Решить систему по формулам крамера методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение системы по формулам Крамера

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений 

На первом шаге вычислим определитель   , его называют главным определителем системы. Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать Метод Гауса.

Если  , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:  и 

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой  .

Корни уравнения находим по формулам: , 

Пример 7

Решить систему линейных уравнений 

В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

; 

Ответ:  ,  .

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения     в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8 Решить систему по формулам Крамера.  Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать 

метод Гаусса.

Если  , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: ,  , 

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: ,  , 

Пример 9 Решить систему по формулам Крамера.   

Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение.

Ответ:  .

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений 

системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу  ,   и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение   указывает на то, что матрица   может быть получена из   путём элементарных преобразований (или наоборот).

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения 

системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                                      x +  y – 3z = 2,

                                                    3x – 2y +  z = – 1,

                                                    2x +  y – 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

 ~  ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

                                                    x + y – 3z = 2,

                                                    -5y + 10z = -7,

                                                           – 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим  x = – 0,7.

Контрольная работа “Методы решения систем линейных уравнений”

 

Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы:

. Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой .

Запишем и вычислим вспомогательные определители

Тогда

Ответ:

Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.

~ ~ ~

Таким образом, система равносильна системе

Находим

     

     

Ответ: , ,

При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.

 

Задача 3. Выполнить действия:

Решение. Выполним решение по действиям.

=

.

.

 

Ответ: .

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Если , , то произведением матрицы  называется матрица , такая, что , где .

Пример:   

Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).

Произведение  определено.

 

Контрольная работа №1.

Вариант 1

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 2

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Вариант 3

 

Задача 1.

Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 4

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 5

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 6

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 7

 

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 8

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Вариант 9

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 10

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Вариант 11

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 12

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Вариант 13

 

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 14

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 15

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 16

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 17

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 18

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 19

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 20

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 21

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 22

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 23

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 24

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 25

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 26

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 27

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 28

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

Контрольная работа №1.

Вариант 29

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Контрольная работа №1.

Вариант 30

 

Задача 1. Вычислить определитель:

 

 

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

 

Задача 3. Выполнить действия:

 

 

Система линейных уравнений | Реальная статистика с использованием Excel

Определение 1 : набор N Линейные уравнения

в K Неизвестные x _J можно рассматривать как матричное уравнение AX = C , где A 666666666 n  × k матрица [ a _ij ], X k  × 1 вектор-столбец [ x _j 6 0 90 ]0005 n  × 1 вектор-столбец [ c _j ].

Свойство 1 : Если A является квадратной матрицей (т. е. количество уравнений равно количеству неизвестных), уравнение AX = C имеет единственное решение тогда и только тогда, когда A обратимо (т. е. det A ≠ 0), и в этом случае единственное решение определяется формулой X = A ^-1 C. 0005 A является обратимым, единственное решение AX = C дается выражением

, где A _j  равно A  с заменой C 9 0 -го столбца на 0.0005 j -го столбца.

Пример 1 : Решите следующую линейную систему с помощью правила Крамера:

Рисунок 1 – Вычисление определителя по правилу Крамера

Отсюда следует, что x  = -6/9 = -2/3, y = 3/9 = 1/3 и z  = 0/9 = 0.

По свойству 1 мы можем получить тот же результат можно получить, вычислив A ^-1 C , что можно выполнить в Excel по формуле =МУМНОЖ(МИНВЕРС( A ), C ). Для примера 1 это дает

Определение 2 : Когда C из определения 1 не является нулевой матрицей, тогда линейные уравнения называются гетерогенный . Когда C = Ο линейные уравнения называются однородными . В этом случае Ο  является решением AX = Ο , называемым тривиальным решением .

Свойство 3 : Если A обратимо, то X = Ο  является единственным решением AX = Ο .

Доказательство: Это следует из Свойства 1.

Наблюдение : Когда A  необратимо (т.е. det A  = 0) любое скалярное кратное нетривиального решения однородного уравнения AX = Ο также является решением. Чтобы найти такое решение, мы можем использовать метод исключения Гаусса, метод, аналогичный тому, который мы использовали для вычисления определителя квадратной матрицы на основе свойства 5 определителей и линейных уравнений. Этот подход работает для любых A  (квадратных или нет, обратимых или нет).

Определение 3 : Если А  является матрицей n  × k и B  является матрицей n  × m , то расширенная матрица   A | B — это n × ( k + m ) матрица, первые k  столбцов которой идентичны столбцам в A  , а оставшиеся m 06 B 0 .

Свойство 4 : If A’ и C’ получены из A и C на основе любого из следующих преобразований, тогда уравнения AX = C  и A′X = C′  имеют одинаковые решения.

1. Замена любых двух рядов
2. Умножение любой строки на константу
3. Добавление любой строки, умноженной на константу, к другой строке

Наблюдение : Обычно мы применяем вышеуказанные преобразования к расширенной матрице A | С .

Определение 4 : Метод исключения Гаусса представляет собой способ решения линейных уравнений и основан на преобразованиях, описанных в свойстве 9. Предположим, что A  и C такие, как описано в определении 1.

        – set i  = 1 и j  = 1

Теперь мы применяем следующую серию преобразований к расширенной матрице (шаг 1–шаг p  , где p – это меньше N и K ):

Шаг I – Часть 1: Найдите R ≥ I Таким образом, что абсолютное значение A _RJ является наибольшим. Если a _rj ≈ 0 (т.е. | a _rj | < ϵ, где ϵ — некоторое предопределенное малое значение), то если j = n завершить процедуру; в противном случае замените j на j + 1 и повторите шаг i. Если не а _rj ≈ 0 и r > k , затем поменять местами строки r и i (правило 1).

Шаг i  – часть 2: разделите все записи в строке i на a _ij  (правило 2).

Шаг i — часть 3: для каждой строки r ниже строки i добавить — a _rj умножить на строку i до строки

6 r). Это гарантирует, что

a _rc  = 0 для всех r > i и c ≤ j .

Наблюдение : Для неоднородных уравнений (т. е. C ≠ Ο ) есть три возможности: существует бесконечное число решений, нет решений или существует единственное решение. Для однородных уравнений (т. е. C = Ο ) возможны две возможности: существует бесконечное число решений или существует единственное решение, а именно тривиальное решение, где х = Ο . Пример 2 A преобразуется в единичную матрицу, мы знаем, что преобразование C является единственным решением системы линейных уравнений, а именно x = 0, y = 2 и z = -1. Обратите внимание, что мы получаем тот же результат, вычисляя X = A ^-1  C .

Пример 3 : Решите следующую однородную линейную систему с помощью исключения Гаусса:

С помощью исключения Гаусса из рисунка 3 мы видим, что единственным решением является тривиальное решение:

Рисунок 3 – Решение однородного линейного уравнения

Пример 4 : Решите следующую однородную линейную систему методом исключения Гаусса:

На этот раз метод исключения Гаусса дает строку со всеми нулями (см. рис. 4), а число ненулевых строк = 2 < 3 неизвестных. Таким образом, существует бесконечное множество решений.

Рисунок 4 -Поиск решений для гомогенных линейных уравнений

Решения могут принимать форму x = -2,5 T , Y = .5 T , Z = T для любого. стоимость т .

Наблюдение : Как видно из приведенных выше примеров, однородное уравнение AX = O , где A — матрица размером м  ×  n , имеет единственное решение, когда после него имеется n ненулевых строк. выполнение исключения Гаусса. В противном случае уравнение имеет бесконечное число решений.

Реальные статистические функции Excel : Для выполнения процедуры исключения Гаусса предусмотрены следующие функции массива.

ЭЛИМ (R1, prec ): функция массива, которая выводит результаты исключения Гаусса для расширенной матрицы, найденной в массиве R1. Форма выхода такая же, как форма R1.

LINEQU (R1, prec ): функция массива, которая возвращает вектор-столбец n  × 1 с уникальным решением уравнений, определяемых расширенной матрицей m  × ( n +1), найденной в массив R1; возвращает вектор, состоящий из #N/A! если решения нет и вектор, состоящий из #ЧИСЛО! если существует бесконечное число решений.

По умолчанию каждая из этих функций предполагает, что запись с абсолютным значением меньше 0,0001 эквивалентна нулю. Это необходимо, поскольку малые значения не обрабатываются как нуль в алгоритме исключения Гаусса, описанном выше. Вы можете изменить это значение по умолчанию на другое, вставив второй параметр в любую из этих функций: например. ELIM(R1, prec ) или LINEQU(R1, prec ). Таким образом, ELIM(R1) = ELIM(R1, 0,0001).

Инструмент анализа данных реальной статистики : Инструмент анализа данных “Решение набора линейных уравнений “, содержащийся в пакете ресурсов Real Statistics, обеспечивает эквивалентную функциональность для LINEQU и ELIM. Чтобы использовать этот инструмент, введите Ctrl-m и выберите в меню Решить набор линейных уравнений . Когда появится диалоговое окно, заполните Input Range (с тем же диапазоном, что и R1 выше). Выбор Показать решение только эквивалентен LINEQU(R1), а отсутствие щелчка по этому параметру эквивалентно ELIM(R1).

Наблюдение : Исключение Гаусса также можно использовать для обращения квадрата n  ×  n матрицы A путем применения описанной выше процедуры к A | I _п . Если процедура завершится до того, как будет выполнено n шагов, то A необратима. Если процедура завершается после n шагов (в этом случае A′ = I _n ), то C′ = A ^-1 .

Пример 5: Использование исключения Гаусса для инвертирования матрицы

Результат показан на рисунке 5.

единичная матрица указывает, что A обратимо. Обратное дается преобразованием единичной матрицы, а именно

. Это тот же результат, что и при использовании формулы Excel MINVERSE( А ).

Наблюдение : Как мы видели в примере 4, иногда существует бесконечное число решений системы линейных уравнений, каждое из которых выражается как кратное одному решению. Как правило, при наличии нескольких решений каждое решение может быть выражено в виде линейной комбинации векторов-столбцов, как более подробно описано в разделе «Множественные решения линейных уравнений».

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В Excel имеется обширный набор инструментов для решения различных типов уравнений различными методами. Рассмотрим некоторые решения на примерах.



Решение уравнений методом проб и ошибок в Excel

Инструмент “Поиск цели” используется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст желаемую сумму.

Путь к команде: «ДАННЫЕ» – «Инструменты данных» – «Анализ «что если»» – «Поиск цели».

Рассмотрим, например, решение квадратного уравнения х ² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня в Excel:

1. Вводим в ячейку В2 формулу нахождения значения функция. Применяем ссылку на ячейку B1 в качестве аргумента.
2. Открыть меню инструмента “Поиск цели”. В поле «Установить ячейку» есть ссылка на ячейку B2, где находится формула. Введите 0 в поле «К значению». Это значение, которое вы хотите получить. В столбце «По смене ячейки» стоит B1. Здесь должен отображаться выбранный параметр.
3. После нажатия OK отображается результат выбора. Если вы хотите сохранить его, нажмите OK еще раз. В противном случае нажмите «Отмена».

Программа использует циклический процесс для поиска параметра. Вам нужно ввести параметры Excel, чтобы изменить количество итераций и ошибку.

Установить максимальное количество итераций и относительную погрешность на вкладке “Формулы”. Установите галочку в поле, чтобы включить итерационные вычисления.



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel?

Дана система уравнений:

1. Вносим значения элементов в ячейки Excel в виде таблицы.
2. Найдем обратную матрицу. Выделите диапазон B6:E9, куда в дальнейшем будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Откройте список функций (fx). В категории «Математика и триггер» мы находим функцию MINVERS. Аргумент представляет собой массив ячеек с элементами исходной матрицы.
3. Нажмите OK, и в левом верхнем углу диапазона появится значение. Последовательно нажмите кнопку F2 и Ctrl+Shift+Enter.
4. Умножаем обратную матрицу Ах ^-1х на матрицу В (только в таком порядке умножения!). Выделяем диапазон h2:h5, где впоследствии появятся элементы получившейся матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов матрицы B). Откройте диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон — это обратная матрица. Вторая – матрица B.
5. Закройте окно с аргументами функции, нажав кнопку ОК. Последовательно нажимайте кнопку F2 и комбинацию Ctrl+Shift+Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице A на столбец матрицы B. И она будет решена методом Крамера.

Используйте функцию MDETERM для вычисления определителей. Аргумент представляет собой диапазон с соответствующей матрицей.

Вычислим также определитель матрицы A (массив – это диапазон матрицы A).

Определитель системы больше 0, и решение можно найти по формуле Крамера (D _x / |A|).

Для расчета Х ₁ : =K2/$K$1, где K2 равно D1. Для расчета Х ₂ : =K3/$K$1 и т.д. Получаем корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Запишем коэффициенты в матрицу А. И запишем постоянный член в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выберем заливкой. Вам нужно поменять местами строки, если в первой ячейке матрицы A было 0, чтобы там было значение, отличное от 0.

1. Присвоим 0 всем коэффициентам матрицы A, кроме первого уравнения. Копируем значения первой строки двух матриц в ячейки B6:E6. В ячейку B7 вводим формулу: Затем выберите диапазон B7:E7. Нажмите F2 и нажмите Ctrl + Shift + Enter. Мы вычли из второй строки первую, которая умножается на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
2. Скопируйте введенную формулу в строку 7. Таким образом, мы избавились от коэффициентов перед A. Осталось только первое уравнение.
3. Приводим к 0 все коэффициенты при B в третьем и четвертом уравнениях. Копируем строки 5 и 6 (только значения). Затем переносим их ниже в строки 9 и 10. Эти данные должны остаться без изменений. Затем вводим формулу массива в ячейку A11
4. Проведен прямой прогон по методу Гаусса. В обратном порядке начинаем прогон с последней строки получившейся матрицы. Все элементы этой строки нужно разделить на коэффициент C. В строку вводим формулу массива:
5. В строке 15: из второй строки вычитаем третью, умноженную на коэффициент С из второй строки В строке 14: из первой строки вычитаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты В последнем столбце новой матрицы мы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Расчеты в рабочей книге должны быть настроены следующим образом:

Это можно сделать на вкладке «Формулы» в «Параметры Excel». Найдем корень уравнения х – х ³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) итерацией по циклическим ссылкам. Формула:

Х _n+1 = X _n – F (X _n ) / M, n = 0, 1, 2, … .

M — максимальное значение производной по модулю. Выполняем вычисления, чтобы найти M:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0.