Система уравнений крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение высшей математики онлайн

‹– Назад

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при или рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица исходной системы — квадратная, порядка , и  — столбцы высоты . Предположим, что . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства  (15.2) на , получим

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

(15.3)

Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть ,  — определитель матрицы, полученной из матрицы заменой столбца с номером на столбец свободных членов, :

        Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где — алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.     

        Пример 15.1   Решите систему уравнений

Решение. Выписываем матрицу системы и столбец свободных членов .

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Итак,

Ответ: .         

        Замечание 15.1   При кажущейся простоте правила Крамера применяется оно для систем более, чем из трех уравнений, только в каких-то исключительных случаях. Дело в том, что вычисление определителей требует выполнения большого числа арифметических операций и существует способ, требующий меньшей вычислительной работы. Этот способ будет описан позже.         

        Замечание 15. 2   При решении системы уравнений приходится выполнять довольно большой объем вычислений. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы обнаружить эту ошибку, рекомендуется выполнить проверку ответа, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Если все уравнения превратятся в верные равенства, то решение найдено верно. В противном случае при вычислениях где-то допущена ошибка.         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Экспоненциальные одновременные уравнения | Superprof

Что такое одновременные уравнения

Вы уже знакомы с показательными уравнениями. Экспоненциальные уравнения используются для моделирования экспоненциального роста и экспоненциального затухания. Экспоненциальные функции являются обратными функциями логарифмических функций. В этой статье мы увидим, что такое одновременные показательные уравнения. Мы также научимся одновременным экспоненциальным уравнениям на некоторых примерах. Итак, давайте сначала посмотрим, что такое одновременные уравнения:

“Одновременные уравнения имеют две или более неизвестных переменных с общим значением в каждом уравнении”.

Совместные показательные уравнения также известны как система показательных уравнений. Слово «одновременный» подразумевает, что эти уравнения решаются вместе. Значения неизвестных переменных в одном уравнении также удовлетворяют значениям неизвестных во втором уравнении. Это означает, что переменные в одном уравнении не имеют единственного решения.

Прежде чем приступить к одновременным показательным уравнениям, от вас ожидается, что вы уже знаете, как решать систему линейных уравнений. Мы знаем, что в показательных уравнениях независимой переменной является показатель степени, т.е. В одновременных экспоненциальных уравнениях неизвестные переменные задаются в показателе степени или степени уравнений.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Стратегии решения системы показательных уравнений

Существуют определенные стратегии решения системы показательных уравнений. Эти стратегии описаны ниже:

• Использование комбинации методов, таких как решение системы линейных уравнений и законов экспонент
• Решение системы так же, как вы решаете типичную систему линейных уравнений методом исключения, замены или сравнения

Следует использовать стратегию в соответствии с требованием уравнений. Помните, что вы можете решить систему показательных уравнений только в том случае, если основания двух или более показательных уравнений совпадают. Если основания одинаковы, показательная система уравнений решается просто путем установления показателей степени в левой и правой частях уравнений равными друг другу.

Однако может возникнуть ситуация, когда вас попросят решить систему показательных уравнений с разными основаниями. В этом сценарии вы должны увидеть, можете ли вы установить одинаковые основания для обоих уравнений, применяя правила экспоненты.

Получите дополнительную информацию об обучении математике здесь.

Примеры

Давайте решим систему показательных уравнений в следующих примерах, чтобы прояснить эту тему.

Пример 1

Решите систему показательных уравнений

Решение

Второе уравнение можно записать в виде куба, состоящего из 3 с обеих сторон, потому что 27 равно .

Умножение константы на члены в скобках даст нам следующее выражение:

Следовательно, система экспоненциальных уравнений будет записана как:

Так как уравнения имеют одинаковые основания в левой и правой частях уравнений, поэтому мы можем решить показатели этой системы, сделав их системой таких линейных уравнений:

 

Мы можем решить эту систему методом подстановки. У нас уже есть в первом уравнении, поэтому мы подставим это значение во второе уравнение следующим образом:

Решите выражение в скобках в левой части уравнения:

Вычтите из обеих частей уравнения:

Вычтите 6 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее выражение:

Разделите обе части на 3, чтобы получить значение

Следовательно, мы получили значение . Теперь вычисление значения стало проще, потому что мы можем напрямую подставить в первое уравнение, чтобы получить значение:

Следовательно, решение приведенной выше системы показательных уравнений равно  и . Этот набор решений можно записать как .

Проверка

Этот шаг не является обязательным, однако вы можете использовать его для проверки правильности своего ответа. Подставим и в следующую систему экспоненциальных уравнений:

Следовательно, это показывает, что наше решение верно.

 

Пример 2

Решите следующие одновременные показательные уравнения.

Решение

Мы можем переписать второе уравнение, используя правило произведения показателей, которое гласит, что произведение двух показателей степени с одним и тем же основанием может быть записано как одно основание со сложенными показателями степени, и наоборот.

Предположим и . Выражение будет записано так:

 

Мы можем решить приведенную выше систему линейных уравнений методом исключения. Умножьте первое уравнение на 2, чтобы получить следующее выражение:

Мы отменим приведенную выше систему, и результирующее выражение будет:

Умножьте обе части на, чтобы получить .

Поместите это значение n в первое уравнение, чтобы получить следующее значение для :

Вычтите 9 с обеих сторон, чтобы получить

Теперь мы знаем значения и . Вначале мы сделали следующие предположения об этих двух значениях:

и

и

Так как в степени равно , т.е. , значит . Точно так же в степени 2 равно , т. е. так, .

Следовательно, множество решений системы показательных уравнений равно .

Проверка

Мы можем проверить наше решение, подставив значения переменных и в систему экспоненциальных уравнений следующим образом:

 

Пример 3

Решите следующую систему показательных уравнений:

Решение

Мы можем переписать первое и второе уравнения следующим образом:

Запишите показатели приведенной выше системы показательных уравнений в виде системы линейных уравнений следующим образом:

Мы можем решить эту систему либо заменой, либо удалением переменных. Лучше использовать метод исключения, потому что оба уравнения имеют которые можно исключить плавно:

Результирующее уравнение после исключения будет:

Умножьте обе части вышеприведенного уравнения на -2, чтобы сделать переменную положительной:

Теперь подставьте это значение во второе линейное уравнение, чтобы получить ценность .

Добавьте 2 к обеим частям уравнения, чтобы получить:

Разделите обе части на 2, чтобы получить значение:

Следовательно, значение и удовлетворяют системе экспоненциальных уравнений. Или, другими словами, мы можем сказать, что это множество решений исходной системы показательных уравнений.

Проверка

Давайте проверим наш набор решений, подставив значения и в систему экспоненциальных уравнений следующим образом: уравнения.

 

Пример 4

Решите следующую систему показательных уравнений:

 

Решение

Первое и второе уравнения можно записать следующим образом:

Запишите показатели приведенной выше системы показательных уравнений в виде системы линейных уравнений, например:

Мы можем решить приведенную выше систему линейных уравнений либо путем замены, либо путем исключения. Решим систему методом подстановки. Подставьте в , чтобы получить следующее значение:

Решите алгебраическое выражение, умножив 3 на член в скобках:

Вычтите из обеих частей уравнения:

Добавьте 18 к обеим частям уравнения, чтобы получить окончательное значение:

Разделите обе части на, чтобы получить

Теперь подставьте это значение в первое уравнение

4

90 Отсюда , значение и значение . Другими словами, можно сказать, что множество решений системы показательных уравнений равно .

Проверка

Теперь мы проверим наше решение, подставив значения и в исходную систему экспоненциального уравнения:

Следовательно, наш набор решений верен для данной системы показательных уравнений.

 

Пример 5

Решите следующую систему показательных уравнений.

 

Решение

Мы можем переписать второе уравнение, используя правило произведения экспонент, которое гласит, что произведение двух экспонент с одинаковыми основаниями может быть записано как одно основание со сложенными вместе показателями степени, и наоборот.

Предположим и . Следовательно, результирующая система экспоненциальных уравнений будет:

Примените правило отрицательного показателя, чтобы еще больше упростить вышеприведенную систему показательных уравнений. Согласно правилу отрицательного показателя, отрицательный показатель в числителе становится положительным в знаменателе и наоборот.

Умножьте второе уравнение на 2, чтобы получить следующее выражение:

Первое уравнение можно записать как . Подставьте это значение в уравнение:

Вычтите 7 из обеих частей уравнения, чтобы получить:

Разделите обе части уравнения на 3, чтобы получить значение :

Подставьте это значение в первое линейное уравнение чтобы получить значение:

Добавьте 25 к обеим частям уравнения:

Теперь у нас есть значения и . Помните, в начале задачи мы сделали следующие предположения об этих двух значениях:

и

Подставляя значения и одно за другим в уравнения, мы получим значения и :

Мы это знаем .

Мы знаем, что в степени 2 равно , поэтому значение . Следовательно, множество решений приведенной выше системы показательных уравнений равно .

Проверка

Проверим наше решение, подставив значения переменных в исходную систему показательных уравнений.