X 4 5 решение. Уравнения онлайн. Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн.
Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн.
I. Линейные уравнения
II. Квадратные уравнения
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным
Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:
Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения.
Многие уравнения более высоких
степеней можно привести к квадратным.
III. Уравнения, приводимые к квадратным.
замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2
2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида
3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a
ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a
Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .
Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0
Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,
, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0
– уравнение не имеет корней.
4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd
Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:
Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.
5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.
Ответ: -2; -0,5; 0
IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?
Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + …+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0
Рассмотрим метод понижения степени уравнения.
Известно, что, если коэффициенты a являются
целыми числами и a n = 1 , то целые
корни уравнения P n (x ) = 0
находятся среди делителей свободного члена a 0 .
Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2
– 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5;
–5; 1; –1. Тогда
P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).
Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).
| 2 | –2 | –6 | 5 | ||
| 1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
| 1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.
Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0
V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.
а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0
| 2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
| –1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
| 1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
x = –1
Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2
+ 5x + 2) = 0.
Значит, корни уравнения: 1; 1; –1;
–2; –0,5.
VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.
Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…
Приложение
Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения – задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается.
На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему.
Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.
Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее.
Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений.
Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно.
Лучшее, по мнению студентов, решение – это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции.
Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета.
Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо – найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории.
В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность.
Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их.
Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи.
Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы.
Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители.
Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение.
В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах.
Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы.
Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная.
Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения – это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов.
Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц.
Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн , вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
| Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
| 1. Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х – 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2. Находим дискриминант D. 3. Находим корни уравнения. | 1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6. Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2.
Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 – 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете
для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн .
При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн – это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.
сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения.
Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.
Решение уравнения x 7. Решение матричных уравнений
для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.
сайт при решении математических уравнений онлайн – это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений .
При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.
{nm}:\]
Прибавляем к исходному уравнению:
Вынесем за скобки \
Выразим \
Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:
Ответ: \
Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений.
Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям.
Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды.
2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные.
После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение.
Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
Приложение
Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения – задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени.
Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов.
Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования.
Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции.
Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение – это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента.
Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус.
В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу.
Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо – найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом.
В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин.
Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида.
Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости.
В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера.
По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество.
Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ.
Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь.
Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям.
Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части.
Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения – это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения.
Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить.
В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.
Читайте также:
2x 0 решить уравнение. Решение линейных уравнений с примерами. Корни квадратного уравнения
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми.
Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ.
2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные.
После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение.
Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
Как решать уравнения?
В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное.
Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение – это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.
Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.
4. Все остальные.)
Всех остальных, разумеется, больше всего, да…) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.
Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.
И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные – третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.
) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.
Но для любых (повторяю – для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа – Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.
Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: “Как решать уравнения? ” лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)
Тождественные преобразования уравнений.
В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.
Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.
Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.
Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.
Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.
Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:
Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:
На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:
х+2 – 2 = 3 – 2
Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем.
Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….
Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа
Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.
Вот и всё.
Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)
Примеры тождественных преобразований уравнений.
Основные проблемы.Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.
Пример для младшеньких.)
Допустим, надо решить вот такое уравнение:
3-2х=5-3х
Вспоминаем заклинание: “с иксами – влево, без иксов – вправо!” Это заклинание – инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас – 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:
3-2х+3х=5
Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ “с никаким” не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:
-2х+3х=5-3
Остались сущие пустяки.
Слева – привести подобные, справа – посчитать. Сразу получается ответ:
В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)
Пример для старшеньких.)
Если Вам нравится этот сайт…Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
4x 3 – 19x 2 + 19x + 6 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 4 – 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1
-1: -4 – 19 – 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 4 ∙ 8 – 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена.
Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x – 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
| 4 | -19 | 19 | 6 | |
| 2 |
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
| Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | ||||||||||
| 2 ∙ 4 – 19 = -11 | ||||||||||
| 2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
| 2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Последнее число – это остаток от деления.
Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
4x 3 – 19x 2 + 19x + 6 = (x – 2)(4x 2 – 11x – 3)
И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения
4x 2 – 11x – 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (-11) 2 – 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня
Мы нашли все корни уравнения.
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн , вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
| Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
| 1. Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х – 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2. 3. Находим корни уравнения. | 1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6. |
Находим дискриминант D. 
Уравнение решений не имеет. Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 – 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете
7.6 Решение систем с исключением Гаусса – Колледжская алгебра 2e
Цели обучения
В этом разделе вы:
- Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
- Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
- Выполнение операций со строками над матрицей.
- Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Рисунок 1 Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).
Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих.
Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.
Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.
Написание расширенной матрицы системы уравнений
Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.
Например, рассмотрим следующую систему уравнений 2×22×2.
3x+4y=74x−2y=53x+4y=74x−2y=5
Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:
[344−2 | 75][344−2 | 75]
Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты.
Это называется матрицей коэффициентов.
[344-2][344-2]
Система уравнений три на три, такая как
3x-y-z=0 x+y=5 2x-3z=23x-y-z=0 x+y=5 2x-3z=2
имеет матрицу коэффициентов
[3−1−111020−3][3−1−111020−3]
и представлен расширенной матрицей
[3−1−111020−3 | 052][3−1−111020−3 | 052]
Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x – термины идут в первом столбце, y – термины во втором столбце и z – термины в первом столбце. третий столбец. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax+by+cz=dax+by+cz=d, чтобы переменные выровнялись. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0,9.0005
Как
Дана система уравнений, напишите расширенную матрицу.
- Запишите коэффициенты x -членов в виде чисел в первом столбце.
- Запишите коэффициенты y -членов в виде чисел во втором столбце.
- Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
- Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.
Пример 1
Запись расширенной матрицы для системы уравнений
Запись расширенной матрицы для заданной системы уравнений.
x+2y-z=32x-y+2z=6 x-3y+3z=4 x+2y-z=32x-y+2z=6 x-3y+3z=4
Решение
В расширенной матрице отображаются коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.
[12−12−121−33 | 364][12−12−121−33 | 364]
Попытайся #1
Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.
4x−3y=113x+2y=44x−3y=113x+2y=4
Написание системы уравнений из расширенной матрицы
Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.
Пример 2
Написание системы уравнений из формы расширенной матрицы
Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−3−52−5−4−354 | −256][1−3−52−5−4−354 | −256]
Решение
Если столбцы представляют переменные x,x,y,y и z,z,
[1−3−52−5−4−354 | −256]→x−3y−5z=−22x−5y−4z=5−3x+5y+4z=6[1−3−52−5−4−354 | −256]→x−3y−5z=−22x−5y−4z=5−3x+5y+4z=6
Попытайся #2
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1-112-13011|51-9][1-112-13011|51-9]
Выполнение операций со строками над матрицей
Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.
Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строчно-ступенчатую форму, в которой единицы по главной диагонали от левого верхнего угла до нижнего правого угла, и нули в каждой позиции ниже главной диагонали как показано.
Эшелонно-строковая форма[1ab01d001]Эшелонно-строчная форма[1ab01d001]
Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам, в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон.
- В любой ненулевой строке первое ненулевое число равно 1. Оно называется ведущим 1.
- Любые строки со всеми нулями помещаются внизу матрицы.
- Любой интерлиньяж 1 ниже и правее предыдущего интерлиньяжа 1.
- Любой столбец, содержащий первую единицу, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.
Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции над строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в ступенчатую форму и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.
- Поменять местами ряды. (Обозначение: Ri↔RjRi↔Rj )
- Умножить строку на константу. (Обозначение: cRicRi)
- Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение: Ri+cRj)Ri+cRj)
Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона.
Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк.
Исключение по Гауссу
Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу AA с числом 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.
a = [A11A12A13A21A22A23A31A32A33] → после гауссовской элиминации = [1B12B1301B23001] A = [A11A12A13A21A22A23A31A32A33] → After haussian lelmination = 1B123A31A32A33] → After haussian alshisa = ntemplisiona = 1B123A31A32A33] → → → → jussa = intrusing = 1B123a31a3333] → → olshisia in vistrisha123a31a32a33] → может использоваться для изменения строк ниже.
Как
Для заданной расширенной матрицы выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.
- В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
- Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
- Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
- Используйте операции со строками, чтобы получить нули вниз по столбцу 2, под записью 1.
- Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
- Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждом элементе вниз по главной диагонали, а ниже не останутся только нули.
- Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.
Пример 3
Решение системы 2×22×2 методом исключения Гаусса
Решение данной системы методом исключения Гаусса.
2x+3y=6 x-y=122x+3y=6 x-y=12
Решение
Сначала запишем это как расширенную матрицу.
[231−1 | 612][231−1 | 612]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
R1↔R2→[1−123|126]R1↔R2→[1−123|126 ]
Теперь у нас есть 1 в качестве первой записи в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на -2,-2, а затем добавив результат в строке 2.
−2R1+R2=R2→[1−105|125]−2R1+R2=R2→[1−105|125]
Остался только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15,15.
15R2=R2→[1−101|121]15R2=R2→[1−101|121]
Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет y=1.y=1. Подставьте обратно y=1y=1 в первое уравнение.
x−(1)=12 x=32x−(1)=12 x=32
Решением является точка (32,1).(32,1).
Попытайся #3
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
4x+3y=11x−3y=−14x+3y=11x−3y=−1
Пример 4
Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений
Использование исключения Гаусса для решения заданного 2×22×2
система уравнений.
2x+y=14x+2y=6 2x+y=14x+2y=6
Решение
Запишите систему в виде расширенной матрицы.
[2142 | 16][2142 | 16]
Получите 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на 12,12.
12R1=R1→[11242 | 126]12R1=R1→[11242 | 126]
Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на −4−4 и добавьте строку 1 к строке 2.
−4R1+R2=R2→[11200 | 124]−4R1+R2=R2→[11200 | 124]
Вторая строка представляет уравнение 0=4.0=4. Следовательно, система несовместна и не имеет решений.
Пример 5
Решение зависимой системы
Решение системы уравнений.
3x+4y=126x+8y=243x+4y=126x+8y=24
Решение
Выполните операции со строками над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить эшелонированную форму строк.
A=[3468|1224]A=[3468|1224]
−12R2+R1=R1→[0068|024]R1↔R2→[6800|240]−12R2+R1=R1→[0068|024 ]R1↔R2→[6800|240]
В последней строке матрицы все нули: 0y=0.
0y=0. Таким образом, существует бесконечное число решений, и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите y.y.
3x+4y=12 4y=12−3x y=3−34x3x+4y=12 4y=12−3x y=3−34x
Таким образом, решением этой системы является (x,3−34x).(x). ,3−34x).
Пример 6
Выполнение операций над строками над расширенной матрицей 3×3 для получения формы строк-эшелонов
Выполнение операций над строками данной матрицы для получения формы строк-эшелонов.
[1−342−56−334 | 366][1−342−56−334 | 366]
Решение
В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом является умножение строки 1 на -2−2 и добавление к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.
−2R1+R2=R2→[1−3401−2−334|306]−2R1+R2=R2→[1−3401−2−334|306]
Далее получаем ноль в строке 3 столбца 1.
3R1+R3=R3→[1−3401−20−616|3015]3R1+R3=R3→[1−3401−20−616|3015]
Далее получаем ноль в строке 3 столбца 2.
6R2+R3=R3→[1−3401−2004|3015]6R2+R3=R3→[1−3401−2004|3015]
Последний шаг должен получить 1 в строке 3, столбце 3.
14R3=R3→[1−3401−2001 | 30154]14R3=R3→[1−3401−2001 | 30154]
Попытайся #4
Запишите систему уравнений в строчно-кулисной форме.
х−2y+3z=9−x+3y=−42x−5y+5z=17 x−2y+3z=9−x+3y=−42x−5y+5z=17
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку для получения ступенчатой формы. Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.
Пример 7
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц.
x-y+z=82x+3y-z=-23x-2y-9z=9x-y+z=82x+3y-z=-23x-2y-9z=9
Решение
Сначала пишем расширенную матрицу.
[1−1123−13−2−9 | 8−29][1−1123−13−2−9 | 8−29]
Далее выполняем операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.
−2R1+R2=R2→[1−1105−33−2−9|8−189]−3R1+R3=R3→[1−1105−301−12|8−18−15]−2R1+R2 =R2→[1−1105−33−2−9|8−189]−3R1+R3=R3→[1−1105−301−12|8−18−15]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами R2R2 и R3.R3. .
Обмен R2 и R3→[1−11801−12−1505−3−18]Обмен R2 и R3→[1−11801−12−1505−3−18]
Затем
−5R2+R3=R3→[1−1101−120057 |8−1557]−157R3=R3→[1−1101−12001|8−151]−5R2+R3=R3→[1−1101−120057|8−1557]−157R3=R3→[1−1101−12001 |8−151]
Последняя матрица представляет эквивалентную систему.
x-y+z=8 y-12z=-15 z=1x-y+z=8 y-12z=-15 z=1
Используя обратную замену, мы получаем решение в виде (4,−3,1).(4,−3,1).
Пример 8
Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц
Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц.
−x−2y+z=−1 2x+3y=2y−2z=0−x−2y+z=−1 2x+3y=2y−2z=0
Решение
Запишите расширенную матрицу.
[−1−2123001−2 | −120][−1−2123001−2 | −120]
Сначала умножьте строку 1 на −1−1, чтобы получить 1 в строке 1 столбца 1. Затем выполните операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.
−R1→[12−123001−2 | 120]−R1→[12−123001−2 | 120]
R2↔R3→[12−101−2230 |102]R2↔R3→[12−101−2230 |102]
−2R1+R3=R3→[12−101−20−12|100] −2R1+R3=R3→[12−101−20−12|100]
R2+R3=R3→[12−101−2000|210]R2+R3=R3→[12−101−2000|210]
Последняя матрица представляет следующую систему.
x+2y-z=1 y-2z=0 0=0x+2y-z=1 y-2z=0 0=0
Из тождества 0=00=0 видно, что это зависимая система с бесконечное количество решений. Затем находим универсальное решение. Решая второе уравнение для yy и подставляя его в первое уравнение, мы можем решить для zz через x.x.
x+2y−z=1 y=2zx+2(2z)−z=1 x+3z=1 z=1–x3x+2y−z=1 +3z=1 z=1−x3
Теперь подставим выражение для zz во второе уравнение, чтобы найти yy через x.
x.
y-2z=0z=1-x3y-2(1-x3)=0y=2-2x3y-2z=0z=1-x3y-2(1-x3)=0y=2-2×3
Общее решение равно (x,2−2×3,1−x3).(x,2−2×3,1−x3).
Попытайся #5
Решить систему с помощью матриц.
x+4y-z=42x+5y+8z=15x+3y-3z=1x+4y-z=42x+5y+8z=15x+3y-3z=1
вопросы и ответы
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Как
Дана система уравнений. Решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора.
- Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [A],[B],[C], ….[A],[B],[C], ….
- Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Пример 9
Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
5x+3y+9z=-1-2x+3y-z=-2-x-4y+5z=1 5x+3y+9z=-1-2x+3y-z=-2-x-4y+5z =1
Решение
Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[539−23−1−1−45 | −1−2−1][539−23−1−1−45 | −1−2−1]
На странице матрицы калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве матричной переменной [A].[A].
[A]=[539-1-23-1-2-1-451][A]=[539-1-23-1-2-1-451]
Используйте функцию ref( в калькулятор, вызвав матричную переменную [A].[A].
ref([A])ref([A])
Evaluate.
[1359515011321−47001−24187]→x+35y+95z= −15y+1321z=−47z=−24187[1359515011321−47001−24187]→x+35y+95z=−15y+1321z=−47z=−24187
Используя обратную замену, решение (61187,−92187,-24187).(61187,-92187,-24187).
Пример 10
Применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролин инвестирует в общей сложности 12 000 долларов США в две муниципальные облигации, одна из которых приносит 10,5% годовых, а другая — 12%.
Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x=x= сумма инвестиций под 10,5% годовых, а y=y= сумма инвестиций под 12% годовых.
x+y=12 0000,105x+0,12y=1,335 x+y=12 0000,105x+0,12y=1,335
В качестве матрицы имеем 90,0 12| 12 0001 335][110.1050.12 | 12 0001 335]
Умножьте строку 1 на −0,105−0,105 и прибавьте результат к строке 2.
[1100,015 | 12 00075][1100,015 | 12,00075]
Тогда
0,015y=75 y=5,0000,015y=75 y=5,000
Итак, 12,000−5,000=7,000,12,0000=7,000.000,0000=7,000.
Таким образом, 5000 долларов были вложены под 12% годовых, а 7000 долларов — под 10,5%.
Пример 11
Применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, один из которых приносит 5% годовых, другой — 8% годовых, а третий — 9% годовых.
Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть xx будет суммой, инвестированной под 5% годовых, пусть yy будет суммой, инвестированной под 8% годовых, и пусть zz будет суммой, инвестированной под 9%.% интерес. Таким образом,
x+y+z = 10 0000,05x+0,08y+0,09Z = 770 2x -z = 0 x+y+z = 10 0000,05x+0,08y+0,09Z = 770 2x -z = 0
В качестве матрицы у нас есть
[1110.050.080.0920−1 | 10 0007700][1110.050.080.0920−1 | 10,0007700]
Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона.
−0,05R1+R2=R2→[11100,030,0420−1|10,0002700]−2R1+R3=R3→[11100,030,040−2−3|10,000270−20,000]10,03R2=R2→[01101430 −2−3|10 0009,000−20 000]2R2+R3=R3→[111014300−13|10 0009 000−2 000]−0,05R1+R2=R2→[11100,030,0420−1|10 0002700]−2R1+R3=R3→ [11100.
030.040−2−3|10,000270−20,000]10,03R2=R2→[01101430−2−3|10,0009,000−20,000]2R2+R3=R3→[111014300−13|10,0009, 000−2,000]
Третья строка говорит нам −13z=−2000;−13z=−2000; таким образом, z=6000.z=6000.
Вторая строка говорит нам y+43z=9000.y+43z=9000. Подставляя z=6000,z=6000, получаем
y+43(6000)=9000y+8000=9000y=1000y+43(6000)=9000y+8000=9000y=1000
Первая строка сообщает нам x+y+z=10 000.x+y+z=10 000. Замена y = 1000y = 1000 и z = 6000, z = 6000, мы получаем
x+1000+6000 = 10 000 x = 3000x+1000+6000 = 10 000 x = 3000
Ответ вкладывается 3000 долларов США. процентная ставка, 1000 долларов США под 8% и 6000 долларов США под 9% годовых.
Попытайся #6
Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов США, чтобы расширить свои запасы. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов.
Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.
7.6 Секционные упражнения
Устный
1.
Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.
2.
Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений.
3.
Существует ли только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы [9].31−2 | 06].[931−2 | 06].
4.
Можно ли решить матрицу, запись которой равна 0 по диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?
5.
Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.
Алгебраический
Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.
6.
8x−37y=82x+12y=38x−37y=82x+12y=3
7.
16y=49x−y=2 16y=49x−y=2
8.
3x+2y+10z=3−6x+2y+5z=13 4x+z=183x+2y+10z=3−6x+2y+5z=13 4x+z=18
9.
x+5y+8z=1912x+3y=43x+4y+9z=-7 x+5y+8z=1912x+3y=43x+4y+9z=-7
10.
6x+12y+16z=4 19x−5y+3z=−9 x+2y=−86x+12y+16z=4 19x−5y+3z=−9 x+2y=−8
Для следующих упражнений напишите линейную систему из расширенной матрицы.
11.
[−256−18 | 526][-256-18 | 526]
12.
[341017 | 10439][341017 | 10439]
13.
[320−1−94857 | 3−18][320−1−94857 | 3−18]
14.
[8291−175003 | 433810][8291−175003 | 433810]
15.
[45−2015887−3 | 122−5][45−2015887−3 | 122−5]
Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.
16.
[1000 | 30][1000 | 30]
17.
[1010 | 12][1010 | 12]
18.
[1245 | 36][1245 | 36]
19.
[−124−5 | −36][−124−5 | −36]
20.
[−2002 | 1−1][−2002 | 1−1]
21.
2x−3y=−95x+4y=58 2x−3y=−95x+4y=58
22.
6x+2y=-43x+4y=-176x+2y=-43x+4y=-17
23.
2x+3y=12 4x+y=142x+3y=12 4x+y=14
24.
−4x−3y=−2 3x−5y=−13−4x−3y=−2 3x−5y=−13
25.
−5x+8y=310x+6y=5−5x+8y=310x+6y=5
26.
3x+4y=12−6x−8y=−24 3x+4y=12−6x−8y=−24
27.
−60x+45y=12 20x−15y=−4−60x+45y=12 20x−15y=−4
28.
11x+10y=4315x+20y=6511x+10y=4315x+20y=65
29.
2x−y=23x+2y=172x−y=23x+2y=17
30.
−1,06x−2,25y=5,51−5,03x−1,08y=5,40−1,06x−2,25y=5,51−5,03x−1,08y=5,40
31.
34x−35y=414x+23y=134x−35y=414x+23y=1
32.
14x−23y=−112x+13y=314x−23y=−112x+13y=3
33.
[100011001 | 314587][100011001 | 314587]
34.
[101110011 | 5020−90][101110011 | 5020−90]
35.
[123056008 | 479][123056008 | 479]
36.
[−0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0,20,8–0,8][–0,10,3–0,1–0,40.20.10.60.10,7 | 0,20,8−0,8]
37.
−2x+3y−2z=3 4x+2y−z=94x−8y+2z=−6−2x+3y−2z=3 4x+2y−z=94x−8y+2z=−6
38.
x+y-4z=-4 5x-3y-2z=0 2x+6y+7z=30 x+y-4z=-4 5x-3y-2z=0 2x+6y+7z=30
39.
2x+3y+2z=1 -4x-6y-4z=-210x+15y+10z=5 2x+3y+2z=1 -4x-6y-4z=-210x+15y+10z=5
40.
x+2y-z=1-x-2y+2z=-23x+6y-3z=5 x+2y-z=1-x-2y+2z=-23x+6y-3z=5
41.
x+2y-z=1-x-2y+2z=-23x+6y-3z=3 x+2y-z=1-x-2y+2z=-23x+6y-3z=3
42.
x+y=2 x+z=1−y−z=−3x+y=2 x+z=1−y−z=−3
43.
x+y+z=100 x+2z=125−y+2z=25x+y+z=100 x+2z=125-y+2z=25
44.
14x−23z=−1215x+13y=4715y−13z=2914x−23z=−1215x+13y=4715y−13z=29
45.
−12x+12y+17z=−5314 12x−12y+14z=3 14x+15y+13z=2315−12x+12y+17z=−5314 12x−12y+14z=3 14x+15y+13z=2315
46.
−12x−13y+14z=−296 15x+16y−17z=431210−18x+19y+110z=−4945−12x−13y+14z=−296 15x+16y−17z=431210−18x+19y+110z= −4945
Расширения
В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы.
47.
x-17+y-28+z-34=0x+y+z=6x+23+2y+z-33=5x-17+y-28+z-34=0x+y+z=6x+ 23+2y+z−33=5
48.
x-14-y+14+3z=-1 x+52+y+74-z=4 x+y-z-22=1x-14-y+14+3z=-1 x+52+y +74−z=4 x+y−z−22=1
49.
x-34-y-13+2z=-1x+52+y+52+z+52=8x+y+z=1x-34-y-13+2z=-1x+52+y+52+ г+52=8х+у+г=1
50.
x-310+y+32-2z=3x+54-y-18+z=32x-14+y+42+3z=32x-310+y+32-2z=3x+54-y-18+ z=32x−14+y+42+3z=32
51.
x-34-y-13+2z=-1x+52+y+52+z+52=7x+y+z=1x-34-y-13+2z=-1x+52+y+52+ г+52=7х+у+г=1
Реальные приложения
Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.
52.
Каждый день в магазине кексов Анжени продается 5000 кексов с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается магазином в день?
53.
В магазине кексов, конкурирующем с Bakari, ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день?
54.
Вы вложили 10 000 долларов на два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года?
55.
Вы вложили 2300 долларов США на счет 1 и 2700 долларов США на счет 2. Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара США, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.
56.
Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным?
57.
Крупный магазин бытовой техники согласился заказать пылесосы у стартапа, основанного студентами инженерного колледжа. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы?
58.
Три самых популярных вкуса мороженого — шоколадное, клубничное и ванильное, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?
59.
В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три вида мороженого составили 16,9% продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%. Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент меньше продаж, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году.
60.
Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке.
61.
Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете.
[Решено] Решение уравнений 5×1 + x2 + x3 + x4 = 4 x1 +
Решение уравнений
5x 1 + x 2 + x 3 + x 2 4 907
x 1 + 7x 2 + x 3 + x 4 = 12
x 1 + x 2 + 6x 3 + x 4 = – 5
x 1 + х 2 + х 3 + 4х 4 = – 6
По методу Гаусса-Джордана
Этот вопрос ранее задавался в
MPSC AE Civil Mains 2017 Official (Paper 1)
Просмотреть все документы MPSC AE >
- -1, -2, 1, 2
- – 1, -2, -1, 2
- -1, 2, -1, 2
- 1, 2, -1, -2
Вариант 4: 1, 2, -1, -2
Бесплатно
MPSC AE CE Mains 2019 Official (документ 1)
2,5 тыс. пользователей
100 вопросов
200 марок
120 минут
Концепция :
Метод Гаусса-Джордана :
- Этот метод используется для упрощения расширенной матрицы до эшелонированной формы с уменьшенным числом строк .
- Ниже приведены шаги, которые необходимо выполнить при использовании метода исключения Гаусса-Жордана –
- Запишите систему в виде расширенной матрицы.
- Посмотрите на первую запись в первой строке. Сделайте эту запись 1, а все остальные записи в этом столбце 0. это называется поворот матрицы вокруг этого элемента.
- Сделав это, спуститесь по диагонали ко второму элементу второго ряда и повернитесь вокруг него.
- Продолжайте до тех пор, пока вся матрица не будет преобразована в сокращенную по строкам форму.
- Найти значения переменных.
Расчет :
,
5x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 3 + x ).0005 x 1 + 7x 2 + x 3 + x 4 = 12 …(2) x 1 + x 2 + 6x 3 + x 4 = – 5 ….(3) x 1 + x 2 + x 3 + 4x 4 = – 6 …..(4) записывается в виде матриц следующим образом – \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1&1&{ 1}\\ 1&7&1&1\\ 1&{ 1}&{ 6}&1 \ \1&1&1&4\\ \end{массив}} \right]\left[ {\begin{массив}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}\ \{x_4}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { 4}\\ {12}\\ { – 5}\\{ -6} \end{массив}} \right]\) ⇒ [A][X] = [D] . Здесь \([A] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1&1&{ 1}\\ 1&7&1&1\\ 1&{ 1}&{ 6}&1 \\1&1&1&4\\ \end{array}} \right]\) \([D] = \left[ {\begin{array }{*{20}{c}} { 4}\\ {12}\\ { -5}\\-6 \end{массив}} \right]\) \([X] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1}\\ {x_2}\\ {x_3}\\{x_4} \end{array}} \right]\) Шаг 1: Написание матрицы дополнений \(\следовательно[A~\vdots ~D] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1&1&1\\ 1&7&1&1\\ 1&1&6&1\\1&1&1&4 \end{array}}{\ begin{array}{*{20}{c}} { \vdots}\\ {\vdots}\\ { \vdots} \end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} { 4}\\ {12}\\ { – 5}\\-6 \end{array}} \right]\) Шаг 2: Применение элементарных преобразований или поворот матрицы расширения а) R 1 → \(\ frac{1}{5}\)R 1 \( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0,20&{0,20}&0 .20\\ 1&7&1&1\\ 1&{ 1}&{ 6}&1\\1&1&1&4\end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} { \vdots}\\ {\vdots} \\ { \vdots} \end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} { 0. б) Р 2 → Р 2 – Р 1 ; R 3 → R 3 – R 1 ; R 4 → R 4 – R 1 \( = \left [ {\ begin {array} {* {20} {c}} 1&0,2&{0,2}&0,2\\ 0&6. 8&0,8&0,8\\ 0&{ 0,8}&{ 5,8}&0,8\\0&0,8&0,8&3,8 \end{массив}}{\begin{массив}{*{20}{c}} { \ vdots}\\ {\vdots}\\ { \vdots} \end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} {0,8}\\ {11,2}\\ {-5,8}\ \-6.8 \end{массив}} \right]\) c) R 2 → \(\frac{1}{6.8}\)R 2 \( = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0. 2&{0,2}&0,2\\ 0&1&\frac{2}{17}&\frac{2}{17}\\ 0&{ 0,8}&{ 5,8}&0,8\\0&0,8&0,8&3,8 \ end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} { \vdots}\\ {\vdots}\\ { \vdots} \end{array}}{\begin{array}{* {20}{c}} { 0.8}\\ {\frac{28}{17}}\\ { -5.8}\\-6.8 \end{массив}} \right]\) d) R 3 → R 3 – 0,8R 2 ; Р 4 → R 4 – 0,8R 2 \( = \left [ {\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 0,2 & {0,2} & 0,2 \\ 0 & 1 & \ frac { 2}{17}&\frac{2}{17}\\ 0&{ 0}&{ \frac{97}{17}}&\frac{12}{17}\\0&0&\frac{12}{17 }&\frac{63}{17} \end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} { \vdots}\\ {\vdots}\\ { \vdots} \end{ array}}{\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{4}{5}}\\ {\frac{28}{17}}\\ { -\frac{121}{ 17}}\\-\frac{138}{17} \end{array}} \right]\) e) R 3 → \(\frac{17}{97}\)R 3 \( = \left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} 1 & 0,2 & {0,2} & 0,2 \\ 0 & 1 & \ frac {2} {17 }&\frac{2}{17}\\ 0&{ 0}&{ 1}&\frac{12}{97}\\0&0&\frac{12}{17}&\frac{63}{17} \ end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} { \vdots}\\ {\vdots}\\ { \vdots} \end{array}}{\begin{array}{* {20}{c}} {\ frac {4} {5}} \\ {\ frac {28} {17}} \\ { -\ frac {121} {97}} \\- \ frac {138} {17} \end{array}} \right]\) f) R 4 → R 4 – \(\frac{12}{17}\)R 3 \( = \left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} 1 & 0,2 & {0,2} & 0,2 \\ 0 & 1 & \ frac {2} {17} & \ frac { 2}{17}\\ 0&{ 0}&{ 1}&\frac{12}{97}\\0&0&0&\frac{351}{97} \end{массив}}{\begin{массив}{*{ 20}{c}} { \vdots}\\ {\vdots}\\ { \vdots} \end{array}}{\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{4}{ 5}}\\ {\frac{28}{17}}\\ { -\frac{121}{97}}\\-\frac{702}{97} \end{array}} \right]\) Шаг 3: Решение для переменных – Теперь сокращенные уравнения можно записать как – x 1 + 0,2x 2 + 0,2x 3 + 0,2x 4 = \(\frac{4}{5}\) . x 907 \(\frac{2}{17}\)x 3 + \(\frac{2}{17}\)x 4 = \(\frac{28}{17}\) …( 7) x 3 + \(\frac{12}{97}\)x 4 = \(-\frac{121}{97}\) …(8) \(\ frac{351}{97}\)x 4 = \(-\frac{702}{97}\) ….(9) Решение (6), (7), (8) и (9) x 4 = -2 x 3 = -1 x 2 = 2 x 1 = 5 1 9000 Скачать решение PDF Поделиться в WhatsApp Последние обновления MPSC AE Последнее обновление: 22 сентября 2022 г. Комиссия государственной службы Махараштры (MPSC) объявила окончательный результат MPSC AE после основного экзамена, который проводился с 9 по 13 мая 2022 года, с 23 по 27 мая 2022 года и с 30 по 31 мая 2022 года. Всего 217 вакансий. были выпущены для MPSC AE 2020. Вскоре MPSC также опубликует официальное уведомление о наборе в MPSC AE 2022. Можете ли вы сложить в уме первые 10 чисел? Как насчет первых 100 или первой тысячи? В твоей голове! Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком. История гласит, что в школе, в возрасте 8 лет, он очень быстро смог сложить первые 100 чисел. Мне нравится думать об учителе, который использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс в течение длительного времени, пока он вздремнул. Он знал, что его ждет долгий период тишины, пока класс работает в поте лица. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы занять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым 8-летним ребенком. В мгновение ока Гаусс выдал 5050. Но он не только мог так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и обосновал правильность своего ответа. Вы можете прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов. Было бы неплохо написать кое-что о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие у него были бытовые проблемы и тому подобное. Стоило бы достать карту современной Германии и показать, где находится Брауншвейг (Брауншвейг). Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой восточно-западной границы Германии. Так в чем же хитрость и как с ее помощью произвести впечатление на друзей и коллег? Сначала я сложу целые числа от 1 до 10, чтобы вы могли увидеть, как все работает. Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. Интересно, что если сложить числа в другую сторону получаем тот же ответ. Ну очевидно же! Но давайте все же. S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. И что? Что ж, я облегчу понимание «ну и что», поместив эти два способа написания S друг под другом. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим все дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но потерпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться? К счастью для Гаусса и нас, 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11. Все эти пары числа в сумме дают 11! Это означает, что 2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11. Таким образом, S = 5 × 11 = 55. Но этот трюк нельзя проделывать снова, и снова, и снова. Так что мы будем доить его изо всех сил. Давайте сложим числа Гаусса, все целые числа от 1 до 100. Снова пусть S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100. Теперь вы видите, что я поленился и опустил все числа от 6 до 97. Но мы с вами знаем, что они действительно там. О очереди! S = 100 + 99 + 98 + … + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Теперь давайте сложим эти две величины вместе и посмотрим, что получится. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100. равно 101. Каждая пара чисел, расположенная одна над другой, дает в сумме 101. Таким образом, 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101. 101 есть. Но это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые в сумме дают 101. Итак, 2S = 100 × 101, Это означает, что S = 50 × 101 = 5050. И Гаусс опередил нас всего на столетие или два. Теперь вы видите, как быстро сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона? Я сделаю еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаюсь обобщить то, что мы делали. S = 1 + 2 + 3 + … + 65 + 66 + 67. S = 67 + 66 + 65 + … + 3 + 2 + 1. На этот раз ключ 68. В конце концов, 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 = … Итак, 2S = 68 + 68 + 68 + … + 68 + 68 + 68. находятся. Но мы начали с шестидесяти семи номеров, поэтому у нас должно быть шестьдесят семь 68-х. Таким образом, 2S = 67 × 68, или S = 67 × 34 = 2278. Есть какие-нибудь предположения относительно общей закономерности? Думаю, у нас должно быть достаточно информации, чтобы найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится. Давайте посмотрим, что у нас есть, чтобы увидеть, можем ли мы сделать предположение, догадку о том, что происходит на самом деле. Мы начали с n = 10 и получили S = 10 × 11 ÷ 2; затем n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2; затем n = 67 дало нам S = 67 × 68 ÷ 2, Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2. Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равно S = (n x (n +1)) / 2. Можем ли мы обосновать, доказать это? Пусть S будет суммой чисел от 1 до n, каким бы ни было n. Если ваша алгебра немного заржавела, измените n ниже на «любое число», измените n – 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее. Проверенным методом получаем S = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n. S = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1. Итак, делая то, что сейчас естественно, мы получаем 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1). Поскольку изначально было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак, 2S = n × (n + 1). Таким образом, S = (n x (n+1))/2, Похоже, мы угадали с догадкой. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами. (i) Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15? (ii) Конечно, S должно быть целым числом, так как мы складываем первые n целых чисел. (iii) Что эта формула говорит словами? Но вам не обязательно складывать только первые несколько чисел. Предположим, мы хотим сложить все числа от 8 до 93. Как мы можем это сделать? Мне кажется, что мы могли бы сделать это по крайней мере тремя способами, но я не буду возиться с тем, где вы складываете числа вместе по одному. Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы делали в других примерах. Я оставлю вас сделать это, чтобы посмотреть, что вы получите. Метод 2: С другой стороны, мы могли бы сначала добавить 1 к 7, а затем 1 к 93, используя нашу формулу. Тогда мы могли бы вычесть меньшее из большего. Вот так: В 1 + 2 + … + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел равна (7 x 8) / 2 = 28. В 1 + 2 + … + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел равна (93 x 94)/2 = 4371. Таким образом, сумма, которую мы ищем, равна 4371 – 28 = 4343. Вы можете хотелось бы подумать над следующими вопросами, прежде чем продолжить. (iv) Существует ли формула для суммы чисел от любого выбранного вами числа (например, 8) до любого другого выбранного вами числа (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу? (v) Видите, как мы постепенно усложняем ситуацию? Это путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире. (vi) В свете мысли в (v), куда нам двигаться дальше? Каков следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пытались перейти от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были одним. Можем ли мы добиться какого-либо прогресса, если шаги больше, чем один? (vii) В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не просто складываются из нескольких первых чисел? Какой может быть эта формула на словах? Вам снова придется подумать о том, как лучше представить этот материал для ваших сотрудников, но как насчет следующего? Настройте их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса. Попробуйте их на других примерах. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им прибавить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы. Тогда они должны думать, что вы знаете, чего они не знают? Предложите им сделать несколько примеров и попросите их предположить, что это за закономерность. В зависимости от того, насколько хорошо идут дела, вы можете перейти к некоторым арифметическим прогрессиям, где общая разность не равна 1 (см. раздел 8). С заинтересованной группой вы могли бы даже сделать доказательство. Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его важности на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем в ссылке, которую я дал выше. Немного истории никогда не сбивается с пути. В этом разделе мы завершаем работу, проделанную в разделах со 2 по 6. Конечно, насколько далеко вы продвинетесь с этой задачей, будет зависеть от алгебраической уверенности вашего персонала, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если вы думаете, что он лопнет, как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение за вами, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара. Теперь я попытаюсь найти формулу для суммы строки чисел, в которой шаг от одного числа к другому всегда одинаков. Я сделаю два примера, а затем решу задачу в целом. Первый пример: Сложите числа 2 + 4 + 6 + … + 64 + 66 + 68. Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 2 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед, затем назад у нас есть S = 2 + 4 + 6 + … + 64 + 66 + 68. S = 68 + 66 + 64 + … + 6 + 4 + 2. Значит, что 2S = 70 + 70 + 70 + … + 70 + 70 + 70. Единственная проблема сейчас заключается в том, сколько здесь терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 2, у нас было бы 1 + 2 + 3 + … + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, в S должно быть 34 члена. Таким образом, 2S = 34. × 70 и S = (34 x 70)/2 = 1190. Вы можете проверить это одним из других методов, но это немного похоже на формулу, которую мы нашли в разделе 5. Второй пример: Сложите числа 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60. Это можно сделать несколькими способами. S = 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60. S = 60 + 57 + 54 + … + 15 + 12 + 9, Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 + … + 69 + 69 + 69. Единственная проблема заключается в том, сколько здесь терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, то получили бы 3 + 4 + 5 + … + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20 – 2 = 18 терминов, в S должно быть 18 терминов. Таким образом, 2S = 18 × 69 и S = (18 x 69) / 2 = 621. Возможно, вы захотите проверить это одним из других способов. Есть ли здесь закономерность? Эти слова кажутся знакомыми? Общий пример: Прежде всего, можем ли мы угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и где-то заканчиваются, но где шаг между числами всегда одинаков. Ну, мы знаем, что когда мы прибавляли от 1 к n, числа были n и n + 1. Когда мы прибавляли от 2 к 68, они были 34 и 70; когда мы добавили из 9до 60 они были 18 и 69. Ясно, что в каждом случае большее число является общей суммой, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа являются просто суммой наименьшего и наибольшего чисел. А как насчет 34 и 18? И как они соотносятся с n, полученным при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве они не просто количество чисел, которые мы добавляем? Значит ли это, что формула, которую мы должны получить, содержится в следующей гипотезе? Гипотеза 2: Если S является суммой любой из этих строк, где есть общее различие, S = ( (количество терминов)(сумма первого и последнего чисел))/2 Проверьте формулу для некоторые другие наборы чисел, которые где-то начинаются и увеличиваются на постоянную величину. На данном этапе у нас есть предположение, каким может быть ответ. Это довольно сильная гипотеза, потому что она работает для множества примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для любого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И мы сначала покажем это методом слов, а потом посмотрим, насколько проще то же самое выразить с помощью алгебры. Предположим, что набор чисел представляет собой некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разность, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа. Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами: S = первое число + второе число + … + предпоследнее число + последнее число S = последнее число + предпоследнее число + … + второе число + первое количество. Теперь первое число + последнее число = второе число + предпоследнее число. 2S = (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число) + … + (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число). Но в скобках есть одна из сумм для каждого члена исходной суммы. Таким образом, 2S = (количество терминов)(первое число + последнее число), и, следовательно, S = (количество терминов)(первое число + последнее число) ÷ 2,9.0005 Это то, о чем мы догадывались выше. И теперь мы доказали гипотезу, и она верна для любого набора чисел, которые растут одинаковыми шагами. Эти наборы называются Арифметические прогрессии . Между прочим, математики работали во многом так же, как мы, до изобретения алгебры. Даже в работах Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это не так уж плохо, но может стать очень громоздким. …(5) 80}\\ {12}\\ { – 5} \\-6\end{array} } \справа]\) ..(6) 7 Ожидается, что вакансий будет больше в этом году. С диапазоном заработной платы от рупий. от 41 800 до рупий. 1,32,300, это отличная возможность для соискателей. Уловка Гаусса. Семинар для персонала
Начало работы
И то же самое вы сделаете перед тем, как провести этот семинар для персонала. Пример 1
Пример 2
Многоточие (…) говорит нам именно об этом. Пример 3
Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые первые 67 целых чисел. Обобщение
Итак, мы имеем Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все испортить? Ещё немного
Семинар
Пусть они поработают над этим некоторое время. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в уме. Это должно привести к поиску закономерностей в числах от 1 до 100, которые могли бы облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 9.9 и так далее. Обычно они не задумываются о том, чтобы сложить вместе два лота по S сумм. Но вы можете быстро складывать числа от 1 до 100 и другим способом. Ответы на некоторые вопросы
Прямое сложение — это одно, как и деление всех чисел в сумме на 3 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Таким образом, вперед и назад имеем Из имеющейся у нас информации можем ли мы догадаться, какой может быть формула, прежде чем мы продираемся через алгебраическую путаницу, с которой нам предстоит столкнуться, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы перемножаем вместе, чтобы получить S? Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами. Это потому, что мы идем вверх по общей разности, идущей от первого числа ко второму числу, и вниз по общей разнице, идущей от последнего числа к предпоследнему числу. Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак,