Матрицы сложение и умножение – Энциклопедия по экономике
Матрицы сложение и умножение [c.23]МАТРИЦЫ СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ [c.23]
Операции сложения и умножения блочных матриц проводятся по правилам соответствующих операций над матрицами, если заменить их элементы блоками [c.275]
Под матрицей в математике принято понимать прямоугольную таблицу чисел, состоящую из т строк и я столбцов. Если число строк и столбцов в матрице одинаковое (т = п), матрица называется квадратной. Действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение) производятся по разработанным математикой методам матричного исчисления. [c.506]
Основные операции сложения и умножения применимы также и к матрицам, подвергшимся разбиению, если процесс разбиения осуществлен подходящим образом. Например, если разбиение матрицы В порядка 3×4 имеет вид [c.94]
Основными матричными операциями являются умножение матрицы на число, сложение и перемножение двух матриц. [c.54]
Назовем эту таблицу для краткости таблицей выигрышей и обозначим ее буквой S, что понадобится нам при дальнейшем изложении.
Определение операций с матрицами (сложение, умножение и т. п.) следует из определения операций с линейными операторами. [c.489]
С перечисленными выше операциями связаны некоторые законы матричной алгебры. Так, сложение матриц ассоциативно, если матрицы согласованы для сложения. Операция умножения матриц также ассоциативна, если только матрицы согласованы для умножения. Сложение матриц коммутативно в том случае, если матрицы согласованы для сложения. Операции с матрицами удовлетворяют требованиям дистрибутивного закона А(В + Q =AB +A в том случае, если матрицы В и С согласованы для сложения, а матрицы А и В согласованы для умножения. В общем случае умножение матриц не коммутативно. В трех случаях умножение матриц коммутативно — при умножении матрицы на нулевую матрицу, при умножении матрицы на диагональную матрицу, при умножении матрицы на скалярную величину.
Из правил сложения матриц и умножения матрицы на скаля – следует А – В = [al – btj]. [c.76]
V. А (В + С) = АВ + АС и (В + С) А = ВА + СА, т. е. имеет место дистрибутивный закон умножения матриц относительно сложения. Элемент i/ матрицы А (В + С) равен [c.78]
Умножение матрицы на число и сложение матриц [c.53]
Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц(Л,5, С”—матрицы, k, I—числа) [c.53]
Сложение, умножение и транспортирование матриц, основные свойства этих операций. Определение линейного оператора, его простейшие свойства. Изоморфные векторные пространства. Изоморфы евклидовых пространств. Матрица линейного оператора, ее преобразование при смене базиса. Подобные матрицы. [c.11]
Почему умножение матриц такое / Хабр
Наверное, каждый задавался вопросом, почему умножение матриц такое. В этой статье мы разберём из каких соображений оно вводится именно так.
Маленькое предисловие
В дальнейшем нам понадобится такая структура, как векторное пространство, а точнее его частный случай — пространство столбцов высотынад Кратко напомню, что под этим понимается.
Во-первых, — это следующее множество
где таким образом обозначен вектор-столбец высотыто есть
Во-вторых, для любых векторовопределено сложение
и для любого вектораопределено умножение на скаляр
В-третьих, каждый векторединственным образом представим в следующем виде
где — скаляры, а — следующая система векторов
Такая система векторов называется базис, а скаляры, участвующие в разложение вектора, называются координатами этого вектора в данном базисе. Стоит отметить, что в это не единственный базис, но везде далее под «зафиксируем базис» можно понимать именно эту систему векторов.
Умножение матрицы на вектор
Прежде чем переходить к умножению матриц, посмотрим, из каких соображений вводится умножение матрицы на вектор. Для этого рассмотрим линейное отображение
То, что— линейное отображение, означает, что для любых векторови любого скаляравыполняются следующие два условия:
Или их можно объединить в одно
Нас интересует, как линейное отображениедействует на произвольный вектор Для этого зафиксируем в базис а в базис Теперь мы можем разложить векторпо базису
и представитьв следующем виде
Заметим, что а поскольку в зафиксирован базис, то эти векторы также можно разложить по базису
или тоже самое в векторной записи
Подставляем в равенство выше и получаем
Но правая часть равенства есть не что иное, как формула умножения матрицы на вектор-столбец
где столбцы матрицы есть векторы
Получается, можно ввести умножение матрицы на вектор по следующему правилу
И такое определение умножения будет согласовано с тем, как линейное отображениедействует на вектор
Если теперь обозначить то координаты вектора выражаются через координаты вектора следующим образом
Кроме того, мы получили и другой важный результат, вернёмся к выражению для
Из него следует, что линейное отображениеполностью определяется своими значениями на базисных векторах, то есть, если нужно найтито достаточно знать
Далее, мы поместили эти векторы в матрицу и определили умножение так, чтоесть произведение соответствующей матрицынаПолучается, что линейному отображению можно поставить в соответствие матрицу, которая полностью его определяет
Такая матрица называется матрицей линейного отображенияв выбранных базисах пространств и
Если говорить более строго, то существует взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями из в и матрицами размера
Теперь мы можем перейти к умножению матрицы на матрицу.
Умножение матрицы на матрицу
Рассмотрим линейные отображенияи
и их композицию
Легко проверяется, что будет линейным отображением
Поэтому, если зафиксировать в и базисы, то каждому линейному отображению можно поставить в соответствие его матрицу
Нас теперь интересует, как между собой они связаны. Для этого рассмотрим следующее равенство
и найдём координаты вектора через координаты вектора
Так както
Но из равенстваследует, что
Подставляем в равенство выше и получаем
С другой стороны,то есть
Сравнивая первое и второе равенство для координатполучаем такое соотношение
которое является формулой умножения матрицы на матрицу.
Таким образом, умножение матрицы на матрицу вводится исходя из того, как действует композиция линейных отображений.
Другими словами, если линейным отображениямипоставить в соответствие их матрицыито композиции этих отображенийставится в соответствие матрица, которая является произведением матриц
Отсюда, кстати, следует, что матрицыиможно умножить только тогда, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицы
Пусть — матрица размера а — матрица размера Тогда, если в пространствах и зафиксировать базисы, то этим матрицам ставятся в соответствие линейные отображенияи
Но композиция определена только тогда, когда то есть число столбцов матрицыравно числу строк матрицы
Заключение
Таким образом, умножение матриц вводится исходя из того, как действуют линейные отображения.
И это намекает на некую связь между ними.
Ниже оставлю различные учебники по алгебре, где можно про всё это прочитать более подробно, и другие различные источники.
Ссылки на литературу и различные источники
Основное:
[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 1. Основы алгебры. Кострикин А.И.
Дополнительное:
[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 2. Линейная алгебра. Кострикин А.И.
[2] Линейная алгебра и геометрия, Кострикин А.И., Манин Ю.И.
Прочее:
Для создания графики использовался manimCE: https://github.com/manimCommunity/manim
Кому интересно, то вот видео к статье:
Сложение, вычитание, умножение и деление матриц — ответы MATLAB
Сложение матриц — одна из основных операций, выполняемых над матрицами. Две или более матриц одного порядка могут быть добавлены путем добавления соответствующих элементов матриц. Если A = [aijaij] и B = [bijbij] — две матрицы одинаковой размерности, то есть они имеют одинаковое количество строк и столбцов, то сложение матриц A и B равно: A+B = [aijaij] + [bijbij] = [aij+bijaij+bij].
Матрицы для сложения могут быть как квадратными, так и прямоугольными, но матрицы должны быть одного порядка.
Сложение матриц подчиняется аналогичным свойствам сложения чисел: коммутативному закону, ассоциативному закону, аддитивному обратному, аддитивному тождеству и т. д. Следующие свойства помогают в операциях сложения матриц.
- Коммутативное свойство сложения матриц для матриц A = [aijaij] и B = [bijbij] одного порядка m × n равно A + B = B + A.
- Ассоциативное свойство сложения матриц для матриц A = [aijaij], B = [bijbij] и C = [cijcij] одного и того же порядка m × n равно (A+B)+C = A+(B+C).
- Аддитивное тождество сложения матриц для матрицы A = [aijaij] порядка m × n — нулевая матрица O порядка m × n такая, что A + O = O + A = A.
- Аддитивное сложение, обратное сложению матриц для матрицы A = [aijaij] порядка m × n есть -A = [−aij−aij] того же порядка m × n такое, что A + (-A) = O = A + (-A).
- Транспонировать Свойство сложения матриц для двух матриц A = [aijaij] и B = [bijbij] одного порядка: (A + B)T = AT + BT
- Определяющее свойство сложения матриц для двух матриц A = [aijaij] и B = [bijbij] того же порядка, |A + B| = |А| + |Б|
Вычитание — Операции с матрицами
Вычитание матриц — это матричная операция поэлементного вычитания матриц одного порядка, то есть матриц, имеющих одинаковое количество строк и столбцов.
При вычитании двух матриц мы вычитаем элементы в каждой строке и столбце из соответствующих элементов в строке и столбце другой матрицы.
Рассмотрим две матрицы A и B одного и того же порядка m × n, где m — количество строк, а n — количество столбцов двух матриц, обозначенных как A = [aijaij] и B = [bijbij ]. Теперь разность двух матриц A и B определяется как: A – B = [aijaij] – [bijbij] = [aij-bijaij-bij], где ij обозначает положение каждого элемента в i-й строке и j-м столбце. Размерность разностной матрицы, то есть A – B, также равна m × n’.
Самая важная необходимость для вычитания матриц для сохранения всех этих свойств заключается в том, что вычитание матриц определяется только в том случае, если порядок матриц одинаков.
- Количество строк и столбцов в соответствующих матрицах должно быть одинаковым для вычитания матриц.
- Вычитание матриц некоммутативно, т. е. А – В ≠ В – А
- Вычитание матриц не ассоциативно, т. е. (А – В) – С ≠ А – (В – С)
- Вычитание матрицы из самой себя приводит к нулевой матрице, то есть A – A = O.
- Вычитание матриц – это добавление отрицательного значения матрицы к другой матрице, то есть A – B = A + (-B ).
Умножение — Операции с матрицами
Умножение матриц — это бинарная матричная операция, выполняемая над матрицами A и B, когда обе заданные матрицы совместимы. Основным условием умножения двух матриц является то, что количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице, и, следовательно, важен порядок матрицы. Умножение матриц не подчиняется коммутативному закону AB ≠ BA.
Две матрицы A и B называются совместимыми, если количество столбцов в A равно количеству строк в B. Результирующая матрица для умножения матрицы A порядка m × n на матрицу B порядка n × p — матрица C порядка m × p.
Для умножения двух матриц элементы строк матрицы умножаются на элементы столбцов следующей матрицы, и суммирование этого произведения дает элементы результирующей матрицы произведения. Это можно более ясно понять из приведенного ниже умножения двух матриц порядка 3 x 3.
Следующие свойства умножения матриц полезны для выполнения операции умножения матриц.
- Некоммутативный для умножения матриц: Умножение матриц является некоммутативным, и произведение AB не равно произведению BA, AB ≠ BA.
- Правильное распределение над сложением матриц для Матричное умножение матрицы A и матрицы B на другую матрицу C равно A(B + C) = AB + BC.
- Умножение матриц на скаляр k для матриц A и B определяется как k(AB) = (kA)B = A(Bk).
- Свойство транспонирования матричного умножения для двух матриц A и B может быть задано как (AB)T = BTAT
- Комплексно-сопряженное свойство матричного умножения для двух матриц A и B: (AB)* = B*A*
- Ассоциативность матричного умножения для трех матриц A, B и C, так что произведения (AB)C и A(BC) определяются как (AB)C = A(BC).
Скалярное умножение матрицы является произведением скалярного значения константы на каждый из элементов матрицы. Следующие свойства скалярного умножения матриц помогают легко выполнять скалярное умножение матриц.
Здесь у нас есть две матрицы A, B и k, l — значения скалярных констант.
- K(A + B) = KA + KB
- (K + l)A = KA + lA
- (Kl)A = K(lA) = l(KA)
Операция транспонирования матрицы
Матрица, полученная из данной матрицы после замены или обращения ее строк в столбцы и столбцов в строки, называется транспонированием матрицы. Прямоугольный массив чисел или функций, расположенных в виде строк и столбцов, называется матрицей. Этот массив чисел называется элементами или элементами матрицы. После нахождения транспонирования матрицы порядок матрицы изменяется с порядка m × n на порядок n × m.
Здесь для матрицы A элементы первой строки записаны в первый столбец новой матрицы, а элементы второй строки записаны во второй столбец новой матрицы. И эта новая матрица обозначается как AT, что является транспонированием данной матрицы A.
Вместе они представляют порядок матрицы, которая записывается как n × m. А порядок транспонирования данной матрицы записывается как m x n.В приведенном выше примере видно, что задана матрица порядка 2 × 3. Элементы первой строки [-2, 5, 6] записаны в первом столбце, а элементы второй строки [5 , 2, 7] записываются во второй столбец для получения матрицы транспонирования. Транспонирование матрицы A равно AT и имеет порядок 3 x 2,9.0003
Существуют различные свойства, связанные с операцией перестановки в матрицах, для матриц A и B, заданные как
- (AT)T = A
- (A + B)T = AT + BT, A и B тот же порядок.
- (KA)T= KAT, K – любой скаляр (действительный или комплексный).
- (AB)T= BTAT, A и B соответствуют продукту AB. (Это также называется законом обращения.)
Обратная операция над матрицей
Обратная операция над матрицей — это другая матричная операция, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативное тождество.