Скорость тела мгновенная: Мгновенная и средняя скорость

Содержание

Мгновенная и средняя скорость

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Определение 1

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

Определение 2

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения υ=∆r∆t; υ↑↑∆r.

Рисунок 1. Средняя скорость сонаправлена перемещению

Модуль средней скорости по пути равняется υ=S∆t.

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Определение 3

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость υ при стремлении промежутка времени ∆t к 0:

υ=lim∆t∆r∆t=drdt=r˙.

Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение dr совпадает с бесконечно малым элементом траектории ds.

Рисунок 2. Вектор мгновенной скорости υ

Имеющееся выражение υ=lim∆t∆r∆t=drdt=r˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

υx=dxdt=x˙υy=dydt=y˙υz=dzdt=z˙.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора υ примет вид:

υ=υ=υx2+υy2+υz2=x2+y2+z2.

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r=rq1, q2, q3, тогда значение скорости запишется как:

υ=drdt=∑i=13∂r∂qi∂qi∂r=∑i=13∂r∂qiq˙i.

Рисунок 3. Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что q1=r; q2=φ; q3=θ, то получим υ, представленную в такой форме:

υ=υrer+υφeφ+υθφθ, где υr=r˙; υφ=rφ˙sin θ; υθ=rθ˙; r˙=drdt; φ˙=dφdt; θ˙=dθdt; υ=r1+φ2sin2θ+θ2.

Определение 4

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением dr=υ(t)dt

Пример 1

Дан закон прямолинейного движения точки x(t)=0,15t2-2t+8. Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

υ(t)=x˙(t)=0.3t-2; υ(10)=0.3×10-2=1 м/с.

Ответ: 1 м/с.

Пример 2

Движение материальной точки задается уравнением x=4t-0,05t2. Вычислить момент времени tост, когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость υ.

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

υ(t)=x˙(t)=4-0,1t.

4-0,1t=0;tост=40 с;υ0=υ(0)=4;υ=∆υ∆t=0-440-0=0,1 м/с.

Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0,1 м/с.

Мгновенная скорость – это… Что такое Мгновенная скорость?

Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр.

vitesse) — векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Этим же словом может называться скалярная величина, точнее модуль производной радиус-вектора.

В науке повсеместно используется также скорость в широком смысле, то есть как скорость изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости роста температуры, скорости химической реакции и т. д. Математически находится с помощью производной от данной величины (обычно по времени, либо от другого аргумента).

Скорость тела в механике

Вектор скорости материальной точки в каждый момент времени определяется производной по времени радиус-вектора этой точки:

Здесь v — модуль скорости,  — направленный вдоль скорости единичный вектор касательной к траектории в точке .

Говорят, что тело совершает мгновенно-поступательное движение, если в данный момент времени скорости всех составляющих его точек равны. Так, например, равны скорости всех точек кабинки колеса обозрения (если, конечно, пренебречь колебаниями кабинки).

В общем случае, скорости точек, образующих твёрдое тело, не равны между собой. Так, например, для катящегося без проскальзывания колеса величина скорости точек на ободе относительно дороги принимает значения от нуля (в точке касания с дорогой) до удвоенного значения скорости автомобиля (в точке, диаметрально противоположной точке касания). Распределение скоростей в твёрдом теле определяется с помощью кинематической формулы Эйлера.

Если скорость тела (как векторная величина) не меняется во времени, то движение тела — равномерное (ускорение равно нулю).

Полезно отличать понятие средней скорости перемещения от понятия средней скорости пути, равной отношению пройденного точкой пути ко времени, за которое этот путь был пройден. В отличие от скорости перемещения, средняя скорость пути — скаляр.

Мгновенная и средняя скорость

Когда говорят о средней скорости , для различения, скорость согласно выше приведённому определению называют мгновенной скоростью. Так, хотя мгновенная скорость бегуна, кружащего по стадиону, в каждый момент времени отлична от нуля, его средняя скорость (перемещения) от старта до финиша оказывается равной нулю, если точки старта и финиша совпадают. Заметим, что при этом, средняя путевая скорость остаётся отличной от нуля.

Преобразование скорости

В классической механике Ньютона скорости преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея. Если скорость тела в системе отсчёта S была равна , а скорость системы отсчёта S’ относительно системы отсчёта S равна , то скорость тела в при переходе в систему отсчёта S’ будет равна .

Для скоростей, близких к скорости света преобразования Галилея становятся несправедливы. При переходе из системы S в систему S’ необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей:

в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Единицы измерения скорости

Соотношение между единицами скорости

  • 1 м/с = 3,6 км/ч
  • 1 узел = 1,852 км/ч = 0,514 м/c
  • Мах 1 ~ 330 м/c ~ 1200 км/ч (зависит от условий, в которых находится воздух)
  • c = 299 792 458 м/c

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

Кинематика. Физика. 10 класс. – Скорость при неравномерном движении. Мгновенная скорость. Сложение скоростей.

Комментарии преподавателя

Нерав­но­мер­ным на­зы­ва­ет­ся дви­же­ние, при ко­то­ром тело за рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни про­хо­дит нерав­ные пути.

 

 

Ос­нов­ная за­да­ча ме­ха­ни­ки – опре­де­лить по­ло­же­ние тела в любой мо­мент вре­ме­ни. При нерав­но­мер­ном дви­же­нии ско­рость тела ме­ня­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, необ­хо­ди­мо на­учить­ся опи­сы­вать из­ме­не­ние ско­ро­сти тела. Для этого вво­дят­ся два по­ня­тия: сред­няя ско­рость и мгно­вен­ная ско­рость.

Факт из­ме­не­ния ско­ро­сти тела при нерав­но­мер­ном дви­же­нии не все­гда необ­хо­ди­мо учи­ты­вать, при рас­смот­ре­нии дви­же­нии тела на боль­шом участ­ке пути в целом (нам не важна ско­рость в каж­дый мо­мент вре­ме­ни) удоб­но вве­сти по­ня­тие сред­ней ско­ро­сти.

Сред­ней ско­ро­стью на­зы­ва­ют от­но­ше­ние пол­но­го пе­ре­ме­ще­ния, ко­то­рое со­вер­ши­ло тело, ко вре­ме­ни, за ко­то­рое со­вер­ше­но это пе­ре­ме­ще­ние.

 

На прак­ти­ке чаще всего ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие сред­ней пу­те­вой ско­ро­сти.

Сред­няя пу­те­вая ско­рость – это от­но­ше­ние пол­но­го пути, прой­ден­но­го телом, ко вре­ме­ни, за ко­то­рое путь прой­ден.

 

Су­ще­ству­ет ещё одно опре­де­ле­ние сред­ней ско­ро­сти.

Сред­няя ско­рость – это та ско­рость, с ко­то­рой долж­но дви­гать­ся тело рав­но­мер­но, чтобы прой­ти дан­ное рас­сто­я­ние за то же время, за ко­то­рое оно его про­шло, дви­га­ясь нерав­но­мер­но.

Из курса ма­те­ма­ти­ки нам из­вест­но, что такое сред­нее ариф­ме­ти­че­ское. Для чисел 10 и 36 оно будет равно:

 

Для того чтобы узнать воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния этой фор­му­лы для на­хож­де­ния сред­ней ско­ро­сти, решим сле­ду­ю­щую за­да­чу.

За­да­ча

Ве­ло­си­пе­дист под­ни­ма­ет­ся со ско­ро­стью 10 км/ч на склон, за­тра­чи­вая на это 0,5 часа. Далее со ско­ро­стью 36 км/ч спус­ка­ет­ся вниз за 10 минут. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста (см. Рис. 4).

Дано:; ; ;

Найти:

Ре­ше­ние:

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как еди­ни­ца из­ме­ре­ния дан­ных ско­ро­стей – км/ч, то и сред­нюю ско­рость най­дём в км/ч. Сле­до­ва­тель­но, дан­ные за­да­чи не будем пе­ре­во­дить в СИ. Пе­ре­ве­дём в часы.

 

Сред­няя ско­рость равна:

 

Пол­ный путь () со­сто­ит из пути подъ­ёма на склон () и спус­ка со скло­на ():

 

Путь подъ­ёма на склон равен:

 

Путь спус­ка со скло­на равен:

 

Время, за ко­то­рое прой­ден пол­ный путь, равно:

 

 

Ответ:

Ис­хо­дя из от­ве­та за­да­чи, видим, что при­ме­нять фор­му­лу сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го для вы­чис­ле­ния сред­ней ско­ро­сти нель­зя.

Сред­нюю ско­рость, из­ме­рен­ную за бес­ко­неч­но малый про­ме­жу­ток вре­ме­ни, на­зы­ва­ют

мгно­вен­ной ско­ро­стью тела (для при­ме­ра, спи­до­метр ав­то­мо­би­ля по­ка­зы­ва­ет мгно­вен­ную ско­рость).

Су­ще­ству­ет ещё одно опре­де­ле­ние мгно­вен­ной ско­ро­сти.

Мгно­вен­ная ско­рость – ско­рость дви­же­ния тела в дан­ный мо­мент вре­ме­ни, ско­рость тела в дан­ной точке тра­ек­то­рии.

Для того чтобы лучше по­нять дан­ное опре­де­ле­ние, рас­смот­рим при­мер.

Пусть ав­то­мо­биль дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по участ­ку шоссе. У нас есть гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни для дан­но­го дви­же­ния (см. Рис. 5), про­ана­ли­зи­ру­ем дан­ный гра­фик.

На гра­фи­ке видно, что ско­рость ав­то­мо­би­ля не по­сто­ян­ная. До­пу­стим, необ­хо­ди­мо найти мгно­вен­ную ско­рость ав­то­мо­би­ля через 30 се­кунд после на­ча­ла на­блю­де­ния (в точке

A). Поль­зу­ясь опре­де­ле­ни­ем мгно­вен­ной ско­ро­сти, най­дём мо­дуль сред­ней ско­ро­сти за про­ме­жу­ток вре­ме­ни от  до . Для этого рас­смот­рим фраг­мент дан­но­го гра­фи­ка (см. Рис. 6).

Рис. 5. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни

Рис. 6. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни

Рас­счи­ты­ва­ем сред­нюю ско­рость на дан­ном участ­ке вре­ме­ни:

 

Для того чтобы про­ве­рить пра­виль­ность на­хож­де­ния мгно­вен­ной ско­ро­сти, най­дём мо­дуль сред­ней ско­ро­сти за про­ме­жу­ток вре­ме­ни от  до , для этого рас­смот­рим фраг­мент гра­фи­ка (см. Рис. 7).

Рис. 7. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни

Рас­счи­ты­ва­ем сред­нюю ско­рость на дан­ном участ­ке вре­ме­ни:

 

По­лу­чи­ли два зна­че­ния мгно­вен­ной ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля через 30 се­кунд после на­ча­ла на­блю­де­ния. Точ­нее будет то зна­че­ние, где ин­тер­вал вре­ме­ни мень­ше, то есть . Если умень­шать рас­смат­ри­ва­е­мый ин­тер­вал вре­ме­ни силь­нее, то мгно­вен­ная ско­рость ав­то­мо­би­ля в точке A будет опре­де­лять­ся более точно.

Мгно­вен­ная ско­рость – это век­тор­ная ве­ли­чи­на. По­это­му, кроме её на­хож­де­ния (на­хож­де­ния её мо­ду­ля), необ­хо­ди­мо знать, как она на­прав­ле­на.

 (при ) – мгно­вен­ная ско­рость

 

На­прав­ле­ние мгно­вен­ной ско­ро­сти сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем пе­ре­ме­ще­ния тела.

Если тело дви­жет­ся кри­во­ли­ней­но, то мгно­вен­ная ско­рость на­прав­ле­на по ка­са­тель­ной к точке тра­ек­то­рии (см. Рис. 8).

Рис. 8. На­прав­ле­ние мгно­вен­ной ско­ро­сти

Если мы го­во­рим, что тра­ек­то­рия, путь, пе­ре­ме­ще­ние и ско­рость яв­ля­ют­ся от­но­си­тель­ны­ми, то есть за­ви­сят от вы­бо­ра си­сте­мы от­сче­та, то про время мы этого не го­во­рим. В рам­ках клас­си­че­ской, или Нью­то­но­вой, ме­ха­ни­ки время есть ве­ли­чи­на аб­со­лют­ная, то есть про­те­ка­ю­щее во всех си­сте­мах от­сче­та оди­на­ко­во.

Рас­смот­рим, как на­хо­дить пе­ре­ме­ще­ние и ско­рость в одной си­сте­ме от­сче­та, если они нам из­вест­ны в дру­гой си­сте­ме от­сче­та.

Че­ло­век идет по па­лу­бе па­ро­хо­да со ско­ро­стью  от­но­си­тель­но па­ро­хо­да. Па­ро­ход дви­жет­ся по­сту­па­тель­но со ско­ро­стью  от­но­си­тель­но бе­ре­га. Най­дем ско­рость  че­ло­ве­ка от­но­си­тель­но бе­ре­га (Рис. 9).

Свя­жем непо­движ­ную си­сте­му от­сче­та (хОу) с Зем­лей, а по­движ­ную (х’О’у) – с па­ро­хо­дом.

 

Рис. 9. При­мер за­да­чи

Из Рис. 9 видно, что пе­ре­ме­ще­ние:

 Δ = Δ + Δ ⇒ Δ ≠ Δ,

где Δ – пе­ре­ме­ще­ние че­ло­ве­ка от­но­си­тель­но па­ро­хо­да, Δ – пе­ре­ме­ще­ние па­ро­хо­да от­но­си­тель­но бе­ре­га, Δ – пе­ре­ме­ще­ние че­ло­ве­ка от­но­си­тель­но бе­ре­га.

Таким об­ра­зом, если тело од­но­вре­мен­но участ­ву­ет в несколь­ких дви­же­ни­ях, то ре­зуль­ти­ру­ю­щее пе­ре­ме­ще­ние точки равно век­тор­ной сумме пе­ре­ме­ще­ний, со­вер­ша­е­мых ею в каж­дом из дви­же­ний. В этом со­сто­ит уста­нов­лен­ный экс­пе­ри­мен­таль­но прин­цип неза­ви­си­мо­сти дви­же­ний.

Раз­де­лив это урав­не­ние на про­ме­жу­ток вре­ме­ни, за ко­то­рый про­изо­шли пе­ре­ме­ще­ния че­ло­ве­ка и па­ро­хо­да, по­лу­чим закон сло­же­ния ско­ро­стей:

  = +

Ско­рость  тела от­но­си­тель­но непо­движ­ной си­сте­мы от­сче­та равна гео­мет­ри­че­ской сумме ско­ро­сти  тела от­но­си­тель­но по­движ­ной си­сте­мы от­сче­та и ско­ро­сти  самой по­движ­ной си­сте­мы от­сче­та от­но­си­тель­но непо­движ­ной.

До­маш­нее за­да­ние

  1. Можно ли, зная сред­нюю ско­рость за опре­де­лен­ный про­ме­жу­ток вре­ме­ни, найти пе­ре­ме­ще­ние, со­вер­шен­ное телом за любую часть этого про­ме­жут­ка?
  2. Чем от­ли­ча­ет­ся мгно­вен­ная ско­рость при рав­но­мер­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии от мгно­вен­ной ско­ро­сти при нерав­но­мер­ном дви­же­нии?
  3. Во время езды на ав­то­мо­би­ле через каж­дую ми­ну­ту сни­ма­лись по­ка­за­ния спи­до­мет­ра. Можно ли по этим дан­ным опре­де­лить сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля?
  4. Первую треть трас­сы ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью 12 км в час, вто­рую треть – со ско­ро­стью 16 км в час, а по­след­нюю треть — со ско­ро­стью 24 км в час. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ве­ло­си­пе­да на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км в час.

К занятию прикреплен файл  «Ребусы по теме». Вы можете скачать файл  в любое удобное для вас время.

Использованные источники: 

  • http://interneturok. ru/ru/school/physics/10-klass/
  • http://www.youtube.com/watch?v=fLEtoof1l2c
  • http://www.youtube.com/watch?v=pWStlFLGaqk
     

Движение тела по окружности | Частная школа. 9 класс

Конспект по физике для 9 класса «Движение тела по окружности». Куда направлена мгновенная скорость тела при его движении по окружности. Куда направлено ускорение тела при его движении по окружности и как вычислить его значение.

Конспекты по физике    Учебник физики    Тесты по физике


Движение тела по окружности

Одним из простейших видов криволинейного движения является движение тела по окружности. Рассмотрим такое движение при постоянной по модулю скорости.

Согласно второму закону Ньютона направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей всех сил, действующих на тело. Сообщим шарику, лежащему на столе и закреплённому на нити, начальную скорость в направлении, перпендикулярном нити. Он начнёт двигаться по окружности. Сила тяжести, действующая на него, уравновешивается силой упругости стола, а сила трения качения мала, и ею можно пренебречь. Получается, что сила, обусловливающая движение шарика по окружности, — сила упругости нити, направленная по радиусу окружности. Поэтому ускорение должно быть направлено так же, т. е.по радиусу окружности в направлении к центру.

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА МГНОВЕННОЙ СКОРОСТИ

При движении тела по окружности при неизменном модуле скорости в каждый момент времени скорость меняет своё направление. Как направлен вектор мгновенной скорости?

Для ответа на этот вопрос представим себе движение некоторого тела, закреплённого на верёвке и раскрученного в горизонтальной плоскости.

Если верёвка оборвётся, то тело начнёт двигаться по прямой. Эта прямая — касательная к окружности, являющейся траекторией движения тела. При этом направление движения тела совпадает с направлением скорости тела в момент разрыва верёвки.

Таким образом, мгновенная скорость тела в любой точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПО ОКРУЖНОСТИ

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью в каждый момент времени направление скорости изменяется. Значит, такое движение является движением с ускорением. Рассмотрим движение тела по окружности радиуса R. Обозначим скорость тела в точке А через ʋ1, а его скорость в точке В через ʋ2. Тогда ускорение, с которым тело движется, можно найти по формуле

В числителе этой формулы стоит векторная физическая величина, а в знаменателе — скалярная. Поэтому направление вектора ускорения должно совпадать с направлением вектора, равного разности векторов скоростей:

Для того чтобы изобразить вектор, являющийся разностью двух векторов, используют правило треугольника. Сначала векторы изображают исходящими из одной точки (при этом перемещать их можно только при помощи параллельного переноса). Затем проводят отрезок так, чтобы получился треугольник.

В нашем случае направленный отрезок, соединяющий конец вычитаемого вектора ʋ1 с концом уменьшаемого вектора ʋ2, и будет их векторной разностью.

Из рисунка видно, что вектор Δʋ и, следовательно, вектор a направлены внутрь окружности. Для того чтобы понять, как направлено ускорение в определённой точке траектории представим, что промежуток времени от момента нахождения тела в точке А до момента, когда тело стало находиться в точке В, становится всё меньше и меньше. Тогда точки А и В стягиваются в одну точку А. При этом направление вектора Δʋ приближается к направлению вектора AO.

Получается, что ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, направлено по радиусу окружности к её центру. Именно поэтому оно называется центростремительным и обозначается ац.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точке касания, то векторы скорости ʋ и центростремительного ускорения ац перпендикулярны друг другу.

МОДУЛЬ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ ТЕЛА

Для нахождения модуля центростремительного ускорения вновь обратимся к рисунку.