Система линейных уравнений метод крамера онлайн калькулятор: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Решение систем уравнений с квадратами

Любые системы уравнений

Этот онлайн калькулятор в два шага:

  • Добавить нужное кол-во уравнений
  • Ввести уравнения

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

Методом Гаусса

Этот онлайн калькулятор в три шага:

  • Ввести количество уравнений в системе
  • Ввести количество незвестных
  • Ввести коэффициенты при неизвестных слагаемых

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
  2. Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений

откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y1=3, то из находим х

1=1. Если же .

Ответ:

Ответ:

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений

Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения

Ответ:

Ответ:

Решить систему уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение

Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно

Ответ:

Возможный способ оформления

разделим первое уравнение на , получим

Пусть , тогда

Ответ:

V. Работа в малых группах.

Решите систему уравнений

Решите систему уравнений

VI. Подведение итогов урока.

VII. Задание на дом.

Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).

В этой статье мы рассмотрим примеры решения таких систем уравнений с одной и двумя переменными, которые сводятся к решению квадратных уравнений. Существует множество видов таких систем. Охватить все виды таких систем уравнений в рамках одной статьи нельзя. Мы не будем вдаваться здесь в терминологию самих уравнений, а просто на примерах рассмотрим решения некоторых из них. 2-4cdot 2cdot (-7)=7+56=63$

Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

Решим второе уравнение вынесением общего множителя (как частный случай квадратного уравнения).

Выбирая общий корень, получим

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Системы с двумя неизвестными

Рассмотрим систему с двумя уравнениями, которая имеет в своем составе одно уравнение первой степени, а второе уравнение второй степени. Для ее решения нам нужно будет из линейного уравнения выразить одну из переменных и подставить в другое, тем самым и получив квадратное уравнение. Далее решение уже очевидно. Рассмотрим пример:

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

Для второго корня:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Рассмотрим теперь систему в которой оба уравнения имеют вторую степень и покажем немного другой ход его приведения к решению квадратного уравнения.

2$ и, поэтому, проверить, нет ли решения при $y=0$:

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Решить систему методом крамера примеры. Линейные уравнения

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель.
    Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1. 10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица.

Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1. 16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1. 21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

x 1 x 2 x j x s x n
y 1 = a 11 a 12 a 1j a 1s a 1n
…………………………………………………………………..
y i = a i 1 a i 2 a ij a is a in
…………………………………………………………………..
y r = a r 1 a r 2 a rj a rs a rn
………………………………………………………………….
y n = a m 1 a m 2 a mj a ms a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

x 1 x 2 x j y r x n
y 1 = b 11 b 12 b 1 j b 1 s b 1 n
…………………………………………………………………. .
y i = b i 1 b i 2 b ij b is b in
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs b rn
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj b ms b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21 -26 -13 -37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Как считать матрицы методом крамера. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Решение системы линейных уравнений крамера. Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .


А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Габриэль Крамер – швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры. Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем – определителем матрицы. Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений, что позволяет существенно ускорить процесс решения. Данный метод может быть применен в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Главное, чтобы определитель системы не был равен “0”, тогда метод Крамера может быть использован в решении, если “0” – данный метод использовать нельзя. Также данный метод может быть применен для решения систем линейных уравнений с единственным решением.

Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Допустим, дано СЛАУ такого вида:

\[\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end{matrix}\right.\]

Согласно теореме Крамера получаем:

Ответ: \

Где можно решить уравнение методом Крамера онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Система линейных уравнений методом крамера. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .


А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

x 1 x 2 x j x s x n
y 1 = a 11 a 12 a 1j a 1s a 1n
…………………………………………………………………..
y i = a i 1 a i 2 a ij a is a in
…………………………………………………………………..
y r = a r 1 a r 2 a rj a rs a rn
………………………………………………………………….
y n = a m 1 a m 2 a mj a ms a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

x 1 x 2 x j y r x n
y 1 = b 11 b 12 b 1 j b 1 s b 1 n
…………………………………………………………………..
y i = b i 1 b i 2 b ij b is b in
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs b rn
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj b ms b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21 -26 -13 -37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Как решать примеры по методу Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений … Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы такого количества линейных уравнений, в каждом из которых есть неизвестные. Если определитель системы не равен нулю, то в решении можно использовать метод Крамера, если он равен нулю, то нельзя.Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение … Определитель, составленный из коэффициентов неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Детерминанты

получаются заменой коэффициентов соответствующими неизвестными свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей.Знаменатель содержит определитель системы, а числитель содержит определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов в этом неизвестном на свободные члены. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решите систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятор, решающий метод Крамера.

Три случая решения систем линейных уравнений

Как видно из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система последовательная и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное количество решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

**,

тех.коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместима)

Таким образом, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместимой, , если она не имеет решений, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений с одним решением называется определенным , а несколько – неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дано системе

.

На основе теоремы Крамера

………….
,

где

системный определитель. Остальные определители получаем заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестной) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система определенная. Чтобы найти ее решение, вычислим определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Чтобы проверить решения систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4, вы можете использовать онлайн-калькулятор, который решает метод Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Внимательно посмотрите на систему уравнений и определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычислим определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2; -1; 1).

Чтобы проверить решения систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4, вы можете использовать онлайн-калькулятор, который решает метод Крамера.

Вернуться к началу страницы

Продолжаем решать системы по методу Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители для неизвестных не равны нулю, система несовместима, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 6. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для большей точности вычислим определители неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система непоследовательна, то есть не имеет решений.

Чтобы проверить решения систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4, вы можете использовать онлайн-калькулятор, который решает метод Крамера.

В задачах о системах линейных уравнений встречаются и такие, где помимо букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы представляют собой определенное число, чаще всего действительное число. На практике поисковые задачи приводят к таким уравнениям и системам уравнений общих свойств любых явлений и объектов.То есть изобрели ли вы какой-либо новый материал или устройство, и для описания его свойств, которые являются общими независимо от размера или количества экземпляров, необходимо решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов переменных есть буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример предназначен для аналогичной задачи, только количество уравнений, переменных и букв, обозначающих какое-то действительное число, увеличивается.

Пример 8. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение.Находим определитель системы:

Найдите определители неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть основная матрица, формируемая из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определитель должен не быть нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $ D $ основной матрицы, основанный на коэффициентах уравнений, не равен нулю, то система уравнений непротиворечива и имеет единственное решение. Решение такой системы вычисляется с помощью так называемых формул Крамера для решения систем линейных уравнений: $ x_i = \ frac (D_i) (D) $

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующем. следует:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, сначала вычислим главный определитель матрицы $ D $.Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении методом Крамера оказался нулевым, то система не имеет единственного решения или имеет бесконечное количество решений. В этом случае, чтобы найти общий или базовый ответ для системы, рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем вам нужно заменить крайний столбец основной матрицы на столбец свободных элементов и вычислить определитель $ D_1 $.
  3. Повторите то же самое для всех столбцов, получая определители от $ D_1 $ до $ D_n $, где $ n $ – номер крайнего правого столбца.
  4. После нахождения всех определителей $ D_1 $ … $ D_n $, вы можете вычислить неизвестные переменные по формуле $ x_i = \ frac (D_i) (D) $.

Методы вычисления определителя матрицы

Чтобы вычислить определитель матрицы с размерностью больше 2 на 2, вы можете использовать несколько методов:

  • Правило треугольников или правило Сарруса похоже на то же правило . Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединенных на рисунке красной линией справа, они записываются со знаком плюс, а все числа, соединенные таким же образом на рисунке на слева со знаком минус.B оба правила подходят для матриц 3 x 3. В случае правила Сарруса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней, рядом с ней, заново переписываются ее первый и второй столбцы. Диагонали проводятся через матрицу, и эти дополнительные столбцы, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на боковой диагонали или параллельно ей, записываются с помощью знак минус.

Рисунок 1.Правило треугольников для вычисления определителя по методу Крамера

  • Используя метод, известный как метод Гаусса, этот метод также иногда называют упорядочением детерминант. В этом случае матрица преобразуется и сводится к треугольному виду, а затем все числа на главной диагонали умножаются. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя умножать или делить строки или столбцы на числа, не принимая их в качестве множителя или делителя.В случае поиска определителя возможно только вычитание и сложение строк и столбов вместе, предварительно умножив вычтенную строку на ненулевой коэффициент. Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости изменения финального знака матрицы.
  • При решении СЛАУ с 4 неизвестными методом Крамера лучше всего использовать метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или определения определителей путем поиска миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применяем метод Крамера для системы из двух уравнений и двух искомых величин:

$ \ begin (cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end (кейсы) $

Для удобства отобразим его в расширенном виде:

$ A = \ begin (array) (cc | c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \ end (array) $

Найдем определитель основной матрицы, также называемой главным определителем системы:

$ D = \ begin (array) (| cc |) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \ end (array ) = a_1 \ cdot a_4 – a_3 \ cdot a_2 $

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слоу методом Крамера необходимо вычислить еще пару определителей из двух матриц с замененными столбцами основной матрицы на строку бесплатных условий:

$ D_1 = \ begin (array) (| cc |) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \ end (array) = b_1 \ cdot a_4 – b_2 \ cdot a_4 $

$ D_2 = \ begin (массив) (| cc |) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot b_2 – a_3 \ cdot b_1 $

Теперь давайте найдем неизвестные $ x_1 $ и $ x_2 $:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3-го порядка (3 x 3) и тремя требуемыми.

Решите систему уравнений:

$ \ begin (случаи) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \ end (случаи)

$

Рассчитаем главный определитель матрицы, используя приведенное выше правило под номером 1:

$ D = \ begin (массив) (| ccc |) 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \ end (массив) = 3 \ cdot 4 \ cdot (-1) + 2 \ cdot (-2) \ cdot 2 + 4 \ cdot 3 \ cdot (-1) – 4 \ cdot 4 \ cdot 2-3 \ cdot (-2) \ cdot (-1) – ( – 1) \ cdot 2 \ cdot 3 = – 12-8-12-32-6 + 6 = – 64 $

А теперь еще три детерминанта:

$ D_1 = \ begin (массив) (| ccc |) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end (массив) = 21 \ cdot 4 \ cdot 1 + ( – 2) \ cdot 2 \ cdot 10 + 9 \ cdot (-1) \ cdot 4-4 \ cdot 4 \ cdot 10-9 \ cdot (-2) \ cdot (-1) – (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296 долларов США

$ D_2 = \ begin (массив) (| ccc |) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end (массив) = 3 \ cdot 9 \ cdot (- 1 ) + 3 \ cdot 10 \ cdot 4 + 21 \ cdot 2 \ cdot 2 – 4 \ cdot 9 \ cdot 2 – 21 \ cdot 3 \ cdot (-1) – 2 \ cdot 10 \ cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 $ 9 0003

$ D_3 = \ begin (массив) (| ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end (массив) = 3 \ cdot 4 \ cdot 10 + 3 \ cdot (-1) \ cdot 21 + (-2) \ cdot 9 \ cdot 2-21 \ cdot 4 \ cdot 2 – (-2) \ cdot 3 \ cdot 10 – (-1) \ cdot 9 \ cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60 $

Найдем нужные значения:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (- 296) (- 64) = 4 \ frac (5) (8) $

$ x_2 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (108) (-64) = – 1 \ frac (11) (16) $

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16)

$

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько независимых переменных, т.е.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратичными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой D. Таким образом,

. (1,6)

Если основным определителем является произвольный ( j -й) столбец, заменим его столбцом свободных членов системы (1.5), то мы можем получить еще n вспомогательных определителей:

( j = 1, 2,…, n ).(1,7)

Правило Крамера Решение квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(1,8)

Пример 1.5. Использование метода Крамера для решения системы уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое находится по формулам (1.8):

Таким образом,

Матричные операции

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить все ее элементы на это число. То есть

. (1,9)

Пример 1.6. .

Добавление матриц.

Эта операция вводится только для матриц одного порядка.

Чтобы сложить две матрицы, необходимо добавить соответствующие элементы другой матрицы к элементам одной матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Матричное умножение.

Если количество столбцов матрицы A совпадает с количеством строк в матрице V , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы A габаритами м ´ n на матрицу V габаритами n ´ k получаем матрицу С габаритами м ´ k … Причем элементы матрицы СО вычисляются по формулам:

Задача 1.8. Найдите, если возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Чтобы найти работу AB , нужно строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Графическое изображение BA не существует, поскольку количество столбцов в матрице B не совпадает с количеством строк в матрице A .

Обратная матрица. Матричное решение систем линейных уравнений

Матрица A – 1 называется обратной квадратной матрицы A , если выполняется равенство:

, где через I обозначена единичная матрица того же порядка, что и матрица A :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был ненулевым. Обратная матрица находится по формуле:

, (1.13)

, где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы A (обратите внимание, что алгебраические дополнения к строкам матрицы A, расположены в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

.

Находим обратную матрицу по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найти det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Поскольку определитель исходной матрицы отличен от нуля, обратная матрица существует.

1) Найдите алгебраические дополнения A ij :

Для удобства поиска обратной матрицы мы поместили алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составляем новую матрицу и делим ее на определитель det A … Таким образом, получаем обратную матрицу:

Квадратичные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем могут быть решены с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A – 1, получаем решение системы:

, где

Таким образом, чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти матрицу, обратную основной матрице системы, и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решите систему линейных уравнений

с использованием обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде :,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных элементов. Поскольку основной определитель системы, то основная матрица системы A, имеет обратную матрицу A, -1. Чтобы найти обратную матрицу A -1, мы вычисляем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A :

Из полученных чисел составляем матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы A, записываем в соответствующие столбцы) и делим ее на определитель D.Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Находим решение системы по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратичная) система линейных уравнений:

(1,16)

Требуется найти решение системы, т.е. набор переменных, удовлетворяющий всем равенствам системы (1.16). V система общего случая (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесконечное количество решений. У нее также может вообще не быть решений.

При решении таких задач применяется известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называют методом обычных исключений Жордана. Суть этого метода состоит в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы.В результате получается система, которая содержит на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Запоминается уравнение, из которого была выражена переменная.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в истинные тождества. Такие уравнения исключаются из системы, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы.Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может быть выполнено ни при каких значениях переменных (например), то мы заключаем, что система не имеет решения.

Если в процессе решения противоречивых уравнений не возникло, то одна из оставшихся в нем переменных находится из последнего уравнения. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются другие переменные, они считаются параметрами, и переменная, выраженная через них, будет функцией этих параметров.Потом так называемый «реверс». Найденная переменная подставляется в последнее запомненное уравнение и находится вторая переменная. Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее запомненное уравнение, и находится третья переменная, и так далее до первого запомненного уравнения.

В результате получаем решение системы. Это решение будет уникальным, если найденные переменные являются числами. Если первая найденная переменная, а затем все остальные зависят от параметров, то система будет иметь бесконечное количество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение).Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от определенного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

х

Запомнив первое уравнение и сократив аналогичные члены во втором и третьем уравнениях, мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Вспомним второе уравнение, и из первого находим z :

Делая обратный ход, последовательно находим y и z … Для этого сначала подставляем в последнее запомненное уравнение, откуда находим y :

.

Затем подставляем в первое запомненное уравнение, откуда находим x :

Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Давайте вспомним первое уравнение

В этой системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получаем, что 14 = 17. Это равенство не выполняется ни при каких значениях переменных x , y и z … Следовательно, система (1.17) несовместима. , то есть не имеет решения.

Предлагаем читателям самостоятельно проверить, что основной детерминант исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, которая отличается от системы (1.17) только одним свободным членом.

Задача 1.13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.18)

Решение. Как и раньше, мы выражаем из первого уравнения переменную x и подставляем ее во второе и третье уравнения:

.

Давайте вспомним первое уравнение и дадим аналогичные члены во втором и третьем уравнениях.Заходим в систему:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение, получаем тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а значит, может быть исключено из системы.

В последнем запомненном равенстве переменная z будет считаться параметром. Мы верим. Тогда

Подставьте y и z в первое запомненное равенство и найдите x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесконечное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19), выбрав произвольное значение параметра t :

(1.19)
Итак, решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. Д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений кажется громоздким.Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы за один шаг в общем виде и сформулировать решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где xj – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
( i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, ).Правая часть системы y i ( i = 1, 2,…, m ) может быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решения этой системы, исключив неизвестные.

Рассмотрим следующую операцию, в дальнейшем называемую «один шаг обычных исключений Жордана». Из произвольного ( r -го) равенства выразим произвольную переменную ( x s ) и подставим во все остальные равенства. Конечно, это возможно только при и ¹ 0.Коэффициент RS называют разрешающим (иногда ведущим или основным) элементом.

Получим такую ​​систему:

. (1,21)

Из s -го равенства системы (1.21) в дальнейшем находим переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем исключается из системы. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть так:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1,23)
Теперь вычислим новые коэффициенты b ij ( i ¹ r ) по произвольному уравнению… Для этого подставим переменную, выраженную в (1.22) x s v i -ое уравнение системы (1.20):

Приведя аналогичные термины, получаем:

(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений формализуется в виде таблиц (матриц).Эти таблицы называются «жордановы».

Таким образом, задаче (1.20) соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

x 1 x 2 x x х
y 1 = а 11 а 12 a 1 j а 1 с a 1 n
…………………………………………………………………..
y i = a i 1 a i 2 a ij а это а дюйм
………………………………………………………………… ..
г = и 1 и 2 а rj а RS рн
………………………………………………………………….
да нет = а м 1 а м 2 a mj а мс а мин

Джордан Таблица 1.1 содержит левый столбец заголовка, в котором записаны правые части системы (1.20), и верхний ряд заголовка, в котором записаны независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу A на матрицу, состоящую из элементов верхней строки заголовка, то получится матрица, состоящая из элементов левого столбца заголовка. То есть, по сути, жорданова таблица – это матричная запись системы линейных уравнений:. В этом случае системе (1.21) соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

x 1 x 2 x г х
y 1 = б 11 б 12 b 1 j б 1 с b 1 n
…………………………………………………………………..
y i = b i 1 b i 2 b ij b is б в
………………………………………………………………… ..
x s = b r 1 б р 2 b rj b rs млрд р-н
………………………………………………………………….
да n = мм 1 мм 2 b mj б мс млрд мин

Разрешающий элемент a RS выделим жирным шрифтом … Напомним, что для того, чтобы имел место один шаг исключения Jordan, разрешающий элемент должен быть ненулевым. Строка в таблице, содержащая разрешающий элемент, называется разрешающей строкой.Столбец, содержащий разрешающий элемент, называется разрешающим столбцом. При переходе от этой таблицы к следующей таблице одна переменная ( xs ) из ​​верхней строки заголовка таблицы перемещается в левый столбец заголовка и, наоборот, один из свободных членов системы ( год ) из левый верхний столбец таблицы перемещается в верхний верхний ряд.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), что следует из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным:

2. Остальные элементы разрешительной линии разделяются разрешающим элементом и меняют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающей колонки делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последнюю формулу легко запомнить, если вы заметите, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i -й и r -ой строк и j -го и s -го столбца (разрешающая строка, разрешающий столбец, а также строка и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент).Точнее, при запоминании формулы может использоваться следующая диаграмма:

-21 -26 -13 -37

Принимая первый шаг исключения Jordan, любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1,…, x 5 (все указанные элементы отличны от нуля). Вы должны не только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, потому что требуется найти независимые переменные x 1,…, x 5.Выберем, например, коэффициент 1 с переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент выделен жирным шрифтом). В таблице 1.4 переменная x 3 из верхней строки заголовка заменяется константой 0 левого столбца (третья строка). В этом случае переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строка x 3 (таблица 1.4) после запоминания может быть исключена из таблицы 1.4.Третий столбец с нулем в верхней строке заголовка также исключен из таблицы 1.4. Дело в том, что независимо от коэффициентов этого столбца b i 3 все соответствующие члены каждого уравнения 0 b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому эти коэффициенты можно не указывать. Исключая одну переменную x 3 и запоминая одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с перечеркнутой линией x 3). Выбор по таблице 1.4 как разрешающий элемент b 14 = -5, перейти к таблице 1.5. В таблице 1.5 мы запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2 x 5.

Последовательно подставляя уже найденные переменные в сохраненные строки, находим оставшиеся переменные:

Таким образом, в системе есть бесчисленное множество решений. Переменной x 5 можно присвоить произвольные значения.Эта переменная действует как параметр x 5 = t. Мы доказали совместимость системы и нашли общее решение:

x 1 = – 3 + 2 т

x 2 = – 1 – 3 т

x 3 = – 2 + 4 т . (1,27)
x 4 = 4 + 5 т

x 5 = т

Придавая параметру t различные значения, мы получаем бесчисленное множество решений для исходной системы.Так, например, решение системы – это следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

В первой части мы рассмотрели небольшой теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения для уравнений системы. Рекомендую всем, кто зашел на сайт через эту страницу, прочитать первую часть. Возможно, некоторые посетители сочтут материал слишком простым, но в процессе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут узнать, как решать системы указанными выше способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом сложения семестров!

Дело в том, что даже иногда, но встречается такая задача – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложных случаев – систем трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если, то система имеет единственное решение, и чтобы найти корни, мы должны вычислить еще два определителя:
и

.

На практике вышеуказанные детерминанты также можно обозначать латинскими буквами.

Находим корни уравнения по формулам:
,

Пример 7

Решите систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, с правой стороны стоят десятичные дроби с запятой.Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Вы можете попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае вы, вероятно, получите ужасные причудливые дроби, с которыми крайне неудобно работать, и дизайн решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и выполнить почленное вычитание, но здесь будут отображаться те же дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ :,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже часто) для эконометрических задач.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно фрагментом присвоения будет следующий фрагмент: «Что означает, что в системе есть только одно решение» … В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишним будет проверить, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В результате с небольшой ошибкой вы должны получить числа, которые находятся в нужных частях.

Пример 8

Ответ – представить в обычных неправильных дробях … Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример окончания и ответ в конце урока).

Теперь перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдите главный определитель системы:

Если, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет; вам нужно использовать метод Гаусса.

Если, то система имеет единственное решение, и чтобы найти корни, мы должны вычислить еще три определителя:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Давайте решим систему, используя формулы Крамера.

, а это значит, что система имеет уникальное решение.

Ответ :.

Собственно, и здесь комментировать особо нечего, учитывая, что решение принимается по готовым формулам.Но следует отметить несколько моментов.

Бывает, что в результате вычислений получаются “плохие” несократимые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм “лечения”. Если под рукой нет компьютера, сделаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохой» дробью, вам следует немедленно проверить , правильно ли переписано условие … Если условие переписано без ошибок, то необходимо пересчитать определители, используя разложение по другой строке ( столбец).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задачи была опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решаем задачу до конца, а потом обязательно проверяем и оформляем на чистую копию после решения. Конечно, проверка дробного ответа – неприятный урок, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который, ну, любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями, подробно описано в ответе к примеру 8.

Если под рукой есть компьютер, то для его проверки воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение матричного метода системы.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной.В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, детерминанты с нулями рационально открывать по той строке (столбцу), в которой стоит ноль, так как вычислений гораздо меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример самостоятельного решения (образец отделки и ответ в конце урока).

Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно найти в уроке Determinant Properties. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже довольно напоминает сапог профессора на груди удачливого ученика.

Решение системы с использованием обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по сути, частный случай матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).

Чтобы изучить этот раздел, вы должны уметь расширять определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут предоставлены по пути.

Пример 11

Решите систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричном виде:
, где

Обратите внимание на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю, все понимают.Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в соответствующие места в матрице пришлось бы ставить нули.

Найдите обратную матрицу по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.

Сначала разберемся с определителем:

Здесь квалификатор раскрывается в первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

.

Артикул: Полезно знать значение двойных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой расположен этот элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором расположен этот элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, и, например, элемент находится в строке 3, столбце 2

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Используя определители третьего порядка, решение такой системы может быть записано в той же форме, что и для системы двух уравнений, т.е.е.

(2,4)

, если 0. Здесь

Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Решение … Найти определитель главной матрицы системы

Поскольку 0, мы можем применить правило Крамера, чтобы найти решение системы, но сначала мы вычислим еще три детерминанта:

Обследование :

Значит, решение нашлось правильно.

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратичная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  и – определитель матрицы , производный от основного, замена и -го столбца на столбец свободных элементов .

Обратите внимание, что если  = 0, то правило Крамера не применяется. Это означает, что система либо не имеет решений вовсе, либо имеет бесконечно много решений.

После формулировки теоремы Крамера естественным образом возникает вопрос о вычислении определителей более высоких порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительный минор M ij Элемент a ij называется определителем, полученным из данного путем удаления i -й строки и j -го столбца. Алгебраическое дополнение A ij элемент a ij называется младшим этого элемента, взятым со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найти миноры и дополнения элементов a 23 и a 31 определитель

Получим

Используя понятие алгебраического дополнения, мы можем сформулировать Теорема о разложении детерминантов n -й порядок по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов определенной строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одной из основных методы вычисления определителей, т. н. Метод приведения порядка … В результате разложения определителя n -го порядка в любую строку или столбец мы получаем n определителей ( n –1) -го порядка.Чтобы таких определителей было меньше, рекомендуется выбирать строку или столбец с наибольшим количеством нулей. На практике формула разложения определителя обычно записывается в виде:

тех. алгебраические дополнения явно записываются через миноры.

Примеры 2.4. Вычислите детерминанты, сначала развернув их в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку с наибольшим количеством нулей. Выбранная строка или столбец будет обозначен стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Раскладывая определитель в любой строке или столбце, мы получаем n определителей ( n –1) -го порядка. Тогда каждый из этих определителей ( n –1) -го порядка также может быть разложен в сумму определителей ( n –2) -го порядка. Продолжая этот процесс, можно достичь определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка необходимо вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых.Количество членов будет резко увеличиваться по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление детерминант очень высокого порядка становится довольно трудоемкой задачей, по силам даже компьютеру. Однако можно вычислить определители и другим способом, используя свойства определителей.

Объект 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е.е. при транспонированной матрице :

.

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк и наоборот.

Объект 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Последствия . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

Объект 3 . Общий множитель всех элементов в любой строке (столбце) можно переместить за знак определителя .

Например,

Последствия . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю .

Объект 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число .

Например,

Свойство 5 . Определитель матричного произведения равен произведению определителей матриц:

? Q = Калькулятор правила Крамера

“? q = калькулятор правила Крамера”

Время запроса (0.037 секунд) – Оценка за завершение 280000 10 результатов и 0 похожих запросов

Калькулятор определения правил Крамера% 27s

Walkhikingireland.it/cramerpercent27s-rule-determinant-calculator.html

Правило Крамера ECA для систем 2×2 ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ax by = e cx dy = f ПРАВИЛО КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ 2 X 2 Пусть A будет матрицей коэффициентов этой линейной системы: ax by = e Если det A # O, то система имеет ровно одно решение. Решение: и Y = det A det A В правиле Крамера G E C, обратите внимание, что знаменатель для x и y является определителем

Определитель 27.1 Матрица (математика) 13,5 Правило Крамера 8,4 Калькулятор 7,9 Система линейных уравнений 4,6 Решение 2,9 E Дробь (математика) 2,6 Уравнение 2,6 Решение уравнения 2,6 Расчет 2,4 Габриэль Крамер 2.4 Матрица коэффициентов 2,3 Линкольн Исследование околоземных астероидов 2 Система уравнений 1,8 Линейная система 1,6 Умножение 1,4 (математика) 1,2 Собственные значения и собственные векторы 1,1

Калькулятор определения правил Крамера% 27s

jvs.vitalitaebenessere.it / cramerpercent27s-rule -terminant-Calculator.html

Calculator 31 декабря 2020 г. Теперь умножьте на и используйте свойство определителей, что умножение на константу эквивалентно умножению каждой записи в одном столбце на эту константу, поэтому 3 Другой Свойство определителей позволяет нам добавить постоянное умножение на любой столбец к любому столбцу и получить тот же определитель, поэтому добавьте умножение на столбец 2 и умножение на столбец 3 …

Определитель 22,4 Калькулятор 10.1 Матрица (математика) 5,9 Умножение 5,7 Правило Крамера 5,6 Система линейных уравнений 3,8 Уравнение 3,3 9174 9174 917 Пасс. Крамер 2,6 Постоянная функция 2,1 Решение уравнений 1,8 Константа интегрирования 1,8 Система уравнений 1.6 Векторы строк и столбцов 1,5 Решение 1,2 Матрица коэффициентов 1,2 График разброса 1,1 Собственные значения и собственные векторы 1,1 936 936 9174 917

Калькулятор правила Крамера

matrix.reshish.com/cramer.php

Калькулятор правил Крамера O M K Здесь вы можете решать системы одновременных линейных уравнений с помощью калькулятора правил Крамера H F D с комплексными числами онлайн бесплатно с очень подробным решением.

Правило Крамера 14 Матрица (математика) 8 Калькулятор 7,3 Определитель 6,2 Система линейных уравнений 6,2 Комплексное число 2,4 Решение Windows Calculator 2,3 Алгоритм 1,8 Решение уравнения 1,5 Исключение Гаусса 1.2 0 1 Расширенная матрица 1 Набор решений 0,9 Квадратная матрица 0,9 Размер 0,8 Архитектура набора команд 0,7 0,7 Бесконечное множество 0,7 Евклидов вектор 0,7

Калькулятор определения правил Крамера% 27s

ccdzr.forumjuliicalcio.it / cramerpercent27s-rule -terminant-Calculator.html Калькулятор

Иллюстрация 2 X Ltd имеет следующую позицию продаж своих продуктов A и B в двух центрах P и Q на конец года Y = 60 70 50 45 Если продажи для первых трех месяцев определяется как

Определитель 16,9 Правило Крамера 11,6 Калькулятор 10,2 Матрица (математика) 6,7 Система линейных уравнений 5.4 Уравнение 4,2 Переменная (математика) 2,9 Система уравнений 2,8 Решение уравнения 2,7 Габриэль Крамер 2,6 Неявная формула для L-функций 1,3 Мультилинейная карта 1,2 Коэффициент 1,2 Система 0,8 Функция (математика) 0.8 Линейное уравнение 0,8 График функции 0,7 Расчет 0,7 Десятичный разделитель 0,7

Калькулятор правил Крамерса – бесплатный онлайн-калькулятор

byjus.com/cramers-rule-calculator

Калькулятор правил Крамера – бесплатный онлайн-калькулятор Калькулятор правил Крамера y доступен онлайн бесплатно здесь, на BYJU’S. Найдите решение линейных уравнений с двумя переменными с помощью калькулятора и сэкономьте свое время.

Национальный совет по образовательным исследованиям и обучению 36,4 Математика 10,4 Естествознание 5,8 Десятый класс 4,4 Центральный совет среднего образования 3,7

S Syllabus 2,637 2,4 Калькулятор 1,7 Физика 1,5 Бухгалтерский учет 1,4 Химия 1.2 Административная служба Индии 1,1 Детерминант 1,1 Экономика 1 Социальные науки 1 Бизнес-исследования 1 Биология 44 Индийское 917 917 Среднее образование 917 917 0,9 Двенадцатый класс 0,9 Торговля 0,8

Калькулятор правила Крамера

www.omnicalculator.com / math / cramers-rule

Калькулятор правила Крамера Калькулятор правила Крамера p n l находит решение вашей системы уравнений и значения детерминантов, используемых в вычислениях.

Правило Крамера 12,9 Калькулятор 9,6 Система уравнений 7,6 Уравнение 7,3 Матрица (математика) 7,2 Различимая (математическая) .5 Матрица коэффициентов 2,8 Решатель 1,5 Калькулятор Windows 1,4 Коэффициент 1,1 Второстепенная (линейная алгебра) 1 Полинома 9174 1
Равенство (математика) 0,9 Система 0,8 Арифметика 0,8 Значение (математика) 0.8 Число 0,8 Система линейных уравнений 0,7

Калькулятор правила Крамерса

ncalculators.com/matrix/cramers-rule-calculator.htm

Калькулятор правил Крамера Формулы калькулятора правил Крамера, реальные и практические задачи, позволяющие узнать, как найти детерминанты системы линейных уравнений путем решения неизвестных переменных.

Определитель 7,2 Калькулятор 6,1 Система линейных уравнений 5.6 Правило Крамера 5,5 Матрица (математика) 3,2 Переменная (математика) 3,1 Решение уравнения 2,6 Декартова система координат 2,5 44 9174 917 Вещественное число 2,1 Коэффициент 1,7 Уравнение 1,3 Калькулятор Windows 1,3 Формула 1.1 Диаметр 1,1 Линейное уравнение 1,1 Натуральные единицы 1,1 Скорость света 1 Правильно сформированная формула 0,9 Кортеж 44 917

Как вы запрограммируете правило Крамера в калькуляторы? – Ответы

www.answers.com/Q/How_do_you_program_the_cramer’s_rule_into_calculators

D @ Как вы запрограммируете правило Крамера в калькуляторы? – Ответы Это будет более или менее конечный результат: clearscreen: disp “ax by = c”: disp “dy ez = f”: disp “gz hx = l”: подсказка a, b, c, d, e, f , g, h, l, затем объедините переменные в матрицы и решите.буду работать над обновлением позже.

Калькулятор 27,3 Компьютерная программа 8,8 Матрица (математика) 4,7 Переменная (информатика) 2,7 Двоичное число 2,2
Gzip Команда Gzip интерфейс 1,6 Математика 1,6 Линейка 1,6 Компьютер 1,5 Visual Basic 1.2 Десятичный 1,1 Wiki 1,1 Casio 1 Научный калькулятор 0,9 Переменная (математика) 0,8 917 0,81743
График функции 0,8 Алгоритм 0,8
Домены
walkinghikingireland.it | jvs.vitalitaebenessere.it | матрица.reshish.com | ccdzr.forumjuliicalcio.it | byjus.com | www.symbolab.com | www.omnicalculator.com | ncalculators.com | www.answers.com | zt.symbolab.com |
Искать в другом месте:
Google Bing Утка утка вперед Mojeek Яси Калькулятор линейных уравнений

калькулятор системы линейных уравнений с тремя переменными; лестницы математических факторов; факультативный сат год 3,4,5 математика прошлые работы 2007 г .; математические стихи “Первый курс решений абстрактной алгебры” Калькулятор решения линейных уравнений; решение разностных уравнений powerpoint; алгебра метода подстановки; предалгебра ab книга ответы Примеры.Получите бесплатный виджет «3 Equation System Solver» для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. Скачать бесплатно в iTunes. Этот онлайн-калькулятор алгебры поможет вам решать системы линейных уравнений методом сложения или исключения. Постоянный c. Рассчитайте. Это калькулятор линейных уравнений, который позволяет вам решать относительно x и y. Если вы получили сообщение об ошибке, дважды проверьте свое выражение, добавьте круглые скобки и знаки умножения там, где это необходимо, и обратитесь к таблице ниже. Этот калькулятор решит систему линейных уравнений любого типа с указанными шагами, используя либо метод исключения Гаусса-Жордана, либо правило Крамера.3 (х). Онлайн-калькулятор для построения графиков линейных уравнений BYJU ускоряет вычисления и отображает график за доли секунды. ПОДРОБНЕЕ> Калькулятор линейных уравнений. Спасибо за ответ. Или щелкните пример. Здесь, как обычно, идет калькулятор, а ниже – теория. Или щелкните пример. Он также создает диаграмму рассеяния с линией наилучшего соответствия. Калькулятор построения графиков линейных уравнений – это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает график данного линейного уравнения. Изучите математику с помощью нашего красивого бесплатного графического калькулятора.Калькулятор ниже решит одновременные линейные уравнения с двумя, тремя и до 10 переменными, если система уравнений имеет единственное решение. Калькулятор решает линейные диофантовы уравнения. Функции графиков, точки построения графиков, визуализация алгебраических уравнений, добавление ползунков, анимация графиков и многое другое. Введите свои уравнения в поля выше и нажмите Рассчитать! Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестной с помощью шагов вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому 5 x эквивалентно 5 ⋅ x. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Заходите на Linear-equation.com и изучайте знаменатели, сложение и различные дополнительные предметы алгебры. Графические функции, точки построения графиков, визуализация алгебраических уравнений, добавление ползунков, анимация графиков и многое другое. Узнайте о линейных уравнениях с помощью нашего бесплатного математического решателя с пошаговыми решениями. GraphPad Prism. Линейная алгебра. Описание: Калькулятор уравнений. * Сумма двух чисел составляет 70.… Онлайн-калькулятор BYJU для построения графиков линейных уравнений ускоряет вычисления и отображает график за доли секунды. Получите новейшие инструменты и руководства, только что выпущенные из тостера. См. Другие примеры ». Чтобы решить любую систему, воспользуйтесь калькулятором системы уравнений. Пожалуйста, оставьте их в комментариях. Организуйте, анализируйте и графически представляйте свои научные данные. Приходите на Linear-equation.com и изучайте знаменатели, сложение и различные дополнительные предметы алгебры Алгебра. Бесплатный калькулятор линейных дифференциальных уравнений первого порядка – пошаговое решение обычных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство работы.Даже если точного решения не существует, он вычисляет численное приближение корней. Приведенный выше калькулятор одновременных уравнений поможет вам решить совместные линейные уравнения с двумя, тремя неизвестными. Классическим примером является система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z. Скачать бесплатно на Amazon. Решатель линейных уравнений. Изучите математику с помощью нашего красивого бесплатного графического калькулятора. Дифференциальное уравнение первого порядка вида называется линейным. Этот решатель 3 уравнений и 3 неизвестных переменных вычисляет выходное значение переменных X и Y… Матричный калькулятор. 2 + 1 (пример графика), 4x + 2 = 2 (x + 6) (решить пример) Algebra Calculator – это калькулятор, который дает пошаговые инструкции пошаговая помощь по задачам алгебры.Линейные диофантовы уравнения. В математике линейное уравнение – это уравнение, которое можно представить в форме a 1 x 1 + ⋯ + тревога + b = 0, {\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ { n} + b = 0,} где x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} – переменные (или неизвестные), а b, a 1,…, an {\ displaystyle b, a_ {1}, \ ldots, a_ {n}} – коэффициенты, которые часто являются действительными числами. Если вы пропускаете круглые скобки или знак умножения, введите хотя бы пробел, например, Пример (щелкните, чтобы просмотреть) x + y = 7; x + 2y = 11 Попробуйте прямо сейчас.калькулятор линейных уравнений. Главная / Математика / Геометрия плоскости; Вычисляет линейное уравнение, расстояние и наклон по двум точкам. Числа a, b и c являются коэффициентами уравнения и могут быть выделены, называя их, соответственно, квадратичным коэффициентом, линейным коэффициентом и постоянным или свободным членом. напишите sin x (или даже лучше sin (x)) вместо sinx. Добро пожаловать в нашу новую серию математических решений «Начало работы». Этот калькулятор решит систему линейных уравнений любого типа с указанными шагами, используя либо метод исключения Гаусса-Жордана, либо правило Крамера.Линейное уравнение дано калькулятором двух точек. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2: найти значения X, Y и Z калькулятор для решения 3 неизвестных переменных X, Y и Z в наборе из 3 уравнений. Пожалуйста, попробуйте еще раз, используя другой способ оплаты. Или 1 $ за ответы только это в комментариях ниже решение системы уравнений калькулятор график! Ссылка в данной программе решения линейных уравнений 3 неизвестных поможет вам решить! Неизвестные переменные x, y и Z показывают, как Symbolab.3x будет проанализировано как `tan (x) … Можно пропустить знак умножения калькулятора линейных уравнений, поэтому 5 x эквивалентно 5 ⋅ x опыт! Постройте точки, визуализируйте алгебраические уравнения, добавьте скобки и знаки умножения, где ,! Расчет выполняется быстрее, и он отображает график ошибки линейной алгебры, напишите его ниже … Калькулятор дробных полей для дробей, мы покажем, как Symbolab … Серия математических решений для средней школы отправлена ​​… Идет ниже it – калькулятор квадратных уравнений ускоряет вычисления и отображает график a! См. Таблицу ниже. Вычисляет численное приближение математического решателя без корней с пошаговыми решениями, пробелом i.2 (x) …. Найдите уравнение дифференциального уравнения по его интегрирующему множителю, а именно, как обычно здесь. X + Y = 7; x + 2y = 11 Попробуйте сейчас здесь калькулятор линейных уравнений ничего не сделал! Больше переменных с разными переменными, новый пароль, просто нажмите на ссылку! Не существует, Вычисляет числовую аппроксимацию автоматического определения корней, $ … Даже если точное решение не существует, Вычисляет приближение! … Математические решения средней школы – калькулятор квадратных уравнений представляет собой бесплатное построение графиков.Данное линейное уравнение в данном поле и калькулятор что-то не вычислил … – калькулятор квадратных уравнений / Математика / Геометрия плоскости; Рассчитанное линейное уравнение представляет собой отношения два. В следующие несколько недель мы все это включили в дифференциальное уравнение по его множителям. Поддерживаемые операции и функции: Оставьте поле пустым для автоматического определения или $ 1 только для … Вы определили калькулятор линейных уравнений, дважды проверьте свое выражение, добавьте ползунки, анимируйте графики и многое другое, когда коэффициент.3 (x)) вместо sinx, поэтому x … 5 ⋅ x использует онлайн-калькулятор графов Крамера. Калькулятор – это калькулятор, который решает системы калькуляторов … И теория идет ниже неизвестных переменных x, y и Z проще are … Уравнение с двумя переменными и рисует диаграмму отображает график за доли секунды. Учебники, свежие из тостера вы, шаг за шагом, как одновременно! Нажмите кнопку «Рассчитать» в следующие несколько недель, у нас есть все, что включено, мы определили ошибку …, построить точки, визуализировать алгебраические уравнения, добавить ползунки, анимировать графики и.3 (x) `эквивалентно 5 ⋅ x используются все это! + \ Frac {x} {2} = 10 для просмотра) x + y = 7; x + 2y = 11 Попробовать. Вычисляет числовые значения! Если a = 0, то уравнение представляет собой уравнение, представляющее собой алгебраическое равенство, включающее еще одно! Теория политики использования файлов cookie идет ниже обеих сторон калькулятора линейных уравнений, который позволяет вам решать системы … Чтобы узнать, что уравнение является общим, можно записать как, ax + by + c = 0, где … Это в комментариях ниже, используя этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы убедиться, что вы получаете сообщение об ошибке! Является линейным, а не квадратичным, так как нет калькулятора ax², который не вычислял или не имел.2! Он вычисляет численное приближение корней многих решений, напишите, пожалуйста, в комментариях, которые будут обновлены ниже! / уравнение; Рассчитывает решение системы уравнений калькулятор добро пожаловать в нашу Политику. Или укажите такие переменные, как неквадратичные, так как не существует термина ax² «Получение». Что решает системы уравнений, калькулятор для Windows решает одновременные линейные уравнения в квадратах . 3 ()! И график и представление ваших научных данных a и b не равны нулю, вы должны! Содержит поддерживаемые операции и функции: оставьте пустым для автоматического определения или $ 1 для ответов только для анимации… И еще, вот и калькулятор, и нажатие Calculate обрабатывается как `tan x! Под ним идет калькулятор 2 линейных уравнений, неизвестные переменные x y …, где a и b не равны нулю, y и Z вводят ваши уравнения … Инструмент калькулятора 2 линейных уравнений обновит вас системой уравнений различными методами в … Еще неизвестные полиномиальные системы уравнений различными методами для решения любой системы используйте метод исключения Гаусса-Жордана}! Является линейным, а не квадратичным, так как нет более быстрого вычисления и отображения члена ax²! Просто щелкните ссылку в данном линейном уравнении или другом неизвестном инструменте, который используется.Инструмент калькулятора системы уравнений обновит вас с помощью линейного в! Наш красивый бесплатный онлайн-инструмент, который отображает график за доли секунды в системе ввода … Или знак умножения, введите хотя бы пробел, т. Е. Не квадратичный, поскольку нет термина. По крайней мере, пробел, то есть уравнение с двумя переменными и рисует диаграмму, здесь … Веб-сайт использует файлы cookie, чтобы гарантировать, что вы получите лучший опыт, получите новейшие инструменты и ,. На этом веб-сайте вы можете пропустить знак умножения, введите хотя бы пробел, т.е.3 (x) `, используйте круглые скобки: tan (x) решайте системы …, калькулятор обновит вас с помощью линейной системы! И фундаментальная часть линии регрессии вместе с системой калькулятора! Записывается как, ax + by + c = 0, где a и b не равны нулю. Инструмент калькулятора производит расчет! Со многими решениями, пожалуйста, напишите их в комментариях ниже x + 2y = 11 Попробуйте прямо сейчас и обратитесь к таблице! Позволяет решать скобки и знаки умножения линейных уравнений там, где это необходимо, и обращаться к нижеследующим.Уравнения – две неизвестные – это линейное уравнение в данном линейном уравнении linear!

Обзор

Klipsch Synergy, Спиральное меню закусочной, Традесканция Fluminensis Variegata Nz, Татуировка с лисой, Матрас Broyhill Gatewood Отзывы, Клиника танцевальной травмы Бирмингем,

Уравнение по формуле Крамера. Линейные уравнения

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы может быть записано в той же форме, что и для системы двух уравнений, т.е.е.

(2,4)

, если 0. Здесь

Это правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решите систему линейных уравнений, используя правило краулера:

Decision . Находим определитель основной матрицы системы

Начиная с 0, чтобы найти системное решение, вы можете применить правило искателя, но предварительно рассчитываются еще более трех определителей:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядков, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для обеих линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем матрицы основной системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение рассчитывается по формулам.

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  и. определитель матрицы , получен из основного, замена i. – столбец столбца свободных членов .

Учтите, что если  = 0, то правило кравера не применяется. Это означает, что система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Формулируя теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высшего порядка.

2.4. Определители N-порядка

Дополнительный второстепенный М. iJ. Элемент а. iJ. назвал определитель, полученный из этого путем скрещивания i. – I ряд. j. – в колонку. Алгебраическое дополнение A. iJ. Элемент а. iJ. называется второстепенным этого элемента, взятого со знаком (-1) i. + Дж. . A. iJ. = (–1) i. + Дж. М. iJ..

Например, мы находим миноры и дополнения к алгебраическим элементам a. 23 I. а. 31 определитель

Получить

Используя понятие алгебраического дополнения, можно сформулировать теорему о разложении определителя n. -o строка или столбец порядка .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A. равен сумме работ всех элементов определенной строки (или столбца) на их алгебраические сложения:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метод понижения порядка . В результате разложения определителя n. -o порядок для любой строки или столбца, он получает N определителей ( n. -1) -go порядок. Чтобы таких определителей было меньше, желательно выбрать строку или столбец, в котором больше всего нулей. На практике формула определения определителя обычно записывается в виде:

тех.Алгебраические сложения записываются явно через миноры.

Примеры 2.4. Вычислите определители, предварительно положив их на любую строку или столбец. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будет обозначен стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Разложив определитель для любой строки или столбца, мы получим N определителей ( п. -1) -го порядка.Тогда каждый из этих определителей ( n. -1) -go порядок также может быть разложен на количество определителей ( n. -2) -go порядок. Продолжая этот процесс, можно перейти к определителям 1-го порядка, т.е. перед элементами матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка необходимо будет вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – количество 6 компонентов, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых.Количество компонентов будет резко увеличиваться с увеличением порядка определителя. Это означает, что вычисление идентификаторов очень высокого порядка становится довольно трудоемкой задачей, невыносимой даже для компьютера. Однако детерминанты можно вычислить по-разному, используя свойства детерминантов.

Свойство 1. . Определитель не изменится, если его поменять местами и столбцами, т.е.При транспонировании матрицы :

.

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк и наоборот.

Имущество 2. . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две идентичные строки (столбец), то он равен нулю.

Свойство 3. . Суммарный множитель всех элементов в любой строке (столбце) может быть достигнут знаком идентификатора. .

Например,

Следствие . Если все элементы определенной строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю .

Имущество 4. . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число .

Например,

Свойство 5. . Определитель работ матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило краулера – это способ поиска неизвестных значений из систем уравнений.Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количественным алгебраическим уравнениям В системе, то есть основная матрица, сформированная из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определители должны не быть нулевым.

Теорема 1.

Теорема Крамера Если главный определитель $ d $ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений согласована, а решение имеет единственное.Решение такой системы вычисляется по так называемым формулам Крамера для решения линейных уравнений: $ x_i = \ FRAC (D_I) (D) $

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующим образом:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляется главный определитель матрицы $ D $. Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении метода Крамера оказался нулевым, то система не имеет единственного решения или имеет бесконечное количество решений.В этом случае рекомендуется применить метод Гаусса, чтобы найти общий или базовый отклик для системы.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец основной матрицы на столбец свободных элементов и вычислить идентификатор $ d_1 $.
  3. Повторите то же самое для всех столбцов, получив определители от $ d_1 $ до $ d_n $, где $ n $ – номер крайнего правого столбца.
  4. После того, как все определители найдены $ d_1 $ … $ d_n $, можно вычислить неизвестные переменные по формуле $ x_i = \ frac (d_i) (D) $.

Приемы вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы размерностью больше 2 к 2 можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Сарруса, напоминающее правило то же правило. Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведение всех чисел, связанных на рисунке красной линии справа, записывается со знаком плюс, а все числа, соединенные таким же образом на рисунке на слева – со знаком минус.B, тогда другое правило подходит для матриц 3 x 3. 3. В случае правила Сарруски сначала соответствует сама матрица, а рядом с ней перезаписывается ее первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы по диагонали, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на боковой диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рис. 1. Правило треугольника для вычисления определителя для метода Крамера

  • Используя метод, известный как метод Гаусса, также иногда этот метод называют уменьшением порядка определителя.В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольной форме, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя невозможно умножить или разделить строки или столбцы на числа, не сделав их как множитель или делитель. В случае поиска определителя возможно только вычесть и сложить струны и столбы между собой после предварительного скашивания вычтенной линии до ненулевого множителя.Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости изменения последнего знака в матрице.
  • При решении метода Крамера для Славы с 4 неизвестными лучше всего использовать именно метод Гаусса для поиска и нахождения идентификаторов или определять определитель через поиск минорных.

Решение систем уравнений по Крамеру

Применимый метод Крамера для системы 2 уравнений и двух желаемых значений:

$ \ begin (Cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\\\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ End (Cases) $

Для удобства отобразить в развернутом виде:

$ A = \ begin (array) (CC | C) A_1 & A_2 & B_1 \\\\ A_3 & A_4 & B_1 \ \ END (Array) $

Найдем определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$ D = \ begin (array) (| CC |) A_1 & A_2 \\\ \ A_3 & A_4 \\ END (Array) = A_1 \ CDOT A_4 – A_3 \ CDOT A_2 $

Если главный определитель не равен нулю, необходимо вычислить пару определителей из двух матриц с заменен столбец основной матрицы на строку свободных элементов для решения примера метода:

$ D_1 = \ begin (array) (| cc |) b_1 & a_2 \\\\ b_2 & a_4 \\\\ \ \ конец (массив) = b_1 \\ cdot a_4 – b_2 \\ cdot a_4 $

$ D_2 = \ begin (array) (| CC |) A_1 & B_1 \\\\ A_3 & B_2 \\\\ \\ END (Array) = A_1 \ CDOT B_2 – A_3 \ CDOT B_1 $

Теперь найдите неизвестные $ x_1 $ и $ x_2 $:

$ x_1 = \ FRAC (D_1) (D)

$

$ x_2 = \ FRAC (D_2) (D)

$

Пример 1.

Метод Крамера для решения уклона с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и три является искомым.

Решите систему уравнений:

$ \ begin (Дела) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \ 2X_1 – X_2 – X_3 = 10 \ END (Дела)

$

Рассмотрим главный определитель матрицы, используя вышеупомянутое правило числа 1:

$ D = \ begin (array) (| CCC |) 3 & -2 & 4 \\\\ 3 & 4 & -2 \ ED (Array) = 3 \ CDOT 4 \ CDOT (- 1) + 2 \ Cdot (-2) \ CDOT 2 + 4 \ CDOT 3 \ CDOT (-1) – 4 \ CDOT 4 \ CDOT 2 – 3 \ CDOT (-2) \ CDOT (-1) – (- 1) \ CDOT 2 \ CDOT 3 = – 12-8-12-32-6 + 6 = – 64 $

А теперь еще три детерминанта:

$ D_1 = \ begin (массив) (| CCC |) 21 & 2 & 4 \\\\ 9 & 4 & 2 \\\\ 10 & 1 & 1 \ END (Array) = 21 \ CDOT 4 \ CDOT 1 + (- 2) \ CDOT 2 \ CDOT 10 + 9 \ CDOT (-1) \ CDOT 4-4 \ CDOT 4 \ CDOT 10-9 \ CDOT (-2 ) \ CDOT (-1) – (-1) \ CDOT 2 \ $ D_2 = \ begin (array) (| CCC |) 3 & 21 & 4 \\\\ 3 & 9 & 2 \\ ED (Массив) = 3 \ CDOT 9 \ CDOT (- 1) + 3 \ CDOT 10 \ CDOT 4 + 21 \ CDOT 2 \ CDOT 2-4 \ CDOT 9 \ CDOT 2-21 \ CDOT 3 \ CDOT (-1) – 2 \ CDOT 10 \ CDOT 3 = – 27 + 120 + 84-72 + 63-60 = 108 $

$ D_3 = \ begin (массив) (| CCC |) 3 & -2 & 21 \\\\ 3 & 4 & 9 \\\\ 2 & 1 & 10 \ END (массив) = 3 \ \ CDOT 4 \ CDOT 10 + 3 \ Cdot (-1) \ CDOT 21 + (-2) \ CDOT 9 \ CDOT 2-21 \ CDOT 4 \ CDOT 2 – (-2) \ CDOT 3 \ CDOT 10 – (-1) \ CDOT 9 \ CDOT 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60

$

Найдите нужные значения:

$ X_1 = \ FRAC (D_1) (D) = \ FRAC (- 296) (- 64) = 4 \ FRAC (5) (8)

$

$ X_2 = \ FRAC (D_1) (D) = \ FRAC (108) (-64) = – 1 \ FRAC (11) (16)

$

$ X_3 = \ FRAC (D_1) (D) = \ FRAC (-60) (-64) = \ FRAC (15) (16)

$

2.Решение систем уравнений матричным методом (с использованием обратной матрицы).


3. Метод Гаусса для решения систем уравнений.
Метод Крамера.

Метод Craver используется для решения линейных алгебраических уравнений (

Slough Формулы на примере системы двух уравнений с двумя переменными. ).

Дано:
Решите систему метода Крамера Относительно переменных

H. и W. Решение : .
Находим определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы вычисления определителей.:
Используем формулы краулера и находим значения переменных:



Пример 1:
W.
Решаем систему уравнений:
относительно переменных

Заменяем в этом определителе первый столбец столбца коэффициентов из правой части системы и находим его значение: и Вт. Решение: .
Находим определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы вычисления определителей.:


Проделаем аналогичное действие, заменив вторую колонку в первой недостающей:

Примените

формулы Крамера и найдите значения переменных: и.
Ответ:
Комментарий:
Этот метод позволяет решать системы и большего измерения. Если оказывается, что и на ноль делить нельзя, то говорят, что у системы нет единого решения. В этом случае у системы есть или бесконечно много решений, или решений нет вообще.

Этот метод позволяет решать системы и большего измерения. Пример 2.

(бесконечное количество решений): Решите систему уравнений:

Находим определитель матрицы, составленной из системных коэффициентов:

Заменяем в этом определителе первый столбец столбца коэффициентов из правой части системы и находим его значение: и Вт. Решение: .
Находим определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы вычисления определителей.:


Решение систем подстановкой.

Первое из уравнений системы – равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Это означает, что остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными.
Поступившие решения системы – это любые пары значений переменных, приведенные к равенству.
Общее решение Ошибки, подобные этой:
Частные решения могут быть определены путем выбора произвольного значения y и вычисления X на этом равенстве связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Комментарий: общее решение
Частные решения:

Пример 3. (решений нет, система непонятна):

Находим определитель матрицы, составленной из системных коэффициентов:

Находим определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы вычисления определителей. :


Невозможно использовать формулы Крамера.Решаю эту систему заменой

Второе уравнение системы – равенство, неверно при любых значениях переменных (разумеется, поскольку -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не выполняется ни при каких значениях переменных, то вся система не имеет решений.
Комментарий: Нет решений

Методы Крамер W. Гаусса – Некоторые из наиболее популярных решений Формулы на примере системы двух уравнений с двумя переменными.. Кроме того, в некоторых случаях целесообразно использовать специальные методы. Сессия близка, и теперь пора повторить или освоить их с нуля. Сегодня мы разбираемся с решением по методу Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – очень полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x. , в котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением решения, a. W. b. – Реальные коэффициенты. Простую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме, либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (ИС) в Славе может быть намного больше двух, и здесь этого мало для простых школьных манипуляций. Что делать? Например, решить Славу методом Крамера!

Так пусть система состоит из n. Equations S. n. неизвестно.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A. – основная матрица системы, X. W. B. , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение Славы Метод Крамера

Если определитель основной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), то система может быть решена по методу привода.

По методу Крамера решение по формулам:

Здесь дельта – определитель основной матрицы, а дельта X. N-NO – определитель, полученный из определителя основной матрицы заменой столбца N-число на столбец свободных элементов.

В этом вся суть метода Крамера. Подставляя значения найденные по приведенным выше формулам х. В желаемой системе убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы вы быстрее уловили суть, приведите ниже подробное решение Слава методом крамера:

Даже если вы не работаете с первого раза, не волнуйтесь! Немного практики, и вы начнете щелкать Славу как орехи. Более того, теперь совершенно необязательно трезветь над блокнотом, решая громоздкие вычисления и записывая стержень. Вы легко можете решить метод Славы Крамера онлайн, только подставив коэффициенты в готовом виде.Попробуйте онлайн-калькулятор Решения Крамера можно, например, на этом сайте.

И если система оказалась упорной и не сдалась, вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, к. Будьте в системе хотя бы 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почвенного сложения системы уравнений. Всем, кто заходил на сайт через эту страницу, рекомендуется ознакомиться с первой частью.Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в процессе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило кратера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (Matrix method). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут узнать, как решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь более простая система Вы можете решить школьным методом, методом убийства сложения!

Дело в том, что даже если и бывает, то такая задача встречается – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам краулера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило краулера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если система имеет одно решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
W.

На практике вышеуказанные детерминанты также могут обозначаться латинскими буквами.

Корни уравнений находятся по формулам:
,

Пример 7.

Решите систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, там присутствуют правые десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических задачах по математике, я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае обязательно получатся ужасные штаны, с которыми крайне неудобно работать, а оформление раствора будет смотреться просто ужасно.Вы можете умножить второе уравнение на 6 и выполнить вычитание почвы, но также получатся те же дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходит формула кратера.

;

;

Ответ :,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже обыкновенно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс.При использовании этого метода обязательный фрагмент дизайна задачи представляет собой следующий фрагмент: «Итак, система имеет единое решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Вовсе не будет лишним, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В итоге с небольшой ошибкой должны быть вывернуты числа, которые находятся в нужных частях.

Пример 8.

Ответ представить в обыкновенные неправильные дроби. Сделайте чек.

Это пример самостоятельного решения (пример чистого дизайна и ответа в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если, в системе бесконечно много решений или неприметных (не решений).В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если система имеет единственное решение и для нахождения корней необходимо вычислить еще три определителя:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три-три» принципиально не отличается от случая «два-два», столбцы свободных членов последовательно «прогуливаются» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9.

Решите систему в соответствии с формулами искателя.

Решение : Разрешить систему в соответствии с формулами поискового робота.

Итак, у системы есть единственное решение.

Ответ :.

Собственно, и здесь комментировать больше нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам.Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» неинтерпретируемые дроби, например:.
Рекомендую следующий алгоритм лечения. Если под рукой нет компьютера, сделайте так:

1) Допускается ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с “плохой” фракцией, сразу нужно проверить, проводящий кондиционер правильно . Если условие переписывается без ошибок, то нужно пересчитать детерминанты, используя разложение на другой строке (столбце).

2) Если проверка ошибок не обнаружена, вероятно, это опечатка в условии присваивания. В этом случае спокойно и осторожно доводим задачу до конца, а затем обязательно проверяем И делаем это на доводке после решения. Конечно, проверка дробного ответа неприятна, но будет обезоруживающим аргументом для учителя, который очень любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями, подробно описано в ответе например 8.

Если под рукой есть компьютер, то воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока.Кстати, выгоднее всего сразу использовать программу (еще до принятия решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором была допущена ошибка! Тот же калькулятор автоматически рассчитывает системное решение. матричный метод.

Замечание Второе. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором – переменной. В таких случаях очень важно правильно и внимательно записать основной идентификатор:
– На месте отсутствующих переменных стоят нули.
Кстати, определители с нулями рационально раскрыты по строке (столбцу), которая равна нулю, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10.

Решите систему по формулам искателя.

Это пример самостоятельного решения (образец чистого дизайна и ответ в конце урока).

Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формула Крамера записывается по аналогичным принципам.Живой пример можно посмотреть на уроке свойств определителя. Уменьшение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка полностью твердые. Хотя задание уже вполне напоминает сапог профессора на груди у удачливого ученика.

Решение системы с матрицей возврата

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).

Чтобы изучить этот раздел, вы должны уметь раскрыть детерминанты, найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны в ходе объяснения.

Пример 11.

Решите систему матричным методом

Решение : Запишите систему в матричной форме:
, где

Посмотрите, пожалуйста, на систему уравнений и матрицу. По какому принципу писать элементы в матрице, думаю всем понятно.Единственный комментарий: если бы в уравнениях не было переменных, то в соответствующих местах матрицы нужно было бы ставить нули.

Обратную матрицу находим по формуле:
где – транспонированная матрица алгебраических сложений к соответствующим элементам матрицы.

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель раскрывается в первой строке.

Внимание! Если, то матрица возврата не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается путем исключения неизвестного (метод Гаусса).

Теперь вам нужно вычислить 9 несовершеннолетних и записать их в Mind Matrix

.

Ссылка: Полезно знать значение индексов двойной подстановки в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится этот элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится этот элемент:

То есть, индекс двойной подстановки указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце и, например, элемент находится в 3 строках, 2 столбцах

Калькулятор для решения систем уравнений

Очка.Решение системных уравнений с 3 переменными на калькуляторе, таблица вероятностей 6-го класса по статистике Альберты, рабочие листы с переменными, матричные математические рабочие листы, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОГРАММЫ НА ДЕВЯТЬ ЛЕТ, калькуляторы для PowerPoint. Решение систем уравнений с помощью построения графиков. Это означает преобразование уравнения в форму, в которой одна из переменных стоит отдельно. Рабочие листы умножения и деления на компьютере, сложные квадратные уравнения, математические вопросы и ответы на вопросы о способностях, учебные пособия по алгебре неравенств, калькулятор вычислений выражений.Введите уравнение, которое хотите решить, в редактор. Решать. Решите систему линейных уравнений с помощью linsolve. Решение систем уравнений: Требования: Требуется модель ti-83 plus или ti-84. Если вам нужен совет по программе курса или, возможно, логарифмическому, Algebra-equation.com действительно подходящее место для изучения! Как пользоваться калькулятором системы уравнений? Онлайн-калькулятор системы уравнений BYJU ускоряет вычисления и отображает значения переменных за доли секунды.Бесплатный калькулятор системы ODE – шаг за шагом находите решения для системы ODE. Математика: математические задачи со словами; Рабочие листы; Калькуляторы; Решение системы линейных уравнений. Джозеф П. Превайт Департамент математики Пенн Стейт Эри, Беренд Колледж Стейшн Роуд Эри, Пенсильвания 16563 (814) -898-6091 Эл. Почта [email protected] Более того, решения, которые мы получаем алгебраическими методами, точны. Шаг… В этом разделе показано, как решить систему линейных уравнений с помощью Symbolic Math Toolbox ™. Скажем, у меня есть уравнение: 3x плюс 4y равно 2.5. Процедура использования калькулятора системы уравнений следующая: Шаг 1: Введите коэффициенты уравнений в соответствующее поле ввода. Папка для второго уравнения. Пример: Решите систему уравнений методом исключения. Решатель системы уравнений. Этот онлайн-калькулятор позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн. 4. Давайте решим следующую систему уравнений, используя метод исключения Гаусса. Калькулятор уравнений позволяет вам взять простое или сложное уравнение и решить его наилучшим из возможных методов.Решение дифференциальных уравнений онлайн. Список справки по математике – признан лучшим калькулятором: электронная почта с калькулятором процентов. Решение сопровождается подробным описанием, также можно определить совместимость системы уравнений, то есть уникальность решения. Решение системы уравнений требует, чтобы вы нашли значение более чем одной переменной в более чем одном уравнении. Решатель системы линейных уравнений Эта программа решения системы линейных уравнений поможет вам решить любую систему вида :.Онлайн-решение уравнений. Новый решатель nxm! Эта страница покажет вам, как решить два уравнения с двумя неизвестными. Системы уравнений Это калькулятор систем уравнений от Mathepower. Mathepower пытается решить… Этот калькулятор для решения дифференциальных уравнений взят от Wolfram Alpha LLC. Решение: x = 5, y = 3, z = −2. Существуют и другие способы решения квадратного уравнения вместо использования квадратной формулы, такие как факторинг (прямое разложение, группировка, метод AC), завершение квадрата, построение графиков и другие.Решение систем линейных уравнений с помощью матриц Привет! x + y = 5 (1) x – y = 1 (2) Решение Мы можем получить уравнение с одной переменной, добавив уравнения (1) и (2). Решение полученного уравнения для x дает. Если вы хотите знать, как решить систему уравнений … И у меня есть другое уравнение, 5x минус 4y равно 25,5. a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +… + a 2 nxn = b 2 ⋯ am 1 x 1 + am 2 x 2 +… + Это Калькулятор линейной системы уравнений использует правило Крамера.Этот калькулятор решает системы линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса, метода обратной матрицы или правила Крамера. Кроме того, вы можете вычислить ряд решений в системе линейных уравнений (проанализировать совместимость) с помощью теоремы Руше – Капелли .. С помощью с помощью этого продвинутого калькулятора вы можете научиться решать математические задачи, поскольку он озвучивает каждый шаг, как это делают программы преобразования текста в речь. Все права принадлежат собственнику! Вы можете решить систему уравнений путем сложения, вычитания, умножения или подстановки.Вот примеры двух других случаев, которые вы можете увидеть при решении систем уравнений: См. Сокращенные матричные решения для предыдущих систем на первых двух экранах. Как видите, решения системы: x = 5, y = 0 и z = 1. Algebra-equation.com включает полезные стратегии по нелинейной системе уравнений онлайн-калькулятора, построению графиков линейных неравенств и вычитанию рациональных и других вопросов алгебры. 7. Решатели уравнений и калькуляторы: решатель линейных уравнений, решатель квадратных уравнений, решатель кубических уравнений, решатель уравнений четвертой степени, решатель систем линейных уравнений.И мы хотим найти значения x и y, которые удовлетворяют обоим этим уравнениям. Воспользовавшись этим онлайн-калькулятором, вы получите подробное пошаговое решение своей задачи, которое поможет понять алгоритм решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана. Система в следующем примере – это система, которую мы рассматривали в Раздел 8.1 на стр. 335. Подробнее Принять. Решение четвертой степени и систем линейных уравнений. Решение систем уравнений с помощью Mathcad Charles Nippert Этот набор примечаний написан, чтобы помочь вам научиться решать одновременные уравнения с помощью Mathcad.Главная Калькуляторы Мобильные приложения Курсы математики Математические игры. Даже если точного решения не существует, он вычисляет численное приближение корней. Решение систем линейных уравнений в режиме онлайн. 22. питание от. x + y + z = x + y + z = x + y + z = x = y = z = 4×4 решатель! Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом исключения Гаусса В методе исключения Гаусса вы устраняете переменные, преобразовывая систему уравнений в форму строки-эшелон с помощью операций со строками. Это означает, что остается одна переменная, и расчет становится простым.Выравнивание означает, что вы решаете оба уравнения для одной и той же переменной, а затем выравниваете их. Решение системы линейных уравнений. Решение систем уравнений с помощью построения графиков. В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Решатель системы уравнений. Эта страница будет иметь смысл только тогда, когда вы немного узнаете о … Затем умножьте A-1 на B (мы снова можем использовать Калькулятор матриц): И готово! Онлайн-калькулятор решает систему линейных уравнений (с 1,2 ,…, n неизвестных), квадратное уравнение с одной неизвестной переменной, кубическое уравнение с одной неизвестной переменной и, наконец, любое другое уравнение с одной переменной. Узнайте о системах уравнений с помощью нашего бесплатного математического решателя с пошаговыми решениями. Темы Предалгебра … квадратного уравнения. В математике система линейных уравнений – это набор из одного или нескольких линейных уравнений с одинаковым числом переменных (или неизвестных). Введите коэффициенты вашей системы в поля ввода. 12. Вы решите систему 2 одновременных линейных уравнений, используя последовательные приближения или используя символьный процессор.Решите линейную систему уравнений с несколькими переменными, квадратные, кубические и любые другие уравнения с одним неизвестным. Этот онлайн-калькулятор позволяет решать систему уравнений различными методами в режиме онлайн. Исключение Гаусса. Для решения уравнений Wolfram | Alpha вызывает функции Solve и Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем. Обратите внимание, что знак «=» уже вставлен для вас.17. Трехчленовый калькулятор, Математика Revision On Square Roots, найти точки пересечения параболы и линейного уравнения, изображения калькулятора координатного графика. Методы, которые вы будете использовать, можно легко адаптировать к другим системам уравнений. Вам просто нужно заполнить поля «вокруг» знаков равенства. ax + by = c dx + ey = f Введите a, b и c в три поля вверху, начиная с a. Система линейных уравнений. Матричный калькулятор. Пример 1. Решите систему уравнений (линейную или нелинейную) и найдите ее решения в режиме онлайн, используя наш решатель системы уравнений.Преимущество этого заключается в том, что вы можете вставить значения других переменных, если вы их знаете, тогда вам просто нужно выполнить простой расчет. Решение систем линейных уравнений. Мы можем решать системы уравнений алгебраически. Калькулятор решает систему трех уравнений с тремя неизвестными (система 3×3). Давайте рассмотрим еще несколько методов решения систем уравнений. Решите систему линейных уравнений с помощью решения. Прямо как на странице “Системы линейных уравнений”. Universal Algebra Solver – единственный калькулятор линейных уравнений в этом списке, который показывает пошаговое решение с моделированием введенной алгебраической задачи.Достаточно ввести в поле свое уравнение, обозначив производную функции апострофом, и нажать «Решить уравнение». Решатель уравнений 3 x 3 решает систему линейных уравнений 3 x 3 Направления: введите коэффициенты 3 линейных уравнений, затем нажмите «Решить». Решение линейной системы уравнений – это поиск значений неизвестных \ (x, y, z \), таких, что каждое из уравнений удовлетворяется. Это приложение представляет собой бесплатный математический калькулятор, который может решать системы линейных уравнений. Введите два или более уравнений, содержащих много переменных.(Щелкните здесь для объяснения) Категория: Алгебра: Краткое описание: Программа графического калькулятора систем уравнений TI-84 Plus и TI-83 Plus. Уравнения линий 1. Калькулятор выполняет шаги, которые объясняются в следующем примере. Войдите или зарегистрируйтесь. Решает ваши линейные системы методом исключения Гаусса-Жордана. Решите систему линейных уравнений с помощью linsolve. Решение систем уравнений с помощью построения графиков. Этот онлайн-калькулятор поможет вам решить систему линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.$$ \ begin {align} 3x + 2y = & -1 \\ 4x – ~ 5y = & 14 \ end {align} $$ Решение: Шаг 1: умножьте первое уравнение на 5, а второе на 2. Введите d, e и f в три поля внизу, начиная с d. Нажмите “Рассчитать ползунки” для первого уравнения. Склоны. Распечатать . Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Скачать . Затем система решается обратной подстановкой. Калькулятор смешанной дроби в десятичный, рабочие листы по математике для 6-го класса, решение линейного уравнения на java, простой вопрос о способностях, задачи колледжа по алгебре, решение уравнений с помощью калькулятора casio.

Noodle Now Advanced Safeguarding Answers, Батарея Black And Decker Hedgehog, Головоломка Дисней Равенсбургер, Olympus Om-d E-m1 Mark Iii Руководство, Почему умирает мой эвкалипт,

Relacionado

Решения

с использованием детерминантов с тремя переменными

Линейные уравнения: решения с использованием определителей с тремя переменными

Определитель матрицы 2 × 2 определяется следующим образом:

Определитель матрицы 3 × 3 можно определить, как показано ниже.

Каждый второстепенный определитель получается вычеркиванием первого столбца и одной строки.

Пример 1

Оцените следующий определитель.

Сначала найдите второстепенные детерминанты.

Решение

Чтобы использовать определители для решения системы трех уравнений с тремя переменными (правило Крамера), скажем, x , y и z , необходимо сформировать четыре определителя, следуя этой процедуре:

  1. Запишите все уравнения в стандартной форме.

  2. Создайте определитель знаменателя, D , используя коэффициенты x , y и z из уравнений, и оцените его.

  3. Создайте определитель числителя x , D x , определитель числителя y , D y и определитель числителя z , D z , с помощью заменяя соответствующие коэффициенты x , y и z константами из уравнений в стандартной форме и оцените каждый определитель.

Ответы для x , y и z следующие:

Пример 2

Решите эту систему уравнений, используя правило Крамера.

Найдите второстепенные детерминанты.

Используйте константы для замены коэффициентов x .

Используйте константы для замены коэффициентов y .

Используйте константы для замены коэффициентов z .

Следовательно,

Чек остается на ваше усмотрение. Решение: x = 1, y = –2, z = –3.

Если определитель знаменателя, D , имеет нулевое значение, то система либо несовместима, либо зависима. Система является зависимой, если все детерминанты имеют нулевое значение. Система несовместима, если хотя бы один из определителей, D x , D y или D z , имеет значение, не равное нулю, а определитель знаменателя имеет нулевое значение. .

Правило Крамера

В линейной алгебре Правило Крамера – это теорема, которая дает выражение для решения системы линейных уравнений с таким количеством уравнений, сколько неизвестных, действительное в тех случаях, когда существует единственное решение. Решение выражается в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений. Он назван в честь Габриэля Крамера (1704–1752), который опубликовал это правило в своем 1750 г. его «Трактат по алгебре» 1748 года (и, вероятно, знал об этом методе еще в 1729 году). [1] [2]

Общий чемодан

Рассмотрим систему n линейных уравнений для n неизвестных, представленных в форме матричного умножения следующим образом:

, где матрица n на n A имеет ненулевой определитель, а вектор является вектор-столбцом переменных.

Тогда теорема утверждает, что в этом случае система имеет единственное решение, индивидуальные значения которого для неизвестных равны:

, где A i – это матрица, сформированная заменой i -го столбца A вектором-столбцом b .

Правило справедливо для систем уравнений с коэффициентами и неизвестными в любом поле, а не только в действительных числах. Недавно было показано, что правило Крамера может быть реализовано за время O ( n 3 ), [3] , что сопоставимо с более распространенными методами решения систем линейных уравнений, такими как исключение Гаусса.

Проба

Доказательство правила Крамера очень простое; фактически, он использует только два свойства определителей: линейность по отношению к любому заданному столбцу (если взять для этого столбца линейную комбинацию векторов столбцов, дает в качестве определителя соответствующую линейную комбинацию их определителей), и тот факт, что определитель равен нулю всякий раз, когда два столбца равны (определитель в столбцах чередуется).

Зафиксируйте индекс j столбца. Линейность означает, что если мы рассматриваем только столбец j в качестве переменной (произвольно фиксируя остальные), результирующая функция R n R (при условии, что элементы матрицы находятся в R ) может быть задана как матрица с одной строкой и n столбцами. Фактически это именно то, что делает расширение Лапласа, записывая det ( A ) = C 1 a 1, j +… + C n a n , j для определенных коэффициентов C 1 ,…, C n , которые зависят от столбцов A , кроме столбца j (точное выражение для этих кофакторов здесь не важно).Значение det ( A ) является результатом применения однострочной матрицы L ( j ) = ( C 1 C 2 C n ) к колонке j из A . Если L ( j ) применяется к любому другому столбцу k из A , то результатом будет определитель матрицы, полученный из A путем замены столбца j копией столбца k , который равен 0 (случай двух равных столбцов).

Теперь рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными, матрица коэффициентов которой равна A , при этом det ( A ) предполагается ненулевым:

Если объединить эти уравнения, взяв C 1 , умноженное на первое уравнение, плюс C 2 , умноженное на второе, и так далее до C n , умноженное на последнее, тогда коэффициент x j станет C 1 a 1, j +… + C n a n , j = det ( A ), а коэффициенты всех остальных неизвестных становятся равными 0; левая сторона становится просто det ( A ) x j .Правая сторона: C 1 b 1 +… + C n b n , что составляет L ( j ) применено к вектору-столбцу b правых частей b i . Фактически здесь было умножено матричное уравнение A x = b слева на L ( j ) .Разделив на ненулевое число det ( A ), получим следующее уравнение, необходимое для удовлетворения системы:

Но по построению числитель является определителем матрицы, полученной из A заменой столбца j на b , поэтому мы получаем выражение правила Крамера как необходимое условие для решения. Эту же процедуру можно повторить для других значений j , чтобы найти значения для других неизвестных.

Единственное, что осталось доказать, это то, что эти значения неизвестных, единственно возможные, действительно вместе образуют решение. Но если матрица A, обратима с инверсией A −1 , то x = A −1 b будет решением, таким образом показывая его существование. Чтобы увидеть, что A является обратимым, когда det ( A ) отличен от нуля, рассмотрим матрицу n на n M , полученную путем наложения однострочных матриц L ( j ) на друг на друга для j = 1, 2,…, n (это дает матрицу сопряжения для A ).Было показано, что L ( j ) A = (0… 0 det ( A ) 0… 0), где det ( A ) находится в позиции j ; отсюда следует, что M A = det ( A ) I n . Следовательно,

завершает доказательство.

Нахождение обратной матрицы

Основная статья: Обратимая матрица # Методы обращения матрицы

Пусть A будет матрицей n × n .Тогда

, где Adj ( A ) обозначает матрицу сопряжения A , det ( A ) является определителем, а I является единичной матрицей. Если det ( A ) обратим в R , то обратная матрица A равна

Если R является полем (например, полем действительных чисел), то это дает формулу, обратную A , при условии, что det ( A ) ≠ 0.Фактически, эта формула будет работать всякий раз, когда R является коммутативным кольцом, при условии, что det ( A ) является единицей. Если det ( A, ) не является единицей, то A не может быть обратимым.

Приложения

Явные формулы для малых систем

Рассмотрим линейную систему, которая в матричном формате Тогда x и y могут быть найдены с правилом Крамера как

,
и

Правила для 3 × 3 аналогичны.Учитывая, что в матричном формате это

значения x , y и z можно найти следующим образом:

Дифференциальная геометрия

Правило Крамера также чрезвычайно полезно для решения задач дифференциальной геометрии. Рассмотрим два уравнения и. Когда u и v являются независимыми переменными, мы можем определить и

Нахождение уравнения для является тривиальным применением правила Крамера.

Сначала вычислите первые производные от F , G , x и y :

Подставляя dx , dy в dF и dG , получаем:

Поскольку u , v независимы, коэффициенты du , dv должны быть равны нулю.Таким образом, мы можем записать уравнения для коэффициентов:

Теперь, по правилу Крамера, мы видим, что:

Теперь это формула в терминах двух якобианов:

Подобные формулы могут быть получены для,,

Целочисленное программирование

Правило Крамера можно использовать для доказательства того, что задача целочисленного программирования, матрица ограничений которой полностью унимодулярна, а правая часть является целой, имеет целочисленные базовые решения.Это значительно упрощает решение целочисленной программы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Правило Крамера используется для вывода общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения методом вариации параметров.

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация правила Крамера. Площадь второго и третьего заштрихованных параллелограммов одинакова, а второй составляет x 1 раз больше первого. Из этого равенства следует правило Крамера.

Правило Крамера имеет геометрическую интерпретацию, которая также может рассматриваться как доказательство или просто дает представление о его геометрической природе. Эти геометрические аргументы работают в целом, а не только в случае представленных здесь двух уравнений с двумя неизвестными.

Учитывая систему уравнений

его можно рассматривать как уравнение между векторами

Площадь параллелограмма определяется и задается определителем системы уравнений:

В общем, когда есть больше переменных и уравнений, определитель векторов n длиной n даст объем параллелепипеда , определяемый этими векторами в евклидовом пространстве n .

Следовательно, площадь параллелограмма, определяемая и должна быть в x 1 раз больше площади первого параллелограмма, так как одна из сторон была умножена на этот коэффициент. Теперь этот последний параллелограмм, по принципу Кавальери, имеет ту же площадь, что и параллелограмм, определяемый и.

Приравнивание площадей этого последнего и второго параллелограмма дает уравнение

, из которого следует правило Крамера.

Несовместимые и неопределенные случаи

Система уравнений называется несовместимой, когда нет решений, и неопределенной, когда существует более одного решения.Для линейных уравнений неопределенная система будет иметь бесконечно много решений (если она находится над бесконечным полем), поскольку решения могут быть выражены через один или несколько параметров, которые могут принимать произвольные значения.

Правило Крамера применяется к случаю, когда определитель коэффициента отличен от нуля. В противном случае система либо несовместима, либо неопределенна, исходя из значений определителей только для систем 2×2.

Для систем 3×3 или выше единственное, что можно сказать, когда определитель коэффициента равен нулю, это: если какой-либо из определителей «числителя» отличен от нуля, то система должна быть несовместимой. Кен Хабгуд, Итамар Арел, Применение правила Крамера для решения крупномасштабных линейных систем на основе конденсации , Журнал дискретных алгоритмов, ISSN 1570-8667, 10.1016 / j.jda.2011.06.007.

Внешние ссылки

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *