. Видите ли, когда мы записывали их ноги, то вместо того, чтобы записывать коэффициенты за вычетом дополнительных, мы собираемся заменить их константой, так что, увидев первое уравнение, которое у него было для него с Тревором минус пять, равняется единице, в которой соревнование затрагивает стул. Так что вместо того, кого мы будем писать, постоянная барабанная дробь – это один. Так что этот минус 60 минус 30 Тогда уверенность в себе и останется такой же, как и три минус пять.Пять лежачих и девять на 17. Это для упрощения даст нам минус 20. А теперь перейдем к следующей ночи. Итак, теперь у нас есть что-то вроде низкого и правильного. Итак, в данном случае мы собираемся оттолкнуть политологов от жены их постоянными условиями. Таким образом, один минус 16 минус от индейки и минус пять 9 17 поддержка упрощения даст нам вечеринку и, наконец, Корделл, они мы собираемся заменить варианты обрезков Зака, поэтому согласие на планирование курса от. Таким образом, это будет 235 см на девять и один минус 16 минус 30.И это упрощение дает нам есть. Таким образом, мы уже обнаружили, что эксперты, поскольку они смотрели на мир, разработали список, в котором минус 20 X равно минус 20 в день, что также равно минус 26, равному тому, что было таким же белым, потому что Van via Parnell. Тогда почему Дейли думает, что 40 из 20? Так почему же минус два и сейф посещают Did 20 на виниле с 20, потому что минус один, поэтому X равняется единице. Ценные умы и радикалы минус один. Итак, это наше последнее свидетельство.

% PDF-1.5 % 1 0 объект > эндобдж 4 0 obj (Предисловие) эндобдж 5 0 obj > эндобдж 8 0 объект (Линейные системы уравнений) эндобдж 9 0 объект > эндобдж 12 0 объект (1 Системы линейных уравнений) эндобдж 13 0 объект > эндобдж 16 0 объект (2 эквивалентные системы и элементарные операции со строками: метод исключения) эндобдж 17 0 объект > эндобдж 20 0 объект (3 решения линейных систем с использованием расширенных матриц) эндобдж 21 0 объект > эндобдж 24 0 объект (Форма 4-го эшелона и Форма пониженного эшелона: исключение по Гауссу) эндобдж 25 0 объект > эндобдж 28 0 объект (5 форм эшелона и решения линейных систем) эндобдж 29 0 объект > эндобдж 32 0 объект (6 однородных систем линейных уравнений) эндобдж 33 0 объект > эндобдж 36 0 объект (Матрицы) эндобдж 37 0 объект > эндобдж 40 0 объект (7 матриц и матричных операций) эндобдж 41 0 объект > эндобдж 44 0 объект (Умножение 8 матриц) эндобдж 45 0 объект > эндобдж 48 0 объект (9 Обратная сторона квадратной матрицы) эндобдж 49 0 объект > эндобдж 52 0 объект (10 элементарных матриц) эндобдж 53 0 объект > эндобдж 56 0 объект (11 Поиск A-1 с помощью элементарных матриц) эндобдж 57 0 объект > эндобдж 60 0 объект (Детерминанты) эндобдж 61 0 объект > эндобдж 64 0 объект (12 детерминант по расширению кофактора) эндобдж 65 0 объект > эндобдж 68 0 объект (13 Оценка детерминант сокращением строк) эндобдж 69 0 объект > эндобдж 72 0 объект (14 дополнительных свойств определителя) эндобдж 73 0 объект > эндобдж 76 0 объект (15 Поиск A-1 с помощью кофакторов) эндобдж 77 0 объект > эндобдж 80 0 объект (16 Применение детерминант к системам: правило Крамера) эндобдж 81 0 объект > эндобдж 84 0 объект (Теория векторных пространств) эндобдж 85 0 объект > эндобдж 88 0 объект (17 векторных пространств и подпространств) эндобдж 89 0 объект > эндобдж 92 0 объект (18 Основа и размер) эндобдж 93 0 объект > эндобдж 96 0 объект (Собственные значения и собственные векторы) эндобдж 97 0 объект > эндобдж 100 0 объект (19 собственных значений квадратной матрицы) эндобдж 101 0 объект > эндобдж 104 0 объект (20 Нахождение собственных векторов и собственных подпространств) эндобдж 105 0 объект > эндобдж 108 0 объект (21 Диагонализация матрицы) эндобдж 109 0 объект > эндобдж 112 0 объект (Линейные преобразования) эндобдж 113 0 объект > эндобдж 116 0 объект (22 Линейное преобразование: определение и элементарные свойства) эндобдж 117 0 объект > эндобдж 120 0 объект (23 Ядро и диапазон линейного преобразования) эндобдж 121 0 объект > эндобдж 124 0 объект (24 изоморфизма) эндобдж 125 0 объект > эндобдж 128 0 объект (Ключ ответа) эндобдж 129 0 объект > эндобдж 132 0 объект (Показатель) эндобдж 133 0 объект > эндобдж 136 0 obj> транслировать xuMo0 @

: Jb, q: Y +? AkiA ||%

Правило Крамера

Правило Крамера – это способ решения системы линейных уравнений с использованием определителей.

Предположим, мы пытаемся решить такую ​​систему линейных уравнений, что

…

или Ax = b в матричной форме, где

Правило Крамера гласит, что

, где A _i – новая матрица, сформированная заменой i-го столбца A вектором b.

Пример

В данном случае

По правилу Крамера,

Затем мы можем проверить, что

Проба

Мы переинтерпретируем матрично-векторное уравнение Ax = b как

Другими словами, b = x ₁ v ₁ +… + x _n v _n , где каждый v _i является i-м столбцом матрицы A (см. Умножение матриц). Если мы подставим это выражение для b в A _i , матрицу, полученную путем замены i-го столбца A на b, мы получим:

Из свойств определителей мы можем выполнять операции с столбцами типа (i) + k (j) → (i) без изменения определителя. Следовательно, мы можем использовать столбцы, содержащие v ₁ , …, v _{i – 1} , v _{i + 1} ,… v _n , чтобы вычесть каждый член в x ₁ v ₁ + … + x _n v _n за исключением x _i v _i . Другими словами,

По другому свойству определителей столбец типа k (i) → (i) имеет такой же эффект умножения определителя на k. Следовательно, мы можем извлечь скалярный факт x _i из i-го столбца, который содержит x ₁ v _i . Другими словами,

с

объединение (1.) и (2.) дает det (A _i ) = x _i det (A). Деление на det (A) дает нам исходную формулировку правила Крамера.

Ограничения правила Крамера

• Поскольку мы делим на det (A), чтобы получить, правило Крамера работает только в том случае, если det (A) ≠ 0. Если det (A) = 0, правило Крамера не может использоваться, потому что уникального решения не существует, так как было бы бесконечно много решений или никакого решения совсем.
• Правило Крамера медленное, потому что мы должны вычислить определитель для каждого x _i .Когда мы оцениваем каждый det (A _i ), мы должны выполнить гауссовское исключение для каждого A _i в общей сложности n раз. Для сравнения, если бы мы использовали расширенную матрицу [A | b], нам нужно было бы только один раз выполнить исключение Гаусса, чтобы решить Ax = b.

См. Также матричные обозначения.

Правило Крамера – PTC Community

Ой, извини, я плохо интерпретирую твой предыдущий пост. Вы правы, лучше, новая ветка.

> По сути поста, ну что это? В сообщении просто говорится, что есть ошибка, подтвержденная листом. Это просто жалоба на конкретную реализацию (источник неизвестен)?

Предполагаю, что это так.Что касается источника, то процедуры «E» вызываются для «операций с элементарной строкой». Принимая это как правила, это лучший способ решить вручную линейную систему (то есть с расширенной матрицей) вручную, даже более простой – для больших систем -, чем правило Крамера, и дает также ранг матрицы, если в конечном итоге детерминант системы равен нулю, в то же время уменьшая систему.

> Или это утверждение, что решение эшелонированной формы вообще не работает?

Дальнейшее прочтение исходного сообщения показывает, что это действительный прием, неясно предложение сообщения, и вы правы.

> Если действительно задумано как какой-то комментарий в конкретной реализации, что требуется? Выявление того, где возникает ошибка …

Думаю, да.

> … (многие пользователи, кажется, никогда не учились использовать средство отслеживания ошибок)? …

Пожалуйста, включите меня в этот список. Я обычно забывал об этом инструменте, потому что им было неудобно пользоваться.

> … Исправление типа патча для этой конкретной процедуры? Общее обсуждение того, как выполнить гауссовское исключение надежным способом?

Опять же, вы правы, для коллаборации непонятно.

Я публикую то, что нашел в качестве ответа, в

http://collab.mathsoft.com/read?123456,23e#129280

, но в этой ветке не во времени.

С уважением. Альваро.

Решение линейных систем

Назад Замена

Напомним, что линейная система уравнений состоит из двух или более линейных уравнений с одинаковыми переменными. Линейная система, состоящая из трех уравнений стандартной формы, расположенных таким образом, что переменная x не появляется ни в одном уравнении после первого, а переменная y не появляется ни в одном уравнении после второго, называется верхнетреугольной формой. линейная система, состоящая из уравнений с тремя переменными в стандартной форме, расположенная так, что переменная x не появляется после первого уравнения, а переменная y не появляется после второго уравнения.. Например,

Обратите внимание, что система образует треугольник, в котором каждое последующее уравнение содержит на одну переменную меньше. В целом

Линейные системы в верхней треугольной форме {a1x + b1y = c1b2y = c2 {a1x + b1y + c1z = d1b2y + c2z = d2c3z = d3

Если линейная система находится в этой форме, мы можем легко найти одну из переменных, а затем произвести обратную замену, чтобы найти оставшиеся переменные.

Пример 1

Решить: {3x − y = 72y = −2.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ). Мы можем легко определить значение y , используя второе уравнение.

2у = −2у = −1

Затем используйте первое уравнение 3x − y = 7 и тот факт, что y = −1, чтобы найти x .

3x − y = 73x – (- 1) = 73x + 1 = 73x = 6x = 2

Ответ: (2, −1)

Пример 2

Решить: {x − 6y + 2z = 163y − 9z = 5z = −1.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с тремя переменными, если они существуют, являются упорядоченными тройками ( x , y , z ). Воспользуйтесь вторым уравнением 3y − 9z = 5 и тем фактом, что z = −1, чтобы найти y .

3y − 9z = 53y − 9 (−1) = 53y + 9 = 53y = −4y = −43

Затем подставьте y и z в первое уравнение.

x − 6y + 2z = 16x − 6 (−43) +2 (−1) = 16x + 8−2 = 16x + 6 = 16x = 10

Ответ: (10, −43, −1)

Попробуй! Решите: {4x − y + 3z = 12y − 9z = −23z = 2.

Ответ: (14, 2, 23)

Матрицы и исключение Гаусса

Цель этого раздела – разработать метод, упрощающий процесс решения линейных систем. Мы начинаем с определения матрицы – прямоугольного массива чисел, состоящего из строк и столбцов., Который представляет собой прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов. Для данной линейной системы в стандартной форме мы создаем матрицу коэффициентов Матрицу коэффициентов линейной системы в стандартной форме, записанную так, как они выглядят выстроенной, без переменных или операций.записывая коэффициенты в том виде, в каком они кажутся выстроенными, без переменных или операций, как показано ниже.

Матрица коэффициентов линейной системы {a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇒ [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Строки представляют коэффициенты в уравнениях, а столбцы представляют коэффициенты каждой переменной. Более того, если мы включим столбец, представляющий константы, мы получим так называемую расширенную матрицу – матрицу коэффициентов с включенным столбцом констант.. Для линейной системы с двумя переменными

Расширенная матрица линейной системы {a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 ⇔ [a1b1 | c1a2b2 | c2]

А для линейной системы с тремя переменными имеем

Расширенная матрица линейной системы {a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Примечание : Пунктирная вертикальная линия обеспечивает визуальное разделение между матрицей коэффициентов и столбцом констант.В других ресурсах по алгебре, с которыми вы можете столкнуться, это иногда опускается.

Пример 3

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {9x − 6y = 0 − x + 2y = 1.

Решение:

Эта система состоит из двух линейных уравнений стандартной формы; следовательно, коэффициенты в матрице отображаются так же, как и в системе.

{9x − 6y = 0 − x + 2y = 1 ⇔ [9−6 | 0−12 | 1]

Пример 4

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13.

Решение:

Поскольку уравнения представлены в стандартной форме, коэффициенты появляются в матрице так же, как и в системе.

{x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13 ⇔ [12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13]

Матрица имеет верхнюю треугольную форму, если все элементы ниже ведущего ненулевого элемента в каждой последующей строке равны нулю. Например,

Обратите внимание, что элементы ниже главной диагонали равны нулю, а коэффициенты выше образуют треугольную форму.В целом

Верхняя треугольная форма [a1b10b2] [a1b1c10b2c200c3]

Это важно, потому что в этом разделе мы очерчиваем процесс, с помощью которого можно выполнить определенные операции для создания эквивалентной линейной системы в верхней треугольной форме, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки. Обзор процесса представлен ниже:

Когда система принимает форму верхнего треугольника, мы можем использовать обратную замену, чтобы легко ее решить.Важно отметить, что представленные здесь расширенные матрицы представляют собой линейные системы уравнений в стандартной форме.

Следующие элементарные операции со строками Операции, которые могут быть выполнены для получения эквивалентных линейных систем. приводят к расширенным матрицам, которые представляют эквивалентные линейные системы:

1. Любые две строки можно поменять местами.
2. Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу.
3. Любая строка может быть заменена суммой этой строки и кратной другой.

Примечание: Эти операции согласуются со свойствами, используемыми в методе исключения.

Для эффективного решения системы линейных уравнений сначала постройте расширенную матрицу. Затем примените соответствующие элементарные операции со строками, чтобы получить расширенную матрицу в форме верхнего треугольника. В этой форме эквивалентная линейная система может быть легко решена с помощью обратной подстановки. Этот процесс называется гауссовским устранением. Шаги, используемые для получения эквивалентной линейной системы в верхней треугольной форме, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки., названный в честь Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).

Рисунок 3.1

Карл Фридрих Гаусс (Википедия)

Шаги для решения линейного уравнения с двумя переменными с использованием исключения Гаусса перечислены в следующем примере.

Пример 5

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {9x − 6y = 0 − x + 2y = 1.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{9x − 6y = 0 − x + 2y = 1 ⇔ [9−6 | 0−12 | 1]

Шаг 2 : Примените операции элементарной строки, чтобы получить верхнюю треугольную форму. В этом случае нам нужно только удалить первый элемент второй строки, −1. Для этого умножьте вторую строку на 9 и прибавьте ее к первой строке.

Теперь используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[9−6 | 0012 | 9]

В результате получается расширенная матрица в форме верхнего треугольника.

Шаг 3 : Преобразуйте обратно в линейную систему и решите, используя обратную подстановку. В этом примере у нас

[9−6 | 0012 | 9] ⇒ {9x − 6y = 012y = 9

Решите второе уравнение относительно y ,

12y = 9y = 912y = 34

Подставьте это значение вместо y в первое уравнение, чтобы найти x ,

9x − 6y = 09x − 6 (34) = 09x − 92 = 09x = 92x = 12

Ответ: (12, 34)

Шаги по использованию исключения Гаусса для решения линейного уравнения с тремя переменными перечислены в следующем примере.

Пример 6

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{x + 2y − 4z = 52x + y − 6z = 84x − y − 12z = 13 ⇒ [12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13]

Шаг 2 : Примените операции элементарной строки, чтобы получить верхнюю треугольную форму.Начнем с исключения первого элемента второй строки, в данном случае 2. Для этого умножьте первую строку на −2, а затем добавьте ее во вторую строку.

[12−4 | 521−6 | 84−1−12 | 13] ⇒ × (−2) −2−48−10 + 21−680−32−2

Используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[12−4 | 50−32 | −24−1−12 | 13]

Затем удалите первый элемент третьей строки, в данном случае 4, умножив первую строку на −4 и прибавив ее к третьей строке.

[12−4 | 50−32 | −24−1−12 | 13] ⇒ × (−4) −4−816−20 + 4−1−12130−94−7

Используйте это для замены третьей строки.

[12−4 | 50−32 | −20−94 | −7]

Это приводит к расширенной матрице, в которой элементы ниже первого элемента первой строки равны нулю. Затем удалите второй элемент в третьей строке, в данном случае −9. Умножьте вторую строку на −3 и прибавьте ее к третьей строке.

Используйте это, чтобы заменить третью строку, и мы видим, что мы получили матрицу в форме верхнего треугольника.

[12−4 | 50−32 | −200−2 | −1]

Шаг 3 : Преобразуйте обратно в линейную систему и решите, используя обратную подстановку. В этом примере у нас

[12−4 | 50−32 | −200−2 | −1] ⇒ {x + 2y − 4z = 5−3y + 2z = −2−2z = −1

Ответ: Читателю остается убедиться, что решение (5,1,12).

Примечание: Обычно работа по замене строки путем умножения и сложения выполняется сбоку с использованием бумаги для заметок.

Пример 7

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {2x − 9y + 3z = −18x − 2y − 3z = −8−4x + 23y + 12z = 47.

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{2x − 9y + 3z = −18x − 2y − 3z = −8−4x + 23y + 12z = 47 ⇒ [2−93 | −181−2−3 | −8−42312 | 47]

Операции с элементарными строками упрощаются, если ведущий ненулевой элемент в строке равен 1.По этой причине начните с замены первого и второго ряда местами.

Заменить вторую строку суммой −2, умноженной на первую и вторую строку.

Заменить третью строку суммой четырех строк первой и третьей.

Далее разделите 3-ю строку на 15.

Поменяйте местами третий ряд со вторым.

Затем замените строку 3 суммой, умноженной на 5 строк второй и третьей.

В результате получается матрица в форме верхнего треугольника. Матрица находится в форме эшелона строк Матрица в треугольной форме, где ведущий ненулевой элемент каждой строки равен 1., если она находится в верхней треугольной форме, где ведущий ненулевой элемент каждой строки равен 1. Мы можем получить эту форму, заменив третью строку на результат деления на 9.

Преобразуйте в систему линейных уравнений и решите обратной подстановкой.

[1−2−3 | −8010 | 1001 | 13] ⇒ {x − 2y − 3z = −8y = 1z = 13

Здесь y = 1 и z = 13. Подставляем в первое уравнение, чтобы найти x .

x − 2y − 3y = −8x − 2 (1) −3 (13) = – 8x − 2−1 = −8x − 3 = −8x = −5

Ответ: Следовательно, решение – (−5, 1, 13).

Технологическое примечание : Многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут выполнять метод исключения Гаусса. Сначала вам нужно узнать, как войти в матрицу.Затем используйте функции калькулятора, чтобы найти форму эшелона строки. Предлагаем вам провести исследование по этой теме для вашей конкретной модели калькулятора.

Попробуй! Решить, используя исключение Гаусса: {x − 3y + 2z = 164x − 11y − z = 692x − 5y − 4z = 36.

Ответ: (6, −4, −1)

Напомним, что некоторые непротиворечивые линейные системы зависимы, то есть у них бесконечно много решений.А некоторые линейные системы не имеют одновременного решения; это несовместимые системы.

Пример 8

Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x − 2y + z = 42x − 3y + 4z = 74x − 7y + 6z = 15.

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{x − 2y + z = 42x − 3y + 4z = 74x − 7y + 6z = 15 ⇒ [1−21 | 42−34 | 74−76 | 15]

Заменить вторую строку на −2 (строка 1) + (строка 2) и заменить строку три на −4 (строка 1) + (строка 3).

[1−21 | 4012 | −1012 | −1]

Заменить третью строку на −1 (строка 2) + (строка 3).

[1-21 | 4012 | -1000 | 0]

Последняя строка указывает, что это зависимая система, потому что преобразование расширенной матрицы обратно в уравнения, которые у нас есть,

{x − 2y + z = 4y + 2z = −10x + 0y + 0z = 0

Обратите внимание, что ряд нулей соответствует следующему идентификатору,

0x + 0y + 0z = 00 = 0 ✓

В этом случае мы можем выразить бесконечное множество решений в терминах z .Из второго ряда имеем:

y + 2z = −1y = −2z − 1

И из первого уравнения,

x − 2y + z = 4x − 2 (−2z − 1) + z = 4x + 5z + 2 = 4x = −5z + 2

Решения имеют вид (x, y, z) = (- 5z + 2, −2z − 1, z), где z – любое действительное число.

Ответ: (−5z + 2, −2z − 1, z)

Зависимые и несовместимые системы могут быть идентифицированы в расширенной матрице коэффициентов, когда все коэффициенты в одной строке равны нулю.

Если строка нулей имеет соответствующую константу, равную нулю, тогда матрица представляет зависимую систему. Если константа отлична от нуля, матрица представляет собой несовместимую систему.

Попробуй! Решить, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {5x − 2y + z = −310x − y + 3z = 0−15x + 9y − 2z = 17.

Ответ: Ø

Основные выводы

• Линейная система в верхней треугольной форме может быть легко решена с помощью обратной подстановки.
• Расширенная матрица коэффициентов и метод исключения Гаусса могут использоваться для упрощения процесса решения линейных систем.
• Чтобы решить систему с использованием матриц и исключения Гаусса, сначала используйте коэффициенты для создания расширенной матрицы. Примените операции с элементарными строками как средство для получения матрицы в форме верхнего треугольника. Преобразуйте матрицу обратно в эквивалентную линейную систему и решите ее, используя обратную подстановку.

Тематические упражнения

Часть A: Обратная замена

Решите, используя обратную замену.

1. {5x − 3y = 2y = −1

2. {3x + 2y = 1y = 3

3. {x − 4y = 12y = −3

4. {x − 5y = 310y = −6

5. {4x − 3y = −167y = 0

6. {3x − 5y = −104y = 8

7. {2x + 3y = −13y = 2

8. {6x − y = −34y = 3

9. {х-у = 02у = 0

10. {2x + y = 23y = 0

11. {x + 3y − 4z = 1y − 3z = −2z = 3

12. {x − 5y + 4z = −1y − 7z = 10z = −2

13. {x − 6y + 8z = 23y − 4z = −42z = −1

14. {2x − y + 3z = −92y + 6z = −23z = 2

15. {10x − 3y + z = 1311y − 3z = 92z = −6

16. {3x − 2y + 5z = −244y + 5z = 34z = −12

17. {x − y + 2z = 12y + z = 13z = −1

18. {x + 2y − z = 2y − 3z = 16z = 1

19. {x − 9y + 5z = −32y = 103z = 27

20. {4x – z = 33y − 2z = −12z = −8

Часть B: Матрицы и исключение Гаусса

Построить соответствующую расширенную матрицу (не решать).

21. {х + 2у = 34х + 5у = ​​6

22. {6x + 5y = 43x + 2y = 1

23. {x − 2y = 12x − y = 1

24. {х-у = 2-х + у = -1

25. {−x + 8y = 32y = 2

26. {3x − 2y = 4 − y = 5

27. {3x − 2y + 7z = 84x − 5y − 10z = 6 − x − 3y + 2z = −1

28. {x − y − z = 02x − y + 3z = −1 − x + 4y − 3z = −2

29. {x − 9y + 5z = −32y = 103z = 27

30. {4x − z = 33y − 2z = −12z = −8

31. {8x + 2y = −13−2y + z = 112x − 5z = −18

32. {x − 3z = 2y + 6z = 42x + 3y = 12

Решите, используя матрицы и метод исключения Гаусса.

33. {x − 5y = 22x − y = 1

34. {x − 2y = −1x + y = 1

35. {10x − 7y = 15−2x + 3y = −3

36. {9x − 10y = 23x + 5y = −1

37. {3x + 5y = 82x − 3y = 18

38. {5x − 3y = −147x + 2y = −1

39. {9x + 15y = 53x + 5y = 7

40. {6x − 8y = 1−3x + 4y = −1

41. {х + у = 0х-у = 0

42. {7x − 3y = 03x − 7y = 0

43. {2x − 3y = 4−10x + 15y = −20

44. {6x − 10y = 20−3x + 5y = −10

45. {x + y − 2z = −1 − x + 2y − z = 1x − y + z = 2

46. {x − y + z = −2x + 2y − z = 6 − x + y − 2z = 3

47. {2x − y + z = 2x − y + z = 2−2x + 2y − z = −1

48. {3x − y + 2z = 7 − x + 2y + z = 6x + 3y − 2z = 1

49. {x − 3y + z = 6 − x − y + 2z = 42x + y + z = 3

50. {4x − y + 2z = 12x − 3y + 2z = 7−2x + 3y + 4z = −16

51. {2x − 4y + 6z = −43x − 2y + 5z = −25x − y + 2z = 1

52. {3x + 6y + 9z = 62x − 2y + 3z = 0−3x + 18y − 12z = 5

53. {−x + y − z = −23x − 2y + 5z = 13x − 5y − z = 3

54. {x + 2y + 3z = 43x + 8y + 13z = 212x + 5y + 8z = 16

55. {2x − 4y − 5z = 3 − x + y + z = 13x − 4y − 5z = −4

56. {5x − 3y − 2z = 43x − 6y + 4z = −6 − x + 2y − z = 2

57. {−2x − 3y + 12z = 44x − 5y − 10z = −1 − x − 3y + 2z = 0

58. {3x − 2y + 5z = 104x + 3y − 3z = −6x + y + z = 2

59. {x + 2y + z = −3x + 6y + 3z = 7x + 4y + 2z = 2

60. {2x − y + z = 14x − y + 3z = 52x + y + 3z = 7

61. {2x + 3y − 4z = 03x − 5y + 3z = −105x − 2y + 5z = −4

62. {3x − 2y + 9z = 2−2x − 5y − 4z = 35x − 3y + 3z = 15

63. {8x + 2y = −13−2y + z = 112x − 5z = −18

64. {x − 3z = 2y + 6z = 42x + 3y = 12

65. {9x + 3y − 11z = 62x + y − 3z = 17x + 2y − 8z = 3

66. {3x − y − z = 4−5x + y + 2z = −36x − 2y − 2z = 8

67. {2x − 4y + 3z = 153x − 5y + 2z = 185x + 2y − 6z = 0

68. {3x − 4y − 3z = −144x + 2y + 5z = 12−5x + 8y − 4z = −3

Часть C: Обсуждение

69. Изучите и обсудите историю метода исключения Гаусса.Кто первым разработал этот процесс? Опубликуйте что-нибудь, что вам показалось интересным в связи с этой историей.

70. Изучите и обсудите историю современной матричной записи. Кому засчитывается разработка? В каких сферах они используются сегодня? Разместите свои выводы на доске обсуждений.

ответы

1. (-15, -1)

3. (-5, -32)

7. (-32,23)

13. (−6, −2, −12)

15. (85,0, −3)

17. (73,23, −13)

21. [12 | 345 | 6]

23. [1-2 | 12-1 | 1]

25. [−18 | 302 | 2]

27. [3−27 | 84−5−10 | 6−1−32 | −1]

29. [1−95 | −3020 | 10003 | 27]

31. [820 | −130−21 | 1120−5 | −18]

33. (13, −13)

35. (32,0)

43. (х, 23x − 43)

51. (12,12, −12)

57. (1,0,12)

59. (−8, −12z + 52, z)

63. (-32, -12, 0)