Сложные функции производной примеры: Производная сложной функции. Примеры. | Математика

Как найти производную? Примеры решений

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.

И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные.

Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример: Пример 1

Найти производную функции Решение:

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь:

у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную

функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным

исключением является экспоненциальная функция , которая

превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:

, где – постоянное число; производную степенной функции:

, в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

Вреальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

Вэтой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где – постоянное число (константа) Пример 2

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Решаем:

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

Готово.

2) Производная суммы равна сумме производных

Пример 3

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то

переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней,

степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Пример 4

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока).

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Пример 5

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Пример 6

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

Готово.

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Пример 7

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк. А вот это вот суровая действительность:

Пример 8

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны. Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной

можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Время от времени встречаются хитрые задачки:

Пример 10

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?

Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель. Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Пример 12

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 4: . В ходе решения

данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это – константы. Поэтому выносится за знак производной, а .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 12:

Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Том 1 Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I Фихтенгольц в 3 томах, Том 1. В книгах представленны все разделы современной высшей матиматеки, правила, задания и примеры их решения, теория и практика. Оглавление ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 2. Упорядочение области рациональных чисел. 3. Сложение и вычитание рациональных чисел. 4. Умножение и деление рациональных чисел. 5. Аксиома Архимеда. § 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел 7. Упорядочение области вещественных чисел. 8. Вспомогательные предложения. 9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью. 10. Непрерывность области вещественных чисел. 11. Границы числовых множеств. § 3. Арифметические действия над вещественными числами 13. Свойства сложения. 14. Определение произведения вещественных чисел. 15. Свойства умножения. 16. Заключение. 17. Абсолютные величины. § 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 19. Степень с любым вещественным показателем. 20. Логарифмы. 21. Измерение отрезков. ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. Варианта и ее предел 23. Предел варианты. 24. Бесконечно малые величины. 25. Примеры. 26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел. 27. Бесконечно большие величины. § 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 29. Леммы о бесконечно малых. 30. Арифметические операция над переменными. 31. Неопределенные выражения. 32. Примеры на нахождение пределов. 33. Теорема Штольца и ее применения. § 3. Монотонная варианта 35. Примеры. 36. Число е. 37. Приближенное вычисление числа е. 38. Лемма о вложенных промежутках. § 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 40. Частичные последовательности и частичные пределы. 41. Лемма Больцано — Вейерштрасса 42. Наибольший и наименьший пределы. ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Понятие функции 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. 45. Определение понятия функции. 46. Аналитический способ задания функции. 47. График функции. 48. Важнейшие классы функций. 49. Понятие обратной функции. 50. Обратные тригонометрические функции. 51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания. § 2. Предел функции 53. Сведение к случаю варианты. 54. Примеры. 55. Распространение теории пределов. 56. Примеры. 57. Предел монотонной функции. 58. Общий признак Больцано—Коши. 59. Наибольший и наименьший пределы функции. § 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 61. Шкала бесконечно малых. 62. Эквивалентные бесконечно малые. 63. Выделение главной части. 64. Задачи. 65. Классификация бесконечно больших. § 4. Непрерывность (и разрывы) функций 67. Арифметические операции над непрерывными функциями. 68. Примеры непрерывных функций. 69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов. 70. Примеры разрывных функций. 71. Непрерывность и разрывы монотонной функции. 72. Непрерывность элементарных функций. 73. Суперпозиция непрерывных функций. 74. Решение одного функционального уравнения. 75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций. 76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов. 77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов. 78. Степенно-показательные выражения. 79. Примеры. § 5. Свойства непрерывных функций 81. Применение к решению уравнений. 82. Теорема о промежуточном значении. 83. Существование обратной функции. 84. Теорема об ограниченности функции. 85. Наибольшее и наименьшее значения функции. 86. Понятие равномерной непрерывности. 87. Теорема Кантора. 88. Лемма Бореля. 89. Новые доказательства основных теорем. ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ § 1. Производная и ее вычисление 91. Задача о проведении касательной к кривой. 92. Определение производной. 93. Примеры вычисления производных. 94. Производная обратной функции. 95. Сводка формул для производных. 96. Формула для превращения функции. 97. Простейшие правила вычисления производных. 98. Производная сложной функции. 100. Односторонние производные. 101. Бесконечные производные. 102. Дальнейшие примеры особых случаев. § 2. Дифференциал 104. Связь между диффереицируемостью и существованием производной. 105. Основные формулы и правила дифференцирования. 106. Инвариантность формы дифференциала. 107. Дифференциалы как источник приближенных формул. 108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 110. Теорема Дарбу 111. Теорема Ролля. 112. Формула Лагранжа. 113. Предел производной. 114. Формула Коши. § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 116. Общие формулы для производных любого порядка. 117. Формула Лейбница. 118. Примеры. 119. Дифференциалы высших порядков. 120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков. 121. Параметрическое дифференцирование. 122. Конечные разности. § 5. Формула Тейлора 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано. 125. Примеры. 126. Другие формы дополнительного члена. 127. Приближенные формулы. § 6. Интерполирование 129. Дополнительный члеп формулы Лагранжа. 130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. Изучение хода изменения функции 132. Условие монотонности функции. 133. Доказательство неравенств. 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия. 136. Достаточные условия. Первое правило. 136. Примеры. 137. Второе правило. 138. Использование высших производных. 139. Разыскание наибольших и наименьших значений. 140. Задачи. § 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 142. Простейшие предложения о выпуклых функциях. 143. Условия выпуклости функции. 144. Неравенство Иенсена и его приложения. 145. Точки перегиба. § 3. Построение графиков функций 147. Схема построения графика. Примеры. 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты. 149. Примеры. § 4. Раскрытие неопределенностей 151. Неопределенность вида oo/oo 152. Другие виды неопределенностей. § 5. Приближенное решение уравнений 154. Правило пропорциональных частей (метод хорд). 155. Правило Ньютона (метод касательных). 156. Примеры в упражнения. 157. Комбинированный метод. 158. Примеры и упражнения. ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. 160. Функции двух переменных и области их определения. 161. Арифметическое n-мерное пространство. 162. Примеры областей в n-мерном пространстве. 163. Общее определение открытой и замкнутой области. 164. Функции n переменных. 165. Предел функции нескольких переменных. 166. Сведение к случаю варианты. 167. Примеры. 168. Повторные пределы. § 2. Непрерывные функции 170. Операции над непрерывными функциями. 171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши. 172. Лемма Больцано—Вейерштрасса. 173. Теоремы Вейерштрасса. 174. Равномерная непрерывность. 175. Лемма Бореля. 176. Новые доказательства основных теорем. § 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 178. Полное приращение функции. 179. Полный дифференциал. 180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных. 181. Производные от сложных функций. 182. Примеры. 183. Формула конечных приращений. 184. Производная по заданному направлению. 185. Инвариантность формы (первого) дифференциала. 186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. 187. Однородные функции. 188. Формула Эйлера. § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 190. Теорема о смешанных производных. 191. Обобщение. 192. Производные высших порядков от сложной функции. 193. Дифференциалы высших порядков. 194. Дифференциалы сложных функций. 195. Формула Тейлора. § 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 197. Достаточные условия (случай функции двух переменных). 198. Достаточные условия (общий случай). 199. Условия отсутствия экстремума. 200. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры. 201. Задачи. ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Формальные свойства функциональных определителей 203. Умножение якобианов. 204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби). § 2. Неявные функции 206. Существование неявной функции. 207. Дифференцируемость неявной функции. 208. Неявные функции от нескольких переменных. 209. Вычисление производных неявных функций. 210. Примеры. § 3. Некоторые приложения теории неявных функций 212. Метод неопределенных множителей Лагранжа. 213. Достаточные для относительного экстремума условия. 214. Примеры и задачи. 215. Понятие независимости функций. 216. Ранг матрицы Якоби. § 4. Замена переменных 218. Примеры. 219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных. 220. Метод вычисления дифференциалов. 221. Общий случай замены переменных. 222. Примеры. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ § 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 224. Примеры. 225. Кривые механического происхождения. 226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры. 227. Поверхности и кривые в пространстве. 228. Параметрическое представление. 229. Примеры. § 2. Касательная и касательная плоскость 231. Примеры. 232. Касательная в полярных координатах. 233. Примеры. 234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности. 235. Примеры. 236. Особые точки плоских кривых. 237. Случай параметрического задания кривой. § 3. Касание кривых между собой 239. Примеры. 240. Характеристические точки. 241. Порядок касания двух кривых. 242. Случай неявного задания одной из кривых. 243. Соприкасающаяся кривая. 244. Другой подход к соприкасающимся кривым. § 4. Длина плоской кривой 246. Направление на кривой. 247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги. 248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги. 249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной. § 5. Кривизна плоской кривой 251. Круг кривизны и радиус кривизны. 252. Примеры. 253. Координаты центра кривизны. 254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты. 255. Свойства эволют и эвольвент. 256. Разыскание эвольвент. ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Комплексная аналитическая функция — Викиверситет

Тематическая классификация : это ресурс по математике.

Уровень образования : это ресурс среднего образования.

Уровень образования : это ресурс третичного (университетского) уровня.

Сложная функция — это функция, которая принимает сложный аргумент и дает сложный результат. Простейшими примерами таких функций являются обычные действительные функции, которые могут быть определены степенным рядом. Просто используйте один и тот же степенной ряд, но пусть аргумент функции будет сложным.

Если сложная функция дифференцируема как комплексная функция (на открытом подмножестве C {\ displaystyle \ mathbb {C}}), то она называется комплексная аналитическая функция или голоморфная функция (на этом открытом подмножестве C {\ displaystyle \ mathbb {C}}).

Дифференцируемость как комплексная функция определяется (обычным способом) как предел в точке :

f ‘(x) = limx → Xf (x) -f (X) x-X {\ displaystyle f ‘(x) = \ lim _ {x \ to X} {\ frac {f (x) – f(X)}{x-X}}\,}

, но эпсилон-дельта-определение предела следует интерпретировать очень осторожно. Когда мы говорим, что f′(x)=D{\displaystyle f'(x)=D\,}, то есть

D = limx → Xf (x) -f (X) x-X {\ displaystyle D = \ lim _ {x \ to X} {\ frac {f (x) -f (X)} {xX} } \,}

мы имеем в виду, что для каждого реального ε> 0 {\ displaystyle \ varepsilon > 0} существует реальное δ > 0 {\ displaystyle \ delta > 0} (да, ε {\ displaystyle \ varepsilon } и δ {\ displaystyle \ delta} действительны) такие, что

всякий раз, когда x{\displaystyle x} является любым комплексным числом с 0<|x−X|<δ,{\displaystyle 0<|xX|<\delta ,\,}

|f (x)−f(X)x−X−D|<ε{\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(X)}{xX}}-D\right|<\ варепсилон \,}

Это выглядит так же, как и обычное “действительное” определение, за исключением того, что абсолютные значения берутся для комплексных чисел. (Абсолютное значение комплексного числа — это просто его модуль, то есть расстояние от начала координат. Это действительное число.)

Теперь 0<|x−X|<δ,{\displaystyle 0<|x-X|<\delta ,\,} означает, что x{\displaystyle x} может быть любым комплексным числом в пределах круга радиуса δ{\displaystyle \delta} с центром в X{\displaystyle X}. Это означает, что при взятии пределов комплексных чисел

limx→X{\displaystyle \lim _{x\to X}\,}

x{\displaystyle x} может приближаться к X{\displaystyle X} с любого направления в комплексной плоскости , а не только слева или справа, как с реальными пределами.

Это дополнительное требование к пределу, определяющему комплексную производную, накладывает серьезные ограничения на дифференцируемость. Именно это делает эти функции такими мощными. Дифференцируемая комплексная функция также называется комплексной аналитической функцией .0013 или голоморфная функция . Среди замечательных свойств таких функций:

• Если оно дифференцируемо, то его производная также дифференцируема, поэтому оно дифференцируемо любое число раз.
• В любой точке открытой области, в которой функция дифференцируема, ее степенной ряд (ряд Тейлора) относительно этой точки сходится к этой функции.

На самом деле это более общее «официальное» определение «аналитического» — степенной ряд сходится к функции. Этим свойством сходимости могут обладать и функции от действительных чисел — их называют «вещественными аналитическими функциями». Но есть действительные функции, которые дифференцируемы, но не являются вещественно-аналитическими, например 9{2}}\,}

Сложные функции не имеют этой проблемы. Если оно комплексно дифференцируемо, то оно комплексно-аналитическое.

• Действительные и мнимые части сложной аналитической функции подчиняются уравнениям Коши-Римана . Если мы представим сложную функцию f (z) {\ displaystyle f (z) \,} функциями с действительными значениями u {\ displaystyle u} и v {\ displaystyle v}: f (z) = u + iv {\ displaystyle f (z) = u + iv \,}, и, кроме того, представлять их как функции двух действительных аргументов, которые являются действительной и мнимой частями z {\ displaystyle z}: f (z) = u (x, y) + iv (х, у) {\ Displaystyle е (г) = и (х, у) + iv (х, у) \,}, мы имеем:

и    ∂u∂y=-∂v∂x{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}

• Если комплексная аналитическая функция нигде в комплексной плоскости не стремится к бесконечности, даже на бесконечности, эта функция постоянна. Этот замечательный результат — теорема Лиувилля.

9{2}+1}}\,}

не является константой и не стремится к бесконечности для любых реальных аргументов. Но он уходит в бесконечность (у него есть полюса) в точке ± я {\ displaystyle \ pm i}.

• Комплексная аналитическая функция полностью определяется своими значениями на любом отрезке прямой в любом месте комплексной плоскости. Так, например, если мы знаем, что функция соответствует экспоненциальной функции только на реальной прямой, мы знаем ее значение везде. Эта функция является «комплексной экспонентой». Аналогичные расширения можно сделать и для других вещественно-аналитических функций. То есть существуют естественные определения комплексного синуса, арктангенса, логарифма и т. д.
• Степенной ряд для сложной аналитической функции сходится (конечно, к самой функции) внутри круга вокруг точки, в которой он вычисляется. Этот круг представляет собой круг схождения с радиусом схождения . Вне этого круга ряд расходится. Это не означает, что функция не определена за пределами этого круга, просто эта конкретная серия не работает. Обычно можно расширить степенной ряд вокруг какой-либо другой точки, чтобы получить значение функции в другом месте. это называется 9{i\pi }=-1\,}

  Анализ | математика | Британика

  анализ

  Посмотреть все СМИ

  Ключевые люди:

  Анри Пуанкаре Бернхард Риманн Леонард Эйлер Норберт Винер Жозеф Фурье

  Связанные темы:

  векторный анализ тензорный анализ гармонический анализ вариационное исчисление теорема о среднем значении

  Просмотреть весь связанный контент →

  Резюме

  Прочтите краткий обзор этой темы

  анализ , раздел математики, изучающий непрерывные изменения и некоторые общие типы процессов, возникшие в результате изучения непрерывных изменений, таких как пределы, дифференциация и интеграция. С момента открытия дифференциального и интегрального исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 17 века анализ превратился в огромную и центральную область математических исследований с приложениями во всех науках и в таких областях, как финансы, экономика. и социология.

  Исторические истоки анализа можно найти в попытках вычислить пространственные величины, такие как длина кривой линии или площадь, ограниченная кривой. Эти проблемы можно сформулировать чисто как вопросы математической техники, но они имеют гораздо большее значение, поскольку в физическом мире имеют большое разнообразие интерпретаций. Площадь внутри кривой, например, представляет непосредственный интерес для измерения земли: сколько акров содержит участок земли неправильной формы? Но та же техника определяет и массу однородного листа материала, ограниченного какой-либо выбранной кривой, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности неправильной формы. Менее очевидно, что эти методы можно использовать для определения общего расстояния, пройденного транспортным средством, движущимся с различной скоростью, глубины, на которой будет плавать корабль, когда он находится в море, или общего расхода топлива ракеты.

  Точно так же математический метод нахождения касательной к кривой в заданной точке можно также использовать для расчета крутизны изогнутого холма или угла, на который должна повернуться движущаяся лодка, чтобы избежать столкновения. Менее непосредственно это связано с чрезвычайно важным вопросом расчета мгновенной скорости или других мгновенных скоростей изменения, таких как охлаждение теплого объекта в холодной комнате или распространение болезнетворного организма среди людей.

  Эта статья начинается с краткого введения в историю анализа и основных понятий, таких как системы счисления, функции, непрерывность, бесконечные ряды и пределы, которые необходимы для понимания анализа. За этим введением следует полный технический обзор, от исчисления до нестандартного анализа, а затем статья завершается полной историей.

  Викторина по Британике

  Дайте определение: математические термины

  Историческая справка

  Преодоление разрыва между арифметикой и геометрией

  Математика делит явления на два широких класса, дискретные и непрерывные, исторически соответствующие разделению между арифметикой и геометрией. Дискретные системы могут быть подразделены только до определенного предела, и их можно описать целыми числами 0, 1, 2, 3, …. Непрерывные системы можно подразделять бесконечно, и для их описания требуются действительные числа, числа, представленные десятичными расширениями, такими как 3,14159.…, возможно, это будет продолжаться вечно. Понимание истинной природы таких бесконечных десятичных дробей лежит в основе анализа.

  Различие между дискретной математикой и непрерывной математикой является центральной проблемой математического моделирования, искусства представления особенностей мира природы в математической форме. Вселенная не содержит реальных математических объектов и не состоит из них, но многие аспекты вселенной очень похожи на математические концепции. Например, число два не существует как физический объект, но оно описывает важную особенность таких вещей, как человеческие близнецы и двойные звезды. Точно так же действительные числа обеспечивают удовлетворительные модели для различных явлений, хотя никакая физическая величина не может быть точно измерена с точностью более дюжины или около того знаков после запятой. К реальному миру применимы не значения бесконечного числа десятичных разрядов, а дедуктивные структуры, которые они воплощают и обеспечивают.

  Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

  Анализ возник потому, что многие аспекты мира природы можно выгодно рассматривать как непрерывные, по крайней мере, с превосходной степенью приближения. Опять же, это вопрос моделирования, а не реальности. Материя на самом деле не непрерывна; если материю разделить на достаточно мелкие кусочки, то появятся неделимые составляющие, или атомы. Но атомы чрезвычайно малы, и для большинства приложений рассмотрение материи как континуума вносит незначительную ошибку и значительно упрощает вычисления. Например, моделирование континуума является стандартной инженерной практикой при изучении течения жидкостей, таких как воздух или вода, изгиба эластичных материалов, распределения или потока электрического тока и потока тепла.

  Открытие исчисления и поиск основ

  Два основных шага привели к созданию анализа. Первым было открытие удивительной связи, известной как фундаментальная теорема исчисления, между пространственными задачами, включающими вычисление некоторого общего размера или значения, такого как длина, площадь или объем (интеграция), и задачами, связанными со скоростью изменения. такие как наклоны касательных и скорости (дифференциация). Заслуга независимого открытия около 1670 года фундаментальной теоремы исчисления вместе с изобретением методов применения этой теоремы принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу и Исааку Ньютону.

  В то время как полезность исчисления в объяснении физических явлений была очевидна сразу, использование им бесконечности в вычислениях (через разложение кривых, геометрических тел и физических движений на бесконечное множество мелких частей) вызвало широкое беспокойство. В частности, англиканский епископ Джордж Беркли опубликовал известную брошюру «Аналитик»; или «Рассуждение, адресованное неверующему математику» (1734), указывающее на то, что исчисление — по крайней мере, в том виде, в каком оно представлено Ньютоном и Лейбницем — имеет серьезные логические недостатки.