Систему решить по правилу крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение системы по формулам Крамера

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений 

На первом шаге вычислим определитель   , его называют главным определителем системы. Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать Метод Гауса.

Если  , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:  и 

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой  .

Корни уравнения находим по формулам: , 

Пример 7

Решить систему линейных уравнений 

В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

; 

Ответ:  ,  .

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения     в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8 Решить систему по формулам Крамера.  Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать 

метод Гаусса.

Если  , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: ,  , 

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: ,  , 

Пример 9 Решить систему по формулам Крамера.   

Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение.

Ответ:  .

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений 

системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу  ,   и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение   указывает на то, что матрица   может быть получена из   путём элементарных преобразований (или наоборот).

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений

 (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                                      x +  y – 3z = 2,

                                                    3x – 2y +  z = – 1,

                                                    2x +  y – 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

 ~  ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

                                                    x + y – 3z = 2,

                                                    -5y + 10z = -7,

                                                           – 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим  x = – 0,7.

Решение системы по правилу Крамера

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 65Следующая ⇒   Ранее мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Далее разберём правило Крамера и решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Для того, чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите раздел Вычисление определителей. Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения! Во-первых, пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными. Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера! Рассмотрим систему уравнений . На первом шаге вычислим определитель, который называют главным определителем системы. . Если , то система имеет бесконечно много решений или не имеет решений (несовместна). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения двух неизвестных мы должны вычислить еще два определителя: и . На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой D с соответствующими индексами. Корни уравнения находим по формулам: , .   Пример 7: Решить систему линейных уравнений . Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему мы взяли из эконометрической задачи. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера. Прежде всего, вычислим определитель системы: , значит, система имеет единственное решение. Вычислим ещё два определителя: ; ; Ответ: , Как видите, корни получились иррациональными, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики. Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс.   Когда используете данный метод, обязательнымфрагментом оформления задания является следующий: «Δ ≠ 0 , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера. Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения и в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.   Пример 8: Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку. Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).     Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Находим главный определитель системы: . Если D = 0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: , ,   И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: , , . Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два». Здесь столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя. Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по такому же принципу.   Пример 9: Решить систему по формулам Крамера. . Решение: Вычислим определитель системы , – значит, система имеет единственное решение.         Ответ: .   Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например: Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель, в данном случае он имеет вид: . Здесь на месте отсутствующих переменных ставятся нули.   Примечание: Определители рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой есть ноль, или максимальное число нулей, так как вычислений получается меньше.     Пример 10:   Решить систему по формулам Крамера. Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).     ⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒ Читайте также:  Как правильно слушать собеседника Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе Принятие христианства на Руси и его значение Средства массовой информации США 

Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 252; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.007 с.)

Решение текстовых задач с использованием правила Крамера

В этом разделе вы узнаете, как решать текстовые задачи с помощью правила Крамера.

Рассмотрим следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z.

A ₁₁ x + A ₁₂ Y + A ₁₃ Z = B ₁

A ₂₁ x + A ₂₂ Y + A ₂₃ Z = B ₂

а ₃₁ х + а ₃₂ у + а ₃₃ z  =  b ₁

Теперь мы можем записать следующие определители, используя приведенные выше уравнения.

Тогда, правило Крамера, чтобы найти значения x, y и z:

x = Δ ₁ /Δ

y = Δ ₂ /Δ

z = Δ ₃ /Δ

Если Δ = 0, система несовместна и имеет решение.

Задача 1 :

На конкурсном экзамене за каждый правильный ответ присуждается один балл, а за каждый неправильный ответ вычитается 1/4 балла. Студент ответил на 100 вопросов и получил 80 баллов. На сколько вопросов он ответил правильно? (Используйте правило Крамера для решения задачи).

Решение:

Общее количество вопросов = 100

Пусть “x” и “y” – количество вопросов, на которые были даны правильные и неправильные ответы соответственно.

Тогда,

x + y = 100

1x – (1/4) y = 80

по правилу Cramer,

x ₁ = ₁ /Δ

x ₁ = ₁ /Δ

9

x ₁ = ₁

499

x ₁ = ₁

4

x ₁ = ₁

4

x ₁ = ₁

49

x ₁ = ₁

4

x ₁ = ₁

49

x ₁

1

.

х = -105/(-5/4)

х = 105(4/5)

х х = 84

y = Δ ₂ /Δ

y = -20/(-5/4)

y = 20(4/5)

y = 16

Таким образом, количество вопросов, на которые дан правильный ответ, равно 84. и ошибочно 16.

Задача 2 :

У химика есть один раствор, содержащий 50% кислоты, и другой раствор, содержащий 25% кислоты. Сколько их нужно смешать, чтобы получить 10 литров 40%-ного раствора кислоты? (Используйте правило Крамера для решения задачи).

Решение:

Пусть “x” и “y” – количество 1-го и 2-го раствора.

Тогда 

x + y  =  10 —–(1)  

50% от x + 25% от y  =  40% от 10

0,5x + 0,25y  =  4 —–( 2)

по правилу Cramer,

x ₁ = Δ ₁ /Δ

x = -1,5 /( -0,25)

x = 6

y = x ₂ = Δ _2. /Δ  =  -1/(-0,25)

=  4

Итак, количество первого раствора 6 литров, а второго раствора 4 литра.

Задача 3 :

Аквариум можно заполнить за 10 минут, используя оба насоса A и B одновременно. Однако насос B может закачивать или откачивать воду с одинаковой скоростью. Если насос B случайно запустится в обратном направлении, бак будет заполнен за 30 минут. Сколько времени потребуется каждому насосу, чтобы наполнить резервуар самостоятельно? (Используйте правило Крамера для решения задачи).

Решение:

Пусть “x” будет количеством минут, за которое отстойник A заполнит резервуар.

Пусть “y” будет количеством минут, за которое отстойник B заполнит бак.

Заполнение насоса A за 1 мин. = 1/x

Заполнение насоса B за 1 мин. = 1/год

A и B вместе за 1 мин. = 1/x + 1/г

1/x + 1/y =  1/10 —–(1)

1/x – 1/y  =  1/30 —–(2)

1/x  =  a и 1/y  =  b

a + b  =  1/10 —–(1)

a – b  =  1/30 —–(2)

По правилу Крамера

x  =  Δ ₁ /Δ

  x  = (-4/30)/(-2)

x =  1/15

y  =  Δ ₂ /Δ

y  =  (-2/30)/(-2)

y  =  1/30

5 минут может заполнить только

Один B может заполнить за 30 минут

Задача 4 :

Семья из 3 человек отправилась на ужин в ресторан. Стоимость двух досаев, трех идли и двух вадаев составляет ₹ 150. Стоимость двух досаев, двух идли и четырех вадаев составляет ₹ 200. Стоимость пяти досаев, четырех идли и двух вадаев составляет ₹ 250. У семьи на руках ₹ 350 и они съели 3 досай и шесть идли и шесть вадаи. Смогут ли они оплатить счет в пределах той суммы, которая у них была?

Решение:

Пусть “x”, “y” и “z” будут стоимостью 1 доши, 1 холостого хода и 1 вада соответственно.

2x + 3y + 2z = 150

2x + 2y + 4z = 200

5x + 4y + 2z = 250

10)

  =  2(-12) – 3(-16) + 2(-2)

= -24 + 48 – 4

= -28 + 48

Δ = 20

Δ ₁ = 150 (4 – 16) – 3 (400 – 1000) + 2 (800 – 500)

= 150(-12) – 3(-600) + 2(300)

  = -1800 + 1800 + 600

Δ ₁ = 600

Δ _{1 -0 0 = 0(1 0 -0 0) 4 – 20) + 2(500 – 1000)}

  =  2(-600) – 150(-16) + 2(-500)

  =  -1200 + 2400 – 1000

Δ

8 2

0 2

8 2 

0 Δ ₃   =  2(500 – 800) – 3(500 – 1000) + 150(8 – 10)

  =  2(-300) – 3(-500) + 150(-2)

  =  -600 + 1500 – 300

Δ ₃ = 600

по правилу Крамера,

x = Δ ₁ /Δ = 600/20 = 30

y = Δ ₂ /Δ = 200/20 = 10 0004

z = Δ ₃ / Δ = 600/20 = 30

Таким образом, стоимость 1 илды = 30 рупий, стоимость 1 досы = 10 рупий и стоимость 1 вада = 30 рупий.

3x + 6y + 6z :  

=  3(30) + 6(10) + 6(30)

= 90 + 60 + 180

 = 330

Итак, суммы достаточно для оплаты счета.

Если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, помимо материалов, указанных выше, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Решение систем уравнений с помощью определителей: правило Крамера

Если ваш учитель математического анализа попросит вас решить систему уравнений, вы можете произвести на него впечатление, используя правило Крамера вместо графического калькулятора.

Правило Крамера гласит, что если определитель матрицы коэффициентов |A| не равно 0, то решения системы линейных уравнений можно найти следующим образом:

Если матрица, описывающая систему уравнений, выглядит так:

Затем

и так далее, пока не найдете все переменные. Другими словами, компоненты решения легко получить путем вычисления соответствующих отношений определителей семейства матриц. Обратите внимание, что знаменатель этих компонентов является определителем матрицы коэффициентов.

Это правило полезно, когда системы очень малы или когда вы можете использовать графический калькулятор для определения определителей, потому что оно помогает вам найти решения с минимальным количеством мест, где можно запутаться. Чтобы использовать его, вы просто находите определитель матрицы коэффициентов.

Определитель матрицы 2×2, такой как эта:

определяется как от до н.э. – до н.э. Определитель матрицы 3×3 немного сложнее. Если матрица

, то вы можете найти определитель, выполнив следующие действия:

1. Перепишите первые два столбца сразу после третьего столбца.

2. Нарисуйте три диагональные линии из верхнего левого угла в нижний правый и три диагональные линии из нижнего левого угла в верхний правый, как показано на этом рисунке.

   Как найти определитель матрицы 3х3.

3. Умножьте три диагонали слева направо, а затем сложите эти произведения. Умножьте остальные три слева направо и добавьте эти продукты. Затем из первой суммы вычесть вторую сумму.

   Определитель матрицы 3×3:

Чтобы найти определитель этой матрицы 3×3:

вы используете процесс, известный как с использованием диагоналей, , который вы можете видеть на этом рисунке.

Как найти определитель определенной матрицы 3×3.

В этом примере показано, как быстро найти определитель матрицы 3×3. Для матриц 4 x 4 и больше используемые здесь методы недействительны.

Найдя определитель матрицы коэффициентов (вручную или с помощью технологического приспособления), замените первый столбец матрицы коэффициентов матрицей ответов с другой стороны знака равенства и найдите определитель этой новой матрицы. Затем замените второй столбец матрицы коэффициентов матрицей ответов и найдите определитель этой матрицы.