Ряды для чайников mathprofi: Математическое Бюро. Страница 404

{n}}{n !}$

Больше примеров решений Решение производных онлайн

Читать дальше: разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Содержание

Ряды Фурье

Отрицательный аргумент дела не меняет: . Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать.

В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала, интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1 Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:

а)

Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку. Используя правило дифференцирования сложной функции и не забывая, что – это константа, находим производную от первообразной:

– получена исходная

подынтегральная функция, как оно и должно быть.

После интегрирования константа сразу выносится за скобки, и стандартная подстановка

проходит без её участия: сначала в вместо «икс» подставляем верхний предел (ноль), затем нижний предел («минус пи»). Синус нуля равен нулю, и как только что отмечалось, при любом натуральном «эн».

Кстати, результат тут виден сразу – интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю.

Не забываем о промежуточной проверке первообразной:

И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены , а воспользоваться чётностью косинуса:

Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо:

Желательно потому, что в рядах Фурье и без этого гелевый стержень опустеет. Следующие два пункта отличаются усложнённой константой:

Проверка:

Подстановку распишу очень подробно:

Здесь на последнем этапе внесли «минус» в скобку и сделали ответ более компактным, возьмите на заметку этот приём. Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность.

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция

интегрируема на отрезке

, то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:

, где – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число называют периодом разложения, а число –

полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде

.

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины:

период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию

в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить

график функции

, график суммы ряда

, частичной суммы и в случае изощрённых

профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь.

Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Поехали: Пример 2

Разложить функцию

в ряд Фурье на промежутке

. Построить график

, график суммы ряда

и частичной суммы

.

Решение: первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье. Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1)Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2)Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям:

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала. В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по

частям в определённом интеграле

:

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки, так как перед исходным интегралом находится

константа . Не теряем её! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы

интегрирования подставляются в произведение

. Данное действие выделено

квадратными скобками. Ну а интеграл

второго «куска» формулы вам хорошо

знаком из тренировочного задания 😉

Исамое главное – предельная концентрация внимания!

3)Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки. Не хотел

показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание

уделяем первому «куску»: константа

курит в сторонке и не участвует в подстановке

пределов интегрирования ( и

) в произведение

. Ввиду загромождённости

записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым

«куском»

всё проще: здесь дробь

появилась после раскрытия больших

скобок, а константа

– в результате интегрирования знакомого интеграла 😉

(3)В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4)Выносим «мигалку» из квадратных скобок:

,после чего раскрываем внутренние скобки:

.

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения. Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке

:

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее).

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом

значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от

исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда

тоже представляет собой периодическую функцию.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ:

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения: Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию

, заданную на отрезке

. Начертить график

функции и полной суммы ряда.

 

 

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке

) и терпит разрыв 1-го рода в точке

. Можно ли вычислить коэффициенты

Фурье? Без проблем. И левая

и правая

части функции интегрируемы на

своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

 

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале

чертим отрезок прямой

, а на интервале

– отрезок прямой

(жирно-жирно выделяем

участок оси

). То есть, на промежутке разложения

сумма ряда

совпадает с

функцией

везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции

ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине

«скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел:

 

 

, правосторонний предел:

 

и, очевидно,

что ордината средней точки равна 0,5.

 

 

В силу периодичности суммы

, картинку необходимо «размножить» на соседние

периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах

и

. При этом,

в точках

ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Далее возникает закономерный вопрос: если схема работает на отрезке

, то почему

бы её не применить к разложению функций в ряд Фурье на промежутках

 

или на каком-нибудь другом периоде?

 

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4 Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение: фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1)Первый интеграл распишу максимально подробно:

2)Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям:

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем

подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы

. Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем

шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье

в

формулу

 

, не забывая поделить нулевой коэффициент

пополам:

 

 

 

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале

строим прямую

, а на интервале

– прямую

. При нулевом

значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва

и «тиражируем»

график на соседние периоды:

 

 

На «стыках» периодов

сумма также будет равна серединам

«скачка» разрыва

.

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ:

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же,

как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы: Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи»

и произвольном периоде «два эль»

 

.

Предположим, что наша функция

чётна. Общий же член ряда, как вы видите,

содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу,

относятся разложения чётных функций

. Кроме того, они неоднократно

встречались и в моей личной практике:

 

Пример 6

 

 

Дана функция

. Требуется:

 

1)разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2)записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения

, полупериод . В ходе дальнейших действий,

в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция

является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по

косинусам:

.

 

Коэффициенты Фурье ищем по формулам

. Обратите

внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля

, рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Раз:

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

 

 

, при этом

константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ:

 

 

2) Запишем разложение

на промежутке

, для этого в общую формулу

подставляем нужное значение полупериода

:

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика вряд ли нуждается в комментариях:

Хотел ещё построить частичную сумму

, но её график практически совпал

с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.

Ответ:

Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции

. И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным

материалам.

 

 

Если

– нечётная функция, то в разложениях Фурье

,

 

 

оказываются лишними чётные косинусы, из чего

 

следует равенство

. Более того, коэффициент тоже равен нулю, в чём легко

 

убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно

нуля отрезку равен нулю: .

Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:

на промежутке

или

на произвольном периоде.

При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье:

или

 

соответственно.

Небольшая миниатюра для самостоятельного решения: Пример 7

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы ряда не менее чем на трёх периодах

Решение и ответ в конце урока.

Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:

Разложить функцию

в ряд Фурье по косинусам на промежутке

.

Если по условию не нужно чертежа, тихой сапой применяем формулы

 

 

и даём ответ в виде

. Про

чётность можно скромно умолчать 😉

Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать

следующее: разложение по косинусам отобразит отрезок прямой

(чёрная

линия) чётным образом (симметрично относительно оси

) на интервал

(зелёная линия), и, очевидно, функция

будет иметь непрерывный пилообразный

график:

 

 

 

В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически.

Начинающим рекомендую графический метод: сначала на промежутке

чертим отрезок

прямой

, затем, симметрично относительно оси ординат – его «зелёного»

коллегу. Находим уравнение прямой

, которая содержит зелёный отрезок

(устно, или, например, по двум точкам).

 

 

Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому:

 

Разложить функцию

в ряд Фурье.

 

Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам 😉 Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.

Условие чётности

нетрудно проверить и аналитически. В левую часть функции

подставляем «минус икс»:

– в результате чего «на выходе»

получаем правую часть.

 

Решение данного примера есть в соответствующем архиве (Папка Ряды_7), который можно бесплатно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Аналогично вуалируется нечётность:

 

 

Разложить функцию

в ряд Фурье по синусам на промежутке

.

Если чертёж не нужен, ищем коэффициент

и записываем ответ в виде

. О нечётности снова молчок 😉 Однако в любом случае полезно знать

следующее: разложение по синусам отобразит отрезок прямой

 

(чёрная линия)

нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал

(зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда:

Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:

Разложить функцию в ряд Фурье.

Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.

Проверим условие нечётности

аналитически, для этого в левый кусок

функции подставляем «минус икс»:

– в результате

чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.

Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо.

Наш полёт подошёл к концу, и есть такое подозрение, что немалая часть экипажа хочет отправиться в экспедицию на Марс =) Дополнительные задачи с решениями можно закачать в Банке готовых работ, причём среди них есть и более редкие задания по теме –

нахождение спектра амплитуд, суммы ряда в различных точках и т.д. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которую включил примеры, не вошедшие в статью (всётаки нужно соблюдать разумные рамки), а также ряды Фурье повышенной сложности, в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа.

Удачного путешествия – и обязательно возвращайтесь! Решения и ответы:

Пример 1: Решение:

Пример 3: Решение: В данной задаче период разложения

, полупериод

.

Разложим функцию в ряд Фурье:

.

 

Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

Интегрируем по частям:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik. com

Как начать изучение физики с абсолютного нуля? (В школе вообще ничего не учил)?

В зависимости от вашей цели, свободного времени и уровня математической подготовки, возможны несколько вариантов.

Вариант 1

Цель — «для себя», сроки — не ограничены, математика — тоже почти с нуля.

Пособия

Выберите линию учебников поинтереснее, например, трёхтомник Ландсберга, и изучайте его, конспектируя в тетради. Затем пройдите таким же образом учебники Г. Я. Мякишева и Б. Б. Буховцева за 10-11 класс. Закрепите полученные знания — прочтите справочник для 7-11 классов О.Ф. Кабардина.

Если пособия Г. С. Ландсберга вам не подошли, а они именно для тех, кто изучает физику с нуля, возьмите линию учебников для 7-9 классов А. В. Перышкина и Е. М. Гутника. Не нужно стесняться, что это для маленьких детей — порой и студенты-пятикурсники без подготовки «плавают» в Перышкине за 7 класс уже с десятой страницы.

Как заниматься

Непременно отвечайте на вопросы и прорешивайте задания после параграфов.

В конце тетради сделайте для себя справочник по основным понятиям и формулам.

Обязательно находите на Ютубе ролики с физическими опытами, которые встречаются в учебнике. Просматривайте и конспектируйте их по схеме: что видел — что наблюдал — почему? Рекомендую ресурс GetAClass — там систематизированы все опыты и теория к ним.

Сразу заведите отдельную тетрадь для решения задач. Начните с задачника В. И. Лукашика и Е. В. Ивановой для 7-9 классов и прорешайте половину заданий из него. Затем прорешайте задачник А. П. Рымкевича на 70% или, как вариант — «Сборник вопросов и задач по физике» для 10-11 классов Г. Н. и А. П. Степановых.

Пытайтесь решать самостоятельно, подсматривайте в решебник в самом крайнем случае. Если столкнулись с затруднением — ищите аналог задачи с разбором. Для этого нужно иметь под рукой 3-4 бумажные книги, где подробно разбирают решения физических задач. Например, «Задачи по физике с анализом их решения» Н. Е. Савченко или книги И. Л. Касаткиной.

Если вам всё будет понятно, и душа будет просить сложных вещей — берите многотомник Г. Я. Мякишева, А. З. Синякова для профильных классов и прорешивайте все упражнения.

Приглашаем всех желающих изучать физику попробовать курсы в онлайн-школе «Фоксфорд» бесплатно.

Вариант 2

Цель — экзамен ЕГЭ или другой, срок — два года, математика — с нуля.

Пособия

Справочник для школьников О. Ф. Кабардина и «Сборник задач по физике» для 10—11 классов О. И. Громцева О. И. («заточен» под ЕГЭ). Если экзамен не ЕГЭ, лучше взять задачники В. И. Лукашика и А. П. Рымкевича или «Сборник вопросов и задач по физике» для 10-11 классов Г. Н. Степановой, А. П. Степанова. Не гнушайтесь обращаться к учебникам А. В. Перышкина и Е. М. Гутника за 7—9 классы, а лучше их тоже законспектируйте.

Упорные и трудолюбивые могут пройтись полностью по книге «Физика. Полный школьный курс» В. А. Орлова, Г. Г. Никифорова, А. А. Фадеевой и др. В этом пособии есть всё необходимое: теория, практика, задачи.

Как заниматься

Система та же, что и в первом варианте:

  • заведите тетради для конспектов и решения задач,
  • самостоятельно конспектируйте и решайте задачи в тетради,
  • просматривайте и анализируйте опыты, например, на GetAClass.
  • Если вы хотите наиболее эффективно подготовиться к ЕГЭ или ОГЭ за оставшееся время, попробуйте курсы в онлайн-школе «Фоксфорд» бесплатно.
    Вариант 3

Цель — ЕГЭ, сроки — 1 год, математика на хорошем уровне.

Если математика в норме, можно не обращаться к учебникам 7—9 классов, а сразу брать 10—11 классы и справочник для школьников О. Ф. Кабардина. В пособии Кабардина содержатся темы, которых нет в учебниках 10—11 классов. При этом рекомендую просматривать видео с опытами по физике и анализировать их по схеме.

Вариант 4

Цель — ЕГЭ, сроки — 1 год, математика — на нуле.

Подготовиться к ЕГЭ за год без базы в математике нереально. Разве что вы будете проделывать все пункты из варианта №2 каждый день по 2 часа.

Преподаватели и репетиторы онлайн-школы «Фоксфорд» помогут достичь максимального результата за оставшееся время. Начните учиться в онлайн-школе «Фоксфорд» бесплатно.

история и влияние математического механизма на развитие науки

Ряд Фурье четной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до р, а не только от 0 до 2р, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =х, построенная на интервале от х=0 до х=р. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f (x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n


Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =x, построенная на интервале от от х=0 до х=р. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис.

Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий билет № 95471

Научный руководитель:доцент, канд.

подпись техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

1. Введение.

2. Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

3. Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l .

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье – французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж. Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

(1)

где ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …,b n , …- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х 0 , в силу периодичности функций

(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и

, т. е. S(x 0 +T)=S(x 0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

(3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

, , .

Таким образом,

, откуда . (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ ( s) (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

(6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем


Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны – это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+…+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+…,

где a o , a 1 ,a 2 ,. ..,b 1 ,b 2 ,.. – действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда – использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+…+c n sin(nx+α n)

Где a o – константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 – амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т. е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:


На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:


На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $\lambda$ и вектор $x\in L, x\neq 0$ таковы, что $$Ax=\lambda x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ Тогда число $\lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $\lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-\lambda E)X=0,\,\,\,\, X\neq 0.\qquad\qquad\quad\quad (2)$$ 

Отсюда следует, что число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-\lambda E)=0,$ т. е. $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)=det(A-\lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $\lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.3=0\Rightarrow \lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=-1$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+E)X=0, X\neq 0$$

$$(A+E)X=\begin{pmatrix}2+1&-1&2\\5&-3+1&3\\-1&0&-2+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}3x_1-x_2+2x_3\\5x_1-2x_2+3x_3\\-x_1-x_3\end{pmatrix}=0.$$

Решим однородную систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2x_3=0\\ 5x_1-2x_2+3x_3=0\\-x_1-x_3=0\end{array}\right.$$ 

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-6+5=-1\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:  $\begin{vmatrix}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{vmatrix}=6+3-4-5=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2+2с=0\\ 5x_1-2x_2+3с=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}3x_1-x_2=-2c\\5x_1-2x_2=-3c\end{array}\right.$$ 

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

$\Delta=\begin{vmatrix}3&-1\\5&-2\end{vmatrix}=-6+5=-1;$

$\Delta_1=\begin{vmatrix}-2c&-1\\-3c&-2\end{vmatrix}=4c-3c=c;$

$\Delta_2=\begin{vmatrix}3&-2c\\5&-3c\end{vmatrix}=-9c+10c=c;$

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{c}{-1}=-c;$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{c}{-1}=-c.$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin{pmatrix}-c\\-c\\c\end{pmatrix}.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}.$ 

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $\lambda=-1;$ $X=c\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}, c\neq 0.2-\lambda-1)=0\Rightarrow \lambda=2.$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=2$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-2E)X=0, X\neq 0$$

$$(A-2E)X=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=$$ $$=\begin{pmatrix}-2x_1-x_2\\x_1-x_2-2x_3\\x_1-x_2-2x_3\end{pmatrix}=0.$$

Решим однородную систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2x_3=0\\x_1-x_2-2x_3=0\end{array}\right.$$ 

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{pmatrix}$ методом окаймляющих миноров:    

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=2+1=3\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка:  $\begin{vmatrix}-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end{vmatrix}=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=3\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2с=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}-2x_1-x_2=0\\x_1-x_2=2c\end{array}\right.$$ 

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

 

$\Delta=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&-1\end{vmatrix}=2+1=3;$

 

$\Delta_1=\begin{vmatrix}0&-1\\2c&-1\end{vmatrix}=2c;$

 

$\Delta_2=\begin{vmatrix}-2&0\\1&2c\end{vmatrix}=-4c;$

 

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{2c}{3};$ $x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-4c}{3}.$

 

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin{pmatrix}\frac{2c}{3}\\-\frac{4c}{3}\\c\end{pmatrix}.$

 

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}\\1\end{pmatrix}.$ 

 

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $\alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=\alpha\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}, \alpha\neq 0.$

Ответ: $\lambda=2;$ $X=\alpha\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}, \alpha\neq 0.$

 

 

Домашнее задание.

 

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

 4.135. $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&4&0\\-2&1&2\end{pmatrix}.$

Ответ: $\lambda=2;$ $X=c_1\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.

4.142. $A=\begin{pmatrix}1&-3&1\\3&-3&-1\\3&-5&1\end{pmatrix}.$

Ответ: $\lambda_1=-1,$ $X(\lambda_1)=c\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};$ $\lambda_2=2,$ $X(\lambda_2)=c\begin{pmatrix}4\\1\\7\end{pmatrix};$ $\lambda_3=-2,$ $X(\lambda_3)=c\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}, c\neq 0.$

  {jumi[*4]}

Сходимость ряда фурье онлайн. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем


Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Функция f(x), определенная на отрезке \-1, где I > 0, называется четной, если График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f(x), определенная на отрезке J), где I > 0, называется нечетной, если График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример. а) Функция является четной на отрезке |-jt, jt), так как для всех х е б) Функция является нечетной, так как Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем в) Функция f(x)=x2-x, где не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как Пусть функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке х|. п функцию 4 Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид Находим коэффициенты Фурье. Имеем Применяя дважды интегрирование по частям, получим, что Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так: или, в развернутом виде, Это равенство справедливо для любого х € , так как в точках х = ±ir сумма ряда совпадает со значениями функции f(x) = х2, поскольку Графики функции f(x) = х и суммы полученного ряда даны на рис. Замечание. Этот ряд Фурье позволяет найти сумму одного из сходящихся числовых рядов, а именно, при х = 0 получаем, что Пример 2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию /(х) = х. Функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье, который в силу нечетности этой функции будет иметь вид Интегрируя по частям, находим коэффициенты Фурье Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид Это равенство имеет место для всех х В точках х – ±тг сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции /(х) = х, так как она равна Вне отрезка [-*, я-] сумма ряда является периодическим продолжением функции /(х) = х; ее график изображен на рис. 6. § 6. Разложение функции, заданной на отрезке, в ряд по синусам или по косинусам Пусть ограниченная кусочно-монотонная функция / задана на отрезке . Значения этой функции на отрезке 0| можно доопределить различным образом. Например, можно определить функцию / на отрезке тс] так, чтобы /. В этом случае говорят, что) «продолжена на отрезок 0] четным образом»; ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию /(ж) определить на отрезке [-л-, тс] так, чтобы /(, то получится нечетная функция, и тогда говорят, что / «продолжена на отрезок [-*, 0] нечетным образом»; в этом случае се ряд Фурье будет содержать только синусы. Итак, каждую ограниченную кусочно-монотонную функцию /(ж), определенную на отрезке , можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам. Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам. М Данная функция при ее четном и нечетном продолжениях в отрезок |-х,0) будет ограниченной и кусочно-монотонной. а) Продолжим /(z) в отрезок 0) а) Продолжим j\x) в отрезок (-тг,0| четным образом (рис.tj будет периодической функцией аргумента t с периодом и ее можно разложить на отрезке в ряд Фурье Возвращаясь к переменной ж, т. е. положив, получим Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом 2тг, остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 21. В частности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 21, заданную на отрезке [-/,/] формулой (рис.9). Так как данная функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид Подставляя в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, получим Отметим одно важное свойство периодических функций. Теорема 5. Если функция имеет период Т и интегрируема, то для любого числа а выполняется равенство m. е. интеграл no отрезку, длина которого равна периоду Т, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси. В самом деле, Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая. Это дает и следовательно, Геометрически это свойство означает, что в случае площади заштрихованных на рис. 10 областей равны между собой. В частности, для функции f(x) с периодом получим при Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем Пример 2. Функция x является периодической с периодом В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом Доказанное свойство, в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(x) с периодом 21 можно вычислять по формулам где а – произвольное действительное число (отметим, что функции cos – и sin имеют период 2/). Пример 3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале функцию с периодом 2х (рис. 11). 4 Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах найдем, что для Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так: В точке х = jt (точка разрыва первого рода) имеем §8. Комплексная запись ряда Фурье В этом параграфе используются некоторые элементы комплексного анализа (см. главу XXX, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго обоснованы). Пусть функция f(x) удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке ж] ее можно представить рядом вида Используя формулы Эйлера Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos пх и sin пху будем иметь Введем следующие обозначения Тогда ряд (2) примет вид Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3). Найдем выражения коэффициентов через интегралы. Имеем Аналогично находим Окончательно формулы для с„, с_п и со можно записать так: . . Коэффициенты с„ называются комплексными коэффициентами Фурье функции Для периодической функции с периодом) комплексная форма ряда Фурье примет вид где коэффициенты Сп вычисляются по формулам Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися для данного значения ж, если существуют пределы Пример. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода Данная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть Найдем комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем для нечетных для четных n, или,короче. Подставляя значения), окончательно получим Заметим, что этот ряд можно записать и так: Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций 9.1. Ортогональные системы функций Обозначим через множество всех (действительных) функций, определенных и интегрируемых на отрезке [а, 6] с квадратом, т. е. таких, для которых существует интеграл В частности, все функции f(x), непрерывные на отрезке [а, 6], принадлежат 6], и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана. Определение. Система функций, где, называется ортогональной на отрезке [а, Ь\, если Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю. Интеграл понимается в смысле Лебега. и назовем величину нормой функции Если в ортогональной системе для всякого п имеем, то система функций называется ортонормированной. Если система {у>„(ж)} ортогональна, то система Пример 1. Тригонометрическая система ортогональна на отрезке. Система функций является ортонормированной системой функций на, Пример 2. Косинус-система и синус-система ортонормирована. Введем обозначение являются ортогональными на отрезке (0, f|, но не ортонормированными (при I Ф- 2). так как их нормы COS Пример 3. Многочлены, определяемые равенством, называются многочленами (полиномами) Лежандра. При п = 0 имеем Можно доказать, что функции образуют ортонормированную систему функций на отрезке. Покажем, например, ортогональность полиномов Лежандра. Пусть т > п. В этом случае, интегрируя п раз по частям, находим поскольку для функции t/m = (z2 – I)m все производные до порядка m – I включительно обращаются в нуль на концах отрезка [-1,1). Определение. Система функций {pn(x)} называется ортогональной на интервале (а, Ь) свесом р(х), если: 1) для всех п = 1,2,… существуют интегралы Здесь предполагается, что весовая функция р(х) определена и положительна всюду на интервале (а, Ь) за возможным исключением конечного числа точек, где р(х) может обращаться в нуль.п(я)}- Числа Сп называются коэффициентами Фурье функции f(x) по этой системе. Знак ~ в формуле (6) означает лишь, что числа Сп связаны с функцией /(ж) формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции f(x)). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию f(x)? 9.3. Сходимость в среднем Определение. Последовательность, сходится к элементу ] в среднем, если норма в пространстве Теорема 6. Если последовательность } сходится равномерно, то она сходится и в среднем. М Пусть последовательность {)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции /(х). Это означает, что для всякого при всех достаточно больших п имеем Следовательно, откуда вытекает наше утверждение. Обратное утверждение неверно: последовательность {} может сходиться в среднем к /(х), но не быть равномерно сходящейся. Пример. Рассмотрим последовательность пх Легко видеть, что Но эта сходимость не равномерна: существует е, например, такое, что сколь бы большим ни было л, на отрезке , Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем и пусть Обозначим через с* коэффициенты Фурье функции /(х) по ортонормированной системе ь Рассмотрим линейную комбинацию где n ^ 1 – фиксированное целое число, и найдем значения постоянных, при которых интеграл принимает минимальное значение. Запишем его подробнее Интефируя почленно, в силу ортонормированности системы получим Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят, а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при ак = ск Интеграл называют средним квадратичным приближением функции /(х) линейной комбинацией Тп(х). Таким образом, среднее квадратичное приближение функции/\ принимает минимальное значение, когда. когда Тп(х) есть 71-я частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по системе {. Полагая ак = ск, из (7) получаем Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя Поскольку я здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме т. е. для всякой функции / ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе } сходится. Так как система ортонормирована на отрезке [-х, тг], то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение do справедливое для любой функции /(х) с интегрируемым квадратом.„(х)} знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций /(х) 6 Ч) знаком равенства. Получаемое равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты). Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции /(х) сходятся к функции /(х) в среднем, т.е. по норме пространства 6]. Определение. Ортонормированная система { называется полной в Ь2[ау Ь], если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида с достаточно большим числом слагаемых, т. е. если для всякой функции/(х) € Ь2[а, Ь\ и для любого е > 0 найдется натуральное число nq и числа а\, а2у…, такие, что No Из приведенных рассуждений следует Теорема 7. Если ортонормированием система } полна в пространстве ряд Фурье всякой функции / по этой системе сходится к f(x) в среднем, т. е. по норме Можно показать, что тригонометрическая система полна в пространстве, Отсюда следует утверждение. Теорема 8. Если функция /о ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем. 9.5. Замкнутые системы. Полнота и замкнутость систем Определение. Ортонормированная система функций \, называется замкнутой, если в пространстве Li\a, Ь) не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям В пространстве L2\a, Ь\ понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают. Упражнения 1. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, ж) функцию 2. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 3. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 4. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию 5. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = ж + х. 6. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию п 7. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, ж) функцию /(х) = sin2 х. 8. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, jt) функцию f(x) = у 9. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тт, -к) функцию /(х) = | sin х|. 10. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, тг) функцию /(х) = §. 11. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = sin §. 12. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = п -2х, заданную в интервале (0, х), продолжив ее в интервал (-х, 0): а) четным образом; б) нечетным образом. 13. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию /(х) = х2, заданную в интервале (0, х). 14. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) = 3-х, заданную в интервале (-2,2). 15. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = |х|, заданную в интервале (-1,1). 16. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(x) = 2х, заданную в интервале (0,1).

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:


На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

Ряд Фурье четной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до р, а не только от 0 до 2р, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =х, построенная на интервале от х=0 до х=р. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f (x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n


Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =x, построенная на интервале от от х=0 до х=р. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис.

Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими и математически описываются периодическими функциями. К таким функциям относятся sin (x ) , cos (x ) , sin (wx ), cos (wx ) . Сумма двух периодических функций, например, функция вида , вообще говоря, уже не является периодической. Но можно доказать, что если отношение w 1 / w 2 – число рациональное, то эта сумма есть периодическая функция.

Простейшие периодические процессы – гармонические колебания – описываются периодическими функциями sin (wx ) и cos (wx ). Более сложные периодические процессы описываются функциями, составными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида sin (wx ) и cos (wx ).

3.2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье

Рассмотрим функциональный ряд вида:

Этот ряд называется тригонометрическим ; числа а 0 , b 0 , a 1 , b 1 2 , b 2 …, a n , b n ,… называются коэффициентами тригонометрического ряда. Ряд (1) часто записывается следующим образом:

. (2)

Так как члены тригонометрического ряда (2) имеют общий период
, то и сумма ряда, если он сходится, также является периодической функцией с периодом
.

Допустим, что функция f (x ) есть сумма этого ряда:

. (3)

В таком случае говорят, что функция f (x ) раскладывается в тригонометрический ряд. Предполагая, что этот ряд сходится равномерно на промежутке
, можно определить его коэффициенты по формулам:

,
,
. (4)

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Фурье.

Тригонометрический ряд (2), коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (4), называются рядом Фурье , соответствующим функции f (x ).

Таким образом, если периодическая функция f (x ) является суммой сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.

3.3. Сходимость ряда Фурье

Формулы (4) показывают, что коэффициенты Фурье могут быть вычислены для любой интегрируемой на промежутке

-периодической функции, т.е. для такой функции всегда можно составить ряд Фурье. Но будет ли этот ряд сходиться к функцииf (x ) и при каких условиях?

Напомним, что функция f (x ), определенная на отрезке [ a ; b ] , называется кусочно-гладкой, если она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода.

Следующая теорема дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть
-периодическая функцияf (x ) является кусочно-гладкой на
. Тогда ее ряд Фурье сходится кf (x ) в каждой ее точке непрерывности и к значению 0,5(f (x +0)+ f (x -0)) в точке разрыва.

Пример1.

Разложить в ряд Фурье функцию f (x )= x , заданную на интервале
.

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (4) и метод интегрирования по частям
, найдем коэффициенты Фурье:

Таким образом, ряд Фурье для функции f (x ) имеет вид.

Дисперсионный анализ ANOVA понятным языком

Кирилл Сергеевич Мильчаков

В данной статье пойдет речь о сути применения дисперсионного анализа и смысле это процесса. Казалось бы зачем мне нужен дисперсионный анализ (ANOVA) если существует такой прекрасный и понятный статистический критерий, как т-критерий Стьюедента? Однако, здесь стоит внимательно разобраться. Главное ограничение т-критерия перед дисперсионным анализом состоит в том, что первый предназначен для парных сравнений, то есть ситуации, когда у нас есть только две группы и он нуждается в поправках на множественные сравнения, в случае, если у нас более двух групп, во-вторых представим, если у нас 6 групп и мы ищем статистически значимые различия между ними, сколько попарных сравнений в таком случае нужно сделать? Много 🙂
В таком случае гораздо проще использоваться критерий, который предназначен для ситуаций, когда много групп и который нам даст единый ответ на все изучаемые группы — дисперсионный анализ.

Условия применения дисперсионного анализа ANOVA

Перед тем как приступить к применению дисперсионного анализа, который предназначен для минимизации риска неправильной оценки ошибки 1 рода в случае множественных сравнений необходимо убедиться в соблюдении ряда условий:

  1. Количественный непрерывный тип данных, дискретные данные менее желательны.
  2. Независимые между собой выборки.
  3. Нормальное распределение признака в статистических совокупностях, из которых извлечены выборки.
  4. Равенство (гомогенность) дисперсий изучаемого признака в статистических совокупностях из которых извлечены выборки, проверяется с помощью критерия Levene.
  5. Независимые наблюдения в каждой из выборок.

Статистическая информация для применения однофакторного дисперсионного анализа

Ho в случае однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) подразумевает, что средние генеральных совокупностей из которых были извлечены выборки равны, другими словами все они относятся к одной генеральной совокупности и различия носят случайный характер. Для проверки теорий в случае дисперсионного анализа используется F-распределение. F-статистика принимает только положительные или нулевые значения.

Процедура дисперсионного анализа состоит в определении соотношения систематической (межгрупповой) дисперсии к случайной (внутригрупповой) дисперсии в измеряемых данных. В качестве показателя изменчивости используется сумма квадратов отклонения значений параметра от среднего: SS (от англ. Sum of Squares). Общая сумма квадратов SSTotal раскладывается на межгрупповую сумму квадратов SSBG[1] и внутригрупповую сумму квадратов SSWG[2]:

 

SSTotal = SSBG + SSWG

 

В случае если верна Ho, то как внутригрупповая, так и межгрупповая дисперсии служат оценками одной и той же дисперсии и должны быть приблизительно равны.

Исходя из этого значение F должно быть близко к 1 в случае, если статистически значимых различий все-таки нет. Критическое значение F определяется уровнем значимости (обычно 0,05 или 0,01) и внутригрупповым и межгрупповым числом степеней свободы (ν). Оно достаточно сложно для вычисления, поэтому чаще используются табличные значения с указанием α, νBG, νWG.

Межгрупповое число степеней свободы:

νBG = m – 1.

m – число групп

Внутригрупповое число степеней свободы:

νWG = n – m

n – количество наблюдений в каждой из групп

Апостериорные значения

Однако, при обнаружении статистически значимых отличий мы не сможем сказать лишь об их наличии, но какие именно группы отличаются друг от друга мы определить не сможем, для этого производят так называемые процедуры апостериорных сравнений. Апостериорные сравнения представляют собой попарные сравнения изучаемых групп для обнаружения различий между ними.

Апостериорные сравнения могут быть проведены с помощью критерия Стьюдента для независимых выборок, что может показаться странным, учитывая сказанное ранее о проблеме множественных сравнений. Однако в отличие от простых попарных сравнений при проведении апостериорных сравнений рассчитываются новые критические уровни значимости для удержания ошибки 1 типа в пределах 5 %.

Наиболее простым и наиболее популярным способом коррекции ошибки 1 типа является поправка Бонферрони (Bonferroni), при которой уровень ошибки 1 типа делится на количество сравнений для получения нового критического уровня значимости. Так, если имеется 3 сравнения, то новый критический уровень должен быть 0,05 / 3 = 0,017. Поправка Бонферрони хорошо контролирует ошибку 1 типа, но является очень консервативной и приводит к повышению вероятности ошибки 2 типа (вероятности принятия решения об отсутствии различий там, где они на самом деле есть). Либеральные критерии, (например критерий Тьюки) в свою очередь, завышают вероятность ошибки 1 типа, то есть вероятность принятия решения о наличии различий там, где их нет.

Таким образом, при выборе статистического критерия для апостериорных сравнений необходимо принимать во внимание, как критерии контролируют ошибки 1 и 2 типов и как они работают при несоблюдении необходимых условий применения дисперсионного анализа.

Если данные не подчиняются нормальному распределению, то при анализе можно использовать два способа: применением различных арифметических преобразований до достижения нормальности распределения и дальше уже применять дисперсионный анализ, или использовать критерий Краскела-Уоллиса (Kruskal-Wallis H-test), иногда его также называют непараметрическим дисперсионным анализом. Как и в большинстве непараметрических методов, работающих с количественными данными, исходный набор данных преобразуется в ранги и обрабатывается уже он. При обнаружении статистически значимых различий между группами стоит дальше проводить апостериорные сравнения с использованием критерия Манна-Уитни.

Пример

В условиях крупной городской клинической больницы было решено провести исследование по оценке влияния возраста на длительность госпитализации после лапароскопической холецистектомии. 9 пациентов были разделены на 3 группы в зависимости от возраста

Длительность госпитализации

после лапароскопической холецистектомии в зависимости от возраста, дни

 

Группа №1Младше 45 лет Группа №245-55 лет Группа №3Старше 55 лет
3 5 7
1 3 6
2 4 5
x̄=2 x̄=4 x̄=6

 

Сделайте выводы о влиянии возраста на длительности госпитализации после лапароскопической холецистектомии.

  1. Постановка нулевой гипотезы

H0 указывает на отсутствие различий между группами, иными словами все группы по возрасту относятся к одной генеральной совокупности и соответственно средние равны друг другу

µ1= µ2= µ3

Альтернативная гипотеза выдвигает предположение, что длительно госпитализации зависит от возраста и средние в этих группах на самом деле не равны

µ1≠ µ2≠ µ3

 

  1. Найдем общую сумму квадратов

Для этого нам нужно знать общую среднюю по всем выборкам, найдем ее:

 

x̄= (2+3+6)=4

SST =2 = (3-4)2+(1-4) 2+(2-4) 2+(5-4) 2+(4-4) 2+(3-4) 2+(7-4) 2+

+(6-4) 2+(5-4) 2=30

 

  1. Найдем сумму квадратов внутри групп последовательно вычитая из каждого значения в группе групповую среднюю:

SSWG = (3-2)2 + (1-2) 2 + (2-2) 2 + (5-4) 2 + (3-4) 2 + (4-4) 2 + (7-6) 2 + (6-6) 2 + (5-6)2 =2+2+2=6

  1. Найдем внутригрупповую сумму квадратов.

Для этого нам необходимо найти квадрат отклонения каждой из выборочных средних относительно общей вредней:

SSBG =3(2-4)2+3(4-4)2+3(6-4)2=24

  1. Найдем значение критерия Фишера, исходя из средних квадратов отклонений внутри групп и между ними и соответствующих степеней свободы:

νBG = m – 1 = 3-1 = 2

νWG = n – m = 9 – 3 = 6

F= 12, Fкрит. = 5,143 при α = 0,05

F > Fкрит

  1. Делаем вывод о наличии статистически значимых отличий между группами:

так как наше значение F больше критического значения при заданном количестве наблюдений и количестве групп, иными словами наша дисперсия между группами вносит больший вклад в любую сумму дисперсий, чем таковая внутри самих групп.

 

Возраст влияет на длительность госпитализации после холецистектомии.

 

[1] Sum of squares between groups

[2] Sum of squares within groups

[3]MSBG — Средний квадрат отклонения между группами и MSWG — Средний квадрат отклонения внутри групп


Если Вам понравилась статья и оказалась полезной, Вы можете поделиться ею с коллегами и друзьями в социальных сетях:

% PDF-1.4 % 3935 0 объект > эндобдж xref 3935 109 0000000016 00000 н. 0000002555 00000 н. 0000002736 00000 н. 0000002892 00000 н. 0000007358 00000 н. 0000007605 00000 н. 0000007692 00000 н. 0000007800 00000 н. 0000007898 00000 н. 0000007961 00000 п. 0000008082 00000 н. 0000008145 00000 н. 0000008257 00000 н. 0000008320 00000 н. 0000008484 00000 н. 0000008547 00000 н. 0000008656 00000 н. 0000008845 00000 н. 0000009000 00000 н. 0000009062 00000 н. 0000009182 00000 п. 0000009305 00000 п. 0000009478 00000 н. 0000009540 00000 н. 0000009661 00000 п. 0000009826 00000 н. 0000009939 00000 н. 0000010001 00000 п. 0000010107 00000 п. 0000010216 00000 п. 0000010277 00000 п. 0000010385 00000 п. 0000010446 00000 п. 0000010507 00000 п. 0000010702 00000 п. 0000010773 00000 п. 0000010835 00000 п. 0000010950 00000 п. 0000011074 00000 п. 0000011136 00000 п. 0000011279 00000 п. 0000011341 00000 п. 0000011403 00000 п. 0000011465 00000 п. 0000011528 00000 п. 0000011716 00000 п. 0000011778 00000 п. 0000011946 00000 п. 0000012008 00000 п. 0000012158 00000 п. 0000012221 00000 п. 0000012384 00000 п. 0000012446 00000 п. 0000012640 00000 п. 0000012702 00000 п. 0000012844 00000 п. 0000012907 00000 п. 0000012969 00000 п. 0000013032 00000 п. 0000013188 00000 п. 0000013251 00000 п. 0000013449 00000 п. 0000013512 00000 п. 0000013686 00000 п. 0000013749 00000 п. 0000013922 00000 п. 0000013985 00000 п. 0000014148 00000 п. 0000014211 00000 п. 0000014369 00000 п. 0000014432 00000 п. 0000014570 00000 п. 0000014633 00000 п. 0000014771 00000 п. 0000014834 00000 п. 0000014897 00000 п. 0000014955 00000 п. 0000015200 00000 н. 0000015860 00000 п. 0000016042 00000 п. 0000016230 00000 п. 0000016438 00000 п. 0000016908 00000 н. 0000017352 00000 п. 0000017407 00000 п. 0000017450 00000 п. 0000017639 00000 п. 0000017827 00000 н. 0000017850 00000 п. 0000018735 00000 п. 0000018758 00000 п. 0000019511 00000 п. 0000019534 00000 п. 0000020311 00000 п. 0000020334 00000 п. 0000021083 00000 п. 0000021106 00000 п. 0000021869 00000 п. 0000021892 00000 п. 0000022636 00000 п. 0000022659 00000 п. 0000023387 00000 п. 0000023410 00000 п. 0000024264 00000 п. 0000026944 00000 п. 0000027609 00000 н. 0000032782 00000 п. 0000002950 00000 н. 0000007334 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 3936 0 объект > эндобдж 3937 0 объект X J \) & y +} 5QJ) / U (C! [T}% s2BA> эндобдж 3938 0 объект > эндобдж 4042 0 объект > поток 3 | с djM’yo & QyX [nh \ uT7ZAiRIʡ_ ~ $ I% nQϬn | e? “- $ IL * 4Loρ! # ‘- + Dú =! gJmcolBGn & LR $ phYaBɐ غ X0sG`fOhcpDPxI / 8De ߃? A

) ue3 _V [= M {@% v1˒’9H $ e? _ @ D $ D: HTcV [u ܻ1 IJGZԞn {

Свидетельства из франкоязычных стран Африки к югу от Сахары

Таблица C.1: Определение доступности учебника – обязательные наборы регрессоров

Расширенный набор регрессоров 1 Расширенный набор регрессоров 2

Зависимая переменная: Зависимая переменная:

Количество книг

Среднее количество

книг среди

одноклассников

Кол-во книг

ист. Номер

книг среди

одноклассников

Приблиз. Стд. Стандартное восточное время. Стд. Стандартное восточное время. Стд. Стандартное восточное время. Стд.

Манекен Кот-д’Ивуар

1.15

0,09 0,60 0,05 1,17 0,10 0,63 0,05

Макет Камерун

0,51

0,13 0,29 0,07 0,49 0,15 0,30 0,08

Макет Мадагаскар

0,62

0,19 0,25

0,62

0,19 0,25 0,66 0,66 -0,62 0,22 -0,30 0,13 -0,34 0,22 -0,25 0,13

Начальный балл студента по французскому

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Начальный балл студента по математике

0,00 0,00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Начальный балл одноклассников студента по французскому языку

0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00

Начальный балл одноклассников студента по математике

0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,00 0,00

Начальный балл студента балл теста по французскому языку, отсутствует

индикатор значения

-0,03 0,34 0,09 0,08 -0,02 0,33 0,09 0,08

Начальный балл студента по математике, отсутствует значение

индикатор

-0.15 0,25 -0,06 0,05 -0,15 0,27 -0,06 0,04

Начальный балл студента по французскому языку, Сенегал

a)

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Начальный балл студента по математике, Сенегал

a)

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Начальный балл одноклассников ученика по

Французский, Сенегал (0-100% правильных ответов)

0,02 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01 0,01

Начальный балл одноклассников ученика в Математика,

Сенегал

a)

-0.01 0,01 0,00 0,01 -0,01 0,01 0,00 0,01

Начальный балл студента по французскому, Сенегал,

индикатор пропущенного значения

a)

1,40 0,47 -0,19 0,10 1,30 0,47 -0,23 0,10

Начальный балл студента по математике, Сенегал,

Индикатор отсутствующего значения

a)

-0,01 0,35 0,17 0,07 -0,02 0,36 0,17 0,07

Возраст учащегося

-0,06 0,01 -0,01 0,00 -0,08 0,02 0,00 0,01

Студент старше 11 лет

0.09 0,04 -0,01 0,01

Студент получает помощь в учебе на дому

0,09 0,03 0,00 0,01 0,10 0,03 0,01 0,01

Социально-экономическое положение студента, индекс

семейного владения различными потребительскими товарами и

инвестиционных товаров, адаптированных к городским условиям. / село

различия (индикатор 3)

0,58 0,07 0,05 0,02 0,47 0,08 0,03 0,03

Число повторений учеников до

5 класс, показатель пропущенного значения

0.06 0,02 0,03 0,01 0,05 0,02 0,03 0,01

Студент учится дома, индикатор пропущенного значения

-0,02 0,14 -0,04 0,03

Студент получает помощь в учебе дома, отсутствует

индикатор ценности

0,21 0,12 0,09 0,04

Студент в среднем по социально-экономическому положению

(индикатор 1: количество

товаров длительного пользования)

0,44 0,07 0,31 0,04 0,43 0,08 0,31 0,04

Одноклассники помогают с работой по дому,

без учета покупок

0 .43 0,15 0,24 0,08 0,41 0,15 0,23 0,08

Одноклассники учащегося помогают в сельском хозяйстве

или в животноводстве

-0,13 0,09 -0,08 0,05 -0,13 0,09 -0,09 0,05

Количество языков, на которых разговаривает ученик дома

-0,04 0,03 0,01 0,01

Количество языков, на которых говорит ученик в доме

, индикатор пропущенного значения

-0,04 0,01 -0,02 0,01 -0,04 0,01 -0,02 0,01

Отец ученика грамотный

-0,08 0.03 -0,01 0,01 -0,08 0,03 -0,01 0,01

Мать студента грамотная

0,03 0,03 -0,02 0,01 0,03 0,03 -0,02 0,01

Студент может пользоваться книгами дома

0,47 0,04 0,00 0,01 0,47 0,04 -0,01 0,01

Студент можно использовать книги дома,

индикатор пропущенного значения

0,62 0,14 0,05 0,04 0,57 0,14 0,03 0,03

48

Судоку для чайников – Уровень 3 // The Roundup

Поздравляем Уилла Норриса ’19 с прохождением уровня босса 2! Если у вас есть какие-либо вопросы, напишите ему по адресу 19247 @ jcpstudents.org

Что касается уровня 3, я с сожалением должен сообщить вам, что я натягиваю на вас Дары смерти Гарри Поттера. Да, я разбиваю его на две части… Я понял, что мне нужно многое осветить. Я также пишу это в Info Commons за день до публикации, потому что мой домашний компьютер сломался…

Без лишних слов!

Этот урок действительно должен быть с 2.2. Я забыл. Я такой бездельник 🙁

В любом случае, 2.2 была голая пара , 3.1 – скрытая пара

Название подсказки, Hidden Pair, , говорит само за себя.Взгляните на третий ряд – может быть, у вас получится без объяснения причин.

Обратите внимание, что 6-й и 9-й столбцы – единственные поля в строке 3, которые имеют как 1, так и 3.

Поскольку это в основном то же самое, что и 2.2, я не собираюсь тратить много времени на объяснение этого:

  1. Если столбец 6 равен 1, столбец 9 должен быть равен 3, и наоборот.
  2. Единственные единицы и тройки в строке 3 находятся в столбцах 6 и 9.
  3. Итак, вы можете исключить всех остальных кандидатов из этих двух ящиков.

А теперь пора повышать уровень. Я не слишком часто использую эту следующую стратегию, когда решаю головоломки в Dallas Morning News или в этом приложении, но это действительно помогает понять более жесткие стратегии. Он называется X-Wing.

Для этого парня мы сосредоточимся на семерках. Особенно в строках 2 и 6.

Обратите внимание, что есть только два возможных места для 7 в каждой из этих строк.

Удобно, что эти возможности сочетаются друг с другом!

Очень важно, чтобы это были единственные семерки в ряду.Если в ряду больше 7 кандидатов, попытка выполнить X-Wing вас испортит.

Поскольку их всего две, у нас остается по две возможности для каждой строки. Либо цифра 7 находится в столбце 4, либо в столбце 8.

Давайте рассмотрим эти возможности так же, как мы это делали в 2.2.

Теперь, когда у нас есть два случая, мы можем исключить некоторых кандидатов. Помните, что то, что вычеркнуто в обоих случаях, должно быть верным, несмотря ни на что.

Красными крестиками отмечены кандидаты, которые не могут быть верными, потому что мы поместили 7 в строку 6 столбца 4.

Мы исключили одного из двух 7 кандидатов в строке 2. Таким образом, строка 2 в столбце 8 должна быть 7 (написано зеленым).

Синие крестики обозначают выбывших кандидатов из-за зеленой 7.

Ниже я проделал то же самое для второй возможности.

Как видите, многие из X являются общими, что означает, что они верны, несмотря ни на что:

Бум !!!

Твердые 8 ​​кандидатов уничтожены!

Как это круто!

Резюме 3.2

  • В строке должно быть ровно два кандидата на номер
  • В разных строках должно быть ровно два кандидата с одинаковым номером
  • Кандидаты из этих двух рядов должны выстроиться в линию.
  • Вы можете удалить всех кандидатов из этих двух столбцов, кроме двух исходных строк

То же самое верно, если вы меняете строки и столбцы

Трудно говорить кратко, не вдаваясь в технические подробности. Так что я много написал для урока простыми, надеюсь, словами и сложил их в сложный список.Но это должно иметь смысл, если вы до сих пор следили за мной.

Я не получал писем о том, что это сложно понять. Но я не думаю, что многие люди читали прошлые уроки, потому что они были такими простыми с самого начала … Сейчас самое время начать читать уроки, потому что более сложные трюки слишком сложно понять, если вы этого еще не знаете.

Итак, мы снова смотрим на семерки.

Ряды 3 и 7.

К сожалению, X-Wing отсутствует, потому что строка 7 содержит четыре кандидата 7.

Но давайте представим, что это X-wing, поддельный X-Wing, более известный как X-Wing с ребрами .

Вот наш первый случай. Давайте представим себе, что столбцов 7 и 8 не существует ни на секунду (если это все еще кажется вам неестественным и неправильным, вам придется привыкнуть к гипотетическим случаям. Они никуда не денутся…)

Поскольку эти столбцы исчезли, у нас есть крестовина между 7 кандидатами в строках 3 и 7 (обведены синим).

Если вы не знаете, откуда берутся эти красные крестики, прочтите 3.2 первый.

Но эти красные крестики не обязательно соответствуют действительности. Мы сделали предположение, но не рассмотрели все случаи…

Значит, либо X-Wing верен… Или есть 7 в строке 7, столбце 7 или 8.

Итак, мы рассмотрели все случаи. Что у них общего?

Ага… Мы проделали всю эту работу только для того, чтобы избавиться от единственного кандидата… Извини, если это было для тебя немного анти-кульминационным моментом.

Это действительно здорово, потому что X-Wings намного более универсальны.

Извините, что немного понизил уровень на этой неделе. Я попытался отдать ему должное. Надеюсь, вы не думаете, что это было так же бесполезно и неактуально, как Дары Смерти. Часть 1…

Обещаю, в следующий раз все будет хорошо!

Удачи, решая эту проблему, мои растущие кузнечики!

Опять же, первый человек, который напишет мне по электронной почте ([email protected]) правильное решение, будет показан в выпуске на следующей неделе.

Если вы сможете решить эту задачу и уровень босса 2 без посторонней помощи, я уверен, что вы сможете решить все 5-звездочные судоку в Dallas Morning News.Остался только один уровень (5 обведенных звездочек)! Хорошая работа 🙂

Счастливого судоку, до встречи на следующей неделе на телеканале The Roundup!

python – создает фиктивные закодированные столбцы для столбца и объединяет их с набором данных

.

Я работаю с набором данных об уровне оттока сотовых телефонов. Я пытаюсь создать фиктивный код для столбца аббревиатур состояний в наборе данных с формой 3333 строки × 20 столбцов. Мне нужно исключить один из столбцов с фиктивным кодом состояния, чтобы он служил «справочным» столбцом для использования при моделировании.Я думаю, должно произойти создание столбца для каждой строки и установка 1 в строке, соответствующей вновь созданному фиктивному столбцу. В настоящее время я получаю 0 в каждой строке, кроме первой, которая заполнена всеми единицами. Мне нужно каким-то образом заставить фиктивные переменные включать маркер в соответствующий столбец для каждой строки. Я также думаю, что мне следует объединить столбцы, чтобы они были только уникальными столбцами (в данном случае по одному для каждого состояния), но я не уверен, что это испортит точку фиктивного кодирования?

В настоящее время у меня есть следующий код:

1.Создание фиктивных переменных для ‘состояния’ и исключение первого фиктивного столбца:

  churn_dummies = pd.get_dummies (churn, columns = 'state', prefix = 'st'). Iloc [:, 20:]
  

Возвращает фрейм данных размером 3333×3332.

  st_OH st_NJ st_OH st_OK st_AL st_MA st_MO st_LA st_WV st_IN st_RI
0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
1 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
4 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
  

Этот результат, кажется, продолжается во всем созданном гигантском фрейме данных, и при выборочной проверке строки, похоже, не содержат соответствующих единиц, отмеченных соответствующим столбцом.Я использовал следующий документ pandas: https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/reference/api/pandas.get_dummies.html

2. Затем объединение столбцов во фрейм данных:

  churn = pd.concat ([churn, churn_dummies], axis = 1)
  

Работа с таблицами Excel для чайников: пошаговая инструкция

Microsoft Excel удобен для создания таблиц и проведения расчетов. Его рабочая область представляет собой набор ячеек, которые необходимо заполнить данными.Следовательно, данные можно форматировать, использовать для построения графиков, диаграмм, сводных отчетов.

Для новичка работа с таблицами в Excel на первый взгляд может показаться сложной. Это существенно отличается от принципов построения таблиц в Word. Однако давайте начнем с самых основ: создание и форматирование таблиц. К тому времени, когда вы дойдете до конца этой статьи, вы поймете, что нет лучшего инструмента для создания таблиц, чем Excel.

Взаимодействие с другими людьми

Создание таблицы в Excel: манекен

Работа с таблицами Excel для чайников не терпит спешки.Есть разные способы создать стол для определенной цели, и каждый из них имеет свои преимущества. Поэтому начнем с визуальной оценки ситуации.

Посмотрите внимательно на рабочий лист настольного процессора:

Это набор ячеек в столбцах и строках. По сути, это стол. Столбцы отмечены буквами. Строки обозначены цифрами. Нет границ.

Прежде всего, научимся работать с ячейками, строками и столбцами.

Как выбрать столбец и строку

Чтобы выделить весь столбец, щелкните левой кнопкой мыши по отмеченной букве.

Чтобы выбрать строку, щелкните номер, которым она обозначена.

Чтобы выбрать несколько столбцов или строк, щелкните имя левой кнопкой мыши, удерживайте кнопку и перетащите указатель.

Чтобы выбрать столбец с помощью горячих клавиш, поместите курсор в любую ячейку столбца и нажмите Ctrl + Пробел. Комбинация клавиш Shift + Пробел используется для выбора строки.

Как изменить размер ячеек

Если ваша информация не помещается в таблице, вам необходимо изменить размер ячеек.

  1. Вы можете перемещать их вручную, захватывая границу ячейки левой кнопкой мыши.
  2. Если ячейка содержит длинное слово, вы можете дважды щелкнуть границу столбца / строки. Программа автоматически расширит свои границы.
  3. Если вам необходимо увеличить высоту строки с сохранением ширины столбца, воспользуйтесь кнопкой «Перенести текст» на панели инструментов.

Чтобы изменить ширину столбца и высоту строки в определенном диапазоне, измените размер 1 столбца / строки (путем перетаскивания его границ вручную) – и размер всех выбранных столбцов и строк будет изменен автоматически.

Важное примечание. Чтобы вернуться к предыдущему размеру, вы можете нажать кнопку «Отменить ввод» или комбинацию горячих клавиш CTRL + Z. Однако он работает только при немедленном использовании. В дальнейшем это не поможет.

Чтобы привести строки к их исходным границам, откройте меню инструментов: «HOME» – «Format» и выберите «AutoFit Row Height».

Этот метод не работает для столбцов. Нажмите «Формат» – «Автоподбор ширины ряда». Запомните это число. Выберите любую ячейку в столбце, размер которой должен вернуться к исходному.Снова нажмите «Формат» – «Ширина столбца» и введите значение, предложенное программой (как правило, это 8,43 – количество знаков в шрифте Calibri, размер 11 pt). ОК.

Как вставить столбец или строку

Выберите столбец / строку справа от / под местом, где должна быть сделана вставка. То есть новый столбец появится слева от выбранной ячейки. Над ним будет вставлена ​​новая строка.

Щелкните ячейку правой кнопкой мыши и в раскрывающемся меню выберите «Вставить» (или нажмите комбинацию горячих клавиш CTRL + SHIFT + «=»).

Выберите «Весь столбец» и нажмите ОК.

Подсказка. Чтобы быстро вставить новый столбец, выберите столбец в нужном месте и нажмите CTRL + SHIFT + PLUS.

Все эти навыки пригодятся при построении таблицы в Excel. Вам нужно будет изменить размер ячеек и вставить строки / столбцы в процессе.

Пошаговое создание таблицы с формулами

  1. Заполните заголовок вручную, указав заголовки столбцов. Заполните строки, введя свои данные.Применяйте полученные знания на практике: расширяйте границы столбцов, регулируйте высоту строк.
  2. Чтобы заполнить столбец «Сумма», поместите курсор в его первую ячейку. Введите «=». Таким образом мы информируем Excel: здесь будет формула. Выделите ячейку B2 (с первой ценой). Введите символ умножения (*). Выделите ячейку C2 (с количеством). Нажмите Ввод.
  3. При наведении указателя мыши на ячейку, содержащую формулу, в ее правом нижнем углу появится крестик.Он указывает на маркер автозаполнения. Захватите его левой кнопкой мыши и перетащите в конец столбца. Формула будет скопирована в каждую ячейку.
  4. Обозначьте границы вашего стола. Выберите диапазон, содержащий ваши данные. Нажмите кнопку «ГЛАВНАЯ» – «Граница» (на главной странице в меню «Шрифт»). И нажмите «Все границы».

Теперь границы столбцов и строк будут видны при печати таблицы.

Меню «Шрифт» позволяет форматировать данные в таблице Excel так, как если бы вы это делали в Word.

Например, измените размер шрифта и выделите заголовок жирным шрифтом. Вы также можете применить выравнивание по центру, перенос слов и т. Д.

Взаимодействие с другими людьми

Создание таблицы в Excel: пошаговая инструкция

Вы уже знаете простейший способ создания таблиц. Однако Excel может предложить более удобный вариант (с точки зрения последующего форматирования и работы с данными).

Построим умную (динамическую) таблицу:

  1. Перейдите на вкладку «ВСТАВИТЬ» – инструмент «Таблица» (или нажмите комбинацию горячих клавиш CTRL + T).
  2. Откроется диалоговое окно, в котором необходимо ввести диапазон данных. Установите флажок для таблицы с заголовками. Щелкните ОК. Ничего страшного, если вы не войдете в правильный диапазон с первой попытки. Умный стол гибкий, динамичный.

Важное примечание. Вы также можете пойти по альтернативному пути: сначала выделите диапазон ячеек, а затем нажмите кнопку «Таблица».

Теперь введите свои данные в готовый фреймворк. Если вам нужен дополнительный столбец, поместите курсор в ячейку заголовка.Сделайте запись и нажмите ENTER. Ассортимент расширится автоматически.

Если вам нужны дополнительные строки, возьмите маркер автозаполнения в правом нижнем углу и перетащите его вниз.

Как работать с таблицей в Excel

С выходом новых версий программы работа с таблицами в Excel стала более интересной и динамичной. После формирования умной таблицы на электронной таблице становится доступен инструмент «ИНСТРУМЕНТЫ ТАБЛИЦЫ» – «ДИЗАЙН».

Здесь вы можете назвать таблицу или изменить ее размер.

Вам доступны различные стили, а также возможность трансформировать таблицу в обычный диапазон или сводный лист.

Динамические электронные таблицы

MS Excel открывают огромные возможности. Начнем с базовых навыков ввода данных и автозаполнения:

  1. Выберите ячейку, щелкнув по ней левой кнопкой мыши. Введите текстовое / числовое значение. Нажмите Ввод. Если вам нужно изменить значение, снова поместите курсор в ячейку и введите новые данные.
  2. При повторном вводе значения Excel распознает его. Вам нужно будет всего лишь ввести несколько символов и нажать Enter.
  3. В интеллектуальной таблице, чтобы применить формулу ко всему столбцу, введите ее в первую ячейку. Программа автоматически скопирует формулу в другие ячейки.
  4. Для подсчета итогов выберите столбец, содержащий значения плюс пустую ячейку для будущего итога, и нажмите кнопку «Сумма» (группа инструментов «Редактирование» на вкладке «ГЛАВНАЯ» или нажмите комбинацию горячих клавиш ALT + ” знак равно

Щелкнув маленькую стрелку справа от каждого подзаголовка в заголовке, вы получите доступ к дополнительным инструментам для работы с данными в таблице.

Иногда пользователю приходится работать с огромными таблицами, в которых нужно прокрутить несколько тысяч строк, чтобы увидеть итоги. Удаление строк невозможно (данные вам понадобятся позже).

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *