2.1.4. Примеры решения задач по теме «Решение систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера»
Задача 1.
Решить систему по правилу Крамера:
.
Указание
Найдите главный определитель системы (поскольку он не равен нулю, система имеет единственное решение). Затем вычислите ΔХ, ΔУ и ΔZ.
Решение
Главный определитель
Следовательно, система имеет единственное решение.
Найдем ΔХ, ΔУ и ΔZ:
Напоминаем: определители ΔХ, ΔУ И ΔZ получены из определителя Δ заменой столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов. |
Отсюда
Ответ: Х = 1, У = 4, Z = 2.
Задача 2.
Используя правило Крамера, выяснить, при каких значениях А система
Имеет бесконечно много решений.
Указание
Для того, чтобы система была совместна, но не определена, должно выполняться условие
Решение
Главный определитель
Разложением по первой строке получим:
Следовательно, Δ = 0 при А = 1 или А = -2.
Значит, при А ≠ 1 и при А ≠ -2 система имеет единственное решение.
Определим число решений при А = 1 и А = -2.
1) При А = 1 система имеет вид:
Очевидно, что при этом система имеет бесконечно много решений, так как она фактически состоит из одного уравнения, и ее решениями будут любые три числа, сумма которых равна 1.
2) При А = -2 получаем систему
Для которой
Следовательно, этом случае решений нет.
Ответ: А = 1.
Задача 3.
Решить систему с помощью обратной матрицы:
.
Указание
Убедитесь, что матрица системы невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.
Затем найдите для нее обратную матрицу и умножьте эту матрицу на столбец свободных членов.
Решение
Составим матрицу системы:
ΔА = -51 ≠ 0, следовательно, система имеет единственное решение.
Найдем матрицу А-1:
Тогда
Если
То исходная система превращается в матричное уравнение
То есть Х = 3, У = 1, Z = 1.
Ответ: Х = 3, У = 1, Z = 1.
Задача 4.
Решить систему по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:
Указание
Для решения по правилу Крамера найдите определители D, DX, DY, DZ.
Для решения с помощью обратной матрицы составьте матрицу, обратную к матрице системы, и умножьте ее на столбец свободных членов.
Решение
1. Правило Крамера
Найдем главный определитель системы:
Система имеет единственное решение.
2. Решение с помощью обратной матрицы
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы системы:
Составим матрицу, обратную к матрице системы:
Столбец решений системы получим, умножив А-1 на столбец свободных членов:
Ответ: Х = 1, У = 2, Z = 3.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
НОУ ИНТУИТ | Лекция | Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ
< Лекция 10 || Лекция 5: 12345
Аннотация: В лекции рассмотрено использование ранее изученных методов для поиска решений системы линейных уравнений
Ключевые слова: определитель, Алгебраическим дополнением, алгебраические, коэффициенты, равенство, свободными членами, определителем системы, переменная, бесконечное множество, вывод, множитель, коэффициентами системы, система линейных уравнений, обратный, матричная форма, матрица, детерминант, совместность, расширенная матрица, выражение
Правило Крамера
- Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
- Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.
Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
| ( 4.2) |
Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы
Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А11 элемента а11, второе уравнение – на алгебраическое дополнение А21 элемента а21, а третье – на алгебраическое дополнение А31 элемента а31.
Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим
| ( 4.3) |
Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. “лекц. 1” , теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. “лекц. 1” , теорема 1) равен , т.е. , поэтому равенство (4.3) примет вид:
| ( 4.4) |
(
4. 5) |
Заметим, что определитель получается из определителя путем замены коэффициентов а
| ( 4.6) |
Определители и получают из определителя системы заменой второго и третьего столбцов коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.
- . Тогда из равенств (4.
4) и (4.5) находим решение системы (2) как
которые называют формулами Крамера.( 4.7) - . Тогда по крайней мере один из , или отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, . Тогда равенство из (4.4) получаем или , что невозможно.
- и . Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.
4) и (4.5) находим решение системы (2) какПример 1. Решить систему
Решение. Вычислим все определители.
Так как , то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.
7):
т.е. (2, 0, -1) – искомое решение системы.
Пример 2. Решить систему
Решение. Вычислим определители
т.е. система решений не имеет (случай 2)
Пример 3. Решить систему
Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.
Пример 4
Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных
Так как
то можно найти решение последней системы
в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений.
В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.
Дальше >>
< Лекция 10 || Лекция 5: 12345
Правило Крамера
Правило Крамера
| ||||||||||||
(Определитель второго порядка имеет 4 числа, расположенные в 2 столбцах по 2 строки.)
