Решить уравнение бернулли: Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Содержание

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

  1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
  2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

,

.

Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение

,

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка.

Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

.

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

.

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

,

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции

v.

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

,

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:

.

Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению

или

.

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z‘ = uv + uv‘:

,

.

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его и y‘ = uv + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

или

Разделим переменные:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

:

.

Введём обозначения:

Продолжаем:

Таким образом, получаем функцию u:

.

и решение данного дифференциального уравнения:

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую – нелинейные:

.

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y‘ = uv + uv‘:

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

.

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Решаем:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

.

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

.

И напоследок – пример с альтернативным обозначением производных – через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом – переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на

y³, получим

.

Введём новую функцию . Тогда

.

Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:

.

Найдём его общий интеграл:

,

.

Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем

или

.

Приравниваем нулю выражение в скобках:

Для определения функции u получаем уравнение

.

Разделяем переменные:

Интегрируем по частям:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения

или

.

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Поделиться с друзьями

Дифференциальное уравнение Бернулли | Математика

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

   

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

   

в линейное уравнение

   

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли  с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения —  как и при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: [u’x+u]v+v’ux=-xu²v²   (I)          (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

   

   

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем [u’x+u]=0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на  v²≠0:

   

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

   

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: [2u’+2u]+2v’u=xu²v² (II).  Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

   

3) Подставляем во (II) [2u’+2u]=0 и

   

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

   

Интегрируем:

   

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

   

   

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

   

А так как

   

Сделаем С=-С:

   

   

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

   

Это — уравнение Бернулли,

   

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

[x²(x-1)u’-x(x-2)u]v+x²(x-1)v’u=u²v²      (III).    Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках:  x²(x-1)u’-x(x-2)u=0,  отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

   

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

   

При x=1:  1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0:  0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

   

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем [x²(x-1)u’-x(x-2)u]=0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

   

v’=dv/dx, подставляем:

   

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

   

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

   

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

   

Ответ:

   

Примеры для самопроверки:

   

   

Показать решение

1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:

   

1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:

   

2) Группируем слагаемые с v:

   

Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

3) В уравнение (*) подставляем [xu’ + 2u]=0 и u=1/x²:

   

Интегрируем обе части получившегося уравнения:

   

   

Обозначим С=3С1, получаем

   

4) Так как y=uv, то

   

Ответ:

   

2) Поделим обе части данного уравнения на x: y’+y/x=(lnx/x)·y². Это — уравнение Бернулли. Здесь p(x)=1/x, q(x)=lnx/x, n=2.
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в условие: x(u’v+v’u)+uv=u²v²lnx.

2) xu’v+xv’u+uv=u²v²lnx. Группируем слагаемые с v: [xu’+u]v+xv’u=u²v²lnx  (**).   Теперь требуем равенства нулю выражения, стоящего в скобках: xu’+u=0. Из этого уравнения ищем u: xdu/dx=-u,  du/u=-dx/x. Теперь интегрируем:

   

3) Подставляем в (**) [xu’+u]=0 и u=1/x (сначала упростим): xv’u=u²v²lnx, отсюда xv’=uv²lnx,  xv’=(1/x)v²lnx,

   

   

Интеграл в левой части — табличный. Интеграл, стоящий в правой части равенства, находим по формуле интегрирования по частям. u=lnx, du=(lnx)’dx=(1/x)dx, dv=(1/x²)dx,

   

Теперь подставляем u,v и du в формулу интегрирования по частям:

   

   

Итак,

   

умножаем обе части на (-1):

   

   

4) Так как y=uv, то

   

Ответ:

   

 

Дифференциальное уравнение Бернулли

Решить задачу Коши 1+x2·y’+y=y2·arctg x, y(0) = 1.

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1+x2·y’=y·arctg x, которое удовлетворяет условию y(0)=1.

Обе части неравенства необходимо поделить на x2 + 1, после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y’+yx2+1=y2·arctg xx2+1.

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем y=u·v, отсюда получаем, что y’=u·v’=u’·v+u·v’ и уравнение запишем  в виде

y’+yx2+1=y2·arctg xx2+1u’·v+u·v’+u·vx2+1=u·v2·arctg xx2+1u’·v+u·v’+vx2+1=u2·v2·arctg xx2+1

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v’+vx2+1=0, отличных от нуля. Получим, что

dvv=-dxx2+1, v≠0∫dvv=-∫dxx2+1lnv+C1=-arctg x+C2v=C·e-arctg x, C=eC2-C1

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v=e-arcrg x. Преобразуем и получим, что

u’·v+u·v’+vx2+1=u2·v2·arcrg xx2+1u’·v+u·0=u2·v2·arctg xx2+1u’=u2·v·arctg xx2+1u’=u2·e-arctg x·arctg xx2+1⇔duu2=e-arctg x·arctg xx2+1dx, u≠0∫duu2=∫e-arctg x·arctg xx2+1dx∫duu2=∫e-arctg x·arctg x d(arctg x)

Имеем, что u=0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫duu2, необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

∫duu2=-1u+C3.

Чтобы найти интеграл вида ∫e-arctg x·arctg x d(arctg x), принимаем значение arctg x=z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

∫e-arctg x·arctg x d(arctg x)=arctg x=z==∫e-z·z dz=u1=z, dv1=e-zdzdu1=dz, v1=-e-z==-z·e-z+∫e-zdz=-z·e-z-e-z+C4==-e-z·(z+1)+C4=-e-arctg x·(arctg x+1)+C4

Следовательно

-1u+C3=-e-arctg x·arctg x+1+C41u=e-arcrg x·arctg x+1+C3-C4u=1e-arcrg x·(arctg x+1)+C

Отсюда находим, что

y=u·v=e-arctg xe-arcrg x·(arctg x+1)+C и y=0·v=0·e-arcrg x=0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y’+yx2+1=y2·arctg xx2+1.

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+C, тогда запись примет вид y0=e-arctg 0e-arctg 0·arctg 0+1+C=11+C.

Очевидно, что 11+C=1⇔C=0. Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+0=1arctg x+1.

Уравнение первого порядка уравнения бернулли. Уравнения бернулли

25. Геометрическое определение вероятности. Примеры.

Классическое определение вероятности требует рассмотрение конечного числа элементарных исходов, причем равновозможных. Но на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

Опр . Если точка случайным образом появляется одномерной\ двумерно\ или 3х мерной области меры S (мера – ее длина, площадь или объём) то вероятность ее появления в части этой области меры S равна

где S – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а Si – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.

Пример 1. Круг радиусом R помещен меньший круг радиусом г. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в малый круг.

Пример 2. Пусть отрезок длиной l включается в отрезок длиной L. Най ти вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на отрезок длиной l».

Пример 3 . В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до центра круга больше половины?

Пример 4. Два лица и условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

26. Элементы комбинаторики: Размещение, перестановка, сочетания.

1) Перестановкой называется установленный в конечном множестве порядок.

Число всех различных перестановок вычисляется по формуле

2) Размещением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество основного множества, содержащее m элементов.

3) Сочетанием из n элементов по m называется всякое неупорядоченное подмножество основного множества, содержащее элементов.

Дифференциальное уравнение y” +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли .
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 – с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z” + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли .

Пример 1 . Найти общее решение уравнения y” + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z” + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2 . y”+y+y 2 =0
y”+y = -y 2

Разделим на y 2
y”/y 2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z”= -y”/y 2

Получаем: -z” + z = -1 или z” – z = 1

Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy”/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z”=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz”/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz”/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z”=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y”(x) = C(x)”x 4 + C(x)(x 4)”
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)” x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)” x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)” = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

в линейное уравнение

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

3) Подставляем во (II) =0 и

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

Интегрируем:

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

А так как

Сделаем С=-С:

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

Это — уравнение Бернулли,

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, подставляем:

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

Примеры для самопроверки:

1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:

1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:

2) Группируем слагаемые с v:

Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:

Интегрируем обе части уравнения:

3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:

Интегрируем обе части получившегося уравнения.

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде

где a (x ) и b (x ) − непрерывные функции. Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки

Новое дифференциальное уравнение для функции z (x ) имеет вид

и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

МЕТОД БЕРНУЛИ.

Рассматриваемое уравнение можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: где u, v – функции от x . Дифференцируем: Подставляем в исходное уравнение (1): (2) В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения: (3) Уравнение (3) – это уравнение с разделяющимися переменными. После того, как мы нашли его частное решение v = v(x) , подставляем его в (2). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (3), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем: Это также уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .

64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.

Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменныхивыполнялось условие

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и

поэтому , гдепока неопределенная функция.

Интегрируя, получаем . Частная производнаянайденной функциидолжна равняться, что даетоткудатак чтоТаким образом,.

Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.{n}$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ – непрерывные функции, а $n$ – некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли.

При этом на число $n$ накладываются ограничения:

  • $n\ne 0$, так как при $n = 0$ дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
  • $n\ne 1$, так как если мы имеем в качестве $n$ единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.

Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$.

Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.

Замечание 1

Даниил Бернулли – физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления.{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Дифференциальное уравнение Бернулли – это… Что такое Дифференциальное уравнение Бернулли?

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

получим

Делая замену

и дифференцируя, получаем:

Это уравнение приводится к линейному:

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

тогда:

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение  — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Уравнение

разделим на получаем:

Замена переменных

дает:

Умножаем на ,

Результат:

Литература

  • А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
  • В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Примечания

  1. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Уравнение Бернулли – Энциклопедия по экономике

Каждое из уравнений Бернулли, входящих в систему (7), мо-  [c.204]

Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли (гг = 2). После замены (17.13) оно приводится к уравнению (17.14). В нашем случае оно имеет вид  [c.367]

Задача. Решить уравнение Бернулли  [c.367]

В частных случаях это уравнение может оказаться и уравнением с разделяющимися переменными, и линейным уравнением, и уравнением Бернулли. Знание его экономического смысла позволяет предугадывать свойства решения.  [c.440]

Задача 5. Придать уравнению Бернулли  [c.441]

Решить уравнения Бернулли.  [c.180]

Затем записывают уравнение Бернулли для периферийного газового потока и уравнения изменения скорости жидкости по осям х и у (2.66), (2.51) и (2.67).  [c.64]

При течении идеальной жидкости для любых двух сечений потока справедливо уравнение Бернулли  [c.110]

Для выбора величин конструктивных параметров преобразователя и оценки их влияния на точность дозирования были исследованы его статические и динамические характеристики. Эти характеристики были получены для цилиндрической формы ДЕ (рис.3,а), исходя из уравнения Бернулли для модели установившегося (в статике) и  [c.85]

Точно так же, как вы могли пользоваться выражениями [1.04] для решения уравнений [1.03], уравнение [1.22] можно использовать для решения любых проблем с оптимальным/ Вместо формул [1.03-1.07] вы можете взять [1.22]. Для данных с распределением Бернулли это уравнение дает те же результаты, что и формулы Келли. Вы получите те же результаты, как и по формулам 1990 г., если подставите это распределение сделок (где вероятность каждой сделки равна 1/7) в [1.22]. Эту формулу можно использовать для максимизации ожидаемого значения логарифма любого начального количества чего угодно в условиях экспоненциального роста. Теперь посмотрим, как использовать эту формулу в контексте сценарного планирования.  [c.71]

Уравнение (21.1) называют дифференциальным уравнением естественного роста. Впервые его получил Якоб Бернулли. Им же была решена следующая задача.  [c.423]

Объективная, исчерпывающая и своевременная бухгалтерская информация — залог повышения эффективности управленческой деятельности, означающей гарантированную и стабильную прибыль, технико-экономическое и социальное развитие предприятия. Не случайно на международной эмблеме бухгалтеров изображены солнце, весы и кривая Бернулли, символизирующие соответственно яркое (зеркальное) освещение хозяйства, балансовое уравнение и вечность бухгалтерского учета. Международный девиз бухгалтерского учета Наука, доверие, независимость  [c.12]

Николай Бернуллн (1687—1759) — профессор математики в Падуе, профессор логики и права в Базеле племянник Якоба и Иоганна Бернулли. Основные труды по теории вероятностей, теории рядов, дифференциальным уравнениям и демографии. В известном переводе А. Прингсгейма ошибочно назван дядей, что привело к ошибкам в ряде последующих работ о семье Бернулли. Николай Бернулли (1662—1716), дядя Даниила и отец Николая, названного выше, был живописцем и членом Суда Базеля, научных должностей никогда не занимал. Кроме того, авторство приводимой ниже задачи в некоторых публикациях ошибочно приписывается Николаю Бернулли (1695— 1726) — петербургскому академику, родному брату Даниила.  [c.22]

Принцип возможных перемещений. Исторически первым вариационным уравнением было “золотое правило” механики — принцип возможных перемещений. Его формулировка для рычага содержалась еще в “Физике” Аристотеля (IVв. до н.э.). Дальнейшие существенные этапы связаны с именами Стевина и Галилея. В практически современном виде принцип возможных перемещений сформулировал Иоган Бернулли.  [c.28]

Формула уравнения Бернулли в физике

Содержание:

Определение и формула уравнения Бернулли

При рассмотрении движения жидкости очень часто считают, что перемещение одних частей жидкости относительно других не порождает сил трения. При этом жидкость, у которой вязкость (внутреннее трение) равна нулю, носит название идеальной.

Сжимаемой называют жидкость, плотность которой изменяется и может зависеть от температуры и давления.{2}}{2}=\rho g\left(h_{2}-h_{1}\right)=\rho g h \rightarrow v=\sqrt{2 g h}$$

Ответ. $v=\sqrt{2 g h}$

Слишком сложно?

Формула уравнения Бернулли не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Используя уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости, рассматривая истечение ее из маленького отверстия в широком открытом сосуде, получите формулу Торричелли: $v=\sqrt{2 g h}$, где h=h2-h1 – высота открытой поверхности жидкости над отверстием, v – скорость истечения жидкости из отверстия.

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим рис.2. Выделим в жидкости трубку тока с сечениями S1 – площадь открытой поверхности жидкости, S2 – площадь сечения струи из отверстия. Будем считать, что для всех точек каждого из данных сечений скорость жидкости (v) и высота (h) над избранным начальным уровнем одинаковы.{2}}{2}=g h_{2}-g h_{1} \rightarrow v=\sqrt{2 g h}(2.2)$$

здесь v – скорость, с которой вытекает жидкость из отверстия.

Что требовалось получить.

Читать дальше: Формула ЭДС.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Как решить это специальное дифференциальное уравнение первого порядка

A Уравнение Бернулли имеет следующий вид:

dy dx + P (x) y = Q (x) y n
где n – любое вещественное число, но не 0 или 1

Когда n = 0, уравнение может быть решено как линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Когда n = 1, уравнение можно решить с помощью разделения переменных.

Для других значений n мы можем решить это, подставив

u = y 1 − n

и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решите его).

Пример 1: Решить

dy dx + x 5 y = x 5 y 7

Это уравнение Бернулли с P (x) = x 5 , Q (x) = x 5 и n = 7, давайте попробуем заменить:

u = y 1 − n

u = y -6

В единицах y то есть:

y = u (- 1 6 )

Дифференцировать y относительно x:

dy dx = −1 6 u (- 7 6 ) du dx

Замените dy dx и y в исходное уравнение dy dx + x 5 y = x 5 y 7

−1 6 u ( −7 6 ) du dx + x 5 u ( −1 6 ) = x 5 u ( −7 6 )

Умножить все члены на −6u ( 7 6 )

du dx – 6x 5 u = −6x 5

Замена сработала! Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить.

Упростить:

du dx = 6x 5 u – 6x 5

ду dx = (u − 1) 6x 5

Использование разделения переменных:

du u − 1 = 6x 5 dx

Объедините обе стороны:

1 u − 1 du = ∫6x 5 dx

К нам:

ln (u − 1) = x 6 + C

u − 1 = e x 6 + C

u = e (x 6 + c) + 1

Замещающий обратно y = u ( −1 6 )

y = (e (x 6 + c) + 1) ( −1 6 )

Решено!

И мы получаем эти примерные кривые:


Давайте еще раз посмотрим на замену, которую мы сделали выше.Мы начали с:

dy dx + x 5 y = x 5 y 7

И закончился на:

du dx – 6x 5 u = −6x 5

На самом деле , в общем , можно прямо с

dy dx + P (x) y = Q (x) y n
n не равно 0 или 1

С

по:

du dx + (1 − n) uP (x) = (1 − n) Q (x)

Затем решите это и верните y = u ( −1 n − 1 )

Сделаем это в следующем примере.

Пример 2: Решить

dy dx y x = y 9

Это уравнение Бернулли с n = 9, P (x) = −1 x и Q (x) = 1

Зная, что это уравнение Бернулли, мы можем сразу перейти к этому:

du dx + (1 − n) uP (x) = (1 − n) Q (x)

Что после замены n, P (X) и Q (X) становится:

du dx + 8u x = −8

Теперь попробуем это решить.

К сожалению, мы не можем разделить переменные, но уравнение является линейным и формы du dx + R (X) u = S (x) с R (X) = 8 x и S (X) = −8

Что мы можем решить с помощью шагов с 1 по 9:

Шаг 1: Пусть u = vw

Шаг 2: дифференцировать u = vw

du dx = v dw dx + w dv dx

Шаг 3. Замените u = vw и du dx = v dw dx + w dv dx на du dx + 8u x = −8:

v dw dx + w dv dx + 8vw x = −8

Шаг 4: Разложите на множители части, содержащие w.

v dw dx + w ( dv dx + 8v x ) = −8

Шаг 5: Установите часть внутри () равной нулю и разделите переменные.

дв dx + 8v x = 0

дв v = −8dx x

Шаг 6: Решите это разделимое дифференциальное уравнение, чтобы найти v.

дв v = – ∫ 8dx x

ln (v) = ln (k) – 8ln (x)

v = kx -8

Шаг 7: Подставьте v обратно в уравнение, полученное на шаге 4.

kx -8 dw dx = −8

Шаг 8: Решите это, чтобы найти v

кх -8 dw = −8 dx

k dw = −8x 8 dx

∫ k dw = ∫ −8x 8 dx

квт = −8 9 x 9 + C

w = 1 k ( −8 9 x 9 + C)

Шаг 9: Подставьте в u = vw, чтобы найти решение исходного уравнения.

u = vw = kx -8 k (-8 9 x 9 + C)

u = x -8 ( – 8 9 x 9 + C)

u = −8 9 x + Cx -8

Итак, мы использовали замену:

u = y 1 − n = y -8

Что в нашем случае означает, что нам нужно подставить обратно y = u ( −1 8 ) :

y = ( −8 9 x + c x -8 ) ( −1 8 )

Готово!

И мы получаем красивое семейство кривых:

Пример 3: Решить

dy dx + 2y x = x 2 y 2 sin (x)

Это уравнение Бернулли с n = 2, P (x) = 2 x и Q (x) = x 2 sin (x)

Мы можем сразу перейти к этому:

du dx + (1 − n) uP (x) = (1 − n) Q (x)

Что после замены n, P (X) и Q (X) становится:

du dx 2u x = – x 2 sin (x)

В этом случае мы не можем разделить переменные, но уравнение является линейным и имеет вид du dx + R (X) u = S (x) с R (X) = −2 x и S (X) = −x 2 sin (x)

Решите шаги с 1 по 9:

Шаг 1: Пусть u = vw

Шаг 2: дифференцировать u = vw

du dx = v dw dx + w dv dx

Шаг 3. Замените u = vw и du dx = v dw dx + w dv dx на du dx 2u x = −x 2 грех (х)

v dw dx + w dv dx 2vw x = −x 2 sin (x)

Шаг 4: Разложите на множители части, содержащие w.

v dw dx + w ( dv dx 2v x ) = −x 2 sin (x)

Шаг 5: Установите часть внутри () равной нулю и разделите переменные.

дв dx 2v x = 0

1 v dv = 2 x dx

Шаг 6: Решите это разделимое дифференциальное уравнение, чтобы найти v.

1 v dv = ∫ 2 x dx

ln (v) = 2ln (x) + ln (k)

v = kx 2

Шаг 7: Подставьте u обратно в уравнение, полученное на шаге 4.

kx 2 dw dx = −x 2 sin (x)

Шаг 8: Решите это, чтобы найти v.

к dw = −sin (x) dx

∫k dw = ∫ − sin (x) dx

кВт = cos (x) + C

w = cos (x) + C k

Шаг 9: Подставьте в u = vw, чтобы найти решение исходного уравнения.

u = kx 2 cos (x) + C k

u = x 2 (cos (x) + C)

В конце подставляем обратно y = u -1

y = 1 x 2 (cos (x) + C)

Что выглядит следующим образом (примеры значений C):

Уравнение Бернулли приписывают Якобу Бернулли (1655-1705 гг.), Одному из семья известных швейцарских математиков.{1 – m}}. \]

Новое дифференциальное уравнение для функции \ (z \ left (x \ right) \) имеет вид:

\ [z ‘+ \ left ({1 – m} \ right) a \ left (x \ right) z = \ left ({1 – m} \ right) b \ left (x \ right) \]

и может быть решена методами, описанными на странице Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. x}.\ prime}. \]

Мы видим, что левая часть уравнения становится производной от произведения \ (z \ left (x \ right) u \ left (x \ right) \) после умножения на \ (\ frac {1} {x} \ ).

Тогда общее решение линейного уравнения для \ (z \ left (x \ right) \) дается формулой

\ [z = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}} = \ frac {{\ int {\ frac {1} {x} \ cdot \ left ({- 1} \ right) dx} + C}} {{\ frac {1} {x}}} = \ frac {{- \ ln \ left | х \ право | + C}} {{\ frac {1} {x}}} = x \ left ({C – \ ln \ left | x \ right |} \ right).\]

Учитывая, что \ (y = \ frac {1} {z}, \), можно записать ответ:

\ [y = \ frac {1} {{x \ left ({C – \ ln \ left | x \ right |} \ right)}}, \]

или в неявной форме:

\ [yx \ left ({C – \ ln \ left | x \ right |} \ right) = 1. \]

Таким образом, окончательный ответ

\ [yx \ left ({C – \ ln \ left | x \ right |} \ right) = 1, \; \; у = 0. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

MAT 2680 Дифференциальные уравнения | «Чем он отличается от скал.«

6.2 Преобразование Лапласа: решение проблем начального значения (обратное преобразование)

Преобразование Лапласа используется для преобразования функции в области t и передачи ее в область s. На практике это преобразование используется для упрощения решения дифференциальных уравнений. Прочитав определения и зная, как работает преобразование Лапласа, мы перейдем к примеру того, как применить его к дифференциальному уравнению с начальными значениями.

1. Решить с помощью преобразования Лапласа

y ”-y’-2y = 0 с условием y (0) = 1 y’ = 0

Шаг 1: Шаг 1 это дифференциальное уравнение? Да, потому что он однородный и линейный

Шаг 2. Возьмите Лаплас с обеих сторон L {y ”-y’-2y = 0}

Шаг 3. Решите алгебраически

с использованием известной нам диаграммы преобразования Лапласа f ”(t) = L {f (t) -sf (0) -f ‘(0)

f ‘(t) = sL {f (t) -f (0)

Возьмите Лапласа уравнения различия, применив начальное значение:

Y (s) -s (1) -0- {sY (s) -1} -2Y (s)

Фактор Y (s): Y (s) (- s-2) -s + 1 = 0

Изолировать Y (s): Y (s) =

поэтому возьмем -s + 1 в другую сторону и разделим из квадратного уравнения

Шаг 4: Упростите решение, применив частичную дробь

= +

= (s-2) (s + 1) = A (s + 1) = (s-2) (s + 1) = B (s-2)

с-1 = A (с + 1) + B (с-2)

«» = As + A + BS-2B

«» = As + Bs + A-2B

Объедините все буквы, в которых есть s, с s, а числа с терминами, в которых нет s.

A + B = 1, поскольку (1) стоит перед s, мы используем 1-1 = A-2B

Решите линейные уравнения: мы бы решили это, используя метод исключения :

A-2B = -1

2A + 2B = 2

3A = 1, следовательно, A = 1/3, затем подставив A в A + B = 1– (1/3) + B = 1

получаем B = 2/3 и A = 1/3

Наконец, ваша функция находится в домене s:

Напоминание о решении дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа:

1.Начнем с дифференциального уравнения

  1. Возьмите преобразование Лапласа из обеих частей уравнения
  2. Тогда вам придется упростить алгебраическое решение.
  3. Это потребует такого метода, как частичная дробь

4. Возьмите обратное преобразование Лапласа решения, это будет ваше решение для дифференциального уравнения, на данный момент вы должны быть в области t с упрощенным уравнением

Важное примечание:

L {f (t)}: «L» используется для обозначения того, что применяется функция преобразования Лапласа {f (t)}.

F (s): При работе с преобразованием Лапласа все, что написано с большой буквы, означает, что вы работаете в своей области. Следовательно, F (s) означает, что функция f (t) уже передается в области s.

{F (S)}: используется при работе с обратным преобразованием Лапласа, поэтому возвращается к вашей функции в области t.

PPLATO | Учебники | Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение Бернулли можно записать в следующей стандартной форме:

dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n

– где n ≠ 1.Таким образом, уравнение нелинейное .

Чтобы найти решение, измените зависимую переменную с y на z, где z = y 1- n . Это дает дифференциальное уравнение относительно x и z, которое является линейным и, следовательно, может быть решено с использованием метода интегрирующих множителей.

Разделив приведенную выше стандартную форму на y n , получаем:

1/ y n dy / dx + P ( x ) y 1− n = Q ( x )
i.е. 1 / (1 – n ) dz / dx + P ( x ) y 1− n = Q ( x )

– где мы использовали: dz / dx = (1 – n ) y n dy / dx

Нажмите на вопросы, чтобы узнать их решения

Упражнение 1:

Общая форма уравнения Бернулли: dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n

– где P и Q – функции от x, а n – постоянная.Покажите, что преобразование в новую зависимую переменную z = y 1– n сводит уравнение к линейному по z (и, следовательно, разрешимому с использованием метода интегрирующих множителей).

Решение:

РАЗДЕЛЕНИЕ на y n : 1/ y n dy / dx + P ( x ) y 1− n = Q ( x )
НАБОР z = y 1− n : я.е. dz / dx = (1 – n ) y 1− n −1 dy / dx
то есть 1/1 – n dz / dx = 1/ y n dy / dx
ЗАМЕНИТЬ 1/1 – n dz / dx + P ( x ) z = Q ( x )
я.е. dz / dx + P 1 ( x ) z = Q 1 ( x ) линейный дюйм x
где: P 1 ( x ) = (1 – n ) P ( x )
Q 1 ( x ) = (1 – n ) Q ( x )

Решите следующие дифференциальные уравнения Бернулли:

Упражнение 2:

dy / dx – 1/ x y = xy 2

Решение:

Уравнение имеет вид: dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n с P ( x ) = – 1/ x , Q ( x ) = x и n = 2

РАЗДЕЛЕНИЕ на y n : я.е. 1/ y 2 dy / dx – 1/ x y −1 = x
НАБОР z = y 1 – n = y −1 : то есть dz / dx = – y −2 dy / dx = −1 / y 2 dy / dx
dz / dx – 1/ x z = x
я.е. dz / dx + 1/ x z = – x
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e ∫1 / x dx = e ln x = x
x dz / dx + z = – x 2
я.е. d / dx [ x z ] = – x 2
то есть xz = −∫ x 2 dx
то есть xz = – x 3 /3 + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y x / y = – x 3 /3 + C
я.е. 1/ y = – x 2 /3 + C / x

Упражнение 3:

dy / dx + y / x = y 2

Решение:

Уравнение имеет вид: dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n с P ( x ) = 1/ x , Q ( x ) = 1 и n = 2

РАЗДЕЛЕНИЕ на y n : я.е. 1/ y 2 dy / dx + 1/ x y −1 = 1
НАБОР z = y 1 – n = y −1 : то есть dz / dx = −1⋅ y −2 dy / dx = −1 / y 2 dy / dx
dz / dx + 1/ x z = 1
я.е. dz / dx – 1/ x z = −1
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e −∫1 / x dx = e – ln x = 1/ x
1/ x dz / dx −1 / x 2 z = −1 / x
я.е. d / dx [1/ x z ] = -1 / х
то есть 1/ x z = −∫ dx / x
то есть z / x = – ln x + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 1/ yx = C – ln x
я.е. 1/ y = – x ( C – ln x )

Упражнение 4:

dy / dx + 1/3 y = e x y 4

Решение:

Уравнение имеет вид: dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n с P ( x ) = 1/3, Q ( x ) = e x и n = 4

РАЗДЕЛЕНИЕ на y n : я.е. 1/ y 4 dy / dx + 1/3 y −3 = e x
НАБОР z = y 1 – n = y −3 : то есть dz / dx = −3 y −4 dy / dx = −3/ y 4 dy / dx
−1/3 dz / dx + 1/3 z = e x
я.е. dz / dx z = −3 e x
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e −∫ dx = e x
e x dz / dx – e x z = −3 e x ⋅e x
я.е. d / dx [ e x z ] = −3
то есть e x z = ∫ −3 dx
то есть e x z = −3 x + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 3 e x ⋅1 / y 3 = −3 x + C
я.е. 1/ y 3 = e x ( C – 3 x )

Упражнение 5:

x dy / dx + y = xy 3

Решение:

Уравнение Бернулли: dy / dx + y / x = y 3 с P ( x ) = 1/ x , Q ( x ) = 1 и n = 3

РАЗДЕЛИТЬ на y n , т.е.е. л 3 : 1/ y 3 dy / dx + 1/ x y −2 = 1
НАБОР z = y 1 – n , т.е. y −2 : dz / dx = −2 y −3 dy / dx
я.е. −1/2 dz / dx = 1/ y 3 dy / dx
−1/2 dz / dx + 1/ x z = 1
то есть dz / dx – 2/ x z = −2
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e −2 ∫ dx / x = e −2 ln x = e ln x −2 = 1/ x 2
1/ x 2 dz / dx – 2/ x 3 z = – 2/ x 2
я.е. d / dx [1/ x 2 z ] = −2 / х 2
то есть 1/ x 2 z = (−2) ⋅ (−1) 1/ x + C
то есть z = 2 x + Cx 2
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 2 : y 2 = 1/2 x + Cx 2

Упражнение 6:

dy / dx + 2/ x y = – x 2 cos x y 2

Решение:

Уравнение имеет вид: dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n с P ( x ) = 2/ x , Q ( x ) = – x 2 cos x и n = 2

РАЗДЕЛЕНИЕ на y n : я.е. 1/ y 2 dy / dx + 2/ x y −1 = – x 2 cos x
НАБОР z = y 1 – n = y −1 : то есть dz / dx = −1⋅ y −2 dy / dx = −1 / y 2 dy / dx
dz / dx + 2/ x z = – x 2 cos x
я.е. dz / dx – 2/ x z = x 2 cos x
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e −∫2 / x dx = e −2 ∫ dx / x = e −2 ln x = e ln x −2 = 1/ x 2
1/ x 2 dz / dx −2 / x 3 z = x 2 / x 2 cos x
я.е. d / dx [1/ x 2 z ] = cos x
то есть 1/ x 2 z = ∫ cos x dx
то есть 1/ x 2 z = sin x + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 1/ x 2 y = sin x + C
я.е. 1/ y = x 2 (sin x + C )

Упражнение 7:

2 dy / dx + tan x y = (4 x + 5) 2 / cos x y 3

Решение:

Разделите на 2, чтобы получить стандартную форму:

dy / dx + 1/2 tan x y = (4 x + 5) 2 /2 cos x y 3

Это формы: dy / dx + P ( x ) y = Q ( x ) y n с P ( x ) = 1/2 тангенса x , Q ( x ) = (4 x + 5) 2 /2 cos x и n = 3

РАЗДЕЛЕНИЕ на y n : я.е. 1/ y 3 dy / dx + 1/2 tan x y −2 = (4 x + 5) 2 /2 cos x
НАБОР z = y 1 – n = y −2 : то есть dz / dx = −2 y −3 dy / dx = −2/ y 3 dy / dx
−1/2 dz / dx + 1/2 tan x z = (4 x + 5) 2 /2 cos x
я.е. dz / dx – коричневый x z = (4 x + 5) 2 / cos x
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e ∫ −tan x dx = e ∫ – sin x / cos x dx [≡ e ∫ – ƒ ′ ( x ) / ƒ ( x ) dx ] = e ln cos x = cos x
cos x dz / dx – cos x tan x z = cos x (4 x + 5) 2 / cos x
я.е. cos x dz / dx – sin x z = (4 x + 5) 2
то есть d / dx [cos x z ] = (4 x + 5) 2
то есть cos x z = ∫ (4 x + 5) 2 dx
я.е. cos x z = 1/4 ⋅ 1/3 (4 x + 5) 3 + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 2 cos x / y 2 = 1/12 (4 x + 5) 3 + C
то есть 1/ y 2 = 1/12 cos x (4 x + 5) 3 + C / cos x

Упражнение 8:

x dy / dx + y = y 2 x 2 ln x

Решение:

Экспресс в стандартной форме: dy / dx + 1 / x y = ( x ln x ) y 2 , поэтому P ( x ) = 1/ x , Q ( x ) = x ln x и n = 2

РАЗДЕЛЕНИЕ на и 2 : я.е. 1/ y 2 dy / dx + 1/ x y −1 = x ln x
НАБОР z = y −1 : то есть dz / dx = – y −2 dy / dx = −1 / y 2 dy / dx
dz / dx + 1/ x z = x ln x
я.е. dz / dx – 1/ x z = – x ln x
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e – ∫ dx / x = e – ln x = e ln x −1 = 1/ x
1/ x dz / dx – 1/ x 2 z = – ln x
я.е. d / dx [1/ x z ] = – ln x
то есть 1/ x z = ∫ ln x dx + C ‘
Интегрировать по частям: u dv / dx = uv – ∫ v du / dx , с u = ln x и dv / dx = 1
я.е. 1/ x z = – [ x ln x – ∫ x 1/ x dx ] + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 1/ xy = x (1 – ln x ) + C

Упражнение 9:

dy / dx = y детская кроватка x + y 3 cosec x

Решение:

Express в стандартной форме: dy / dx – детская кроватка x y = cosec x y

РАЗДЕЛИТЬ на и 3 : 1/ y 3 dy / dx – детская кроватка x y −2 = cosec x
НАБОР z = y −2 : я.е. dz / dx = – 2 y −3 dy / dx = – 21/ y 3 dy / dx
– 1/2 dz / dx – детская кроватка x z = cosec x
то есть dz / dx + 2 детские кроватки x z = cosec x
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЕСЛИ = e 2∫ cos x / sin x dx ≡ e 2∫ – ƒ ′ ( x ) / ƒ ( x ) dx = e 2 ln sin x = sin 2 x
sin 2 x dz / dx + 2 sin x ⋅cos x z = −2 sin x
я.е. d / dx [ sin 2 x z ] = −2 sin x
то есть z ⋅sin 2 x = (−2) (- cos x ) + C
ИСПОЛЬЗОВАТЬ z = 1/ y 2 sin 2 x / y 2 = 2 cos x + C
я.е. y 2 = sin 2 x /2 cos x + C

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (о. Д. Е.), Которое мы хотим решить, чтобы выяснить, как переменная z зависит от переменной x.

Если уравнение первого порядка , тогда самая высокая производная является первой производной.

Если это также линейное уравнение , то это означает, что каждый член может включать z либо как производную dz / dx ИЛИ через единственный множитель z.

Любой такой линейный н.о. первого порядка. могут быть преобразованы в следующую стандартную форму:

dz / dx + P 1 ( x ) z = Q 1 ( x )

– где P 1 ( x ) и Q 1 ( x ) – функции x, а в некоторых случаях могут быть константами.

Линейный н.о. первого порядка. может быть решена с использованием метода интегрирующего множителя .

После записи уравнения в стандартной форме , P 1 ( x ) можно идентифицировать. Один тогда умножает уравнение на следующий «интегрирующий коэффициент»:

IF = e P 1 ( x ) dx

Этот коэффициент определяется таким образом, что уравнение становится эквивалентным:

d / dx (IF z ) = IF Q 1 ( x ) dx

Интегрирование обеих сторон по x дает:

IF z = ∫ IF Q 1 ( x ) dx

Наконец, деление на интегрирующий коэффициент (IF) дает z явно через x, i.е. дает решение уравнения.

ƒ ( x ) ƒ ( x ) dx ƒ ( x ) ƒ ( x ) dx
x n x n +1 / n +1 ( n −1) [ г ( x )] n г ‘ ( x ) [ г ( x )] n +1 / n +1 ( n −1)
1/ x дюйм x г ‘ ( x ) / г ( x ) дюйм г ( x )
e x e x а x a x / ln a ( a > 0)
sin x −cos x sinh x цвет x
cos x грех x цвет x sinh x
желто-коричневый x – ln cos x танх x лн cosh x
кодов x ln желто-коричневый x /2 cosech x ln tanh x /2
сек x лн сек x + загар x сек x 2 желто-коричневый −1 e x
сек 2 x коричневый x сек 2 x танх x
детская кроватка x лин. Sin x детская кроватка x линз x
sin 2 x x /2 – грех 2 x /4 sinh 2 x sinh 2 x /4 – x /2
cos 2 x x /2 + sin 2 x /4 цвет 2 x sinh 2 x /4 + x /2
1/ а 2 + x 2 1/ a tan −1 x / a ( a > 0) a 2 + x 2 a 2 /2 [sinh −1 ( x / a ) + x a 2 x 2 / a 2 ]
1/ а 2 x 2 1/2 a ln a + x / a x (0 < x < a ) a 2 x 2 a 2 /2 [sin −1 ( x / a ) + x a 2 x 2 / a 2 ]
1/ x 2 a 2 1/2 a ln x a / x + a ( x > a > 0) x 2 a 2 a 2 /2 [−cosh −1 ( x / a ) + x x 2 a 2 / a 2 ]
1 / √ a 2 + x 2 ln x + √ a 2 + x 2 / a ( a > 0)
1 / √ a 2 x 2 sin −1 x / a (- a < x < a ) 1 / √ x 2 a 2 ln x + √ x 2 a 2 / a ( x > a > 0)

уравнений Бернулли | StudyPug

Уравнения Бернулли

В предыдущих разделах мы работали над методами решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, но теперь пришло время взглянуть на методологию решения нелинейных уравнений, поскольку, говоря реалистично, мы не всегда будем сталкиваться с тот же тип уравнений на нашем пути.

Давайте сначала напомним себе разницу между линейным и нелинейным дифференциальным уравнением. В базовой алгебре линейное уравнение – это уравнение, в котором порядок его независимой переменной равен единице, другими словами, переменная появляется либо сама по себе, либо в сопровождении постоянного коэффициента, где показатель степени переменной равен единице. Итак, нелинейное уравнение – это уравнение, в котором переменная имеет показатели, отличные от единицы. В случае линейных дифференциальных уравнений функция может появляться сама по себе, в сопровождении коэффициентов, или вы можете иметь производные функции.Уравнение будет линейным до тех пор, пока переменная и ее производные имеют показатели, равные единице, если это не так, тогда уравнение нелинейно.

Пример:

Уравнение 1: разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями

Мы можем быть склонны быстро заключить, что нелинейные дифференциальные уравнения намного сложнее решать, чем линейные уравнения, но мы пока не возвращаемся к ним. Хотя это утверждение верно для большинства случаев, были разработаны эффективные и достаточно интуитивно понятные математические методы для решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений ясным и относительно простым способом.Таким образом, вы будете приятно удивлены осознанием того, что вы уже должны знать большую часть материала, который будет охвачен на этом уроке, и что первая техника, которую мы хотели бы изучить, использует подход упрощения, этот метод использует нечто, называемое Бернулли. уравнения для преобразования исходных нелинейных уравнений в задаче в то, что мы можем решить сразу, и по этой причине метод уравнения Бернулли включает всего несколько шагов больше, чем методы, которые мы искали до сих пор для решения линейных дифференциальных уравнений.

В этой статье вы увидите, что мы подробно рассмотрим темы, которые мы видели в предыдущих разделах, поскольку метод решения дифференциального уравнения через уравнение Бернулли – это просто математический трюк, позволяющий упростить несколько нетрадиционное уравнение в более простой случай, который мы уже знаем, как решать. По этой причине мы рекомендуем, чтобы, если вы еще не изучили метод интегрирующих множителей для решения точных дифференциальных уравнений первого порядка, вы ознакомились с обоими разделами, прежде чем продолжить этот урок.

К настоящему времени для вас также важно овладеть такими навыками, как техника разделимых уравнений. Если вы думаете, что вам нужен быстрый обзор этого, не стесняйтесь вернуться и проверить примеры на нем.

Что такое уравнение Бернулли?

Дифференциальное уравнение Бернулли – это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть сведено к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Особым случаем этих уравнений является то, что они имеют известные точные решения, и после того, как вы выполнили преобразование в линейное выражение, вы можете решить уравнение методом интегрирующего множителя с точными уравнениями.Общий вид уравнения Бернулли выглядит следующим образом:

Уравнение 2. Уравнение Бернулли в общем виде

Где n не может быть равно 0 или 1, поскольку любой из этих двух показателей приведет к выражению линейного дифференциального уравнения, и, следовательно, метод уравнения Бернулли не потребуется.

Как решить уравнения Бернулли

Чтобы мы могли перечислить пошаговые инструкции о том, как решать дифференциальные уравнения Бернулли, мы начнем с использования общей формы уравнений, чтобы дать приблизительное представление о процессе, затем мы рассмотрим полный пример, который вы также можете найти на видео для этого раздела.{1-n} yn1 × y = y − ny1 = y1 − n, чтобы получить уравнение выше.

  • Мы используем подстановку, чтобы преобразовать нелинейное уравнение в линейное: Уравнение 4: Подстановки для преобразования нелинейного в линейный
  • Включение этого в нелинейное уравнение приведет к линейному дифференциальному выражению! Вы можете увидеть развитие этой замены ниже и заметить, как выражение было преобразовано в его простейшую форму для практических целей: Уравнение 5: решение уравнения Бернулли, часть 2 – преобразование в линейное дифференциальное уравнение
  • И у нас остается линейное уравнение вида Уравнение 6: Определение членов M и N дифференциального уравнения Что легко решить с помощью интегрирующего множителя!
  • Итак, как вы можете видеть, метод уравнения Бернулли – это всего лишь способ преобразования нелинейного выражения в линейное, после чего мы продолжаем решать линейное дифференциальное уравнение с помощью методологии, которую мы уже изучили в предыдущих разделах.Есть несколько деталей, которые необходимо принимать во внимание и внимательно следить за тем, как мы работаем над такого рода проблемами, и поэтому, чтобы наблюдать за всем процессом в действии, давайте рассмотрим наш первый пример уравнения Бернулли.

    Решить дифференциальное уравнение в явном виде:

    Уравнение для примера 1: Решаемое дифференциальное уравнение

    Найдя y как функцию от x, имея начальное условие: y (12) = 1y (\ frac {1} {2}) = 1y (21) = 1

    • Шаг первый:

      Начните с деления всего выражения на наивысшую степень y, которую вы можете найти.Уравнение для примера 1 (а): деление на наивысшую степень
    • Шаг второй:

      В этом случае n = 3, поэтому мы устанавливаем z и z ‘и подставляем их в нелинейное уравнение:

      Уравнение для примера 1 (b): задание z и z ‘и подстановка их в дифференциальное уравнение Обратите внимание, что это последнее уравнение – это просто преобразованное дифференциальное уравнение после замены z. Теперь вы можете видеть, что уравнение для примера 1 (b) является линейным дифференциальным уравнением вида: Уравнение для примера 1 (c): идентификация M и N в дифференциальном уравнении
    • Шаг третий:

      Имея более простое выражение, теперь мы можем использовать любой из двух методов, которые мы видели в предыдущих разделах, чтобы найти решение линейного дифференциального уравнения.Итак, вопрос в том, как выбрать между методом точных дифференциальных уравнений и методом интегрирующих множителей?

      Как правило, мы предлагаем вам сначала попытаться решить эти проблемы методом точных уравнений, если невозможно найти решение таким способом, а затем перейти к использованию интегрирующего множителя.

      Итак, мы пытаемся решить уравнение в примере 1 (b) с помощью техники точных уравнений. Для этого нам нужно выполнить условие, что частная производная M по z равна частной производной N по x.

      Уравнение 7. Общее условие для техники точных дифференциальных уравнений. Получение частных производных от M и N следующим образом: Уравнение для примера 1 (d): проверка, является ли дифференциальное уравнение точным (нет) Мы пока не можем использовать метод точных уравнений, нам нужно найти интегрирующий множитель, чтобы получить точное уравнение и продолжить.
    • Шаг четвертый:

      Следуя методу интегрирования множителей, чтобы найти точное уравнение для решения, мы умножаем уравнение из примера 1 (b) на множитель, который мы называем “мю из x” (что означает, что этот множитель, обозначенный греческой буквой “мю”, является функция от x).

      Уравнение для примера 1 (e): использование метода интегрирующих коэффициентов для преобразования уравнения в точное уравнение Обратите внимание, что, поскольку μ (x) = μ \ mu (x) = \ muμ (x) = μ, мы упростили обозначения, чтобы уравнения выглядели аккуратнее.

      Теперь мы еще раз проверяем условие Mz = NxM_z = N_xMz = Nx, но на этот раз мы устанавливаем его как правильное:

      Уравнение для примера 1 (f): задание условия для преобразования дифференциального уравнения в точное уравнение Мы могли быстро (и ошибочно) предположить, что эти частные производные не дают одинаковых результатов, и поэтому этот метод не даст результата. 2} μ = x21
    • Шаг шестой:

      Зная коэффициент интеграции, теперь мы можем умножить его на наше уравнение, например, 1 (b), и проверить, есть ли у нас теперь точное уравнение:

      Уравнение для примера 1 (h): недавно найденное дифференциальное уравнение со значением интегрирующего коэффициента Уравнение для примера 1 (i): выполнено условие для точного уравнения дифференциального уравнения Таким образом, теперь у нас есть точное дифференциальное уравнение, и мы можем использовать метод точных уравнений для решения дифференциального уравнения.
    • Шаг седьмой:

      Точное уравнение имеет вид:

      Уравнение 8: Общий вид точного уравнения Мы связываем эту общую форму с нашим уравнением, например, 1 (h), где мы видим, что: Уравнение для примера 1 (j): Связывание наших значений M и N с членами, найденными в общей форме точного уравнения Итак, мы можем выбирать между интегрированием M или N, чтобы получить Ψ (x, z) \ Psi (x, z) Ψ (x, z). Итак, мы можем выбирать между интегрированием M или N, чтобы мы могли получить Уравнение для примера 1 (k): интегрирование N для нахождения Psi Теперь найдем f (x), взяв частную производную этого уравнения по x: Уравнение для примера 1 (l): взяв частную производную от Psi по x, чтобы найти неизвестную функцию от x Используя подход разделяемых уравнений для решения для f (x), чтобы мы могли найти решение нашего уравнения, например, 1 (b): Уравнение для примера 1 (m): найти f (x) и подставить его в Psi

      Заменим выражение для z на y: z = 1y2z = \ frac {1} {y ^ 2} z = y21

      И мы можем получить окончательное решение нашего исходного дифференциального уравнения, например 1:

      Уравнение для примера 1 (n): подставляем выражение для z, чтобы найти окончательное общее решение нашего исходного дифференциального уравнения
    • Шаг восьмой:

      Мы вводим начальное условие y (12) = 1y (\ frac {1} {2}) = 1y (21) = 1, чтобы найти явное решение уравнения (a):

      Уравнение для примера 1 (o): определение значения C путем ввода начальных условий

      Итак, решив исходное нелинейное дифференциальное уравнение для примера 1 с заданными условиями, находим, что:

      Уравнение для примера 1 (p): окончательное решение для Psi И мы наконец можем решить для y! Уравнение для примера 1 (q): окончательное решение для y

      Если дошли до конца, поздравляем! Хотя это немного утомительно, вы, вероятно, заметили, что, за исключением первых двух шагов, это был не новый материал, и, надеюсь, методология имеет смысл.Мы суммировали все шаги, выполненные на последних страницах для явного примера в следующем списке, чтобы у вас была ссылка, чтобы быстро прийти и проверить, пока вы выполняете независимое исследование.

    Метод уравнения Бернулли, обобщенные шаги:

    1. Разделите данное выражение на наибольшую степень y, которую вы можете найти.

    2. Определите n, z и z ‘и замените z и z’ в исходном нелинейном уравнении, чтобы преобразовать его в линейное выражение вида:

    3.Решите линейное дифференциальное уравнение, сначала проверив, является ли уравнение точным. Условие для точных уравнений гласит, что частная производная M по z равна частной производной N по x. Если условие выполняется, решите проблему методом точных дифференциальных уравнений.

    4. Если условие не выполняется, умножьте выражение на интегрирующий коэффициент μ \ muμ

    1. Определите новые M (x, z) и N (x, z) в выражении и получите их соответствующие частные производные и задайте условие, чтобы уравнение было «совершенным».

    5. Решите относительно μ \ muμ, используя метод разделимых уравнений.

    6. Умножьте известное выражение для μ \ muμ и проверьте, удовлетворяет ли оно условию точного уравнения.

    7. Если условие наверху выполняется, решите уравнение с помощью метода точных уравнений.

    1. Не забудьте снова подставить значение z в окончательное решение, чтобы получить решение в терминах x и y вместо x и z.

    8. Если заданы начальные условия, используйте их, чтобы найти явное решение уравнения.

    1. Не забудьте в конце решить для y.

    Решение дифференциальных уравнений Бернулли

    В этом разделе мы будем решать примеры дифференциальных уравнений Бернулли и то, как мы преобразуем их в линейные дифференциальные уравнения. Обратите внимание, что для каждого случая мы будем проходить только шаги 1 и 2, перечисленные выше, поскольку это шаги преобразования нелинейного дифференциального уравнения в линейное. Остальные шаги в основном представляют собой обзор точных уравнений, интегрирующего множителя и даже техник разделимых уравнений, поэтому мы будем сохранять простоту и работать только с шагами, содержащими метод уравнения Бернулли.

    По той же причине примеры не содержат их явных решений.

    Мы рекомендуем вам попрактиковаться в том, как закончить полное решение для этих примеров, пройдя метод интегрирующих множителей с точными уравнениями до седьмого шага. Вы не можете пойти дальше, поскольку для каждого из этих примеров не будут указаны условия, тем не менее, большая часть процесса может быть выполнена, что позволит вам повторно изучить несколько прошлых уроков сразу.

    Мы завершаем эту статью, рекомендуя вам посетить следующие заметки о дифференциальных уравнениях по уравнению Бернулли, где вы можете найти информацию и примеры (даже графические изображения), чтобы дополнить ваше понимание этого урока.

    14.6 Уравнение Бернулли – University Physics Volume 1

    Учебные цели

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Объясните члены уравнения Бернулли
    • Объясните, как уравнение Бернулли связано с сохранением энергии
    • Опишите, как вывести принцип Бернулли из уравнения Бернулли.
    • Выполнение расчетов по принципу Бернулли
    • Опишите некоторые применения принципа Бернулли.

    Как показано на рисунке 14.27, когда жидкость течет в более узкий канал, ее скорость увеличивается. Это означает, что его кинетическая энергия также увеличивается. Повышенная кинетическая энергия возникает из-за чистой работы, выполняемой жидкостью, чтобы протолкнуть ее в канал. Кроме того, если жидкость меняет вертикальное положение, с ней действует сила тяжести.

    При сужении канала возникает перепад давления. Эта разница давлений приводит к результирующей силе, действующей на жидкость, потому что давление, умноженное на площадь, равно силе, и эта чистая сила действительно работает.Напомним теорему об энергии работы

    . Wnet = 12mv2−12mv02.Wnet = 12mv2−12mv02.

    Произведенная чистая работа увеличивает кинетическую энергию жидкости. В результате в быстро движущейся текучей среде давление падает независимо от того, заключена она в трубку или нет.

    Есть много распространенных примеров падения давления в быстро движущихся жидкостях. Например, занавески для душа имеют неприятную привычку выпирать в душевую кабину, когда душ включен. Причина в том, что высокоскоростной поток воды и воздуха создает область более низкого давления внутри душа, тогда как давление на другой стороне остается на уровне стандартного атмосферного давления.Эта разница давлений приводит к возникновению чистой силы, толкающей завесу внутрь. Точно так же, когда автомобиль проезжает мимо грузовика на шоссе, кажется, что эти два автомобиля тянутся навстречу друг другу. Причина та же: высокая скорость воздуха между автомобилем и грузовиком создает область более низкого давления между транспортными средствами, и они сталкиваются друг с другом за счет большего давления снаружи (рис. 14.29). Этот эффект наблюдался еще в середине 1800-х годов, когда было обнаружено, что поезда, идущие в противоположных направлениях, опасно наклоняются навстречу друг другу.

    Фигура 14.29 Вид сверху автомобиля, проезжающего грузовик по шоссе. Воздух, проходящий между транспортными средствами, проходит по более узкому каналу и должен увеличивать свою скорость (v2v2 больше, чем v1v1), в результате чего давление между ними падает (pipi меньше po) .po). Более сильное давление снаружи сближает автомобиль и грузовик.

    Сохранение энергии и уравнение Бернулли

    Применение принципа сохранения энергии к ламинарному потоку без трения приводит к очень полезному соотношению между давлением и скоростью потока в жидкости.Это соотношение называется уравнением Бернулли в честь Даниэля Бернулли (1700–1782), который опубликовал свои исследования движения жидкости в своей книге Hydrodynamica (1738).

    Рассмотрим несжимаемую жидкость, протекающую по трубе различного диаметра и высоты, как показано на рис. 14.30. Нижние индексы 1 и 2 на рисунке обозначают два местоположения вдоль трубы и иллюстрируют взаимосвязь между площадями поперечных сечений A , скоростью потока v , высотой от земли y и давлением p . в каждой точке.Здесь мы предполагаем, что плотность в двух точках одинакова, поэтому плотность обозначается через ρρ без индексов, а поскольку жидкость несжимаемая, заштрихованные объемы должны быть одинаковыми.

    Фигура 14.30 Геометрия, использованная для вывода уравнения Бернулли.

    Мы также предполагаем, что в жидкости нет вязких сил, поэтому энергия любой части жидкости будет сохранена. Чтобы вывести уравнение Бернулли, мы сначала вычисляем работу, которая была проделана с жидкостью:

    dW = F1dx1 − F2dx2dW = F1dx1 − F2dx2 dW = p1A1dx1 − p2A2dx2 = p1dV − p2dV = (p1 − p2) dV.dW = p1A1dx1 − p2A2dx2 = p1dV − p2dV = (p1 − p2) dV.

    Работа была проделана из-за консервативной силы тяжести и изменения кинетической энергии жидкости. Изменение кинетической энергии жидкости равно

    dK = 12m2v22−12m1v12 = 12ρdV (v22 − v12). dK = 12m2v22−12m1v12 = 12ρdV (v22 − v12).

    Изменение потенциальной энергии

    dU = mgy2 − mgy1 = ρdVg (y2 − y1). dU = mgy2 − mgy1 = ρdVg (y2 − y1).

    Тогда уравнение энергии принимает вид

    dW = dK + dU (p1 − p2) dV = 12ρdV (v22 − v12) + ρdVg (y2 − y1) (p1 − p2) = 12ρ (v22 − v12) + ρg (y2 − y1).dW = dK + dU (p1 − p2) dV = 12ρdV (v22 − v12) + ρdVg (y2 − y1) (p1 − p2) = 12ρ (v22 − v12) + ρg (y2 − y1).

    Преобразование уравнения дает уравнение Бернулли:

    p1 + 12ρv12 + ρgy1 = p2 + 12ρv22 + ρgy2.p1 + 12ρv12 + ρgy1 = p2 + 12ρv22 + ρgy2.

    Это соотношение утверждает, что механическая энергия любой части жидкости изменяется в результате работы, выполняемой жидкостью, находящейся вне этой части, из-за изменения давления на пути. Поскольку две точки были выбраны произвольно, мы можем записать уравнение Бернулли в более общем виде как принцип сохранения вдоль потока.

    Уравнение Бернулли

    Для несжимаемой жидкости без трения комбинация давления и сумма кинетической и потенциальной плотностей энергии постоянна не только во времени, но и вдоль линии тока:

    p + 12ρv2 + ρgy = constant p + 12ρv2 + ρgy = постоянный

    14,16

    Здесь следует особо отметить тот факт, что в динамической ситуации давления на одной и той же высоте в разных частях жидкости могут быть разными, если они имеют разные скорости потока.

    Анализ уравнения Бернулли

    Согласно уравнению Бернулли, если мы проследим небольшой объем жидкости по его пути, различные суммы в сумме могут измениться, но общая сумма останется постоянной. Фактически, уравнение Бернулли представляет собой просто удобное утверждение сохранения энергии для несжимаемой жидкости в отсутствие трения.

    Общая форма уравнения Бернулли состоит из трех членов, и оно широко применимо. Чтобы лучше понять это, давайте рассмотрим некоторые конкретные ситуации, которые упрощают и иллюстрируют его использование и значение.

    Уравнение Бернулли для статических жидкостей

    Сначала рассмотрим очень простую ситуацию, когда жидкость статична, то есть v1 = v2 = 0. v1 = v2 = 0. Уравнение Бернулли в этом случае –

    p1 + ρgh2 = p2 + ρgh3.p1 + ρgh2 = p2 + ρgh3.

    Мы можем еще больше упростить уравнение, положив h3 = 0. h3 = 0. (Любая высота может быть выбрана для нулевой контрольной высоты, как это часто делается для других ситуаций, связанных с гравитационной силой, делая все остальные высоты относительными.) В этом случае мы получаем

    Это уравнение говорит нам, что в статических жидкостях давление увеличивается с глубиной.При переходе от точки 1 к точке 2 в жидкости глубина увеличивается на h2h2, и, следовательно, p2p2 больше, чем p1p1, на величину ρgh2ρgh2. В простейшем случае p1p1 равен нулю в верхней части жидкости, и мы получаем знакомое соотношение p = ρghp = ρgh. (Напомним, что p = ρgh (напомним, что p = ρgh и ΔUg = −mgh.) ΔUg = −mgh.) Таким образом, уравнение Бернулли подтверждает тот факт, что изменение давления из-за веса жидкости равно ρghρgh. Хотя мы вводим уравнение Бернулли для движения жидкости, оно включает в себя многое из того, что мы изучили для статических жидкостей ранее.

    Принцип Бернулли

    Предположим, что жидкость движется, но ее глубина постоянна, то есть h2 = h3h2 = h3. При этом условии уравнение Бернулли принимает вид

    p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22.p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22.

    Ситуации, в которых жидкость течет на постоянной глубине, настолько распространены, что это уравнение часто также называют принципом Бернулли, который представляет собой просто уравнение Бернулли для жидкостей на постоянной глубине. (Обратите внимание еще раз, что это относится к небольшому объему жидкости, когда мы следуем за ней по ее пути.) Принцип Бернулли подтверждает тот факт, что давление падает с увеличением скорости в движущейся жидкости: если v2v2 больше, чем v1v1 в уравнении, то p2p2 должно быть меньше p1p1 для выполнения равенства.

    Пример 14,6

    Расчет давления
    В примере 14.5 мы обнаружили, что скорость воды в шланге увеличилась с 1,96 м / с до 25,5 м / с на пути от шланга к соплу. Рассчитайте давление в шланге, учитывая, что абсолютное давление в насадке равно 1.01 × 105 Н / м 21.01 × 105 Н / м2 (атмосферное, как и должно быть) и в предположении ровного потока без трения.
    Стратегия
    Уровень потока означает постоянную глубину, поэтому применим принцип Бернулли. Мы используем индекс 1 для значений в шланге и 2 для значений в сопле. Таким образом, нас просят найти p1p1.
    Решение
    Решение принципа Бернулли для p1p1 дает p1 = p2 + 12ρv22−12ρv12 = p2 + 12ρ (v22 − v12). p1 = p2 + 12ρv22−12ρv12 = p2 + 12ρ (v22 − v12).

    Подстановка известных значений,

    p1 = 1,01 × 105 Н / м2 + 12 (103 кг / м3) [(25.5 м / с) 2– (1,96 м / с) 2] = 4,24 × 105 Н / м2. P1 = 1,01 × 105 Н / м2 + 12 (103 кг / м3) [(25,5 м / с) 2– (1,96 м / с ) 2] = 4,24 × 105 Н / м2.
    Значение
    Это абсолютное давление в шланге, как и ожидалось, больше, чем в форсунке, поскольку v больше в форсунке. Давление p2p2 в сопле должно быть атмосферным, потому что вода выходит в атмосферу без других изменений условий.

    Применение принципа Бернулли

    Существует множество устройств и ситуаций, в которых жидкость течет с постоянной высотой, и поэтому их можно проанализировать с помощью принципа Бернулли.

    Уход

    Люди давно используют принцип Бернулли, используя пониженное давление в высокоскоростных жидкостях для перемещения предметов. При более высоком давлении снаружи высокоскоростная жидкость выталкивает другие жидкости в поток. Этот процесс называется захват . Улавливатели использовались с древних времен в качестве насосов для подъема воды на небольшую высоту, что необходимо для осушения болот, полей или других низинных мест. Некоторые другие устройства, в которых используется принцип уноса, показаны на рисунке 14.31.

    Фигура 14.31 В захватывающих устройствах используется повышенная скорость жидкости для создания низкого давления, которое затем увлекает одну жидкость в другую. (а) В горелке Бунзена используется регулируемое газовое сопло, увлекающее воздух для правильного сгорания. (б) В распылителе используется сжимаемая груша для создания струи воздуха, в которую попадают капли духов. Краскораспылители и карбюраторы используют очень похожие методы для перемещения соответствующих жидкостей. (c) Обычный аспиратор использует высокоскоростной поток воды для создания области более низкого давления.Аспираторы могут использоваться в качестве отсасывающих насосов в стоматологических и хирургических ситуациях или для осушения затопленного подвала или создания пониженного давления в сосуде. (г) Дымоход водонагревателя предназначен для захвата воздуха в трубу, ведущую через потолок.

    Измерение скорости

    На рис. 14.32 показаны два устройства, которые применяют принцип Бернулли для измерения скорости жидкости. Манометр в части (а) подсоединен к двум трубкам, которые достаточно малы, чтобы заметно не мешать потоку.Трубка, обращенная к набегающей жидкости, создает перед ней мертвую точку с нулевой скоростью (v1 = 0v1 = 0), в то время как жидкость, проходящая через другую трубку, имеет скорость v2v2. Это означает, что принцип Бернулли, изложенный в

    p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22

    становится

    p1 = p2 + 12ρv22.p1 = p2 + 12ρv22.

    Таким образом, давление p2p2 над вторым отверстием уменьшается на 12ρv2212ρv22, поэтому жидкость в манометре поднимается на h на стороне, соединенной со вторым отверстием, где

    (Напомним, что символ ∝∝ означает «пропорционально.”) Решая для v2v2, мы видим, что

    Часть (b) показывает версию этого устройства, которое обычно используется для измерения различных скоростей жидкости; такие устройства часто используются в качестве указателей воздушной скорости в самолетах.

    Фигура 14,32 Измерение скорости жидкости на основе принципа Бернулли. (а) Манометр подсоединяется к двум трубкам, которые расположены близко друг к другу и достаточно малы, чтобы не мешать потоку. Трубка 1 открыта на конце, обращенном к потоку. Там создается мертвая зона с нулевой скоростью.Трубка 2 имеет отверстие сбоку, поэтому жидкость имеет скорость v через отверстие; таким образом, там падает давление. Перепад давления на манометре составляет 12ρv2212ρv22, поэтому h пропорционально 12ρv22.12ρv22. (b) Этот тип устройства для измерения скорости представляет собой трубку Прандтля, также известную как трубка Пито.
    Рукав пожарный

    Все предыдущие применения уравнения Бернулли включали упрощающие условия, такие как постоянная высота или постоянное давление. Следующий пример представляет собой более общее приложение уравнения Бернулли, в котором изменяются давление, скорость и высота.

    Пример 14,7

    Расчет давления: сопло пожарного рукава
    Пожарные рукава, используемые при крупных строительных пожарах, имеют внутренний диаметр 6,40 см (рис. 14.33). Предположим, такой шланг пропускает поток 40,0 л / с, начиная с манометрического давления 1,62 × 106 Н / м 21,62 × 106 Н / м2. Шланг поднимается по лестнице на 10,0 м к патрубку с внутренним диаметром 3,00 см. Какое давление в насадке?

    Фигура 14,33 Давление в сопле этого пожарного рукава ниже, чем на уровне земли по двум причинам: вода должна подниматься вверх, чтобы добраться до сопла, и скорость в сопле увеличивается.Несмотря на пониженное давление, вода может оказывать большую силу на все, на что она ударяется, благодаря своей кинетической энергии. Давление в потоке воды становится равным атмосферному, когда она выходит в воздух.

    Стратегия
    Мы должны использовать уравнение Бернулли для определения давления, поскольку глубина не постоянна.
    Решение
    Уравнение Бернулли p1 + 12ρv12 + ρgh2 = p2 + 12ρv22 + ρgh3p1 + 12ρv12 + ρgh2 = p2 + 12ρv22 + ρgh3

    , где индексы 1 и 2 относятся к начальным условиям на уровне земли и конечным условиям внутри сопла, соответственно.Сначала мы должны найти скорости v1v1 и v2v2. Поскольку Q = A1v1Q = A1v1, получаем

    v1 = QA1 = 40,0 × 10–3 м3 / сπ (3,20 × 10–2 м) 2 = 12,4 м / с. v1 = QA1 = 40,0 × 10–3 м3 / сπ (3,20 × 10–2 м) 2 = 12,4 м / с.

    Аналогично находим

    Эта довольно большая скорость помогает добраться до огня. Теперь, взяв h2h2 равным нулю, решаем уравнение Бернулли относительно p2p2:

    . p2 = p1 + 12ρ (v12 − v22) −ρgh3.p2 = p1 + 12ρ (v12 − v22) −ρgh3.

    Подстановка известных значений дает

    p2 = 1,62 × 106 Н / м2 + 12 (1000 кг / м3) [(12,4 м / с) 2– (56,6 м / с) 2] – (1000 кг / м3) (9.6. у (0) = 1

    Стенограмма видео

    , разделы с 6 по 29 здесь имели дело с уравнением. Это немного отличается от того, что мы обсуждали с этим вопросом, называемым уравнением Бернулли. Таким образом, оно очень похоже на дифференциальное уравнение первого порядка, которое мы видели. Только вот это y до конца члена справа. Итак, что мы можем сделать? Это упражнение, в котором вы можете позволить вам просто использовать замену, если вы равняете ширину на единицу с минусом.Это трансформируется в линейное уравнение первого порядка относительно вас. Хорошо, поэтому мы собираемся использовать эту замену для решения этих конкретных уравнений. Что теперь? Они дают нам уравнение, здесь они дают нам, почему Prime минус почему равно минус y в квадрате. Опять же, что было стандартной формой? Стандартная форма была на высоте. Итак, почему простое число плюс p X 1 равно очереди из топора, а тогда уравнение Бернулли состоит в том, почему простое плюс p из X. Почему равно очереди из X? Почему? К концу. Хорошо, в этом случае у нас есть равное, и я хочу преобразовать это в уравнение, которое вы простое плюс один минус в p из X, You равно одному минусу в очереди x.Итак, в этом случае, когда in равно двум, мое уравнение становится простым плюс один минус два. И затем в этом уравнении, что такое p из X Итак, p из X просто минус один, умноженный на вас, равно одному минус два. И что здесь Q из X, Q доступа также просто минус один. Итак, это становится единым целым. Минус два – один минус. Так что это ты премьер. Плюс вы, Эм, так что вы начнете Плюс вы, в этом случае, равное отрицательному, было равным и сказал: Это уравнение, которое нам нужно решить. Итак, вы простое число плюс вы теперь равняетесь единице, мой интегрирующий коэффициент будет равен е к какому? Гм, X Итак, это будет e к X.Итак, чтобы решить это уравнение, у вас будет e к X. Оно было равно вам X. Вы интегрируете обе части этого уравнения относительно X, и вы получаете, что X равно E для X плюс постоянная интегрирования. Итак, это говорит мне, что вы равны единице плюс смотри на минус X Итак, я получаю, что вы равняетесь единице плюс c e к минус x Моя первоначальная подстановка. Эм, это был ты? Итак, в этом случае, если вы посмотрите на это, это была замена. U равно. Почему? К одному минусу в Так ты приравниваешься к одной мине Это в нашем случае и было тоже.Таким образом, вы равняетесь белому на единицу минус два, поэтому отрицательно. Итак, это говорит мне, что один больше Почему хороший плюс ce к минусу X, следовательно, мудрый равен единице над одним плюс ce к минусу X Итак, вот мое решение, почему я мог бы поочередно правильно умножить все на e на X и Я мог бы получить то, что е к х, е к х плюс с. Эти воздушные альтернативные способы использовать это решение этого уравнения. Так что снова может почувствовать себя немного вовлеченным. Но когда у вас есть форма уравнения, которая выглядела так, единственная разница между тем, что мы делали до сих пор, заключается в следующем.С правой стороны у вас есть широкий срок. Если позволишь тебе быть. Почему один минус в этом преобразовании относится к уравнению в терминах вас, это линейное уравнение первого порядка, и мы знаем, как его решить. Итак, мы начали с этой конкретной задачи, где in было равно двум, что дало нам это уравнение, которое необходимо было решить. Я видел это уравнение, а затем вернулся и вычислил.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *