Системы линейных уравнений метод гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Калькулятор линейных уравнений



Калькулятор линейных уравнений

Этот калькулятор сможет за секунду решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, методом Крамера или матричным методом. Системы можно исследовать на совместность по теореме Кронекера-Капелли, найти общее, частное и базисные решения, а также определить количество решений.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Пример:

Пример:

Пример:

Переменные: Параметры:

Система линейных алгебраических уравнений

Как решать линейные уравнения

Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.

Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.

В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.

Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.

Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел. В системе линейных алгебраических уравнений не допускается возведение в степень и извлечение корня, иначе они перестанут быть линейными.

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

“Решение системы линейных уравнений методом Крамера”

“Решение системы линейных уравнений методом Гаусса”

Также читайте нашу статью “Калькулятор матриц онлайн”

Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений

Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

4.2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим ещё один метод решения систем линейных уравнений (17). С помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы (17) может быть приведена к виду

. (21)

Эта матрица является расширенной матрицей системы

(22)

которая эквивалентна исходной системе (17). Проанализируем систему уравнений (22).

Если хотя бы одно из чисел ,…, отлично от нуля, то система (22), а следовательно, и система (17) несовместны, так как .

Если же …, то система совместна, так как , и из системы (22) можно выразить базисные неизвестные, в данном случае через свободные неизвестные .

4.2.1 Пример. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы (20).

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы уравнений (20) приведём к виду, подобному (21):

.

Очевидно, что (система уравнений (20) совместна). Выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Тогда , – базисные неизвестные, и – свободные неизвестные. Запишем систему уравнений, которая является эквивалентной исходной и соответствует полученной расширенной матрице:

Выразим из второго уравнения системы базисную переменную через свободную и аналогичным образом из первого уравнения найдём базисную переменную как функцию свободных переменных и :

, .

Теперь пусть , , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

.

4.2.2 Пример. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к виду

.

Итак, (система уравнений совместна и имеет единственное решение, так как ). Полученной матрице соответствует система

которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что , , . Итак, общее решение .

4.3 Упражнения

4.3.1 Исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее и одно частное решение:

4.3.2 Методом Гаусса исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее решение:

4.

4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 5, § 4], [2, гл. 1, § 1.11, § 1.16 – 1.17], [3, гл. 3, § 3.4, § 3.7].

4.4.1 Исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее решение:

5 Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Цель занятия: выработка навыков построения фундаментальной системы решений и общих решений однородной и неоднородной систем уравнений.

5.1 Структура общего решения однородных и неоднородных систем

5.1.1 Определение. Если в (17) , то система уравнений называется однородной и имеет вид:

(23)

Система (23) всегда совместна, т. к. она имеет нулевое (тривиальное) решение . Приведём условия, при которых система (23) имеет ненулевые решения.

5.1.2 Теорема. Для того чтобы система (23) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Отсюда следует, что если , то нулевое решение будет единственным решением системы (23). Если же , то система (23) в соответствии с (п. 4.1.2.4) имеет бесконечно много решений. Предположим, что и – базисные неизвестные системы (23), – свободные неизвестные. Тогда общее решение системы (23) будет иметь вид (19). Выберем решений (23), полученных из общего решения так: одно из значений свободных переменных полагаем равным 1, а остальные – равными 0:

, , …, . (24)

Эти решения образуют систему решений однородной системы (23), обладающую следующим свойством: произвольное решение системы (23) может быть единственным образом представлено в виде

, (25)

где некоторые числа.

5.1.3 Определение. Любой набор из решений однородной системы (23), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы (23).

Формула (25) определяет структуру общего решения однородной системы (23).

5.1.4

Определение. Если в (17) среди свободных членов () хотя бы один отличен от нуля, то система уравнений называется неоднородной.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений определяется следующей теоремой.

5.1.5 Теорема. Общее решение неоднородной системы может быть представлено в виде

, (26)

где – частное решение неоднородной системы уравнений,

– общее решение соответствующей однородной системы.

5.1.6 Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение.

Имеем , . В качестве базисного минора возьмём . Наша система эквивалентна следующей:

где , – базисные неизвестные;

, – свободные неизвестные.

Откуда

; .

Теперь пусть , , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

.

Из общего решения находим фундаментальную систему решений:

, .

С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде .

5.1.7 Пример. Найти общее решение неоднородной системы уравнений, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной:

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к виду

.

Имеем , . В качестве базисного минора возьмём . Наша система эквивалентна следующей:

где – базисные неизвестные;

– свободные неизвестные.

Откуда

; .

Теперь пусть , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

,

т. е. , где – частное решение, а столбцы , , образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

Калькулятор исключения Гаусса-Джордана

Добро пожаловать в калькулятор исключения Гаусса-Джордана Omni! Если вы пришли сюда, потому что вам нужно научиться решать линейную систему с помощью алгоритма исключения Гаусса-Жордана, или вместо этого вы хотите инвертировать матрицу, используя этот метод, вы находитесь в правильном месте!

Мы объясним, что на самом деле представляет собой исключение Гаусса-Жордана и чем оно отличается от исключения Гаусса , с которым вы могли столкнуться ранее в своем математическом путешествии. Тогда мы расскажем вам как выполнить исключение Гаусса-Жордана вручную или, если вы предпочитаете сэкономить усилия, как наиболее эффективно использовать этот калькулятор исключения Гаусса-Жордана.

🙋 Алгоритм исключения Гаусса-Жордана особенно популярен в контексте решения систем линейных уравнений . В нашем специальном инструменте, а именно в калькуляторе формы эшелона с уменьшенной строкой, мы подходим к методу исключения Гаусса-Жордана с этой конкретной точки зрения.

Что такое метод исключения Гаусса-Жордана?

Метод исключения Гаусса-Жордана — это процедура, в которой мы преобразуем матрицу в ее сокращенную эшелонированную форму строк , используя только три определенные операции, называемые элементарными операциями со строками .

Целью метода исключения Гаусса-Жордана чаще всего является:

• Решить систему линейных уравнений;
• Инверсия матрицы;
• Вычислить ранг матрицы; или
• Вычислить определитель матрицы.

Как видите, появилось несколько новых понятий: эшелон строк , элементарных операций и т. д. Давайте сначала обсудим их, а затем перейдем к обсуждению того, как делать исключение Гаусса-Жордана.

Что такое (редуцированная) ступенчатая форма матрицы?

Матрица находится в форме эшелона из строк , когда:

• Для нулевых строк: все они находятся внизу матрицы; и
• Для ненулевых строк: самая левая ненулевая запись в строке (называемая 9-й строкой).0036 стержень или ведущий коэффициент ) находится справа от стержня строки выше.

Матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму строки , если дополнительно:

• Каждый стержень равен 1; и
• Каждый опорный элемент является единственным ненулевым коэффициентом в своем столбце (выше и ниже опорного столбца только нули).

Примеры

Матрицы в форме эшелона строк (но не в форме редуцированного эшелона строк):

[123056007][450300120001]\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 0 &5 &6 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} \четверка \begin{bmatrix} 4 &5 &0 & 3\\ 0 и 0 и 1 и 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ⎣

⎡ 100 250 367 ⎦

⎤ ⎣

⎡ 400 500 010 321 ⎦

⎤

[113014] [200101010000] \ begin { bматрица} 1 и 1 и 3 \\ 0 и 1 и 4 \end{bmatrix} \четверка \begin{bmatrix} 2 и 0 и 0 и 1\\ 0 &1 &0& 1\\ 0 &0 &0&0 \end{bmatrix} [10​11​34​]⎣

⎡​200​010​000​110​⎦

⎤​

Матрицы в сокращенной ступенчатой ​​форме строк:

[103014][100300160000]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 3 \\ 0 и 1 и 4 \end{bmatrix} \четверка \begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 3\\ 0 &0 &1& 6\\ 0 &0 &0& 0 \end{bmatrix} [10​01​34​]⎣

⎡​100​000​010​360​⎦

⎤​

Что такое операции со строками при исключении Гаусса?

Здесь мы перечисляем допустимые операции со строками в методе исключения Гаусса (и Гаусса-Жордана):

1. Перестановка любых двух строк.

2. Сложение/вычитание скалярного множителя одной строки в/из другой строки.

3. Умножение любой из строк на любой (ненулевой!) скаляр.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Поменяйте местами 1-й ^-й -й ряд со 2-м ^-м -м рядом:

[123456789]  →  [456123789]\quad \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9\end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bmatrix} 4 &5 &6 \\ 1 и 2 и 3 \\ 7 и 8 и 9 \ end {bmatrix} ⎣

⎡ 147 258 369 ⎦

⎤ → ⎣

⎡ 417 528 639 ⎦

⎤

2. Умножьте 1 ^ST ROW на 222. :

[123456789]  →  [246456789]\quad \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bmatrix} 2 и 4 и 6 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9\ end {bmatrix} ⎣

⎡ 147 258 369 ⎦

⎤ → ⎣

⎡ 247 458 669 ⎦

⎤

3. Добавить 1 ^ST -2 на 2 ^-й ряд:

[123456789]  →  [123210789]\quad \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 2 и 1 и 0 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} ⎣

⎡​147​258​369​⎦

⎤​ →  ⎣

⎡​127​218​309​⎦

⎤​

🙋 Если вам нужно напомнить, как выполнять математические операции (сложение, умножение и т.  д.) над строками матрицы , посетите наш векторный калькулятор.

Вы видите, как каждая из этих операций помогает нам выполнить исключение Гаусса-Жордана? Посмотрим:

1. Поменяв строки местами, мы можем легко поместить нулевые строки в конец матрицы.

2. Цель добавления/вычитания скалярного множителя строки в/из другой строки состоит в том, чтобы превратить записи выше и ниже опорных точек в нули.

3. Умножая строку на скаляр, вы легко сделаете опорные точки равными 1 — просто умножьте опорную точку, равную некоторому p, на скаляр ¹ / _p .

Исключение Гаусса-Жордана: пример 3×3

Чтобы увидеть, как представленные выше операции над строками работают на практике, давайте используем их для решения следующего примера 3×3 методом исключения Гаусса-Жордана:

{x+2y− 2z=12x+4y−5z=42x+2y+3z=4\влево\{ \начать{выравнивать*} х+2у-2г = 1\\ 2х+4у-5з = 4\\ 2x+2y+3z=4\\ \конец{выравнивание*} \правильно. ⎩

⎨

⎧​x+2y−2z=12x+4y−5z=42x+2y+3z=4

Расширенная матрица этой системы выглядит следующим образом:

[12−2124−542234]\begin{bmatrix } 1 и 2 и -2 и 1\\ 2 и 4 и -5 и 4\\ 2 и 2 и 3 и 4\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​122​242​−2−53​144​⎦

⎤​

Вычтем 1 ^st строку, умноженную на 222, из 2 ^{nd 3 строки:} 0 12−2100−122234]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ 2 и 2 и 3 и 4\\ \end{bmatrix} ⎣

⎡​102​202​−2−13​124​⎦

⎤​

Нам удалось получить ноль во 2-й ^-й -й строке и 1 ^-й -м столбце! Делаем то же самое для строки 3 ^rd и столбца 1 ^st :

[12−2100−120−272] \begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​20−2​−2−17​122​⎦

⎤​

Отлично! На самом деле, как вы можете видеть, нам удалось получить два нуля в 2 ^-й -й ряд! Воспользуемся этим неожиданным подарком: поменяем местами 2 ^nd и 3 ^rd ряды:

[12−210−27200−12]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​2−20​−27−1​122​⎦

⎤​

Таким образом, мы уже получили эшелонированную форму строк. Отсюда вы можете легко решить систему. Однако давайте придерживаться метода исключения Гаусса-Жордана и попробуем создать сокращенную ступенчатую форму строки.

Во-первых, мы умножаем последнюю строку на -1-1-1 так, чтобы ось равнялась 111:

[12-210-272001-2] \begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​2−20​−271​12−2​⎦

⎤​

И мы умножаем 2 ^-й -й ряд на −12-\frac 12−21​, поэтому что точка опоры равна 111:

[12−2101−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​210​−2−27​1​1−1−2​⎦

⎤​

Далее мы хотим удалить ненулевой элемент в 1 ^st строке и 2 ^nd колонка. Для этого из 1 ^-й -й строки вычитаем 2 ^-ю -ю строку, умноженную на 222:

[105301−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 5 и 3\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​5−27​1​3−1−2​⎦

⎤​

Еще две записи, которые нужно исключить: элементы над диагональю в 3 ^рд колонка. Вы знаете, что делать, верно? Из строки 1 ^st вычитаем 3 ^rd строку, умноженную на 555:

[1001301−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 13\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​0−27​1​13−1−2​⎦

⎤​

И ко 2 ^-й -й строке мы добавляем 3 ^-ю -ю строку, умноженную на по 72\frac 7227​:

[10013010−8001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 13\\ 0 и 1 и 0 и -8\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​001​13−8−2​⎦

⎤​

Ура, мы закончили! Наша матрица имеет форму редуцированного эшелона строк. В последнем столбце мы видим решение нашей линейной системы:

{x=13y=−8z=−2\left\{ \начать{выравнивать*} х = 13\\ у = -8\\ г =-2\\ \конец{выравнивание*} \right. ⎩

⎨

⎧​x=13y=−8z=−2​

Как выполнить метод исключения Гаусса-Жордана вручную?

Выполните исключение Гаусса-Жордана следующим образом:

1. Поменять местами строки так, чтобы в 1 9 была опорная точка (ненулевое число).0127 ст ряд и 1 ^ст столбик.

2. Умножьте на первую строку так, чтобы стержень стал равен 1.

3. Добавить/вычесть t множителей из строки 1 ^st в/из других строк, чтобы превратить все оставшиеся записи в столбце 1 ^st в нули.

4. Поменять местами строк, чтобы получить опорную точку в 2-й ^-й -й строке и 2 ^-й -м столбце. Примените шаги 2 и 3.

5. Повторить шагов 2-4, двигаясь по главной диагонали.

Хммм…. так много шагов! Выполнение алгоритма исключения Гаусса-Жордана, даже если оно простое, может занять много времени. У вас наверняка есть идеи получше, как использовать свободное время, не так ли? 😉 Используйте наш калькулятор исключения Гаусса-Джордана, чтобы быстро выполнить домашнее задание, а затем перейти к… другим вещам.

Как пользоваться этим калькулятором исключения Гаусса-Жордана?

Калькулятор исключения Гаусса-Джордана Omni очень прост в использовании. Выполните следующие шаги:

1. Введите коэффициентов вашей матрицы.

2. Сообщите нам, хотите ли вы в результате эшелонированную форму строки или уменьшенную форму эшелона строки. Мы рекомендуем последний вариант, так как первый не уникален!

3. Расчеты выполняются немедленно, и результат отображается под полями коэффициентов.

4. Обратите внимание, что вы можете использовать этот калькулятор для создания любого количества примеров исключения Гаусса-Жордана 2×2 и 3×3.

Часто задаваемые вопросы

Является ли исключение Гаусса-Жордана таким же, как исключение Гаусса?

Почти. Исключение Гаусса-Жордана требует, чтобы мы исключили коэффициенты выше и ниже каждой опорной точки и удостоверились, что каждая опорная точка равна 1. Как следствие:

В эшелонированной форме строки матрицы уникальна?

Эшелонная форма строк , а не уникальна: она зависит от последовательности операций над строками, используемых для получения этой формы. Однако все эшелонированные формы строк имеют опорные точки в одних и тех же местах и ​​одинаковое количество строк со всеми нулевыми элементами.

Сокращенная форма эшелона строк уникальна : она не зависит от последовательности операций.

Как инвертировать матрицу методом исключения Гаусса-Жордана?

Для получения обратной матрицы n × n A с помощью исключения Гаусса-Жордана:

1. Запишите блочную матрицу [A | I] , где I — единичная матрица.

2. Используйте алгоритм исключения Гаусса-Жордана, чтобы преобразовать эту матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк.

3. Матрица, сгенерированная в правой части, обратна A .

4. Проверьте результат, убедившись, что инверсия исходной матрицы A дает тождество.

Метод исключения Гаусса Вопросы и ответы

Этот набор вопросов и ответов с множественным выбором численного анализа (MCQ) фокусируется на «Методе исключения Гаусса — 1».

1. Решите следующие уравнения методом исключения Гаусса.

 х+4y-z = -5
х+у-6z = -12
3x-y-z = 4
 

a) x = 1,64791, y = 1,14085, z = 2,08451
b) x = 1,65791, y = 1,14185, z = 2,08441
c) x = 1,64691, y = 1,14095, z = 2,044461
4144414441441414 гг. y = 1.15085, z = 2.09451
View Answer

Ответ: a
Объяснение: методом исключения Гаусса мы получаем
\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & -1\\
1 & 1 & -6\\
3 & -1 & -1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
-5\\
-12\\
4\\
\end{bmatrix} \)

По R ₂ -R ₁ и R ₃ -3R ₁
\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & -1\\
0 & -3 & -47\ 9019\ 0 & -13 & 2\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix }
-5\\
-7\\
19\\
\end{bmatrix} \)

Примечание. Присоединяйтесь к бесплатным занятиям по санфаянсу в Telegram или на Youtube. 1.0000\\
0 & -3.0000 & -5.0000\\
0 & 0 & 23.6667\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\ end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
-5\\
-7\\
49,33333\\
\end{bmatrix} \)

x+4y-z = -5
-3y-5z = -7
23,6667z = 49,3333
Следовательно, z = 2,08451
-3y = -7+5z
Следовательно, y = -1,14085
x = -4y+z-5
Следовательно, x = 1,64791.

2. Найдите значения x, y, z в следующей системе уравнений методом исключения Гаусса.

 2x + у – 3z = -10
-2у + г = -2
г = 6
 

а) 2, 4, 6
б) 2, 7, 6
в) 3, 4, 6
г) 2, 4, 5
\(\begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
0 & -2 & 1\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
-10\\
-2\\
6\\
\end{bmatrix} \)
z = 6.
-2y+z = -2
Отсюда y = 4.
2x + y – 3z = -10
Отсюда z = 6.

объявление

3. Решить данную систему уравнений методом исключения Гаусса .

 3x + 4y – z = -6
-2г + 10г = -8
4у – 2з = -2
 

а) (-2, -1, -1)
б) (-1, -2, -1)
в) (-1, -1, -2)
г) (-1, -1, -1)
Просмотреть ответ

Ответ: d
Объяснение: Здесь
\(\begin{bmatrix}
3 & 4 & -1\\
0 & -2 & 10\\
0 & 4 & -2\ \
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
-6\\
-8\\
-2\\
\end{bmatrix} \)
Матрица почти представляет собой треугольную Матрицу. Умножая строку 2 на 2 и добавляя ее к строке 3, мы получаем верхнюю треугольную матрицу с
х, у, z = (-1, -1, -1).

реклама

4. Следующая система уравнений имеет:

 x – y – z = 4
2x - 2y - 2z = 8
5х – 5у – 5з = ​​20
 

a) Единственное решение
b) Нет решения
c) Бесконечное множество решений
d) Конечные решения
Просмотреть ответ

Ответ: c
Объяснение: Умножение строки 1 на -2, затем сложение строки 1 и строки 2 1-й строки матрицы уменьшается на 0.
\(\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
2 & -2 & -2\\
5 & -5 & -5\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end {bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
0\\
8\\
20\\
\end{bmatrix} \)
Следовательно, решений бесконечно много.

5. Решите эту систему уравнений и прокомментируйте характер решения, используя метод исключения Гаусса.

 х + у + г = 0
-х – у + 3z = 3
-х – у – г = 2
 

а) Уникальное решение
b) Нет решения
c) Бесконечно много решений
d) Конечные решения
Просмотреть ответ

Ответ: b
Объяснение: Методом исключения Гаусса мы складываем строки 1 и строки 3, чтобы получить следующую матрицу
\(\begin{bmatrix }
1 & 1 & 1\\
-1 & -1 & 3\\
0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
0\\
3\\
2\\
\end{bmatrix} \)

Следовательно, матрица не имеет решения, так как 0 ≠ 2.

6. Целью шагов исключения в методе исключения Гаусса является уменьшение матрицы коэффициентов до ____________
a) диагональ
b) тождество
c) нижняя треугольная
d) верхняя треугольная
Просмотреть ответ

Ответ: d
Объяснение: В методе исключения Гаусса мы склонны сводить данную матрицу к верхнетреугольной матрице для решения x, y, z.

7. Деление на ноль при исключении по Гауссу системы уравнений [A] * [X]=[C] означает, что матрица коэффициентов [A] равна ______
a) Обратимый
b) Несингулярный
c) Нельзя определить, является ли он единственным или несингулярным единственное или нет.

8. В каком из следующих случаев обе части уравнения умножаются на ненулевую константу?
a) Метод исключения Гаусса
b) Гауссовская несогласованная процедура
c) Гауссовская непротиворечивая процедура
d) Гауссовская процедура замены
View Answer

Ответ: a
Объяснение: Метод исключения Гаусса использует обе части уравнения для умножения на ненулевую константу. Затем матрица сводится к верхней треугольной матрице, чтобы получить значения соответствующих переменных.

9. В методе исключения Гаусса исходные уравнения преобразуются с помощью _____________
a) Операции со столбцами
b) Операции со строками
c) Математические операции
d) Операции с подмножествами
Просмотр ответа

Ответ: b
Объяснение: Операции со строками используются в методе исключения Гаусса, чтобы свести матрицу к верхней треугольной матрице и, таким образом, найти x, y, z.

10. Следующая информация касается скорости и времени транспортного средства. Он подчиняется квадратному уравнению v(t)=at ² +bt+c. Следовательно, найдите матрицу, которая наиболее точно представляет уравнение.

Т	с	0	14	15	20	30	35
В	м/с	0	227,04	362,78	517,35	602,97	901,67

а) \(\begin{bmatrix}
176 & 14 & 1\\
225 & 15 & 1\\
400 & 20 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix }
a\\
b\\
c\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
227,04\\
362,78\\
517,35\\
\end{bmatrix} \)
б) \(\begin{bmatrix}
225 & 15 & 1\\
400 & 20 & 1\\
900 & 30 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\ \
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
362,78\\
517,35\\
602,97\\
\end{bmatrix} \)
c) \(\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
225 & 15 & 1\\
400 & 20 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\\
\ конец {bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
0\\
362,78\\
517,35\\
\end{bmatrix} \)
d) \(\begin{bmatrix}
400 & 20 & 1\\
900 & 30 & 1\\
1225 & 35 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
517,35\\
602,97\ \
901. 67\\
\end{bmatrix} \)
Просмотреть ответ

Ответ: b
Пояснение: Ближайшие к t=21 сек точки 15, 20, 30
V(t ₀ ) = 362,78 м/ с = а(15) ² +b(15)+c
V(t ₁ ) = 517,35 м/с = a(20) ² +b(20)+c
V(t ₂ ) = 602,97 м/с s = a(30) ² +b(30)+c
Следовательно,
225a+15b+c = 362,78
400a+20b+c = 517,35
900a+30b+c = 602,97
Что приводит нас к \( \begin{bmatrix}
225 & 15 & 1\\
400 & 20 & 1\\
900 & 30 & 1\\
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}
a\\
b \\
c\\
\end{bmatrix}\) = \( \begin{bmatrix}
362,78\\
517,35\\
602,97\\
\end{bmatrix} \).

11. Процесс исключения в методе исключения Гаусса также известен как _____________
a) Исключение в прямом направлении
b) Исключение в обратном направлении
c) Исключение в боковом направлении
d) Исключение в поперечном направлении
Просмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: Процесс исключения в методе исключения Гаусса, также известном как прямое исключение. В этом методе матрица сводится к верхней треугольной матрице.

12. Сокращенную форму метода матричных исключений Гаусса также называют ____________
a) Эшелонная форма столбцов
b) Эшелонная форма строк
c) Эшелонная форма столбцов
d) Эшелонная форма строк
Просмотр ответа

Ответ: d
Объяснение: Сокращенная форма матрицы в методе исключения Гаусса: называется формой эшелона строки. Это сказано потому, что в методе исключения Гаусса учитываются только операции со строками.

Sanfoundry Global Education & Learning Series – Численные методы.

Для практики во всех областях численных методов, здесь полный набор из 1000+ вопросов и ответов с множественным выбором .

Категории Численные методы MCQ

реклама

реклама

Подпишитесь на наши информационные бюллетени (тематические). Участвуйте в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатный Сертификат отличия.