Система линейных уравнений методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Различные методы решения системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений решают с помощью различных методов определения значений неизвестных переменных линейных уравнений. Существуют различные методы решения систем линейных уравнений, среди которых наиболее широко используются метод исключения Гаусса, метод исключения Гаусса-Жордана, правило Крамера, обратная подстановка и LU-разложение.

В этом сообщении блога мы более подробно рассмотрим метод исключения, метод исключения Гаусса и правило Крамера и предоставим пошаговое руководство по использованию этих методов для решения линейных уравнений.

Метод исключения

Метод исключения — это способ решения алгебраических задач, в которых используется несколько уравнений с разными переменными. Это помогает нам найти значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям одновременно.

Этот метод включает в себя изменение уравнений, чтобы мы могли добавлять или вычитать их, чтобы исключить одну из переменных. Делая это, мы можем найти оставшиеся переменные.

Пояснение Метод устранения

Метод исключения включает в себя манипулирование уравнениями для исключения одной переменной и получения единственного уравнения, которое можно решить для оставшейся переменной.

Для этого нужно умножить одно или оба уравнения на константу, в результате чего коэффициенты одной из переменных в обоих уравнениях будут равны. Получив это равенство, мы можем вычесть или сложить два уравнения, чтобы исключить одну из переменных.

Пример метода исключения

Вот пример, иллюстрирующий метод исключения:

Пример:

Решите следующую систему линейных уравнений методом исключения: : 

Чтобы использовать метод исключения, нам нужно выбрать переменную для исключения. В этом случае мы исключим переменную x. Для этого нужно умножить первое уравнение на 3, а второе уравнение на -2, в результате чего коэффициенты при x будут равны, но с противоположными знаками:

(3)(2x + 3y = 8)

6x + 9y = 24

(-2)(3x + 4y = 11)

-6x – 8y = -22

Теперь мы можем сложить два уравнения вместе, чтобы исключить переменную x:

6x + 9y = 24

-6x – 8y = -22

y = 2

Теперь, когда мы решили для y, мы можем подставить это значение обратно в любое из исходных уравнений найти x:

2x + 3y = 8

2x + 3(2) = 8

2x + 6 = 8

2x = 2

x = 1 и y = 2

Примечание: Советы по использованию метода исключения заключается в тщательном выборе переменной, которую вы хотите исключить. В некоторых случаях может быть проще удалить одну переменную, чем другую.

Задачи решения системы линейных уравнений методом исключения легко решаются с помощью калькулятора исключения.

Исключение по Гауссу

Исключение по Гауссу является наиболее распространенным методом, состоящим в применении элементарных операций над строками к матрице для преобразования ее в эшелонированную форму строк или уменьшенную эшелонированную форму строк.

Пример устранения гауссов

Рассмотрим систему уравнений:

x + 2y + z = 4

2x – y + 3Z = 1

3x + y – z = 3

до. решите эту систему уравнений, используя расширенную матрицу:

Шаг 1: Запишите расширенную матрицу:

[1 2 1 | 4]

[2 -1 3 | 1]

[3 1 -1 | 3]

Шаг 2: Используйте первую строку, чтобы исключить коэффициент x во второй и третьей строках. Мы можем умножить первую строку на 2 и вычесть ее из второй строки, а первую строку умножить на 3 и вычесть из третьей строки:

[1 2 1 | 4]

[0 -5 1 | -7]

[0 -5 -4 | -9]

Шаг 3: Используйте вторую строку, чтобы исключить коэффициент y в третьей строке. Мы можем умножить вторую строку на -1 и добавить ее к третьей строке:

[1 2 1 | 4]

[0 -5 1 | -7]

[0 0 -15 |-16]

Шаг 4: Решите для переменных, начиная с нижней строки. Мы можем найти z:

-15z = -16

z = 16/15

Подставить z обратно во вторую строку, чтобы найти y:

-5y + (16/15) = -7

-5y = -109/15

y = 109/75

Подставьте y и z обратно в первую строку, чтобы найти x:

x + 2 (109/75) + (16/15) = 4

х = 1/15

х = 1/15, у = 109/75 и z = 16/15.

Правило Крамера

Правило Крамера — еще один метод, использующий определители для решения систем линейных уравнений. Хотя он менее эффективен, чем исключение Гаусса, он может подойти для небольших систем. Обратная подстановка — это метод, который пригодится, когда система уже находится в верхнем треугольном виде, и он включает в себя решение переменных одну за другой, начиная с последнего уравнения и работая в обратном направлении. 9Пример: правило Крамера получается путем замены каждого столбца константами в уравнениях.

Решение

 Матрица коэффициентов:

|2 -3| |4   1|

  Определитель матрицы коэффициентов:

det(A) = (2 * 1) – (4 * (-3)) = 14

 Далее заменяем столбец x константами в уравнениях, чтобы получить

Dx:  | 1   -3 | | 7   1 |

 Определитель Dx:

det(Dx) = (1 * 1) – (7 * (-3)) = 22

Аналогичным образом мы заменяем столбец y константами в уравнениях, чтобы получить

Дай:  | 2    1 | | 4   7 |

Определитель Dy:

det(Dy) = (2 * 7) – (4 * 1) = 10

Наконец, мы можем найти значения x и y: 

x = det(Dx)/det(A) = 22/14 = 11/7

x = 11/7 и y = 5/7.