3.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Примеры выполнения заданий:
Задача 1. Решить систему методом Гаусса
Решение: Запишем расширенную матрицу системы
.
В каждой строчке выбираем первый ненулевой элемент и под ним зануляем все элементы, используя элементарные преобразования. Начинаем с первой строки. Обводим первый ненулевой и обозначаем элементы, подлежащие занулению
Сравниваем элементы первого столбца. Первую строку умножаем на 5 и из нее вычитаем семь вторых строк
Эту строку записываем вместо второй.
Первую строку умножаем на 10 и из нее вычитаем семь третьих строк
Эту строку запишем вместо третьей. После преобразования имеем
Выбираем первый ненулевой элемент второй строки
Умножаем вторую строку на 97 и вычитаем из нее третью строку, умноженную на 31
Результат запишем вместо третьей строки
Матрица системы
приведена к верхнетреугольному виду.
Запишем эквивалентную систему
Поднимаемся от последнего уравнения к первому:
1) , ,
2)
3)
Ответ: , , .
Задача 2. Решить систему методом Гаусса
Решение: Запишем расширенную матрицу системы
.
О бведем первый ненулевой элемент первой строки и укажем знаком элементы, которые нужно занулить
Умножаем первую строку на 3 и складываем со второй
Результат запишем вместо второй строки.
Умножаем первую строку на 2 и вычитаем из результата третью строку
Результат запишем вместо третьей строки. Умножаем первую строку на 2 и вычитаем из результата четвертую строку
Результат записываем вместо четвертой строки
Первый ненулевой
элемент во второй строке указан и
обведены
элементы подлежащие занулению.
Какие
элементарные преобразования нужно
сделать для зануления требуемых
элементов? После преобразований получаем
эквивалентную матрицу
В эквивалентной системе
Получили противоречивое равенство. Поэтому система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Задача 3. Решить систему методом Гаусса
Решение: Запишем расширенную матрицу системы
Здесь уже указан первый ненулевой первой строки и обведены элементы под ним, которые нужно занулить. Для зануления требуемых элементов выполнить действия:
Из первой строки вычесть две вторые строки. Результат записать вместо второй строки.
Первую строку умножить на 3 и из результата вычесть две третьи строки. Результат записать вместо третьей строки.
Из первой строки вычесть две четвертые строки. Результат записать вместо четвертой строки.
Результат всех действий
Здесь указан первый
ненулевой элемент второй строки и
обведены элементы под ним, которые нужно
занулить.
Схематически указаны требуемые
действия:
Вторую строку умножаем на 13 и из результата вычитаем девять третьих строк.
Вторую строку складываем с тремя четвертыми строками.
Результат действий
Нулевую строку вычеркиваем. Вторую строку можно разделить на 3.
Результат действий
Первые ненулевые находятся в первом, третьем и пятом столбце. Поэтому , , –зависимые переменные, остальные , – независимые переменные. Запишем эквивалентную систему
Независимые переменные переносим в правые части уравнений
Поднимаемся от последнего уравнения к первому
1)
2)
,
3)
Ответ:
, .
Для самостоятельного решения:
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, Гаусса и матричным способом.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
Методы решений систем уравнений /qualihelpy
1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую уравнений и переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель основной матрицы системы;
2) найти определители (), полученные в результате замены i-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам, которые называют формулами Крамера.
2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений;
Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы:
1) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число;
2) менять местами строки;
3) складывать и вычитать строки;
4) вычеркивать строки, все элементы в которых нули.
3. Решение систем линейных уравнений матричным методом
Систему уравнений, содержащую уравнений и переменных, можно записать в виде матричного уравнения: , откуда .
Чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, необходимо:
1) записать основную матрицу системы;
2) записать матрицу-столбец , состоящую из переменных уравнений системы;
3) записать матрицу , состоящую из столбца свободных членов;
4) найти определитель основной матрицы системы;
5) найти матрицу, обратную матрице ;
6) найти матрицу , умножив матрицу на матрицу .
Пример 1. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение.
- Вычислим определитель основной матрицы системы: . Так как , то решение системы можем найти по формулам Крамера.
- Заменим первый столбец определителя столбцом свободных членов и найдем :
.
3. Заменим второй столбец определителя столбцом свободных членов и найдем :
.
4. Заменим третий столбец определителя столбцом свободных членов и найдем :
.
5. Найдем значения переменных:
Проверка:
Ответ: , , .
Пример 2. Решите систему линейных уравнений матричным методом.
Решение. Запишем матрицы системы:
Так как , то решение системы можем найти матричным методом по формуле .
Матрицу, обратную данной, найдем по формуле:
.
По формуле найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :
, , , , , , , , .
Получим: .
Следовательно, , , .
Пример 3. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
.
С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
.
Решим систему уравнений:
Решая уравнение , получим: .
Решая уравнение , получим: , .
Решая уравнение , получим: , .
Ответ: , , .
1. Методом Крамера и матричным методом можно решать только те системы, которые содержат уравнений и переменных.
2. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера и матричным методом.
3. Если матрица, составленная из коэффициентов при переменных системы линейных уравнений, вырождена, то такая система уравнений может не иметь вовсе решений либо иметь бесконечно много решений.
4. Любую совместную систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Гаусса.
NAIVE-GAUSSIAN-ELIMINATION-MATLAB-Google Suce
AllevideosBildernewsmapsshoppingBücher
Sucoptionen
Gaussian Elmination Technique от Matlab-MathWorks
DE.Mathworks.com ›COPORMARAL. Я пытаюсь решить (nxn) системные уравнения методом исключения Гаусса с использованием Matlab, например, систему ниже:.
Es fehlt: наивно- | Muss Folgendes энтальтен: наивный-
Исключение Гаусса с помощью MatLab – MathWorks
de.mathworks.com › matlabcentral › ответы › 433…
У меня есть вышеуказанная матрица, и я хочу выполнить на ней исключение Гаусса с помощью MatLab, так что я у меня осталась верхняя треугольная матрица.
Es fehlt: наивно- | Muss Folgendes enthalten:naive-
Код Matlab для исключения Гаусса (наивный, частичный поворот, масштабирование…
medium.com › matlab-code-for-gaussian-eliminatio…
19.10.2020 · Исключение Гаусса — это алгоритм решения линейных систем. Его наивная версия обычно преподается уже на уроках алгебры.
3.3| Наивное прямое исключение Гаусса с поворотом в MATLAB
www.youtube.com › смотреть
09.10.2020 · Получить код: https://bit.ly/34KtIQS3 – Решение линейных систем: см. все коды в этом плейлисте. ..
Dauer: 18:36
Прислан: 09.10.2020
Метод исключения Гаусса с кодом MATLAB – YouTube
www.
youtube.com › смотреть
05.05.2021 · Содержание этой видеолекции: Содержание (0:03) Процесс исключения Гаусса (5:15) MATLAB …
Dauer: 25:00
Прислан: 05.05.2021
Ähnliche Fragen
Что такое наивное исключение Гаусса?
Может ли Matlab выполнять исключение Гаусса?
Что такое метод исключения Гаусса в Matlab?
Как вы используете метод Гаусса-Джордана в Matlab?
Исключение Гаусса в Matlab – YouTube
www.youtube.com › смотреть
31.01.2013 · Наивное исключение Гаусса в командном окне Matlab для матрицы 4 x 4. Также используйте команду …
Dauer: 19:08
Прислан: 31.01.2013
Исключение Гаусса в Matlab – Stack Overflow
stackoverflow.com › вопросы › исключение Гаусса… встроенных подпрограмм линейной алгебры — введите help slash , help lu или help chol, чтобы начать работу с некоторыми распространенными …
[PDF] Метод исключения Гаусса с обратной заменой с использованием .