Ряды для чайников mathprofi: Математическое Бюро. Страница 404

Читать дальше: разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Ряды Фурье

Отрицательный аргумент дела не меняет: . Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать.

В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала, интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1 Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:

а)

Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку.

– получена исходная

подынтегральная функция, как оно и должно быть.

После интегрирования константа сразу выносится за скобки, и стандартная подстановка

проходит без её участия: сначала в вместо «икс» подставляем верхний предел (ноль), затем нижний предел («минус пи»). Синус нуля равен нулю, и как только что отмечалось, при любом натуральном «эн».

Кстати, результат тут виден сразу – интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю.

Не забываем о промежуточной проверке первообразной:

И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены , а воспользоваться чётностью косинуса:

Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо:

Желательно потому, что в рядах Фурье и без этого гелевый стержень опустеет. Следующие два пункта отличаются усложнённой константой:

Проверка:

Подстановку распишу очень подробно:

Здесь на последнем этапе внесли «минус» в скобку и сделали ответ более компактным, возьмите на заметку этот приём. Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность.

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция

, где – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число называют периодом разложения, а число –

полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Поехали: Пример 2

Решение: первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье. Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1)Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2)Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям:

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки, так как перед исходным интегралом находится

константа . Не теряем её! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы

знаком из тренировочного задания 😉

Исамое главное – предельная концентрация внимания!

3)Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки.

показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание

записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым

(3)В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4)Выносим «мигалку» из квадратных скобок:

,после чего раскрываем внутренние скобки:

.

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения. Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке

:

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее).

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда .

значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от

исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда

тоже представляет собой периодическую функцию.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ:

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения: Пример 3

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке

своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4 Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение: фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1)Первый интеграл распишу максимально подробно:

2)Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям:

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем

подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы

. Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем

шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ:

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же,

как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы: Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи»

и произвольном периоде «два эль»

содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу,

1)разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2)записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля

, рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Раз:

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика вряд ли нуждается в комментариях:

Хотел ещё построить частичную сумму

, но её график практически совпал

с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.

Ответ:

Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции

. И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным

убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно

нуля отрезку равен нулю: .

Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:

Небольшая миниатюра для самостоятельного решения: Пример 7

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы ряда не менее чем на трёх периодах

Решение и ответ в конце урока.

Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:

чётность можно скромно умолчать 😉

Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать

В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически.

Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам 😉 Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.

Решение данного примера есть в соответствующем архиве (Папка Ряды_7), который можно бесплатно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал

(зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда:

Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:

Разложить функцию в ряд Фурье.

Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.

чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.

Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо.

Наш полёт подошёл к концу, и есть такое подозрение, что немалая часть экипажа хочет отправиться в экспедицию на Марс =) Дополнительные задачи с решениями можно закачать в Банке готовых работ, причём среди них есть и более редкие задания по теме –

нахождение спектра амплитуд, суммы ряда в различных точках и т.д. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которую включил примеры, не вошедшие в статью (всётаки нужно соблюдать разумные рамки), а также ряды Фурье повышенной сложности, в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа.

Удачного путешествия – и обязательно возвращайтесь! Решения и ответы:

Пример 1: Решение:

Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

Интегрируем по частям:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik. com

Как начать изучение физики с абсолютного нуля? (В школе вообще ничего не учил)?

В зависимости от вашей цели, свободного времени и уровня математической подготовки, возможны несколько вариантов.

Вариант 1

Цель — «для себя», сроки — не ограничены, математика — тоже почти с нуля.

Пособия

Выберите линию учебников поинтереснее, например, трёхтомник Ландсберга, и изучайте его, конспектируя в тетради. Затем пройдите таким же образом учебники Г. Я. Мякишева и Б. Б. Буховцева за 10-11 класс. Закрепите полученные знания — прочтите справочник для 7-11 классов О.Ф. Кабардина.

Если пособия Г. С. Ландсберга вам не подошли, а они именно для тех, кто изучает физику с нуля, возьмите линию учебников для 7-9 классов А. В. Перышкина и Е. М. Гутника. Не нужно стесняться, что это для маленьких детей — порой и студенты-пятикурсники без подготовки «плавают» в Перышкине за 7 класс уже с десятой страницы.

Как заниматься

Непременно отвечайте на вопросы и прорешивайте задания после параграфов.

В конце тетради сделайте для себя справочник по основным понятиям и формулам.

Обязательно находите на Ютубе ролики с физическими опытами, которые встречаются в учебнике. Просматривайте и конспектируйте их по схеме: что видел — что наблюдал — почему? Рекомендую ресурс GetAClass — там систематизированы все опыты и теория к ним.

Сразу заведите отдельную тетрадь для решения задач. Начните с задачника В. И. Лукашика и Е. В. Ивановой для 7-9 классов и прорешайте половину заданий из него. Затем прорешайте задачник А. П. Рымкевича на 70% или, как вариант — «Сборник вопросов и задач по физике» для 10-11 классов Г. Н. и А. П. Степановых.

Пытайтесь решать самостоятельно, подсматривайте в решебник в самом крайнем случае. Если столкнулись с затруднением — ищите аналог задачи с разбором. Для этого нужно иметь под рукой 3-4 бумажные книги, где подробно разбирают решения физических задач. Например, «Задачи по физике с анализом их решения» Н. Е. Савченко или книги И. Л. Касаткиной.

Если вам всё будет понятно, и душа будет просить сложных вещей — берите многотомник Г. Я. Мякишева, А. З. Синякова для профильных классов и прорешивайте все упражнения.

Приглашаем всех желающих изучать физику попробовать курсы в онлайн-школе «Фоксфорд» бесплатно.

Вариант 2

Цель — экзамен ЕГЭ или другой, срок — два года, математика — с нуля.

Пособия

Справочник для школьников О. Ф. Кабардина и «Сборник задач по физике» для 10—11 классов О. И. Громцева О. И. («заточен» под ЕГЭ). Если экзамен не ЕГЭ, лучше взять задачники В. И. Лукашика и А. П. Рымкевича или «Сборник вопросов и задач по физике» для 10-11 классов Г. Н. Степановой, А. П. Степанова. Не гнушайтесь обращаться к учебникам А. В. Перышкина и Е. М. Гутника за 7—9 классы, а лучше их тоже законспектируйте.

Упорные и трудолюбивые могут пройтись полностью по книге «Физика. Полный школьный курс» В. А. Орлова, Г. Г. Никифорова, А. А. Фадеевой и др. В этом пособии есть всё необходимое: теория, практика, задачи.

Как заниматься

Система та же, что и в первом варианте:

• заведите тетради для конспектов и решения задач,
• самостоятельно конспектируйте и решайте задачи в тетради,
• просматривайте и анализируйте опыты, например, на GetAClass.
• Если вы хотите наиболее эффективно подготовиться к ЕГЭ или ОГЭ за оставшееся время, попробуйте курсы в онлайн-школе «Фоксфорд» бесплатно.
  Вариант 3

Цель — ЕГЭ, сроки — 1 год, математика на хорошем уровне.

Если математика в норме, можно не обращаться к учебникам 7—9 классов, а сразу брать 10—11 классы и справочник для школьников О. Ф. Кабардина. В пособии Кабардина содержатся темы, которых нет в учебниках 10—11 классов. При этом рекомендую просматривать видео с опытами по физике и анализировать их по схеме.

Вариант 4

Цель — ЕГЭ, сроки — 1 год, математика — на нуле.

Подготовиться к ЕГЭ за год без базы в математике нереально. Разве что вы будете проделывать все пункты из варианта №2 каждый день по 2 часа.

Преподаватели и репетиторы онлайн-школы «Фоксфорд» помогут достичь максимального результата за оставшееся время. Начните учиться в онлайн-школе «Фоксфорд» бесплатно.

история и влияние математического механизма на развитие науки

Ряд Фурье четной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до р, а не только от 0 до 2р, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =х, построенная на интервале от х=0 до х=р. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f (x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =x, построенная на интервале от от х=0 до х=р. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис.

Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий билет № 95471

Научный руководитель:доцент, канд.

подпись техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

1. Введение.

2. Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

3. Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l .

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье – французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж. Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

где ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …,b n , …- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х 0 , в силу периодичности функций

а потому и

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

Таким образом,

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ ( s) (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

Доказательство. Имеем

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны – это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+…+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+…,

где a o , a 1 ,a 2 ,. ..,b 1 ,b 2 ,.. – действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда – использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+…+c n sin(nx+α n)

Где a o – константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 – амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т. е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $\lambda$ и вектор $x\in L, x\neq 0$ таковы, что $$Ax=\lambda x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ Тогда число $\lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $\lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-\lambda E)X=0,\,\,\,\, X\neq 0.\qquad\qquad\quad\quad (2)$$ 

Отсюда следует, что число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-\lambda E)=0,$ т. е. $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)=det(A-\lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $\lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

  churn_dummies = pd.get_dummies (churn, columns = 'state', prefix = 'st'). Iloc [:, 20:]
  

  st_OH st_NJ st_OH st_OK st_AL st_MA st_MO st_LA st_WV st_IN st_RI
0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
1 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
4 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
  

  churn = pd.concat ([churn, churn_dummies], axis = 1)