Решить систему уравнений методом крамера калькулятор: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Решение систем линейных уравнений алгоритмы общих и частных методов нахождения корней, основные правила и теоремы и примеры их использования, онлайн калькулятор

Совокупность математических записей, из которых каждая является линейным алгебраическим равенством первой степени, называется системой линейных уравнений. Её решение — это классическая задача алгебры, определяющая объекты и методы. Существует несколько принципиально разных способов нахождения ответа. Каждый из них имеет достоинства и недостатки, но выбор метода зависит лишь только от личных предпочтений решающего.

Понятия и обозначения

Для измерения геометрических или физических величин в математике используют действительное число — вещественное. В уравнении под ним понимают все свободные члены или неизвестные переменные. Вычисление линейных алгебраических уравнений играет важную роль в различных математических задачах: численных методах, программировании, эконометрике.

Общий вид системы линейных уравнений (СЛАУ) в классическом понимании представляют следующим образом:

a11 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c 1.

a21 * n 1 + a 22 * n 2 + …+a 2x n x = c 2.

as1 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c s.

В этой записи s — это количество уравнений, x — число переменных, а n — переменная которую необходимо вычислить. Предполагается что a и b это известные свободные члены. Индексы обозначают порядковый номер уравнения. Первый символ — расположение строчки, а второй — позиция произведения переменной и свободного члена.

Если эти члены отличные от нуля, то система называется неоднородной, в ином же случае однородной. Квадратной системой называется совокупность уравнений, когда их число совпадает с количеством неизвестных. Существует понятие и неопределённой системы. Это совокупность, при которой неизвестных больше числа уравнений. Если наоборот, то система считается переопределенной. В литературе её ещё часто называют прямоугольной.

Система считается решаемой, когда множество членов X соответствует такому набору чисел, что при их подстановке вместо n вся система обратится в тождество. Если существует хотя бы одно решение, система называется совместной. Ответы, превращающие уравнения в равенства, при которых переменные не совпадают, считаются различными.

Существует четыре способа развязывания системы уравнений:

способ подстановки;
использование новых переменных;
алгебраическое сложение;
матричный метод.

Вид используемого алгоритма зависит от типа примера. Метод алгебраического сложения применяют, когда в задании лишь одно неизвестное, а коэффициенты противоположны или равны. Если же хотя бы в одной из формул коэффициент равен единице, то удобнее будет решить систему уравнений методом подстановки. В иных случаях используют матрицы.

Алгебраическое сложение

Способ заключается в сложении или вычитании выражений. Это довольно простой способ и в то же время эффективный. Алгоритм нахождения ответа для равенств с двумя переменными n и m сводится к следующему:

уравниванию модулей коэффициентов при любом из неизвестных;
сложению или вычитанию равенства;
вычисления составленного выражения;
прогонки каждого найденного корня через первую или вторую строчку системы уравнений;
нахождению второго неизвестного.

То есть после выполнения арифметических действий с уравнениями должно получиться одно выражение с одним неизвестным. Затем находят значение этой переменной и в него подставляют полученный корень. Например, нужно узнать, какие корни системы, состоящей из двух строчек, превращают её в тождество:

n² – m² = 21.

n² + m² = 29.

В первую очередь необходимо сложить равенства между собой. В итоге получится:

2 * n ² = 50;
n ² = 25;
n = +5 (-5).

Подставив поочерёдно в каждое равенство найденные корни можно найти второе неизвестное. Для корня n = – 5 ответом будет:

(-5)² + m² = 29;
25 + m² = 29;
m² = 29 – 25;
m²= 4.

Соответственно, корнями будут числа два и минус два. Аналогичные действия необходимо выполнить и для корня другого знака n = 5. В итоге получится, что пары (− 5; − 2), (− 5; 2), (5; − 2), (5 ; 2) являются нужным ответом. При достаточном опыте подробно описывать решение не обязательно.

Существуют системы, требующие подготовительного этапа. Например, такого вида:

3 * n – 4 * m = 5.

2 * n + 3 * m = 7.

Исключить здесь сразу переменную не выйдет. Если умножить все члены первой строчки на тройку, а второй на четвёрку, получится запись:

9 * n – 12 * m = 15.

8 * n + 12 * m = 28.

Теперь равенства можно сложить, тем самым исключив переменную m. Затем система решается по базисному алгоритму. Чтобы понять, можно ли решить систему этим методом, следует предварительно её проанализировать. Необходимое условие заключается в том, что коэффициенты второй переменной должны быть одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку.

Метод подстановки

Систему равенств возможно решить и способом подстановки. Используя любое из уравнений, можно выразить любую из неизвестных переменных, а затем подставить её в другое равенство. Алгоритм использования метода следующий:

через n в одном из уравнений выражают m;
подставляют полученное равенство вместо n в другое тождество;
решают уравнение и находя m;
поочерёдно подставляют найденные корни и получают ответ.

Например, нужно проверить, все ли целые корни могут быть у системы:

8 * n – 5 * m = -16.

10 * n + 3 * m = 17.

Выразив m через n можно записать равенство: n = (8* m + 16) / 5. Так как n одинаково в обоих уравнениях, то следует подставить полученное тождество и записать: 10* n + 3*(8* n +16) / 5 = 17. Отсюда уже просто найти корень. Он будет равен дроби 1/2. Подставив его вместо n легко вычислить и второй корень: m = (8 * n + 16) / 5 = 4. Таким образом, у системы будет только один целый корень. При желании проверить ответ можно решить систему другим методом.

Использование матриц

Для систем с произвольным числом уравнений и неизвестных используют другие методы. Если система состоит из нелинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то используют матричный способ. Этот метод предполагает применение обратной матрицы.

Пусть дана система с тремя неизвестными х1, х2, х3. Нужно найти значения, при которых равенства станут верными. Для нахождения решений используют три матрицы:

Коэффициент системы. При этом её определитель не должен быть равным нулю.
Вектора неизвестных. Именно его понадобится найти.
Столбца свободных членов.

Базисное решение строят на произведении первой и второй матрицы. В результате получают матрицу размером три на один. То есть вектор-столбец с тремя элементами. После выполнения действия получится, что системный вектор будет равен левой части системы и соответствовать третьей матрице. Таким образом, обозначив матрицы буквами А, Б, В, можно записать выражение А * Б = В и найти необходимую Б.

При умножении на А^-1 (обратную матрицу) получают равенство: Е * Б = А^-1 * В, где Е – единичная матрица получена из совместимости прямой и обратной. Так как при произведении с единичной матрицей значения не изменяются, то решением системы будет формула: Б = А^-1 * В.

Способ Гаусса-Жордана

Частным случаем решения системы является Метод Гаусса — Жордана. Суть решения основана на составлении специальной таблицы. В первый столбец заносятся известные значения, то есть величины, расположенные после равно, а в три других коэффициенты, стоящие после неизвестных. Чтобы приступить к решению, необходимо выполнить три шага:

выбрать ключевой элемент из первых трёх столбцов;
переписать строчку с ключевым значением, предварительно разделив все элементы на это значение;
переписать оставшиеся элементы, при этом вычитая из него произведение соответствующих ему чисел.

В полученной новой матрице снова выбирают ключевой элемент и выполняют все действия снова. Шаги повторяют до тех пор, пока не получится матрица, состоящая из нулей и единиц. Значения корней системы будут находиться на пересечении столбцов со строчками напротив единиц.

Этот метод используют только при выполнении условия совместности. Его ещё называют способом простой итерации. Он был доказан и оптимизирован Зейделем. С помощью итерационного метода можно посчитать систему А* Б = В с точностью “е”. Составляют n уравнение на сходимость, а затем на точность. Затем из первого уравнения выражают n1, второго n2, третьего n3 и так далее. Новые n с индексом i +1 считаются через старые i. Зейдель предложил расширить решение и добавить снова для счёта индекс i+1.

Это фундаментальные способы решения сложных систем уравнений. Они трудные, требуют опыта и внимательности. Поэтому существуют специальные онлайн-калькуляторы по методу Гаусса с подробным решением, помогающие исследовать систему любой численности.

Теорема Кронекера — Капелли

Применяется она при проведении исследований без непосредственного решения. То есть для записи эквивалентной совокупности алгебраических уравнений с их минимальным числом. Теорема говорит о следующем: система уравнений А * Б = В имеет решение только тогда, когда ранг А равен (А, В), где последнее расширенная матрица, полученная из первого члена путём приписывания столбца В.

Это утверждение обобщает различные виды СЛАУ:

Несовместные – которые определяют при условии, что их ранг меньше ранга расширенной матрицы. Существование корней невозможно.
Совместные неопределённые – системы, имеющие бесконечное множество решений. В этом случае ранги равны, а количество неизвестных будет меньше.
Совместно определённые – в этом случае ранг равен расширенной матрице и количеству неизвестных. Точное решение будет одно.

Выводом из этой теоремы является то, что число главной переменной совокупности будет всегда равно рангу системы. При этом столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А.

Решение Крамера

Пожалуй, это один из самых простых способов нахождения корней уравнений. Для решения строят несколько матриц. Основная получается из коэффициентов, стоящих при неизвестных. Она обозначается символом дельта. Вторую, дельта-икс, образуют из основной матрицы заменой первого столбца на ответы уравнений. Следующая, дельта-игрек, строится с заменой в основной матрице второго столбца на значения ответов и так далее.

Затем вычисляют дискриминант этих матриц, то есть их определитель. Для его поиска можно использовать способ треугольника или разложения. Первый подходит для простых матриц. Находят его как разницу умножения чисел, стоящих в матрице крест-накрест. Второй же применим для матриц, содержащих три и более строк. При нахождении выбирают одну из них и раскладывают матрицу.

Как только все дискриминанты найдены, используют правило Крамера: n = Δn/ Δ. Подставляют значения, находят ответ. Стоит отметить, что много интернет-порталов, предлагающих услугу расчётов СЛАУ, используют для вычислений онлайн-метод Крамера.

Удобные онлайн-калькуляторы

В некоторых случаях решение СЛАУ онлайн будет хорошим подспорьем для того, чтобы разобраться в различных правилах, используемых при решениях. Из популярных интернет-сервисов, позволяющих найти корни систем, можно отметить: kontrolnaya-rabota, mathsolution, planetcalc, allcalc. Использовать эти сайты-решатели смогут даже слабо подготовленные пользователи, имеющие общее представление о методах решений.

Для выполнения расчёта необходимо ввести параметры системы и нажать кнопку «Рассчитать». При этом можно выбрать метод, на базе которого будут проводиться вычисления. Удобным является и то, что полученный расчёт сопровождается объяснениями.

На этих порталах также можно посмотреть примеры и правила решений. Некоторые калькуляторы могут построить и график системы. Например, kontrolnaya-rabota. Для этого на сайте нужно выбрать раздел «Графическое решение уравнений онлайн» и ввести исследуемую систему равенств.

АлгебраКасательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения

АлгебраТеория вероятности формула и примеры для чайников, задачи с решениями, как найти классическую вероятность в математике, как обозначается и в чем выражается вероятность

Метод Крамера – способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы ко

1. Описание метода

Для системы n {\displaystyle n} линейных уравнений с n {\displaystyle n} неизвестными над произвольным полем

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a n x n = b n {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\\\\\\\\\\cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}

с определителем матрицы системы Δ {\displaystyle \Delta }, отличным от нуля, решение записывается в виде

x i = 1 Δ | a 11 … a 1, i − 1 b 1 a 1, i + 1 … a 1 n a 21 … a 2, i − 1 b 2 a 2, i + 1 … a 2 n … … … … … … … a n − 1, 1 … a n − 1, i − 1 b n − 1 a n − 1, i + 1 … a n − 1, n a n 1 … a n, i − 1 b n a n, i + 1 … a n | {\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1.

1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}

i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов. В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c 1, c 2, …, c n справедливо равенство:

c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n ⋅ Δ = − | a 11 a 12 … a 1 n b 1 a 21 a 22 … a 2 n b 2 … … … … … a n 1 a n 2 … a n b n c 1 c 2 … c n 0 | {\displaystyle c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что Δ {\displaystyle \Delta } отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов.

Можно также считать, что либо наборы b 1, b 2., b n {\displaystyle b_{1},b_{2}.,b_{n}} и x 1, x 2., x n {\displaystyle x_{1},x_{2}.,x_{n}}, либо набор c 1, c 2., c n {\displaystyle c_{1},c_{2}.,c_{n}} состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Решить систему тремя способами

Любые системы уравнений

Этот онлайн калькулятор в два шага:

Добавить нужное кол-во уравнений
Ввести уравнения

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Это он-лайн сервис в два шага:

Ввести количество уравнений в системе
Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

Методом Гаусса

Этот онлайн калькулятор в три шага:

Ввести количество уравнений в системе
Ввести количество незвестных
Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n – матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n – столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n – столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A – 1 :

A – 1 × A × X = A – 1 × B .

Так как А – 1 × А = Е , то Е × X = А – 1 × В или X = А – 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 – 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 – 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 2

Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

Выражаем из этого уравнения X :

Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 = 2 × ( – 2 ) × 5 + 3 × ( – 4 ) × 4 + 3 × ( – 1 ) × 1 – 3 × ( – 2 ) × 3 – – 1 × ( – 4 ) × 5 – 2 × 4 – ( – 1 ) = – 20 – 48 – 3 + 18 + 20 + 8 = – 25

d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

Находим обратную матрицу А – 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( – 1 ) ( 1 + 1 ) – 2 4 – 1 5 = – 10 + 4 = – 6 ,

А 12 = ( – 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = – ( 5 – 12 ) = 7 ,

А 13 = ( – 1 ) 1 + 3 1 – 2 3 – 1 = – 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( – 1 ) 2 + 1 – 4 3 – 1 5 = – ( – 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( – 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 – 10 – 9 = 1 ,

А 23 = ( – 1 ) 2 + 3 2 – 4 3 – 1 = – ( – 2 + 12 ) = – 10 ,

А 31 = ( – 1 ) 3 + 1 – 4 3 – 2 4 = – 16 + 6 = – 10 ,

А 32 = ( – 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = – ( 8 – 3 ) = – 5 ,

А 33 = ( – 1 ) 3 + 3 2 – 4 1 – 2 = – 4 + 4 = 0 .

Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = – 6 7 5 17 1 – 10 – 10 – 5 0

Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A – 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А – 1 = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 ,

Умножаем обратную матрицу А – 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A – 1 × B = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 1 3 2 = – 1 25 – 6 + 51 – 20 7 + 3 – 10 5 – 30 + 0 = – 1 0 1

Ответ: x 1 = – 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Метод крамера описание метода. Линейные уравнения

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют

главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
–

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Система комплексных линейных уравнений

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Решение системы линейных уравнений

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

– иметь только одно верное решение;

– иметь бесконечное множество корней;

– иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом – самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами – ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Практическое применение:

Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа.

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

Синтаксис

Для пользователей XMPP клиентов: linur_i <список элементов системы>

список элементов системы – является список значений перечисленных в одну или несколько строк разделенными пробелами между собой

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Примеры

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Корни системы линейных уравнений равны следующим значениям.

Переменные считаются слева направо

1.4389598942265:-1.941383869546

-0.3591890700749:2.2763331864257

то есть x1=1.4389598942265 – 1.941383869546 i

x2=-0.3591890700749+2.2763331864257 i

Рассчитаем комплексную систему линейных уравнений

такого вида

Записываем все элементы в поле ввода. Как видите, данные могут быть не только числовые но и быть произвольным выражением, включающее в себя комплексные числа.

И получаем следующий результат.

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Успехов в расчетах !

Скалярное произведение двух матриц >>

qusivaf онлайн калькулятор решение неоднородной системы линейных алгебраических

онлайн калькулятор решение неоднородной системы линейных алгебраических Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса – OnLine Калкулятор.

Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной , если все свободные члены этой системы равны нулю. Сервисы по высшей математике для студентов и преподавателей. Бесплатное решение системы линейных уравнений с выводом всех промежуточных . Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Дается подробное решение. Для вычисления . Онлайн-калькулятор предназначен для исследования системы линейных уравнений. единственное решение (используются метод Крамера, метод обратной матрицы. Перейти: Онлайн калькулятор Решение произвольной системы уравнений →. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Это он -лайн сервис в два шага: Ввести количество уравнений в системе. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений онлайн. Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера, онлайн сервис . решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) . Онлайн Калькуляторы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР. Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ. Решение системы линейных уравнений метод Крамера (определителей). Решение СЛУ матричный метод (обратной матрицы) Решение и исследование систем линейных уравнений. Решение проводится в онлайн режиме и оформляется в формате Word. Приведение к треугольной. Транспонирование матрицы. Алгебраические дополнения. Системы линейных неоднородных уравнений (количество. Онлайн калькуляторы . Введите данные вашей задачи, и вы получите подробное решение. Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Обратная матрица (метод алгебраических дополнений). Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Взаимосвязь решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений.

Пример 5. Дана система линейных алгебраических уравнений. Требуется: 1) найти общее решение Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти . Онлайн Калькуляторы . Примеры Подробных Решений. Теория. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) онлайн. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом из коллекции онлайн калькуляторов Planetcalc. Решение систем линейных уравнений. Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество. Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Дается подробное решение.

Теоретическую часть нахождения общего решения неоднородной системы линейных уравнений смотрите здесь. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, онлайн сервис . решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

Записываем расширенную матрицу.
Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите “очень подробное решение” и посмотрите его решение онлайн.

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
Приводим матрицу к “треугольному” виду;
Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов. =a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

4. Метод Жордана – Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.

n+1

Здесь x1, x2, …, xn – неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn – коэффициенты системы – и b1, b2, … bm – свободные члены – предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе – неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) – совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n – ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…

Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

… «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:

(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.

(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:

(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

В качестве опорной выбираем последнюю строку.

Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем строку выше.

Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.

Решающих систем с правилом Крамера – College Algebra

Цели обучения

В этом разделе вы:

Оцените детерминанты 2 × 2.
Используйте правило Крамера для решения системы уравнений с двумя переменными.
Оцените детерминанты 3 × 3.
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, используя несколько методов: подстановку, сложение, исключение Гаусса, использование обратной матрицы и построение графиков.Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель – это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений.Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы требует следования определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель аматрицы, учитывая

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений.Есть несколько способов указать определитель, включая и замену скобок в матрице прямыми линиями,

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во введении к анализу алгоритмов Курбских Альгебриков. Правило Крамера – это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует. Однако, если система не имеет решения или бесконечное число решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой. Скажем, мы хотим решить: Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент в уравнении (2), и мы складываем два уравнения, переменная будет устранено.

 *** QuickLaTeX не может составить формулу:
\ begin {array} {l} \ underset {________________________________________________________} {\ begin {array} {llll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} {b} _ {2} {a} _ {1} x + {b} _ {2} {b} _ {1} y = {b} _ {2} {c} _ {1} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {1} \ text {by} {b} _ {2} \ hfill \\ - {b} _ {1} {a} _ {2} x- {b} _ {1} {b} _ {2} y = - {b} _ {1} {c } _ {2} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \ \ \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ begin {array} {ll} {b} _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2} {c} _ {1} - {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill \ end { массив} \ hfill \ end {массив}

*** Сообщение об ошибке:
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен. 
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
ведущий текст:...R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {b} _ {1} \ hfill \ end {array}}

Теперь решите для

Аналогичным образом, чтобы решить, мы устраним

 *** QuickLaTeX не может составить формулу:
\ begin {array} {l} \ underset {________________________________________________________} {\ begin {array} {llll} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {\ hspace {0. 17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} {a} _ {2} {a} _ {1} x + {a} _ {2} {b} _ {1} y = {a} _ {2} {c} _ {1} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {1} \ text {by} {a} _ {2} \ hfill \\ - {a} _ {1} {a} _ {2} x- {a} _ {1} {b} _ {2} y = - {a} _ {1} {c } _ {2} \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножение} {R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \ \ \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17em}} \ text {\ hspace {0.17 em}} \ begin {array} {ll} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2} {c} _ {1} - {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill & \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array}

*** Сообщение об ошибке:
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен. 
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.начальный текст: ... R} _ {2} \ text {by} - {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}

Решение прощает

Обратите внимание, что знаменатель для обоих является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения, но правило Крамера также вводит новые обозначения:

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление детерминантов. Затем мы можем выразить и как частное двух определителей.

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему, используя правило Крамера.

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из способов – увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5.Затем мы вычисляем сумму произведений записей на каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведение записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

Дополните первыми двумя столбцами.
Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
От левого нижнего угла до правого верхнего: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 для данного

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только с матрицами. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными.Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

где

Если мы пишем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом.Если мы пишем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Если мы пишем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

Используйте правило Крамера.

Затем,

Решение

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

Используйте правило Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства детерминантов

Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.
Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
Определитель обратной матрицы является обратной величиной определителю матрицы
Если любая строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Иллюстрируя свойства детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

Используя правило Крамера, имеем

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

Умножьте уравнение (3) на –2 и прибавьте результат к уравнению (1).

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Упражнения по разделам

Словесный

Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

Определитель – это сумма и произведения элементов матрицы, поэтому вы всегда можете оценить этот продукт, даже если в конечном итоге он окажется равным 0.

Исследуя правило Крамера, объясните, почему не существует единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0.Для простоты используйте amatrix.

Объясните, что в терминах обратного значения для матрицы означает наличие определителя 0.

Обратного не существует.

Определитель матрицы равен 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6, а вторую строку на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.

Алгебраические

Найдите определитель для следующих упражнений.

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

Технологии

Для следующих упражнений используйте детерминантную функцию в графической утилите.

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислите определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, найдите уникальное решение.

Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

Два числа в сумме дают 104. Если вы сложите два раза первое число плюс два раза второе число, ваша сумма составит 208

Три числа в сумме дают 106.Первое число на 3 меньше второго. Третье число на 4 больше, чем первое.

Три числа добавляют к 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше, чем первые два числа вместе взятые.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

Вы инвестируете 10 000 евро в два счета, которые получают 8% годовых и 5% годовых. В конце года на ваших совместных счетах было 10 710 евро. Сколько было вложено в каждую учетную запись?

? 7000 на первом счете, 3000? На втором счете.

Вы вкладываете 80 000 евро в два счета, 22 000 фунтов стерлингов в один счет и 58 000 фунтов стерлингов на другой счет. В конце года, если исходить из простых процентов, вы заработали 2470 фунтов стерлингов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Какие процентные ставки по вашим счетам?

Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов.Если детские билеты стоят 5,95 фунтов стерлингов, взрослые – 11,15 фунтов стерлингов, а общая сумма выручки составила 12 756 фунтов стерлингов, сколько билетов для детей и взрослых было продано?

120 детей, 1080 взрослых

Концертная площадка продает одиночные билеты по 40 фунтов стерлингов и билеты для пар по 65 фунтов стерлингов. Если общая выручка составила? 18 090 и был продан 321 билет, сколько разовых билетов и сколько билетов для пар было продано?

Вы решили покрасить свою кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски.Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета было добавлено в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 фунтов стерлингов. Если каждый галлон желтого стоит? 2,59, а каждый галлон синего стоит? 3,19, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

Вы продали на фермерском рынке шарфы двух типов и хотите знать, какой из них пользуется большей популярностью. Всего было продано 56 шарфов, желтый платок стоил 10 фунтов стерлингов, а фиолетовый – 11 фунтов стерлингов.Если ваш общий доход составил 583 евро, сколько желтых и фиолетовых шарфов было продано?

В вашем саду выращивали два вида помидоров: зеленый и красный. Красный весит 10 унций, а зеленый – 4 унции. У вас 30 помидоров, а общий вес составляет 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

13 зеленых помидоров, 17 красных помидоров

На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, у которой на 5% больше продаж, чем у лука.Какую долю занимает каждый овощ на рынке?

На этом же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества проданных фруктов. Клубника продается вдвое больше, чем апельсины, а киви продаются на один процентный пункт больше, чем апельсины. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

Клубника 18%, апельсины 9%, киви 10%

Три ансамбля выступили на концертной площадке. Первый диапазон взимал 15 евро за билет, второй диапазон – 45 евро за билет, а последний диапазон – 22 евро за билет.Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 евро. Если у первой группы было на 40 человек больше аудитории, чем у второй, сколько билетов было продано каждой группе?

В кинотеатре продаются билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 евро, билеты на второй фильм – 11 евро, а третий фильм – 12 евро. На первый фильм было продано 100 билетов. Общее количество проданных билетов составило 642, общая выручка составила 6 774 евро. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

100 для фильма 1, 230 для фильма 2, 312 для фильма 3

Мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет в прошлом году составляли 78% заключенных.В этом году эти же возрастные группы составили 82,08% населения. Возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась по сравнению с их предыдущим населением. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 2% больше заключенных, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процентную долю заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

В женской тюрьме по дороге общее количество заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составило 5 525 человек. В этом году возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30–39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40–49 лет увеличилась вдвое. Сейчас в тюрьме 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет их было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

20–29: 2,100, 30–39: 2,600, 40–49: 825

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает сделать смесь из миндаля, сушеной клюквы и кешью в шоколаде. Информация о питательной ценности этих продуктов показана на (Рисунок).

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0.02	0	8
Кешью (10)	7	3,5	5,5

Для специальной «низкоуглеводной» смеси для трейлов имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов – 425 г, а общее количество жиров – 570,2 г. Если кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

Для «походной» смеси в смеси 1000 штук, содержащих 390 штук.8 г жира и 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько и кешью, сколько каждого из них входит в состав смеси?

300 миндальных орехов, 400 клюквы, 300 кешью

Для смеси «усилитель энергии» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью, вместе взятых, эквивалентно количеству клюквы, сколько каждого элемента содержится в смеси для следа?

Упражнения на повторение

Системы линейных уравнений: две переменные

В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

В следующих упражнениях используйте подстановку для решения системы уравнений.

В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

У фабрики есть производственные затраты и функция выручки Какова точка безубыточности?

Плата за исполнителя, где общее количество посетителей на шоу. Плата за место проведения составляет 75 евро за билет. После того, как сколько людей купит билеты, станет безубыточным место проведения и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

Системы линейных уравнений: три переменные

Для следующих упражнений решите систему трех уравнений, используя замену или сложение.

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Три нечетных числа в сумме дают 61. Меньшее на треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

Местный театр распродает билеты на их спектакль.Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 евро. Билеты стоили 15 евро для студентов, 12 евро для детей и 18 евро для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем детских, сколько билетов каждого типа было продано?

Матрицы и матричные операции

Для следующих упражнений выполните требуемые операции с заданными матрицами.

undefined; размеры не соответствуют

undefined; внутренние размеры не соответствуют

Решение систем с исключением Гаусса

Для следующих упражнений напишите систему линейных уравнений из расширенной матрицы. Укажите, будет ли уникальное решение.

с бесконечными решениями

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу из системы линейных уравнений.

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.

Решающие системы с обратными сторонами

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

Для следующих упражнений найдите решения, вычислив обратную матрицу.

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты.90% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были наполовину популярнее бананов, а яблоки были на 5% популярнее бананов, каков процент каждого отдельного фрукта?

17% апельсинов, 34% бананов, 39% яблок

Женское общество провело распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавало пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 2 фунта, а печенье с шоколадной крошкой – 1 фунт. Они собрали 250 евро и продали 175 штук. Сколько было продано пирожных и печенья?

Практический тест

Является ли следующая упорядоченная пара решением системы уравнений?

Для следующих упражнений решите системы линейных и нелинейных уравнений с помощью замены или исключения.Укажите, если решения не существует.

Для следующих упражнений нарисуйте следующие неравенства.

Для следующих упражнений напишите разложение на частную дробь.

Для следующих упражнений выполните указанные матричные операции.

Если бы вы поменяли местами строки 1 и 3, умножили вторую строку на 12 и взяли обратное?

Перепишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

Перепишите расширенную матрицу как систему линейных уравнений.

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения систем уравнений.

В следующих упражнениях используйте обратную матрицу для решения систем уравнений.

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения систем уравнений.

Для следующих упражнений решите, используя систему линейных уравнений.

Завод, производящий сотовые телефоны, выполняет следующие функции затрат и доходов: и какой диапазон сотовых телефонов они должны производить каждый день, чтобы получать прибыль? Округлите до ближайшего числа, приносящего прибыль.

32 и более сотовых телефона в день

Небольшая справедливая плата: 1,50 евро для студентов, 1 евро для детей и 2 евро для взрослых. За один день пришло в три раза больше детей, чем взрослых. Было продано 800 билетов на общую выручку 1050 евро. Сколько билетов каждого типа было продано?

Глоссарий

Правило Крамера: Метод решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные, с использованием определителей

определитель: число, вычисленное с использованием элементов квадратной матрицы, которая определяет такую информацию, как наличие решения системы уравнений

5.1 – Решение систем уравнений

До этого момента мы имели дело только с одним уравнением за раз. Теперь будем работать с более чем переменной и более чем одним уравнением. Это так называемые системы уравнений. При ответе на систему уравнений вам необходимо указать значение для каждой переменной.

Решение систем линейных уравнений

Когда мы закончим рассмотрение двух глав, посвященных решению систем уравнений, их будет шесть. способы, которые мы можем использовать для решения системы линейных уравнений

Графически: Постройте оба уравнения и найдите точку пересечения.; Неточно вручную.; Полезно при использовании техники.; Больше подходит для нелинейных систем.; Сначала необходимо решить уравнение для y.
Замена: Решите одно уравнение для одной переменной, а затем подставьте его в другое уравнение.; Лучшая алгебраическая техника для нелинейных систем.; Хорошо работает, когда переменная может быть легко решена, имеет коэффициент, равный единице.; Работает лучше, когда дроби и корни не используются.
Добавление / исключение: Умножьте одно или несколько уравнений на константу, а затем сложите два уравнения. чтобы исключить одну переменную.; Хорошо подходит для линейной системы, когда нет переменной с коэффициентом, равным единице.; Хорошо работает для систем уравнений 2×2 (2 уравнения с 2 переменными), но становится утомительно и трудоемко для больших систем.
Исключение Гаусса / Исключение Гаусса Джордана: Использует элементарные операции для создания эквивалентных уравнений.; Работает для неквадратных систем линейных уравнений.; Построен на концепции исключения сложения, но вместо получения новых уравнений старое уравнение заменяется эквивалентным уравнением.; При применении с матрицами из главы 6, вероятно, самый быстрый способ решить большую система линейных уравнений от руки. Безусловно, любимый метод инструктора.
Правило Крамера: Использует определители матрицы для поиска решения.; Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель матрица коэффициентов не равна нулю.; Подходит для компьютера или калькулятора, где есть определяющая программа.; Медленно вручную.; Медленно работает калькулятор без программы, так как каждый определитель должен быть введен вручную.; Может использоваться, когда вам нужно найти только одну из переменных.
Матричная алгебра / Матрица инверсии: Использует обратную матрицу для поиска решения.; Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель матрица коэффициентов не равна нулю.; Подходит для компьютера или калькулятора, где есть функция, обратная матрице.; Медленно вручную.; Быстрые действия на калькуляторе.; Вернет десятичные ответы, но вы можете использовать дробную клавишу, чтобы преобразовать их в целые числа.

Замена

Метод подстановки работает как с нелинейными, так и с линейными уравнениями.

Решите одно из уравнений относительно одной из переменных.
Подставьте это выражение вместо переменной в другом уравнении.
Решите уравнение для оставшейся переменной
Выполните обратную замену значения переменной, чтобы найти другую переменную.
Чек

Процесс обратной подстановки включает в себя получение значения переменной, найденной на шаге 3, и подставив его обратно в выражение, полученное на шаге 1 (или в исходной задаче), чтобы найти оставшаяся переменная.

Важно, чтобы при решении системы уравнений были заданы обе переменные. Общий ошибка студентов состоит в том, что они находят одну переменную и останавливаются на ней. Вы должны указать ценность для всех переменные.

Хорошая идея проверить свой ответ в обоих уравнениях, но, вероятно, достаточно, чтобы проверить в уравнении вы не изолировали переменную на первом этапе. То есть, если вы решили для y в первое уравнение на шаге 1, используйте второе уравнение, чтобы проверить ответ.

Графический подход

Графический подход хорошо работает с графическим калькулятором, но не точен вручную (действительно эти точки пересекаются на 1/6 или 1/7?), если только график не попадает точно на линии сетки.

Решите каждое уравнение относительно y. Это может включать плюс и минус, если есть член y ². Если ты не построение графиков с помощью калькулятора или компьютера, вы можете пропустить этот шаг.
Изобразите каждое уравнение.
Найдите точки пересечения.
Проверить!

Важно проверить свои ответы, чтобы убедиться, что вы прочитали точку пересечения правильно.

Иногда калькулятор не может указать точку пересечения с помощью команды пересечения. Возможно, вам понадобится использовать функцию трассировки калькулятора, чтобы найти точку пересечения. Вы можете используйте калькулятор, чтобы проверить ответ.

Постарайтесь, если возможно, преобразовать свой ответ в дробную форму.

Графический подход может сэкономить много времени, когда вы работаете с нелинейной системой уравнения.

Калькулятор системы линейных уравнений 3×3

Этот онлайн-калькулятор системы линейных уравнений 3×3 решает систему из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными с использованием правила Крамера. Введите значения коэффициентов для каждого линейного уравнения системы в соответствующие поля калькулятора. Все поля, оставленные пустыми, будут интерпретированы как коэффициенты с нулевыми значениями. После нажатия кнопки «Рассчитать» вы получите значения неизвестных.

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = d ₂

a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃

Решение системы линейных уравнений с использованием правила Крамера

В математике система линейных уравнений – это набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым числом переменных (или неизвестных).Рассматриваемая здесь линейная система включает три уравнения с тремя неизвестными:
$$ {a} _ {1} x + {b} _ {1} y + {c} _ {1} z = {d} _ {1} $$ $$ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y + {c} _ {2} z = {d} _ {2} $$ $$ {a} _ {3} x + {b} _ {3} y + {c} _ {3} z = {d} _ {3}, $$ где \ (x, y, z \) – неизвестные, \ (a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 , c_1, c_2, c_3 \) – коэффициенты системы, а \ (d_1, d_2, d_3 \) – постоянные члены.

Решение линейной системы уравнений – это поиск таких значений неизвестных \ (x, y, z \), при которых выполняется каждое из уравнений.Существует ряд методов решения системы линейных уравнений. В этом калькуляторе линейной системы уравнений используется правило Крамера. Он выражает решение системы в терминах определителей матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее, путем замены одного столбца вектором-столбцом правых постоянных членов уравнений.

Обозначим через \ (D \) определитель матрицы коэффициентов системы:
$$ D = \ begin {vmatrix} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1 } \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3 } \ end {vmatrix}.

Тогда определители матриц, полученные из матрицы коэффициентов заменой одного столбца вектором-столбцом правых частей уравнений, будут:

$$ {D_x = \ left | \ begin {array} {ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \ end {array} \ right |,} \ hspace {0.3em}
{D_y = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \ end {array} \ right |,} \ hspace {0.3em}
{D_z = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \ end {array} \ right | .} $$

Правило Крамера гласит, что в случае \ (D \ neq 0 \) система имеет единственное решение, индивидуальные значения которого для неизвестных задаются следующими формулами:

$$ x = \ frac {D_x} {D}, \ hspace {0.2em} y = \ frac {D_y} {D}, \ hspace {0.2em} z = \ frac {D_z} {D}. $$

В зависимости от значения \ (D \) линейная система уравнений может вести себя одним из трех возможных способов:

• Если \ (D \ neq 0 \) система имеет единственное уникальное решение, представленное выше.
• Если \ (D = 0 \) и \ ({D_x} \ neq 0 \) (или \ ({D_y} \ neq 0 \) или \ ({D_z} \ neq 0 \)), система не имеет решения (линейная система несовместна).
• Если \ (D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0 \) система имеет бесконечно много решений.

Связанные калькуляторы

Ознакомьтесь с нашими другими калькуляторами алгебры, такими как Калькулятор системы линейных уравнений 2 × 2.

приложений Excel

Приложения с Excel

Этот лабораторный период включает демонстрацию преимуществ использования Excel для химических Приложения.

1. Математические приложения

В этом разделе рассматриваются два математических приложения использования Excel.Первый фокусируется на использование функций матриц Excel для решения некоторых задач спектроскопии, а вторая упражнение содержит нелинейный анализ набора данных с помощью Excel Solver.

1.1 Работа с матрицами

Вы можете использовать Excel для работы с матрицами и решения систем уравнений. Уравнение представляет собой серию чисел и математических переменных, которые представляют кривую на графике (см. Рис. A-8).

Рисунок A-8 – Линия, соответствующая уравнению y = 3x + 2.

Система уравнений – это группа уравнений, представляющая два или более линии на графике. Следующие уравнения представляют собой систему:
3x ₁ – x ₂ = 5

-2x ₁ + 10x ₂ = 6

Чтобы решить эту систему уравнений, значения x ₁ и x ₂ должны найти, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для решения системы уравнений должен быть такое же или меньшее количество переменных, как и в уравнениях.Например, вы не могли решить система уравнений, содержащая три уравнения с четырьмя переменными каждое. Ты можешь, решить систему с тремя уравнениями с тремя переменными или систему с тремя уравнения с двумя переменными. Обратите внимание, что цифры перед буквами называются ‘коэффициенты’, а числа в правой части уравнения без каких-либо буквы называются «константами».

Чтобы решить эту систему, вам нужен метод, позволяющий изолировать каждую из двух разновидность.Вы можете сделать это с помощью определителя. Определитель является фундаментальным концепция линейной алгебры, которую можно упростить с помощью Excel. Каждая квадратная матрица для Система уравнений имеет свой уникальный определитель. Единственное, что необходимо – матрица быть квадратным, то есть должно быть эквивалентное количество строк как столбцов. Нахождение определитель матрицы включает следование заранее определенной формуле умножения и Кроме того, таким образом Excel может упростить задачу. См. Глава 7 Приложения раздел для получения подробной информации о матричных функциях Excel.Фактически, чтобы решить систему, вы должны используйте определитель вместе с другим алгебраическим понятием, называемым Правило Крамера . В Первым шагом в использовании правила Крамера является вычисление определителя для матрицы коэффициенты. Затем постоянный вектор подставляется в матрицу для первого столбец, и определитель вычисляется снова. Затем постоянный вектор заменяется во второй столбец, третий столбец и т. д., в то время как каждый раз определитель рассчитано.Наконец, разделив определенные детерминанты, решения переменных могут определяется. Ниже приведен теоретический пример решения проблемы 2×2. система, чтобы показать задействованную математику. Рассмотрим пример выше.
В матричном виде эта система выглядит следующим образом:

Коэффициенты уравнения вставляются в 2X2 (т.е. 2 столбца и 2 строки) матрица. Константы выражаются как вектор-столбец.Вектор отличается от матрица, потому что она имеет только один столбец или одну строку.

Чтобы найти определитель матрицы 2 x 2, вычтите произведение двух диагоналей в матрица коэффициентов:

Вы можете расширить это, чтобы использовать Правило Крамера для решения системы. Решить для x _{1 переменная}, подставляем постоянный вектор в первый столбец матрицы и найдите определитель.Затем разделите результат на определитель матрицы коэффициенты:

Следовательно,

x ₁ = 56/28 = 2

Чтобы найти переменную x ₂, подставьте постоянный вектор во второй столбец и повторите процесс:

Затем,

x ₂ = 28/28 = 1

Вы решили систему, вектор решения (x ₁, x ₂) = (2, 1).Теперь вы можете использовать эту теорию для создания таблицы шаблонов в Excel, которая будет решить за вас систему уравнений. Шаблон – это настройка электронной таблицы, которую вы сохраняете что вы можете использовать его снова и снова, чтобы выполнить тривиальную задачу, например утомительную расчет. Сначала вы создадите в своем шаблоне систему и решение 2 x 2.

Первый шаг к поиску решения завершен. Второй шаг подставить постоянный вектор в матрицу коэффициентов.

	В ячейку A8 введите Матрица коэффициентов X1
	затем введите = 2 доллара США в A9, = 3 доллара США в A10, = 2 доллара США долларов США в B9 и = 3 B $ в B10.

Последний шаг – найти определитель ячеек A9: B10, разделить результат по определителю матрицы коэффициентов и поместите ответ в ячейку D2. Все это делается по одной формуле.

	В ячейку D2 введите = (MDETERM (A9: B10)) / A6 .
	Повторите это для переменной x ₂, набрав X2 матрицу коэффициентов в ячейку A11, затем введите соответствующие формулы для заменить второй столбец матрицы коэффициентов постоянным вектором.
	Наконец, введите формулу = (MDETERM (A12: B13)) / A6 в ячейку D3.

Вы завершили шаблон для матрицы 2 x 2. Если вы сохраните электронной таблицы, вы можете использовать шаблон снова и снова, чтобы найти решение для системы из 2-х уравнений с двумя переменными. Каждый раз, когда вы захотите снова использовать шаблон 2X2, просто введите в электронную таблицу значения матрицы коэффициентов и постоянный вектор.

Эта алгебра обычно используется в химии в области спектроскопия.Спектроскопия – это метод анализа, при котором луч света на определенную длина волны проходит через химический образец в растворе.

Известно, что спектры смесей соединений считаются аддитивными. (используя закон Бера – см. первую лабораторию Excel). То есть полное поглощение раствора на любой заданной длине волны – это сумма поглощающих способностей отдельных соединений на этой длине волны. длина волны.

Теперь вы примените эти концепции к проблеме.Смесь соединений дают спектры с хорошо разрешенными пиками. Вид X имеет максимум поглощения A ₁ на длине волны 1 и разновидность Y имеет максимум поглощения A ₂ на длине волны 2. Используя закон Бирса, вы можете составить общую систему уравнений для A ₁ и A ₂:

Используя вариант правила Крамера, вы можете решить два уравнения для [X] и [Y].

. . . . . . . . 1

. . . . . . . . 2

Примечание: “прямые скобки”, окружающие матрицы, обозначают определяющая операция.

Пример 1. Используйте шаблон электронной таблицы для решения следующей проблемы.

Молярные коэффициенты поглощения соединений X и Y в следующей таблице. были измерены с чистыми образцами каждого. Смесь соединений X и Y в 1.000 см ячейка с длиной пути имела оптическую плотность 0,957 при 272 нм и 0,559 при 327 нм. Моляр Поглощающая способность X при 272 и 327 нм составляет 16400 и 3990 соответственно. Моляр Поглощающая способность Y при 272 и 327 нм составляет 3870 и 6420 соответственно. Найти концентрации X и Y в смеси. Подсказка: абсорбция формирует постоянный вектор а молярные коэффициенты поглощения – матрица коэффициентов, поскольку b = 1. Проверьте свои ответы с помощью TA.

Пример 2:

Постройте шаблон для неизвестного ряда из 3 уравнений 3 (т.е. для 3×3 матрица).

В качестве ответов вы должны получить 4, -3 и 7.

Пример 3. Используйте шаблон 3X3 для решения следующей

Из спектроскопических данных, приведенных ниже, найдите [X], [Y] и [Z]. В раствор был проанализирован в кювете 1000 см и имел оптическую плотность 0,846 при 246 нм, 0,400 при 298 нм и 0,555 при 360 нм. Молярная поглощающая способность для каждого компонента раствора для каждой длины волны приведены в Таблице A1-7.

Таблица A1-7 – Данные молярной абсорбции

(нм)	e (M ^-1 см ^-1)
	Х	Y	Z
246	12200	3210	290
298	4140	6550	990
360	3000	2780	8080

1.2 Нелинейная аппроксимация кривой

В связи с постоянно развивающейся компьютерной техникой и приборостроением, ученые наблюдали общее увеличение размера и сложности данных. Это означало увеличение желания манипулировать данными с помощью широко используемого программного обеспечения микрокомпьютеров. Первоначально такие манипуляции с данными выполнялись только на больших мэйнфреймах. В настоящее время микрокомпьютеры представляют собой идеальный инструмент для комплексного статистического анализа. Таким образом введение Excel Solver.Solver предлагает пользователю возможность анализировать нелинейные данные, такие как экспоненциальные и гауссовские кривые.

Чтобы использовать Solver, вы должны знать тип имеющихся у вас данных. то есть какая кривая лучше всего представляет данные на графике. Если вы знаете, что это за данных, которые у вас есть, вы можете найти математическое уравнение (кривую), используемое для моделирования этих данных. Решающую программу можно использовать для воссоздания кривой и набора данных, подставив «оценочный догадки “для констант в уравнении.Решатель может сравнивать набор данных, был найден экспериментально с набором данных, который был рассчитан теоретически. После сравнение закончено, Solver найдет более точные значения, чем “предположительные предположения”, которые вы изначально придумали. С научной точки зрения затем условия эксперимента могут быть изменены, а эксперимент переделан и проанализирован снова. с помощью Solver. Значения, полученные для констант для каждого прогона, затем можно сравнить с ищите перемены.

Solver использует метод итераций Ньютона для определения “наилучшего комбинация “переменных, которые вписываются в ваше уравнение. Термин” лучший сочетание “станет для вас более очевидным после того, как вы выполните упражнение. Вы будете использовать Solver для анализа сигнала экспоненциального затухания, созданного УФ / ВИД спектрофотометр. Набор данных довольно большой, поэтому мы договорились, что вы его передадите. на диск из сети. Файл называется SOLVER.XLS и его можно найти в области перетаскивания файлов веб-сайт Chem 210.

После получения набора данных откройте новый рабочий лист Excel и откройте файл. Данные находятся на двух листах, которые называются Trial1 и Trial2 . На Trial1 лист, в ячейках A1 и B1 два заголовка время и Al13 # 1 . Данные моделируются этим уравнение:

f (t) = f ₁ exp (-k ₁ t) + f ₂ exp (-k ₂ т) + В

где:

т пора.

f (t) представляет собой процент непрореагировавших всех частиц.

ф ₁. f ₂ представляют процент прореагировавших веществ 1 и виды 2.

k _1, k ₂ представляют константы скорости, связанные с реагирующими видами.

f ₁, f ₂, k ₁, k ₂ все константы, которые будут определены Решателем.

B – коррекция базовой линии.

Чтобы увидеть, как выглядят данные, сначала нанесите их на диаграмму, используя ChartWizard. Вставьте диаграмму в рабочий лист и нанесите данные линией без маркеры. Затем вернитесь в электронную таблицу и введите заголовки Данные , Остатки , Квадрат , Переменные в C1: F1 и f1 = , f2 = , k1 = , k2 = , B = в F2: F6 и SSR = в F8 в вашей электронной таблице.

Чтобы запустить Solver, выберите T ools | Sol v er … из меню бар.

Это вызовет диалоговое окно Solver Parameters. В этом поле вам нужно ввести условия, которых должен придерживаться Solver для анализа.

Целевая ячейка для этой итерации представляет собой сумму квадратов остатков. коробка, $ G $ 8.У вас будет Solver минимизировать это значение,

щелкните переключатель Mi n в разделе Equal to: .

Solver минимизирует сумму квадратов остатков, изменяя записи в ячейках G2: G6.

введите $ G $ 2: $ G $ 6 в путем изменения Ячейки: ящик.

Наконец, вам также необходимо изменить одну из временных характеристик для Решатель.

Нажмите кнопку O ptions … и измените время Max T : на 200 секунд.

Вы можете видеть, что в этом диалоговом окне вы можете изменить итерацию лимиты для Solver.

	Когда вы закончите, нажмите кнопку OK
	затем нажмите кнопку SOLVE в исходном диалоговом окне, чтобы запустить Solver.

Вернитесь к вычислениям, которые вы сделали, чтобы найти сумму квадратов остатки в вашей электронной таблице. Сначала вы рассчитали набор данных модели, используя свой оценочные предположительные значения для констант. Затем вы нанесли эти данные на график. Вы могли видеть это две линии совпадают очень хорошо, в некоторых местах они очень похожи. Затем вы взяли разницу между двумя наборами данных и поместите ее в столбец Остатки . если ты подумайте об этом графически, остаток – это просто расстояние на графике между две строчки.Затем вы возводите в квадрат остаточные значения, чтобы сделать их положительными и продержаться дольше. суммировал все остаточные значения и поместил ответ в одну точку. Если вы посмотрите экрана, пока Solver выполняет свои вычисления, он минимизирует сумму квадраты остатков. Следовательно, по сути, это сводит к минимуму расстояние между двумя линии, линия, полученная на основе фактических данных, и теоретическая линия. Он делает это корректировка констант, которые вы вводите как предполагаемые предположения, чтобы получить меньший квадрат остаточная стоимость.Это аппроксимация нелинейной кривой.

Щелкните OK, чтобы сохранить решение решателя.

Посмотрите на диаграмму, чтобы увидеть эффект от нового решения.

Повторите процесс подбора кривой для второго набора данных на листе Trial2 . 2 & \ alpha & 1 \\ \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} $$ Если система заданных линейных уравнений имеет бесконечно много решений, найти $ \ alpha $.2 & \ alpha & 1 \\ \ end {bmatrix}

долларов США

Если я положу $ \ alpha = 1 $ и $ \ alpha = -1 $ в указанные выше матрицы, мы получим все детерминанты, равные нулю ($ \ Delta_1 = \ Delta_2 = \ Delta_3 = 0 $). Итак, я прихожу к выводу, что и 1, и -1 должны быть решением вопроса.

Теперь, когда я проверяю ответ, возникает проблема. Уравнения, сформированные, когда я положу $ \ alpha = 1 $, будут такими:
$ x + y + z = 1 \\ x + y + z = -1 \\ x + y + z = 1 $

Здесь первые две плоскости параллельны друг другу. Это означает, что они не пересекаются и должны подразумевать несогласованность.Так что у меня нет бесконечных решений для $ \ alpha = 1 $. Таким образом, единственный ответ – $ \ alpha = -1 $.

Мой вопрос: почему $ \ alpha = 1 $ удовлетворяет уравнениям, но не решает задачу. Почему решение дает $ \ alpha = 1 $, если это не решение?

И нужно ли мне проводить такую проверку для каждого уравнения, которое я решаю этим методом? (Так как дает лишние ответы).

Любая помощь приветствуется.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я подумал, что будет лучше, если я немного уточню свой вопрос.

Правило Крамера говорит нам, что:

Для уникального решения $ \ Delta \ ne 0 $ (нас не интересуют другие дельты) И решения будут $ \ Delta_1 / \ Delta $ $ \ Delta_2 / \ Delta $, $ \ Delta_3 / \ Дельта $

Для нет решения $ \ Delta = 0 $ и хотя бы одна из других дельт не равна нулю.

Для бесконечных решений $ \ Delta = \ Delta_1 = \ Delta_2 = \ Delta_3 = 0 $.

Теперь, поскольку $ \ Delta $ в вопросе равно нулю, однозначных решений нет.Это оставляет нам два варианта: либо без решения, либо с бесконечным числом решений.

Таким образом, приравнивая все остальные дельты к нулю одновременно, я получаю $ \ alpha = 1, -1 $, как указано ранее.

Но тогда почему $ \ alpha = 1 $ не дает мне решения.

Пройдя несколько минут ниже, вы увидите, что этот метод не так популярен (особенно бесконечный). Не знаю почему. Но я уверен, что кто-то там обязательно последует.

Калькулятор правила Крамера – Система уравнений 2 и 3-EET-2021

Калькулятор правила Крамера – система уравнений 2 и 3

Правило Крамера и калькулятор для анализа линейных цепей | Пошаговые инструкции с решенными примерами
Сегодня мы собираемся поделиться еще одним простым, но мощным методом анализа схем, известным как «Правило Крамера»

. Обновление

: мы добавили калькулятор правил Крамера от Cra Nline, в котором вы можете решать две системы уравнений, а также три системы уравнений.Проверьте оба калькулятора правил Крамера в обоих разделах сообщения. Спасибо

Поиск двух переменных по правилу Крамера:

Пример 1:
(В нашем случае неизвестными значениями являются два тока i1 и i2) по правилу Крамера. А теперь приступим.

Как показано ниже, это простая электрическая схема, и мы собираемся решить ее с помощью правила Крамера.

Решения:
Во-первых, переставьте схему с соответствующими метками (поскольку резистор 5 Ом состоит из двух серий, поэтому мы заменим его на 10 Ом.

Теперь мы напишем уравнения KVL неизвестных неизвестных значений для данной схемы.
Применим KVL к сетке (1).
6 = 14i1 + 10 (i1 – i2)
6 = 24i1 – 10i2… .. q Уравнение (1)
Также примените KVL к сетке (2).
-5 = 10I2 + 10 (I2 – I1)
-5 = – 10I1 + 20I2… .. q Уравнение (2)
Здесь мы находим два уравнения, а именно.
24I1 – 10I2 = 6

Теперь мы решим оба этих уравнения по правилу Крамера, то есть i1 и i2, чтобы найти неизвестные значения (токов).

Решите по закону Крамера:
Шаг 1:
Сначала запишите приведенные выше уравнения в матричной форме. означает

Шаг 2:
Теперь введите матрицу коэффициентов приведенных выше уравнений и назовите ее вызовом. Убедитесь, что это квадрат, то есть количество строк x количество столбцов. В приведенном выше случае у него 2 строки и 2 столбца.

Шаг 3:
Теперь определитель | найти | Найдите матрицу коэффициентов следующим способом.(Рис. Ниже поможет вам в этом.)

Согласно приведенному выше рис. Последний шаг будет таким.

Шаг 4:
Теперь найдите коэффициент Δ1 тем же способом, что и упомянутый выше, но замените первый столбец столбца ответа на «Длина столбца ответа» (если вы не нашли проблему столбца ответов, см. Рис. 2 выше или просто проверьте информационную графику, только следующую секунду Обратитесь к примеру, где мы сделали именно это, чтобы найти Δ1), то есть

Шаг 5:
Теперь найдите мультипликативный определитель Δ2, просто замените второй столбец на «Ответить на запрос», то есть

Шаг 6:
Согласно правилу Крамера, i1 = Δ1 / Δ и i2 = Δ2 / Δ.
Теперь найдите i1 и i2 по правилу Крамера.

А,

Ниже приводится графическая сводка правил Крамера для определения двух переменных или неизвестных значений.

Что ж, это было легко… теперь о трех переменных, как…. Давайте попробуем решить линейные уравнения с тремя переменными, используя правило Крамера.
Нахождение трех переменных по правилу Крамера:
(В нашем случае эти неизвестные значения – три тока i1, i2 и i3) по правилу Крамера. А теперь приступим.
Калькулятор правила Крамера для 3. 3 (система из трех уравнений)

Пример 2:
Используйте анализ сетки для определения трех токов сетки в следующей цепи. Для простоты воспользуйтесь правилом Крамера.

Прежде всего, один КВЛ за другим на каждой сетке. Примените и напишите его уравнения.
-7 + 1 (i1 – i2) + 6 + 2 (i1 – i3) = 0
1 (i2– i1) + 2i2 + 3 (i2– i3) = 0
2 (i3– i1) – 6 + 3 (i3– i2) + 1i3 = 0
Упрощение,
3I1 – I2 – 2I3 = 1… уравнение….. (1)

i1 + 6i2 – 3i3 = 0… EQ… .. (2)
-2i1 – 3i2 + 6i3 = 6… Eq… .. (3)

Теперь запишите приведенные выше уравнения в матричной форме.
3I1I2– 2I3 = 1
–I1 + 6i2– 3i3 = 0
-2i1– 3i2 + 6i3 = 6

Теперь найдем определитель коэффициента при. Как мы это делаем? Ознакомьтесь с рисунком ниже для лучшего объяснения.

Итак, полный шаг показан ниже.

∆ = +3 (6 x 6) – (- 3 x -3) – (-1 (-1 x 6) – (- 2 x -3) + (-2 (-1 x -3) – (- 2) х 6)
81 = 81-12-30 = 39

Теперь найдите ∆1, как описано выше.Но замените первый столбец матрицы «столбцом ответов». Для получения подробной информации ознакомьтесь с рисунком ниже.

Итак, вот полный шаг к поиску .1. Здесь мы заменили «Blue Guys» на «Black Guys» в первом столбце :).

= +1 (36-9) – (–1 [0 + 18]) –2 (0–36).
= 27 + 18 + 72
,1 = 117

Опять же, найдите .2 тем же методом, который объяснялся ранее. Просто замените второй столбец матрицы на «Столбец ответов», то есть «Красные парни» в центральном столбце на «Черные парни», как показано ниже.

= +3 (0 +18) -1 [(- 6) – (+ 6)] –2 (-6-0)
= 54 + 12 + 12 = 78
,2 = 78

Наконец, найдите последний .3. Просто замените третий столбец «столбцом ответов», то есть замените зеленых парней в третьем столбце «черными парнями», как показано ниже.

= +3 (6 x 6) – (-3 x 0) – [-1 (-1 x 6) – (-2 x 0)] + [1 (-1) x (-3) – (-2 ) x (6)
= 108 + 6 + 15
,3 = 117

Теперь решите и найдите текущие неизвестные значения, а именно i1, i2 и i3.
Таким образом, правило Крамера гласит, что переменные i1 = .1 / .1, i2 = ∆ / ∆2 и i3 = ∆ / .3.
Следовательно,

i1 = ∆1 / .1
= 117/39
I1 = 3 а

А i2,
i2 = = ∆ / .2
= 78/39
i2 = 2A

И, наконец, i3;
i3 = ∆ / .3
= 117/39
i3 = 3A.

Надеюсь, вы хорошо поняли правило Крамера и вам понравилось пошаговое руководство. Обязательно поделитесь с друзьями. Также введите свой адрес электронной почты в поле ниже, чтобы подписаться.Итак, мы пришлем вам больше руководств, подобных приведенному выше. Спасибо.
Вы также можете прочитать:

Калькулятор и формула падения напряжения – решенные примеры-EET-2021

Какая лампа светится ярче при последовательном подключении-EET-2021

Как обнаружить дефекты кабелей? Неисправность кабеля, тип и причины-EET-2021

New Hindi Shayari 2021, Love Shayari, Sad Shayari, Funny Shayari, Shayari на хинди, Статус хинди для WhatsApp, СМС с пожеланиями, Статус в Facebook, Подробнее

vingepost Media Inc.(vingepostnowstarted.com) – это независимая новостная организация, которая снабжает своих читателей новостями из мира развлечений в Интернете… подробнее нажмите услышать-vingepost

Научитесь вести блог. Пошаговое руководство, чтобы узнать, как создать блог, выбрать лучшую платформу для ведения блога и избежать распространенных ошибок ведения блога… подробнее читать нажмите услышать-blogging.nowstarted

Умная работа из дома

Система линейных уравнений | Реальная статистика с использованием Excel

Определение 1 : Набор из n линейных уравнений

в k неизвестных x _j можно рассматривать как матричное уравнение AX = C , где A – это матрица n × k [ a _ij ], X – вектор-столбец k × 1 [ x _j ] и C – это n × 1 вектор-столбец [ c _j ].

Свойство 1 : Если A является квадратной матрицей (т. Е. Количество уравнений равно количеству неизвестных), уравнение AX = C имеет уникальное решение тогда и только тогда, когда A обратимо (т.е. det A ≠ 0), и в этом случае уникальное решение задается формулой X = A ^-1 C.

Свойство 2 ( Правило Крамера ): Если квадратная матрица является обратимым, уникальное решение для AX = C дается как

, где A _j равно A с заменой j -го столбца записями C .

Пример 1 : Решите следующую линейную систему, используя правило Крамера:

На рисунке 2 мы вычисляем det A и det A _j для каждого j .

Рисунок 1 – Вычисление определителя с использованием правила Крамера

Отсюда следует, что x = -6/9 = -2/3, y = 3/9 = 1/3 и z = 0/9 = 0.

Для свойства 1 мы можем получить тот же результат, вычислив A ^-1 C , что можно выполнить в Excel по формуле = MMULT (MINVERSE ( A ), C ) .Для Примера 1 это дает

Определение 2 : Если C из Определения 1 не является нулевой матрицей, тогда линейные уравнения называются гетерогенными . Когда C = Ο , линейные уравнения называются однородными . В этом случае Ο является решением AX = Ο , которое называется тривиальным решением .

Свойство 3 : Если A обратимо, то X = Ο является единственным решением AX = Ο .

Доказательство: это следует из Свойства 1.

Наблюдение : Когда A не обратимо (т.е. det A = 0), любое скалярное кратное нетривиального решения однородного уравнения AX = Ο тоже решение. Чтобы найти такое решение, мы можем использовать метод исключения Гаусса, метод, который аналогичен тому, который мы использовали для вычисления определителя квадратной матрицы на основе свойства 5 детерминантов и линейных уравнений. Этот подход работает для любого A (квадратного или непрямого, обратимого или нет).

Определение 3 : Если A является матрицей n × k и B является матрицей n × m , то расширенная матрица A | B – это матрица n × ( k + m ), первые k столбцов которой идентичны столбцам в A , а остальные m столбцов идентичны столбцам в B .

Свойство 4 : Если A ‘ и C’ получены из A и C на основе любого из следующих преобразований, тогда уравнения AX = C и A’X = C ′ имеют такие же решения.

Обмен любыми двумя строками
Умножение любой строки на константу
Добавление любой строки, умноженной на константу, в другую строку

Наблюдение : Обычно мы применяем вышеуказанные преобразования к расширенной матрице A | С .

Определение 4 : Метод исключения Гаусса – это способ решения линейных уравнений, основанный на преобразованиях, описанных в свойстве 9.Предположим, что A и C соответствуют определению 1.

Шаг 0 – установите i = 1 и j = 1

Теперь применим следующую серию преобразований к расширенной матрице (шаги с 1 по шаг p , где p является меньшим из n и k ):

Шаг i – часть 1: Найдите r ≥ i , чтобы абсолютное значение a _rj самый большой.Если a _rj ≈ 0 (т. Е. | a _rj | <ϵ, где ϵ - некоторое заранее определенное малое значение), то если j = n завершить процедуру; в противном случае замените j на j + 1 и повторите шаг i. Если не a _rj ≈ 0 и r > k , то поменяйте местами строки r и i (правило 1).

Шаг i – часть 2: Разделите все записи в строке i на a _ij (правило 2).

Шаг i – часть 3: для каждой строки r под строкой i добавьте – a _rj раз строку i к строке r (правило 3). Это гарантирует, что a _rc = 0 для всех r > i и c ≤ j .

Наблюдение : Для неоднородных уравнений (например, C Ο ) есть три возможности: существует бесконечное количество решений, нет решений или существует единственное решение.Для однородных уравнений (например, C = ) есть две возможности: существует бесконечное количество решений или существует единственное решение, а именно тривиальное решение, где X = Ο .

Пример 2 : Решите следующую линейную систему с использованием исключения Гаусса:

На рисунке 2 показаны этапы процесса исключения Гаусса для Примера 2.

Рисунок 2 – Решение линейных уравнений с использованием исключения Гаусса

Так как A преобразуется в единичную матрицу, мы знаем, что преобразование C является уникальным решением системы линейных уравнений, а именно x = 0, y = 2 и z = -1.Обратите внимание, что мы получаем тот же результат, вычисляя X = A ^-1 C .

Пример 3 : Решите следующую однородную линейную систему с помощью исключения Гаусса:

Методом исключения Гаусса из рисунка 3 мы видим, что единственным решением является тривиальное решение:

Рисунок 3 – Решение однородного линейного уравнения

Пример 4 : Решите следующую однородную линейную систему с помощью исключения Гаусса:

На этот раз метод исключения Гаусса дает строку со всеми нулями (см. Рисунок 4), а количество ненулевых строк = 2 <3 неизвестных .Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Рисунок 4 – Нахождение решений однородных линейных уравнений

Решения могут иметь вид x = -2,5 t , y = 0,5 t , z = t для любого Стоимость т .

Наблюдение : Как видно из приведенных выше примеров, однородное уравнение AX = O , где A представляет собой матрицу m × n , имеет уникальное решение, когда имеется n non -нулевые строки после выполнения исключения по Гауссу.В противном случае уравнение имеет бесконечное количество решений.

Функции Excel для реальной статистики : Для выполнения процедуры исключения Гаусса предусмотрены следующие функции с массивами.

ELIM (R1, prec ): функция массива, которая выводит результаты исключения Гаусса на расширенной матрице, найденной в массиве R1. Форма вывода такая же, как форма R1.

LINEQU (R1, Prec ): функция массива, которая возвращает вектор-столбец n × 1 с уникальным решением уравнений, определяемых расширенной матрицей m × ( n +1), найденной в массив R1; возвращает вектор, состоящий из # N / A! если нет решения и вектор, состоящий из # ЧИСЛО! если существует бесконечное количество решений.

По умолчанию каждая из этих функций предполагает, что запись с абсолютным значением меньше 0,0001 эквивалентна нулю. Это необходимо, поскольку малые значения не рассматриваются как ноль в алгоритме исключения Гаусса, описанном выше. Вы можете изменить это значение по умолчанию на другое, вставив второй параметр в любую из этих функций: например, ELIM (R1, prec ) или LINEQU (R1, prec ). Таким образом, ELIM (R1) = ELIM (R1, 0,0001).

Инструмент анализа данных реальной статистики : Набор решения линейных уравнений Инструмент анализа данных , содержащийся в пакете ресурсов реальной статистики, обеспечивает функциональные возможности, эквивалентные LINEQU и ELIM.Чтобы использовать этот инструмент, введите Ctrl-m и выберите в меню Решить набор линейных уравнений . Когда появится диалоговое окно, заполните Input Range (с тем же диапазоном, что и R1 выше). Выбор Показать только решение эквивалентен LINEQU (R1), в то время как не щелчок по этой опции эквивалентен ELIM (R1).

Наблюдение : Исключение Гаусса также можно использовать для инвертирования квадрата n × n матрицы A , применяя описанную выше процедуру к A | Я _№ .Если процедура завершается до того, как будет выполнено n шагов, тогда A не обратимо. Если процедура завершается после n шагов (в этом случае A ‘= I _n ), то C’ = A ^-1 .

Пример 5: Использование исключения Гаусса для инвертирования матрицы

Результат показан на рисунке 5.

Рисунок 5 – Инвертирование матрицы с использованием исключения Гаусса

Тот факт, что A преобразуется в единичная матрица указывает, что A является обратимым.

Оставить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.