Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество. 4. Подмножество. 5. Пересечение множеств. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств.  8. Вычитание множеств. 9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений. 5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2.  Метод разложения на множители.3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 2. Одночленные иррациональные выражения. 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю. 4. Извлечение корня из произведения и степени. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.  6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений. 5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений.  8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. § 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений 2. Выражение степенных сумм 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных. 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел. 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.  § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа. 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.  § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 2. Многочлены с действительными коэффициентами. 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами. 4. Краткие исторические сведения. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 1. Конечные цепные дроби 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения. Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2.  Комбинаторные задачи. Продолжение§ 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
15.4 Решение неоднородных уравнений: исключение Гаусса
15.4 Решение неоднородных уравнений: исключение Гаусса
| ||
Имея набор уравнений, можно выполнить несколько операций
на них, которые не влияют на их содержание.
Они:
1. Сложить кратное одно к другому (сложение левых сторон с левыми и правых на права.)
Доказательство
2. Переупорядочить их.
Комментарий
3. Умножьте обе части любого из них на ненулевое число.
Они называются элементарными операциями со строками .
Решение уравнений означает нахождение эквивалентной системы уравнений, имеющей
очень простая форма: каждое уравнение имеет только одну переменную, ее коэффициент
равно 1, и переменная появляется одна в левой части уравнения.
Затем уравнение предоставляет явное выражение для соответствующей переменной.
Обсуждение:
1. Предположим, у нас есть матрица коэффициентов 3 на 3 C , мы определяем столбец
вектор v , чтобы правая часть j-го уравнения была его j-й компонентой,
и пусть вектор-столбец r имеет компоненты x, y и z.
Тогда линейные уравнения принимают вид C r = v , где
левая часть представляет матричное произведение матрицы 3 на 3 С и
матрица 3 на 1 r .
2. Если матрица коэффициентов C является единичной матрицей, мы имеем решение: C = I подразумевает C r = I r = r = v .
3. Исключение Гаусса — это в точности обычный стандартный метод решения уравнений, что происходит следующим образом: решить первое уравнение для любой переменной, которая встречается в нем с точки зрения остальных. Используйте это уравнение, чтобы исключить эту переменную из все остальные уравнения. Повторите эти шаги для другого уравнения и переменной. Повторить пока у вас не будет явного выражения для последней переменной. Замена для эту переменную во всех уравнениях, исключив ее из них; взять следующий переменную и повторяйте, пока не получите явное выражение для всех переменных.
Решение уравнения означает, помимо перестановки правой и левой частей, умножение
уравнение на константу, чтобы сделать коэффициент связанной переменной
в 1.
Исключение переменной из других уравнений означает добавление или вычитание
строку, соответствующую уравнению, к другим строкам так, чтобы сделать коэффициент
переменной, найденной в этом уравнении, в ноль во всех остальных уравнениях.
Таким образом, стандартный метод – это исключение Гаусса.
Пример
Гауссовский метод исключения – Уроки Византа
Метод решения систем уравнений методом исключения также известен как метод исключения Гаусса
, потому что он приписывается Карлу Фридриху Гауссу как изобретателю метода
.
Исключение или включает в себя манипулирование данной системой уравнений таким образом, что одна
или более переменных исключается, оставляя уравнение с одной переменной, которое
может быть легко решена. Оттуда обратная замена используется для поиска других
переменных.
Решение систем уравнений методом исключения
При решении систем уравнений с двумя переменными метод исключения включает
манипулирование одним уравнением путем умножения его на константу таким образом, что когда это
уравнение добавляется к другому уравнению в системе, одна переменная удаляется
и все такое.
осталось уравнение с одной переменной, которое мы можем легко решить. После
получив решение этой переменной, мы затем подставляем это значение в любое из
уравнений, чтобы найти решение для другой переменной.
Учитывая систему уравнений ниже;
Процесс исключения позволяет нам умножить уравнение (1) или (2) таким образом, что при сложении двух уравнений одна из переменных будет исключена.
Например, если мы хотим исключить переменную x , мы получим это
, умножив уравнение (1) или (2) на некоторую константу, которая гарантирует, что
уравнение (1) + уравнение (2) равно уравнению (3), которое имеет только одну переменную
y .
Если мы умножим уравнение (2) на константу -a ⁄ c , мы
получим следующий результат
что упрощается до
Тогда, если мы добавим новое уравнение (2n) выше к уравнению (1), мы увидим следующее:
будет
Вышеприведенное уравнение с одной переменной для y , и мы можем перейти к решению для
y .
После получения значения y мы можем подставить его либо в
уравнение (1), либо в уравнение (2), из которого мы можем вычислить значение х .
Давайте попробуем несколько примеров, чтобы увидеть, как все это работает.
Пример 1
Решите следующую систему уравнений
Шаг 1
Для того, чтобы отслеживать, о каком уравнении мы говорим, первым шагом всегда должна быть маркировка уравнений в системе.
Этап 2
Следующим шагом является проверка уравнений, чтобы увидеть, как мы можем манипулировать ими, чтобы избавиться от одной из переменных. Этот пример довольно прост, чтобы избавиться от
переменной y , нам не нужно умножать какое-либо уравнение на какую-либо константу,
мы можем просто сложить два уравнения, и переменная y просто исчезнет.
Это потому, что в обоих уравнениях коэффициент y в уравнении (1) равно
, противоположному тому, что в уравнении (2), то есть 1 и -1 , поэтому, когда мы складываем
, два уравнения y должны сокращаться.
Этап 3
Это уравнение с одной переменной для x , и мы можем легко решить для x
, разделив на 5
Этап 4
Теперь, когда у нас есть решение для x , мы можем заменить x в уравнении (1)
, чтобы получить уравнение с одной переменной, которое мы можем использовать для решения для y .
замена х
Следовательно, мы имеем решение системы уравнений как x = 5 и y = -1 .
Пример 2
Решите следующую систему уравнений
Этап 1
Первый шаг — пометить уравнения, чтобы мы знали, какое уравнение мы имеем в виду.
Этап 2
Затем мы исследуем систему уравнений, чтобы увидеть, как мы можем эффективно исключить
одну из переменных.
Изучив систему, мы можем заметить, что мы можем умножить уравнение (1) на
-3, так что, сложив два уравнения, мы можем исключить x .
что приводит к
Этап 3
Далее мы продолжаем добавлять новое уравнение к уравнению (2)
Что упрощается до
Этап 4
Значение y было получено как -1 .
Мы продолжаем использовать это значение
для решения для x , подставив y в любое из приведенных выше уравнений.
Подставим y в исходное уравнение (1)
Решение системы уравнений: {x,y} = {-1,-1} .
Пример 3
Найдите значения x и y в системе уравнений, приведенной ниже
Этап 1
Когда вам дана система уравнений в неупорядоченном виде, как указано выше,
всегда лучше начать с перестановки уравнений таким образом, чтобы переменные
совпадали. Это облегчит работу с уравнениями. Затем вы можете продолжить
, чтобы пометить уравнения.
Этап 2
При рассмотрении приведенной выше системы не так очевидно, на какую константу умножить
на уравнение (1) или (2), чтобы исключить одну из переменных.
Когда возникает такая
ситуация, вы выбираете одну переменную и решаете, что хотите исключить
это, затем вы выбираете одно уравнение и умножаете его на дробь, числитель которой равен
отрицательному коэффициенту переменной, которую мы исключаем в другом уравнении. ,
, а знаменатель — это коэффициент переменной для уравнения, которое мы умножаем.
Для этого примера удалим переменную x и сначала поработаем с уравнением (2):
что упрощает как
Этап 3
Добавление вышеуказанного к уравнению (2) приводит к следующим
Шаг 4
Теперь, когда у нас есть значение для y , мы можем подставить и найти x
следующим образом;
Решение системы уравнений {х, у} = { 148 ⁄ 95 , -43 ⁄ 19 }
Решение систем уравнений с тремя переменными методом исключения
Решение систем уравнений с тремя переменными мало чем отличается от решения тех же
с двумя переменными.
Основная концепция остается той же, только в этом случае мы
пойдем немного дальше, чтобы учесть третью переменную.
Подобно тому, как мы решали для двух переменных, когда дело доходит до трех переменных,
мы начинаем с манипулирования двумя из трех уравнений таким образом, что когда они добавляются к другому уравнению, одна из переменных полностью исчезает. Затем мы фокусируемся на этих новых уравнениях с двумя переменными, а также манипулируем ими так, чтобы остаться с уравнением с одной переменной.
Учитывая систему уравнений ниже
Мы можем решить для переменных x , y и z следующим образом:
Сначала мы выбираем уравнение (1) и используем его для исключения переменной x из
других уравнений.
Мы можем достичь этого в уравнении (2), умножив уравнение на такую константу, как
, что, когда мы добавляем уравнение (2) к уравнению (1), переменная x исчезает.
Умножение вышеприведенного на константу a ⁄ d
Добавляя вышеуказанное к уравнению (1):
результат:
Выше приведено новое уравнение (2).
Мы также исключаем переменную x из уравнения (3) аналогичным образом:
умножение на константу
Добавляя вышеуказанное к уравнению (1)
что приводит к
Вышеприведенное новое уравнение (3)
Итак, теперь у нас есть два уравнения с двумя переменными, мы можем решить эти уравнения с двумя переменными
, используя то, что мы узнали в разделе о системах уравнений с двумя переменными выше.
Давайте посмотрим на примере, как работает приведенный выше алгоритм
. Пример 4
Решите следующую систему уравнений
Этап 1
Мы начнем с того, что пометим наши уравнения, чтобы было легче обращаться к ним
.
Этап 2
Далее выбираем переменную 9 уравнения (2)0047 y , мы проверяем это уравнение вместе
с уравнением (1), чтобы найти способ исключить это уравнение.
Этап 3
Из осмотра видно, что простое добавление уравнения (1) к уравнению (2) you
эффективно исключит переменную y из уравнения (2)
результаты в
Выше приведено новое уравнение (2)
Этап 4
Делаем то же самое для уравнения (3)
Но обратите внимание, что в этом случае нам повезло, что уравнение (3) уже является уравнением
с двумя переменными в z и x .
Этап 5
Таким образом, мы можем перейти к обработке уравнений (2) и (3) как системы уравнений с двумя переменными
Изучив приведенную выше систему, мы можем выбрать любую переменную для исключения, поскольку
все они будут относительно простыми, но давайте возьмем x .
Шаг 6
Мы можем исключить x, умножив уравнение (3) на -1, а затем добавив результат
к уравнению 2 следующим образом:
что дает
что приводит к
Шаг 7
Выше приведено относительно простое уравнение с одной переменной, из которого мы можем решить для
x , разделив обе части на 3:
Используя обратную замену, мы можем найти x 9.
0050 и и , начиная с
x . Чтобы найти x , мы подставляем значение z в уравнение (2)
Этап 8
Теперь, когда у нас есть значения для x и z , мы можем найти y , подставив
этих значений в уравнение (1)
Решением системы уравнений является {x, y, z} = {1, 2, 3}
Пример 5
Найдите x, y и z из системы уравнений ниже
Этап 1
Как всегда, мы начинаем с маркировки уравнений, чтобы на них было легче ссылаться.
Этап 2
Далее рассмотрим уравнения (1) и (2) так, чтобы исключить одну из переменных;
в данном случае x
Этап 3
Мы можем видеть, что если мы умножим уравнение (2) на -1 ⁄ 3 ,
и затем прибавим результат к уравнению (1), мы можем получить новое уравнение (2), которое
будет уравнением с двумя переменными в y и z .
что приводит к:
Этап 4
Добавление приведенного выше результата к уравнению (1)
результат:
Приведенное выше становится нашим новым уравнением (2).
Этап 5
Затем мы выполняем ту же процедуру для уравнения (3):
Изучая вышеприведенную систему, мы видим, что если мы умножим уравнение (3) на
-1 ⁄ 6
результат:
Шаг 6
Затем мы добавляем вышеуказанное к уравнению (1)
что приводит к:
Приведенный выше результат становится нашим новым уравнением (3)
Шаг 7
Теперь мы получили новую систему уравнений, в которой всего две переменные:
.
Этап 8
Мы можем исключить y из приведенной выше системы, умножив уравнение (3) на
-2 ⁄ 3 , а затем добавить результат к уравнению (2).