Ранг матрицы онлайн
Число r называется рангом матрицы A, если:1) в матрице A есть минор порядка r, отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Обозначения: rangA, rA или r.
Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.
Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы. При этом решение сохраняется в формате Word и Excel. см. пример решения.
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.
Выберите размерность матрицы
34567
x
34567
Определение.
Пусть дана матрица ранга r. Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.
Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).
Пример 1. Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение. Минор M1=0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M2=-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц 
Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A
Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.
- Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
- Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
- Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
- Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
- Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
- Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
- Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.
Пример 2. Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей:
Поскольку вторая и третья строки пропорциональны, то одну из них можно вычеркнуть, что не изменит ранг. Получаем , так как в матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноры более высокого порядка отсутствуют.
Пример 3. Привести данную матрицу к ступенчатому виду и определить её ранг. .
Решение. Получим нули в первом столбце, оперируя первой строкой .
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на 2, а в последней строке отбросим общий множитель:
Теорема Кронекера-Капелли.
Примеры
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём:
- система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных;
- бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Инструкция. Для получения онлайн решения необходимо выбрать количество переменных: 2345678 и количество строк 23456
Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.
Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.
Пример №1. Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Это соответствует системе:
-3x2 + 9x3 = 6
-4x1 + 5x2
За базисные переменные примем x1 и x2.
Тогда свободные x3,x4.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Пример №2.
Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
3x2 -2x3 – 3x4 = 10
3x1 -x2 -2x3 = 1
Необходимо переменные x3,x4 принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x1, x2.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Пример №3. Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение?
Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.
Система уравнений в матричной форме Калькулятор
Калькуляторы Алгебра
Укажите систему
линейное уравнение, предварительно изменив размер, если это необходимо.Затем заполните коэффициенты, связанные со всеми переменными и правым размером, для каждого из уравнений. Если переменная отсутствует в одном конкретном уравнении, введите «0» или оставьте поле пустым.
Икс + у + г + ты + в “=”
Икс + у + г + ты + в “=”
Икс + у + г + ты + в “=”
Икс + у + г + ты + в “=”
Икс + у + г + ты + в “=”
Подробнее об этом калькуляторе системы уравнений для матричной формы
Одной из важнейших способностей при решении систем линейных уравнений является
иметь возможность перейти от традиционного формата линейных систем к матрицам.
Если у вас есть матричное представление линейной системы, вы можете либо применить метод Крамера Правило или вы можете решить систему, сначала найдя обратную соответствующую матрицу коэффициентов.
Или, с матричным представлением, вы можете построить расширенную матрицу и применить метод поворота Гаусса, в зависимости от того, что вам больше подходит.
Во-первых: Как записать систему уравнений в матричной форме?
Шаг 1: Определите каждое уравнение в системе. Каждое уравнение будет соответствовать строке в матричном представлении.
Шаг 2: Работайте над каждым уравнением.
Для каждого из них определите левую и правую части уравнения.
Шаг 3: То, что находится в левой части, будет частью матрицы А, а то, что в правой части, будет частью вектор б
Шаг 4: Коэффициенты слева должны быть определены отдельно в зависимости от того, какой коэффициент умножает каждую переменную.
Шаг 5: Каждое уравнение представляет строку, а каждая переменная представляет столбец матрицы A.
Как использовать матрицу для решения системы уравнений?
Когда у вас есть система в матричной форме, вы можете приступить к ее решению различными способами. Обычно вы начинаете сначала с
вычисление определителя матрицы, в качестве начального критерия, позволяющего узнать о
решения системы.
Если \(\det A \ne 0\), то мы знаем, что система имеет единственное решение. Теперь, когда \(\det A = 0\), это не значит, что у вас нет решений, это означает только то, что если есть решения, то они не единственны.
Действительно, когда \(\det A = 0\), вы не можете использовать метод Крамера или обратный метод для решения системы уравнений. В таком случае вы лучше использовать метод поворота Гаусса.
Как решать матричные уравнения
Часто вам дают систему уравнений непосредственно в матричном формате. Если это так, и число уравнений равно
так же, как количество переменных, вы можете попробовать использовать обратный метод или правило Крамера. В противном случае вы можете использовать
Метод Гаусса.